作者：（美）张天蓉
出版社：中信出版集团股份有限公司
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极简量子力学试读：
前言
随着中国的量子科学实验卫星“墨子号”上天，公众对量子及量子纠缠的兴趣大增，“量子”俨然成为一个热门话题。也许你是近几年才第一次听说“量子力学”，但实际上它至今已有一百多年的历史，可以说是一门十分成熟且非常成功的物理理论。它直接奠定了原子弹、核技术、光学、半导体工业等领域的物理基础，如今又在量子计算、信息加密等现代高科技领域大显身手。有人说，量子力学是科学史上最为精确地被实验检验了的理论，可以说是人类智力征程中的最高成就。根据统计资料，一个多世纪以来颁发的诺贝尔物理学奖中，绝大部分都颁给了与量子力学有关的研究。
因此，身为一个现代人，如果不学习一点量子力学，就如同没有上过互联网搜索信息，没有用过微信聊天一样，可算是人生的一大遗憾。然而，现有的量子科普读物，要么专业性太强，不是十分适合大众的口味，要么科学知识不到位，使用一些不恰当的比喻，反而容易被人误解和滥用。
因此，我专门创作了这本深入浅出、图文并茂的小书，简明且较全面地介绍量子力学的理论、实验及应用。在写作过程中，我尽量做到内容扎实、解释通俗，力求既引人入胜，又保证科学的严谨性。我希望尽量满足各个教育水平大众的阅读需求，既能激发年轻学生对科学的兴趣，也能让成人增长知识、消除疑惑。它为好奇的读者讲述人人都能了解的量子力学知识，可以作为量子力学入门的极简教科书。这本书中没有令人生畏的数学公式，仅用通俗的文字及精心绘制的原理示意图来介绍和解释概念，希望你可以从轻松愉快的阅读中获得乐趣，增长见识。
这本书可以分为两大部分，一部分介绍量子，一部分介绍量子纠缠。我们会了解到许多奇特的新概念、新理论，看到很多不可思议的实验，它们乍一看可能非常违背我们在日常生活中的直觉，但仔细了解后，你就能发现这些概念、理论以及实验实际上非常有趣。它们不仅存在于物理学家的头脑中，还在一步一步地走进现实，成为人类社会未来发展的重要驱动力。这本书的第一部分首先介绍量子概念的来源、意义、历史等，然后进一步带领读者遨游奇妙的量子世界，解释诸如薛定谔的猫、不确定性原理、隧穿效应、自旋等相关概念和现象，再简要介绍量子力学在激光物理、半导体工业及其他相关领域中的应用。
在第二部分中，我们将进一步走近神秘的量子纠缠现象及其应用。量子纠缠最为诱人的应用是未来的量子计算机和量子通信，其中包括量子信息、量子加密、量子传输等等相关概念。这一部分将梳理这些概念，解释它们的内容和原理，展望它们的前景，引领我们沿着量子之路，走向人类文明世界的未来。
除了这些奇妙的科学新知，这本小书里不时还会提到一个又一个与量子力学有关的科学家的名字，他们中有的我们耳熟能详，有的却不那么为大众所知。希望读完此书，你除了了解到量子力学方面的知识，还能记得那些形象鲜明、充满创造力且独具个性的物理学家，比如薛定谔、玻尔、惠勒、费曼……值得一提的是，笔者当年在美国得克萨斯大学奥斯汀分校攻读物理学博士时，时常向惠勒请教问题。他是我的博士论文指导小组成员之一。我还参与过留学生杂志对惠勒的专访。那次访谈中，惠勒在谈到玻尔当年的哥本哈根研究所时，回忆了相当多的细节。“……早期的玻尔研究所，楼房大小不及一家私人住宅，人员通常只有三五个，但玻尔作为当时物理学界的先驱，可谓在量子理论界叱咤风云。在那儿，各种思想的新颖性和活跃性，在古今的研究中是罕见的。尤其是每天早晨的讨论会上，既有发人深思的真知灼见，也有贻笑大方的狂想谬误，既有严谨的学术报告，也有热烈的自由争论。不过，所谓地位的压制、名人的威权、家长式的说教以及门户的偏见，在那斗室之中，却没有任何立足之地。“没有矛盾和佯谬，就不可能有科学的进步。绚丽的思想火花往往闪现在两个同时并存的矛盾的碰撞切磋之中。因此我们教学生、学科学，就得让学生有‘危机感’，学生才觉得自己有用武之地。否则，学生只会看见物理学是一座完美无缺的大厦，却没有问题，还研究什么呢？从这个意义上来说，不是老师教学生，而是学生‘教’老师。”
惠勒的这些话，直到今天都令科研工作者受益无穷。回顾量子力学的百年发展历程，我们可以看到，科学就是通过这些名字、通过一代又一代学者不断的追问和求索展开的，这个过程中，不同观点的碰撞是再自然不过的事情了。
最后，为了方便读者查询，笔者整理了量子力学发展过程中的里程碑大事和科学家名字及年代，以及少量重要的参考文献，总结在附录中，希望能够为感兴趣的读者提供有效的拓展阅读线索。
现在，请开始一段迷人又有趣的量子世界的发现之旅吧。第1章量子究竟是什么量子是什么？
现在好像大家都听说过“量子”一词，但量子到底是什么呢？有人说：“量子不就是电子、光子什么的，很小很小的粒子吗？”这句话不全对：量子不是什么“粒子”，但量子的确和“很小”有关。
稍具物理知识的人都知道，物质由分子、原子组成，原子又由质子、中子、电子等粒子组成。如果更深入下去，现代粒子物理标准模型将所有的粒子归纳为几十种不可再分的基本粒子，其中包括光子、电子、介子等等，也包括构成质子和中子的各种夸克，但是，其中可没有哪个粒子叫“量子”。确实，基本粒子中没有“量子”，但基本粒子遵从的物理规律却和量子密切相关。
一般地说，量子不是实物，而只是一种理论，或者说一种概念。虽然历史上人们也使用过“光量子”一词表示实物，但它实际上指的就是具有一定能量的光子。我们一般不将“量子”看作粒子，而将其作为对量子力学、量子理论、量子态、量子现象等等概念的一种泛称。
凡是冠以“量子”之称的概念，基本上说的都是很小的微观世界的事情，或少数与其相关的宏观应用。在宏观世界中，人们用牛顿定律描述物体（或粒子）的运动。计算地面上发射炮弹的速度或是天上卫星的运行轨道，都要用到牛顿的经典力学。而如果要计算原子中电子的运动规律，光照到物体表面产生什么效应等等这一类现象，就要用到微观世界的量子力学了。当然，理论上来说，量子力学也能够用于宏观世界，不过，在处理上述宏观问题时，使用量子力学方法会令计算过程极为烦琐，而运用更为简单方便的牛顿三大定律也能达到我们需要的精度。正所谓“杀鸡何须用牛刀”，所以我们刚才强调，量子力学是大多用于微观世界的物理规律。
谈到“很小很小”的微观世界，到底多小才算小？人的一根头发–4丝的直径一般为50微米（1微米=10厘米），而原子的直径大约只有–810厘米，是头发丝直径的约千分之一，中子和质子的直径更小，约–13是10厘米。一般认为量子力学的适用范围是原子以下的尺度，那有没有一个“最小长度”呢？物理学中有一个可以测量出来的最小长–33度，叫作“普朗克长度”，约为1.6×10厘米，这比原子小多了。量子力学，以及它所研究的中子、质子、电子、光子，以及所有其他的基本粒子，都在这样的尺度范围内驰骋。
微观世界的物理规律与宏观世界大不一样，宏观规律是我们耳熟能详且经常亲身体验到的经典规律，而量子世界的微观定律却是人的感官所“看不见摸不着”的。因此，我会用“量子”与“经典”的对比贯穿全书，用两者的异同点来引出概念，帮助大家理解。还有一点要提及的是，虽然量子规律适用于所有微观粒子，但本书中的主角是电子和光，有时候，人们也将它们泛称为“粒子”。
让我们再回到量子是什么的问题。实际上，量子（quantum）一词来源于拉丁语，原意是不可分割，指的是物理量的不连续性，即表征微观粒子运动状态的物理量只能采取某些分离的数值，叫作被“量子”化。在经典物理学中，物理量变化的最小值没有限制，它们可以任意连续地变化，理论上似乎要多小就能有多小，而对于实际目的而言，变化值小到一定程度就没有影响了。但在量子力学中，情况就不同了。比如说我们刚才谈到的普朗克长度l，既然它是最小的长度，p如果以它作为单位的话，任何实体的长度就都是它的整数倍，如果这个倍数是150，那这个物体的长度就是150个l。任何长度都不会以分p数形式表示了，不可能有半个l，或4.3个l的长度出现。pp
我们可以用日常生活中的例子来解释量子化。图1–1左图的斜坡和右图的楼梯可分别代表连续的高度变化和“量子化”的高度变化。以一级楼梯的长度为单位，斜坡上的高度可以表示为如3.89这样的数字，而楼梯只能一级一级地上升，高度被“量子化”了，只能是整数。图1-1 连续变化和“量子”式变化
读到这里，你可能会恍然大悟：原来这就是量子啊！不过，上一段中的例子只是一个比喻，宏观力学中既有楼梯也有斜坡，微观世界中却往往都需要量子化。古人曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，表达的只是趋近无限小的数学抽象，而物理现实中不是这样，许多物理量都有某个不可分割的最小值，可能是长度、时间，也可能是能量、动量等等，微观物理量只能以确定的大小一份一份地变化，在不同的情况下，这个最小值的数值也会不同。换言之，微观世界中处处是“楼梯”，它们大大小小、高低迥异。然而，每一级“楼梯”的大小，都与一个叫“普朗克常数”（h）的数值有关。
怎么又是普朗克？他究竟是怎样的人物？要回答这个问题，我们要从量子力学的历史谈起。回顾历史，我们才能更深刻地了解量子的奇妙。下面，我们就来看看这个简单的、“楼梯”式的变化方式，是如何把包括爱因斯坦在内的物理学家们一步一步地逼“疯”的。谁发现了量子？
量子化的概念由德国物理学家普朗克在1900年第一次提出。这可不是什么莫名其妙的臆想，而是为了解决一个实验与经典理论不符合的难题——“黑体辐射”。
在1900年之前，人们认为电子是一种粒子，类似于沙粒那样，是一颗一颗的，光则是一种连续的波动，如同水波一样，波光粼粼。从科学的角度看，电子和光也是大不相同的：粒子的运动符合牛顿力学，而电磁波（包括光）的运动规律则符合麦克斯韦的经典电磁理论的描述。
那么，黑体辐射又是什么呢？通俗地说，我们可以将黑体比喻为一块木炭，它在常温下黑黝黝的，但在高温的火炉里却会发出红色的光。黑体在不同温度下还会辐射出不同波长的光波，即显示出不同颜色。随着温度逐渐升高，它会变成暗红色，紧接着是更明亮的红色，然后是亮眼的金黄色，再后来，还可能呈现出蓝白色。
事实上，黑体辐射随处可见，包括人体在内的生物体辐射的光和电磁波，也可以看作是黑体辐射。
那物体为什么会辐射呢？这与物体中电子的随机热运动有关，加速运动的带电粒子能产生电磁波，黑体辐射即为光（电磁波）和物质达到热力学平衡态时表现出的一种现象。
所以，辐射遵从的规律关系到物质和光的本质。但是，当人们使用麦克斯韦的经典理论来处理黑体辐射时，却碰到了困难——理论与实验结果不一致。
是哪儿出了问题呢？物理学家试了各种方法，他们修改模型，提出假设，却都未能解决这个问题。经典力学和电磁场在它们各自的领域中用得好好的，为什么在这儿就不适用了呢？当年的经典物理大厦高高耸立，天空是一片晴好。但黑体辐射的难题却令物理学家们困惑不已，犹如蓝天一角遮住大厦的一小团乌云。
德国物理学家普朗克潜心研究黑体辐射问题。他使用的办法是量子化，为辐射设置了一段“楼梯”。在计算黑体辐射时，普朗克假设光波不是连续辐射出来的，而是一份一份地被辐射，每一份的能量与辐射光的频率υ成正比，可以写成频率乘以一个常数h，即能量=hυ。人们后来将h命名为普朗克常数。
引进了这个楼梯式的辐射能量后，普朗克得到了与实验数据完美吻合的结果，解决了黑体辐射问题，也为研究光与物质作用的其他难题开辟了新方向。虽然我们今天的叙述是这样的，但在当年普朗克提出“辐射能量量子化”的概念时，他的支持者并不多，普朗克自己也有些惶恐不安。因为普朗克实际上是个思想较为保守、循规蹈矩的人，并没有什么开辟新方向的野心，也许他提出量子化思想只是歪打正着而已。因此，普朗克仍然在反复尝试用能量连续的经典理论做黑体辐射的计算，希望不使用“量子”也能解决问题。不过，他努力了好几年，没有取得什么成果。
五年后，普朗克终于等来了量子化的支持者。当年还在瑞士的专利局当小雇员的爱因斯坦，看上了普朗克的这个新概念，并在1905年用这种方法成功地解释了光电效应。
光电效应是电子和光两大主角上演的节目。和黑体辐射不一样，光电效应中的光波不是被辐射出来，而是入射到物体表面被吸收。物体中的电子吸收了光波，能量增加，因而被激发，射出了物体表面。事实上，与光电效应有关的应用在日常生活中非常普遍，从广义上看，商店里可以感测有人靠近的自动门、房屋使用的太阳能电池、照相机中的感光器件等应用，都是利用类似光电效应的原理发明出来的。
也就是说，光电效应指光入射到物质表面激发电子逸出从而产生电流。于是，人们便自然地认为，入射光的强度越大，产生的电流也越大，但实验结果却并非如此。例如，在光照射金属电极产生电流的实验中，即使用很微弱的紫光，也能从金属表面打出电子，而如果你使用红光，尽管加大强度，也不能打出电子。换言之，光电效应的产生只取决于光的频率，与光的强度无关。
这个现象无法用麦克斯韦的电磁理论来解释。因为如果光被看作是一种具有连续能量的波的话，不管是紫光还是红光，只要入射的强度足够大，就应该能够激发出电子。
在这种情况下，爱因斯坦立刻想到了普朗克的量子假设，并在此基础上更上一层楼。爱因斯坦认为光波不仅仅是一份一份地被辐射出来的，而是在任何时候都是量子化的。光本来就由一个一个离散的“光量子”（即光子）组成，而不是人们原来所认为的“波”。与普朗克提出的黑体辐射类似，每个光子的能量等于hυ。其中υ是频率，h是普朗克常数。
尽管普朗克和爱因斯坦用“量子”的概念成功地解决了当时困扰人们的难题，但多数物理学家仍然对此半信半疑，因为仍有太多的疑问难以回答。
首先，光子的说法让人们再次回到了光是“粒子”还是“波”的古老问题。17世纪初，科学家笛卡儿认为光是某种机械波，之后牛顿提出光的“微粒说”，后来惠更斯则根据许多实验结果，认为光是一种波动。直到1864年，麦克斯韦确定光是电磁波，此后，人们一直相信光是具有反射、折射、衍射等性质的波，但现在怎么又回过头来，说光是一个一个光子组成的呢？
另一个问题在于，为什么物质在辐射光和吸收光的时候，都是采取“一份一份”的方式呢？为什么不是连续能量的方式？普朗克和爱因斯坦都没有回答这个问题。也就是说，他们只是使用了“楼梯”，却并未深挖“楼梯”的来龙去脉。直到1913年，28岁的玻尔提出了量子化的原子结构理论，给出了这个问题的答案。
玻尔生于丹麦的哥本哈根，在那里完成学业后前往英国，并得到一个机会师从卢瑟福做博士后研究。那时候，卢瑟福将原子类比于太阳系，提出“行星模型”［图1–2（a）］，却碰到了根本性的困难：在经典力学的框架下，这种行星结构将是不稳定的。图1-2 两种原子模型
受到普朗克和爱因斯坦的启发，善于接受新思想的玻尔灵机一动，将这种量子楼梯式的变化应用于卢瑟福模型。玻尔认为，原子中的电子轨道也是量子化的，原子中只可能有一个一个分离的轨道，图1–2（b）所示，每个轨道对应于一定的能量。因为电子只能从一个轨道跃迁至另一个轨道，所以，电子的能量不是可以连续而任意变化的，电子跃迁时释放和吸收的能量也因此无法连续变化，只能是“一份一份”的。
玻尔的原子理论在当时取得了巨大成功，迎来了10年左右的辉煌。它不但成功地解释了原子稳定性、原子光谱谱线等问题，还解释了光为什么是“一份一份”地被发射和吸收的。
与普朗克和爱因斯坦的理论一样，玻尔原子模型中电子轨道之间的能量差值也与普朗克常数有关，即跃迁能量等于hυ。其中υ是辐射（或吸收）光的频率，h为普朗克常数。
这下热闹了。越来越多的例子证明，在微观世界中，引入“一份一份”的量子化的概念，就能够得到与实验一致的计算结果，能够解释许多经典理论无法解释的实验事实。与此同时，一大批有志于理论物理的年轻学子也开始摩拳擦掌、跃跃欲试，纷纷建立各种模型，相继提出和发展了各种理论。量子力学理论成为那个时期最热门的研究课题，迎来了一个又一个诺贝尔物理学奖。
有趣的是，所有这些量子化“楼梯”的单级高度，都与普朗克常数h有关。也就是说，如果我们要用一个“数值”来代表微观世界的特点，即代表“量子”概念的话，普朗克常数h是最好的选择。普朗克发现的常数h，就像是希腊神话中潘多拉魔盒被打开后释放出的小妖精，再也收不回去了。而且，她还正准备在微观物理世界中，轰轰烈烈地大闹一场呢。微观世界中的妖精
当初，普朗克是为了限制辐射能量的最小值，假设了普朗克常数h。而后来，这个常数的出现成为量子理论适用范围的标志。黑体辐射、光电效应，以及玻尔原子模型，这些与实验密切相关的工作，使得“量子”这个名词横空出世，闪亮登场。
说到20世纪初的那一代物理学家，最令人瞩目的是他们提出重要发现时的年龄。新生事物往往是年轻人的专利。自古英雄出少年，当年的量子科学明星大多数是在自己20~30岁时，就对量子力学做出了杰出的贡献：爱因斯坦26岁时提出光量子假说，玻尔28岁提出原子结构理论，31岁的德布罗意提出德布罗意波，海森堡24岁创立矩阵力学，37岁的薛定谔建立薛定谔方程……在这群纷至沓来的青年科学家的努力下，量子力学逐步走向成熟。
我们说普朗克常数h是从潘多拉盒子中释放到量子世界且再也收不回去的小妖精，可它究竟是什么呢？它的数值和单位是：–342h=6.626×10m·kg/s
它的数值很小很小。这个代表“量子”旋转于微观世界中的小妖精，一百多年来带给物理学家们无限的惊喜，也带给人们无穷的困惑。
惊喜的原因不难理解：量子力学是一个异常成功又已经被广泛应用的理论。如今，所有的精密测量，以及化学、电子、材料等等研究及工业应用领域，都会涉及量子力学的结论。量子理论的计算结果与实验结果的吻合，达到了惊人的程度。美国物理学家费曼曾经比喻说，他的某个计算结果的精度，相当于如果你测量洛杉矶到纽约两点的距离，预言和实际结果之间的误差只有几十根头发丝直径之和那么小！
既然量子力学这么好，人们又为何感到困惑呢？
困惑来自对量子力学的解释和思考，即如何诠释量子力学的问题。微观世界中，小妖精h导致的量子化产生了许多奇怪的概念，物理学家们在解释这些概念时持有多种不同观点，至今仍然没有停止争论。
量子现象与我们日常生活中用经典牛顿理论能解释的现象迥然不同。我们感知到的日常生活中的现象以及人类本身，都是宏观的，物理学家正是在此基础上建立了牛顿经典力学以及经典电磁理论。然而，量子力学所描述的微观世界，可以说完全无法通过人类感官直接观测，比如，你能感觉到电流，但无法“直接”感知一个电子、质子；你能看到各种颜色的光，但看不到一个一个的光子。至于夸克等更深层次的概念，与我们的感官的距离就更加遥远了。也就是说，微观世界的小，使得我们人类已经不可能直观体验它，我们只能用某些实验方法间接地测量，以及用抽象的数学手段加以描绘。因此，微观现象不遵循我们常见的规律，我们无法用理解经典现象的方式来理解量子理论，这都情有可原。
不过，经典的科学研究方法教给了我们很多基本的科学法则，诸如实在性、客观性、确定性、决定论、因果律、局域性等等。物理学家也许能容忍微观世界中千奇百怪的量子现象，却未必能接受它们违反这些人们早已认同的哲学基本原则，也就是说，量子力学似乎颠覆了科学家们长期认可并引以为豪的世界观。当然，在研究微观现象中对这些原则中每一项的坚持或摒弃，是因人而异的，这也造就了物理学家们对量子力学的各种诠释，让量子理论成为学者们争论不休的根源。而在普通人眼中，量子现象则更是云雾缭绕了。
奠基量子力学的一代伟人释放出的这个小妖精h是如此之小，宏观世界的我们在日常生活中完全感觉不到它的存在。从表面上看起来，只有经典物理与我们息息相关。从科学的角度而言也是如此。虽然量子理论是更具普适性的理论，它既能用于微观，也能用于宏观，但在宏观尺度下，普朗克常数h的影响完全可以忽略不计，这时候的量子力学将被简化为我们熟知的经典理论。
有普朗克常数存在的微观世界，与感觉不到普朗克常数的宏观世界，究竟有什么不同？我们将在下一章详述这些内容。第2章量子的奇妙特性
量子理论与经典物理主要有哪些不同之处？这些关键概念的简要发展过程、来龙去脉如何？是否有实验支持？解释这些现象的主流理论是什么？让我们拨开迷雾，看看量子世界奇在何处，也窥视一下隐藏于这些奇异现象背后的物理本质。是粒子，还是波？
普朗克和爱因斯坦在解决黑体辐射、光电效应问题时，提出光的能量是一份一份的，也就是说，光是由许多“光子”组成的。但物理学家们又无法否定光是一种电磁波的事实，因为众多实验结果表明光具有散射、衍射、干涉等等波动特有的属性。为此，物理学家只能暂时承认：光既有粒子的特征，又有波的特征，称为“二象性”。
玻尔的原子模型将光子的发射与原子模型中的电子运动联系在一起。光有二象性，那么电子呢？电子在经典物理中被描述为粒子，它在微观世界中是否也可能具有“波动性”呢？尽管当时还没有任何相关的实验事实证实这一点，却也有物理学家产生了这类奇思妙想。
德布罗意是法国外交和政治世家布罗意公爵家族的后代，据说他天资过人、过目不忘。这位贵族家的公子哥儿原来主修历史，但后来发现物理学才是自己的兴趣所在，遂改行拜师法国物理学家朗之万研究量子力学。1924年，德布罗意写出了一篇令人惊叹的博士论文，标志着量子力学迈出了戏剧性的一步。他将光波“二象性”的观点扩展到电子等实物粒子上，提出了物质波的概念，给任何非零质量的粒子（比如电子）都赋予了一个与粒子动量成反比的“德布罗意波长”（λ=h/p）。对于这个波粒二象性的新观念，朗之万有些难以接受，因此他将论文寄给爱因斯坦征求意见。敏锐的爱因斯坦立刻意识到这篇论文的分量，他认为德布罗意“已经掀起了面纱的一角”。爱因斯坦的肯定奠定了波粒二象性在物理中的地位，也启发了另一位物理学家——薛定谔。薛定谔风流倜傥，据说当年是与女友在阿尔卑斯山度假时产生了科学灵感。他想，既然德布罗意提出电子具有波动性，那么，我们就可以给它建立一个波动方程。不久，薛定谔方程问世，开启了量子力学的新纪元。
图2–1的宏观圆柱体，也许可以帮助我们理解二象性。对于宏观世界的三维圆柱，使用不同的观测方法，我们可以看到不同的形状。从上往下俯视，我们观察到一个圆，而从右往左侧视，我们看到的却是一个方形。图2-1 圆柱体的“二象”
换言之，二象性就是说，我们从不同的角度观察事物会得到不同的结果。例如从不同的方向看向圆柱体，可能看到圆形，也可能看到方形。不管圆柱是圆的还是方的，我们都能够真真切切地看到三维空间中的圆柱，它是我们眼能见到、手能触摸的东西。然而，对于微观世界的电子（或光子），我们无法直接看到它们是什么样的，也看不到它们的运动规律。犹如盲人摸象一样，我们只能用各种不同的观测方式来间接探测它，在不同的环境下我们得到了不同的结果，它有时候表现为粒子性，有时候又显示出更多的波动性。
电子真的会表现出波动性吗？在德布罗意提出物质波概念后不久，1927年，美国物理学家戴维森与格尔默在实验室里发现了电子的衍射现象。另一位物理学家G. P. 汤姆孙也在几乎同时独立地发现了电子衍射现象，之后他们一起获得了1937年的诺贝尔物理学奖。
电子衍射现象的发现证实了物质波的存在，因此我们可以说，在经典物理中被描述为粒子的物体，在量子力学中可以表现出波动性。其实，波粒二象性是所有粒子的本质，只是宏观物体的尺度太大，令我们无法观测到波动性而已。在经典宏观理论中，电子只是粒子，动量为p；光仅仅是波，频率用υ表示。到了微观世界中，它们都被“小妖精”h附身，表现出了波粒二象性。
图2–2（c）所示的双缝电子干涉实验是电子波粒二象性极好的实验验证。
光波双缝实验的提出时间比量子理论的诞生还要早上100年。如图2–2（a）所示，通过挡板上双缝后的两条光线，在屏幕上形成了明暗相间的条纹，这被称为干涉现象。英国物理学家托马斯·杨用这个简单实验挑战了牛顿的微粒说，证明了光是一种波，因为只有波才有干涉现象：屏幕上的亮的地方是波峰与波峰叠加而成，暗处则是波峰与波谷叠加互相抵消而成。
经典粒子不是波，不会发生干涉。如图2–2（b），将一颗一颗的子弹射出并随机地通过双缝，打在屏幕上后只会形成两条线，不会形成干涉条纹。图2-2 双缝实验
既然德布罗意提出了物质波的概念，认为电子不仅仅是粒子，也是一种波，那么，电子经过双缝后将如何表现呢？1961年，德国蒂宾根大学的克劳斯·约恩松让电子通过双缝，结果观察到了电子的干涉现象，如图2–2（c）所示。后来的物理学家在实验中，将电子如同图2–2（b）的子弹那样，一粒一粒地发射出来，打到屏幕上，仍然观察到了干涉现象。因此，我们必须将电子当成一种波动，才能解释电子双缝实验的结果，因为只有波才会产生干涉现象。
2002年，在《物理世界》杂志评选出的十大经典物理实验中，“电子的杨氏双缝实验”位列第一。物理学家费曼认为，杨氏双缝电子干涉实验是量子力学的心脏，“包含了量子力学最深刻的奥秘”。
这个奥秘在这里的表现就是电子的二象性：同时既是粒子又是波。电子是粒子，它可以如子弹一样一颗一颗地发射，电子也是波，能和光波一样产生干涉。
在经典物理中，粒子和波是两种完全不同的物理现象，但在量子理论中，波粒二象性是所有微观粒子的基本属性，无论是原子、电子，还是光，都既是粒子又是波。子弹当然也有波动性，但其波长比它的宏观尺度小得多，所以我们在屏幕上不会观察到干涉条纹。波函数的迷雾
一个世纪以来，已经有许多实验证明了电子的波动性，这种波用薛定谔方程来描述，我们称之为波函数。
通过上一节的分析和比喻，波粒二象性似乎不难理解，德布罗意以一个简单公式（λ=h/p）就将波动性加到了电子身上。但仔细推敲一下，问题就来了。量子力学就是这样，用起来方便又精确，有严密的公式可供计算，但解释起来，麻烦就来了。
比如说，从我们的直觉来看，粒子和波的运动方式是完全不同的，经典物理也将两者分得很清楚：粒子就是粒子，波就是波。行星绕太阳转圈，在一定的轨道上运动，子弹射出枪膛后，按照抛物线到达目标，这种运动类似于粒子。另一方面，水波荡漾在水面上，太阳发出的光波照射到四面八方，弥漫于所有的三维空间，这是波。这两种方式的差异可以简单总结为一句话：粒子在运动时，在每个时刻只占据空间的一个点，而波在每个时刻都同时存在于空间所有的点上。那么，微观世界中的“电子波”是什么意思呢？难道电子会同时存在于空间所有的点上吗？这就令人觉得有些匪夷所思了。
以上的疑问实际上是对波函数的疑问：波函数到底是什么？
根据薛定谔方程，物理学家们能精确地计算出氢原子的能级和波函数，其结果得到了无数实验结果的支持。看起来，薛定谔方程在量子力学中扮演的角色已经类似于牛顿第二定律在经典力学中的角色。然而，牛顿经典力学曾经带给物理界一片晴空，薛定谔方程诞生之后，量子力学领域却远远没有万事大吉。反之，如今回望历史，薛定谔方程的诞生正是量子物理学家们迷惑和争论的开始，似乎一切都是波函数惹的祸。
解牛顿方程，可以得到粒子在空间中随时间变化的轨迹。这轨迹容易被人理解，即使看不见摸不着，大多数时候我们也能够在脑海中（或纸上）画出来。而从薛定谔方程解出的电子运动规律，却是一个弥漫于整个空间的“波函数”。这个波函数解释了实验，也发展了理论，但它到底是什么东西？怎样才能将它与人们脑海中的小球状电子的运动轨迹联系起来呢？
薛定谔自己就无法解释他引入的波函数。他曾经设想波函数代表了电子电荷在空间的密度分布，这个想法在计算中完全行不通，在直觉上更是令人感觉可笑，一个小小电子的电荷怎么会变得在整个空间到处都是呢？试想一下，世界上有数不清的电子，每一个电子的电荷都分布在各处，这样的世界才真是乱了套！
那段时间，有关波函数的解释令人们伤透了脑筋，终于有人提出了一个还算靠谱的假设，那是1926年玻恩给出的概率解释。他假设这个波函数的平方代表电子在空间某点出现的概率，也就是说，量子力学中的电子不像经典粒子那样有决定性的确定轨道，而是随机地出现于空间中某个点。不过，电子出现在特定位置的概率是一定的，是由确定性的方程解出的波函数决定的。也就是说，波函数是描述电子现身位置的“概率幅”。不少人支持这个想法，虽然薛定谔本人并不赞同这种统计或概率的解释。之后，随着量子力学的深入发展，波函数引发了更多的谜团，其中包括海森堡不确定性原理、波函数坍缩、量子测量的主观性、量子纠缠等等一系列量子诡异现象（后文会一一介绍），连爱因斯坦也坐不住了。物理学界的大咖们基本形成了两大派：以玻尔为代表的哥本哈根学派，以及以爱因斯坦、薛定谔等人为首的反对派。第4章中我们将介绍的爱因斯坦与玻尔的“量子世纪大战”，就是两派之间不同观点的争论。
实际上，爱因斯坦不可能反对量子力学本身，这是他一手创建且在他支持下发展起来的理论。爱因斯坦也不是不懂概率，只是不能接受哥本哈根学派对波函数的概率诠释。但他仅仅表明了立场，提出了几个思想实验作为反例，却没能自己创建出一个有建设性的、新的量子理论的框架和诠释。
另一方面，当时在玻尔领导下的一群与量子力学同龄的年轻人：玻恩、海森堡、泡利以及狄拉克等，他们组成的哥本哈根学派成为当时世界的量子研究中心，对量子力学的创立和发展做出了杰出贡献。玻尔等提出的哥本哈根诠释长期主宰物理学界，是被广为接受的主流观点。即使今后被别的诠释或理论所代替，哥本哈根学派及其诠释在量子力学的发展道路上也功不可没。
总之，围绕电子的这团波函数“迷雾”，以及这团迷雾所导致的学术纷争，直到今天依然存在，使得量子力学拥有种类繁多的不同诠释。在本书中，我们采用比较主流的哥本哈根诠释，基本上将波函数理解为概率分布。除此之外，常见的量子力学诠释还有多世界诠释、系综诠释、交易诠释等。薛定谔的猫
在经典物理中，粒子任何时刻的状态都是空间中一个固定的点。而量子力学中电子的运动，则要由弥漫于整个空间的波函数来描述。波函数不能准确确定电子的位置，某一时刻的电子，有可能位于空间中的任何一点，只是位于不同位置的概率不同而已。换言之，电子在这一时刻的状态，是由电子在所有固定点的状态按一定概率叠加而成的，或可称之为电子的量子“叠加态”。而每一个固定的点，可被认为是电子位置的“本征态”。
空间中有无穷多个点，便有无穷多个位置的本征态，电子状态是无穷多个本征态的叠加。但为了更方便地解释概念，我们要把问题尽量简化，因此我们假设，电子仅仅可能存在于两个固定位置A和B，那么电子的状态便是“A”和“B”的叠加。另外，量子态也不一定是位置的函数，例如我们可以考虑电子的自旋（后面将会介绍这一概念），那么就只有两种固定状态：上或下。为了简便起见，后文中谈到量子态时，均指仅有两个本征态的情况：A、B（或上、下）。
用自旋“上、下”的语言，我们可以详细解释一下什么是叠加态。根据我们的日常经验（即经典力学的经验），一个物体某一时刻只会处于某个固定的状态。比如我说，女儿现在在客厅，或者现在在房间。这表示，女儿要么在客厅，要么在房间，一定是这两种状态中的一种，表达得十分清楚。然而，在微观的量子世界中，情况却有所不同。微观粒子处于叠加状态，这种叠加状态是不确定的。例如，电子有“上”“下”两种自旋本征态，犹如女儿可以“在”和“不在”房间。但不同之处是，女儿只能“在”或“不在”，电子却可以同时是“上”和“下”。也就是说，电子既是“上”，又是“下”。电子的自旋状态是“上”和“下”按一定概率的叠加，例如自旋为“上”和自旋为“下”的概率各为50%，也可以是70%和30%、54%和46%等等，只需要满足归一化条件：两个概率相加等于1即可。
虽然本征态已经简化到只有“上”“下”两个，但可能存在的叠加态却仍然有无穷多，因为叠加态是本征态按概率的叠加，两个概率的组合可以有无穷多。两个本征态自身也是无穷多个叠加态中的两个特例——自旋为“上”的本征态可以看作自旋为“上”的概率为100%，为“下”的概率为0%，但这两个特例和无穷多的一般情况没法比，所以，一般来说，电子的状态都是叠加态。
如果将叠加态概念用于经典情形，就好比是说，女儿“既在客厅，又在房间”，这种在日常生活中听起来逻辑混乱的说法，却是量子力学中粒子所遵循的根本规律，不是很奇怪吗？聪明的读者会说：“女儿此刻是‘在客厅’还是‘在房间’，同时打开客厅和房间的门，看一眼就清楚了。电子自旋是上，还是下，测量一下不就知道了吗？”说得没错，但奇怪的是，当我们对电子的状态进行测量时，电子的叠加态就不复存在，它的自旋会坍缩到要么是“上”，要么是“下”，即两个本征状态的其中之一。在后面的“测量影响结果”一节中，我将专门介绍上述的波函数坍缩现象。不过，既然测量到的只是固定状态，听起来好像和我们日常生活经验差不多嘛！但是，在观测之前，量子物体与经典物体的状态在概念上就有着根本的不同。在经典情况下，即使父母不去看，女儿在客厅或房间是已成事实，并不以“看”或“不看”而转移；而微观电子就不一样了：它在被观察之前的状态并无定论，是“既朝上又朝下”的叠加状态，直到我们去测量它，叠加状态才坍缩成一个确定的本征态。这是微观世界中量子叠加态的奇妙之处。
叠加态是理解量子理论的关键，人们耳熟能详的“薛定谔的猫”，就是用来描述叠加态的经典比喻，这句短语背后究竟有怎样的典故呢？图2-3 薛定谔的思想实验
它是薛定谔想出的一个有关“猫”的思想实验，用以嘲笑哥本哈根学派对“波函数”概念的概率解释。以下是他的实验描述：把一只猫放进一个封闭的盒子里，盒子中有一个由放射性物质原子控制的装置和毒气设施。放射性是一种量子现象，因而有本质上的概率属性。设想这个原子的原子核有50%的可能性发生衰变，衰变时发射出一个粒子，然后，这个粒子会触发毒气设施，从而杀死这只猫。根据量子力学的原理，研究者未进行观察时，这个原子核处于已衰变和未衰变的叠加态，因此，这只可怜的猫应该相应地处于“死”和“活”的叠加态。猫非死非活，又死又活，处于不确定的状态，直到有人打开盒子观测才能有确定的结局。
实验中的猫，可类比为微观世界的电子（或原子）。在量子理论中，电子可以不处于一个固定的状态（上或下），而是同时处于两种状态的叠加（上和下）。如果把叠加态的概念用在猫身上的话，那就是说，处于叠加态的猫是半死半活、又死又活的。
量子理论认为：如果没有揭开盖子进行观察，薛定谔的猫的状态是“死”与“活”的叠加。没有人打开盒子进行观测的话，此猫将永远处于同时是死又是活的状态，这是严重违背我们日常经验的荒谬结果。薛定谔认为：一只猫，要么是死的，要么是活的，怎么可能不死不活、半死半活呢？尽管现实中的猫不可能又死又活，但电子的行为就是如此，这个思想实验使薛定谔站到了自己奠基的理论的对立面，因此有物理学家调侃地说道：“薛定谔不懂薛定谔方程！”
这个听起来似乎荒谬的物理思想实验，不仅在物理学方面极具意义，在哲学方面也引申出了很多的思考。有人如此解读“薛定谔的猫”：两个人在开始恋爱前，不知道结果是好或者不好，这时，可以将恋爱结果看成好与不好的混合叠加状态。如果你想知道结果，唯一的方法是去试试看，但是，只要你试过，你就已经改变了原来的结果了！不确定性原理
德国物理学家海森堡出生于1901年，与量子力学一起成长，后来成为哥本哈根学派的核心人物，也是玻尔最得力的助手之一。
在薛定谔推导出薛定谔方程之前，海森堡和同行们已经为量子力学建立了第一套数学体系：矩阵力学。之后，薛定谔证明，矩阵力学与薛定谔方程的波动力学两种描述在数学上是等效的。但物理学家们习惯于使用微分方程，因为那是他们在牛顿力学中驾轻就熟的东西，人们也喜欢直观的波函数图像，不喜欢矩阵力学枯燥乏味的数学运算。尽管波函数的物理意义不甚明了，但有了图像，概念才显得直观明晰，人们才能有所理解并发挥想象。于是，学者们兴高采烈地研究和应用薛定谔方程，将矩阵力学冷落在一旁。人们对矩阵力学的忽略，使海森堡颇为失落，并且对此耿耿于怀。因此，海森堡决心给自己的理论配上一幅更直观的图像。
在努力用图像来描述电子的运动轨迹的尝试中，海森堡发现电子的运动实际上并无轨迹可言。因为电子的位置与动量不可能同时被确定：位置的不确定性越小，动量的不确定性就越大，反之亦然。
海森堡由此提出了不确定性原理，他认为用位置、速度等瞬时变化的经典物理量来描述量子理论中粒子的运动状态是不合适的。海森堡的不确定性原理，实际上也受到了爱因斯坦“可观察物理量”思想的启发。爱因斯坦认为，一个完善的理论，必须以直接可观察的物理量为依据。但讽刺的是，海森堡受启发得到的结论却是爱因斯坦至死都不愿接受的不确定性原理。
不确定性原理是自然界的一个基本原则，是微观电子波动性的本质所决定的。波动性产生了数学方程中的一对“共轭变量”，对于每对共轭变量，我们无法同时准确测量它们，鱼和熊掌不可兼得，顾此而失彼。事物都是彼此制约、互相限制的，不确定性原理反映了自然界的这一本质。如此互相限制的共轭量（对）不仅限于位置和动量，其他诸如能量和时间、信号传输中的时间和频率等等，都是共轭变量对的例子。
海森堡是哥本哈根学派的重要成员。当年玻尔的弟子中人才辈出，海森堡的师弟兼好友泡利也是其中之一。泡利言辞犀利，为人刻薄挑剔，人称“上帝的鞭子”，但他观察细致、思想敏锐，往往能批判到对方物理概念中的关键之处。因此，同事们都很看重他的评论，并称他为“物理学的良知”。
泡利在1925年通过分析实验结果得到了不相容原理，这个原理成为原子物理学与分子物理学的基础理论，它促进了对化学基本理论的深入研究，为人类展示出一个变幻多端、奥妙无穷且应用范围极广的化学世界。上帝掷骰子吗
当年的年轻物理学家们对量子力学孜孜不倦的追求和杰出的贡献，令爱因斯坦颇为激动，然而，哥本哈根学派对量子现象的概率解释又让他皱紧了眉头。
电子的运动怎么可能是随机的呢？“上帝不掷骰子”，这是爱因斯坦重复多次的话，表明他不同意对量子力学的概率解释。爱因斯坦在这句话中所说的“上帝”，指的是大自然遵循的物理规律。以我们现在的眼光来看，爱因斯坦是经典的机械决定论者，机械决定论者认为世界在本质上不是随机的，是遵循着决定性的规律的。
按照经典力学的观点，如果我们抛出一块石头，只要我们准确掌握它飞出时上面的每个点的初始速度和受力情况，再求解宏观力学方程，就可以确定它掉下来时的位置和速度了。虽然涉及的变量很多，方程将会非常复杂，但这种计算在原则上总归是可能的。也就是说，经典物理认为，宇宙中不存在真正的随机性。那些貌似随机的现象，如果从更深一层的结构和理论来看或计算，都能得到决定性的结果。关于所谓“更深一层”的详细信息，我们可以把它们统称为我们不知道的、尚未发现的“隐变量”，一旦我们找出了这些隐藏着的变量，随机性就不存在了。或者说，经典物理认为，隐变量是随机性的来源。
然而，哥本哈根学派认为，量子理论中的不确定性与经典世界中的不确定性不一样。他们认为微观世界的不确定性并非来自知识或信息的欠缺，而是事物的内在本质。随机性是内在的、本质的，没有什么隐藏得更深的隐变量，有的只是“波函数坍缩”到某个本征态的概率。
爱因斯坦说“上帝不掷骰子”，实际上想表达的观点是世界的本质绝非随机的。爱因斯坦并非不懂概率，他只是固执地认为，自然规律表现出来的随机性只是表面的，电子波函数坍缩得到自旋为上的结果看似是随机得到的，其实早就被深层的“隐变量”预先决定了。
爱因斯坦已经逝世60多年了，虽然量子力学诠释的困扰仍然存在，但是科学家依然尚未找出支持爱因斯坦这句话的任何证据。恰恰相反，越来越多的实验事实似乎都在证实：上帝确实掷骰子。几十年后，英国物理学家霍金看着历年的实验记录，垂头丧气地说：“上帝不但掷骰子，他还把骰子掷到我们看不见的地方去了！”测量影响结果
提出不确定性原理的同时，海森堡也提出了哥本哈根学派的另一个核心观点——波函数坍缩，其目的是解释不确定性原理与量子测量的关系。
物理学所关注的只是可观察的事物，然而，观察需要通过测量来进行，但测量需要工具，对电子行为的测量免不了让电子与某种外界影响相互作用。这样，对电子的观察必然伴随着对电子运动的干扰，如图2–4所示。
对于经典测量行为，干扰的尺度远小于被测量物体的尺度，可以忽略。但进行量子测量时，被测量物体的尺寸太小，因此不能忽略测量干扰带来的影响，所以，微观世界需要遵循不确定性原理。图2-4 测量影响电子运动
一个具有一定动量的微观粒子的位置是不确定的，我们根本不知道它在哪里。一旦我们去看它，它瞬间就出现在某个位置，因而得到的是电子处于一个位置的确定结果。为了解释这个过程，海森堡引入了波函数坍缩的概念。海森堡说，在人观察的一瞬间，电子本来不确定位置的“波函数”一下子坍缩成某个确定位置的“波函数”了。这个概念之后又被数学家冯·诺伊曼推广，并纳入量子力学的数学公式表达体系中。
为了描述波函数，我们引入了量子叠加态的概念，电子的运动可以表示成不同的位置确定的态的叠加，也可表示成不同的速度确定的态的叠加。当观察者测量位置时，量子态就随机“坍缩”到一个具有明确位置的量子态；当观察者测量速度时，量子态就随机“坍缩”到一个具有明确速度的态，坍缩到某个态的概率与叠加系数有关。
也就是说，量子力学中用两种过程来描述电子的运动，一个是测量之前由薛定谔方程（或狄拉克方程）描述的波函数演化过程，是可逆的；另一个是测量导致的不可逆的“波函数坍缩”。前者被大多数人认同，后者属于哥本哈根诠释。甚至今天，波函数概念所引发的论题仍旧尚未获得令人满意的解答。据说当年玻尔自己也没有完全接受波函数坍缩的观点。
测量对结果的影响和“波函数坍缩”的说法，导致了一个哲学上的问题：测量是主观的吗？如何理解测量的本质？谁才能测量？只有“人”才能测量吗？测量和未测量的界限又在哪里？
哥本哈根学派有个说法：“任何一种基本量子现象只在其被记录之后才是一种现象。”这句绕口令式的话导致人们如此质问哥本哈根学派：难道月亮只有在我们回头望的时候才存在吗？但笔者认为，这个疑问实际上是对哥本哈根诠释的误解。
经典物理学从来都认为物理学的研究对象是独立于“观测手段”存在的客观世界，而哥本哈根学派对量子力学测量的解释，却似乎将观测者的主观因素也纳入了客观世界，两者无法分割。不过，认为在测量中主观客观难以分割，并不等于否定客观世界的存在。玻色子和费米子
电子等微观粒子的波动性，使得它不可能像经典粒子一样被准确“跟踪”，因而便不可能因不同的“轨道”而被互相区分。所以，量子力学认为同一种类的微观粒子是“全同”的、不可区分的，并称之为“全同粒子”。例如，电子和电子无法区分，质子和质子无法区分，光子和光子无法区分……当然，各类粒子之间，还是可以区分的，如电子和质子可以区分，起码它们的质量就大不相同。
全同粒子没有任何个体特征，就像一大堆完全一模一样的围棋棋子聚在一起一样。粒子多了就应该显现出某种统计规律，就好像随机抽一个班的学生测量身高，个子最高的学生和个子最矮的学生人数都比较少，而中等个子的学生人数较多。量子力学中的统计规律也与经典物理不一样。最典型的经典统计规律是麦克斯韦统计分布，它描述的是在理想气体中大量分子聚集在一起时的速率分布规律，即如图2–5所示的分布曲线。分布曲线所表示的是具有各种速率的粒子数，从麦克斯韦分布可看出，速率为0和速率最大的粒子数都不多，中间值速率的粒子数最多。图2-5 麦克斯韦分布曲线
量子力学中的统计规律有两种，由此可将全同粒子分类为玻色子和费米子。它们遵循不同的量子统计规律：玻色–爱因斯坦统计和费米–狄拉克统计。组成物质结构的质子、中子、电子等均为费米子，光子是玻色子。
不同微观粒子的不同统计性质，与它们不同的自旋量子数有关（后文会提到，自旋也是一个量子化的物理量，不同种类的粒子有不同的自旋量子数）。玻色子是自旋为整数的粒子，比如光子的自旋为1。另一类称为费米子的粒子，自旋为半整数，例如，电子的自旋是1/2，前文提到电子自旋可以取“朝上”和“朝下”两种状态，分别就对应+1/2和–1/2的自旋量子数。
两种统计规律不仅仅可以应用于基本粒子，也可以应用于复合粒子，比如夸克结合而成的质子、中子，及各类型的介子，以及由质子和中子结合而成的原子核等，都属于复合粒子。由奇数个费米子构成的复合粒子，也为费米子；而由偶数个费米子构成的复合粒子，则为玻色子。
多个玻色子可以同时占据同一个量子态，而两个费米子不能同时占据同一个量子态，这是玻色子与费米子之间一个很重要的区别。打个比方说，玻色子是一群好朋友，而费米子则是互相排斥的一个个“大侠”。如果有一伙玻色子去住旅馆，它们愿意共处一室，住一间大房间就够了；而如果一伙费米子去住旅馆，它们每人都需要一间独立的房间。
费米子的行为遵循的这一原则，就是前文所说的“泡利不相容原理”。电子遵循这一原理，在原子中分层排列，物理学家由此而解释了元素周期律，这个规律描述了物质化学性质与其原子结构的关系。
因为玻色子可以同居一室，所以有时大家会拼命挤到同一个状态。比如，光子就是一种玻色子，许多光子可以处于相同的能级，所以，在激光器中，我们才能让所有的光子都有相同频率、相位、前进方向，形成超高强度的光束。
如上所述的玻色子和费米子的不同统计行为，也是量子力学中最神秘的侧面之一！
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]