作者：曾峥,孙宇锋
出版社：广州暨南大学出版社有限责任公司
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岭南文化书系·韶文化研究丛书·利玛窦—中西数学文化交流的使者试读：
前言
在北京中华世纪坛的壁画上，雕刻着几千年来对中华文明做出过贡献的杰出人物。在100多位有名有姓的人物中，有两位外国人，一位是意大利旅行家马可·波罗；另一位是意大利传教士利玛窦。提起利玛窦，我们不应马上为他蒙上一层宗教的色彩，而应看到他对中西数学文化融合所做的杰出贡献。利玛窦率先将欧洲的数学、天文学、地理学、医学、机械学以及哲学、方法论等西方的科学与文化带到中国，因而被称为中西文化交流使者。利玛窦浮雕像
利玛窦（1552—1610年）原名马太奥·利奇（Matteo Ricci），1552年10月6日出生在意大利中部安科纳边境地区的马切拉塔城（Macerata）。父亲是一位药剂师，曾担任过教皇国里的市长，也曾代理意大利马尔凯大区的省长；母亲是家庭主妇。青年时代，利玛窦先是在罗马大学求学，1571年加入耶稣会，次年进入耶稣会开办的罗马学院学习神学、哲学和数学。1582年8月，利玛窦第一次踏上中国的土地——澳门，历经广东肇庆、广东韶州（今韶关市）、江西南昌、江苏南京等地，于1601年1月24日到达北京，随后被准许在北京居住。他在中国传教28年，直到1610年5月11日去世，终年58岁。
纵观利玛窦在中国的传教活动，大致涵盖了四个时期：肇庆期间是利玛窦传教生涯的拓荒时期；韶州期间是利玛窦“学术传教”的定型时期；南昌和南京期间是利玛窦在中国传教的成熟时期；北京期间是利玛窦传教政策的收获时期。而利玛窦对中西数学文化交流所采取的一系列重大举措正是在其传教活动的定型和收获期间完成的。
近几十年来，国内外学者在研究明末清初的那段中西文化交流史时，总是以赞许的态度对待利玛窦及他的同伴们，并且出版了大量的研究文献和专著。比如何兆武的《中西文化交流史论》、朱维铮的《走出中世纪》、黄一农的《两头蛇：明末清初的第一代天主教徒》、沈定平的《明清之际中西文化交流史——明代：调适与会通》、邓恩的《从利玛窦到汤若望——晚明的耶稣会传教士》、谢和耐的《明清间耶稣会士入华与中西汇通》等都阐述了中西文化交流的前因后果。
此外，一些关于利玛窦的传记，比如裴化行的《利玛窦神父传》、菲利浦·米尼尼的《利玛窦——凤凰阁》、史景迁的《利玛窦传——利玛窦的记忆秘宫》、林金水的《泰西儒士利玛窦》和《利玛窦与中国》以及利玛窦本人的《利玛窦中国札记》等都详细记录了利玛窦在中国传教和生活的史实。
这些学术著作多数从宗教学、政治学、哲学、伦理学等方面来讨论中西文化交流的过去、现在和将来，除了安国风的《欧几里得在中国：汉译〈几何原本〉的源流与影响》、田淼的《中国数学的西化历程》从社会文化、数学发展史的角度研究欧洲数学对中国近现代数学发展的影响外，鲜有从中西数学文化交流的角度来全面研究利玛窦的专著。
16世纪末，欧洲数学作为“异质”文化率先登陆中国广东，拉开了中西数学交流的序幕并影响了中国数学的发展轨迹，成为世界数学文化传播的典型案例。著名数学家丘成桐感慨“400多年前，被誉为‘沟通中西文化第一人’的利玛窦把现代数学引进了中国，而他就是在肇庆开始传播欧几里得《几何原本》等西方数学著作的。因此，从某种意义上说中国现代数学起源于肇庆”，我们认为这一观点是有一定的道理和根据的。利玛窦在广东居住期间，试图通过传播西方数学和其他科学文化来达到传教的目的，他介绍的西方数学对于中国传统数学来说拥有全新的概念和理论体系，他使中国人接受欧洲数学的过程对中国现代数学教育而言有重要的研究价值和借鉴价值，甚至高于其他科学。
1582年，利玛窦首次进入澳门；1583年，他被获准在广东肇庆居住及传教；1589年，他移居广东韶州直至1595年前往南京。粗略计算，利玛窦在广东省传教13年（包括在澳门的时间），占据了他在中国生活的近一半的时间。正是在广东的13年间，他第一次将欧洲的科学和文化传入中国，同时他还将自己潜心研究的儒家学说等中华文明介绍到欧洲，被后人誉为“沟通中西文化第一人”。利玛窦是一位博学多才的数学文化传播者，是他最早把西方数学知识系统地介绍到了中国。著名的《几何原本》第一卷就是在广东韶州翻译和传播的。从此以后，中国传统数学开启了西化的历程，也使得广东成为研究中国近现代数学发展史上不可或缺的一页。
利玛窦在广东所创造的数学文化传播与交流的“利玛窦模式”，也为他在中国发展天主教传教事业奠定了重要基础；利玛窦在广东传播的欧洲数学与中国传统数学融合后，使明末清初的中国传统数学逐步走上了近现代数学萌芽与发展的道路，他影响了一批中国数学家的成长，促进了中国近现代数学教育的发展。可以说，广东是中国近现代数学发展史和数学教育史的一个重要的起源地。
走出广东之后，利玛窦先后在南昌、南京等地生活和传教，直至到达最终的目的地——北京。那么，利玛窦在北京传播了哪些欧洲数学，又如何通过与中国古代数学的融合将这些知识延续到了现在？利玛窦是如何发现传播西方数学文化是其“学术传教”的有力工具的？他传播的数学知识是否当时欧洲最前沿的？他翻译数学名著《几何原本》前六卷的过程为什么一波三折？明清以来中国近现代数学发展过程中的转折点在哪里？在发展中国的传统数学文化、数学教育，开展科学文化的传播与交流方面取得过成就的典型人物有哪些？取得了什么成就？这些都是我们要重点研究的内容。
总之，利玛窦开创的欧洲数学文化在中国传播与交流的历程，对中国近现代数学和数学教育的发展都产生了巨大的影响。而随着我国国际地位的不断提高，中西文化必将在更加广阔的领域交流；而对此方面的研究将不会仅停留在学术层面，而是会触及全人类的社会生活、思想观念、意识形态、科学技术等方方面面。
本书将从数学文化与数学史的角度叙述利玛窦这位数学使者在中国的传奇经历，以及中国近现代数学由他引发的巨大变革。
本书是广东省哲学社会科学“十一五”规划项目“利玛窦对中国近现代数学发展的贡献（08GI－03）”的研究成果，是在项目组主要成员曾峥、孙宇锋、李明山、刘翠平以及顾问余三乐等人的研究基础上修改补充而成，而该规划项目已于2013年经专家组评审结项。在该课题研究和书稿撰写的过程中，得到了广东省哲学社会科学“十一五”规划项目基金、韶关学院、佛山科学技术学院、韶关学院数学与统计学院、韶关学院韶文化研究院、肇庆学院利玛窦与中西文化交流中心、韶关市市委宣传部、韶关市民族宗教局、韶关市外事侨务局以及韶关市城市建设档案馆的大力支持，在此谨表示衷心的感谢！
本书所引用的例证，源自国内众多专家和学者的著述以及互联网中的资料和图片，在这里不一一列出，特此致谢！若有不当之处，敬请不吝赐教，以期斧正。
本书承蒙暨南大学出版社大力支持并出版发行，此致真诚的谢意！曾峥 谨识2015年10月 第一章中国数学发展轨迹
在世界历史上的古老文化的演变过程中，古埃及、古巴比伦文化早已落下帷幕，无影无踪；古希腊、古罗马文化也已失去了光彩，风光不再；古印度文化屡遭破坏和摧残，今非昔比；唯独中华文明一枝独秀，虽跌宕起伏，但延绵不绝且代有高峰，真是令人敬畏和赞叹不已。
中国是世界四大文明古国之一，有着5000多年的悠久历史和灿烂文化。我们在讨论中西数学文化交流和汇通的时候，有必要对中国传统数学发展的脉络做一个简要的回顾。一、早期源流，文明古国写春秋
当人们说起辉煌的中华文明时，联想到的多数是政治、经济、历史、艺术、文学、天文和地理等方面的成就。比如，甲骨文、钟鼎文等汉字的形成过程，早期农作物的种植、牲畜的养殖等，而很少有人会去关心中国古代数学的生存状况和实际应用价值。虽然我们一直在不知不觉中使用着数学，比如丈量土地、观测天象等等，也知道学习数学的重要性，但是大多数人却并不清楚数学也是一种文化现象，也是人类文明的重要组成部分。
数学从古至今一直是形成文化的主要力量和重要因素，数学文化的发展足迹是伴随着人类历史文化走过来的。而中国古代数学及其思(1)想体系是一个“自生系统”（sui generis），由于与制定历法密切相关，因而对其研究起步较早，且多侧重于实际算法，其水平在当时亦居世界前列。
据记载，几百万年以前，中华大地上就有原始的人类生活。在传说中的女娲和伏羲时代以及大禹治水（约前2000年）的年代，我们的祖先就发明了最早的几何工具——“规”和“矩”。“规”就是圆规，用来画圆；“矩”就是有刻度的直角尺，短尺叫勾、长尺叫股，用来测量物品的长度。“规”和“矩”的使用是我国古代数学应用的一大特长，只用它们便基本上将有关圆、线、角的问题都解决了。其中“矩”不仅能用于测量，有时还能代替“规”，堪称万能工具。现在的“规”和“矩”已经合成为一种文化专用名词，“规矩”一词也转义为“一定的法则或习惯”或形容“行为端正、合乎标准或常理”。女娲和伏羲手执“规”和“矩”造像
有关“规”和“矩”的使用案例，在我国古代的历史典籍中多有论述。《史记》中记载大禹治水“左准绳、右规矩”，即大禹治理洪水时，必定望山川之形，用“规”和“矩”测量地势的高低；《孟子》中也记述有“离娄之明，公输子（鲁班）之巧，不以规矩，不能成方(2)员”。可见此时“规”和“矩”已经被广泛使用了。
公元前12世纪（商朝末年），我国出现了一本古老的著作《易经》（传周文王著）。这部讨论八卦的奇书，包含了二进制、排列组合的思想。其中的“在天成象，在地成形，变化见矣”一句，还有运动的观点，蕴含着辩证法的萌芽。在公元前7世纪，我国就出现了算筹并且有了算筹记数法，其四则运算的速度领先于罗马记数法。至春秋战国时期，还创立了用于筹算乘法的九九口诀表，“运筹如飞”也证明了算筹记数法的优越性。管仲像
公元前4世纪（战国时期），春秋时期著名的政治家、军事家管仲（约前705—前645年）著《管子》一书。书中包含了众多的中国古代的数学思想和数学知识，比如乘法口诀、分数和比例、指数的思想等。
在这一时期，我国还出现了另一部著作《墨经》，这部书由战国著名思想家、政治家墨子（前468—前376年）所作，可与同时期的欧几里得的《几何原本》相媲美。虽然《墨经》中的几何学不如《几何原本》的内容丰富、完善，但有些理论的定义、立论还是比较确切和精辟的。庄子像墨子像
稍晚一些出现的著作《庄子》（作者庄子，约前369—前286年）更是包含了众多的数学思想，其中最著名的当属“极限”的论断：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”这与阿基米德的“穷竭法”思想有异曲同工之处。
以上3部春秋战国时期的伟大的科学著作，已经注意到数学的社会功能，并在实践中加以应用。这些内容涉及天文、地理、军事、政治、经济、艺术等领域，都或多或少地反映了先秦时期我国数学的发展水平。二、高峰阶段，江山代有人才出
从公元前3世纪至公元14世纪，中国古代数学先后出现过4次发展高峰，即两汉时期、魏晋南北朝时期、隋唐时期和宋元时期。1．西汉、东汉数学
公元前206年，汉高祖刘邦推翻了秦朝的统治，于公元前202年建立了强大的西汉王朝。从西汉起，中国古代的科学体系、教育体系开始逐步形成，而古代数学体系的构建也在汉朝基本完成。
公元前200—公元前100年间，西汉无名氏作《周髀算经》一书，分为上、下两卷，有关数学知识的论述分别记载于上卷之一、之二。这部著作的主要数学成就是勾股定理、测量术和分数运算，其他成就包括天文知识和历法。《周髀算经》中的勾股定理及其证明
三国时期，东吴人赵爽（220—280年）注释了《周髀算经》，并首次完成了对勾股定理的理论证明。
公元前100年至公元100年，《九章算术》（原作者不详，且争议较大，一般认为是汉代张苍等辑撰）问世。这是我国古代最著名的数学典籍，从它出现至西方数学传入之前，《九章算术》一直是学习数学的首选教材，对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作用。《九章算术》记载了从先秦到东汉的数学成果，共提出246个数(3)学问题，并给出了相应的解法。全书分为九大类，分别是：（1）方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，包括三角形、梯形、圆、圆弧与环形等形状的面积的计算方法；（2）粟米：主要是粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题；（3）衰分：主要内容为比例，包括算术级数和几何级数的算法；（4）少广：主要讲开平方和开立方的方法；（5）商功：主要是用工量等工程数学问题，以体积的计算为主；（6）均输：税收计算方法，比如缴税的周期，按人口征税等；（7）盈不足：实质上是已知两点，求通过两点的直线方程；（8）方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现；（9）勾股：勾股定理的应用，主要讲直角三角形三边互求的问题。《九章算术》在解联立方程组、分数四则运算、正负数运算、几何图形的面积和体积计算等方面都提出了当时世界上先进的方法，但是原书只有解法而缺乏证明过程，并且在传抄的过程中，不可避免地出现了许多错误。
东汉末年，刘徽为《九章算术》做了注释，给出了解题的步骤和推导过程以及一些算法的证明，并纠正了原书中的一些错误。同时，刘徽在做注释的过程中，还做了很多创造性的工作，提出了不少超出原著的新理论。
至此，《九章算术》才得以享誉中外，成为一部较完美的中国古代数学教科书。《九章算术》的成书标志着世界数学研究中心从古希腊等地中海沿岸地区转到了中国，开创了以算法为中心的中国古代数(4)学占据世界数学舞台主导地位的局面，这种局面持续了两千年。《九章算术》及其注释2．魏晋南北朝数学刘徽像
公元220年，东汉灭亡，随之出现了三国鼎立的局面。后来，经过晋朝、宋、齐、梁、陈、北魏、北齐、北周等朝代，至公元589年隋朝建立，史称这段时期为魏晋南北朝时期。在此期间，中国古代数学的理论论证体系取得了较大的发展，最杰出的代表就是数学家刘徽和祖冲之。（1）刘徽是三国时期的魏国人（今山东省滨州市邹平县），生卒年不详，于公元263年著《九章算术注》一书，奠定了他在中国数学(5)史上的不朽地位。
刘徽的数学成果很多，“出入相补原理”、“割圆术”、“刘徽原理”（体积理论）、“海岛算经”都出自他之手。他在《九章算术注》中首次引入了逻辑环节，给出了数学概念的定义、公式和算法的证明，由此奠定了中国古代数学的理论基础。
他的主要著作有：《九章算术注》10卷、《海岛算经》1卷（原名为《重差》，是刘徽《九章算术注》中的第10卷。自南北朝后期以《海岛算经》为名单独发行，唐朝初期李淳风将《海岛算经》《九章算术》列到《算经十书》之中，作为古代国子监算学学习和考试用书之一）、《九章重差图》1卷、《鲁史欹器图》1卷等。其中《海岛算经》是一部运用几何和三角知识测量“可望而不可及目标”的数学著作。
刘徽是中国历史上最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他善于从实践中提炼出一般的数学原理，并解决了许多重大的理论性问题。他为我国古代数学在世界上取得了多个领先成果，如：最早提出了分数除法法则；最早给出最小公倍数的严格定义；最早应用小数；最早提出非平方数开方的近似值公式；最早提出负数的定义及加法法则；最早把比例和三数法则结合起来；最早提出一次方程的定义及其完整解法；最早创造出割圆术，计算出圆周率即“徽率”；最早用无穷分割法证明了圆锥的体积公式；最早创造“重差术”，解决了“可望而不可及目标”的测量问题。这10个方面，堪称10项“世界冠军”。
因此，刘徽的工作对中国古代数学的发展产生了深远影响。他做出的重要贡献，使得他在世界数学史上享有崇高的地位，当代数学史学家李迪也认为：“刘徽是中国历史上最伟大的数学家。”祖冲之像（2）祖冲之（429—500年），字文远，祖籍范阳郡遒县（今河北省涞源县），生长于建康（今江苏省南京市），是南北朝宋齐时期的著名数学家、天文学家。祖冲之一生致力于数学、天文历法和机械制造3个研究领域，“球的体积”的推导和“圆周率”的计算是他引以为荣的两大数学成就。他写的《缀术》一书，被收录到著名的《算经十书》中作为唐代国子监的算学课本，可惜后来失传了。《隋书·律历志》（唐李淳风撰）留下一小段关于圆周率“π”的记载。祖冲之算出的π的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到了小数点后第7位，简化成3.1415926，成为当时世界上最先进的成就。祖冲之还给出π的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到了小数点后第7位，而在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托发现。祖冲之还和他的儿子祖暅一起利用“牟合方盖”解决了球的体积的计算问题，得到了正确的球的体积公式。
此外，祖冲之还发现了祖氏原理“幂势既同，则积不容异”，这就是西方文献中的“卡瓦列里原理”（1635年由意大利数学家卡瓦列(6)里独立提出），对微积分的建立影响深远。
在魏晋南北朝时期，还有几部数学经典著作问世并流传至今，包括《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《五经算术》《张邱建算(7)经》《数术记遗》等。3．隋唐数学
公元589年，隋朝结束了魏晋南北朝300多年的分裂和战乱状况，在中国重新建立起了大一统的封建专制国家。然而，公元618年，隋朝又被唐朝所取代。在经历了“贞观之治”“开元盛世”之后，大唐成为当时世界上十分强盛和先进的国家。
在数学发展史上，隋唐期间并没有产生能够与魏晋南北朝和其后的宋元时期媲美的数学大师，但是在这段时间建立的数学教育制度和开展的数学典籍的整理工作却为宋元数学高峰的到来奠定了基础。
从隋唐开始，数学越来越多地被应用到了社会生活的方方面面。比如，负责编写历法的机构太史局（司天台）就需要大量有一定数学知识的官员，在必要的岗位上，还需要特别精通数学的官员。因此，隋唐时期创办了开展数学专门教育的机构并且形成了定制，也为宋元明清各朝代所遵守。
公元7世纪初，隋朝首先设立“国子监”作为主管教育的独立机构，之后又开设书学、算学和律学，将当时处于萌芽状态的“专科学校”列入“国立大学”之中，这使得“国子监”既是全国最高的教育行政机构，同时又是最高的学术研究机构和最高学府。其中设置算学“博士”（教师）2人，“助教”2人，学生80人，同时还制定了若干教学管理措施。
唐朝不仅继承了隋朝的数学教育制度，还在科举考试中开设了数学科目，即“明算科”。明文规定考试合格者也可以做官，不过官阶最低。公元656年，唐高宗下旨命李淳风（602—670年）等人对以前的10部数学著作进行整理和注疏，作为“国子监”的标准数学教科(8)书，史称《算经十书》。
李淳风在选定数学课本时，认为《周髀算经》（无名氏著）是最宝贵的数学遗产，而将它作为《算经十书》的第一本书；第二部便是《九章算术》（无名氏著）；其他8部分别是《海岛算经》（3世纪刘徽著）、《孙子算经》（约4—5世纪，作者不详）、《夏侯阳算经》（5世纪夏侯阳著）、《张邱建算经》（5世纪张邱建著）、《缀术》（5世纪祖冲之著）、《五曹算经》、《五经算术》（6世纪甄鸾著）、《缉古算经》（7世纪王孝通著）。后来《缀术》失传，只好用《数术记遗》（2世纪徐岳著、6世纪甄鸾注）来代替。
据《旧唐书·李淳风传》记载，李淳风生于隋仁寿二年（602年），岐州雍（今陕西省凤翔县）人氏。他从小被誉为“神童”，博览群书，尤擅长天文、地理、道学和阴阳之学。李淳风9岁时远赴河南南坨山静云观拜至元道长为师，17岁成为李世民的谋士并参与反隋兴唐大起义。公元618年，李渊称帝，封李世民为秦王，李淳风成为秦王府记室参军。唐贞观元年（627年），李淳风以将仕郎的身份直入太史局，执掌天文、地理、制历、修史之职40年。
李淳风主持编辑的《算经十书》作为标准的数学教科书，对唐朝的数学发展产生了巨大的影响，也为宋元时期数学的高度发达创造了条件。特别是唐朝的《韩延算术》、宋朝贾宪的《黄帝九章算法细草》、杨辉的《详解九章算法》、秦九韶的《数书九章》等都引用了《算经十书》中的问题，并在10部算经的基础上发展了新的数学理论和方法。后人对李淳风编定和注释的《算经十书》给予了很高的评价。英国的著名学者李约瑟博士就说过：“他大概是整个中国历史上最伟大的数学著作注释家。”刘焯像
隋唐数学在历法编算应用中，也取得了一些数学成就。公元6世纪末，刘焯（544—610年）编订了《皇极历》，在历法中首次进行太阳视差运动的日行不均匀性计算，创立了用三次差内插法来计算日月视差运动速度的交食计算，推算出五星运行位置和日食、月食的起运时刻，提出了等间距二次插值公式。这是中国历法史上的重大突破，这种“插值方法”在当时也是一项重大的数学成就，且与牛顿的二次(9)插值公式完全一致。僧一行像
唐玄宗开元十五年（727年），唐代杰出的天文学家僧一行（683—727年，俗名张遂）编成《大衍历》，把刘焯的“插值公式”推广成了更具优越性的自变量不等间距的内插法，并且在其中提出了含有三次差的近似内插公式。《大衍历》完成的同一年，僧一行不幸去世，年仅44岁。唐开元十七年（729年），《大衍历》颁布实行，并一直沿用达800年之久。《大衍历》作为当时世界上较为先进的历法，还相继传入日本、印度，极大地影响了这两个国家的历法编制。4．宋元数学
公元907年唐朝灭亡，在经历了短暂的“五代十国”动乱之后，公元960年，中国又进入了一个大一统的王朝时代——宋王朝。在数学史上，宋王朝和后来的元王朝成为中国古代数学的鼎盛时期，产生了众多的数学成就和数学大师。
在宋元时代（960—1368年），手工业如冶炼、纺织、陶瓷等都已初具规模，土木工程和水利工程也达到了较高的水平，商业和外贸比较兴旺，科学技术也很发达。古代四大发明中的两项——指南针和活字印刷术诞生于这一时期，生产和经济的发展对数学提出了新的课题和更高的要求。
从11世纪开始，古典的和新著的数学书的印刷本在全国各地流通，促进了数学教育的普及和数学研究的发展。印刷术有助于中国古代传统数学在宋元时代达到高峰，取得一系列世界一流的成果。这一时期，数学领域人才辈出，其中最著名的就是“宋元四大家”，即杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。开方作法本源图（1）1050年，北宋人贾宪撰《黄帝九章算法细草》，但遗憾的是原书已失传。南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》（1261年）中讲到“贾宪三角”（“开方作法本源图”，现称“杨辉三角”），比“帕斯卡三角”早了400多年。在这张“开方作法本源图”中，贾宪将左右斜线上的数字“一”分别称为“积数”和“隅算”，将这两行斜线数字中藏的数字称为“廉”，开几次方，就用相应行的廉。比如，第三行“二”是开平方的廉；第四行“三、三”是开三次方的廉；第五行“四、六、四”是开四次方的廉等等，这里的“积”“隅”“廉”都是中国古代开方术语。利用“贾宪三角”，贾宪、杨辉开创了适用于任何高次幂的“增乘开方法”。
到了13世纪中期，数学家们又用这个方法来求任何数字高次方程的正根，很多有实际意义的应用问题就得到了解答，“增乘开方法”也成为目前世界上有明确记载的最早的高次开方法。（2）1247年，南宋数学家秦九韶（1202—1261年）总结了自己长期研究所积累的数学知识和创造性的成果，写出了我国古代的传世名著《数书九章》。秦九韶像
秦九韶，字道古，普州安岳县（今隶属四川省资阳市）人。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学，从小就跟随父亲居住在杭州的府衙内，因而有机会向太史学习天文、历法，期间又热衷于向“隐君子”学习数学。宋绍定四年（1231年），秦九韶考中进士，先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官。公元1261年，秦九韶被贬至梅州，不久死于任内。《数书九章》共18卷约20万字，搜集了与当时社会生活密切相关的81个数学实际应用问题，按性质分为9类，每类9题。这9类是：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅和市易。其最重要的成就，除了“正负开方术”外，还有“大衍总数术”，即“中国剩余定理”，它代表了当时中国乃至中世纪世界数学的最高成就。美国哈佛大学科学史家萨顿（Sarton）曾对其做出极高的评价：“秦九韶是他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家(10)之一。”（3）李冶（1192—1279年）生活于元代初期，字仁卿，自号敬斋，祖籍真定府栾城县（今隶属河北省石家庄市）。李冶出生于大兴（今北京市大兴区），自幼聪敏，喜爱读书，曾在元氏县（今河北省元氏县）求学，对数学和文学都很感兴趣。《元朝名臣事略》中说：“公（指李冶）幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风。”
1230年，李冶在洛阳考中词赋科进士，任钧州（今河南省禹县）知事，两年之后，他定居于崞山（今山西省崞县）之桐川。此时，李冶已不再为官，而是将全部精力投入于他的科学研究工作之中，包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学。其中最有价值的工作是最先系统地对天元术（用专门的记号来表示未知数）进行了全面总结和阐述，并于1248年写成数学史上的不朽名著《测圆海镜》。
李冶是代数符号化的先驱，其代表作《测圆海镜》是我国现存最早的一部天元术著作，并且在体例上也有创新。全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需要的定义、定理、公式；后面各卷所述问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来，其研究对象是离生活较远而自成系统的“圆城图式”。《测圆海镜》
李冶的另一部著作《益古演段》则把天元术用于解决实际问题，全书有64题主要处理平面图形的面积问题，所求多为圆径、方边、周长之类。除4道题是一次方程外，其余全是二次方程的问题，内容安排基本上是从易到难。书中常用人们易懂的几何方法对天元术进行验证，对人们接受天元术大有禆益。《益古演段》的价值不仅在于普及了天元术，其在理论上也有创新。李冶善于用传统的出入相补原理及各种等量关系来减少题目中的未知数的个数，化多元问题为一元问题；并且李冶在解方程时采用了设辅助未知数的新方法，以简化运算。（4）朱世杰（1249—1314年），字汉卿，号松庭，燕山（今北京市）人氏，元代数学家、教育家。他长期从事数学研究和数学教育事业，“以数学名家周游湖海二十余年”“踵门而学者云集”。朱世杰在当时李冶“天元术”的基础上发展出“四元术”（也就是列出四元高次多项式方程以及消元求解的方法），此外他还创造出“垛积法”（即高阶等差数列的求和方法）与“招差术”（即高次内插法）。
朱世杰的数学代表作有《算学启蒙》（1299年在扬州刊刻）和《四元玉鉴》（1303年书成付梓）各3卷。《算学启蒙》共3卷，分为20门，收录了259个数学问题，由浅入深、循序渐进；从一位数的乘法开始，内容包括了各类乘除法歌诀、各类面积和体积以及算术问题；从分数运算、垛积法、盈不足术，一直讲到“天元术”，堪称一部通俗的数学名著。该书曾流传海外，促进了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》是朱世杰阐述自己研究成果的著作，共3卷，24(11)门，288个问题，大部分都与方程或方程组的求解相关，其中关于四元方程组的问题有7个，三元的有13个，二元的有36个。书中给出了多元高次方程组的消元方法，以及用正负开方术求解的方法。该书是中国宋元数学达到高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”“垛积法”“招差术”与高次招差法公式，比西方早了400年。
朱世杰对多元高次方程组解法、高阶等差级数求和、高次内插法进行了深入研究，在《四元玉鉴》中他讨论了多达四元的高次联立方程组解法、多项式的表达和运算以及消去法。这种方法已接近现代的代数学方法，在当时处于世界领先地位。
总之，在13世纪初，古希腊数学曾随阿拉伯的算学传入我国，其中的某些算法就出现在秦九韶的《数书九章》（1247年）中。元朝初期（1271年），我国已有了古希腊数学的阿拉伯文译本。但自元朝末期（1360年）开始，连年战争导致政权更迭频繁，使得中西方的文化交流被搁置下来。与此同时，中国古代传统数学的发展也骤然放缓甚至停滞，到明朝末年（17世纪上半叶）其整体水平已经大大落后于西方国家。三、明末清初，古今数学分界限
在经历了宋、元两朝这个数学极速发展的时期后，中国古代数学的发展脉络开始出现断裂。公元1368年，明太祖朱元璋在南京称帝，建立了明朝。自明代开始，欧洲逐渐步入资本主义社会，近代科学受生产力发展的刺激而持续发展起来，而中国科学的发展却因为政治、经济、社会环境等因素而逐渐停滞了。
在这一时期，中国较为知名的传统数学著作主要有：1450年，吴敬撰写的《九章算法比类大全》；1524年，王文素著成的42卷《新集通证古今算学宝鉴》；1533年，顾应祥所著《勾股算术》；1592年程大位撰成的17卷《直指算法统宗》（简称《算法统宗》），里面记载了使用珠算进行开平方和开立方的方法。至1644年，清朝取代明朝成为中国历史上最后一个封建王朝，也使得中国古代数学的发展经历了从传统数学的衰落到西方数学传入的特殊时期。吴敬像（1）吴敬（生活于15世纪，生卒年不详），字信民，号主一翁，浙江仁和（今浙江省杭州市）人。他曾任浙江布政使司的幕僚，掌管全省田赋和税收的会计工作，且以善算而闻名；街坊百姓“皆礼遇而信托之”，请他解决生活中的各种数学问题。明朝统治者曾下令严禁民间私自研习天文、历算等科目，因此，像《九章算术》之类的数学典籍，在明朝期间几乎失传。吴敬曾“历访《九章》全书，久未得见”，经过十余年努力，终于在景泰元年（1450年）撰写出了《九章算法比类大全》10卷，这代表了明朝初期数学发展的最高水平，对程大位撰写《算法统宗》以及明中叶以后的数学产生了重大影响，对中国古算术的普及和应用于生产、生活实践方面做出了重要贡献。（2）王文素（1465—1535年），字尚彬，山西汾州（今山西省汾阳市）人，出生于中小商人家庭。王文素自幼颖悟，受所处社会及家庭影响，涉猎诸子百家之典籍，尤长于算法。明嘉靖三年（1524年），王文素完成了《新集通证古今算学宝鉴》（简称《算学宝鉴》），这一数学巨著全书分12本42卷，近50万字；此外，王文素还著有算学诗文集12卷（共3册）。《算学宝鉴》是一部应用数学书籍，书中的例题均取材于现实生活，加、减、乘、除、开方等由简单到复杂的运算均是用珠算完成的，被称为“中国第一部珠算书”。该书著成后，一直缺乏资金出版，400年间也未见各收藏家及公私书目著录。20世纪30年代（民国年间），北平图书馆于旧书肆中购得其蓝格钞本6册（仅有的一个传世(12)钞本），现存于北京国家图书馆。正是由于这一偶然发现，今人才得知其是明代数学的代表作之一。（3）程大位的《算法统宗》也是一部十分重要的著作，代表着当时我国数学的最高水平，并且它流传长久、广泛和深入。清康熙五十五年（1716年），程家的后代子孙在《算法统宗》新刻本的序言中写道：自《算法统宗》一书于明万历壬辰（1592年）问世以后，“风行宇内，近今盖已百有数十余年。海内握算持筹之士，莫不家藏一编，若业制举者（考科举的人）之于四子书、五经义，翕然奉以为宗”，(13)这并不是故作吹嘘之辞。程大位像
程大位（1533—1606年）是中国明代数学家、珠算家，字汝思，号宾渠，安徽省休宁县（今隶属安徽省黄山市）人。程大位自幼喜欢数学，少年时随父亲外出经商，遨游吴楚，遍访名师，遇有“耆通数学者，辄造请问难，孜孜不倦”。他在商务往来中，感到传统筹码计数法不便使用，决心编撰一部简明实用的数学书以助世人。
程大位40岁时，倦于外游，便“归而覃思于率水之上，余二十年”，认真钻研数学古籍，绎其文义，审其成法，撷取各家之长，加上自己的心得体会，终于在明万历二十年（1592年）完成其杰作《算法统宗》17卷。六年之后（1598年），又对该书删繁就简，写成《算法纂要》4卷，成为后世民间学习数学的范本。《算法统宗》和《算法纂要》记载了古代流传的595道数学难题和解决方法，确立了珠算规则和算盘用法，完善了珠算口诀，堪称我国古代最完善的珠算经典之作，是中国珠算的里程碑。1600年左右，日本人毛利重能将其译成日文；清朝初期，该书又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著。李俨曾评价道：“在中国古代数学发展过程中，《算法统宗》是一部十分重要的著作。从流传的长久以及广泛和深入来讲，那时是任何其他数学著作不能相比的。”《算法统宗》的编成及其广泛流传，标志着由筹算到珠算这一转变的完成，程大位本人也因此被誉为“珠算一代宗师”。从那时起，算盘就成了中国主要的计算工具，古代的筹算逐渐被人遗忘以至于失(14)传了；再到后来，一般人只知有珠算而不知有筹算。这种情况一直持续到18世纪中叶，清朝学者们对古代数学进行深入研究后，才开始了解古代筹算演变为珠算的经过。
明朝以前，中国的传统数学在当时世界上还是比较先进的，然而到了明朝乃至清朝时期，却出现了发展后劲不足的问题。
首先，在远古时期，天文学和农业生产上的简单需求是数学发展最重要的源泉；而到了近代，力学则成为数学发展最直接的动力。然而在中国的近代时期，由于资本主义没有能够成长、壮大，因而没有形成大机器生产的环境和局面；此外中国的力学科学是零散的、处于经验探究阶段的，没有形成理论体系，始终在低水平上徘徊，没有大的突破。因此，中国也没有能够实现由农业社会走向工业社会的愿景。
其次，我国自古以来是一个农业大国，近代的农业社会已经无法给数学的发展提供强大的动力，而作为中国古代传统数学主要动力源的天文学，也因为农业与畜牧业时期所具备的天文知识足以使种植业与养殖业发展起来，达到了自给自足的状态而基本枯竭了，这在很大程度上也阻碍了中国古代传统数学的发展。
对于这种落后局面的形成原因，徐光启曾有十分精辟的分析。他在“刻《同文算指》序”中写道：
算术之学特废于近代数百年间耳，废之缘有二。其一为名理之儒士苴天下实事；其一为妖妄之术谬言数有神理，能知往藏来，靡所不效。卒于神者无一效，而实者亡一存，往昔圣人研以制世利用之大法，曾不能得之士大夫间，而术业政事，尽逊于古初远矣。
中国封建社会制度本身的弊病，造成了元末明初生产力极端落后的局面。明中叶以后，中国虽然出现了资本主义萌芽，但这株嫩芽在坚实的封建势力的摧残下不堪一击。封建统治者为了维护其受到多方面冲击的政权，一方面采取残酷的高压政策，另一方面捧出程朱理学和陆王心学作为麻醉人民思想的武器，以致当时许多儒生都是“不习六艺之文，不考百王之典，不综当代之务”。他们或者鄙视数学研究，或者认为数学是神秘莫测的东西。这不仅不能启迪人民的思想，反而(15)使国人越来越愚昧无知。
然而欧洲的情形则恰恰相反，随着资本主义制度的建立，劳动力得到充分解放，生产力空前发展，包括数学在内的整个近代自然科学也随之发展起来。所以说社会生产力的水平，决定着数学的发展水平。四、近代数学，中西融合举步艰
14世纪前后，欧洲受到了文艺复兴运动的冲击，这是一次从艺术领域扩展到科学领域的、思想空前解放的运动。从15世纪至16世纪，欧洲数学进入了复苏阶段。
1482年，拉丁文的《几何原本》首次被印刷出版；1545年，意大利学者卡尔达诺出版了《大术》一书，给出了三次和四次代数方程的一般解法，并用几何方法证明了其解法的正确性；1572年，意大利的邦贝利在他出版的《代数学》中引入了虚数，完全解决了三次代数方程的不可约问题，还改进了当时流行的代数符号（1580年），使得代数方程的求解成为16世纪欧洲数学的主流。克拉维乌斯像
以罗马学院（Collegio Romano）的数学教授克拉维乌斯（C．Clavius，1537—1612年，利玛窦的恩师，被称为“丁先生”）为代表的欧洲数学家们极力推崇古希腊的数学哲学思想和逻辑演绎方法，他们力图扭转神学家们秉持的“数学仅是一个外围学科，它远不如哲学或神学重要”的观点。
他们翻译和讲授古希腊的数学和哲学著作，极大地提高了数学在欧洲大学中的地位，并培养了大批数学和天文学的人才。数学在欧洲的重要地位也得到进一步确立，伽利略干脆认为“宇宙这本书是用数学的语言写成的”。
1574年，克拉维乌斯在罗马出版了欧几里得《几何原本》（15卷），它对中国的近代数学产生了巨大影响。绘画和制图刺激了透视学的兴起，从而诞生了射影几何学。而制图学的产生，使欧洲在1569年绘制了首张世界地图。此时的三角学也已经由球面三角学转向平面三角学，使三角学成了纯粹数学的一个独立分支。
而此时的中国古代传统数学经历了从西汉到宋元时期许多个世纪的高潮之后，至14世纪中叶便停滞不前，在明朝建立后的200年间，数学非但没有充分发展，连古代的数学成就都难以为继或几近失传。除了吴敬、王文素、顾应祥和程大位等人以及他们留下的著作之外，再也未能出现类似于《九章算术》和《四元玉鉴》的数学杰作与著名的数学大师。
明末清初，西方数学传入中国。在欧洲数学的冲击和影响下，中国的传统数学仍然步履蹒跚、顽强地出现过一段复兴高峰。以焦循（1763—1820年）、汪莱（1768—1813年）、李锐（1768—1817年）和阮元（1764—1849年）为代表的乾嘉学派，在倡导“兴复古学、昌明中法”的宗旨下，对我国2000多年以来的古代数学文献典籍，进行了大规模的挖掘、整理和总结，使我国丰富的数学文化遗产得以保存，奠定了数学继续发展的基础并为后人整理、阅读和利用提供了方便。
通过他们的辑佚、校勘与考证等工作，失传500年之久的古算术典籍《算经十书》，才得以重见天日。与此同时，乾嘉学派中的许多人也尝试对西方数学进行融会贯通。比如董佑诚（1791—1823年）的算学著作《割圜连比例图解》（1819年）、《堆垛求积术》、《椭圆求周术》和《斜弧三边求角补术》都留下了西方数学的痕迹。
至19世纪60年代的第二次鸦片战争，西方数学文化再次进入中国，使我国传统数学的步伐终于与世界数学合拍，赶上了世界近代数学的末班车。
因此，1582年意大利传教士利玛窦来到澳门，将西方数学文化和科学技术传入中国并不是一个偶然的事件，它已经成为中国数学历史发展的必然因素。
(1) 陈俊民：《“理学”、“天学”之间——论晚明士大夫与传教士“会通中西”之哲学深意（上）》，《中国哲学史》2004年第1期，第16～26页。
(2) 梁宗巨、王青建、孙宏安：《世界数学通史》（下），沈阳：辽宁教育出版社2001年版，第34页。
(3) （汉）张苍等辑撰，曾海龙译解：《九章算术》，南京：江苏人民出版社2011年版，第2页。
(4) 吴文俊主编：《世界著名数学家传记》（上），北京：科学出版社1995年版，第190页。
(5) 《隋书·律历志》记载：“魏陈留王景元四年（263年），刘徽注《九章》。”
(6) 李文林：《数学史概论》（第3版），北京：高等教育出版社2011年版，第89页。
(7) 梁宗巨、王青建、孙宏安：《世界数学通史》（下），沈阳：辽宁教育出版社2001年版，第265页。
(8) 李文林：《数学史概论》（第3版），北京：高等教育出版社2011年版，第89页。
(9) 梁宗巨、王青建、孙宏安：《世界数学通史》（下），沈阳：辽宁教育出版社2001年版，第306页。
(10) 梁宗巨、王青建、孙宏安：《世界数学通史》（下），沈阳：辽宁教育出版社2001年版，第344页。
(11) 吴文俊主编：《世界著名数学家传记》（上），北京：科学出版社1995年版，第354页。
(12) 李迪：《中国数学通史·明清卷》，南京：江苏教育出版社2004年版，第29页。
(13) 杜石然：《数学·历史·社会》，沈阳：辽宁教育出版社2003年版，第180页。
(14) 杜石然：《数学·历史·社会》，沈阳：辽宁教育出版社2003年版，第180页。
(15) 梅荣照：《明代以后中国传统数学落后的原因》，《中国科技史料》1981年第4期，第13～18页。 第二章利玛窦携数学东来
中国传统数学到16世纪中叶（明王朝后期）时，由于西方天主教耶稣会传教士的意外协助而加快了近代化的步伐。
著名数学家丘成桐先生一语惊人，提出了“中国现代数学起源于肇庆”的重要命题，我们认为这一观点是有一定的道理和根据的。这要归功于一位耶稣会传教士，他为了能在中国顺利传教而向中国人输入了许多西方数学知识，而这些内容对中国传统数学来说具有全新的概念和理论体系，他就是“数学文化传播使者”——利玛窦。
利玛窦原名Matteo Ricci，中文直译为马太奥·利奇。“利玛窦”是他自己起的中国化的名字，他还给自己起了几个中国化的号“西泰”“清泰”“西江”等。利玛窦是意大利马切拉塔人，天主教耶稣会意大利籍神父、传教士。他到中国传教后，一直没有回国，死后被安葬于北京。马切拉塔城的古地图与现代风光
16世纪的马切拉塔是意大利中部马尔凯大区马切拉塔省的省会，这座美丽的城市属于典型的丘陵地貌，位于波坦察河与基恩蒂河之间的平行河谷的山巅，海拔315米。它东临亚得里亚海，北邻著名的水城威尼斯，西北面是历史文化名城佛罗伦萨。由于受亚得里亚海和亚平宁山脉的影响，马切拉塔冬季多雨，气候属地中海式大陆气候。1552年10月6日，利玛窦出生于此地。利奇家族族徽
利玛窦的家族有着数百年的贵族血统，是意大利马切拉塔城的第三望族，其族徽由红、蓝色背景及一只刺猬（ricci）构成。
利奇家族的许多成员都曾在市政府担任公职，有些人甚至在罗马教廷担任要职。利玛窦的父亲乔万尼·巴蒂斯塔·利奇是一位药剂师，也是一位成功的商人，并且热衷于地方行政事务，而母亲乔万娜·安乔莱利则是个虔诚的天主教徒和家庭主妇。利玛窦故居
在利玛窦3岁时，他的父亲乔万尼·巴蒂斯塔·利奇担任市政府执行官（教皇国市长）；4年之后，他放弃了执行官职位，承包管理了一家市立银行，并且在市中心广场附近经营着一家药铺，以便赚钱养(1)活人口众多的大家庭。各项生意还不错，但全家的生活并不富裕。
利玛窦是家中的长子，他有4个妹妹和8个弟弟。其中一个弟弟安东尼奥·玛利亚（Antonio Maria）后来成为马切拉塔教堂的神父，另一个弟弟奥拉奇奥（Ora-zio）后来在市政府身居要职。
利玛窦出生后由奶奶照顾，与奶奶在一起的时间比跟母亲在一起的时间还要多；5岁那年，父母就将他交托到圣主堂的幼儿院，让他跟着启蒙老师尼古拉·塞伦盖利神父学习直到7岁。利玛窦的父亲希望他将来子承父业，因此，他从小就在父亲的药铺帮忙打杂，顺便也学习了许多医药学方面的知识。
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