作者：何晓波
出版社：四川大学出版社
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数学家的故事试读：
写在前面的话
人类社会之所以薪火相传、绵延不绝并不断走向辉煌，一个重要的原因就是人类对与自己相关的一切都怀有浓厚的兴趣，并且愿意孜孜不倦地去探究、发现与创造。在认识、改造、创新世界的同时，人类也认识、改造、创新了自己。在这个充满了刺激与浪漫的过程中，那些不断闪烁着智慧光辉的名字更是推进世界进步的重要力量。没有他们，这个世界是不可想象的。这些分布在政治、经济、军事、科学技术等各个领域的精英们用他们的道德力量、学术魅力和无限的创造力撤除着时空的藩篱，召唤着我们的灵魂，涤荡着我们的心泉。
走近他们，认识他们，亲近他们，在时空的轴上与他们对话，从他们创造的精神财富中汲取养分，获得创造的力量，在润泽、养育精神世界的同时，激励我们认识世界的勇气及提升改造世界的能力，担起我们成为后来者的责任。
虽然编辑的是这样一本小册子，但我们却不敢掉以轻心，犹如生怕损坏了一个个精致的艺术品，因而总是怀着一份虔诚，一份感激，一份小心，犹如绣花一般，做着这样一件意义重大的事。
希望读者能够在阅读这些故事的时候产生与我们一样的感受！编者2015年5月3日
数学名言
写给那些喜欢数学和不喜欢数学的人们写给那些了解数学家和不了解数学家的人们历史使人贤明，诗歌使人高雅，数学使人高尚，哲学使人深沉，道德使人稳重。——培根
在数学的领域中，提出问题的艺术比解决问题的艺术更为重要。——康托尔
数学知识对于我们来说，其价值不只是由于它是一种有力的工具，同时还在于数学自身的完美。在数学内部或外部的展开中，我们看到了最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级的智能活力的美学体现。——普林斯海姆
哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。……又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。——柏拉图
一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。——马克思
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。——毕达哥拉斯
数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏得极深，数学是科学之王。——高斯第一部分中国古代数学家的故事一、刘徽
提示语：古代最伟大的数学家 《九章算术注》 割圆术 刘徽原理
刘徽（约225—295），根据《宋史·算学祀典》及有关史料推定，刘徽的籍贯是淄乡，属今山东邹平县。他是中国数学史上一位最伟大的数学家，也是公元三世纪世界上最杰出的数学家。他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。资料链接：《海岛算经》是中国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础。
刘徽的主要数学贡献有：发展了传统的率概念和齐同原理，指出它们是“算之纲纪”，至今对改革中小学数学教材有指导意义；在世界数学史上首创极限思想和无穷小分割方法，并严格证明了《九章算术》提出的圆面积公式和自己提出的刘徽原理，将多面体体积理论建立在无穷小分割之上；在中国首创求圆周率的科学方法，奠定了中国圆周率近似值的计算领先世界千余年的基础；以演绎逻辑为主，全面论证《九章算术》的算法，奠定中国传统数学的理论基础，建立中国传统数学的理论体系。刘徽逻辑之严谨，所达到的高度，在中国古代无居其右者。刘徽及其《九章算术注》
为了更好地了解刘徽，首先简要说一下《九章算术》。《九章算术》不是一人一时编撰的，在现存资料中，最准确也是最早谈到《九章算术》编纂的是刘徽。他认为，《九章算术》是由《周礼》“九数”发展起来的，在秦末战乱中散坏。西汉张苍（前256—前152）、耿寿昌（公元前1世纪）搜集残简，加以删补，编定《九章算术》。《九章算术》分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。其分数四则运算法则、盈不足术、开方法则、线性方程组解法、正负数加减法则和各种解勾股形方法等一系列数学成就超世界其他各国几个世纪甚至上千年。《九章算术》成书之时，正值古希腊数学越过高峰，走向衰替之际。《九章算术》的问世标志着中国及后来的印度、阿拉伯地区取代古希腊成为世界数学研究的重心，也标志着世界数学从以《几何原本》为代表的研究空间形式为主，转变为以研究数量关系为主，标志着数学机械化算法体系取代数学公理化演绎体系成为世界数学发展中的主流。《九章算术》与《几何原本》像两颗璀璨的明珠，在古代的东西方辉映。
但是《九章算术》也有不容忽视的缺点，即没有定义、推导和证明，分类亦不合理，有的内容与章名不相称。这就为刘徽在数学理论上做出贡献留下了空间。《九章算术注》原十卷，第十卷“重差”系自撰，因第一问是测望一个海岛（原型可能是泰山）的高、远，后来以《海岛算经》为名单行。圆面积公式的证明及求圆周率程序《九章算术》提出圆面积公式：“术曰：半周半径相乘得积步。”刘徽使用极限思想和无穷小分割方法证明这个公式。他首先从圆内接正6边形开始割圆，逐步得到正12、24、48……边形。圆内接正多边形的面积当然都小于圆面积，但无限分割下去，到“不可割”的时候，圆内接正多边形就与圆完全“合体”。然后，刘徽说：“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。”这是说，将与圆合体的正无穷多边形分割成以圆心为顶点，构成每边为底的无穷多个小等腰三角形，这些小等腰三角形的高与其底的乘积是其面积的2倍，将它们全部相加就是2个圆面积。而所有这些小等腰三角形的底边之和即是圆的周长，那么，一个圆的面积就是圆周长的一半乘半径。这便证明了《九章算术》的圆面积公式。（如图1-1所示）图1-1
刘徽说《九章算术》公式中的周、径，“谓至然之数”，这就是圆周率。刘徽仍从直径为2尺的圆的内接正6边形开始割圆，利用勾股定理，计算出各多边形的边长以及正192边形的面积的整数部分314寸2分作为圆面积的近似值，代入刚刚证明了的圆面积公式，反求出圆周长的近似值6尺2寸8分。“令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十”，相当于3.14。刘徽原理
近代数学大师高斯曾提出一个猜想：多面体体积的解决不借助于无穷小分割是不是不可能的？这一猜想构成了著名的希尔伯特《数学问题》（1900）第三问题的基础。实际上，早在高斯前1500多年，刘徽在证明刘徽原理时，就接触了高斯猜想和希尔伯特第三问题。
原来，中国古代在多面体分割中，一个长方体沿相对两棱剖开，得到两个楔形体，叫作堑堵。一个堑堵从一个顶点到底面一边剖开，得到一个锥体，其高的垂足在底面的一角上，叫作阳马；剩下的是四面皆为勾股形的四面体，叫作鳖腝。为了证明《九章算术》的阳马和鳖腝的体积公式，刘徽提出了一个重要原理：“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖腝。阳马居二，鳖腝居一，不易之率也。”（如图1-2所示）刘徽使用极限思想和无穷小分割方法证明了这个原理。图1-2
刘徽原理是其多面体体积理论的基础，表明刘徽把多面体体积理论建立在无穷小分割基础上的思想，与现代数学的体积理论惊人地一致。
学术界的主流看法是中国传统数学没有理论，主要是指没有演绎推理。事实上，只要读懂刘徽注就会发现，他在数学命题的证明中主要使用了演绎推理，其中有三段论、关系推理、假言推理、选言推理、联言推理、二难推理等演绎逻辑中最重要的推理形式。比如盈不足术刘徽注云：“注云若两设有分者，齐其子，同其母。此问两设俱见零分，故齐其子，同其母。”这个推理完全符合三段论第一格的AAA式的规则。
刘徽注中甚至还有数学归纳法的雏形，比如关于刘徽原理的证明。刘徽首先通过第一次分割证明了在整个堑堵的四分之三中阳马与鳖腝的体积之比为2:1。这相当于在n=1时，刘徽原理在堑堵的四分之三中成立。刘徽认为第一次分割可以无限递推，然后他说：“按余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之，置余广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也。半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？”这相当于设n=k时，刘徽原理成立，则当n=k+1时刘徽原理成立，那么在整个堑堵中刘徽原理是成立的。总之，刘徽注使用了演绎推理，因此刘徽注大部分是真正的数学证明。二、赵爽
提示语：《周髀算经注》 勾股定理
赵爽又名婴，字君卿，三国时吴国人，另一说魏晋人或汉人，籍贯、生卒年不详，约生活于公元3世纪初，我国历史上著名的数学家、天文学家。
据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦22222实。”即2ab+（b-a）=c，化简便得a+b=c。
其基本思想是，图形经过割补后，面积不变。刘徽在注释《九章算术》时将其更明确地概括为出入相补原理，这是后世演段术的基础。赵爽在注文中证明了勾股形三边及其和、差关系的24个命题。他还研究了二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，并得到二次方程求根公式之一。此外，赵爽在乘除时应用了“齐同术”这一方法，还在“旧高图论”中给出重差术的证明。赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响。
赵爽自称负薪余日，研究《周髀算经》，遂为之作注，可见是一个未脱离体力劳动的天文学家。一般认为，《周髀算经》成书于公元前100年左右，是一部引用分数运算及勾股定理等数学方法阐述盖天说的天文学著作。而大约同时成书的《九章算术》则明确提出了勾股定理以及某些解勾股形问题。赵爽《周髀算经注》逐段解释了《周髀算经》经文，而最为精彩的是附录于首章的勾股圆方图，短短500余字，概括了自《周髀算经注》《九章算术》以来中国人关于勾股算术的成就。图1-3
赵爽为了证明勾股定理，创制了“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1-3所示）。图1-3（1）是由八个全等的直角三角形（直角三角形三边分别计作abc）拼接而成。图1-3（2）中正方形ABCD，123正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S，S，S，若1232S+S+S=10，则S的值是____。222123
解析：由题意可知，S=（a+b），S=c，S=（b-a）。又由1232S+S+S=10，易得：S的值是。
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，有十分悠久的历史。两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的实际生活，以至于古往今来，下至平民百姓，上至国家元首都愿意探讨和研究它。赵爽的证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。同学们通过解此题，可以进一步体验形数统一的思想方法，再一次经历认识勾股定理的数学化过程。我们在受到优秀文化熏陶的同时，也传承了中华民族悠悠五千年的文化史。三、祖冲之
提示语：圆周率 《缀术》 《大明历》
祖冲之（429—500）是南北朝时期杰出的数学家和天文学家，字文远，祖籍范阳逎县（今河北涞水），先世迁居江南。父祖皆谙熟天算，学识渊博，为时人所敬重。祖冲之少传家业，青年时代入华林学省，从事学术研究。此后，历仕刘宋、南齐，官至长水校尉。他在数学、天文历法、机械制造等方面都有重大的成就。
在数学方面，祖冲之推算出圆周率π的不足近似值（朒数）3.1415926和过剩近似值（盈数）3.1415927，指出π的真值在朒、盈两限之间，即3.1415926＜π＜3.1415927，并用以校算新莽嘉量（西汉时期铜器）斛的容积。这个圆周率值是当时世界上最先进的数学成就，直到15世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西（Al-kāshī）和16世纪法国数学家韦达（Francois Viete，1540—1603）才得到更精确的结果。祖冲之还确定了两个分数形式的圆周率值，即约率π=22/7（≈3.14），密率π=355/113（≈3.1415929），其中，密率是在分母小于1000条件下圆周率的最佳近似分数。密率为祖冲之首创，直到16世纪才被德国数学家奥托（1550—1605）和荷兰工程师安托尼兹（1543—1620）重新得到。在西方数学史上，这个圆周率值常被称为“安托尼兹率”。祖冲之和其子祖暅，在刘徽工作的基础上利用“牟合方盖”（底径相等的两圆柱直交之公共部分）圆满解决了球体积计算的问题。
祖冲之在推算过程中提出了“幂势既同，则积不容异（二立体等高处截面积恒相等，则二立体体积相等）”原理。这个原理，直到17世纪才为意大利数学家卡瓦列利（1598—1647）重新提出，而被称为“卡瓦列利原理”，中国现在一般称为“祖暅公理”。据《隋书·律历志》记载，祖冲之对于二次方程和三次方程也有所研究。他所著的《缀术》一书，是著名的《算经十书》之一，曾被唐代国子监和朝鲜、日本用做算学课本，惜已失传。
在天文历法方面，祖冲之在长期观测、精确计算和对历史文献深入研究的基础上，创制了《大明历》。他最早把岁差引进历法，提高了历法的精确性，这是中国历法史上的重大进步。他还采用了391年有144个闰月的新闰周，突破了沿袭很久的19年7闰的传统方法。《大明历》中使用的数据，大多依据长期实测的结果，因而相当精确。按照祖冲之的数据计算，一个回归年的日数为365.24281481平太阳日。一个交点月的日数为27.21223平太阳日，关于木星（当时称岁星）每84年超辰一次的结论，相当于求出木星公转周期为11.858年。这些都非常接近现在的观测数值。他所推算的五大行星会合周期也是当时最好的结果。他还发明了用圭表测量冬至前后若干天的正午太阳影长以定冬至时刻的方法。这个方法也为后世长期采用。宋孝武帝大明六年（462），祖冲之上书刘宋朝廷，请求颁行《大明历》，但遭到皇帝宠臣戴法兴的反对。戴法兴指责引进岁差和改革闰周等违背了儒家经典，是“诬天背经”。祖冲之据理力争，针锋相对地写了一篇辩驳的奏章。他表示“愿闻显据，以核理实”，并引用历史文献和天象观测的大量事实，逐条批驳了戴法兴的论点。他明确指出天体运行“有形可检，有数可推”，是有规律的。科学在不断进步，人们不能“信古而疑今”。这些都充分体现了一位科学家坚持真理、革旧创新的可贵精神。但是，祖冲之生前《大明历》仍未能颁行。后经祖暅三次上书朝廷，推荐《大明历》，终于在梁武帝天监九年（510）被采用颁行。前后行用八十年，对后世历家产生了重要的影响。
祖冲之是一位博学多才的科学家和发明家，对于机械原理也很有研究。他曾设计制造水碓磨（利用水力加工粮食的工具）、铜制机件传动的指南车、一天能走百里的“千里船”和“木牛流马”等水陆运输工具，还设计制造过漏壶（古代计时器）和巧妙的欹器，并精通音律。他的著述很多，《隋书·经籍志》著录有《长水校尉祖冲之集》五十一卷，散见于各种史籍记载的有《缀术》《九章算术注》《大明历》《驳戴法兴奏章》《安边论》《述异记》《易老庄义》《论语孝经释》等。其中大部分已失传，现在仅能见到《上大明历表》《大明历》《驳戴法兴奏章》《开立圆术》等有限的几篇。其子祖暅、孙祖皓也都是南朝有名的天文学家和数学家。
为了纪念和表彰祖冲之在科学上的卓越贡献，人们建议把密率355/113称为“祖率”，紫金山天文台已把该台发现的一颗小行星命名为“祖冲之”，在月球背面也已有了以祖冲之名字命名的环形山。四、沈括
提示语：隙积术 会圆术 《梦溪笔谈》
沈括（1031—1095），字存中，浙江钱塘（今杭州市）人。
北宋天圣九年（1031），沈括出生于浙江杭州的一个封建官僚家庭，可家境并不富裕，常自谓“出自寒门”。母亲徐氏，是苏州吴县（今江苏苏州）人，知书达礼，谙通文墨；父亲沈周，为官清正，不主张严刑苛法，到泉州任职时，沈括随往。
1051年冬，沈括的父亲去世，根据朝廷的规定“承袭父荫”，他当上了江苏海州沐阳县主簿（县令的助手）。几年后，因兴修水利有功，1055年调任代理东海县令；1061年任安徽宁国县令；1064年考中进士；1066年入京（河南开封），在国家的昭文馆做编校书籍工作。这里珍藏着许多民间难以看到的书籍，他利用工作上的便利条件，夜以继日地刻苦读书，几年时间便使他的学识又得到进一步充实。直到1074年，他在京都历任司天监、军器监、翰林院学士等职。沈括思想进步，积极参与王安石变法运动。1085年，由于政事倾轧，他离京到秀州（今浙江嘉兴）做《天下州县图》编绘工作。1087年完稿后，又迁润州（今江苏镇江），那时沈括已58岁，在那儿买了一座园子，据说和他年轻时梦见的地方相似，因而起名为“梦溪园”。在这座园中，他用晚年的全部精力完成了中国科学史上划时代的科学巨著《梦溪笔谈》。
沈括是一位博学多才、成就显著的科学家，也是我国历史上最卓越的科学家之一。他精通天文、数学、物理学、化学、生物学、地理学、农学和医学；他还是卓越的工程师，出色的军事家、外交家和政治家；同时，他博学善文，对方志律历、音乐、医药、卜算等无所不精。他所著的《梦溪笔谈》详细记载了劳动人民在科学技术方面的卓越贡献和他自己的研究成果，反映了我国古代特别是北宋时期自然科学取得的辉煌成就。《梦溪笔谈》不仅是我国古代的学术宝库，而且在世界文化史上也有重要的地位。《梦溪笔谈》是中国科学史上的坐标，是对沈括一生进行的社会和科学活动的总结，内容极为丰富，包括天文、历法、数学、物理、化学、生物、地理、地质、医学、文学、史学、考古、音乐、艺术等共600余条，其中200余条属于科学技术方面的内容，记载了他的许多发明、发现和真知灼见。资料链接：隙积术是用来计算诸如累棋、层坛、积罂（堆砌的酒坛子）一类堆垛物体的体积公式，其中包含了高阶等差级数的计算公式；会圆术是计算圆弧的弦、矢（弧的高）与弧长间数量关系的数学公式。
沈括是一位卓越的数学家，在数学的许多领域内都取得了辉煌的成就。《隙积术和会圆术》一书中所记的“隙积术”和“会圆术”就是他的两大重要研究成果，是他从实际计算需要出发创立的。沈括通过对酒店里堆起来的酒坛和垒起来的棋子等有空隙的堆体积的研究，发展了自《九章算术》以来的等差级数问题，在我国古代数学史上开辟了高阶等差级数研究的方向，并且开创了中国“垛积术”由南宋时期的数学家杨辉发展研究的先河。
此外，沈括还从计算田亩出发，考察了圆弓形中弧、弦和矢之间的关系，提出了我国数学史上第一个由弦和矢的长度求弧长的比较简单实用的近似公式，这就是“会圆术”。这一公式为元代郭守敬创制《授时历》提供了直接的数学依据，促进了平面几何学的发展，而且在天文计算中也起了重要的作用，并为我国球面三角学的发展做出了重要贡献。
沈括的数学成就赢得了中外科学家的高度赞扬。日本数学家三上义夫在其《中国算学之特色》一书中，称赞沈括是世界数学史上独一无二的杰出人物。客观地看，这一评价基本上还是符合事实的。五、贾宪
提示语：贾宪三角 增乘开方法
贾宪（约11世纪中叶），生平事迹记载甚少，据有限资料推测，贾宪生活在北宋时代，是北宋时期杰出的数学家，其著书年代大致在公元1023至1050年间。
贾宪的主要数学成就反映于《算法斅古集》2卷和《黄帝九章算法细草》9卷之中，可惜前者已失传，后者被杨辉（13世纪）著《详解九章算法》时全部抄录。从杨辉抄录的书中可知贾宪的主要成就有两个：一是创造了“开方作法本源”图，即贾宪三角，它比中亚的卡西、德国的阿披亚努斯和法国的帕斯卡“帕斯卡三角形”要早600年以上；二是增乘开方法，它是一种开高次方的新方法，不仅适用于开平方、开立方，而且还可以用于开三次以上的任意次方。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿。增乘开方法比传统的方法简捷，又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性。它与1804年意大利的鲁菲尼（P. Ruffini，1763—1822）和英国的霍纳（W. G. Horner，1786—1837）的方法完全一致，西方称为“鲁菲尼—霍纳方法”，但贾宪比他们早约770年。图1-4
贾宪三角（如图1-4所示）最初于11世纪被发现，它载于我国北宋时期数学家贾宪的著作中，这一成果比国外领先600年。这个三角形的构造法则（如图1-5所示）是：两腰都是1，其余每个数为其上方n左右两数之和。它给出（a+b）（n为正整数）展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个222数1，2，1，恰好对应着（a+b）=a+2b+b的展开式中的系数；第3四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）展开式中的系数；等等。图1-5
贾宪三角有许多有趣性质，下面略举几例。
1. 同行关于中心（元素）对称的两个数相等。（如图1-6所示）图1-6n
2. 同行各数之和等于2。（如图1-7所示）图1-7
3. 沿斜线每一列数都构成三角垛数列。（如图1-8所示）图1-8
4. 改变斜线角度，其斜线上的各数之和构成斐波纳契数列。在贾宪三角形中的菱形内部各数排成行列式，其行列式都等于1。（如图1-9所示）图1-9
5. 与谢尔宾斯基（W. Sierpinski，1882—1969）三角形。（如图1-10所示）图1-10
这是数学家谢尔宾斯基创设的分形，图形下面算式里的第1个分数表示阴影部分的面积，若无限地做下去，阴影部分的面积不断增加，其边长趋于无穷大，白色的部分不断减少而趋于0。如果将贾宪三角形中的奇数所在三角形涂上阴影，会发现形成了谢尔宾斯基三角形。六、杨辉
提示语：杨辉三角 幻方 数学教育家
杨辉，字谦光，钱塘（今杭州）人，中国古代杰出的数学家和数学教育家，生平履历不详。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。他署名的数学书共5种21卷。
杨辉一生留下了大量的著述：（1）《详解九章算法》12卷（1261）。（2）《日用算法》2卷（1262）。（3）《乘除通变本末》3卷（1274，第3卷与他人合编）。（4）《田亩比类乘除捷法》2卷上下（1275，与他人合编）。
以上著述中，后三种为杨辉后期所著，一般称之为《杨辉算法》。《详解九章算法》现传本内容已被修改，编排也有错乱。从其序言可知，该书乃取魏刘徽注、唐李淳风等注释以及北宋贾宪细草的《九章算术》中的80问进行详解。在《九章算术》9卷的基础上，又增加了3卷，一卷是图，一卷是讲乘除算法的，居九章之前；一卷是纂类，居书末。今卷首图、卷1乘除，卷2方田，卷3粟米，卷4衰分的衰分、反衰诸题，卷4衰分下半卷、卷5少广存《永乐大典》残卷中，卷6商功的诸同功问题已佚，其余存《宜稼堂丛书》中。从残本的体例看，该书对《九章算术》的详解可分为四点：第一，解题，内容为解释名同术语、题目含义、文字校勘以及对题目的评论等；第二，明法、草，在编排上，杨辉采用大字将贾宪的法、草与自己的详解明确区分出来；第三，比类，选取与《九章算术》中题目算法相同或类似的问题作对照分析；第四，续释注，在前人基础上，对《九章算术》中的80问进一步作注释。杨辉的“纂类”，突破《九章算术》的分类格局，按照解法的性质，重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股9类。
杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称作开方做法本源，现在简称为“杨辉三角”。
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图1-11所示。图1-11
杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则等于它肩上的两个数之和。《日用算法》，原书失传，仅有几个题目留传下来。从《算法杂录》所引杨辉自序可知该书内容梗概：“以乘除加减为法，秤斗尺田为问，编诗括十三首，立图草六十六问。用法必载源流，命题须责实有，分上下卷。”该书无疑是一本通俗的实用算书。《乘除通变本末》3卷，皆各有题，在总结民间对等算乘除法的改进上做出了重大贡献。上卷叫《算法通变本末》，首先提出“习算纲目”，是数学教育史上的重要文献，又论乘除算法；中卷叫《乘除通变算宝》，论以加减代乘除，求一、九归诸术；下卷叫《法算取用本末》，是对中卷的注解。《田亩比类乘除捷法》，其上卷内容是《详解九章算法》方田章的延展，所选例子非常贴近实际。下卷主要是对刘益工作的引述。杨辉在《田亩比类乘除捷法》序中称“中山刘先生作《议古根源》……撰成直田演段百间，信知田体变化无穷，引用带从开方正负损益之法，前古之所未闻也。作术逾远，罔究本源，非探喷索隐而莫能知之。辉择可作关键题问者重为详悉著述，推广刘君垂训之意”。《田亩比类乘除捷法》下卷征引了《议古根源》22个问题，主要是二次方程和四次方程的解法。《续古摘奇算法》上卷首先列出20个纵横图，即幻方。其中第一个为河图，第二个为洛书，四行、五行、六行、七行、八行幻方各两个，九行、十行幻方各一个，最后有“聚五”“聚六”“聚八”“攒九”“八阵”“连环”等图。有一些图肩文字说明，但每一个图都有构造方法，使图中各自然数“多寡相资，邻壁相兼”，凑成相等的和数。下卷评说《海岛》也有极高的科学价值。
杨辉著作大都注意应用算术，浅近易晓。其著作还广泛征引数学典籍和当时的算书以及中国古代数学的一些杰出成果，比如刘益的“正负开方术”，贾宪的“开方作法本源图”“增乘开方法”。幸得杨辉引用，否则，今天将不复为我们知晓。
北宋初年出现的一种除法——增成法，在杨辉那里得到进一步的完善。增成法的优点在于用加倍补数的办法，避免了试商，但对于位数较多的被除数，运算比较繁复，后人对它进行了改进，总结出了“九归古括”，包含44句口诀。杨辉在其《乘除通变算宝》中引《九归新括》口诀32句，分为“归数求成十”“归数自上加”“半而为五计”三类。
客观上讲，杨辉不遗余力改进计算技术，大大加快了运算工具改革的步伐。随着算筹歌诀的盛行，运算速度大大加快，以致人们感觉到摆弄算筹跟不上口诀。在这样的背景下，算盘便应运而生了，及至元末，已经广为流行。
纵横图，即所谓的幻方。早在汉郑玄《易纬注》及《数术记遗》中就记载有“九宫”，即三阶幻方，千百年来一直被人披上神秘的色彩。杨辉创“纵横图”之名，在所著《续古摘奇算法》上卷做出了多种多样的图形。图1-12是四阶纵横图；图1-13是百子图，即十阶纵横图，其每行每列数之和为505（对角线数字之和不是505）；图1-14是“聚八”图，按“二十四子作三十二子用”，设子的这种幻方共有四圈，每圈数字之和为100；图1-15是“攒九”图，用前33个自然数排列，达到“斜直周围各一百四十七”的效果。杨辉不仅给出了这些图的编造方法，而且对一些图的一般构造规律有所认识，打破了幻方的神秘性。这是世界上对幻方最早的系统研究和记录。自杨辉以后，明清两代中算家关于纵横图的研究相继不断。图1-13图1-12图1-14图1-15
杨辉不仅是一位著述甚丰的数学家，而且还是一位杰出的数学教育家。他一生致力于数学教育和数学普及，其著述有很多是为了数学教育和普及而写。《算法通变本末》中载有杨辉专门为初学者制订的“习算纲目”，它集中体现了杨辉的数学教育思想和方法。七、秦九韶
提示语：《数书九章》 大衍求一术
秦九韶（约1202—1261），南宋普州（今四川安岳县）人，字道古。父季据，进士出身，曾任工部侍郎、秘书省秘书少监。秦九韶自己曾任和州（今安徽和县）、琼州（今海南琼县）、薪州（今湖北薪春县）、建康（今江苏南京）通判。1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他与李冶、杨辉、朱世杰并称“宋元数学四大家”。
宋淳祐四至七年（1244—1247），秦九韶在湖州为母亲守孝三年期间，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了举世闻名的数学巨著《数书九章》。全书18卷，81题，分为9大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市物类。该书著述方式，大多由“问曰”“答曰”“术曰”“草曰”四部分组成。“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，是给出答案；“术曰”，是阐述解题原理与步骤；“草曰”，是给出详细的解题过程。另外，每类下还有颂词，词简意赅，用来记述本类算题主要内容、与国计民生的关系及其解题思路等。这是一部划时代的巨作，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对“大衍求一术”和“正负开方术”等有十分深入的研究。“大衍求一术”和“正负开方术”比欧美国家早600年，代表中世纪数学发展的主流，并将中国古代数学推向了顶峰。但此书1247年写成后，并未出版，原稿几乎流失，书名也不确切。后历经宋、元，到明建国，此书无人问津，直到明永乐年间，在解缙主编《永乐大典》时，记书名为《数学九章》。又经过一百多年，经王应麟抄录后，由他修改为《数书九章》。
全书不但在数量上取胜，重要的是在质量上也是拔尖的。从历史上来看，秦九韶的《数书九章》可与《九章算术》相媲美；从世界范围来看，秦九韶的《数书九章》也不愧为世界数学名著。他在《数书九章》序言中说，数学“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”。所谓“通神明”，即往来于变化莫测的事物之间，明察其中的奥秘；“顺性命”，即顺应事物本性及其发展规律。在秦九韶看来，数学不仅是解决实际问题的工具，而且应该达到“通神明，顺性命”的崇高境界。
秦九韶是世界最伟大的数学家之一，其著作的主要成就包括：（1）完整保存了中国数码字计数法，对自然数、分数、小数、负数都有专门论述。（2）首创连环求等，求几个数的最小公倍数。（3）更进一步认识比例，比例项数达到5项之多，层层变换，有条不紊。（4）一次同余式组的程序化解法，创大衍求一术。（5）三斜求积公式，与“海伦公式”完全一致。（6）线性方程组的直除法（即加减消元法），将系数矩阵化为单位矩阵。（7）用正负开方术数值解多项式。
13世纪，秦九韶在一次同余论方面的创造发明是有划时代意义的。印度数学先驱阿耶波多（Aryabhata，476—550）在其《文集》第2章第32、33节对同余式的解法有过议论，但仅有四句押韵诗传世，自称为“库塔卡术义”（碾细），含义隐晦，经后人一再补充注释，人们才理解其用意。秦氏的著作有系统论述，如上述第1、3项成果就胜于印度。和算（日本古典数学）向以中算为师，秦九韶的各项成果在日本直至关孝和（1642—1708）所著的《括要算法》（1683）中才有所著述。西欧一些国家在一次同余理论上的研究与秦九韶不相上下，是由欧拉、拉格朗日与高斯三代人前后历经18世纪至19世纪的60多年探索才达到的，特别是高斯24岁年华时（1801）发表名著《算术研究》，其中第1、2两章才全面论述了一次同余理论。八、徐光启
提示语：《几何原本》翻译者 宰相数学家
徐光启（1562—1633），字子先，号玄扈，汉族，吴淞（今属上海）人。他是我国明朝最优秀的科学家，更是一位热爱祖国的科学家。
他一生的成就是多方面的，在数学、天文、历法、农艺、生物等领域都称得上是专家。他从万历末年起，经过天启、崇祯各朝，曾做到文渊阁大学士的官职（相当于宰相）。他精通天文历法，是明末改历的主要主持人。他对农学也颇有研究，曾根据前人所著各种农书，附以自己的见解，编写了著名的《农政全书》，全书有60余卷，共60多万字。明朝末年，满族的统治阶级在东北关外屡次发动战争，徐光启曾屡次上书论军事，并在通州练新兵，主张采用西方火炮。
徐光启在数学方面的成就，主要有三个方面。
1. 论述了中国数学在明代落后的原因。
中国古代数学源远流长，至汉代形成了以《九章算术》为代表的体系，至宋元时期达到发展的高峰，在高次方程和方程组的解法、一次同余式解法、高阶等差级数和高次内插法等方面都取得了辉煌的成就，较西方同类结果要早出数百年之久。但进入明朝以后，宋元数学的许多成果却几乎全都后继无人，逐渐衰废。对这种落后局面的形成原因，徐光启曾有十分精辟的分析。他说：“算术学在近代数百年荒废了。荒废的原因有两个，第一是有才能的儒士都忙碌于实事；第二是有不正确的理论说数学有神力，能知古知今，所以数学之术发展萎靡。古代圣人研究治理国家的方法，不能重得与士大夫，而学术政事，都比古代差远了。”（刻《同文算指》序）
2. 论述了数学应用的广泛性。
徐光启在一次关于修改历法的疏奏中，详细论述了数学应用的广泛性。他一共提出了十个方面（“度数旁通十事”），即：天文历法；水利工程；音律；兵器兵法及军事工程；会计理财；各种建筑工程；机械制造；舆地测量；医药；制造钟漏等计时器。可以说把数学应用的广泛性，讲述得十分完备。徐光启还曾建议开展这些方面的分科研究。如果每个学科都设置相应的机构，那将形成一个相当可观的“科学院”。
3. 与意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552—1610）一起翻译并出版了《几何原本》。
徐光启在数学方面的最大贡献当推《几何原本》的翻译。《几何原本》是古希腊数学家欧几里得（Euclid）在总结前人成果的基础上于公元前3世纪编成的。这部世界的古代数学名著，以严密的逻辑推理的形式，由公理、公设、定义出发，用一系列定理的方式，把初等几何学知识整理成一个完备的体系。《几何原本》的近代意义不单单是数学方面的，更主要的是思想方法方面的。徐光启就准确地指出：“这本书很有益处，可以使理学之人褪去他们浮躁的性情，锻炼他们的心境；治理政事的人，学它可以提供给他们方法，启发他们的巧妙思想，因此世上所有人都应当学……能精这书的人，没有一件事会难倒他，喜欢学这本书的人，所有的书都可以学。”直到20世纪初，中国废科举、兴学校，以《几何原本》为主要内容的初等几何学方才成为中等学校必修科目，实现了300年前徐光启“无一人不当学”的预言。《几何原本》由公理、公设出发给出一整套定理体系的叙述方法，和中国古代数学著作的叙述方法相去甚远。徐光启作为首先接触到这一严密逻辑体系的人，却能对此提出较明确的认识。他说：“此书有四不必：不必怀疑，不必揣测，不必试用，不必修改；有四个做不到：离开它做不到，反驳它做不到，删减它做不到，前后换位置做不到。”他还说：“（此书）有三至、三能：看起来非常隐晦，实际上非常明朗，因此能用它去看透其他事物最隐晦的地方；看起来非常繁琐，实际上非常简单，因此能用它的简单去简化最繁琐的事物；看起来非常难，实际上非常容易，因此能用它的容易使困难的事情容易化。”他最后说：“容易生于简单，简单生于明了，因此最重要的奥秘还是在于明了。”徐光启提出《几何原本》的突出特点在于其体系的自明性。这种认识是十分深刻的。第二部分中国近现代数学家的故事一、李善兰
提示语：《则古昔斋算学》 《谈天》
19世纪60年代至90年代，一批近代科学家脱颖而出，李善兰就是其中的佼佼者。
李善兰（1811—1882），字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，出身于书香门第，少年时代便喜欢数学。10岁那年，李善兰在读家塾时，从书架上“窃取”中国古代数学名著——《九章算术》“阅之”，仅靠书中的注解，竟将全书426个应用题全部解出，自此，李善兰对数学的兴趣更为浓烈。
15岁时，李善兰迷上了利玛窦、徐光启合译的《几何原本》，尽通其义，可惜徐、利二人没有译出后面更深奥的几卷，李善兰深以为憾，常幻想有“好事者或航海译归”，使自己得窥全貌。咸丰二年（1852），他到了上海，结识了英国传教士伟烈亚力（Alexander Wylie，1815—1887）与艾约瑟（Joseph Edkins，1823—1905），他们对李善兰的才能颇为欣赏，遂邀请他到墨海书院共译西方格致之书。墨海书院为英国传教士麦都思（Walter Henry Medhurst，1796—1857）所创立，原为传教而设，其后译书工作从宗教书刊扩展到西方科技领域。郭嵩焘出使英法前路经上海，曾到墨海书院参观，并在日记中写道：“次至墨海书院，有麦都思者，西洋传教人也，自号墨海老人。所居前为礼拜祠，后厅置书甚多，东西窗下各设一球，右为天球，左为地球。麦君著书甚勤，其向相与校定者，一为海盐李壬叔（即李善兰）……李君渊博，习勾股之学。”
李善兰到墨海书院之后，率先与伟烈亚力合作，翻译《几何原本》后九卷，以续成利玛窦、徐光启的未尽之业。《几何原本》一书，在西方各国亦多为全译，英国虽有一部从希腊文译为英文的完本，但因翻译和校勘粗疏，伪误层见叠出。“毫厘千里所失非轻”，连伟烈亚力自己也承认，“余愧翦陋，虽生长泰西，而此术未深，不敢妄为勘定”，只能就英译本照本宣科，口译为汉语，而谬误之处全凭李善兰从深广的数学知识加以匡正审定。经伟烈亚力和李善兰“四历寒暑”的努力，《几何原本》译本终成完璧，西方近代的符号代数学以及解析几何和微积分以《几何原本》全本为载体，第一次传入我国。《几何原本》的全译是一项艰苦的工作，在《几何原本后九卷续译序》中，李善兰语重心长地说：“后之读者勿以为书全本入中国为等闲事也。”其间包容了经历过万般艰辛后的无限感叹。在全书的翻译过程中，李善兰用力甚巨，伟烈亚力曾不无谦逊地说：“删芜正讹，反复详审，伸其无有疵病，则李君之力居多，余得以借手先成矣。”他同时宣称：“异日西士欲求是书善本，当反求诸中国矣。”可见对译书的质量十分满意。
在《几何原本》后九卷的翻译过程中，艾约瑟又邀请李善兰同译英国人胡威力所著《重学》。于是，李善兰“朝译几何，暮译重学”。所谓“重学”即力学，李善兰所译的《重学》虽然只是原书的中间部分，但译出的部分已较为详细地介绍了力学的一般知识，使书中的牛顿力学三大定律第一次传入中国。
除了《几何原本》后九卷与《重学》外，李善兰还与伟烈亚力合译了另一本重要的科学理论著作——《谈天》。《谈天》是一本天文学著作，原名《天文学纲要》，其作者是英国著名天文学家约翰·赫歇尔。该书对太阳系的结构和行星运动有比较详细的叙述，其中涉及万有引力定律、太阳黑子理论、行星摄动理论、彗星轨道理论等方面的介绍。
同治七年（1868），李善兰因郭嵩焘推荐，到北京任同文馆天文算学馆总教习。天文算学馆相当于现在的大学数学系，李善兰可以称得上是我国数学史上第一位数学教授。他在天文学馆执教十余年，先后课徒百余人，一直工作到病逝。
在中国近代史上，李善兰以卓越的数学研究引人注目。他数学造诣颇深，“其精到之处自谓不让西人，抑且近代罕匹”。他编辑刊刻的《则古昔斋算学》中包括数学、科学著作13种。李善兰早期研究的数学课题，主要是我国明清以来的传统数学，比较突出的是他对“尖锥术”的独立研究。他在中国传统数学垛积术的极限方法的基础上，发明了尖锥术，创立了各种三角函数和对数函数的幂级数展开式，以及几个重要积分公式的雏形。李善兰在创造“尖锥术”的时候，还没有接触到微积分，但他实际上具有解析几何思想和微积分思想，“则以一端，即可闻名于世”。由此可见，即使没有西方传入的微积分，中国数学也将会通过自己的特殊途径，运用独特的思维方式达到微积分的程度，从而完成由初等数学到高等数学的转变。资料链接：《则古昔斋算学》子目为：《方圆阐幽》1卷、《孤矢启秘》2卷、《对数探源》2卷、《垛积比类》4卷、《四元解》2卷、《麟德术解》3卷、《椭圆正术解》2卷、《椭圆新术》1卷、《椭圆拾级》3卷、《火器真诀》1卷、《对数尖锥变法解》1卷、《级数回求》1卷及《天算或问》1卷。二、熊庆来
提示语：教育救国 第一位出席国际数学会议的中国人
熊庆来（1893—1969）早年留学法国，毕生追求“科学救国、教育救国”，致力于为国家培育人才，如华罗庚、陈省身等都是他的学生，可谓是中国近代数学研究和教育的奠基人。
1921年春，风尘仆仆的熊庆来从法国学成归来。怀着为桑梓服务的热望，他回到了故乡云南，任教于云南甲种工业学校和云南路政学校。同年，才开办的国立东南大学（今南京大学前身）寄来聘书，请熊庆来去创办算学系。英雄有了用武之地，熊庆来带着妻子和8岁的儿子秉信来到了龙盘虎踞的南京，以期一展宏图。年仅28岁的熊庆来不仅被聘为教授，还被任命为系主任。誉满当代中国科坛的严济慈（全国人大常委会副委员长）、胡坤陛等都曾得到熊庆来的帮助。他常常寄钱给在法国学习的严济慈。有一次，校方因故不发工资，他让妻子去把皮袍子典当了，寄钱给严济慈。严济慈在法国勤奋学习，成绩优异。此前，法国是不承认中国大学的毕业文凭效力的，从严济慈起，法国才开始承认中国的大学毕业文凭与法国大学毕业文凭具有同等效力。
1926年，清华学校改办大学，又聘请熊庆来去创办算学系。他在任清华算学系系主任的9年间，又辛勤培养了一大批在国内外享有盛誉的优秀人才。1930年，他在清华大学当数学系主任时，从学术杂志上发现了华罗庚的名字。了解到华罗庚的自学经历和数学才华以后，他毅然打破常规，请当时只有初中文化程度的19岁的华罗庚来到清华大学学习。在熊庆来的培养下，华罗庚后来成为著名的数学家。
1931年，熊庆来代表中国出席在瑞士苏黎世召开的世界数学会议。这是中国代表第一次出席国际数学会议。世界数学界的先进行列中，从此有了中国人。会议结束后，熊庆来利用清华规定的五年一次的例假，前往巴黎专攻函数论，于1933年获得法国国家理科博士学位。他定义的无穷级被国际上称为“熊氏无穷级”，载入了世界数学史册。1934年，他返回清华，仍任算学系主任。翌年，他聘请法国数学家阿达玛（Hadamard，1865—1963）和美国数学家、“控制论”的奠基人维纳（Norbert Wiener，1894—1964）来清华讲学。1936年，在熊庆来和其他数学界前辈的倡议下，创办了中国数学会会刊，熊庆来任编辑委员。这个会刊即是现今《数学学报》的前身，可称是中国的第一个数学学报。
1937年，应云南省政府之请，熊庆来回到阔别16年的家乡，担任云南大学校长。他与省主席龙云约法三章：校务行政省政府不加干预；校长有招聘、解聘教职员之权；学生入学须经考试录取，不能凭介绍。熊庆来任校长的12年中，云南大学从原有的3个学院发展到5个学院，共18个系，另附专修班和先修科各3个，为民族培养了大批有用之才，为改变云南文化落后的状况做出了重要贡献。
周恩来于1955年视察云南大学时，还特别提到这位当时尚在国外的大数学家、大教育家。他说：“熊庆来培养了华罗庚这些具有真才实学的人，我们要尊重他们。”三、陈建功
提示语：陈、苏学派
陈建功（1893—1971）生于浙江绍兴，从小好学，一向是文理兼优的好学生，数学尤其突出。1913年到1929年，陈建功三次东渡日本求学，1929年获得日本理学博士学位，成为20世纪初留日学生中第一个获得理学博士学位的中国人，也是在日本获得这一荣誉的第一个外国科学家。这件事轰动了日本列岛。当时，他的导师藤原教授苦于自己专业领域内缺少日文著作，只能用英文上课，便委托陈建功用日文写了一部《三角函数论》，该书既反映了国际最新成果，也包括了陈建功自己的研究心得。他在写书时首创的许多日文名词，至今还在使用。藤原教授在庆祝会上说：“我一生以教书为业，没有多少成就。不过，我有一个中国学生，名叫陈建功，这是我一生的最大光荣。”
1929年，陈建功婉言谢绝了导师留他在日本工作的美意，回到朝思暮想的祖国，众多大学争相延聘。浙江大学邵裴之校长请到了这位雄才，并委以数学系主任之职。1931年，在陈建功的建议下，校长请来了中国的第二位日本理学博士苏步青，接着又请苏步青担任数学系主任。他们一起开办数学讨论班，对青年教师和高年级大学生进行严格训练，培养他们的独立工作和科学研究能力。两位教授密切合作20余年，为国家培养了大批人才，逐渐形成了国内外著名的陈、苏学派。这个学派代表了中国函数论和微分几何研究的最高水平。
20世纪20到40年代，陈建功的研究工作主要是在三角级数论方面。早在20年代，由于在三角级数论方面的卓越贡献，他已誉满东瀛。19世纪开始发展起来的傅里叶分析，起源于对热传导问题的研究。到了20世纪20年代，傅里叶分析的主要部分——三角级数论的研究进入了全盛时期。从那时开始，陈建功就抓住这一当代分析数学发展的主流，从多方面进行探讨，在三角级数的收敛、绝对收敛、求和、绝对求和等问题上做出了很多重要贡献。值得指出的是，对于傅里叶分析的研究是经久不息的，至今还有许多重要的研究结果出现，特别是对于R（-∞，∞）上的情况，人们还知之不多。至于傅里叶分析与哈代空间（Hp空间）、鞅论、多复变函数以及函数逼近论的结合，仍然是继续发展的方向。因此，我们可以说，陈建功早年所从事的研究课题，如今仍是个重要的数学分支。在三角级数的绝对收敛与绝对求和方面，陈建功也做出了卓越的贡献。早在1928年，他就证明：三角级数绝对收敛的充要条件是它为杨氏（Young）连续函数之傅里叶级数。同年，G．H．哈代（Hardy，1877—1947）与J．E．李特尔伍德（Littlewood，1885—1977）于德国数学时报上也发表了同一结论，因后者发行广泛，世人常称之为哈代—利特尔伍德定理。还其本源，此定理当称为“陈—哈代—李特尔伍德定理”。陈建功在三角级数的收敛与求和方面还有许多贡献，难以一一列举，但必须指出，他1944年的（C，a）求和的结果推进了哈代—利特尔伍德的定理。四、苏步青
提示语：微分几何学派的开山鼻祖
苏步青（1902—2003），中国数学会的发起人之一，担任过《中国数学会学报》的主编，参与筹建中国科学院数学研究所，后又创办复旦大学数学研究所，创办杂志《数学年刊》并任主编。
1902年9月，苏步青出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，无论如何也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可是，后来的一堂数学课影响了他的一生。
那是苏步青上初三时，他就读的浙江省立十中，来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终生难忘。
杨老师的话深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅是为了摆脱个人困境，而且还要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而且还要为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，还是霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，四年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时浙江省立十中）还珍藏着苏步青的一本几何练习簿，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。
17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇论文，在微分几何方面取得了令人瞩目的成果。1927年，苏步青毕业于日本东北帝国大学数学系，随后进入该校研究院，并于1931年获得理学博士学位。获得博士学位之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师。正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国。回到浙江大学任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是：“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”资料链接：微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古曲微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间——流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密联系，对物理学的发展也有重要影响。爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
苏步青的主要研究领域为微分几何学，早期对仿射微分几何学（一门古典的微分几何）和射影微分几何学（微分几何学的分支）做出了突出贡献。他创立了独到的方法，用几何构图来表现曲线和曲面的不变量和协变图形，取得了丰硕的成果。如仿射曲面论中的锥面、射影曲线的一般的协变理论、射影曲面论中的Q1伴随曲面、主切曲线属于一个线性丛的曲面、射影极小曲面和闭拉普拉斯序列等方面的研究，得到了国际上的高度评价。
20世纪四五十年代，苏步青开始研究一般空间微分几何学，特别是一般面积度量的二次变分的计算和K展空间。60年代研究高维空间共轭网理论，获得系统而深入的成果。70年代以来，苏步青又注意把微分几何运用于工程中的几何外形设计，在中国开创了新的研究方向——计算几何。
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