作者：李志敏
出版社：中国纺织出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
写给孩子的数学小百科试读：
前言
数学在人类历史的发展中一直起着非常重要的作用，古希腊学者认为，数学是哲学的起点，这是因为数学来源于人类早期的生产活动，结合了人们众多的经验。当然，如果我们要探讨其重要性，从大的方面来说，数学被应用在不同的领域中，包括自然科学、工程、医学和经济学等方面。从小的方面来说，学好数学，能全面开发学生的智力，提高应变能力和探索精神，使得他们在未来的人生道路上，能够更好地解决问题，提升自我。
众所周知，数学是一门从小就伴随着孩子们学习的主要学科。那么，拥有优质的数学教学资源对于孩子的学习来说，就显得尤为重要。青少年时期是一个人智力开发的关键时期，数学学科的主要作用就是开发学生的智力。
很多调查资料都表明，越来越多的孩子不愿意学习数学，出现严重的偏科现象。甚至很多学生抱怨数学学习很难、很累、很烦，这些心理对于孩子的学习来说是极大的打击。事实上，数学学习完全可以很轻松，只要找到能轻松驾驭数学的科学方法，让孩子们真正感受到学习数学的乐趣，成绩的提升就成为了必然。
我们一直在立志于为孩子们提供轻松学习的数学读物，而这本数学小百科内容非常丰富，融知识性、趣味性和应用性于一体，同时也具有非常鲜明的特点：
一、选材注重与时俱进，角度新颖
本书包含了数的认识与四则运算、分数与百分数、代数的初步认识、典型应用题、平面图形、立体图形以及数学小知识等非常全面的内容。从生活实际的角度出发，部分选题贴近生活，思维角度非常新颖。
二、编排科学，讲解精炼
全书的知识点分类非常明确，共分为了七编，每一编的内容都非常精要。同时配合了大量的典型例题，分析过程严谨细密，逻辑性很强，能帮助学生建立正确的思维模式，提高解题的速度和正确率。
三、适用范围广，针对性强《写给孩子的数学小百科》能满足不同层次学生的学习需求，对基础的数学知识进行了合理的归纳和整理，整个系统的针对性强，既符合学科的特点，又符合学生的学习习惯。同时，这本书对于学生来说，可以供日常学习参考，也可以供考前复习参考；对于家长来说，可以作为辅导孩子的良友；对于老师来说，可谓有效的参阅资料。
在编写过程中，编者参阅了大量的中外数学刊物，书稿经过许多家长和孩子的试用，反映非常好。所以，如果想要让你的孩子不再害怕数学，想要培养孩子对数学的兴趣，本书将会是最好的选择。
编著者
2015年3月 第一编 奇妙的数字王国一、整数
1.整数的意义（1）自然数：用来表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10……都是自然数，0也是自然数。
1是自然数的基本单位，任何一个自然数都是由若干个1组成的，自然数的个数是无限的，0是最小的自然数，没有最大的自然数。
一个自然数包含两个方面的意义：是用来表示物体的多少，叫作基数；用来表示物体的次序，叫作序数。例如“两把椅子”中的“2”就是基数；“张华在第1排第2列”中的“1”和“2”就是序数。
例1：在所有数字中，最小的自然数是（）。
A.1 B.0 C.-1 D.2
分析：0是最小的自然数，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。0在表示物体个数时，意为“没有”，而在不表示物体的个数时，就有特定的意义。例如，“凌晨的气温是0摄氏度”，这里的“0”不是表示没有温度，而且表示温度为0，表示介于负数和正数之间的数字。
解答：选B。
例2：46是由（）个1组成的。
A.10
B.4
C.46
D.6
分析：1是自然数的基本单位，任何一个自然数都是由若干个1组成的，题目中的46是一个自然数，所以它是由46个单位1组成的。
解答：选C。（2）负数：比0小的数都是负数。例如-1，-2，-3，-4，-5，-6……都小于0，是负数，这里的“-”是负号，不能省略。
为了分清具有相反意义的两种量，可以把一种意义的量规定为正的，把另一种与它相反意义的量规定为负的。前面我们学习的如1，2，3，4，5，6……这样的数叫作正数，正数前面可以加“+”，也可以省略不写。
例如：温度在0刻度以上20个单位长度，记作+20℃或20℃，读作正二十摄氏度或二十摄氏度；温度在0刻度以下10个单位长度，记作-10℃，读作负十摄氏度。
0既不是正数，也不是负数。
0表示的意义通常有三个：①表示个数。例如“桌子上一个苹果也没有”，就是说苹果的个数为0。
②占位作用。在写数时，某个数位上一个数字也没有，就用0表示，例如10，203等。
③作为界限。例如“零上温度与零下温度的分界”，“零上海拔和零下海拔的分界”。
例1：在太平洋的海域一艘潜艇所在的位置是海拔-120米，此时有一条鱼在潜艇上方50米，那么鱼所在的位置是海拔（）米。
分析：海拔-120米就是指在海平面以下120米，“一条鱼在潜艇上方50米”，说明鱼的位置离海平面有120-50=70（米），所以鱼所在的位置是海拔-70米。注意，在写鱼的位置的时候，别忘了在海拔后面加上负号。
解答：-70米。
例2：一天傍晚，山东泰山半山腰的气温由中午的0℃下降了7℃，那么这时泰山的气温是（）。
分析：本题主要考查负数在日常生活中的应用，由0℃下降了7℃后的气温是-7℃，注意一定在数字7前面加上“-”号，才是此时泰山的气温。
解答：-7℃。
例3：如果向南走30米，记作+30米，那么向北走20米，应记作（）。
分析：负数是为了表示两种意义相反的量，用它表示与正数相反的数。在此题中，南和北相反，如果将向南记作“+”，那么向北就记作“-”，所以向北走20米，就记作-20米。
解答：-20米。
例4：小红在一个十字路口，向东走了100米，记作+100米，向西走了20米，记作-20米，那么，请你说出下列数量分别表示什么？（1）+70米（2）-80米（3）0米
分析：由题意可知，向东走为正方向，+100米表示向东走了100米，所以，+70米就表示向东走70米；相同的向西走表示负方向，-20表示向西走20米，所以，-80表示向西走80米。0米表示小红既没向东走，也没向西走，原地不动。
解答：（1）+70米表示向东走70米；（2）-80米表示向西走80米；（3）0米表示小红原地不动。
2.整数的分类
整数：像……-3，-2，-1，0，1，2，3……这样的数统称为整数。整数的个数是无限的。在小学里，整数的意义是通过自然数的意义来表述的，自然数都是整数，也可以称为非负整数，除了非负整数，还存在负整数。因此，整数可以按下图进行简单地归类：
例1：判断“整数就是自然数”（）。
分析：由定义可知整数包括正整数、零和负整数，自然数只包括正整数和零，所以，自然数只是整数的一部分，可以说自然数都是整数，但不能说整数就是自然数。
解答：错误。
例2：在-16，-8，-3，0，5，9，14，36这些数中，哪些数是自然数？
分析：自然数是指所有大于或等于零的整数，包括正整数和零。首先把负数都排除，再看剩下的数是不是整数。
解答：这些数中，只有0，5，9，14，36这5个数是自然数。
3.整数的数位和位数（1）计数单位和十进制计数法
整数的计数单位有一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿等。数字中的计数单位是从右向左依次递增的。
常用的计数方法是十进制，它是指每相邻的两个计数单位之间的进率都是10。也就是说，10个一等于1个十，10个十等于1个百，10个百等于1个千……这样的计数方法就是十进制计数法。（2）数位与位数
在写数字的时候，计数单位要按照一定的顺序排列起来。不同的计数单位所占的位置叫作数位。例如：8746中的“7”在右起第三位，那么“7”所在的数位是百位。
同一个数字在不同数位上表示的大小是不同的。例如：412和421中的“1”，在412中表示的数位是十位，在421中表示的数位是个位。
位数是指一个自然数占有数位的个数。一个整数最高数位上的数字不能是0。其中，占有一个数位的数叫作一位数，占有两个数位的数叫作两位数，占有三个数位的数叫作三位数，以此类推。例如：4这个数字包括个位这一个数位，那么4就是一个一位数；25包括个位和十位这两个数位，那么25就是一个两位数；2385包括了个位、十位、百位、千位四个数位，那么2385就是一个四位数。
例1：4710这个数的个位上的数字是（），“4”所在的数位是（），这个数是一个（）位数。
分析：此题考查的是有关整数数位与位数的问题。整数的数位从右向左依次是个、十、百、千、万……逐渐变大的。在4710这个数字中，它的数位依次是个位、十位、百位、千位，个位是从右数第一位，所以个位上的数字是0，因此4所在的位数就是千位，而4710总共包含四个位数，那么它就是一个四位数。
解答：0；千位；四
例2：2012年“十一”期间，云南丽江接待游客10694320人次，这是个（）位数，6在（）位上，4表示（）。
分析：位数表示一个数占有的数位的个数，因为10694320的数位有8个，所以它是八位数；6在十万位上；4在千位上，表示4个1000。
解答：八；十万；4个1000
4.整数的读法和写法（1）整数的读法
按照我国的读数习惯，读数时是采用四位分级法。所谓四位分级法就是，从个位起，每四个数位作为一级。个位、十位、百位、千位这四位称为个级；万位、十万位、百万位、千万位这四位称为万级；亿位、十亿位、百亿位、千亿位这四位称为亿级。读数时，要从高位开始，一级一级地读。
读万以内的数，要从最高数位起，按照数位顺序一级一级地往下读；千位上是几就读几千，百位上是几就读几百，十位上是几就读几十，个位上是几就读几；中间有一个0或者两个0，都只读一个零，末尾不管有几个0，都不读。例如，7842读作七千八百四十二；1056读作一千零五十六；3005读作三千零五；8500读作八千五百。
读万以上的数，也要从高位开始，依次读出各级里的数及它的级名。万级和亿级，先按照个级的读法去读，最后要在后面加上“万”字或“亿”字；每级末尾的0都不读，其他各数位上，有一个0或者连续几个0，都只读一个零。例如：62041103325读作六百二十亿四千一百一十万三千三百二十五；3010095231读作三十亿一千零九万五千二百三十一。
负数的读法和正整数的读法相同，只是在数字前面加上“负”。例如-1546读作负一千五百四十六；-10023215486读作负一百亿二千三百二十一万五千四百八十六。
例1：（1）个级的单位是（），亿级的单位是（）。（2）和一万相邻的整数分别是（）和（）。
分析：（1）本题目主要考查的是数位和计数单位概念的理解，个级的单位应该是“一”，万级的单位是“万”，亿级的单位是“亿”。不能写成“个位”“万位”“亿位”或者“个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿”。（2）比一万大一的整数是10001，比一万小一的整数是9999。所以和一万相邻的两个整数分别是9999和10001。
解答：（1）一；亿（2）9999；10001
例2：410053000读作（），-5863150读作（）。
分析：此题考查的是整数的读法，读数时，要从高位开始，一级一级地读，每一级末尾的0都不读，其他数位上有一个0或连续几个0都只读一个零。
解答：四亿一千零五万三千；负五百八十六万三千一百五十
例3：在用8，8，8，0，0，0组成的六位数中，一个“零”都不读出来的最小六位数是（）；只读出一个零的最大六位数是（）；读出两个“零”的六位数是（）。
分析：根据读数的法则，只有每级末尾的0不读，其他数位上的一个或连续几个0只读一个“零”。所以，要符合一个“零”都读不出来的条件，就要把0放在级尾。六位数中包括万级和个级两个级尾，同时要使此数最小，就要尽量把0放在万级的级尾，只能是808800。要符合只读一个零的条件，就要把0放在个级首或个级中，又要此数尽可能大，就尽量把8放在高位上，只能880800。要符合读出两个零的条件，就要把0放在个级首或个级中，即是800808。
解答：808800；880800；800808（2）整数的写法
整数的写法是从高位起，一级一级往下写，先写亿级，再写万级，最后写个级。如果一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写“0”。例如，五十三亿四千六百七十一万八千六百七十九，写作：5346718679；二百七十亿八千六百七十万六千，写作：27086706000；再如，六十亿零六百万八千零三十，写作：6006008030。
负数的写法和正数的写法完全相同，只是写好数字后，需要在前面加上“-”号。例如：负三千一百万零六十四，写作：-31000064。
例：地球距离太阳一亿四千九百六十万千米，这个数写作（）。
分析：按照读数法则从个位起每四位一级，再从高位开始分级读，每一级的读法都相当于个级的读法，即“千、百、十、个”再加级名，每级末尾的0都不读，其他数位上不论连续有几个0，都只读一个零。写数的法则也是从个位起每四位一级，再从高位开始分级写，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。本题中，先写亿级1，再接着写万级14960，最后写个级149600000。
解答：149600000
5.整数的改写和近似数（1）整数的改写
为了读数和写数时更方便，我们可以把一个较大的多位数改写成以“万”或“亿”作为单位的数。整万或整亿数的改写，就是把万位后面的4个0或亿位后面的8个0去掉，再在后面加上一个“万”字或“亿”字。例如：2600000=260万；564100000000=5641亿。
不是整万或整亿的多位数，在改写时则是在万位或亿位数字的右下角点上小数点，然后去掉小数点后末尾的0，再在小数的后面加上“万”或“亿”字。例如：204560=20.456万；852101000000=8521.01亿。（2）准确数和近似数
准确数就是指与事实完全符合的数，近似数就是指与实际情况比较接近但并不完全符合的数。日常生活中，一般对大的数目进行统计时取近似数，在计算过程中也常遇到近似数。例如：“5筐苹果大约有100斤重”，这里的5就是准确数，100就是近似数。
近似数和准确数之间用“≈”连接，“≈”叫作约等号，读作“约等于”。例如：120001≈120000。求近似数的方法有三种：四舍五入法、进一法、去尾法。
①四舍五入法
这是求近似数最常用的一种方法。在这里我们需要知道“尾数”的概念，尾数是指一个数的某一位后面的部分就是它的尾数。用四舍五入法求近似数的要求是：按需要截取到指定数位后，如果尾数的最高位上的数比5小，就把尾数都舍去（叫四舍）；如果尾数的最高位是5或大于5，把尾数舍去后，再向它的前一位进一（叫五入）。“四舍”、“五入”后，在保留数后面加上指定的计数单位即可。例如，2546013省略万位后面的尾数：2546013≈255万。
用四舍五入法得到的近似数，“四舍”时比准确数小，“五入”时比准确数大。但是，在实际应用中，根据具体情况，四舍五入法有时也会出现偏差。也正是因为这样，产生了下面两种取近似值的方法。
②进一法
在取近似数时，不管多余部分上的数是多少，都向前一位进1。这种方法叫作进一法。例如，一间会议室只能放8张桌子，现在有18张桌子需要放进会议室，问最少需要几间会议室才能把桌子放完？我们设想，当用两间会议室放桌子的话，还剩2张桌子没地方放。虽然2小于5，但不能舍去，因为要把桌子都放进会议室，所以，还要再加一间会议室，这18张桌子需要用3间会议室才能放完。像这样的，就叫作进一法。
用进一法得到的近似数总是比准确值大。
③去尾法
在截取近似数时，不管多余部分上的数是多少，都要舍去，这种方法就叫作去尾法。例如，制成一件上衣需要2米布料，现在有5米布料，问可以制成多少件上衣？我们可以分析一下，2米布料可以制成一件上衣，制成两件需要4米布料，还剩一米布料又不能制成一件上衣，只能舍去，所以，5米布料只能制成2件上衣。类似这样的情况，就要用去尾法。
用去尾法得到的近似数总是比准确值小。（3）数的改写与省略尾数的区别（表1-1）
例1：同学们能分辨出下面这些数，哪些是准确数，哪些是近似数吗？
1.从家到学校大约要走40分钟。
2.我国国土面积约960万平方千米。
3.五（3）班有49名学生。
4.我国的人口大约13亿。
5.一个公园占地约70000平方米。
6.河北省内有1519所普通小学。
分析：准确数是指和实际情况完全符合的数，近似数是大概的数，所以，凡是用“约”、“大概”等形容的数都是近似数。
解答：准确数有：49名学生、1519所；
近似数有：40分钟、13亿、960万平方千米、70000平方米。
例2：第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日在中国上海市举行。总投资达45000000000元人民币，截至6月19日17时，世博园累计参观人数已达16207730人。
①将45000000000元改写成以“亿元”为单位的数是（）亿元。②参观人数的数字可读作（），省略万位后面的尾数约为（）。
分析：本题主要考查了有关数的改写和读法的知识。第一空改写成“亿”作单位，只需在亿位的右下角点上小数点，去掉小数末尾的0，并在后面加上“亿”字，即450亿；第二空是读数，根据读数法则，只有每级末尾的0不读，其他数位上的一个或连续几个0只读一个，即读作“一千六百二十万七千七百三十”；第三空求近似数，省略万位后的尾数采用“四舍五入”法，千位是7，要向前一位进“1”，在后面加上“万”宇，即1621万。
解答：450；一千六百二十万七千七百三十；1621万
例3：把下列各数改写成以万作单位的数。
54600米 9200000 306760
分析：根据我们之前学到的改写方法整万或整亿数的改写，就是把万位后面的4个0或亿位后面的8个0去掉，再在后面加上一个“万”字或“亿”字。不是整万或整亿的多位数，在改写时则是在万位或亿位数字的右下角点上小数点，去掉小数点后末尾的0，再在小数的后面加上“万”或“亿”字。改写成用万作单位的数与原数的值应该是相等的，只是所用的单位不同。
解答：54600改写成以万作单位的数是5.46万。
9200000改写成以万作单位的数是920万。
306760改写成以万作单位的数是30.676万。
例4：（1）下列数字用法正确的是（）。
A.435800=43.58万B.135000000=13.5亿C.696980≈69万（2）把2465700四舍五入到万位时，（）位上的数四舍五入。
A.个位
B.十位
C.百位
D.千位
分析：这两道题主要考察的是整数的改写和近似数有关知识，求近似数通常用“四舍五入法”：如果尾数的最高位上的数比5小，就把尾数都舍去；如果尾数的最高位是5或大于5，把尾数舍去后，再向它的前一位进一。（1）中B选项的正确写法应该是135000000=1.35亿，C选项中万位的后一位是6，大于5，要向前进一位。
解答：（1）A.（2）D
6.整数的大小比较
方法：先看位数，位数越多的越大；位数相同时，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。
例：比较4215和999，3561和3710的大小。
分析：4215是四位数，999是三位数，依据“位数多的数大”，可判断4215大于999；3561和3710比较，两者都是四位数，依据“相同数位上的数大的那个大”从高位开始，比较相同数位上的数，3561和3710从千位开始，千位相同，看百位，3561的百位是5，3710的百位是7，7大于5，所以3710比3561大。
解答：4215＞999；3561＜3710二、小数
1.小数的产生
小数的概念是在13世纪，由我国元代数学家朱世杰提出来的，而在出土的商代文物中就有十进位的尺子，上面有明确的尺寸，这就证明了小数在商代的时候就出现了。
日常生活中在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，所以这个时候就需要用小数来表示结果。
例1：计算10÷4=（）的结果。
分析：直接运用除法计算我们可以得知数字10不能被数字4整除，所以得出的结果会是小数。
解答：10÷4=2.5，这里的2.5就是用小数的形式表示出来的计算结果。
例2：计算一下22÷5=（）的结果。
分析：与上一题相同，22不能被5整除，所以得出的结果会是小数。
解答：22÷5=4.4，这里的4.4就是用小数的形式表示出来的计算结果。
2.小数的意义
把单位“1”平均分成了10份、100份、1000份……，这样的一份或者几份就是十分之一、百分之一、千分之一或十分之几、百分之几、千分之几……，也可以用小数来表示。
一位小数表示的是零点几（或十分之几），两位小数表示的是零点零几（百分之几），三位小数表示的是零点零零几（千分之几）。
例如：1/10写成小数是0.1，3/100写成小数是0.03，7/1000写成小数是0.007。这里的0.1，0.03，0.007等都是小数。
3.小数的基本性质
在一个小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。利用小数的这一性质，我们可以去掉小数末尾的“0”，把小数化简；也可以根据需要在小数的末尾添上“0”；还可以在整数个位的右下角点上小数点，在后面添上0，把整数改写成小数形式。
例如：可以把1.200去掉末尾的“0”简化成1.2；还可以把5化为三位小数，写成5.000。
我们在描述小数的性质时要注意语言的准确性。不要把“小数末尾”说成是“小数点后面”或者“小数后面”。
4.小数点
小数里的实心圆点“.”叫小数点。小数点的位置在个位的右下方，它是整数部分和小数部分的分界符号：小数点左边的部分叫作整数部分，小数点右边的部分叫作小数部分。例如6.3中，小数点前边的6就是整数部分，小数点后边的3就是小数部分。
5.小数的读法
小数的读法分为两种，一种是直接读法，一种是分数读法。
直接读法就是，在读小数时，整数部分按照整数的读法去读，整数部分是0的读作“零”，小数点读作“点”，小数部分可以依次读出每个数位上的数字，小数部分的0也要一个不少地全部读出来。通常，读小数采用的都是直接读法。
例如：0.3读作零点三，2.0360读作二点零三六零。
分数读法是小数读法中不常用的一种读法，它是按照分数的读法去读，整数部分仍按照整数读法，小数部分按分数读法。实际上这种间接的读法更有益于我们理解小数的意义。
例如：0.9读作十分之九，3.57可以读作三又百分之五十七。
6.小数的写法
写小数时，先写整数部分，再写小数点，最后写小数部分。整数部分按照整数的写法来写，整数部分的零写作“0”，小数点写在整数个位数的右下角，小数部分从十分位起，由高位到低位依次写出每一个数位上的数字。
例如：零点三四写作：0.34，一百五十二点七写作：152.7，十三点零八写作：13.08。
7.小数的数位
小数同整数一样也有自己的计数单位，并且是按照一定的顺序排列起来，它们所占据的位置叫作小数的数位。小数的计数单位是0.1、0.01、0.001、……，每相邻的两个单位之间的进率都是“十”，即小数点右边的第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位……一个小数的小数部分哪几个数位上有数字就叫作几位小数。
例如：2.7，156.8都是一位小数，6.35，47.89都是两位小数，0.864，963.215都是三位小数。
注意：小数部分的最高位是十分位，越往右就越小。小数的位数只与小数部分占有几个数位有关，而与整数部分无关。
8.小数的大小比较
要比较两个小数的大小，就必须先比较它们整数部分的大小，整数部分大的那个小数就大，整数部分小的那个就小；当整数部分相同时，再比较它们的小数部分，比较小数部分时先比较最高位十分位上的数字的大小，十分位上数字大的小数就大；十分位的数字相同，就比较百分位上的数字大小，依次类推。
例1：比较这两个数的大小，15.36（）14.23。
分析：根据小数比大小的方法先比较整数部分，在这个式子中，15.36的整数部分是15，14.23的整数部分是14，15＞14，由比较结果可以得出，15.36＞14.23。
解答：15.36＞14.23。
例2：比较这两个数的大小，5.69（）5.68。
分析：通过观察这两个数字我们可以发现整数部分的数字一样大，小数的十分位上数字也一样，就比较百分位上，已知9＞8，所以可以得出比较结果。
解答：5.69＞5.68。
例3：比较这两个数的大小，23.658（）23.651。
分析：两个数的整数部分一样，十分位和百分位也一样，所以要比较它们的千分位，已知8＞1，所以可以得出最终的比较结果。
解答：23.658＞23.651。
例4：把2.31，3.56，2.47，2.35，3.569这几个数用“＞”连接起来。
分析：本题考查的是小数的大小比较，比较小数的大小时，是从高位到低位逐步比较的，所以先看这几个小数的整数部分，得出，3＞2，再分别比较它们的十分位和百分位，最后排出大小。
解答：3.569＞3.56＞2.47＞2.35＞2.31。
9.小数的分类（1）根据整数部分是否为0，将小数分为纯小数和带小数。
纯小数：指整数部分是0的小数。纯小数都比1小。
例如：0.3，0.23，0.698等，都是纯小数。
带小数：指整数部分不是0的小数。
带小数都比1大，或者等于1。例如：1.68，6.9，45.87等，都是带小数。（2）根据小数部分的位数将小数分为有限小数和无限小数。
有限小数：小数部分的位数是有限的小数。一般十进制分数改写成的小数，都是有限小数。
例如：0.7，2.5，45.78等，都是有限小数。
无限小数：小数部分的位数是无限的小数。（3）无限小数又可以分为无限循环小数和无限不循环小数。
无限循环小数：小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫作无限循环小数。其中按照顺序不断重复出现的数字叫作这个无限循环小数的循环节。例如：0.333……，5.626262……，2.0305305……，它们的循环节分别是“3”“62”和“305”。
无限不循环小数：一个无限小数的小数部分的位数是无限的，并且数字的出现是没有规律的，这样的小数就叫作无限不循环小数。例如：圆周率π的值3.1415926……，0.01002000300004……都属于无限不循环小数来说，对于一个无限小数，如果它不是循环小数，那么就一定是不循环小数。
例1：下列小数中，属于纯小数的是（）。
A.23.6
B.10.23
C.0.715
D.51.02
分析：根据纯小数的定义可知，纯小数是指整数部分是0的小数。因此只需找出整数部分为0的小数即可。
解答：只有0.715的整数部分是0，所以答案选C。
例2：请找出属于无限不循环小数是哪个？（）
A.1.020202
B.52.010200102
C.13.01020304……
D.4.020202……
分析：无限不循环小数的小数部分是无限且不循环的，A和B项都是有限小数，可以先排除，D项中的020202……是无限循环的，所以答案就是C项。
解答：只有0.1020304……符合无限而且循环这个限定条件，所以C项是无限不循环小数。
10.小数点移动对小数大小的影响
如果小数点向右（或者向左）移动一位、两位、三位……小数的值就扩大（或缩小）10倍、100倍、1000倍……。注意，在移动时，数位不够需添0补充。例如，将0.07的小数点向右移动一位、两位、三位，会分别得到0.7、7、70，它们分别是将0.07扩大到它的10倍、100倍、1000倍。
例：一个两位小数，若去掉它的小数点，得到的新数比原来多40.59。那么这个两位小数是（）。
分析：去掉两位小数的小数点，就相当于把原来的小数点向右移动了两位，这样就扩大到了原来的100倍，增加了它的（100-1）倍。所以原数是40.59÷（100-1）=0.41。
解答：40.59÷（100-1）=0.41。三、分数和百分数
1.分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，叫作分数。
在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫作分数的分母；表示取了多少份的数叫作分数的分子；表示其中的一份的数叫作分数单位。
分母不同的分数，它们的分数单位也不同。一般来说，一个分数a/b（A.b为非零自然数）的分数单位就是1/b。
分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数，分数的值相当于除法中的商。0不能作除数，也就是说分数的分母不能为0。
例如：1/4的意义是把单位“1”平均分成4份，表示这样的一份，叫作1/4。3/10千克的意义是把1千克平均分成10份，表示这样的3份，或把3千克平均分成10份，表示这样的1份是3/10千克。
例：把5米长的木材平均截成9段，每段长（）（）米，每段占全长的（）（），5段占全长的（）（）。
分析：这是一道考查对分数意义理解的题目，第一个问题求每段长多少米可以按以前的除法问题来做，只是结果是用分数来表示而已。跟分数意义关系不大。第二和第三个问题才是分数问题，把全长看作单位“1”，平均截成9段，每段占全长的1/9，5段占全长的5/9。虽然第一个括号和第三个括号都是5/9，但它们的意义完全不同，第一个括号里的5/9是把5米平均分成9份，取其中的1份，而第三个括号里的5/9是把1平均分成9份，取其中的5份。
解答：把5米长的木材平均截成9段，每段长（5）（9）米，每段占全长的（1）（9），5段占全长的（5）（9）。
2.分数的分类（1）分类
分数可分为真分数和假分数，其分类图如下：
①真分数：分子比分母小的数，叫作真分数。真分数比1小。例如：2/3，4/7，100/101。
②假分数：分子比分母大的数或者分子与分母相同的数，叫作假分数。假分数大于或等于1。例如：7/9，3/3。
③带分数：在分数中，由一个整数和一个真分数合成的数，叫作带分数。带分数大于1。例如1 1/2，2 2/3。（2）假分数与整数或带分数的互化
①假分数化成整数或带分数的方法（表1-2）
②整数或带分数化成假分数的方法（表1-3）
例1：分数单位是1/8的最大真分数是（），最小假分数是（），最小带分数是（）。
分析：本题考查同学们对真分数、假分数、带分数概念的理解。真分数分子比分母小，最大是7/8；假分数分子大于或等于分母，最小是8/8；带分数有整数部分，最小是1 1/8。
例2：a、b、c是三个不等于0的自然数，且a＜b＜c，它们组成b/A.a/B.a/C.c/A.c/B.b/c这6个分数，其中最大的分数是（），最小的分数是（），真分数有（），假分数有（）。
分析：本题考查的目的是除了要了解真分数和假分数的含义外，还要了解分数的分母和分子的大小和数值大小之间的关系。因为a＜b＜c，所以b/A.c/A.c/b都是分子大于分母的分数，都是假分数，其中c/a分子最大，分母最小；a/B.a/C.b/c都是分子小于分母的分数，都是真分数，其中a/c分子最小，分母最大。这个例题考查的是同学们对分数的综合运用，你做对了吗？
解答：最大的分数是（c/a），最小的分数是（a/c），真分数有（a/B.a/C.b/c），假分数有（b/A.c/A.c/b）。
3.分数的基本性质（1）分数的性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。（2）倒数：乘积是1的两个分数互为倒数。求一个分数（零除外）的倒数，只要把这个分数的分子、分母调换位置即可。
注意：1的倒数是1，0没有倒数。（3）约分和通分：约分和通分的依据是分数的基本性质。
①约分：把一个分数简化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分。约分通常要约到最简分数。
②通分：把异分母的分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。
例1：（1）a是b的倒数，b扩大10倍后是50，a是（）。（2）把2/5的分子加上4，要使分数大小不变，分母应加上（）。
分析：第（1）题结合考查倒数、小数点移动的知识，由b扩大10倍是50，可知b是5，由此推出a为1/5；第（2）题考查分数基本性质的运用。分子加4，观察分子变化，扩大3倍，因此分母也扩大3倍为15，因此增加15-5=10。
解答：（1）a是1/5，（2）分母应加上10。
例2：1 2/9的分数单位是（），它再增加（）个这样的单位就等于最小的质数。
解答：1 2/9的分数单位是（1/9），它再增加（7）个这样的单位就等于最小的质数。
4.分数的大小比较（1）同分母分数大小比较：分母相同时，分子大的分数比较大。（2）同分子分数大小比较：分子相同时，分母小的分数比较大。（3）分子、分母都不相同的分数大小比较：分子、分母都不相同的分数在比较大小时，一般先通分再比较，也可以把分数分别化成小数再比较。（4）比较分数大小的几种特殊方法：
①交叉相乘比较法。将要比较大小的两个分数的分子、分母交叉相乘，然后比较积的大小的方法，称为交叉相乘比较法。例如：
②用1比较法。当两个分数都比较接近1，却难以确定它们的大小时，我们可以先分别求出它们与1的差，差较小的分数就大，差较大的分数就小。这种比较分数大小的方法，称为用1比较法。
③用1/2比较法。当两个或几个要比较大小的分数，它们的值都接近1/2时，我们就可以用1/2作为标准来比较它们的大小。这种比较分数大小的方法，称为用1/2比较法。这样比较，往往可快速地发现两个或几个分数的大小关系。
④两分数相除比较法。将两个分数相除，看它们的商是大于1还是小于1，这样能快速地比较出一些分数的大小。这种比较分数大小的方法，可称为“两分数相除法”。
⑤化相同分子法。把分子不相同的分数，化成同分子分数比较它们的大小，这种比较分数大小的方法，称为化相同分子法。在某些情况下化相同分子法比先通分再比较大小的方法还简便、快速。（5）综合运用：
例：用不同的方法比较13/14和15/16的大小
分析：这是一道开放性题目，因此可以有不同思路的解题方法。在解答过程中要灵活运用分数的意义、基本性质。方法有：化成同分母分数进行比较；化成同分子分数进行比较；还可以与1进行比较；用倒数进行比较；用整数进行比较；用小数进行比较。
解答：方法一：化成同分母分数比较：
注意：解题方法虽然有很多，但一定要选择最佳的方法来解题。
5.百分数的意义（1）表示一个数占另一个数的百分之几的数，叫作百分数。在这里应该指出的是，对于什么是百分数有两种不同的解释：一种是从百分数的形式上说“分母为100的分数叫作百分数”；另一种是从百分数的实际应用方面说“表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数”。
百分数之所以重要，是因为它的应用很广泛，在生产、工作和生活中，进行调查统计、分析比较时，经常要用到百分数。而它的应用特点就在于用它来表示两个数的比，所以，百分数也叫百分率或百分比。百分数的单位是1%。
例如：①二年级三好学生人数占总人数的20%。
②山东大枣的产量今年比去年增长15%。
③海尔冰箱经检验合格率为98%。
例：请你来做小法官：（1）一根绳子93%米，用去了它的20%。（）（2）最小的百分数是1%。（）（3）在5的后面添上“%”，那么这个数就缩小了100倍。（）（4）15/100是百分数。（）
分析：本题考查的是对百分数含义的理解，因为百分数只表示份数，不能表示数量，所以第（1）题是错误的；百分数的分子可以是小数，所以第（2）题也是错误的；添上“%”就是将5除以100，肯定要缩小100倍，所以第（3）题是对的；百分数有特殊的写法，所以第（4）题也是错误的。
解答：（1）一根绳子93%米，用去了它的20%。（×）（2）最小的百分数是1%。（×）（3）在5的后面添上“%”，那么这个数就缩小了100倍。（√）（4）15/100是百分数。（×）
6.百分数的读法和写法（1）百分数的读法
百分数的读法与分数的读法相同，先读分母，再读分子。在读百分数时，百分号“%”前面的数是几，我们就把这个百分数读作百分之几。
例如：22%读作：百分之二十二
5%读作：百分之五
125%读作：百分之一百二十五
89.2%读作：百分之八十九点二
300%读作：百分之三百。（2）百分数的写法
百分数通常不写成分数形式，“%”表示百分号，“百分之”后面的数就是分子，按整数、小数的方法书写。
例如：百分之五十六，写作：56%
百分之二百三十点四，写作230.4%
7.百分数与小数、分数的互化（1）小数化成百分数
可以把小数化成分母是100的分数后再把它写成百分数，也可以把小数的小数点向右移动两位，位数不够时用“0”补足，同时在后面加上百分号。
例如：0.34=34%，0.7=70/100=70%（2）百分数化成小数
可以把百分数写成分母是100的分数后再把分数化成小数，也可以把小数点向左移动两位的同时去掉百分号，位数不够时用“0”补足。
例如：47%=47/100=0.47，140%=1.4（3）分数化成百分数
通常先把分数化成小数（遇到除不尽的情况，通常要保留三位小数），再把小数化成百分数。
例如：1=0.25=25%，1≈0.333=33.3%。
还可以先把分数化成分母是100的分数，然后再去掉分母，并在分
子后面添上百分号。例如：8/5=160/100=160%，34=75100=75%。（4）百分数化成分数
把百分数改写成分数时，能约分的要约成最简分数。例如：60%=60/100=3/5，25%=25/100=1/4。
把百分数化成分数，如果分子部分是小数，就先把百分数的分子、分母同时扩大相应的倍数，使分子变成整数，然后再约成最简分数。例如：2.5%=2.5/100=25/1000=1/40，16.2%=16.2/100=162/1000=81/500。
例：将无限循环小数0.181818……化成分数。
分析：循环小数0.181818……的小数数位是无限的，两位一循环，可把扩大100倍（如三位一循环，则扩大1000倍，依次类推）后的18.1818……减去0.181818……，就会得到18，并不是无限小数，18.1818……比0.181818……多出（100-1）倍正好是18，因此0.181818……相当于1倍数18÷（100-1）。
解：0.181818……
=（0.181818……×100-0.181818）÷（100-1）
=18÷99=18/99=2/11
8.百分数的应用（1）税率
税率是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率（百分数）把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。缴纳的税款叫作应纳税额，应纳税额与收入（销售额、营业额……）的比率就叫作税率。（2）利率
存入银行的钱叫作本金；取款时银行多付给客户的钱叫作利息；利息与本金的比值叫作利率。利率常用百分数来表示。利息的计算公式是：
利息=本金×利率×时间（3）成数和折扣：成表示十分之一，几成就表示十分之几，三成就是十分之三，其实折扣就是打折，打几折就是按原价的百分之几十出售，例如：打七五折就是按原价的75%出售。
例1：小明爸爸一年收入28000元，把收入的35%存入银行，定期一年，年利率2.25%，到期后扣除5%的利息税，一年后，小明爸爸一次性可以从银行拿到多少钱？
分析：解题的关键是首先我们得明白本金有多少，计算利息后，还要交5%的利息税，就是得利息的95%，再加上本金，就是小明爸爸可以拿到的钱了。
解：28000×35%×2.25%×1=220.5（元）
220.5×（1-5%）+28000×35%
=209.475+9800
=10009.475（元）
≈10009.48（元）
答：小明爸爸一次性可以从银行拿到10009.48元钱。
例2：王校长编写了一本书，获得稿费4200元，按规定，一次获得的稿费超过800元的部分应按14%的税率纳税，王校长应缴纳税款多少元？
分析：解题时需要注意两点，一是超过800元的部分才缴税；二是税率是指缴税金额占应缴税金额的百分之几，这里是14%。
解：（4200-800）×14%==476（元）
答：王校长应缴纳税款476元。
例3：某商场出售一批夏季服装，每件成本84元，原来按定价出售，每天可售出100件，每件利润为成本的25%，后来按定价的90%出售，每天销售量提高到原来的3.5倍，照这样计算，每天利润比原来增加多少元？
分析：要解答本题，首先要知道现在和原来的利润各是多少元。根据题意，每件服装成本84元，每件利润为成本的25%，则每件可获利润84×25%元，每天售出100件的获利是84×25%×100元。每件服装原售价为84×（1+25%）=105（元），后来按定价90%出售，售价为105×90%=94.5（元），每卖出一件可获利润94.5-84=10.5（元），销售量提高100只的3.5倍，可获利润为10.5×100×3.5元；现在与原来每天的获利相比较，即可求出利润的增加数。
解：[84×（1+25%）×90%-84]×（100×3.5）-84×25%×100
=10.5×350-2100
=1575（元）
答：每天利润比原来增加1575元。四、数的整除
1.整除的意义
整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
甲数除以乙数除得的商是整数或有限小数，称为甲数能被乙数除尽。
如果数a能被数b整除，a就是b的倍数，b就是a的因数。
如果a、b两个整数都能被整数c（c≠0）整除，那么a、b两数的和以及a、b两数的差也能被c整除。
注意：整除与除尽的区别和关系
①整除中，被除数、除数（不为0）、商三者都是整数，且没有余数。
②除尽中，被除数、除数（不为0）、商三者不一定都是整数，也可以是小数或分数，也没有余数。
③“整除”是“除尽”的特殊情况。整除一定是除尽，但除尽不一定是整除。
2.奇数和偶数
自然数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数、最小的偶数是0，最小的奇数是1，在自然数中，任何一个数，不是偶数就是奇数。
例1：如果n是任意一个自然数，则偶数表示为（），奇数表示为（）。
分析：n为任意自然数，它有可能是奇数，也有可能是偶数，2和任何自然数相乘都得偶数，所以我们用2n来表示偶数。而最小的偶数是0，再加上1就是奇数，任意一个偶数加上1都是奇数，所以我们用2n+1来表示奇数。
例2：任意打开一本书，左右两个页码的和可能是（）。
A.75
B.80
C.85
分析：任意打开一本书，左右两页码一定是相邻的两个自然数，也就是一个奇数和一个偶数，其和一定还是奇数，所以左右两页码的和不可能是80，排除选项B；如果左右两页码的和是75，根据和差问题的思路，可求得：（75-1）÷2=37（页），37+1=38（页），这两页的页码就是37页和38页；如果左右两页码的和是85，同样可求得（85-1）÷2=42（页），左页为42，右页为43页。联系实际生活，通常打开一本书都是偶数页码在左，奇数页码在右，所以正确答案应该选C。
即两页码的和是85。
3.质数和合数（1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这个数就叫作质数。
一个数，如果除了1和它本身外，还有别的因数，这个数就叫作合数。
1既不是质数，也不是合数。
因此判断一个数是质数还是合数，要看它因数的个数。质数的因数只有1和它本身，合数除了1和本身以外还有别的因数。最小的质数是2，最小的合数是4。2是质数中唯一的偶数。（2）注意：①最小的质数是2，没有最大的质数；1既不是质数也不是合数；分解质因数一定要分解彻底，直到每一个因数都是质数为止。
②质因数与分解质因数的区别：质因数是一个具体的数，而且必须是质数。而分解质因数是把一个合数进行拆分的过程，使一个合数变为几个质数相乘的形式。（3）互质数：两个数的公因数只有1，这两个数叫作互质数。
注意：“1”和任何自然数都互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质；当合数不是质数的倍数量时，这两个数互质；当两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。（4）质因数和分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都可以叫作这个合数的质因数。例如：30是合数，30=2×3×5，其中2、3、5这三个质数就叫作30的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。分解质因数通常用短除法。
例：把自然数a分解质因数是a=2×3×2×5，则a的因数有多少个？
分析：如果数a能被数b整除，b就是a的因数。
a=2×3×2×5=60
60÷1=60/60÷2=30/60÷3=20/60÷4=15/60÷5=12/60÷6=10
能整除60的数有1，60，2，30，3，20，4，15，5，12，6，10。
答案：有12个。
4.公因数和倍数
如果自然数a能被自然数b（b≠0）整除，那么a就叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数和倍数是相互依存的。
任何一个数的因数的个数是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身。
任何一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身。
例1：计算20以内不是5的倍数的自然数的和。
分析：运用和差的解题思路，要想计算20以内不是5的倍数的自然数的和，首先计算20以内所有自然数的和：（1+20）×20÷2=210，再计算20以内的自然数中5的倍数的自然数的和：（5+20）×4÷2=50，然后计算210-50=160，这就是20以内不是5的倍数的自然数的和。
答案：160。
例2：把30、42、55、66、78、91这六个数分成两组，使每组三个数的乘积相等。
分析：如果两个数乘积相等，那么把这两个数分解质因数，必定得到相同的质因数。根据这个原则，我们先把这6个数都分解质因数。30=2×3×5，42=2×3×7，55=5×11，66=2×3×11，78=2×3×13，91=7×13。通过观察比较，得到乘积相等的两组。
答案：30×66×91=42×55×78
5.最大公因数和最小公倍数
几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个因数叫作这几个数的最大公因数。
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个倍数叫作这几个数的最小公倍数。
几个数的最大公因数里，必须包含它们全部公有的质因数。
几个数的最小公倍数里，必须包含它们所有的质因数。如果小数是大数的因数，那么小数就是这两个数的最大公因数。如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1。
如果大数是小数的倍数，那么大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是这两个数的积。
一般地，求n个数的最大公因数、最小公倍数通常运用短除法。
用短除法求n个数的最大公因数时，先用这几个数的公因数连续去除，直到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连续乘起来。
用短除法求几个数的最小公倍数时，先用所有的公因数去除，然后用任意两个数的公因数去除，直到所有的商两两互质为止，然后把所有的除数和最后的几个商连乘起来。
例1：求12、18和24的最大公因数和最小公倍数。
分析：求这3个数的最大公因数时，要先用它们的公因数连续去除，直到只有公因数1为止，除数连乘的积就是这3个数的最大公因数。求这3个数的最小公倍数时，先用三个数的公因数去除，然后考虑用任意两个数的公因数去除，直到商两两互质为止，所有的除数及商的积就是这3个数的最小公倍数。
12、18、24的最小公倍数是2×3×2×1×3×2=72。
例2：m是n的倍数，p是n的因数，下面有四种说法：
A.m是p的倍数
B.n既是p的倍数，又是m的因数
C.m是m,n，p的最小公倍数
D.m,n，p的最大公因数是p
以上说法中，（）是正确的。
分析：此题是考查学生对倍数、因数、最大公因数、最小公倍数之间的理解。从条件中可以看出，m是n的倍数，也一定是p的倍数；p是n的因数，那也是m的因数，p一定是m,n，p的最大公因数。
答案：以上说法中，A、B、C、D都是正确的。
例3：一个三角形建筑的三条边分别是15米、18米和27米，工人们要在它的三边上栽上树（三个顶点都栽），且每相邻两棵树间距都相等，最少需要（）棵树。
分析：本题主要考查最大公因数在实际生活中的应用。实际就是求15，18和27的最大公因数。15，18和27的最大公因数是3，因此三边分别栽5棵、6棵和9棵。因为三角形是一个封闭图形，所以5+6+9=20（棵）。
易错分析：弄不清“三角形是一个封闭图形，间隔数与点数相等”是出错的主要原因。
答案：20
例4：公交公司的2路汽车每3分钟发一次车，3路汽车每5分钟发一次车，这两路车同时发车后，至少再过（）分钟又同时发车。
分析：本题主要考查的是最小公倍数在日常生活中的应用。求经过多少分钟再同时发车，实际上就是求3和5的最小公倍数。因为3和5是互质数，所以它们的最小公倍数是3与5的积15。
答案：15
6.2、3、5的倍数的数的特征
2的倍数：个位上是2、4、6、8或0的数。
5的倍数：个位上是5或0的数。
3的倍数：各个数位上数字的和是3的倍数的数。
注意：3的倍数的特征是：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数。那么这个数就是3的倍数。三个相同数字的和一定是3的倍数，三个连续自然数的和也是3的倍数。
如果一个数，要想同时能被2，3，5中的两个或三个数整除，则这个数必须同时符合能被这两个或三个数整除的数的特征。
例1：已知A19/93B这个六位数能被15整除，求满足这个条件的所有六位数。
解答：能被15整除的数一定能同时被3和5整除，因此这个数的个位不是0，就是5，也就是说B=0或5。根据：一个数各个位上的数字之和能被3整除则这个数能被3整除，如果个位数是0，那么十万位上就可能是2，5，8，因为2+1=3，5+1=6，8+1=9，千位上数字是9，百位上也是9，十位上数字3，它们都是3的倍数，所以可省略不加了。如果个位上是5，那么十万位上就可能是3，6，9。
答案：满足条件的所有六位数有219930，519930，819930，319935，619935，919935。
例2：在□里填上合适的一位数字，使得17□45□是2，3，5的倍数，共有（）填法。
分析：本题主要考查2，3，5的倍数的特征。一个数要同时能被2，3，5这三个数整除，则这个数必须同时符合能被这三个数整除的数的特征。要使这个数同时是2和5的倍数，这个数的个位上必须是0，
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]