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发布时间:2020-07-10 18:22:59

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作者:蒋守成

出版社:电子工业出版社

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应用问题

应用问题试读:

前言

怎样才能把大脑的潜能充分发掘出来?这就需要同学们进行有针对性的智力训练,但是,训练往往是一个枯燥而乏味的过程,有没有既有趣又有效的训练方式?能不能以一种更快乐的方式进行训练呢?基于此,我们为同学们提供了《小学数学思维拓展》丛书,以最有效的方式开发同学们的潜能,以最轻松的训练开启智慧的法门。翻开此书,也许你成不了爱因斯坦,但你可以像爱因斯坦那样思考,发现数学的魅力。

本丛书是专门为小学生设计编写的思维拓展类图书,丛书共4册,每册按内容划分为神机妙算、图形王国、应用问题和解题策略四大板块,内容丰富多彩,语言生动通俗,排版灵活多变,给读者带来全新的视觉享受。书中一个个精心设计的思维拓展题,引导学生打破固有的思维模式,充分调动脑细胞的活力,开发深层潜能,全面提升学生各方面的能力和素质,让学生不断超越自我,逐渐走向成功。

本书的目的是使学生学会学习,就是学会思考、学会推理,在深层次的思考中感受到数学的魅力。我们试图从运算、图形、问题解决与策略4个方面进行较为系统的训练,以发展学生的思维能力,提高智力水平,促进智力的发展。全书在基础知识、基本技巧、基本思想方法上做了全面的、详细的诠释。本书遵循循序渐进的学习方式,通过引入、解析、拓展、提高逐渐提升,让学生真正地体验学习的乐趣。

本丛书的编写力求体现以下特点。(1)“各个击破”,在计算、图形、解决问题、解题策略4个方面,从基础知识、基本技巧、基本思想方法做了全面的、详细的诠释。(2)例题经典、新颖独特,覆盖面广,具有代表性,有启迪作用。(3)“思维点拨”深入浅出,通俗易懂,引人入胜。

本丛书并不仅仅是为了学会做几道数学题,更重要的是学习观察生活,不断地去发现、去思考、去解决数学问题,如果能够这样做,你就会发现数学无处不在,数学问题无处不在,并且在尝试着用数学解决问题的过程中感受到数学的魅力和研究数学的乐趣,那样,学习数学就变成了一件尽管辛苦但却有着无穷乐趣的事情,乐在其中的好事,我们何不试着去做一做呢?

只要同学们掌握了正确的思维方法,就如同插上一对强壮有力的翅膀。同学们,还等什么,赶快挥动翅膀,飞翔在思维的天空中吧!编者

1.归一与归总问题

已知相关联的两个量,其中一个量变化,另一个量也随着发生同样的变化。解决这类应用题,往往要先求出“单一量”,所以我们称这类应用题为归一问题。

归一问题的基本特点:相互关联的两个量,其中一种量改变,另一种量也随之而改变,其变化的规律是相同的,一般是两个相关联的量的商一定。

与归一问题类似的是归总问题,归一问题是找出“单一量”,而归总问题是找出“总量”,再根据其他条件求出结果。

归总问题的基本特点:相互关联的两个量,其中一种量改变,另一种量也随之而改变,其变化的规律是相反的,一般是两个相关联的量的积一定。

解答归一问题时,根据求“单一量”步骤的多少,归一问题可以分为一次归一问题(一步运算求出“单一量”)和二次归一问题(两步运算求出“单一量”)。根据求出“单一量”后用乘法还是除法求得问题答案,归一问题可以分为正归一问题(用乘法计算结果)和反归一问题(用除法计算结果)。

归一问题的解题思路:从已知的一组对应量中用除法求出“单一量”,然后以它为标准,根据题目的要求算出结果。也可以根据正比例意义,列出比例式解答。

数量关系式:单一量×份数=总数量(正归一),总数量÷单一量=份数(反归一)。

归总问题的解题思路:先根据已知的一组对应量用乘法求出“总数量”,然后以它为标准,根据题目的要求算出结果。也可以根据反比例意义,列出比例式解答。

数量关系式:单一量×份数=总数量,总数量÷一个单位数量=另一个单位数量。

【典例精讲】

例1 刘师傅开车从沈阳到哈尔滨,他小时行40千米。照这样计算,从沈阳到哈尔滨约480千米,需要几小时?

思维点拨:本题有两种解法:(1)算术方法。先根据题意,用“路程÷时间”求出汽车的速度:(千米/时);再根据“路程÷速度”求出汽车行驶480千米需要的时间:480÷120=4(小时)。(2)列比例解。因为汽车行驶的速度一定,所以汽车行驶路程和时间成正比例。设行驶480千米需要x小时,列比例求解。

解答:(1)算术方法:(小时)。(2)列比例解:设行驶480千米需要x小时,列比例,解得x=4。

答:需要4小时。

指点迷津:解题的关键是要准确掌握路程、速度、时间之间的关系。用算术方法列综合算式求解时,要注意因为要先求出汽车速度,所以这一步要添上小括号。

【牛刀小试】

1. 刘师傅用4小时加工了124个机器零件。照这样计算,几小时可以加工496个机器零件?

2. 照这样计算,小桃做54道计算题需要多少分钟?

3. 一只山雀5天大约能吃300只害虫。照这样计算,1500只害虫一只山雀几天吃完?

【典例精讲】

例2 编织厂工人编织一种小席子,3名工人8小时可以编72条。照这样计算:(1)20名工人3小时可以编多少条这种小席子?(2)要编织120条这种席子,8名工人6天能完成任务吗?

思维点拨:(1)分两步解答:①求出1名工人1小时编织几条小席子(工作效率)。可以先求3名工人1小时编织席子的数量,再求1名工人1小时编织席子的数量,列算式是:72÷3÷8;也可以先求1名工人8小时编织席子的数量,再求1名工人1小时编织席子的数量,列算式是:72÷8÷3。②求20名工人1小时编织多少条小席子(工作总量)。(2)根据(1)中求出的工作效率,先求8名工人6天能编织多少条席子,然后和120条席子比较,也可以先求出8名工人编织120条席子需要几天,然后和6天比较,最后做出判断。

解答:(1)72÷3÷8×20=60(条);或者72÷8÷3×20=60(条)。(2)3×8×6=144(条),144条>120条,所以能完成任务;或者120÷8÷3=5(天),6天>5天,所以能完成任务。

答:(1)20名工人3小时可以编60条这种小席子。(2)8名工人6天能完成任务。

指点迷津:本题属于双归一问题,解题关键是根据“工作总量÷工作时间”求出工作效率,也就是先求出每一份的量。【牛刀小试】

4. 胜利农场,6台拖拉机3天耕地90公顷。照这样计算,5台拖拉机12天耕地多少公顷?

5. 向阳长途运输队用5辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,要运几次?

6. 三峡工程队用6台压路机4小时可以压路2400米。照这样计算,8台压路机10小时可以压路多少米?【典例精讲】

例3 某电子产品加工厂原计划5人16天生产2400打计算机芯片,后来由于订货增加,采用新工艺生产,工效是原来的1.5倍,但还需要8人20天才能完成生产任务。这样后来生产的增加数是原计划生产数的几倍?

思维点拨:求出平均每人每天的工作效率是多少,然后求出后来的每人每天的工作效率是多少;用这个工作效率乘以工作时间和工作人数求出后来的增加工作量;增加的工作量除以原来的工作量即可。

解答:2400÷16÷5=30(打),30×1.5=45(打),45×8×20=7200(打),7200÷2400=3。

答:后来生产的增加数是原计划生产数的3倍。

指点迷津:解决本题要先求出单一的量,再由单一的量求出总量。【牛刀小试】

7. 普宁塑料编织厂上次用30人10天编织了1500只花篮;这次人数减少,工作效率提高,编6000只花篮需要多少天?

8. 辽宁筑路队修筑一条公路,原计划60人工作,80天完成。现在工作20天后,人数增加50%,这样剩下的部分再用多少天可以完成?

9. 王师傅将一根木料锯成3段用了6分钟,按这种速度,要将一根同样大小的木料锯成6段需要几分钟?【典例精讲】

例4 辉阳加工厂10个工人4小时加工零件800个,如果人数减少一半,时间增加2小时,一共可以加工零件多少个?

思维点拨:这是一道两次“归一”的应用题,可先计算出1个工人1小时加工零件多少个。这里人数减少一半,现在的人数是10÷2=5(个),时间增加2小时,现在的时间是4+2=6(小时)。计算出1个工人1小时加工零件的个数后,就可以求出5个工人6小时加工多少个零件。

解答:800÷10÷4×(10÷2)×(4+2)=600(个)

答:一共可以加工零件600个。

指点迷津:解决本题先求出单一量后,根据题意确定人数和时间,再求出总量。【牛刀小试】

10.惠民纺织厂有20台织布机,10天可织布4000米,后来改进操作规程,每台织布机每天多织5米,照这样的速度生产,如果该纺织厂又增加同样的织布机4台,20天可织布多少米?

11.某工厂一个车间,原计划20人4天做1280个零件,刚要开始生产,又增加了新任务,在工作效率相同的情况下,需要15个人7天才能全部完成。问:增加了多少个零件?

12.第一车间要加工一批零件,原计划由6人5天加工360个零件,加工了2天后由于改进技术,每人每天多加工6个零件,这样可以提前几天完成任务?【典例精讲】

例5 快递公司16个人搬运货物,计划8小时可以搬完,实际工作3小时后,有6人被调走,余下的货物还需要多少小时才能搬完?

思维点拨:要求余下的货物还需要多少小时才能搬完,先要求出搬运货物的总工作量。题目中没有提到每人单位时间搬运多少货物,我们可以把每人每小时的工作量看作“1”,这批货物的总的工作量为1×16×8=128,那么16人搬运3小时后剩下的工作量是128-1×16×3=80,剩下的工作量由10人去完成,还需要80÷[1×(16-6)]=8(小时)。

解答:(1×16×8-1×16×3)÷[1×(16-6)]=8(小时)

答:余下的货物还需要8小时才能搬完。

指点迷津:解答本题的关键是在求出工作总量后,求出调走6人后剩下的10人的工作效率是多少。【牛刀小试】

13.一项工程原计划8个人每天工作6小时,10天可以完成。现在为了加快工作进度,增加2人,每天工作时间增加2小时,这样可以提前几天完成这项工程?

14.一批零件计划由20个工人每天工作8小时需要15天完成,照这样计算,减少5个工人,每天多做2小时,可以几天完成?

15.计划8个人去植树造林,7天可以完工,实际劳动3天后,有4人被调走,余下的任务还需要几天才能完成?【典例精讲】

例6 在图书室借阅图书的期限为10天,10天后超过的天数要按每册0.5元收取延时服务费。小明借了一本故事书,如果每天看5页,16天才能全部看完。请你帮他算一算,他至少每天多看几页才能准时归还而不缴延时服务费。

思维点拨:要想能准时归还而不缴延时服务费,就必须10天看完这本书,所以要先求出这本书一共有多少页。然后用总页数除以10天,就是他每天要看的页数,用这个页数减去5,就是每天要多看的页数。

解答:16×5÷10-5=3(页)

答:他至少每天多看3页才能准时归还而不缴延时服务费。

指点迷津:要求小明至少每天多看几页,才能准时归还而不缴延时服务费,必须求出应看的页数。【牛刀小试】

16.食堂管理员去农贸市场买鸡蛋,原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了,他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问:鸡蛋价格下调了百分之几?

17.养猪专业户王大伯说:“如果卖掉75头猪,那么饲料可维持20天,如果买进100头猪,那么饲料只能维持15天。”问:王大伯一共养了多少头猪?

18.一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行60千米,5时到达。若要4时到达,则汽车行驶速度要提高几分之几?

参考答案

1.496÷(124÷4)=16(小时)。

2.54÷(48÷8)=9(分钟)。

3.1500÷(300÷5)=25(天)。

4.90÷6÷3×5×12=300(公顷)。

5.105÷7÷(100÷5÷4)=3(次)。

6.2400÷6÷4×8×10=8000(米)。

7.每人每天编织花篮1500÷30÷10=5(只),现在的人数是(人),工作效率是(只/人),编织6000只花篮需要6000÷25÷6=40(天)。

8.修这条公路所需的工作总量是60×80=4800(劳动日),60人工作20天后,剩下的工作量是4800-60×20=3600(劳动日),人数增加50%后,完成剩下的工作量需要3600÷[60×(1+50%)]=40(天)。综合算式是(60×80-60×20)÷[60×(1+50%)]=40(天)。

9.(6-1)×[6÷(3-1)]=15(分钟)。

10.(4000÷20÷10+5)×(20+4)×20=12000(米)。

11.(1280÷20÷4)×15×7-1280=400(个)。

12.(360-360÷6÷5×2×6)÷6÷(360÷6÷5+6)=2(天),提前:5-2-2=1(天)。

13.10-6×10×8÷(8+2)÷(6+2)=4(天)。

14.20×8×15÷(20-5)÷(8+2)=16(天)。

15.(8×7-8×3)÷(8-4)=8(天)。

16.[3-35×3÷(35+2.5)]÷3≈6.7%。

17.设王大伯一共养了x头猪,则20(x-75)=15(x+100),解得x=600。

18.(60×5÷4-60)÷60==25%。

2.和差、和倍与差倍问题

已知两个数量的和与这两个数量的差,求这两个数量分别是多少的实际问题,叫做和差问题;已知两个数量的和以及与两个数量之间的倍数关系,求两个数量各是多少的实际问题,叫做和倍问题;已知两个数量的差以及与两个数量之间的倍数关系,求两个数量各是多少的实际问题,叫做差倍问题。这3类问题有比较相似的数量关系和解题思路,有时又合称“和差倍问题”。

解答和差、和倍以及差倍问题,一般需要根据数量关系逆向推理,或用画线段图的方法来分析数量关系,帮助理解题意,寻找解题途径。解题关键是:先确定一个数量为标准(常以最小数为标准,即1倍量),看作1份,再根据其他数量与标准量的倍数关系,找出几个数量的和、差或(和+差)、(和-差)对应的份数,通过除法计算先求出标准量,再算出其他相关数量。解答和差问题一般用假设的方法,假设两个数量相等,然后根据条件列式解答。解答和倍、差倍实际问题时,要根据题目中所给的条件和问题,画出线段图,发现数量关系,列式解答。解答上述问题,也可根据和差、和倍、差倍问题的数量关系解答。

和差问题:较小数=(两数和-两数差)÷2,较大数=(两数和+两数差)÷2。

和倍问题:较小数=两数和÷(倍数+1),较大数=较小数×倍数=两数和-较小数。

差倍问题:较小数=两数差÷(倍数-1),较大数=较小数×倍数=较小数+两数差。

【典例精讲】

例1 李叔叔在超市买了两袋大米共重150千克,第二袋比第一袋多10千克,两袋大米各重多少千克?

思维点拨:用和差问题的数量关系列式解答:第一袋大米重(150-10)÷2=70(千克),第二袋大米重(150+10)÷2=80(千克)。

也可以用假设法解答:

方法一:如果假设第一袋和第二袋重量相等,那么两袋大米共重150+10=160(千克),第二袋大米重160÷2=80(千克),第一袋大米重150-80=70(千克)或80-10=70(千克);

方法二:如果假设第二袋和第一袋大米重量相等,两袋共重150-10=140(千克),第一袋大米重140÷2=70(千克),第二袋大米重150-70=80(千克)或70+10=80(千克)。

解答:(150-10)÷2=70(千克)(150+10)÷2=80(千克)

答:第一袋大米重70千克,第二袋大米重80千克。

指点迷津:本题是典型的和差问题,可直接应用“较小数=(两数和-两数差)÷2”和“较大数=(两数和+两数差)÷2”列式解答,也可以用假设法解答。【牛刀小试】

1. 甲、乙两个车间一共230人,其中甲车间比乙车间少30人,甲、乙车间各有多少人?

2. 小张和小王共储蓄2000元,如果小张借给小王200元,两人储蓄的钱恰好相等。两人各储蓄多少元?

3. 一个长方形操场的长与宽相差80米,已知沿操场跑两周是800米,这个操场的长是多少米?宽是多少米?【典例精讲】

例2 过完新年萧萧和圆圆共储蓄了3000元,如果萧萧借给圆圆200元,两人储蓄的钱恰好相等,两人各储蓄多少元?

思维点拨:根据如果萧萧借给圆圆200元后,两人储蓄的钱数恰好相等可知,萧萧比圆圆多200×2=400(元),400元是两人钱数之差。假如在储蓄3000元上加上400元,加起来的数就是圆圆储蓄的钱数的2倍,由此可以求出萧萧的储蓄的钱数,再求出圆圆储蓄的钱数。

解答:萧萧比圆圆多的钱:200×2=400(元)

萧萧储蓄的钱数:(3000+400)÷2=1700(元)

圆圆储蓄的钱数:3000-1700=1300(元)

答:萧萧储蓄1700元;圆圆储蓄1300元。

指点迷津:本题是典型的和差问题,直接应用“较小数=(两数和-两数差)÷2”和“较大数=(两数和+两数差)÷2”列式解答。【牛刀小试】

4. 某厂的一车间和二车间共有工人108人,从一车间转3人到二车间,则两车间的人数同样多,两个车间原来各有多少人?

5. 姐姐和弟弟一共有故事书58本,如果姐姐给弟弟5本后就比弟弟少2本,那么姐姐和弟弟原来各有几本故事书?

6. 甲、乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐,两车原来各装苹果多少筐?【典例精讲】

例3 同学们在操场种向日葵156棵,其中东侧种的向日葵是西侧的3倍,东、西两侧各种向日葵多少棵?

思维点拨:东、西两侧共种向日葵156棵(两个数量之和),东侧种的向日葵(较大数量)是西侧(较小数量)的3倍,向日葵的总棵数相当于西侧种的向日葵棵数的(3+1)倍,由此先求出西侧种的向日葵棵数,再求出东侧种的向日葵棵数。

解答:156÷(3+1)=39(棵)

156-39=117(棵),或39×3=117(棵)

答:西侧种向日葵39棵,东侧种向日葵117棵。

指点迷津:本题是最典型的和倍问题,解题的基本思路是:把其中的较小数作为标准(1倍数),再根据已知两数之间的倍数关系,找出两数和等于这个标准数的多少倍,从而求出这个标准数。然后求出较大数,即几份数或几倍数。【牛刀小试】

7. 在学校书画竞赛活动中,四、五年级共有75个同学获奖,其中五年级获奖人数是四年级的1.5倍。四年级和五年级各有多少个同学获奖?

8. 水果店运来苹果和梨共80筐,每筐苹果和梨的重量都是25千克,已知苹果的千克数是梨的,水果店运来苹果和梨各多少千克?

9. 长方形木板,长是宽的2倍,周长是54厘米。这块长方形木板的面积是多少平方厘米?【典例精讲】

例4 小明和小强都是集邮爱好者,两人共收集了200张纪念邮票,小明的张数比小强的张数的2倍还多20张,你知道小明有多少张纪念邮票吗?

思维点拨:根据题意可知,如果两人收集纪念邮票的总数减去20张后,小明的张数就是小强的2倍,小强是1倍数,小明是小强的2倍,根据和倍问题的数量关系列式求出小强的邮票张数,进而求得小明的邮票张数。

解答:(200-20)÷(2+1)=60(张)

200-60=140(张),或60×2+20=140(张)

答:小明有140张纪念邮票。

指点迷津:解答本题的突破口是根据题意,明确(200-20)张邮票是小强邮票张数的(2+1)倍。【牛刀小试】

10.育才小学数学兴趣小组有学生68人,其中参加竞赛的人数是没有参加竞赛人数的8倍少4人,参加竞赛的学生有多少人?

11.小刚有邮票55张,小红有邮票105张,小刚送给小红多少张邮票,才能使小刚的邮票数是小红的?

12.甲班有图书120本,乙班有图书30本,甲班给乙班多少本,甲班的图书是乙班图书的2倍?【典例精讲】

例5 学校开展“我能行”俱乐部活动。报名参加“校园NBA”的人数和参加“乒坛小将”的人数的比是1∶6,已知“乒坛小将”的人数比“校园NBA”多35人。报名参加“乒坛小将”和“校园NBA”的分别有多少人?

思维点拨:根据题意,先将“报名参加‘校园NBA’的人数和参加‘乒坛小将’的人数的比是1∶6”转化为“报名参加‘乒坛小将”的人数是参加‘校园NBA’的人数的6倍”。把参加“校园NBA”的人数看作“1倍量”,参加“乒坛小将”的人数比“校园NBA”的人数多6-1=5(倍),正好是“乒坛小将”的人数比“校园NBA”多35人,根据除法的意义即可求出参加“校园NBA”的人数,再根据报名参加“乒坛小将”的人数是“校园NBA”的2倍,求出报名参加“乒坛小将”的人数。

解答:5÷(6-1)=7(人),7×6=42(人)

答:报名参加“乒坛小将”的有42人,参加“校园NBA”的有7人。

指点迷津:本题是典型的差倍问题,解答此题的关键是确定“1倍量”,以及“乒坛小将”的人数比“校园NBA”多35人是“1倍量”的几倍,然后根据差倍问题的数量关系“较小数=两数差÷(倍数-1)”和“较大数=较小数×倍数=较小数+两数差”列式求解。【牛刀小试】

13.两根电线的长相差30米,长的那根的长是短的那根的长的4倍。这两根电线各长多少米?

14.甲的钱比乙少80元,乙的钱比甲的钱多5倍,甲、乙两人各有多少钱?

15.有甲、乙、丙3个国画班,甲班人数是乙班人数的,乙班人数比丙班人数少16人,丙班人数是甲班人数的4倍,甲、乙、丙3班各有多少人?【典例精讲】

例6 甲、乙两个工程队,甲队有56人,乙队有34人。两队调走同样多人后,甲队人数是乙队人数的3倍。调动后两队各还有多少人?

思维点拨:画线段图如右图所示,“1倍”数是乙队调动后剩下的人数。因甲、乙队调走的人数相同(不影响他们两队人数之差),所以,甲、乙两队人数之差仍是56-34=22(人)。

解答:(56-34)÷(3-1)=11(人)

11×3=33(人),或11+(56-34)=33(人)

答:调动后乙队有11人,甲队有33人。

指点迷津:通过审题,在确定乙队调动后剩下的人数是“1倍量”的基础上,画线段图直观形象地表现甲、乙两队人数之间的倍数关系以及差,是顺利解决问题的关键所在。【牛刀小试】

16.小云比小雨少20本书,后来小云丢了5本书,小雨新买了11本书,这时小雨的书比小云的书多2倍。原来两人各有多少本书?

17.大、小两水池都未注满水,如果从小池抽水将大池灌满,则小池还剩水10吨;如果从大池抽水将小池灌满,则大池还剩水20吨,已知大池容积是小池容积的1.2倍,两池中共有水多少吨?

18.甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油,乙桶加入14千克油,这时,乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克?参考答案

1.甲车间有(230-10)÷2=110(人),乙车间有230-110=120(人)。

2.小王储蓄的钱:(2000-200×2)÷2=800(元),小张储蓄的钱:2000-800=1200(元)。

3.长:(800÷2÷2+80)÷2=140(米);宽:(800÷2÷2-80)÷2=60(米)。

4.3×2=6(人),一车间:(108+6)÷2=57(人),二车间:57-6=51(人)。

5.姐姐有的故事书:(58+5×2-2)÷2=33(本)。

妹妹有的故事书:58-33=25(本)。

6.甲车筐数:(97+14×2+3)÷2=64(筐),乙车筐数:97-64=33(筐)。

7.四年级获奖人数是75÷(1.5+1)=30(人),五年级获奖人数是75-30=45(人)。

8.苹果:25×80÷(1+3)=500(千克),梨:=1500(千克)。

9.长方形的宽是(54÷2)÷(2+1)=9(厘米),长是9×2=18(厘米),面积是18×9=162(平方厘米)。

10.没有参加竞赛的人数是(68+4)÷(8+1)=8(人),参加竞赛的人数是68-8=60(人)。

11.55-(105+55)÷=15(张),即小刚要送给小红15张邮票。

12.(30+120)÷(2+1)=50(本),50-30=20(本)。

13.短的电线长30÷(4-1)=10(米),长的电线长10+30=40(米),或10×4=40(米)。

14.甲的钱是80÷5=16(元),乙的钱是80+16=96(元)。

15.丙班人数是乙班的(倍),所以乙班有16÷(2-1)=16(人),丙班有16×2=32(人),甲班有32÷4=8(人)。

16.“小雨的书比小云的书多2倍”,即小雨的书是小云的书的3倍。这个“倍数”是变化后的,所以小云变化后的书是“1倍量”,差是20+5+11=36(本)。所以,小云现有书(20+5+11)÷(3-1)=18(本),原来小云有书18+5=23(本),小雨有书23+20=43(本)。

17.小池水增加20吨,或者大池水增加10吨,这两个是一样多的,也就是说:大池水-小池水=20-10=10(吨),那么,大池水比小池水多小池水的1.2-1=0.2(倍)。所以,小池水有(20-10)÷(1.2-1)=50(吨),两池中共有50+20=70(吨)。

18.当甲桶取走26千克油、乙桶加入14千克油后,乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍,所以甲桶里剩下的油是“1倍量”,差是26+14=40(千克),甲桶里剩下的油是(26+14)÷(3-1)=20(千克)。所以,甲、乙桶原来各有油20+26=46(千克)。

3.行程问题(1)

行程问题研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系:速度×时间=路程,路程÷时间=速度,路程÷速度=时间。本专题介绍相遇问题和追及问题。

两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

解答有关“行程问题”的应用题,必须弄清物体运动的具体情况,如运动的方向(相向、相背、同向)、出发的时间(同时、不同时)、出发的地点(同地、不同地)、运动的路线(封闭、不封闭)、运动的结果(相遇、相距多少、交错而过、追及)。解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来,有助于分析数量关系,有助于迅速地找到解题思路。

【典例精讲】

例1 一辆汽车和一辆摩托同时从A、B两地相对开出。汽车每小时行50千米,摩托车的速度是汽车速度的,相遇后汽车继续行3.2小时到达B地。A、B两地相距多少千米?

思维点拨:根据相遇时汽车和摩托车行驶的时间相同,先算出相遇地点到B地的距离(摩托车行驶的路程),再算出摩托车行驶的时间,最后利用“路程=速度和×相遇时间”求解得出两地之间的路程。

解答:相遇地点到B点的路程是50×3.2=160(千米),相遇时间是160÷(50×)=4(小时),两地相距(50+40)×4=360(千米)。

答:A、B两地相距360千米。

指点迷津:解答本题的关键是对“相遇时行驶的时间相同”特点的准确把握和运用。【牛刀小试】

1. 甲地到乙地的公路长436千米。两辆汽车从两地对开,甲车每小时行42千米,乙车每小时行46千米。甲车开出2小时后,乙车才出发,再经过几小时两车相遇?

2. 甲、乙两地间的路程是600千米,上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地。货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地。要使两车在全程的中点相遇,货车必须在上午几时出发?

3. A、B两地相距1050千米,甲、乙两列火车从A、B两地同时相对开出,甲列火车每小时行60千米,乙列火车的速度是甲列火车的80%。乙列火车出发时,从车厢里飞出一只鸽子,以每小时80千米的速度向甲列火车飞去,在鸽子与甲车相遇时,乙车距A地还有几千米?【典例精讲】

例2 甲、乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。

思维点拨:从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米,甲每小时比乙多行(15-13)千米,由此可以求出多行(3×2)千米需要的时间(即两车相遇时间),再根据“路程=速度和×相遇时间”求出两地的距离。

解答:两人相遇时间是(3×2)÷(15-13)=3(小时),两地距离是(15+13)×3=84(千米)。

答:两地的距离为84千米。

指点迷津:“两人在距中点3千米处相遇”表明:相遇时甲比乙多行了3×2=6(千米)。【牛刀小试】

4. 一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲、乙两站的距离是多少千米。

5. 甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,相遇地点距离两地中点10千米,已知乙车速度是50千米/时,甲车速度是乙车的1.2倍。A、B两地的距离是多少千米?

6. 一列快车以65千米/时的速度从甲站开往乙站,一列慢车同时以60千米/时的速度从乙站开往甲站,相遇时快车比慢车多走10千米。甲、乙两站间的距离是多少千米?【典例精讲】

例3 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇的地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求A、B两地相距多少千米。

思维点拨:由上图可知,甲、乙第一次相遇时,两人共行一个全程,两人共行一个全程的这段时间甲走了4千米。而到两人第二次相遇,由图可知两人共行了3个全程,那么甲就共行了3个4千米,即3×4=12(千米),那么A、B两地间的距离就是12-3=9(千米)。

解答:3×4-3=9(千米)

答:A、B两地相距9千米。

指点迷津:解答相遇问题要掌握“相遇时间=距离÷速度和”、“路程=速度和×相遇时间”、“速度和=距离÷相遇时间”3个基本数量关系。【牛刀小试】

7. 甲、乙两名自行车运动员分别从A、B两地同时出发进行训练,到达对方出发点后立即返回。两人第一次在距B地9千米处相遇,第二次在距A地7千米处相遇。A、B两地相距多少千米?

8. 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发进行长跑训练,到达对方出发点后立即返回。两人第一次在距A地1400米处相遇,第二次在距A地1800米处相遇。A、B两地相距多少米?

9. A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出,两车第一次在距甲站50千米处相遇。相遇后两车继续行驶,各自到达乙、甲两站后,立即沿原路返回,第二次在距乙站30千米处相遇。两次相遇的地点相距多少千米?【典例精讲】

例4 姐姐步行的速度是每分钟75米,妹妹步行的速度是每分钟65米,在妹妹先出发20分钟后姐姐去追赶妹妹。问:姐姐多少分钟后追上妹妹?这时离出发地多少米?

思维点拨:画线段图表示姐妹的运动过程,如上图所示。

从图中可以看出,妹妹先行20分钟,即行走了(20×65)米后,姐姐出发。从姐姐出发到姐姐追上妹妹这段时间内,姐姐比妹妹共多行了(20×65)米。而姐姐每分钟比妹妹多行(75-65)米,由此可以求出姐姐从出发到追上妹妹的时间和所行的路程(离出发地的距离)。

解答:20×65÷(75-65)=130(分钟)

130×75=9750(米)

答:姐姐130分钟后追上妹妹,这时离出发地9750米。

指点迷津:画线段图是解决行程问题的常用方法之一。通过线段图,可以清楚看出追及的距离(妹妹20分钟所行路程),然后利用“追及时间=追及距离÷速度差”即可。【牛刀小试】

10.一架敌机侵犯我领空,我机立即起飞迎击。在两机相距56千米时,敌机扭转机头以每分钟15千米的速度逃跑,我机以每分钟22千米的速度追击。我军战机多少时间可以追上敌机?

11.晚饭后,小明和爸爸沿同一条公路去散步,小明走得慢,每分钟走60米,所以他先从家出发。5分钟后,爸爸以每分钟80米的速度去追小明,经过多少分钟可以追上?

12.解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲、乙两地相距60千米,解放军几个小时可以追上敌人?【典例精讲】

例5 爸爸与儿子同时从家出发以每分钟50米的速度向市图书馆出发。走了5分钟后,爸爸才想起忘带借书证,爸爸按原速返回家里取借书证,儿子继续按原速前进。爸爸回到家后取东西用去2分钟的时间,然后骑自行车以每分钟250米的速度去追儿子,在儿子到达图书馆之前追上了儿子。爸爸骑车追上儿子用了几分钟?

思维点拨:这是一道典型的追及问题,要算出爸爸在骑车追儿子的时候与儿子相距多少米,再根据“追及距离÷速度差=追及时间”求解。

爸爸与儿子先共同走5分钟,共行5×50=250(米),然后按原速返回家中又用去5分钟,此时儿子又向前走了5×50=250(米),爸爸在家取东西用了2分钟,儿子又向前走了50×2=100(米),当爸爸开始骑车追赶时,两人相距250+250+100=600(米)。爸爸骑车每分钟比儿子多行250-50=200(米),骑车追上儿子要用600÷200=3(分钟)。

解答:50×(5+5+2)÷(250-50)=3(分钟)

答:爸爸骑车追上儿子用了3分钟。

指点迷津:解答此题需深刻理解“追及距离÷速度差=追及时间”。【牛刀小试】

13.一辆大货车的速度是每小时40千米,一辆小汽车的速度是每小时80千米。它们都要从A地沿同一条公路到B地,大货车先出发3小时后,小汽车才出发。小汽车经过多少小时可以追上大货车?

14.甲步行每分钟行80米,乙骑自行车每分钟行200米,二人同时同地相背而行3分钟后,乙立即调头来追甲,再经过多少分钟乙可追上甲?

15.甲、乙、丙3人每分钟的速度分别为30米、40米、50米,甲、乙在A地同时同向出发,丙从B地同时出发去追赶甲、乙,丙追上甲以后又经过10分钟才追上乙,则A、B两地的距离是多少米?【典例精讲】

例6 实验小学组织学生排队步行去郊游,步行速度是每秒1米,排头的王老师以每秒2.5米的速度赶到排尾,然后立即返回排头,共用10分钟,求队伍的长度。

思维点拨:画线段图如下(点代表王老师,箭头代表队伍):

从图中可以看出:第1次排头的王老师从排头赶到排尾的过程中,王老师步行的路程与队伍步行路程之和正好等于队伍的长度;第2次王老师从排尾赶到排头,王老师步行路程与队伍步行路程之差正好等于队伍的长度。根据队伍长度相等,可列方程求解。

解答:设王老师从排头赶到排尾用了x分钟,根据题意列方程(1+2.5)×60x=(2.5-1)×60×(10-x),解得x=3。(1+2.5)×60×3=630(米)

答:队伍的长度为630米。

指点迷津:画线段图分析发现刘老师步行的路程与队伍步行之间的关系,从而为列方程解决问题奠定基础。【牛刀小试】

16.有甲、乙、丙3辆汽车,各以一定的速度从A地开往B地。乙比丙晚出发10分钟,经过40分钟追上丙;甲比乙晚出发20分钟,经过50分钟追上乙,那么甲出发后多长时间追上丙?

17.小红和小明两人分别从A、B两地同时同向而行(右图),经过4小时15分钟小红在C处追上小明,这时两人共行84千米,如果小明从A到B要1小时25分,那么A、B两地相距多少千米?

18.甲、乙两车往返于相距240千米的A、B两地。甲车先从A地出发,12分钟后乙车也从A地出发,并在距A地60千米的C地追上甲车。乙车到B地后立即按原速返回,甲车到B地休息15分钟后加快速度向A地返回,在C地又将乙车追上。最后甲车比乙车早几分钟到达A地?参考答案

1.两车相遇时间是(436-42×2)÷(42+46)=4(小时)。

2.全程的中点是600÷2=300(千米),行驶300千米,货车比客车要多行300÷50-300÷60=1(小时),货车需要提前1小时出发,即在上午7时出发。

3.鸽子与甲车相遇时,乙车行驶时间是1050÷(60+80)=7.5(小时),此时乙车离A地还有1050-(60×80%)×7.5=690(千米)。

4.客车落后于货车(16×2)千米,客车追上货车的时间是16×2÷(48-40)=4(小时),所以两站间的距离为(48+40)×4=352(千米)。

5.两车相遇时间:(10×2)÷(50×1.2-50)=2(小时),两地距离是(50+60)×2=220(千米)。

6.相遇时间:(10×2)÷(65-60)=4(小时),两地距离:(65+60)×2=250(千米)。

7.A、B两地相距:9×3-7=20(千米)。

8.A、B两地相距:(1400×3+1800)÷2=3000(米)。

9.两次相遇的地点相距:50×3-30-30-50=40(千米)。

10.我军战机追上敌机需要:56÷(22-15)=8(分钟)。

11.爸爸追上小明需要:(60×5)÷(80-60)=15(分钟)。

12.解放军追上敌人的时间是:[10×(22-16)+60]÷(30-10)=6(小时)。

13.小汽车追上大货车的时间是:40×3÷(80-40)=3(小时)。

14.经过(80+200)×3÷(200-80)=7(分钟)。

15.A、B两地的距离是10×(50-40)÷(40-30)×(50-30)=200(米)。

16.“乙比丙晚出发10分钟,经过40分钟追上丙”,即乙行40分钟的路程与丙行(10+40=)50分钟的路程相等;同理,“甲比乙晚出发20分钟,经过50分钟追上乙”,即甲行50分钟的路程与乙行(20+50=)70分钟的路程相等。即行驶相同的路程乙所用时间是甲的(70÷50)倍,丙所行时间是甲的(50÷40)倍。所以行驶相同的路程丙所用时间是甲的(70÷50)×(50÷40)=1.75(倍)。根据题意可知,甲比丙晚出发(10+20)分钟。由差倍问题数量关系,可知甲追上丙所需时间为(10+20)÷(1.75-1)=40(分钟)。

17.4小时15分钟=255分钟,1小时25分钟=85分钟,小明与小红的速度比为255∶340=3∶4;小明走的路程是84÷(3+4)×3=36(千米),A、B两地的距离是84-36-36=12(千米)。

18.甲车到达乙地休息15分钟后出发时,和乙车的时间差为(240-60)÷60×12+15=51(分钟),甲车加快速度后,在C地追上乙车,即每行驶180千米甲车比乙车少用51分钟,则从C地到A地,甲车比乙车少×60=17(分钟)。最后甲车比乙车早17分钟到达A地。

4.行程问题(2)

船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到水流速度的影响,在这种情况下船只的航行速度、时间和所行的路程之间的关系问题,称为流水行船问题。

列车过桥(或过隧道),两列列车车头相遇到车尾相离等运动过程中,速度、时间和所行的路程之间的关系问题,称为列车过桥问题。

流水行船问题是行程问题中的一种,因此行程问题中3个量(速度、时间、路程)的关系在这里将要反复用到。流水行船问题的常用数量关系为:

顺水速度=静水速度+水流速度

逆水速度=静水速度-水流速度

静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2

水速=(顺水速度-逆水速度)÷2

顺水行程=顺水速度×航行时间

逆水行程=逆水速度×航行时间

知道了船速、船的实际速度和水速这3个量中的任意两个,就可以求出第三个量。

一般行程问题中,因为人、车之类的运动物体的长度很小,可以忽略不计。但列车过桥问题在考虑路程时,必须考虑到列车本身的长度。常用的数量关系式有以下几个。(1)列车过桥(隧道):过桥(隧道)时间×速度=桥(隧道)长+列车车长。(2)两列列车相向而行,从车头相遇到车尾相离:所用时间×速度和=两车车长之和。(3)两列列车同向而行,从快车头追上慢车尾到快车尾超过慢车头:所用时间×速度差=两车车长之和。

【典例精讲】

例1 甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达,求船在静水中的速度和水流速度。

思维点拨:要求出船速和水速,需要先求出顺水速度和逆水速度。按行程问题的数量关系,用路程分别除以顺水、逆水所行时间可求出顺水速度和逆水速度。

解答:顺水速度是208÷8=26(千米/时),逆水速度是208÷13=16(千米/时),船速是(26+16)÷2=21(千米/时),水速是(26-16)÷2=5(千米/时)。

答:船在静水中的速度为21千米/时,水流速度为5千米/时。

指点迷津:本题属于流水行船问题,解题时要掌握:顺水速度=顺流路程÷航行时间,逆水速度=逆流路程÷航行时间,水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2。【牛刀小试】

1. 甲、乙两港之间的水路是234千米,一只船从甲港到乙港需9小时,从乙港返回甲港需13小时。问:船速和水速各为每小时多少千米?

2. 一艘每小时行25千米的客轮,在大运河中顺水航行140千米,水速是每小时3千米,需要行几个小时?

3. 一只船在河里航行,顺流而下每小时行18千米。已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等。求船速和水速。【典例精讲】

例2 某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲地开往下游乙地共花了8小时,水速每小时3千米。问:从乙地返回甲地需要多少时间?

思维点拨:要想求从乙地返回甲地需要多少时间,只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。根据题意,船顺水(从上游甲地开往下游乙地)的速度是15+3=18(千米/时),行驶时间是8小时,可求出甲、乙两地之间的路程;再结合船逆水(从乙地返回甲地)速度是15-3=12(千米/时),即可求出从乙地返回甲地需要的时间。

解答:船的顺水速度是15+3=18(千米/时),甲、乙两地的路程是18×8=144(千米),船的逆水速度是15-3=12(千米/时),返回需要的时间是144÷12=12(小时)。

答:从乙地返回甲地需要12小时。

指点迷津:根据题意,求出船的顺水速度,由此求出甲、乙两地路程是解题的关键环节。【牛刀小试】

4. 一只船逆流而上,水速为2千米/时,船速为32千米/时。4小时行多少千米?

5. 甲、乙两码头相距560千米,一只船从甲码头顺水航行20小时到达乙码头,已知船在静水中每小时行驶24千米。问:这船返回甲码头需几小时?

6. 乙船顺水航行2小时,行了120千米,返回原地用了4小时。甲船顺水航行同一段水路,用了3小时。甲船返回原地比去时多用了几小时?【典例精讲】

例3 有甲、乙两船,甲船和漂流物同时由河西向东而行,乙船也同时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物相距100千米,乙船行12小时后与漂流物相遇,两船的划速相同,河长多少千米?

思维点拨:漂流物和水同速,甲船是划速和水速的和,甲船4小时后,距漂流物100千米,即每小时行100÷4=25(千米)。乙船逆流而行,12小时后与漂流物相遇,和漂流物的速度和等于船速。这样即可算出河长。

解答:船速:100÷4=25(千米/时)

河长:25×12=300(千米)

答:河长300千米。

指点迷津:解决问题的关键是:甲船顺流而行,和漂流物的速度差就是船的速度,乙船逆流而行,和漂流物的速度和就是船的速度。【牛刀小试】

7. 有两只木排,甲木排和漂流物同时由A地向B地前行,乙木排也同时从B地向A地前行,甲木排5小时后与漂流物相距75千米,乙木排行15小时后与漂流物相遇,两木排的划速相同,A、B两地长多少千米?

8. 有一条河在降雨后,每小时水的流速在中流和沿岸不同。中流每小时59千米,沿岸每小时45千米。有一汽船逆流而上,从沿岸航行15小时走完570千米的路程,回来时几小时走完中流的全程?

9. 有一架飞机顺风而行4小时飞360千米。今出发至某地顺风去,逆风回,返回的时间比去的时间多3小时。已知逆风速为75千米/时,求距目的地多少千米。【典例精讲】

例4 已知铁路桥长1500米,一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全下桥共用150秒,整列火车完全在桥上的时间为100秒。求火车的速度和长度。

思维点拨:从图①可以看出,火车从开始上桥到完全下桥所经过的距离是桥长加一个车身长,即150秒经过的距离是1500米加上车身长。从图②可以看出,火车完全在桥上的距离是桥长减去一个车身长,即100秒经过的距离是1500米减去车身长。综合两图可以看出,图①火车用150秒时间比图②中火车多用50秒时间,而多经过的路程是两个车身长的距离,那么火车经过一个车身长的距离用25秒,通过1500米的距离用125秒。

解答:(150-100)÷2=25(秒),150-25=125(秒)

车速:1500÷125=12(米/秒)

车长:25×12=300(米)

答:火车每秒行驶12米,火车长度为300米。【牛刀小试】

10.一列火车开过一座长1200米的桥需要75秒,火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟,火车长多少米?

11.慢车的车身长是142米,车速是每秒17米,快车车身长是173米,车速是每秒22米,慢车在前面行驶,快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间?

12.小明沿着长100米的桥面步行,当他走到桥头时,一列迎面驶来的火车车头恰好也到达桥头,100秒后小明走到桥尾,火车的车尾恰好也到达桥尾。已知火车的速度是小明速度的4倍,那么火车通过这座桥要多少秒?【典例精讲】

例5 一列火车通过120米长的大桥要21秒钟,通过80米长的隧道要17秒钟,这列火车的车身长多少米?火车每秒行多少米?

思维点拨:根据题意,火车的速度不变,过大桥比过隧道多行了120-80=40(米),多用了21-17=4(秒),由路程÷时间=速度,可以求出火车的速度,再根据“车长+大桥长=速度×时间”,就可以求出火车的车身长。

解答:火车速度:(120-80)÷(21-17)=10(米/秒)

车长:21×10-120=90(米)

答:这列火车的车身长90米,火车每秒行10米。

指点迷津:本题的关键是火车的速度不变,过大桥比过隧道多行驶的路程除以多行驶的时间就可以求出火车的速度,然后根据题意进一步解答。【牛刀小试】

13.一座大桥长2800米,一列火车通过大桥时每分钟行800米,从车头开上桥到车尾离开桥共用4分钟。这列火车长多少米?

14.一列火车经过一个路标用3.5秒,通过一座长300米的桥用了20秒。它穿过长800米的山洞要几秒?

15.一列长200米的火车,以每秒10米的速度穿过200米长的隧道(如下图),从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要的时间是几秒?【典例精讲】

例6 甲火车长290米,每秒行20米,乙火车长250米,每秒行25米,两车在平行的轨道上同向行驶,刚好经过一座900米的铁桥,当甲火车车尾离开桥的一端时,乙火车车头刚好驶上桥的另一端,经过多长时间乙火车完全超过甲火车?

思维点拨:火车行驶经过的路程有两种计量方法:一种是从出发时的车头位置量到到达时的车头位置;另一种是从出发时的车尾位置量到到达时的车尾位置。画线段图(下图)分析如下:

从甲火车车尾离桥、乙火车车头上桥开始,到乙火车完全超过甲火车结束,这段时间乙火车比甲火车多行了一个桥长加两列车的车长,共(250+900+290)米。乙火车每秒比甲火车多行(25-20)米。所以从开始到乙火车完全超过甲火车经过时间为(250+900+290)÷(25-20)=288(秒)。

解答:甲火车车尾离开桥的一端,同时乙火车车头刚好驶上桥的另一端时,乙火车比甲火车多行(250+900+290)米,乙火车每秒比甲火车多行(25-20)米。(250+900+290)÷(25-20)=288(秒)

答:经过288秒乙火车完全超过甲火车。

指点迷津:本题主要考查了速度、路程、时间的关系,但在本题中速度应该是相对速度(当两物体沿同一方向行驶时,相对速度应该是两个物体行驶的速度的和)。【牛刀小试】

16.甲列车长500米,乙列车长400米,已知甲、乙两列车的速度分别为每秒20米和每秒25米,两列车相向而行,从车头相遇到车尾相离需要多少秒?

17.铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路,公路上一辆拖拉机正以每小时20千米的速度行驶。这时,一列火车以每小时56千米的速度从后面开过来,火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒钟,求火车的全长是多少米。

18.一列货车车头及车身共41节,每节车身及车头长都是30米,节与节间隔1.5米,这列货车以每分钟1千米的速度穿过山洞,恰好用了2分钟,这个山洞长多少米?参考答案

1.从甲到乙顺水速度是234÷9=26(千米/时),从乙到甲逆水速度是234÷13=18(千米/时)。船速是(26+18)÷2=22(千米/时),水速是(26-18)÷2=4(千米/时)。

2.顺水速度是25+3=28(千米/时),顺水行140千米所需时间是140÷28=5(小时)。

3.逆水速度是18×2÷3=12(千米/时),船速是(18+12)÷2=15(千米/时),水流速度是(18-12)÷2=3(千米/时)。

4.4小时行(32-2)×4=120(千米)。

5.船顺水速度是560÷20=28(千米/时),逆水速度是24-(28-24)=20(千米/时),返回甲码头时间是560÷20=28(小时)。

6.乙船顺水、逆水速度各是120÷2=60(千米/时)、120÷4=30(千米/时),水流速度是(60-30)÷2=15(千米/时);甲船顺水、逆水速度各是120÷3=40(千米/时)、40-2×15=10(千米/时),逆水航行时间是120÷10=12(小时),返回比去时多用12-3=9(小时)。

7.木排划速:75÷5=15(千米/时),A、B两地距离:15×15=225(千米)。

8.船逆流的速度:570÷15=38(千米/时),船的划速:38+45=83(千米/时)。

回来所需要时间:570÷(83+59)=(小时)。

9.顺风速度:360÷4=90(千米/时),距目的地的距离:360÷4×[(75×3)÷(360÷4-75)]=1350(千米)。

10.火车长1200÷(75-15)×15=300(米)。

11.从后面追上到完全超过慢车需要(142+173)÷(22-17)=63(秒)。

12.100÷100×4=4(米),4×100+100=500(米),火车通过这座桥要(500+100)÷4=150(秒)。

13.火车长:4×800-2800=400(米)。

14.火车经过路标所行的路程即为列车的长度,列车行驶一个车长的距离用时3.5秒,300米的桥行驶的长度为300+车长,列车行300米用时为20-3.5(秒),列车速度是300÷(20-3.5),列车穿过长800米的山洞要800÷[300÷(20-3.5)]+3.5=47.5(秒)。

15.从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要的时间是:(200+200)÷10=40(秒)。

16.从两车车头相遇到车尾相离,两车行驶路程和为两车车长之和:(500+400)米,两车速度和为(20+25)米。从车头相遇到车尾相离需要(500+400)÷(20+25)=20(秒)。

17.拖拉机与火车的相对速度为56-20=36(千米/时),36千米/时=10米/秒,火车的全长是37×10=370(米)。

18.列车车长为30×41+1.5×(41-1)=1290(米),列车穿过山洞行驶的路程等于山洞长度与列车长度之和。所以山洞长度为1×1000×2-1290=710(米)。

试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]

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