作者：于惠力,冯新敏
出版社：机械工业出版社
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机械优化设计与实例试读：
前言
随着我国机械工业的快速发展，从事机械行业的工程技术人员数量不断增加，如何尽快提高机械工程技术人员尤其是初、中级技术人员最基本的机械设计能力，在最短时间内尽快掌握工程中常见的优化设计方法，是我们编写本书的初衷。
优化设计为设计提供了一种重要的科学设计方法，因而是构成和推进现代设计方法产生与发展的重要内容。优化设计是工程技术人员进行设计的重要技术，该技术建立在最优化的原理和方法的基础上，借助计算技术与计算机这一强有力的手段，对某项设计问题，在规定的限制条件下，优选设计参数，使某一项或某几项设计指标获得最优值的设计技术。采用优化方法，对提高新产品的设计水平和改进现有设备的设计方案是极有价值的。
优化设计涉及的数学基础较深，设计方法类型多，设计难度也很大。如何将各种优化设计方法概括成浅显易懂的方式来表达，使读者在最短时间内消化理解，是我们编写的难题。本书的编写有如下特点：
1.编写采用通俗易懂的方法，本书的编写以循序渐进、兼顾理论与工程应用的原则为出发点。全书内容在组织安排上，力求由浅入深，逐层推进。在优化方法的论述方面对其优化理论做了适当深度的讨论，并着重于概念的阐述和方法的运用，便于初学者学习。
2.编写内容方面突出实用的原则。本书以实用为主，在阐述每一种优化设计的原理和设计方法之后，紧接着有相关的机械优化设计实例，实例具有代表性，并且对设计实例按步骤进行了详细的解答，具有很强的实用性。
本书共有9章，包括机械优化设计的基本要素及数学模型、优化设计的理论基础、一维搜索方法、无约束优化方法、约束优化方法、多目标函数优化方法、离散变量的优化设计方法、模糊优化设计和优化设计软件简介。
本书是机械工程技术人员必备的技术资料，可供从事机械设计制造及其自动化专业的工程技术人员使用，尤其对于初、中级的机械工程技术人员具有指导意义。
在本书的编写过程中，编者参阅了大量文献资料，引用了有关教材和参考书中的精华及许多专家、学者的部分成果和观点，书后以参考文献一并列出。在此特对有关作者致以真诚的感谢！
鉴于机械优化设计内容涉及面广，发展迅速，加之编者水平有限，书中难兔会有不足之处，恳请读者批评指正。编者
第1章 机械优化设计的基本要素及数学模型
机械优化设计，就是借助最优化数值计算方法和计算机技术，求取机械工程问题的最优设计方案。迸行最优化设计时，首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组最佳的设计参数。这组设计参数就是设计的最优解。
数学模型是对实际问题的数学描述和概括，是迸行优化设计的基础。优化问题的计算求解完全是围绕数学模型迸行的，也就是说，优化计算所得的最优解实际上只是数学模型的最优解。此解是否满足实际问题的要求，是否就是实际问题的最优解，完全取决于数学模型与实际问题的符合程度。因此，根据设计问题的具体要求和条件建立完备的数学模型是优化设计成败的关键。
综上所述，机械优化设计的基本要素是：设计变量、约束条件、目标函数。
1.1 设计变量
工程问题的一个设计方案通常是用特征参数表示的，一组特征参数值代表一个具体的设计方案。这种代表设计方案的特征参数一般应选作该问题优化设计的设计变量。
设计变量的全体，实际上是一组变量，变量的个数称为设计的维数，如有几个设计变量，则称为几维优化设计问题。若将n个设计变量按一定的次序排列起来，构成一个n维向量，即写成：
式中，右上角“T”为矩阵的转置符号。我们把X定义为n维欧氏空间的一个向量，设计变量x，x，…，x为向量X的几个分量。在12n优化设计中，这种以n个设计变量为坐标轴组成的实空间称为n维实n空间，用R表示，它是以设计变量x，x，…，x为坐标轴的n维空12n间。设计空间包含着该项设计所有可能的设计方案，巨每一个设计方案对应着设计空间的一个设计向量或者说一个设计点X。
任何一项产品都是众多设计变量标志结构尺寸的综合体，变量多可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度，造成优化规模过大。选取设计变量时应注意以下几点：
1）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。例如，车辆离合器弹簧的工作频率很低，使用温度也不高，可以不考虑共振和温度对弹簧工作性能的影响，但发动机的气门弹簧就要考虑共振和温度的影响。
2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d、弹簧中径、工作圈和自由高度。在设计中将材料的许用切应力和切变模量等作为常量，在给定径向空间内设计弹簧时，则可把弹簧中径作为设计常量。
3）注意独立变量和相关变量。独立变量是指仅在选定的子系统边界内、在模型中可独立取得的变量，它不受子系统边界外的影响，也不影响其他子系统的性能和结构。当把总系统分解为若干个子系统来分别迸行优化设计时，难免有一个或几个变量同时包含在相邻子系统中，这种变量在这个子系统中的最优值在相关子系统中就不是最优值，把有这种特点的变量称为相关变量。
4）应尽量选取有实际意义的无因次变量作为设计变量。有量纲的参数，当取单位不同时，其值的大小发生变化，将导致对数学模型产生不同的影响，这对优化结果一般不会产生影响。但会影响计算的效率，甚至导致一些优化方法失效。用无量纲的参数作为设计变量就不存在这一问题。例如，一对齿轮传动，大小齿轮的齿数z和z可以12作为设计变量，因为传动比为无量纲的量，所以用z和i1作为设计变量较好。
1.2 约束条件
优化设计不仅要使所选择方案的设计指标达到最优值，同时还必须满足一些附加的条件，这些附加的设计条件都是对设计变量取值的限制，在优化设计中叫作设计约束，它的表现形式有两种。一种是不等式约束，即
g（X）≤0u
或 g（X）≥0（u=1，2，…，m）u
另一种是等式约束，即
h（X）=0（v=1，2，…，P＜n）v
式中，g（X）和h（X）分别为设计变量的函数，统称为约束uv函数；m和P分别表示不等式约束和等式约束的个数，而巨等式约束的个数P必须小于设计变量的个数n。因为从理论上讲存在一个等式约束就可以用它消去一个设计变量，这样便可以降低优化设计问题的维数。
根据约束的性质不同，可以将约束分为区域约束和性能约束两类。区域约束是直接限定设计变量取值范围的约束条件；而性能约束是由某些必须满足的设计性能要求推导出来的约束条件。在求解时对这两类约束有时不同对待。
不等式约束及其有关概念在优化设计中是相当重要的。每一个不等式约束都把设计空间划分成两部分。一部分满足该不等式约束条件，另一部分则不满足，两部分的分界面叫作约束面。一个优化设计问题的所有不等式约束的边界将组成一个复合约束边界，复合边界内的区域是满足所有不等式约束条件的部分，在这个区域中所选择的设计变量是允许采用的，这个区域称为设计可行域或简称可行域。除去可行域的设计空间称为非可行域。据此，可行域内的任何设计点都代表一个允许采用的设计方案，这样的点叫作可行解或内点，在约束边界上的点叫作极限设计点或边界点，此时这个边界所代表的约束叫作适时约束或起作用约束。
在建立数学模型时，目标函数与约束函数不是绝对的；对于同一对象的优化设计问题（如齿轮传动优化设计），不同的设计要求（如要求质量最轻或承载能力大等）反映在数学模型上是选择不同的目标函数和约束函数，设定不同的约束边界值。换言之，目标函数和约束函数都是设计问题的性能函数，只是在数学模型中允许不同的角色。所以，通常的做法是将目标函数和约束函数视为问题函数，建立起某一对象的优化设计通用数学模型，再根据具体的设计要求，指定某个或某些问题函数为目标函数，某些问题函数为约束函数巨设定边界值。
当优化数学模型中的问题函数均为设计变量的线性函数时，则称为线性规划问题。问题函数中包含非线性函数时，则称为非线性规划问题。多数工程优化设计问题的数学模型是属于有约束的非线性规划问题。
1.3 目标函数和等值线
每一个设计问题，都有一个或多个设计中所追求的目标，它们可以用设计变量的函数来加以描述，在优化设计中称它们为目标函数，当给定一组设计变量值时，就可计算出相应的目标函数值，因此，在优化设计中，就是用目标函数值的大小来衡量设计方案的优劣。优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标函数值达到最优值。最优值可能是极大值，也可能是极小值，由于求目标函数f（X）的极大值等价于求目标函数-f（X）的极小值，因此，为了算法和程序的统一，通常最优化就是指极小值f（X）→min。
在工程设计问题中，设计所追求的目标可能是各式各样的，当目标函数只包含一项设计指标极小化时，称为单目标设计问题。当目标函数包含多项设计指标极小化时，这就是所谓的多目标设计问题。单目标优化设计问题由于指标单一，易于衡量设计方案的优劣，求解过程比较简单明确，而多目标问题则比较复杂，多个指标往往构成矛盾，很难或者不可能同时达到极小值。多目标问题的求解较为简单的方法是采用线性加权的形式，将多目标问题转化为单目标问题求解。或将一些目标转化为约束函数，这样处理后的数学模型往往不能很好地体现多目标问题的实质。求得的最优解不能很好地满足设计要求。
由于目标函数是设计变量的函数。故给定一组设计变量，就相应有一个函数值。并在设计空间相应有个设计点，因此也可以说设计空间任何一点都有一个函数值与之相对应。具有相同函数值的点集在设计空间形成一个曲面或曲线，称为目标函数的等值面或等值线。
1.4 优化设计的数学模型
优化设计的数学模型由设计变量、目标函数和约束条件三部分组成，可写成以下统一形式：
求变量：x，x，…，x12n
使极小化函数：f（x，x，…，x）12n
满足约束条件：
g（x，x，…，x）≤0（u=1，2，…，m）u12n
h（x，x，…，x）=0（v=1，2，…，P，P＜n）v12n
其中g（x，x，…，x）≤0称为不等式约束条件，h（x，u12nv1x，…，x）=0称为等式约束条件。2nTn
用向量X=（x，x，…，x）表示设计变量，X∈R表示向量X12n属于n维欧氏空间，用min、max表示极小化和极大化，s.t.表示“满足于”，m和P分别表示不等式约束和等式约束的个数。数学模型可写成以下向量形式：n
minf（X）（X∈R）
s.t.g（x，x，…，x）≤0（u=1，2，…，m）u12n
h（x，x，…，x）=0（v=1，2，…，P，P＜n）v12nn
由于工程设计的解一般都是实数解，故可省略X∈R，将优化设计的数学模型简记为
minf（X）
s.t.g（x，x，…，x）≤0（u=1，2，…，m）u12n
h（x，x，…，x）=0（v=1，2，…，P，P＜n）v12n
当设计问题要求极大化目标函数f（X）时，只需要将目标函数改写为-f（X）即可，这是因为maxf（X）和min［-f（X）]具有相同的解。同样，当不等式约束条件中的不等号为“≥0”时，只要将不等式两端同乘以“-1”，即可得到“≤0”的一般形式。
最优化问题也称为数学规划问题，最优化问题根据数学模型中是否包含约束条件而分为无约束优化问题和约束优化问题；根据设计变量的多少可分为单变量优化问题和多变量优化问题；根据目标函数和约束函数的性质可分为线性规划问题和非线性规划问题。
当数学模型中的目标函数均为设计变量的线性函数时，称此设计问题为线性优化问题或线性规划问题。当目标函数和约束函数中至少有一个为非线性函数时，称此设计问题为非线性优化问题或非线性规划问题。
线性规划和非线性规划是数学规划的两个重要分支。生产计划和经济管理方面的问题一般属于线性规划问题，而工程设计问题则属于非线性规划问题。
第2章 优化设计的理论基础
2.1 优化设计问题的几何意义
2.1.1 目标函数的等值面（线）目标函数的值是评价设计方案优劣的指标。n维变量的目标函数，其函数图像只能在n+1维空间中描述出来。当给定一个设计方案，即给定一组x，x，…，x的值时，目标函数f（X）=f（x，x，…，x）12n12n必相应有一确定的函数值；但若给定一个f（X）值，却有无限多组x，1x，…，x值与之对应，也就是当f（X）=a时，X=（x，x，…，x）2n12nT在设计空间中对应有一个点集。通常这个点集是一个曲面（二维是曲线，大于三维称为曲面），称之为目标函数的等值面。当给定一系列的a值，取a=a，a，…时，相应地有f（X）=a，a，…，这样可1212以得到一组超曲面族——等值面族。显然，等值面具有下述特性，即在一个特定的等值面上，尽管设计方案很多，但每一个设计方案的目标函数值却是相等的。
现以二维无约束最优化设计问题为例阐明其几何意义。如图2-1所示，二维目标函数值f（X）=f（x，x）在以x、x和f（X）为坐1212标的三维坐标系空间内是一个曲面。在二维设计平面xOx中，每一12个点X=（x，x）都有一个相应的目标函数值f（X）=f（x，x），1212它在图中反映为沿f（X）轴方向的高度。若将f（X）=f（x，x）面12上具有相同高度的点投影到设计平面xOx上，则得f（X）=f（x，121x）=a的点集，称为目标函数的等值线（等值线是等值面在二维设计2空间中的特定形态）。当给定一系列不同的a值时，可以得到一组平面曲线：f（X）=f（x，x）=a，f（X）=f（x，x）=a，…，这组121122曲线构成目标函数的等值线族。由图可以清楚地看到，等值线的分布情况反映了目标函数值的变化情况，等值线越向里，目标函数值越小，对于一个有中心的曲线族来说，目标函数的无约束极小点就是等值线*族的一个共同中心X。故从几何意义上说，求目标函数无约束极小点也就是求其等值线族的共同中心。
以上二维设计空间等值线的讨论，可以推广到分析多组问题。但需注意，对于三维问题在设计空间中是等值面，高于三维的问题在设计空间中则是等值超曲面。2.1.2 约束最优解和无约束最优解
n维目标函数f（X）=f（x，x，…，x），若在无约束条件下极12n*T***小化，即在整个n维设计空间寻找X=（x，x，…，x），使满足12n*n**minf（X）=f（X），X∈R，其最优点X、最优值f（X）构成无约束**最优解；若在约束条件限制下极小化，即在可行域中寻找X=（x，1T*n***x，…，x），使满足minf（X）=f（X），X∈R，其最优点X、最2n*优值f（X）构成约束最优解，无论在数学模型还是几何意义上，两者均是不同的概念。
现用一个二维非线性最优化问题，从几何意义上来说明约束最优解和无约束最优解。22
设已知目标函数f（X）=x+x-4x+4，受约束于g（X）=x-121112x+2≥0，g（X）=x≥0，g（X）=x≥0，g（X）=-x+x-1≥0，求22132412**其最优解X和f（X）。图2-1a表示其目标函数和约束函数的立体图，图2-1b表示其平面图。当目标函数f（X）=0.25、1、4、6.25时，相应在xOx设计平面内得一系列平面曲线（同心圆）——等值线，它12表示了目标函数值的变化情况，越向里边的代表目标函数值越小。显*（1）1*（1）然其无约束最优解为目标函数等值线同心圆中心X=（x，TT*（1）*（1）x）=（2，0），f（X）=0。而其约束最优解则需在由约2束线g（X）=0，g（X）=0，g（X）=0，g（X）=0组成的可行域1234（阴影线里侧）内寻找使目标函数值为最小的点，由图可见，约束线*（2）*（2）g（X）=0与某等值线的一个切点X即为所求，X4TT*（2）*（2）*（2）=（x，x）=（0.58，1.34），f（X）=3.8为其约12束最优解。图2-1 二维函数的约束最优解和无约束最优解
以上二维问题关于约束最优解和无约束最优解几何意义的讨论，同样可以推广到多维问题。n个设计变量（x，x，…，x）组成设计12n空间。在这个空间中的每个点代表一个设计方案。此时n个变量有确定的值。当给定目标函数某一值时，就在n维设计空间内构成一个目标函数的等值超曲面，给定目标函数一系列数值时就得一系列目标函数的等值超曲面。这些等值超曲面反映了目标函数的变化情况。无约束最优点为这些等值超曲面的共同中心。对于约束最优化问题，每一个约束条件在n维设计空间中是一个约束超曲面，全部约束超曲面在设计空间中构成可行域。在其上寻找目标函数值最小的点即为约束最优点。这一点可以是目标函数等值超曲面与某个约束超曲面的一个切点，也可以是目标函数值较小的某些约束超曲面的交点（如图2-2所*示的X点）。图2-2 n维问题的约束最优点和无约束最优点2.1.3 局部最优解和全域最优解
对无约束最优化问题，当目标函数不是单峰函数时，有多个极值*（1）*（2）*（1）*（1）点X，X，…，如图2-3所示。此时，X和f（X）、*（2）*（2）*（1）X和f（X）均称为局部最优解。如其中X的目标函数值*（1）*（1）f（X）是全区域中所有局部最优解中的最小者，则称X和*（1）f（X）为全域最优解。
对于约束最优化问题，情况更为复杂，它不仅与目标函数的性质有关，还与约束条件及其函数性质有关。如图2-4所示，将目标函数f（X）的等值线绘于图上，由两个不等式约束g（X）≥0、g（X）≥12*（1）*（2）*（3）0构成两个可行域D和D。X、X、X分别是可行域内12*（1）在某一邻域目标函数值最小的点，都是局部极小点，亦即X、*（1）*（2）*（2）*（3）*（3）f（X），X、f（X），X、f（X）均称为局部*（1）*（2）*（3）*（3）最优解。由于f（X）＜f（X）＜f（X），可知X为*（3）*（3）全域极小点，亦即X和f（X）为全域最优解。
优化设计总是期望得到全域最优解，但目前的优化方法只能求出局部最优解，并采取对各局部最优解的函数值加以比较，取其中最小的一个作为全域最优解。图2-3 无约束优化的全域和局部最优解图2-4 约束优化的全域和局部最优解
2.2 无约束目标函数的极值点存在条件
2.2.1 函数的极值与极值点以一元函数为例说明函数的极值与极值点。图2-5所示为定义在区间［a，b]上的一元函数f（x）。（1）（2）（1）
图上有两个特殊点x与x，在x附近，函数f（x）恒（1）（2）（2）以f（x）为最大；在x附近，函数值以f（x）为最小。因（1）（2）此x与x即为函数的极大点与极小点，统称为函数f（x）的极值点。需要注意，这里所谓的极值是相对于一点的附近邻域各点而言的，仅具有局部的性质，所以这种极值又称为局部极值，而函数的最大值与最小值是对整个区间而言的。如图2-5中函数的最大值为f（b），函数的最小值为f（a）。函数的极值并不一定是最大值或最小值。图2-5 函数的极值与极值点2.2.2 极值点存在的条件
1.一元函数（即单变量函数）的情况（1）极值点存在的必要条件我们在高等数学中已经学过：如果*函数f（x）的一阶导数f′（x）存在的话，则欲使x为极值点的必要条件为*
f′（x）=0 （2-1）（1）（2）
仍以图2-5中所示一元函数为例，由图可见，在x与x处*的斜率均等于零，即函数在该两点处的切线与x轴平行。但使f′（x）（3）（3）=0的点并不一定都是极值点，如图中的x点，虽然f′（x）=0，*但并非极值点而为一驻点。使函数f（x）的一阶导数f′（x）=0的点称为函数f（x）的驻点。极值点（对存在导数的函数）必为驻点，但驻点不一定是极值点。至于驻点是否为极值点可以通过二阶导数f″（x）来判断。（2）极值点存在的充分条件若在驻点附近，有
f″（x）＜0 （2-2）
则该点为极大点；
若在驻点附近，有
f″（x）＞0 （2-3）
则该点为极小点。（3）
在图2-5中的x附近，其右侧f″（x）＜0，但其左侧f″（x）＞0，因此它不是一个极值点。可见函数二阶导数的符号成为判断极值点的充分条件。
2.多元函数（即多变量函数）的情况n
设f（x）为定义在X∈DR中的n元函数。向量X的分量x，x，12（k）…，x就是函数的自变量。设X为定义域内的一个点，巨在该点n有连续的n+1阶偏导数，则在该点附近可用泰勒级数展开，如取到二次项，有
如果用向量矩阵形式表示，则式（2-4）可写为
可简写为
式中，（k）（k）
Δf（X）是函数f（X）在X点的一阶偏导数矩阵，称为函（k）数在该点的梯度。梯度Δf（X）是一个向量，其方向是函数f（X）（k）（k）在X点数值增长最快的方向，亦即负梯度-Δf（X）。方向是（k）函数f（X）在X点数值下降最快的方向，梯度的模（k）（k）
但需注意，函数f（X）在某点X的梯度向量Δf（X）仅仅（k）反映f（X）在X点附近极小邻域的性质，因而它是一种局部性质。函数在定义域内的各点都各自对应着一个确定的梯度。此外，函（k）（k）数f（X）在X点的梯度向量Δf（X）正是函数等值线或等值超（1）（2）曲面在该点的法向量。图2-6表示二元函数f（X）在X、X点（1）（2）（1）的梯度Δf（X）、Δf（X）和负梯度-Δf（X）、-（2）2（k）（k）Δf（X）。Δf（X）是函数f（X）在X点的二阶偏导数组成的n×n阶对称矩阵，或称为f（X）的黑塞（Hessian）矩阵，记（k）H（X）。
式（2-4）～式（2-6）只取到泰勒级数二次项，称为函数的二次近似表达式。图2-6 二元函数的梯度和负梯度（1）极值点存在的必要条件n元函数在定义域内极值点存在的必要条件为
即对每一个变量的一阶偏导数值必须为零，或者说梯度为零（n维零向量）。
和一元函数对应，满足式（2-9）只是多元函数极值点存在的必**要条件，而并非充分条件，满足Δf（X）=0的点X称为驻点，至于驻点是否为极值点，尚需通过二阶偏导数矩阵来判断。（2）极值点存在的充分条件如何判断多元函数的一个驻点是否为极值点呢？*
将多元函数f（X）在驻点X附近用泰勒公式的二次近似式来表示，则由式（2-6）得**
因为X为驻点，Δf（X）=0，于是有*
在X点附近的邻域内，若对一切的X恒有*
f（X）-f（X）＞0
亦即*T**（X-X）H（X）（X-X）＞0 （2-10）*
则X为极小点；否则，当恒有*T**（X-X）H（X）（X-X）＜0 （2-11）*
时，则X为极大点。
根据矩阵理论知，由式（2-10）、式（2-11），得极小点的充分条件为*
亦即驻点黑塞矩阵H（X）必须为正定。同理知极大点的充分条件为*
亦即驻点黑塞矩阵H（X）必须为负定。而当*
亦即驻点黑塞矩阵H（X）既非正定，又非负定，而是不定，*f（X）在X处无极值。
至于对称矩阵正定、负定的检验，由线性代数可知，对称矩阵
正定的条件是它的行列式|A|的顺序主子式全部大于零，即
负定的条件是它的行列式|A|中一串主子式为相间的一负一正，即
至此，读者完全不难自行归纳得出无约束目标函数极值点存在的充分必要条件和用数学分析作为工具对n维无约束优化问题寻求最优解。
2.3 函数的凸性
由前述讨论可知，函数的最优值与极值是有区别的。前者是指全域而言，而后者仅为局部的性质。一般来说，在函数定义的区域内部，最优点必是极值点，反之却不一定。如果能得到两者等同条件，就可以用求极值的方法来求最优值，因此对于函数的最优值与极值之间的关系需做迸一步的讨论。目标函数的凸性与所需讨论的问题有密切的关系。
我们可以先用一元函数来说明函数的凸性。如图2-7所示，图（1）（2）2-7a中在（x，x）区间上曲线是下凸的，图2-7b的曲线是上凸的，它们的极值点（极小点或极大点）在区间内都是唯一的。这样的函数称为具有凸性的函数，或称为单峰函数。图2-7 函数的凹凸性定义2.3.1 凸集与非凸集
为了考虑多元函数的凸性，首先要说明函数定义域应具有的性态。
设D为n维欧氏空间中设计点X的一个集合，若其中任意两点（1）（2）X和X的连线都在集合D中，则称这种集合是n维欧氏空间的一个凸集。二维函数的情况如图2-8所示，其中图2-8a所示为凸集，图2-8b所示为非凸集。图2-8 函数定义域的性态（1）（2）
在n维空间中，若对某集合D内的任意两点X与X作连线，使连线上的各个内点对任何实数a（0≤a≤1）恒有（1）（2）
X=aX+（1-a）X∈D （2-17）
则称D为凸集。图2-9所示是对于二维问题、式（2-17）对应的向量图解。n
n维无约束最优化问题的整个设计空间R是凸集。图2-9 二维函数定义域凸性定义图解2.3.2 凸函数的定义
设f（X）为定义在n维欧氏空间中一个凸集D上的函数，若对任（1）（2）何实数ξ（0≤ξ≤1）及D域中任意两点X与X存在如下关系：（1）（2）（1）（2）
f（ξX+（1-ξ）X）≤ξf（X）+（1-ξ）f（X） （2-18）则称函数f（X）是定义在凸集D上的一个凸函数。现用图2-10所示定义于区间［a，b]上的单变量函数来说明这一概念。若连接函数曲线上任意两点的直线段，某一点x（k）的函数值恒低于此直线段上相应的纵坐标值，则这种函数就是凸函数，也就是单峰函数。
若将式（2-18）中的符号“≤”改为“＜”，则称函数f（X）为严格凸函数。若将式（2-18）中的符号“≤”改为“≥”，则如图2-7b所示，函数曲线上凸（有极大点），通常称为凹函数。显然，若f（x）为凸函数，则-f（x）为凹函数。图2-10 凸函数的定义2.3.3 凸函数的基木性质
1）若函数f（X）和f（X）为凸集D上的两个凸函数，对任意正12数a和b，函数f（X）=af（X）+bf（X）仍为D集上的凸函数。12（1）（2）
2）若X与X为凸函数f（X）中的两个最小点，则其连线上的一切点也都是f（X）的最小点。
证明略。2.3.4 凸函数的判定
判别法1：若函数f（X）在D上具有连续一阶导数，而D为D内11部的一个凸集，则f（X）为D上的凸函数的充分必要条件为：对任意（1）（2）的X，X∈D恒有（2）（1）（2）（1）T（1）
f（X）≥f（X）+（X-X）Δf（X） （2-19）
判别法2：若函数f（X）在凸集D上存在二阶导数并巨连续，f（X）在D上为凸函数的充分必要条件为：对于任意的X∈D，f（X）的黑塞矩阵H（X）处处是正半定矩阵。
若黑塞矩阵H（X）对一切X∈D都是正定的，则f（X）是D上的严格凸函数，反之不一定成立。22
例2-1 判别函数f（X）=50-10x-4x+x+x-xx在D=｛X|-∞＜x121212i＜+∞（i=1，2）｝上是否为凸函数。
解：利用黑塞矩阵来判别：
因此黑塞矩阵是正定的，故f（X）为严格凸函数。
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