作者：(美)尤安·辛克莱(Euan Sinclair)
出版社：机械工业出版社
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波动率交易：期权量化交易员指南(原书第2版)试读：
总序
20世纪70年代初开始，欧美国家金融市场发生了深刻变化。1971年，布雷顿森林体系正式解体，浮动汇率制逐渐取代固定汇率制，汇率波动幅度明显加大。同期，各国也在不断推进利率市场化进程。随着欧美国家利率、汇率市场化程度的提升，利率、汇率风险逐渐成为市场风险的主要来源，经济主体对利率、汇率风险管理的需求大幅增加。金融期货期权就是在这样的背景下产生的。1972年，芝加哥商业交易所推出了全球第一个外汇期货交易品种；1973年，芝加哥期权交易所推出了全球第一个场内标准化股票期权；1975年，伴随美国利率市场化进程，芝加哥期货交易所推出了全球第一个利率期货品种——国民抵押协会债券期货；1982年，堪萨斯交易所又推出全球第一个股指期货——价值线指数期货合约。金融期货期权市场自诞生以来，发展一直十分迅猛。近年来，金融期货期权成交量已经占到整个期货期权市场成交量的90%左右，成为金融市场的重要组成部分。
金融期货期权市场是金融市场发展到一定阶段的必然产物，发达的金融期货期权市场是金融市场成熟的重要标志。金融期货期权能够高效率地实现金融风险在市场参与主体之间的转移，满足经济主体金融风险管理需求。1990年诺贝尔经济学奖获得者默顿·米勒对其有过经典的评价：“金融衍生工具使企业和机构有效和经济地处理困扰其多年的风险成为可能，世界也因之变得更加安全，而不是变得更加危险。”
金融期货期权诞生以来，对全球经济发展起到了积极的促进作用。在宏观层面，金融期货期权显著提升了金融市场的深度和流动性，提高了金融市场的资源配置效率，有效改善了宏观经济的整体绩效；在微观层面，金融期货期权为金融机构提供了有效的风险管理工具，使金融机构在为企业和消费者提供产品和服务的同时，能够及时对冲掉因经营活动而产生的利率、汇率等风险敞口，使他们能够在利率、汇率市场化的环境下实现稳健经营。
党的十八大明确提出，要更大程度更广范围发挥市场在资源配置中的基础性作用，要继续深化金融体制改革，健全促进宏观经济稳定、支持实体经济发展的现代金融体系，加快发展多层次资本市场，稳步推进利率和汇率市场化改革。可以预见，我国将进入一个经济金融市场化程度更高的新时代，利率、汇率等金融风险将成为市场主体日常经营中必须面对和处理的主要风险。在这样的时代背景下，加快发展我国金融期货期权等衍生品市场具有格外重要的意义。
一是有利于进一步提升我国金融市场的资源配置效率。期货期权市场的发展，有利于提升基础资产市场的流动性和深度，从而为基础资产市场的投资者进行资产配置、资产转换、风险管理提供便利，促进金融市场资源配置功能的发挥。
二是助推我国利率和汇率市场化改革进程。随着我国利率、汇率市场化程度不断提高，机构面临的利率、汇率风险在增加。如果缺乏有效的风险管理工具，包括商业银行在内的各类市场主体无法有效地管理风险敞口。这不仅对金融机构稳健经营构成挑战，也会牵制利率和汇率市场化改革的进程。只有在利率和汇率市场化改革过程中，适时推出相应的期货期权衍生产品，才能保证利率和汇率市场化目标的实现。
三是有利于推动我国经济创新驱动，转型发展。实体经济以创新为驱动，必然要求金融领域以创新相配合，才能不断满足实体经济日益多样化、个性化的需求。金融期货期权是各类金融创新的重要催化剂和基础构件，发展金融期货期权等衍生品，有利于推动整个金融行业开展有效创新，拓展和释放金融服务实体经济的空间和能量，促进我国实现创新驱动的国家发展战略。
当前，我国金融期货期权市场还处在发展的初期，远远不能满足市场参与者日益增加的风险管理需求，也远远不能适应我国实体经济发展和金融改革创新的新形势和新要求，加快发展我国金融期货期权市场已经时不我待。
中国金融期货交易所在2010年4月16日推出了沪深300股指期货，标志着我国资本市场改革发展又迈出了一大步，对于完善我国资本市场体系具有重要而深远的意义。后来，又在2015年4月16日推出了上证50和中证500股指期货品种。在时隔18年后，于2013年9月23日又推出了5年期国债期货，并在2015年3月20日上市了10年期国债期货，是继股指期货之后期货衍生品市场创新发展的重要突破，有助于进一步健全反映市场供求关系的收益率曲线。中国金融期货交易所肩负着发展我国金融期货期权等衍生品市场的重大历史使命，致力于打造“社会责任至上、市场功能完备、治理保障科学、运行安全高效”的世界一流交易所，建设全球人民币资产的风险管理中心。加强研究和交流是推动我国金融期货期权市场发展的重要手段，中国金融期货交易所组织出版的这套金融期货与期权丛书，旨在进一步推动各方关注我国金融期货期权市场的发展，明确金融期货期权市场发展路径；帮助大家认识和理解金融期货期权市场的内在功能和独特魅力，凝聚发展我国金融期货期权的共识；培育金融期货期权文化，培养我国金融期货期权市场的后备人才。这套金融期货与期权丛书涵盖了理论分析、实务探讨、翻译引进和通俗普及等四大板块，可以适应不同读者的需求。相信这套丛书的出版必将对我国金融期货期权市场发展事业起到积极的推动作用。中国金融期货交易所董事长2016年5月
致谢
类似本书这样的项目能够完成，总是离不开许多人各种形式的帮助和支持。虽然他们并没有直接参与写作，但我仍要首先感谢我的父母，是他们让我获得了良好的教育，并让我认识到厌倦是一种不可饶恕的罪恶。
更直接的职业帮助来自www.nuclearphynance.com的常客，他们无私奉献了时间和知识，帮助我找到了大量的研究文献。
最后，克里斯·梅瑞尔（Chris Merrill）、吉图·帕特尔（Jitu Patel）和艾琳·卡拉汉（Erin Callahan）提供了与校对和技术处理有关的直接帮助，谢谢你们。
第2版简介
自本书第1版出版以来，波动率市场发生了许多变化。有人认为一个巨大的变化是：在2008年年底的超常波动期，以及随后的波动率长期逐渐下降。尽管这确实会让交易过程充满挑战，但市场在此之前以及之后也会有同样的表现。这样的变化经常会发生。更有趣的变化是交易所上市波动率相关产品[期货、交易所交易基金（ETF）和交易所交易票据（ETN）]的趋势。这为我们提供了新的方式来进行波动率交易和相对价值赌博。在第2版中，我们对波动率指数（VIX）期货和ETN，以及杠杆ETF进行了介绍。
另一个较大的变化是高频交易的增长效应。交易员积极地进行股票期权的做市，努力在每一个买价和卖价上交易，因此就需要这样的算法来支持。本书并没有介绍这些策略，我关注波动率的投机交易，这些交易一般会持有几天或几个月。它们的时间尺度远不是高频的。
关于本书
这类交易方式的概念并没有大的变化，不过我的关注重点有了细微的改变。尽管学术界仍持续地致力于预测波动率的研究，不过我认为这些学术进展对于期权交易员的作用很有限。例如，股票波动率多头空头组合的盈利能力在过去五年中显著下降了。因此这将不再是我现在的关注重点。虽然我对于波动率预测这部分的内容有所扩充，但我认为找到那些可以让我们精确度量和预测波动率的有利机会，是目前更重要的事。为此，我在本书中增加了关于市场和方差溢价的典型事实的章节。
我还扩充了关于心理学的那一章。行为金融学对于交易员的作用仍是一个有争议的话题。交易员对此有巨大的分化，要么是虔诚的信徒，要么对此不屑一顾。我不认为成为一个信徒有什么不好，因为我知道，对心理学的学习让我获益良多。
我把交易视为一个过程，在写作本书时，我也坚持了这个观点。因此我建议读者按照本书的章节顺序来阅读。不过，本书的大部分章节都是自成一体的，因此跳着读也不会有太大的坏处。如果是特别缺乏耐心的读者，也可以通过阅读每一章最后的小结来了解该章的基本内容。一些比较偏题的材料，主要是数学原理，则可以放置在一边。即使把它们全部忽略，也不会影响阅读的连续性。
本书讲述的是波动率交易。更明确地说，它是关于如何使用期权来进行那些主要与合约标的波动范围相关的交易，而不是去赌合约标的的价格方向。
在讨论具体技术之前，我需要简单介绍一下我的交易哲学。在交易中，和大多数情况一样，都需要基本的指导原则来实现成功。并不是所有人都需要认同某一种特定的哲学，但它的存在即是合理的。例如，可能有一个股票市场投资者通过价值投资，即买入低市盈率或市净率的股票，获得了成功。同样也有投资者通过买入高收入增长率公司股票的成长股获得了成功。而随机买入股票，并希望能赚钱的投资者则不太可能会持续盈利。
我是一名交易员，不是一名数学家、金融工程师或是哲学家。我的成功是用盈利来衡量的。我所使用和开发的工具只须有用就行，它们并不需要具有一致性、可以验证或是意义深远，甚至不需要是正确的。我交易的方法是量化的，但我对数学的兴趣，并不比一个工程师对他的工具的兴趣更大。不过，如果想更有效地利用这些工具，我们就有必要对其具有一定程度的了解、熟练程度，甚至重视。
在本书中我并没有试图列出一个交易规则列表。我很抱歉，但这是因为市场在不断变化，交易规则很快就会过时。不过一般性的交易原则却不会过时，而这正是本书试图向读者提供的。学习这些交易原则并不容易，并没有什么速成秘籍，当然，我也从来没说过市场是容易战胜的。虽然每笔交易的细节总存在着差异，但一般性的原则却总能在某种程度上为我们指明正确的方向。虽然策略的开放程度具有吸引力，其适应性也是非常重要的，但在通往成功的路上，仍有一些原则是我们必须坚持的。毕加索和布拉克可能已经打破了不少规则，但在他们这样做之前，他们的绘画技术已经相当精湛。同样，在对策略进行调整之前，你要确保自己已经很好地领会了所有交易都必须遵守的基本方面：盈利优势、方差和合适的交易规模。
某些传统的交易员往往会这样说：“交易是在人与人之间进行的，你的模型无法捕捉到人的因素。”这其实是一种较为保守的说法。或许他们的模型无法捕捉到人的因素，但我们的模型至少能捕捉到一部分人的因素。由于这些传统的交易员往往偏于保守，厌恶改变，因此他们基本上都不愿意接受量化技术。这可能不是因为他们已对量化深恶痛绝。毕竟，与此类似，传统的棒球手都厌恶新兴的统计分析，却不反对使用击球率和防御率。同样，许多传统的期权交易员贬低量化分析，但是对布莱克–斯科尔斯–默顿（Black-Scholes-Merton，BSM）模型和隐含波动率的概念情有独钟。这些人可能只是不愿承认他们还得继续学习的现实，同时也对自己将要过时的技术感到焦虑。他们以及我们所有人，都应该不断学习。这是一个不断进化提升的过程。
但是，当一些成功的交易员也这样说的时候，我们有必要认识到，他们所说的可能只是部分正确。一些交易员确实有很好的直觉，这在市场中一般被称为“直觉”。直觉确实存在，甚至可以被进一步发展，但是其提升的速度一般并不快。同样，我们也不能以偏概全，仅仅因为一部分交易员具有感觉，就认为所有或者大多数交易员也同样具有感觉。而我们开发的基于数学和测度的方法可以进行系统的学习。既然这些方法可以通过学习掌握，那还有什么借口不去学呢？此外，用逻辑进行思考的交易员可能永远都无法培养出有效的直觉，然而具有直觉的交易员却总是可以从基于逻辑的推理中获利。
虽然市场是被人类设计出来和参与交易的，并且这些人也具有典型的人类情绪和缺点，但这并不是拒绝使用量化和测度方法的正当理由。棒球也是一项由人类创造的运动，而我们会用击球率来评估一名击球手的水平。类似地，在进行交易之前，我们需要通过某种方法来量化可能承受的风险水平以及期望获得的目标收益。这恰好是数学所擅长的领域。估计收益和风险（无论如何定义风险）完全是一项数学任务。如果某个事物无法被度量，我们就不能对其进行管理。此外，如果人的因素对成功来说至关重要，那么它就需要有可度量的效果。虽然市场的确有可能是由动物精神（animal spirits）所驱动的，但是我会保持彻底的不可知论者状态，直到它们变得不可理喻，并且开始让价格变得杂乱无章。
我们需要时刻将实用主义作为我们的指导思想。当不得不在有用和无法证实的事情之间进行抉择时，我们很可能会在取舍的过程中出错。成功的交易是以能在不确定性和信息不完全的条件下做出正确决策为基础的。总有些方法，我们预感它们是正确的，但却无法证明。等待被证实无疑意味着在等待这些方法逐渐失效。
当然还存在成功交易期权的其他方法。我在书中所提供的只是一种方法，而不是唯一的方法。这种由数据驱动、以统计分析为基础的方法应该被应用到更多的产品中。因此即便是只关注一两个市场的交易员也可以从本书中找到有益和可以直接应用的内容。本书同样也适用于不进行期权交易的交易员。
本书的配套网站中有一些演示本书所提及的某些想法的工作表，以及必然存在的勘误表。
交易过程
交易一般可被分解为三个主要部分：寻找有利可图的机会，管理风险和资金，注重心理状态。这三个部分都非常重要，因此没有必要去区分孰轻孰重。虽然大多数交易员可能更精通三者中的某一部分，但想要获得成功，他们必须在交易过程中把三者都做到位。
在进行期权交易时，寻找交易机会包括预测波动率，以及知道波动率是如何影响期权市场价格的。这意味着我们需要一个能在价格空间和波动率空间之间进行转换的模型。在过去的40年中，交易员和金融工程师提出了许多复杂程度各不相同的期权定价模型。我们这里选择使用BSM模型。交易员已经习惯了用BSM模型的术语来考虑问题。有一个交易员曾经对我说：“我想要一个很多人都爆过仓的模型。”他的意思其实是说，优秀模型的缺陷应该是众所周知的，并且这些缺陷是在一些人的经验教训中发现的，而缺陷尚未被发现的模型不能被称为优秀的模型（颇具讽刺意味的是，那个交易员随后竟也使用BSM模型爆了仓。其实也就那么回事）。
一直以来都存在着一个误解，即模型越复杂就越优秀。其实模型的优劣与复杂程度并无关系。比如，如果交易员以5.0的价格卖出一个期权，随后又以3.0的价格买回来，那么不管他使用何种模型，他都从中赚到了两个点。模型仅仅是一种将我们的想法公式化的方法，让我们能在波动率的预测和期权价格之间进行转换。如果一些人喜欢某个随机波动率模型，那么他大可以更多地使用它。不过，我认为BSM模型在适当修正的情况下已经足够稳健，它能在维持简单和直观的条件下，更多地反映现实情况。
虽然大多数股票和商品期权都是美式的，因此在技术上无法使用[1]BSM公式进行定价，但是定价公式的推导过程所需的知识是认知期权所必需的。在推导过程中，我们会着重强调那些稍后我们希望产生收益的要素。由于市场中的绝大多数交易者都是用布莱克–斯科尔斯公式的术语来思考，因此为了使用该公式来进行交易，我们需要理解其真正含义。从这个方面来看，交易就像一场辩论：为了更理智地反驳对方，我们至少需要知道他们在说些什么。
第1章中对该模型的推导是非常不正式的，即直接从持有一个方向中性的组合出发，随后说明如何对该组合进行动态调整，才能得到BSM公式。我们在推导过程中明确了BSM公式是直接依赖于合约标的的变动范围，以及如何用收益率的波动来代表这种依赖性，同时我们也强调了推导BSM公式所需的近似和假设条件。在本书的剩余部分，我们将详细阐述如何处理这些近似和假设，以及如何据此在交易中获利。
期权交易最大的优势来源，是我们对未来波动率的估计与期权市场的估计之间所进行的交易。在预测波动率之前，我们需要先知道如何去度量波动率。在第2章中，我们回顾了度量历史波动率的各种方法，主要包括收盘价–收盘价波动率、Parkinson波动率、Rogers-Satchell波动率、Garman-Klass波动率和Yang-Zhang波动率。随后我们讨论了每个估计量的效率和偏差，以及如何受到真实市场不同因素的干扰。这些因素包括收益率分布的肥尾现象、趋势和微观结构噪声等。我们还讨论了不同度量频率所带来的影响。
接下来，我们将考察波动率实际表现的时间序列特征，以及它与合约标的收益率之间的关系。我们会看见波动率聚集、均值回复和季节性特征，以及与收益率和成交量之间的持续关系。
接下来我们将试图预测波动率，这将贯穿交易的整个阶段。我们回顾了简单移动窗口预测、指数加权移动平均和GARCH族中的各种方法。但对于交易，我们需要的不只是未来波动率的点估计。我们需要对波动率的可能变化范围进行估计，从而指导我们对未来交易的风险/收益特征做出合理的判断。因此，我们还分析了波动率锥的结构和抽样特性。
虽然我们重点是在寻找隐含波动率和已实现波动率预测值之间的差异，但是隐含波动率曲面的动态变化也同样有趣和重要。对此的理解有助于我们对交易执行和时机的把握。在第5章中，我们回顾了波动率曲面在时间和行权价层面上的标准形状。我们还分析了隐含偏度及其来源（包括信用、收益率的实际偏度、买入看跌期权的静态对冲、买入看涨期权的收购对冲和隐含相关性的指数偏度等）。我们还对布莱克–斯科尔斯模型进行了拓展，将偏度和峰度囊括其中，并提供了一些对跨时间和合约标的波动率进行比较的经验法则。
为了能从对波动率的预测中获利，我们需要进行对冲，因此我们的风险就是实际的已实现波动率。通过对冲可以消除我们不希望承担的风险。当风险被错误定价，并且消除或减少了我们在其他风险上的暴露时，我们便希望承担这样的风险。对于简单的、在交易所交易的期权来说，这些不必要的风险来自合约标的的漂移以及利率的变化。虽然对冲需要成本，但却可以降低风险。那么究竟何时才需要进行对冲呢？在第6章中，我们对如何最优地解决这个风险/收益问题进行了研究。我们还回顾了如何积累头寸，从而可以在未来降低对冲的需求。
一旦进行了对冲，我们期望会发生什么呢？第7章分析了一个离散对冲头寸的收益–损失分布，并说明了这一变化与我们用来估计delta的波动率，以及合约标的的特定路径之间的关系。
上述章节完成了交易过程的第一阶段：寻找具有正期望值的交易。下一步我们需要考察如何进行组合管理，以实现成功交易。
第8章说明了不同的交易规模是如何显著影响收益的。我们引入了凯利规则，并将其与其他方法进行比较，比如固定规模法和按比例调整规模法。我们还通过分析破产风险和回撤风险来说明交易规模决策是如何影响风险的。我们在最简单可行的情况（交易只有两种可能的结果）下进行了测试。虽然这个简单模型距离实际的模型（即使是部分切合实际的模型）还有很长的距离，但由于即使是具有多年经验的交易员似乎也只掌握了一小部分关于交易规模的内在理念，因此我们有必要先从如此简单的例子着手。虽然他们意识到，为了充分利用大数定律，最好多玩几次具有正盈利优势的游戏，但对此的理解却很少能超越这个层次。在这一问题上，期货交易员似乎比期权交易员知道得要多一些。赌徒则知道得更多。该领域的大部分研究成果都来自赌徒，特别是21点的玩家（一般而言，如果该金融产品越复杂，其实际的交易过程就越简单，不管是非常复杂的21点策略还是交易结构化衍生品中的头寸规模决策都是如此，它们的大多数盈利优势都来自定价和销售）。
波动率交易的结果并不是二项变量。因此我们需要拓展凯利公式来处理交易结果为连续的情形（实际上我们只须将凯利公式的常用版本进行拓展，凯利公式本身就比目前常见的版本更加具有一般性）。另外，波动率是一个均值回复的过程。因此我们必须在确定交易规模的方法中考虑到这一点，并通过模拟来说明这一现象是如何得到熟悉的（对于做市商而言）、简单的交易规则的。
我们同样提供了一些对凯利公式的备选方案，以便更切合实际的交易情况（在实际中，短线操作可能要比长线操作更具吸引力）。因此，不仅交易员应当对这些方法有所了解，对于分配资金给交易员的人来说，也更应该知道这些方法。通常来讲，交易员和交易公司此时会设置稍微不同的优先级顺序。
为了判断交易结果是否出于偶然，我们需要认真地对其进行跟踪，特别是获取除总收益和损失以外的更多信息。这在评估一笔新交易的有效性时相当重要。因此，第9章对一系列绩效评估方法进行了分析，包括盈/亏比例、回撤、夏普比率、Calmar比率、Sortino比率和K比率，以及omega测度等。不幸的是，交易员总是不去做这种类型的记录和相应的交易后分析。我认为这是交易中最为重要也最容易被忽视的环节。如果你对自己的交易结果都不清楚，那谈何进一步提升自己呢？
心理学是交易类书籍中最常涉及的内容，但是成功的交易断然不是简单地源于“充满信心”“读懂市场”或者“无所畏惧”（虽然最近有人告诉我这就是一个交易员为什么变得优秀的原因）。本书并没有对这种自助式的心理学进行深入研究。其实在供业余和半职业性读者阅读的书籍中，凡是与心理学有关的话题均是通过健全的资金管理规则和寻找并衡量交易机会的合理方式来解决的。不过，行为金融学的知识对即便是有经验的交易员来说也很有帮助。在第10章，我们对期权交易员经常遇到的认知和情感上的偏差进行了回顾。这些偏差均来自如下保守和激进的观点：留心避免损害自己交易的行为，同时寻找市场中能够产生盈利的机会。由于行为心理学方面的一些原因，大多数交易机会都是存在的。
在成功交易波动率之前，我们必须注意到方差溢价：指数的隐含波动率总是比后续的已实现波动率更高。这既可以作为一个单独的交易策略，也可以作为诸如离散交易等相对价值策略的基础。即使我们不想去做空波动率，我们也需要知道该效应，并认识到在波动率多头策略中需要规避的障碍。
本书的大部分内容都是关于期权交易的，它们是最广泛使用的、具有高度流动性的波动率产品。不过，还存在其他与波动率相关的、在交易所上市的产品可供交易。VIX期货就提供了一个清晰、简单的方式来对隐含波动率进行下注，不过它们也有一些特殊的问题。我们分析了这些期货合约，以及使用它们的一个基本交易策略。接下来我们还使用了一些波动率ETN来进行类似的交易，特别是VXX和VXZ（它们是iPath短期和中期标准普尔500隐含波动率ETN）。
一个有趣但通常被误解的交易已实现波动率的方法是交易杠杆式ETF。我们分析了这些期权的特征及上市地。UVXY（ProShares发行的具有VIX两倍杠杆的ETN）的期权可能较其他产品有更多波动率类型的风险敞口。它们与UVXY的隐含波动率、VIX的已实现波动率和标准普尔500指数的隐含和已实现波动率均有关系。在这种俄罗斯套娃式的波动率中，常会出现好的交易机会。
最后，我们详细分析了一笔相对价值波动率交易，包括其从开始到结束的完整生命周期。
[1] BSM 公式有若干个版本。微分方程当然也适用于美式期权，然而微分方程的封闭形式解虽然也被称为BSM 公式，却并不适用于美式期权。第1章 期权定价
并不是说交易期权就一定需要一个定价模型。例如，如果交易员认为合约标的的价格会上涨超过看涨期权的行权价，并且超过行权价的幅度会远大于其所支付的权利金，他们就可以买入这个看涨期权。这是期权最简单和最直接的应用。比它稍微复杂一点的是，我们可以在没有定价模型的情况下交易波动率。如果交易员认为合约标的价格在到期时与行权价的差距会小于某个跨式价差的价格，那他们就会卖出这个跨式价差。诸如此类的期权头寸例子还有很多，交易员可以尝试通过构建类似的头寸来从其对合约标的未来价格分布的看法中获利。不过，如果我们想以合约标的在到期前的行为为基础来展示我们的观点，我们就需要一个定价模型了。
模型是一个框架，我们可以利用它来比较不同期限、合约标的和行权价的期权。我们不需要这个模型多么真实，也不需要它能特别精确地反映现实的交易环境。期权是针对价格快速变化的合约标的的赌局，具有高杠杆、非线性和与时间相关的特点。定价模型的主要目的是把这些价格用一种更加缓慢移动的系统来表示。
能够完美捕捉金融市场所有特征的模型是几乎不存在的。再者，即使存在，也会因为过于复杂而难以调试和使用。所以我们需要对现实世界进行适当简化，从而对其进行建模。此外，对于任何模型，我们都需要留意模型中所使用的简化假设以及模型的适用性。布莱克–斯科尔斯–默顿模型
这里我们会对布莱克–斯科尔斯–默顿（BSM）模型进行分析。对期权交易员而言，BSM模型就是他们思考的概念框架，就像我们用母语思考一样，经验丰富的衍生品交易员都是用BSM语言来思考的。交易员所使用的模型与诸如物理学等硬科学上所使用的模型有很大的区别。物理学中的模型是用来描述现实世界的，模型至少在某种程度上是正确的，然后才用来预测。不同模型之间的正确度并不需要一致。一些成功的理论实际上是基于高度简化的唯象模型。卢瑟福的原子模型就是一个著名的例子，该模型假设电子沿轨道绕原子核旋转，就像行星沿轨道绕太阳运行一样，但行星模型并不是原子结构的精确描述。
交易模型是完全不同的。从对现实世界的精确表述来看，BSM模型并不好，因为它相对于现实有很大的差距，模型中的大多数假设都过分简化了。说它是一个好模型，则是因为我们对它的这些缺点都已经很好地了解了，并且它给出的结论从直觉上来看也是合理的。这就足够了，它已经够用了。继续讨论这个模型是正确的还是错误的，就像说德语是错误的，而法语是正确的一样毫无意义。
BSM公式的标准推导过程在许多书中都能找到（例如，Hull，2005）。详细的推导过程虽然能够让我们清楚地了解模型中的数学细节和所采用的金融学假设，但它通常无法明确告诉我们作为一个交易员应该怎么做。交易员的目的是识别被错误定价的期权并且从中盈利。我们必须牢记这一点。那么BSM公式是怎么帮助我们实现这一目标的呢？
反过来思考这个问题。首先我们假设交易员持有一个delta中性组合，它是由1份看涨期权和delta份股票空头所组成的。接下来我们将应用有关期权动态变化的知识来推导BSM公式。
该组合是delta中性的，对期权交易员而言，这一特征显而易见。事实上，早在BSM模型出现之前，交易员们就认识到了delta对冲的概念（关于这一段有趣的历史，可以参考Haug，2007a）。不过即使是第一次接触该概念的读者，也可以很容易理解这一点。随着合约标的价格上涨，看涨（看跌）期权的价值会增加（下降）。因此，原则上我们可以用一定比例的合约标的来抵消期权的这种方向性风险。认识到这一点很容易，但具体应该用多少数量的合约标的，这个问题就不是那么简单了。
在对合约标的的收益率所服从的分布做出任何假设之前，我们可以先列出期权的一些必然具备的属性。这些属性很容易就可以在金融市场中被观察到。
·当合约标的价格上涨（下跌）时，看涨（看跌）期权变得更有价值。因为此时期权成为实值期权的可能性也越高。
·看涨（看跌）期权的价值永远都不会比合约标的的价格（行权价格）更高。
·随着时间流逝，期权价值将下降。这是因为期权变为实值期权的时间减少了。
·期权价值必然与不确定性正相关。如果合约标的没有风险，那人们也就没有必要花钱购买某个在特定状态下才会有价值的产品。期权之所以有价值，是因为未来的不确定性。因此，不确定性越强，期权的价值也就越高。
·随着利率上升，期权的价值会下降。这是由于我们需要融资来买入期权，当利率上升，我们的融资成本也随之上升（此时我们没有考虑利率变化对合约标的价格的影响）。
·股息发放（以及储存或融券成本）对看涨和看跌期权有不同的影响。期权持有人不能收到股息。这意味着从期权定价的角度来看，股息发放会降低标的股票的有效价格。因此股息发放会增加看跌期权的价值，降低看涨期权的价值。
我们在前文已经提到，即便在BSM公式问世之前，期权交易员就已经意识到，通过持有期权和合约标的的组合能够降低方向性风险。那么让我们先假设持有一个delta中性组合，其价值为：
其中，C是期权的价值，St是时刻t合约标的的价格，Δ是我们持有的股票空头的数量。在下一个时刻，合约标的的价格变成St+1。投资组合的价值变化由期权和股票头寸的价值变化，以及为了构建这个组合而产生的融资成本所构成。因此组合的价值变化为：
最后一项之所以为正，是因为需要考虑我们的现金流。我们买入期权，因此我们需要为该成本融资。但我们卖空了股票，因此我们可以由此收到现金。经过单位时间间隔，我们会由此收到rΔSt的利息。
另外要注意的是，由于假设时间间隔足够小，因此我们可以认为delta在此期间内没有发生变化。
合约标的价格变化所导致的期权价格变化可以通过二阶泰勒展开公式来近似。另外我们知道，当“其他因素不变”时，由于时间流逝而导致的期权价值变化可以用θ来表示。
在我们的证明中，我们假设需要考虑价格的二阶导数，但对于时间则只需考虑其一阶导数。为什么这样的选择是有效的呢？忽略价格的更高阶导数事实上并不合适。我们之所以这样做，是为了得到BSM公式。在更正式的推导中会说明，这与合约标的收益率的正态分布假设有关。这是我不可忽略的主要的简化。我会在稍后进一步讨论这个问题。关于我们只需要更少的关于时间的导数的假设，则更容易理解。合约标的价格变化是随机的，因此这是一个风险来源。而时间变化是可预期的，因此时间流逝对期权的影响则仅仅是一种成本。
因此可以得到公式：
或者：
其中Γ是期权价格对合约标的价格的二阶偏导数。式（1-4）给出了投资组合的价值变化，或者说当股票价格发生微小变化时，交易员所获得的利润。它由三个部分组成。（1）第一部分是gamma效应。由于gamma为正，因此期权持有者能够盈利（这部分利润大致相当于标的股票价格变化平方的一半）。（2）第二部分是theta效应。随着时间的流逝，期权持有者会损失一部分钱。（3）第三部分代表融资的影响。持有一个已对冲的期权多头的组合相当于借出资金。
另外，我们将在第2章中看到，从平均上说：
其中σ是合约标的收益率的标准差，通常也被称为波动率。因此我们可以将式（1-4）写成如下形式：
因为这个投资组合是无风险的，而且是用借入的资金来进行融资，因此我们可以认为这个组合并不能够获取任何非正常利润，所以式（1-5）的值应等于0。因此，期权的公允价值应满足等式：
在继续推导之前，我们需要明确这个非正式推导过程中所隐含的一些假设。
·为了得到式（1-1），我们需要假设市场上存在可交易的合约标的。事实上我们是假设该资产可被卖空，同时能够以任意交易量进行交易，而不会产生任何交易成本。
·式（1-2）假设做空合约标的所获得的资金的再投资利率，与借入购买看涨期权的资金的利率相同，并且我们假定这个利率是不变的。
·式（1-3）假设合约标的的价格变动是连续和平滑的。同时正如我们先前所提及的，我们考虑关于价格的二阶导数，但只考虑关于时间的一阶导数。这是个限制性非常强的假设，我们稍后会对其进行深入分析。
然而，值得注意的是，关于合约标的价格是否会发生漂移，我们并没有做任何假设。我们只是天真地认为，如果一个金融工具的价值会随着合约标的价格的上升而升值，那么它也会受到合约标的价格漂移作用的影响。但是只要把期权和合约标的按合适的比例进行组合，就可以抵消漂移的影响。由于漂移可以被对冲掉，所以期权的持有人并不要求补偿这部分风险。在本章后面讨论对冲时我们将会发现，在现实世界中，资产价格的连续性假设是不成立的，因此方向依赖（directional dependence）的现象会再度出现。
我们注意到，虽然合约标的价格变化并没有出现在式（1-6）中，但资产价格变化的平方却通过波动率项反映在式（1-6）中。所以delta中性组合的交易员是否能够获利的关键就在于合约标的价格的变化幅度。无论资产收益率是不是服从正态分布，上述结论都成立。只要资产收益率的方差是有限的，这个结论就成立。事实上，如果在泰勒展开式中加入了价格的高阶项，我们会发现，期权价格的变化同样也依赖于更高阶的合约标的价格变化量。
在适当条件下，式（1-6）对许多金融工具都成立：欧式期权和美式期权，看涨期权和看跌期权，以及许多奇异期权。此式能通过任意一个普通的偏微分方程解法求解。这些解法的封闭形式（若存在封闭解）可以在很多书（如Hull，2005，Sinclair，2010）中找到。交易员应当理解这些解与定价变量和波动率参数之间的关系。我假定大家对此非常熟悉。
在上面的分析中，我们站在交易员的角度，利用交易员对合约标的价格和时间变化如何影响期权价格的了解，推导出了BSM公式的一种形式。这样一来，我们便知道如何从波动率的角度来交易期权。
到目前为止，我们已经知道期权的公允价值与合约标的收益率的标准差有关。如果期权和合约标的都公开上市交易，那么我们将有两种方法来应用所学的知识。（1）通过估计期权存续期内的波动率计算期权的理论价格。（2）利用期权的市场价格计算其隐含的标准差或波动率。
如果我们估计的波动率和市场所隐含的波动率显著不同，那就可以进行相应的期权交易。如果我们预测的波动率比隐含波动率高，我们则可以买入期权，并在合约标的市场进行相应的对冲。预计的利润将取决于隐含波动率与已实现波动率的差。式（1-6）表明这时的收益与两个波动率的差额是成比例的，即
另外一个可行的方法是用vega来计算delta中性组合的收益。vega用于衡量期权价值对合约标的价格波动率的敏感程度，即隐含波动率每变化一个百分点（比如，从19%变到18%）时，期权价值相应的变化量。这意味着当我们以σ隐含购买期权，如果波动率随后立即上升到σ时，我们的收益为：
通过对式（1-7）求关于时间的积分，以及利用gamma和vega之间的关系，我们可以证明得到式（1-7）的瞬时利润和式（1-8）的总利润之间的关系，不过知道这一点并没有什么意义。gamma和vega之间的关系为：
假设我们持有一份看涨期权C，其初始定价基于σ，然后变化隐含到σ。定义隐含。那方差的一阶导数就为：
其中：
因此式（1-10）中的第二项，即损益项（P/L或P&L）就为：
其中最后一步的抵销是基于波动率变化不大的现实假设而实现的。这个推导过程并不严密，但其结论却普遍成立。
这种形式的损益公式对交易员来说更有用，相对于瞬时盈利，他们对总盈利更有兴趣。它也可以简化地认为损益与波动率呈线性关系。如果我们不得不持有期权至到期，并且假设已实现波动率的平均值为σ，那我们也可以获得同样金额的盈利，但这只是平均意义上的盈利。“vega利润”是通过我们不断地再平衡delta来实现的，其数值等于我们不断对冲delta盈利之和。
这里存在的一个问题是，gamma与期权的在值状态高度相关，很明显当合约标的的价格变化时，gamma也会随之变化。所以盈利是很不稳定的，并且也是路径依赖的。我们将在第7章继续研究这个问题。
在构建模型时，使用简化假设是完全可以接受的。但如果假设条件错得离谱，以至于模型连最基本的参考作用都没有，那这样的假设就完全不能被接受。因此在继续深入讨论之前，我们需要了解所使用的假设都有哪些局限性。模型假设
假设合约标的是可交易的
我们假设合约标的是一种可交易的资产。虽然BSM公式已经被拓展至这个假设不成立的情形，例如实物期权的定价。但由于我们主要关心的还是股票和期货的期权，所以这个假设不算苛刻。然而，对于很多可以创设期权的合约标的而言，它们的流动性却是一个问题，因此可交易这个假设并不总是清晰明了的。如果遇到不能按照我们所需的数量来交易合约标的，我们就会陷入困境。
假设合约标的不支付股息或者不存在储存费用
我们假设合约标的不支付股息或其他收入。请注意，在式（1-2）中我们引入了无风险利率r，它与融资买入看涨期权和融出用于对冲的组合（ΔS）都有关。不过事实上并不完全如此。
如果合约标的支付股息为q，那等式的第二项就需要用r-q来代替。
对于指数来说，连续股息率常常是一个合适的近似，但个股支付的却是离散股息。因此我们需要假设个股价格减去股息的贴现值之后的部分才是真正的合约标的，这会让等式更复杂，但并没有改变本质。
卖空者很少能够收到卖空资产的全部金额。卖空个股是经纪商给其客户的一种特权，而获得这个特权常需要支付费用。通常可以通过假设一个虚拟的股息率来反映这部分费用。
如果合约标的为实物商品，那就存在一个为比率为q*的仓储费用，在对冲中考虑这个费用之后的利率就变为r+q*。
如果合约标的为期货，那对冲的融资成本就为零。这样的情况下，与对冲有关的利率就会为零。
假设合约标的可以做空
如果合约标的是期货，这个假设完全没有问题。但对于股票来说，做空会比较困难。此外，即使做空可行，由于借入股票需要支付费用，因此卖空者很少能够获得卖空投资的全部金额。这可通过假设合约标的存在一个额外的股息率来综合考虑，其上限为与卖空股票有关的惩罚费用。
假设存在单一不变的利率
利率存在买卖价差。我们不能把卖空获得的资金按借款利率投资出去。可以修改BSM公式来将其纳入考虑之中（Bergman，1995），但会让该方程变得很复杂。
另外，利率也不是恒定不变的。即使这是BSM模型的一个假设，但该理论仍被大量用于给债券和货币市场利率期权定价。如果该假设是有效的，那就不会有波动。我们可以忽略这个问题，因为至少对于存续期很短的期权来说，相对于其他风险而言，利率变化所导致的风险（rho）是不显著的。
假设不存在税收
我们假设不存在税收。在现实中，不同的市场参与者可能会面临不同的纳税义务，这会产生交易机会和陷阱。当支付股息时，这样的情况就经常发生，因为外国投资者所面临的税率与本地投资者有很大的差异。交易员需要记住应基于期权对其自身的价值来对期权定价，而不是考虑期权对边界投资者的价值，而后者是市场会采用的定价方式。
可以交易任何数量的合约标的
上文已经提到过，如果我们的交易量超过市场容量，就会产生问题。但在推导中，我们仍假设可以交易任意小的数量，包括零点几股。显然这是不可能的，并且我们的经纪商可能会有最低收费标准，这就会让小于100股的小额交易变得不经济。我们会在第六章讨论离散间隔对冲的方法时讨论这一现实的限制。
交易合约标的不存在任何费用
这与前一点密切相关。交易合约标的通常会产生费用：手续费、清算费或买卖价差等。这些费用会抑制我们进行连续对冲（如果这是可行的话）的念头，因为我们在通过对冲来降低风险时，需要平衡这样做的费用。我们会在第6章进一步讨论这个问题。
波动率为常数
在我们推导BSM的过程中，我们假设波动率为常数，而不是关于时间或合约标的价格的函数。事实上，当我们开始讨论vega时，隐含波动率的变化所带来的影响就强调了这一假设的不一致性。这个基本假设不仅是不正确的，而且我们将会积极地交易波动率的这些变化。虽然也有一些模型考虑了波动率的变化，但我们还是选择使用BSM模型，并记住这个缺陷。这和我们的交易哲学是一致的，即模型只是关于我们想法的一个框架，而不是对现实市场的精确描述。
对收益率分布的假设
我们假定波动率是描述合约标的收益分布的唯一参数。资产收益的均值可以被对冲掉，而高阶矩则可以忽略不计。这和假设收益率服从正态分布或价格服从对数正态分布是相同的。在第3章中，我们考察了真实市场的统计数据，然后发现我们的假设是不成立的。这一不成立的事实会产生一个被称为“波动率微笑”的著名现象，它表明隐含波动率是行权价的函数。本质上，隐含波动率是我们在一个错误的公式中填入的一个错误数字，来得到一个正确的期权价格。这一问题可通过多种方法来改进。在第5章中，我们提供了一些方法来度量隐含的偏度和峰度。
我们还假设合约标的价格的变化是连续的，这样我们就可以不断地调整对冲头寸。但这一假设是不成立的。有时候合约标的价格会出现大幅跳空。例如，一家生物科技公司的股价在一天内跳空70%～80%并不算稀奇。为了应对这样的情况，有学者（Merton，1976）对BSM公式做了修正，但这并不是我们讨论的重点。这些价格跳跃是无法对冲的，复制策略也会彻底失败。我们必须学会使用其他期权来对冲这部分风险。这就是交易员在实践中需要用到的半静态对冲策略。结论
BSM模型是非常稳健的。对于推导公式时所做的那些假设，大部分都可以适当放松而不至于影响模型的使用。但需要注意，我们只是把BSM模型作为定价模型，而不是作为风险控制方法来使用。将快速变化的期权价格转化成一个缓慢变化的参数（隐含波动率）是非常有用的，它可以与我们所估计的已实现波动率进行对比。它同样可以用来比较不同的期权。即使大部分假设都是不正确的，但它们对于50-delta看涨期权和40-delta看涨期权的价格的影响是相似的。这让我们所估计的期权价差的准确性会比估计单个期权时更高。如果稍微模糊一点，我们还可以进一步比较不同合约标的的期权。
但是风险控制必须单独处理。交易员永远都不应该用正态分布的各阶矩来考虑极端风险。诸如“当IBM公司股价变动5个标准差时会怎么样”这样的问题，只有在正常情况下才会有用（这里的正常情况是指股价变动服从正态分布的情形）。我们同样应当清楚，当IBM公司股价跌去50%时会发生什么，尽管这样的情形从未发生过。默顿认为这些极端的价格跳空可以通过分散化来去除（Merton，1976）。遗憾的是，交易员也只能希望这个结论是正确的。尾部风险可以通过交易一些深度虚值期权来控制，并且控制单个资产在整个组合中的比例尽量小同样有帮助。但总体上，承受风险才能获得收益。我们需要区分出，我们在哪些风险上有优势，而哪些没有。另外，永远不要用定价模型来衡量风险的大小。本章小结
模型并不是魔法。特别地，期权定价模型并不能真正对期权“定价”。它们只是将期权价格转化为一个更缓慢变化的参数——隐含波动率。这种简化让我们可以比较不同行权价、存续期和合约标的的期权。
BSM模型是最古老、经受最多检验的模型之一。通过足够的特殊修正，它可以用来对绝大多数交易所上市期权进行定价。虽然并不是一定要选择这个模型，但由于其稳定性、简便和已成为期权市场中的公共语言等原因，我推荐使用这个模型。它最重要的特性有：
·合约标的价格的漂移项可以被对冲掉；
·合约标的价格变化的波动则无法被对冲掉；
·需要时刻记得隐含在该模型之后的所有假设；
·BSM模型是一个用来选择交易机会的模型，而不是一个用来控制风险的模型。第2章 波动率的度量
我们已经知道，如果要在期权交易中寻找机会，就需要先对未来的已实现波动率进行估计，然后再和期权的隐含波动率对比进行相应的交易。在预测未来的波动率之前，我们需要先对过去的波动率水平进行度量。在本章中，我们会研究度量历史波动率的各种方法，包括收盘价–收盘价波动率、Parkinson波动率、Rogers-Satchell波动率、Garman-Klass波动率和Yang-Zhang波动率。我们将会讨论每种方法的效率（估计值能以多快的速度逼近真实值）和偏差（该方法的估计值是否会系统性地高于或低于真实值），以及如何受到真实市场不同特征的干扰。这些特征包括收益率的厚尾现象、趋势和微观结构噪声等，同时我们也会研究度量不同的频率。当我们理解何为历史波动率后，就能着手研究它的属性。我们将侧重论述均值回复、波动率聚集以及季节性效应。波动率的定义及度量
在交易的时候，我们不仅仅需要未来波动率的一个点估计，还需要对波动率可能所处的区间进行估计。为了得到这个估计，我们要研究波动率锥（volatility cones）的构建和抽样的属性。如何度量波动率以及预测其分布是期权交易成功的关键。但遗憾的是，它们并非（期权交易成功的）充分条件。仅仅因为波动率便宜就买入，或者因为它贵就卖出，这往往不会是一个好主意。通常，东西便宜自然有其便宜的道理。我们所做的任何预测都需要相应的基本面分析作为补充（例如，究竟什么因素会导致波动率上升？当持有空头头寸时，我们不希望发生什么情况？）。市场相当复杂，并且相互关联，所有度量和预测的结果都必须置于当前的交易环境中进行考量。
度量波动率不同于估计价格。瞬时波动率是无法被观测到的，它需要时间来验证自己。度量波动率更像是一门艺术，因为我们要从众多的统计量中做出选择。事实上，Poon（2005）就列举了100篇以上关于波动率预测的参考文献，这在一定程度上反映了该问题的难度。这里，我们的目的并不是要给出一个明确的答案，而只是给出一些估计波动率的方法，并研究它们各自的优势和劣势，以及在什么情况下该使用什么方法。波动率的定义
波动率的标准定义是方差的平方根。方差的定义为：
其中，x为对数收益率，x为样本的平均收益率，N为样本数量。i为了将方差以年化的形式表示，我们需要将原方差乘以年化因子N，也就是一年的交易周期。例如，当我们使用日频数据时，N就是252，因为这是一年中的交易日数量（至少在美国是如此）。
如果该历史价格序列包括了股息支付（或者拆股），那么就有必要对价格序列进行调整。由于除息的影响，即使股价没有发生波动，看起来也会有一定的波动。如果不进行调整，那么对波动率的度量就可能会出现若干个百分点的误差。例如，如果由于除息导致股价跌了3%，那么年化后看上去就变动了48%（即）。这样一来，波动就被显著放大了。
有多种进行调整的方法。第一种方法是在除息日简单地把股息从除息前的股价中减掉。这种方法能够使股价在除息前后日变化的绝对值保持不变。但该方法的缺点是：如果支付股息的次数足够多，量足够大，那么在调整后很有可能会得到负的股价。
另一种更好的方法是将股价乘上一个不受百分比变化影响的调整因子。这个因子是：
对除息日前的股价都乘上这个因子，称为向后调整。相应地，也可以进行向前调整。如果进行向前调整，那当前的股价将不同于调整后的股价。
式（2-1a）并没有对分布做任何假设，仅仅是一个加总。所有有限数量的样本都可以计算方差。然而，为了在期权定价中使用波动率，我们需要假设其收益率的生成过程。正如前文所提及的，BSM模型假设收益率服从正态分布。在这样的情况下，方差就完全刻画了该分布的形状。我们知道这个假设是不正确的，但我们仍希望方差（以及波动率）是刻画收益率分布宽度方面的一个重要参数，甚至是决定性参数。
在金融领域，将收益率均值（漂移项）和方差区分开是很难的（这在许多关于交易策略和交易结果的讨论中都是核心问题），并且收益率均值的估计也是出了名的不准，特别是在小样本的情况下。因此我们通常把式（2-1a）中的平均收益率项设为0。通过去掉一个噪声源，这会增加度量的准确性：
为了从样本方差得到总体方差的估计，我们需要做一下转换（Kenny和Keeping，1951）即
然而，有些专家选择回避这一步，而是直接将样本方差定义为：
这样定义的方差实际上是总体方差的无偏估计。由于在应用中不同的方差定义容易造成混淆，因此有必要先弄清楚方差是如何定义的。记得查看下其计算公式的分母上有无N-1项。Excel软件中VAR函数就是根据第二种定义来计算的。
式（2-2）和式（2-3）给出了方差的无偏估计，但直接在方差上开平方所得到的波动率估计却是偏低的。这是由詹森不等式造成的。詹森不等式表明，平方根的均值总是比均值的平方根小，即
因此，我们需要对这个偏差进行校正。
如果假设收益率服从正态分布，那么就可以将样本标准差的分布函数看成样本容量的函数，那么该函数便可写成：
其中，s是样本标准差，σ是总体标准差，Γ（x）是伽马函数，定义为Γ（n）=（n-1）！，该函数的图形如图2-1所示。图2-1 样本标准差的分布
通过观察图2-1可以发现，随着样本容量N的增大，分布的峰值在向右侧移动——趋向于总体标准差。因此样本容量越大，总体标准差与样本标准差之间的偏差就越小。偏差的程度可以通过下式进行精确量化：
其中：
s/b就是总体标准差的无偏估计。
表2-1列出了不同的样本容量时所对应的b值。表2-1 校正因子与样本容量的关系
使用s/b便纠正了这一偏差，也就是说这一估计量不会系统性地高估或者低估真实波动率。但是，该估计量向真实波动率收敛的速度较为缓慢，因此在技术上将其称为非有效估计量。该估计量的方差为：
方差（样本方差的方差）与样本容量的关系如图2-2所示。图2-2 样本方差的方差会收敛至真实总体方差，它是样本容量N的函数
如果直接心算gamma函数会非常难，因此如果能找到一个更为简单的近似公式，那么在实际中将大有裨益。首先我们注意到：
将式（2-8）代入式（2-6），整理后只取到N的一阶项（近似），可得：
因此，再结合式（2-6）和式（2-7）可以得到：
这样我们便得到了一个更为简单的有关波动率估计量置信区间的表达式。置信区间与样本容量N之间的变动关系可以参见表2-2。从该表可以看出，与式（2-7）得到的精确结果相比，近似结果的误差相当小。表2-2 置信区间与样本容量N的关系
因此，使用更多的数据可以带给我们更为准确的结果。这在静态过程中对波动率进行估计没有问题，但在真实的金融市场中，这种估计方法就存在很多问题。由于抽样误差的存在，所以如果数据量过少，那么度量出的波动率便会因为噪声（即误差）的存在而偏离真实波动率。但反过来，如果数据量过多，那么这些样本中就有可能掺杂与当前市场状态无关的数据。因此选取适当的样本容量就显得非常有艺术性，最合适的数据量将与当前的市场环境有关。然而，常见的使用最近30个收盘价数据来估计波动率的方法显然会出现大得离谱的抽样误差。2倍标准差下95%的置信区间意味着，我们偏离真实值的幅度高达25%！
抽样误差和度量误差完全是两回事。在物理实验中，由于测量设备或实验装置的限制，我们可能只能在一个有限的精确度内测量出某
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