作者：李克娥
出版社：华中科技大学出版社
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线性代数试读：
前言
线性代数是高等院校理工科和经管类等专业的一门重要基础课程，其基本理论和思想方法在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用，是解决许多实际问题的有力工具. 本课程的学习，可为相关专业课程的学习奠定必要的数学基础. 我们参照教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会制定的《工科数学基础课程教学基本要求》，在吸收同类教材优点的基础上，结合多年的教学经验，编写了这本教材.
本书共八章，主要包括行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、方阵的特征值与对角化、二次型、线性空间与线性变换、MATLAB在线性代数中的应用等内容. 本书在线性代数的基本概念、基本理论和基本方法的引入方面，进行了有益的探索，并且在阐明线性代数基本理论的同时，增加了数学软件在线性代数中的应用，有利于培养学生的实际运用能力.
本书由李克娥、吴海涛任主编，熊骏、潘大勇、刘利群任副主编. 第1章由潘大勇编写，第2章和第8章由吴海涛编写，第3章和第7章由熊骏编写，第4章由刘利群编写，第5章和第6章由李克娥编写. 在本书的编写过程中，何先平教授、成庭荣副教授在百忙之中审阅了书稿，对全书的结构与内容、编写方法等进行了全面指导；周德强、成先娟、曹静、刘瑶环、祝慧敏、杨先山等老师参与了习题答案及资料的收集整理工作，并且提出了许多宝贵意见；当然，本书的顺利付梓也离不开长江大学信息与数学学院的领导和全体教师的热心鼓励和支持，在此一并表示感谢.
由于水平有限，不妥之处在所难免，恳请广大读者批评指正，以便再版时予以修正.编者2013年4月第1章行列式行列式是人们从解线性方程组的需要中建立起来的，是线性代数的基本概念，在数学和其他学科中都有广泛的应用. 本章主要概述了全排列及逆序数，对换及其性质，n阶行列式的定义、性质和计算方法.1.1 全排列与逆序数1.1.1 全排列
把n个不同的元素排成一列称为这n个元素的全排列，n个不同的元素所有可能的排列的个数称为全排列数，习惯上用A表示. 下面来计算.
从n个不同的元素中任取一个数放在第一个位置上，有n种取法，从剩下的n－1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n－1种取法，这样继续下去，直到最后剩下一个数放在第n个位置上，只有1种取法. 于是
因此，n个不同元素的全排列数有种.
例如，用1、2、3三个数字，可以排列多少个没有重复数字的三位数？
这个问题相当于：把3个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？由式（1.1）可知，共有个不同的三位数. 事实上，百位上可以从1、2、3中任选一个，所以有3种取法；十位上只能从剩下的2个数字中选一个，所以有2种取法；而个位上只能取最后剩下的一个数字，所以只有1种取法. 因此，共有3×2×1=6种取法. 这6个不同的三位数分别是123，132，213，231，312，321.
定义1 由n个不同的数1，2，…，n组成的有序数组p1，p2，…，pn称为这n个数的一个全排列（或简称n级排列）. 其中pi为1，2，…，n中的某个数，i表示这个数在排列中的位置，排列的对象称为元素，本节主要讨论n个元素1，2，…，n所构成的排列.1.1.2 逆序和逆序数
对于排列，首先规定一个标准排列次序：称12…n为标准顺序（即规定左小右大为顺序）. 由1，2，…，n所构成的任一排列中，若某2个元素的排列次序与标准顺序不同，就称为有一个逆序. 例如1、2、3排成的3级排列
123、132、213、231、312、321，
其中123就是标准顺序排列（顺序），其余的则是非标准顺序排列（有逆序），如在132中，3在2的左边，与标准顺序不同，故132有1个逆序.
一般地，n个自然数1，2，…，n的一个任意排列记作p1p2…pn，若第i个位置上的元素pi的左边有τi个元素比pi大，就说元素pi的逆序是τi. 一个排列中所有逆序的和，称为这个排列的逆序数，记作τ. 因此，排列p1p2…pn的逆序数是
例1 求排列641523的逆序数.
解 6级排列的标准顺序为123456，下面逐一分析各个数字的逆序数：
首位数字6的逆序数为0，4的逆序数为1，1的逆序数为2，5的逆序数为1，2的逆序数为3，3的逆序数为3.
所以由式（1.2），排列641523的逆序数
τ=0+1+2+1+3+3=10.
例2 求排列n（n－1）…1的逆序数.
解 n级排列的标准顺序为12…n.
首位n的逆序数为0，n－1的逆序数为1，n－2的逆序数为2，…，2的逆序数为n－2，1的逆序数为n－1. 所以由式（1.2），排列n（n－1）…1的逆序数为
称逆序数τ为奇数的排列为奇排列，τ为偶数的排列为偶排列. 如例1中的排列641523就是一个偶排列，排列561423也是一个偶排列，而排列461523就是一个奇排列. 例2中排列n（n－1）…21的奇偶性与n的取值相关：当n=4k或4k+1（k为非负整数）时，是偶数，这时排列是偶排列；当n=4k+2或4k+3（k为非负整数）时，这个排列是奇排列.1.2 对换及其性质
定义2 将一个排列中的任意2个元素的位置对换，而其余元素不动，得到一个新的排列的过程称为对换. 若对换的是相邻的2个元素，则称为相邻对换.
排列461523可由排列641523进行一次相邻对换得到，也可由排列561423进行一次不相邻对换得到，这里排列641523和排列561423都是偶排列，而排列461523是一个奇排列，可见进行一次对换（无论相邻与否）将改变排列的奇偶性. 一般地，我们有：
定理1 一个排列经过一次对换，排列的奇偶性改变一次.
证明 先证相邻对换的情形. 设排列为a1…asabb1…bt，对换a，b即经过一次相邻对换后变成排列a1…asbab1…bt.
显然，a1…as，b1…bt这两个排列的逆序数经过对换a，b后并不改变，改变的只是a和b二者的次序：
若a 若a>b，经过对换后a的逆序数不变，而b的逆序数减少1. 总之，排列a1…asabb1…bt的逆序数比经过对换后的排列a1…asbab1…bt的逆序数增加1或减少1，从而奇偶性发生改变. 再证一般对换的情形. 设排列为a1…asab1…btbc1…cl. 将该排列中的元素b作t次相邻对换，变成排列a1…asabb1…btc1…cl，再将字母a作t+1次相邻对换，变成a1…asbb1…btac1…cl. 于是可知排列a1…asab1…btbc1…cl可经2t+1次相邻对换变成排列 a1…asbb1…btac1…cl. 排列a1…asab1…btbc1…cl的奇偶性改变了2t+1次，因此奇偶性发生改变. 推论1 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数. 证明 由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是逆序数为零的偶排列，故推论1成立. 例3 证明：n!（n≥2）个不同的n级排列中，奇排列数和偶排列数相等，各占一半. 证明 设有p个奇排列，q个偶排列，把每个奇排列的最左边2个元素对换，由定理1可知，p个奇排列都变成偶排列，于是p≤q. 对于偶排列，类似地作最左边2个元素的对换，同理有q≤p. 所以，p=q.1.3 行列式的定义1.3.1 二元线性方程组和二阶行列式 我们用高斯消元法来解二元线性方程组 这里bi（i=1，2）是常数项，aij是xj的系数（i，j=1，2）. 为消去x2，以a22与a12分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得（a11a22－a12a21）x1=b1a22－a12b2； 同样，消去x1，得（a11a22－a12a21）x2=a11b2－b1a21. 因此，当D=a11a22－a12a21≠0时，可得方程组（1.3）的解为 式（1.4）中的分子、分母都是4个数分两对分别相乘再相减而得的，分母a11a22－a12a21是由方程组（1.3）中未知数的四个系数所确定的. 未知数的4个系数构成了一个数表： 为了便于记忆，我们称表达式a11a22－a12a21为数表（1.5）所确定的二阶行列式. 定义3 二阶行列式： 其中，数aij（i，j=1，2）称为行列式（1.6）的元素或元. 元素aij的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列. 位于第i行与第j列交叉处的元素aij称为行列式（1.6）的（i，j）元. 二阶行列式（1.6）的右端又称为二阶行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用对角线法则来记忆，即 其中，把a11到a22的实线称为主对角线，把a12到a21的虚线称为副对角线. 于是二阶行列式就是这样2项的代数和：一项是主对角线上的2个元素之积，取正号；一项是副对角线上的2个元素之积，取负号. 实际上，二阶行列式的展开式中，每项2个元素来自行列式中不同的行和不同的列. 一般地，二阶行列式展开式的每一项可以表示为a1p1a2p2，这里p1，p2是自然数1，2的一个排列，因此只有2种可能，即a11a22和a12a21.如何确定每项所带的符号呢？观察列标p1，p2排列的逆序数，容易发现：a11a22列标排列12的逆序数τ1=0；a12a21列标排列21的逆序数τ2=1. 因此，逆序数是偶数时取正号，逆序数是奇数时取负号，这样二阶行列式可表示为 这便是对角线法则的意义. 利用二阶行列式的定义，式（1.4）中x1，x2的分子、分母也可以写成二阶行列式： 若记 则当D≠0时，式（1.4）表示为 例4 解线性方程组 解 由于 因此，方程组有唯一解1.3.2 三元线性方程组和三阶行列式 三元线性方程组： 同样可以逐次消元，消去x3，x2得（a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32－a11a23a32－a12a21a33－a13a22a31）x1 =b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32－b1a23a32－a12b2a33－a13a22b3. 记D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32－a11a23a32－a12a21a33－a13a22a31，当D≠0时，可得 类似地，可得 式（1.9）～式（1.11）便是三元线性方程组（1.8）的求解公式，要记住公式是较困难的. 注意到这个线性方程组的系数对应一个三行三列的数表，类似于二阶行列式. 定义4 三阶行列式 上述定义表明三阶行列式是6项乘积的代数和，每项均来自不同行不同列的3个元素的乘积再冠以正负号，其规律是如下图所示的对角线法则：实线上的3元素之积冠以正号，虚线上的3个元素之积冠以负号. 如何理解对角线法则呢？ 首先，我们看到式（1.12）中，每一项都是不同行不同列的3个元素之积，行标依次为1，2，3，而列标是数1，2，3的一个排列. 由于1，2，3的全排列数是3!，因此展开式共有6项，且各项均可写成a1p1a2p2a3p3，这里p1，p2，p3是自然数1，2，3的一个排列. 其次，各项的符号与列标排列的逆序数相关. 事实上，展开式每项列标的排列中，排列123，231，312的逆序数分别是τ（123）=0，τ（231）=2，τ（312）=2，且都是偶数，排列是偶排列；排列132，213，321的逆序数分别是τ（132）=1，τ（213）=1，τ（321）=3，且都是奇数，排列是奇排列. 这样，展开式中各项的符号可以表示为（-1）τ，其中τ是列标排列的逆序数. 因此，三阶行列式（1.12）可以表示为 将方程组（1.8）中常数项b1、b2、b3依次替换D中的第一列元素（x1的系数）、第二列元素（x2的系数）、第三列元素（x3的系数）所得的行列式分别为 当D≠0时，方程组（1.8）有公式解 有关线性方程组更进一步的讨论见第2章克莱姆（Cramer）法则和第3章相关内容. 例5 计算三阶行列式 解 按对角线法则，有 D=2×3×5+1×1×2+2×（－4）×3－2×1×3－1×（－4）×5－2×3×2 =30+2－24－6+20－12=10. 例6 求解方程
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