作者：易昆南
出版社：中国铁道出版社有限公司
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基于数学建模的数学实验试读：
前言
计算机的广泛应用和迅速普及，促成了数学向各个领域渗透，也促成了实验数学的诞生。布尔巴基（Bourbaki）学派的核心人物韦依（A.Weil）说：“数学家可以分为理论数学家和实验数学家，费马（Fermat）是理论数学家，而欧拉（Euler）则是实验数学家。”欧拉自己也曾说：“数学这门科学，需要观察，还需要实验。”高斯（Gauss）也曾提到过，他的许多定理都是靠实验、归纳法发现的，证明只是补充的手续。翻开数学史不难看出，许许多多数学结果的发现与获得都受益于数学实验方法。例如，著名数学家Wolf，Smith等均利用数学实验计算过圆周率π值。20世纪以来，由于科学的进步，实验手段有了很大的改变，其中之一便是计算机模拟。曼德勃劳依特（B.Mandelbroit）创立了分形理论，用计算机画出了许多精美绝伦的图案。依赖于计算机的实验，他最终发现许多数学性质，理解了某种数学构造。“四色定理”的计算机证明，以长达1200小时机器运行，实现了人类几百年无法完成的事。可以肯定地说，数学实验是一种科研方法，应用这种方法有利于人类提出猜想，验证定理，纠正谬误；数学实验更是一种技术，这种技术适用于解决大量实际问题，从工程问题到理论问题，从社会科学到生命科学……
与数学实验联系最为紧密的是数学建模竞赛。全国大学生数学建模竞赛开展已有23年了，该竞赛也是全国大学生科技竞赛的最重要、也是影响最大的赛事。编写本书的初衷，一是为方便学生使用MATLAB作为参赛的软件平台；二是为大学生在今后的科研、科技论文或毕业论文写作中提高数学素质。多年参加竞赛指导和MATLAB数学实验课程的教学实践使我常常想，“MATLAB与数学实验”课程教学应与“数学建模”课程教学以及数学建模培训结合起来，并且要做到大学四年不断线（遇到实际问题离不开数学建模和使用MATLAB做实验。解决了问题，本质上就是提高了数学素质）。数学实验的特点是开放性、探究性和实践性，它将数学知识、数学建模与计算机应用三者融为一体。数学实验这种实践性也更使人容易接受。本书从数学实验的角度出发，学习数学建模，通过大量数学建模案例的剖析，让学生了解数学建模需要动手做什么，让学生亲自体验数学建模的感受，体会数学实验和数学建模解决实际问题的无限乐趣。
本书内容共分四篇：第一篇是软件篇，含第1、2章，挑选了实验所需的部分内容，介绍MATLAB语言的基础知识，MATLAB语言极其丰富，考虑到MATLAB作图在实验中的重要性，在介绍MATLAB语言的必备基础知识后，立即展开MATLAB作图与作图相关的插值与拟合。第一篇大约需12～16学时完成。第二篇是基础篇，含第3～8章，以CUMCM、MCM问题为索引，利用所学的数学（主要指高等数学、线性代数、概率论与数理统计）知识，做数学建模的基础实验，使数学的理论、数学建模、计算技术三者能有机地融为一体。第二篇大约需16学时完成。第三篇是趣味篇，含第9、10章，内容涉及艺术、生活、科技等多个学科的建模实验问题，题材广泛，具有一定的实用价值和趣味性。趣味是最好的老师，特别是音乐的合成、MATLAB的动画、小波分析应用的图像处理等实验，独具特色，融入了作者多年教学经验。该篇大约需16学时完成。第四篇是提高篇，含第11章，介绍了数学建模问题中的常见算法，为数学建模竞赛造就编程高手。本书每一章，都是基于数学建模的理念，以问题为载体，按照建立模型、MATLAB编程、结果分析等逐步展开，每章后又附有相应的练习。本书实验安排层次分明，以提高数学建模与动手能力为目的，通俗易懂，易教易学。
本书由中南大学易昆南担任主编，中南大学秦宣云、湖南大学马传秀、长沙理工大学仝青山、中南林业科技大学刘勉声和湖南农业大学王志明担任副主编。
本书受2012年湖南省科技厅软科学项目“数学建模在决策科学化中的应用”（项目号2012ZK3100）与2012年度中南大学精品教材建设项目的资助，在此表示感谢。此外，我的研究生冒霜霜、焦肖红和本科生林文强、陈褒扬、梅菁菁等，还有家人也为本书做了许多工作，在此一并表示感谢。易昆南于长沙2014年4月软件篇第1章MATLAB软件基础§1.1MATLAB发展进程与特点1.1.1 MATLAB发展史
MATLAB取自矩阵（Matrix）和实验室（Laboratory）两个英文单词的前3个字母，意即“矩阵实验室”。与Mathematica、Maple并称为三大数学软件。MATLAB以矩阵作为基本数据单元，提供了数据分析、算法实现与应用开发的交互式开发环境。
MATLAB诞生于20世纪70年代中期，美国新墨西哥大学计算机系系主任Clevel Moler博士及其同事，在其开发的LINPACK和EISPACK的Fortran软件包的基础上，编写了相应的接口程序，并将其命名为MATLAB。1984年，Moler与Jack Little等一起合作创办了MathWorks公司，并着力将软件推向市场，之后MathWorks不断致力于版本更新和软件功能的增强。历经多年发展，目前，MATLAB已成为国际控制界的标准计算软件。
MATLAB分为总包和若干个工具箱，其独具特色的、以矩阵作为基本数据单元的数值计算不仅可以方便地实现数值分析、优化分析、数据处理、自动控制、信号处理等领域的数学计算（包括符号计算），还可以快捷实现关于可视化计算、图形绘制、场景创建和渲染、图像处理、虚拟现实和地图制作等分析处理工作，MATLAB现已经逐步发展成为支持各种学科、多种工作平台的大型软件。在欧美许多高校，MATLAB已成为线性代数、自动控制理论、概率论及数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等课程的基本教学工具，也是攻读学位的本科生、研究生必须掌握的基本技能。在国内，这一软件也正逐步成为一些大学理工科专业学生的重要选修课。1.1.2 MATLAB的特点
1.计算功能强大
MATLAB具有强大的矩阵数值计算功能，可以方便地处理许多特殊矩阵，利用符号和函数可以对矩阵进行线性代数运算（加减乘除、转置和求逆等），适用于大型数值算法的编程实现。工具箱中有许多高性能的数值计算方法，可以解决实际应用中的许多数学问题，尤其是与矩阵计算有关的问题。
2.绘图非常方便
MATLAB具有强大的绘图功能，它有很多绘图函数命令，可以绘制一般的二维或三维图形（如线形图、条形图、饼图、散点图、直方图等），也可以绘制工程特性较强的特殊图形（如玫瑰花图、极坐标图等），通过其可视化功能还可以绘制一些用于数据分析的图形（如矢量图、等值线图、曲面图、切片图等），并且可以生成快照并进行动画制作。使用MATLAB句柄图形对象并结合绘图函数可以绘制自己最为满意的图形，使用时只需调用不同的绘图函数，使得作图简单易行。
3.扩充能力强大
MATLAB通常包含系统本身定义的大量库函数，用户也可以定义自己的函数，以组成自己的工具箱，这样不仅进行数学运算时可以直接调用，而且库函数名称与用户文件保持形式一致，用户可以根据需要方便地建立或扩充库函数，方便地解决本领域内的计算问题。MATLAB提供了与Fortran、C\C++语言及一些应用程序（如：Excel）的接口，利用MATLAB编译器和运行服务器还可以生成独立的可执行程序，使用户可以混合编程，也可以隐藏算法并避免依赖MATLAB平台环境。
4.帮助功能完整
MATLAB采用基于HTML的自述文件，自述文件中不仅介绍了MATLAB语言，还对各种算法的理论基础与算法实现进行了比较详细的说明，并给出了相应的常规实例，帮助功能比较完整，用户使用较为方便。§1.2MATLAB 9工作环境简介1.2.1 MATLAB 9的启动
标准安装执行完毕后，就可以运行该软件。
启动后的对话框大致包括以下几个部分：
● 菜单项；
● 工具栏；
● [Command Window]窗口（指令窗）；
● [Workspace]窗口（工作台）；
● [Command History]窗口（指令的历史纪录）
● [Current Directory]窗口（当前目录选择）。1.2.2 MATLAB 9目录结构
安装成功后的MATLAB根目录中除了包含一些文件外，还有包含若干子目录，其中，我们最需要了解的是MATLAB搜索目录（路径）。它可以单击[File]菜单中的子菜单[Set Path…]看到。这些目录（路径）同时也是MATLAB所能搜索到的所有目录。无论是MATLAB的lookfor指令、help指令、doc指令还是其他的指令，这些指令如果涉及MATLAB的M文件，均是在上述目录范围内搜索。1.2.3 如何添加进MATLAB目录
用户生成的M文件默认时保存在MATLAB的work目录中（R2009a版本是C：\Documents and Settings\csu0l\My Documents\MATLAB），用户如果想在MATLAB所能搜索范围以外的目录中生成的文件和MATLAB软件包中的M文件一样，成为MATLAB环境中有机的一部分，则可以通过将自己的目录添加进MATLAB的目录搜索范围内来实现。具体做法是在MATLAB主窗口中的[File]菜单中单击子菜单[Set Path…]，则会打开[Set Path]窗口，单击[Add Folder…]按钮选中待添加的目录后，再单击[Close]按钮即可。如果想在下一次启动MATLAB程序时该设置仍然生效，则在单击[Close]之前单击[Save]按钮保存。§1.3MATLAB矩阵及数组
MATLAB的主要对象是矩阵，标量、数组、行向量、列向量都是它的特例，最基本的功能是进行矩阵运算，MATLAB对于矩阵和数组的操作有一些特殊的规定。1.3.1 问题的提出
问题： 写出循环矩阵（1）循环矩阵的逆矩阵还是循环矩阵吗？（2）循环矩阵的方幂仍是循环矩阵吗？1.3.2 矩阵的输入
矩阵输入有多种办法：直接输入每个元素；由语句或函数生成；在M文件（以后介绍）中生成等。
1.矩阵的直接输入
MATLAB中不用描述矩阵的类型和维数，它们由输入的格式和内容决定。小矩阵可以用排列各个元素的方法输入，同一行元素用逗号或空格分开，不同行的元素用分号或回车分开。如：都输入了一个2×3矩阵A，屏幕上显示输出变量为分号“；”有三个作用：（1）在“[ ]”方括号内时它是矩阵行间的分隔符。（2）它可用作指令与指令间的分隔符。（3）当它存在于赋值指令后时，该指令执行后的结果将不显示在屏幕上。
例如，输入指令：
矩阵b将不被显示，但b已存放在MATLAB的工作内存中，可随时被以后的指令所调用或显示。例如，输入指令：
得结果：
矩阵中的元素可以用它的行、列数表示，例如（以下在回车符后直接给出屏幕上显示的输出）
或者不指定输出变量，MATLAB将回应ans（answer的缩写），如
A输入后一直保存在工作空间中，可随时调用，除非被清除或替代。
例1.3.1 在0和2中间每个数据隔0.1建立数组d。
解 输入指令：
注意“：”的使用方法。
例1.3.2 在0和2之间等分地插入一些分点，建立具有10个数据点的数组e。
解 输入指令：
linspace（a，b，n）将建立从a到b有n个数据点的数组。
2.矩阵元素的修改
可以直接修改矩阵的元素，如：
原来的A没有第3行和第4列，MATLAB自动增加行列数，对未输入的元素赋值0。
3.函数生成的矩阵
MATLAB为方便编程和运算，提供了一些常用矩阵的生成指令：
还有m×n标准正态分布矩阵randn（m，n），n阶Hilbert矩阵hilb（n），n阶幻方矩阵magic（n）等。1.3.3 矩阵的裁剪与拼接
1.裁剪
从一个矩阵中取出若干行（列）构成新矩阵称为 裁剪 ，MATLAB中“：”是非常重要的裁剪工具，如：
2.矩阵的拼接与调用
与任何计算机语言一样，MATLAB用矩阵的名称调用全矩阵，用下标的方法调用矩阵的某个元素。一个重要特点是，MATLAB可以调用矩阵的子矩阵。
假如A是一个已知的10×10的方阵，那么：
A（：，3）是A的第3列元素构成的列向量；
A（5，：）是A的第5行元素构成的行向量；
A（1：5，3）是A的前5行的第3列元素构成的行向量；
A（1：5，7：10）是A的前5行，第7到10列元素构成的子矩阵：
A（[1 3 5]，[2 4 6]）是A的第1、3、5行，第2、4、6列元素构成的子矩阵；
A（：，7：-1：3）是A的第7、6、5、4、3列元素构成的子矩阵。
语句x=[]使得x为空矩阵，它可以用于对矩阵进行删除。例如：A（：，[2 4]）=[ ]用于把矩阵A的第2、4列删除，形成A的一个子矩阵。1.3.4 矩阵的运算
1.矩阵的转置
矩阵的转置用符号“′”表示，A′是A的转置。如果A是复数矩阵，那么A′是A的复共扼转置。
例1.3.3 矩阵的转置举例。
2.矩阵的四则运算
1）矩阵相加减
同阶矩阵相加减时，对应的元素相加减，用符号“+”和“-”表示。任何矩阵都可以和标量相加减，其规则是矩阵的每个元素和标量相加减。
2）矩阵相乘
矩阵相乘用符号“*”表示，两个矩阵相乘以及标量和矩阵相乘，遵循通常的数学规则。向量的内积用矩阵的乘法来实现。
3）矩阵相除
分右除和左除两种，分别用符号“/”和“\”表示。例如，如果-1-1A和B都是n阶方阵，并且A非奇异，那么A\B=A B，B/A=BA 。一般来说两者不相等，但是右除可以通过左除来实现，因为有B/A=（A′\B′）′。
3.矩阵的乘方
方阵A的乘方用符号“^”表示。P
当p是正整数时，A^p是A的p次幂，即：A^p=A ；
当p为0时，A^0是单位矩阵；-1
当p为负数时，只有当A非奇异才有意义，例如：A^（-1）=A ，-2A^（-2）=A 。
当p不是整数时，方阵的乘方运算涉及矩阵的特征值和特征向量，有兴趣的读者可以查阅相关资料。
4.矩阵的超越函数
超越函数sin（）、exp（）、sqrt（）可以用在方阵上，它的规则是对方阵的每个元素取超越函数值。
例1.3.4 矩阵的超越函数示例。1.3.5 数组的运算
数组可以看成特殊矩阵，即1行n列的矩阵，矩阵运算的指令和含意同样适用于数组运算。如果在运算符前加“.”，含意将有所不同。
例1.3.5 数组运算举例。1.3.6 矩阵的翻转
左右翻转： fliplr（A）
上下翻转： flipud（A）
旋转90°： rot90（A）1.3.7 矩阵的秩
指令rank（A）将给出矩阵A的秩。
例1.3.6 矩阵的秩示例。1.3.8 方阵的行列式
指令det（A）给出方阵A的行列式。
例1.3.7 方阵的行列式示例。
运行结果略。你能解释上例中的运算结果吗？在这里实际上验证了行列式的性质。1.3.9 逆矩阵
指令inv（A）给出方阵A的逆矩阵，如果A不可逆，则inv（A）给出的矩阵的元素都是Inf。
例1.3.8 设，求A的逆矩阵。
解 输入指令：
运行li1_3_8a.m即得：
还可以用伴随矩阵求逆矩阵，打开m文件编辑器，建立一个名为li1_3_8b的M文件，其内容为：
利用该函数可以求出一个矩阵的伴随矩阵。
在命令窗口输入：
即得：
利用初等变换也可以求出逆矩阵，构造n行2n列的矩阵（A E），并进行行初等变换，当把A变为单位矩阵时，E就变成了A的逆矩阵。利用MATLAB命令rref可以求出矩阵的行简化阶梯形。编制如下程序：
运行li1_3_8c.m即得：
例1.3.9 回答问题1提出的问题（循环矩阵的性质）：（1）循环矩阵的逆矩阵还是循环矩阵吗？（2）循环矩阵的方幂仍是循环矩阵吗？
解 （1）A=[1 2 3 4 5；5 1 2 3 4；4 5 1 2 3；3 4 5 1 2；2 3 4 5 1]；
inv（A）结果为：
结论：可逆循环矩阵还是循环矩阵。（2）在命令窗口执行A^2，即得：
结论：循环矩阵的方幂是循环矩阵。
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]