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同济大学数学系《工程数学—线性代数》（第6版）笔记和课后习题（含考研真题）详解试读：
第1章 行列式
1.1 复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1二阶行列式
定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：
则表达式就是数表的二阶行列式，并记作
2三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
二、全排列和对换
1全排列
把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列．n个不同元素的所有排列的种数，通常用P表示．n（1）逆序数定义
对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说构成1个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数．（2）分类
逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列．（3）逆序数的计算
设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序．设为这n个自然数的一个排列，考虑元素，如果比p大的且排在p前面的元素有t个，则称p这iiii个元素的逆序数为t．全体元素的逆序数的总和i
即是这个排列的逆序数．
2对换（1）定义
对换是在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动．将相邻两个元素对换称为相邻对换．（2）性质
①排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
②奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数．
三、n阶行列式
1定义
称为n阶行列式，简记作，其中数a为行列式D的第（i，j）ij元素．
2两类典型的n阶行列式（1）下三角形行列式（2）对角行列式
3行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等．（2）对换行列式的两行（列），行列式变号．（3）如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式．（5）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和．（6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．
四、行列式按行（列）展开
1余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把（i，j）元a所在的第i行和第j列划去后，留ij下来的n－1阶行列式称为（i，j）元a的余子式，记作M，记ijij
A称为（i，j）元a的代数余子式．ijij
2定理
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
或
3范德蒙德行列式
4代数余子式的推论
行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零．即
或
5代数余子式的重要性质或．
1.2 课后习题详解
1利用对角线法则计算下列三阶行列式：
2按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）13…（2n－1）24…（2n）；（6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2．
解：（1）此排列为标准排列，其逆序数为0；（2）此排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，故它的逆序数为0＋1＋1＋2＝4；（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，故它的逆序数为0＋0＋2＋3＝5；（4）此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，因此它的逆序数为0＋0＋2＋1＝3；（5）此排列中前n位元素的逆序数均为0．第n＋1位元素2与它前面的n－1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0．因此该排列的逆序数为（6）此排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4,……,末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为
3写出四阶行列式中含有因子的项．
解：根据行列式定义可知，此项必定还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即a和a或a324434和a．又因排列1324与1342的逆序数分别为1与2，所以此行列式中42含有的项为与
4计算下列各行列式：
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]