作者：马兆远
出版社：中信出版集团股份有限公司
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
人工智能之不能试读：
前言
回归常识的科学我们急于求成地把科学当作了魔法，总希望找到窍门而毕其功于一役，一蹴而就地解决所有问题。可惜现实并非如此，每一寸进步都是日拱一卒的努力和各种不确定的叠加，我们只是日复一日、见招拆招地解决具体的一个又一个问题。对于科学本身也一样，我们希望找到一个通用的工具和方法，利用这样的方法让自然世界的规律自动地呈现出来，这样人类就可以坐享其成。但这样的方法存在着潜在的危险：如果“它”可以替我们自动地发现世界的规律的话，那么“它”便可以替代我们。不幸的是，但也可以说是一种幸运，我们会发现，劳您大驾，“您”还得在。就目前而言，我们恐怕比较容易实现的是探寻一个能告诉我们“为什么世界是我们现在的样子”的工具。倘若有与我们平行的地外文明，这个工具也许能回答“他们为什么没有比我们强大更多”这一问题。当然我们可以有这样那样的猜想，但这些猜想不会带给我们任何的进步，因为多少年来我们的先祖都是这么做的。没法儿验证的想法事实上是没有什么价值的，你可以这样想，也可以那样想。现代科学发展的重要性在于我们终于可以用朴实的办法来验证哪些想法是可靠的，哪些想法是正确的，哪些想法是错误的，并且基于这些想法可以延伸出新的想法，从而一步一步搭建稳定的知识体系。对于胡适研究《水经注》，有人批评说他做偏门学问是因为要走成为大师的捷径。这样说就把胡适看小了，在我看来，胡适是要拿《水经注》为题，做一个用现代研究方法做学问的样板。这本书里讲的哥德尔，也正是这样的一个例子。从两千年前古希腊的亚里士多德建立系统的理性工具开始，人们就已经发现了理性逻辑里的问题，所谓的“说谎者悖论”和“这句话是错的”这样的陈述会让逻辑陷入模棱两不可的境地。但直到两千年后，才有人站出来用严谨的理性工具证明这个悖论事实上指向了人类理性的灾难。这个人便是哥德尔。从他的工作开始，我们开始意识到用理性工具认识世界带给我们的局限。而正是从他的工作开始，我们也意识到问题比想象中的更严重。糟糕的是，我们这个历史悠久的文明对现代科学的认知有断层。第一个断层在于“名教”与经典科学的断层。今天我们虽然发现经典科学有这样那样的问题及尚未解释的现象，但至少它有敢于面对问题的态度，它小心翼翼地用于系统求证的方法是可靠的。然而我们这个古老的文明总会有种近似于神秘色彩的了解知识的态度。胡适在《名教》一文中延续了冯友兰的说法：“名”即是文字，写的字。“名教”便是崇拜文字的宗教，它相信我们写下的文字像符箓一样有神魔之力。在很长一段时间内，我们做学问求知识便是如此，像巫师一样地创造新名词，念咒一样地理解新知识，而听众往往这样就满意了，囫囵地拿去自己接着演绎。这样的方法和态度对现代科学的传播毫无益处，甚至打着科学的名义行反科学之实。降维打击、混沌大学、奇点理论、未来简史和所谓人类3.0莫不如此，这些名词能够有广泛受众，莫不与“名教”和现代科学的断层有关，是这个文明还没有进入现代的实证。钱钟书的《围城》中对这种怪象有个经典的总结：喝着咖啡聊梅毒。在胡适这一代人为这个文明的现代化艰难努力的同时，人类对世界的科学认知已经渡过了第二个断层。20世纪初，在人们以为物理和数学都在凯歌高奏走向认识宇宙和人类自身的终极胜利的时候，量子力学和哥德尔不完备定理几乎在同一时间告诉我们人类认知的有限：要认识宇宙和人类自己，前面的路还很长很长，甚至可能根本没有终点。这也许同时在告诉我们，为什么感性的认知总是存在的，为什么人类把认知统一到同一标准下的努力至今都还没成功，以及为什么这几千年来人们对真理的追求似乎总差那么一点点，而每次又正是这一点点把我们引向一个完全的新世界。这也解释了为什么20世纪初美国教育家、哲学家杜威（John Dewey）和胡适所主张的务实主义具有合理性。但敌人的敌人未必是你的朋友，虽然新的理论解释了经典认知的不足，但它绝不是肯定古代神学和“名教”存在的意义，它是一个完全不同的新世界。人工智能是这里的一个例子。事实上非要回溯历史的话，竟然是人类先发现了它做不了的事，而后才发明了它。图灵1936年的那篇著名的论文是对哥德尔不完备定理的诠释，他提出了一个更加简明而物理上可以实现的机械设备来完成数学的逻辑推演，并在文中指出了哪些问题是图灵机做不了的，以此来拓展哥德尔的不完备定理证明。但图灵机是如此的强大和成功，那些“它做不了的事情”很快就被淹没在故纸堆里，那里，正埋着我们对付探求人工智能的不能的钥匙。哥德尔的被遗忘，是现代科研游戏规则的直接后果。一个不申请经费、没有徒子徒孙的学问，如何能影响深远、众人周知呢？在今天的科研环境下，绝无可能啊！而不用申请经费也不用带学生正是普林斯顿高等研究院对第一批研究员的放纵。作为这些人中的两个典型代表，爱因斯坦和哥德尔是天真地相信了。在全球最近几十年以论文发表量来衡量学术工作是否有价值，学者是否有地位的评价体系下，即使哥德尔这样一个开辟了一个领域的大神，他的思想也是无法存活和传播的。他和他的好友爱因斯坦，像堂吉诃德一般成为科学殿堂里最后的骑士了。于是我觉得我应该写一些文字，向这些人类历史上的伟大思考者致敬。尽管我自己对这门学问的认知还有很多的不成熟之处，但至少我希望它可以安抚我们面对未来的焦虑之心。当能够回溯认知的常识时，我们会发现竟然可以有更加平和的理解世界的态度。学问之道无他，求其放心而已矣。燕园、清华园和伊河边上的小城牛津，我在象牙塔里进进出出，结识了很多好玩的人。光说姓李的，就有给我机会初试科研的李政道先生，有塑造我务实主义信条的李敖先生，有让我感受到音乐创造魅力的大哥李宗盛。跟越多的人交往，我越感觉到人类的可爱和伟大，这么好的世界，我们怎么忍心交给机器呢？第一章知无不言人工智能不能做什么？如果一本书在第一章就说明白了答案，就不好卖了。既然有整本书去写，就不妨慢慢来，至少要说明我们使用怎样的工具，才能得出怎样的结论。当我们这样做的时候，我们发现，这工具似乎并不能当作一个可靠的工具，于是只好继续讨论什么是可靠性。这至少还会让我们理清楚什么是有效的思维工具，即，理性。我所追求的全部知识，都更充分地证明我的无知是无限的。——卡尔·波普（Karl Popper）2018年3月20日下午，我在台北街头的一家咖啡馆写下了这样的文字：最近很少写字，因为写字变成一件困难的事情。哥德尔告诉你这也不能写，那也不能写，在写任何字之前都不免要思考一下这话是不是严谨。所以人会被自己学习的东西所害，所影响，定义了“定义”自己，那么谁来影响“影响”呢？雨后初晴，透过小店的窗户能看到傍晚的阳光洒在街边的小树上，也被骑电动车的骑手的头盔反射过来。骑楼的柱子后面应该有人在抽烟，虽然看不到人，但可以看到那个高度从骑楼柱子后面飘出来的白色的烟。我不得不加速喝完一杯味道还不错的淡淡的奶茶。不得不说味道真不错，但师弟要过来，他不太喜欢这家店，因为先生不喜欢。阳光又倾斜了五度。师弟还没有来，奶茶已经下了一半，但还有厚厚的泡沫其实看不出来准确地要多少口才喝得完。点了一份千层蛋糕，味道很清淡，肉桂粉在盛蛋糕的碟子里撒出来某种符号的样子。师弟说先生不喜欢这家店，是因为这是一家西藏店。我又看那图案，还真是。旁边两个女孩在喝着咖啡和果汁，聊着八卦。似乎是关于人怎么扮成上流社会的费劲和囧，然后是女婿和岳母之间的微妙关系。吧台后面四个店员在忙碌着。虽然店里真的没有什么人，总共四个顾客，包括在打字的不知道什么时候要离开的我。但他们似乎真的很忙，都有事做。一辆白色的车在路边停着，双闪着灯。哦，不，两辆。我在尽量描述我眼前看到的事物，才发现其实少了时间这个尺度。有车辆从窗外经过，店员走过来轻声说，“帮您加个水”。一辆自行车是诡异的绿色。阳光又倾斜了几度。店面已经打开了霓虹灯，但不是五颜六色的那种，是明亮的黄绿色，另外一家是深的蓝色。哥德尔说我永远也没法描述完整我在此刻的所有感受，虽然我努力地尝试记录。这是一条先生每天散步的路。在路边的一家咖啡店，我喝着一杯味道淡淡的奶茶，写着描述不了什么东西的字，而两天前他不在了。作为人类，我们使用着各种工具。也因为日常使用这些工具，我们对工具本身的可靠性或者可靠到什么程度往往忽略不计。例如，我们可以花点时间了解一下人们每天使用的语言。人类的语言是神奇的。你可以通过语法来理解字面的意思，通过说话人的态度来了解他们的内心所想。人们可以使用同样的文字来表达不同的内涵，有时候人们的沟通并不需要纠结于文字本身，面对面的交流充斥了各种各样的信息。语气、音调的抑扬顿挫、眼神、味道和背景音乐，这些游走着的不能被词语编码和记载的信息，同样传达着人们在交流时的内涵和情绪。但我们一样用这些丢失了很多含义的、残缺的语言，在进行着对我们人类来说最至关重要的行为——沟通。当然，因为残缺有时会带来这样那样的误解，于是我们希望创造和定义一个没有歧义的语言系统。在这样的语言系统之上，我们可以更客观准确地交流。事实上，这本书将告诉我们这样的事情不可能做到。用天生不完美的工具人类依然能够彼此沟通是个逻辑的奇迹。我们可能最终能够依赖的是通过（奇迹般的）沟通而达成的信任，人和人之间可以原谅彼此，甚至因为理解沟通的缺陷而有了温情。这样的温情，你从机器那里无法获得，从法律条文中无法获得，从你的敌人那里也无法获得。但当我写到最后一句的时候，我觉得未必，你的敌人也是人群中的一部分。对手之间的惺惺相惜，往往成就历史佳话。但人类并不死心，我们试图用更多的数据来还原这些场景，来补充文字所不能描述的，比如通过录音来还原说话者当时的语气，通过影像资料来还原说话者的表情和手势。语言是可以理解的吗？大多数的人类语言会通过声音传达出来，组成语言的词汇表现为声音的频率和强度的组合。语言中会有一些词汇出现的频次高于别的词汇的频次，即使不了解这种语言，对特定的音频和强度组合出现的频率进行统计，我们都可以判定它是不是一个有意义的语言系统。比如在中文中“的”字发音出现的频率就很高，其他字会相对较少。当一种语言有充分表达能力的时候，它常用词汇的使用频率是递减的。不会孤立地出现某一个频率的音频和强度非常高，而其他又很低的情况。这样，单单通过对词汇出现的频率统计，我们就可以判断一系列的声音信号是不是代表着有意义的语言。这个原理，我们称为齐普夫定律（Zipf's law），近些年动物学家把这个定律用于研究海豚的语言。最早的动物语言研究在于试图了解动物间如何相互交流，人们尝试教给动物人类的语言，看它们是否可以与我们交流。这样做的问题在于这个过程中人类很难学到动物语言。牧羊犬可以学习超过1000个人类单词，但人们能从狗身上学到多少狗的单词呢？到目前为止，人类总是试图通过教动物如何与人交谈来理解动物语言。然而教动物使用人类语言有明显的困难，想想我们学一门外语有多难，何况跨物种之间的交流呢？图1–1 齐普夫定律今天人类的语言是从七万年前一族走出非洲的智人那里继承下来的。对比他们同期的人类，这一族人有着发达的声音语言系统。这种系统的基础是口腔、舌头和喉部的独特生理结构。这样的生理结构甚至连我们的近亲猩猩都没有，更别说其他动物了，它们根本没有能力发出人类复杂多变的语音。在研究用对方的语言与动物交流的过程中，人类不得不创造一些辅助工具，因为任何一端都不能直接用天然的生理结构来复制对方的声音。学习海豚的语言就存在这个问题，海豚叫声的超高音和鲸的超低音都超出了人类的听觉范围。海豚不能说出人类的任何语言，而我们也不会吹超声波口哨。利用齐普夫定律，人们在搜集了大量海豚叫声之后发现这些叫声确实在传递特定信息，而且是一种相当丰富的语言，能够让海豚之间进行复杂的交流，借助于人工智能技术人们甚至可以确定一部分海豚叫声所代表的具体含义。配合适当的演奏设备，人们甚至可以模仿这些声音，这使科学家和海洋生物之间实现信息的双向流动。如果真的可以理解足够多的海豚语言，人类对动物研究的现状将大大改善。海豚语言研究的成功可能使研究人员设计出与其他智慧生物交流的工具。不难想象，未来甚至会出现动物语言翻译设备。这项研究还有另外一个用处。当我们用射电望远镜瞄向遥远太空的时候，会接收到一些来自太空深处的无线电信号。如果恰巧有外星人像我们一样可以看电视、听广播，他们扩散到太空中的无线电信号就会被我们接收到。这些信号有可能像自然语言一样由高频使用和低频使用的词汇组成，而我们可以翻译它。事实上，二战时的艾伦·图灵（Alan Turing）就通过类似的方法破译了德军的密码。如果我们接收到来自太空的无线电信号，并且判定它是否符合齐普夫定律，我们就可以知道发出这些无线电信号的宇宙深处是否有像我们一样的高等生物，甚至可以知道他们每天看的电视节目在说什么。语言是可靠的吗？描述一个真理，至少从描述本身而言，我们需要依靠语言。但语言是可靠的吗？如果不可靠，它的缺陷是可以避免的吗？《论语》讲：“学而时习之，不亦说乎。”小时候课本上的解释是：学东西要时常拿出来复习复习，不是也很快乐吗？我一直怀疑这快乐的真实感。因为这种“学习的快乐”是课本灌输给我的，我小时候并不具有。“纳粹头子”戈培尔（Paul Joseph Goebbels）有句名言：“重复是一种力量，谎言重复一百次就会成为真理。”于是，在熟读百遍之后，我真的以为我有了快感。后来长大了，学了繁体字，才知道原来这个“习”字可以不这么写，繁体写作“習”。“羽”当作小鸟的翅膀，而“白”是指太阳。组合在一起可以解释为小鸟努力在天上学飞行。引申来讲，就是实践。学会了理论，要出去操演操演、实践实践，这样才能巩固，才能知行合一。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。孔子讲的是做学问的方法。只有这样，放在《论语》的开篇才有意义。然而，我还是没有找到到底快乐在哪里。到了人书俱老的时候，又想到了一个新的解释。这个“习”呢，不一定是学完了马上操练，可以是很久很久以后。“功不唐捐”是胡适晚年特别喜欢写给别人的题字。以前学的东西，很久很久以后在哪儿碰到了，拿出来用一用给旁人看，这个似乎才有别样的乐趣。学过，偶尔拿出来显摆一下，嘚瑟嘚瑟，收获一种倚老卖老的得意。这些年我做新工程教育，希望培养与人工智能（Artificial Intelligence，简写为AI）共存的新工程师。希望新的人才能够既懂得数字技术，又能动手做东西，所谓学而时习之，培养又能动脑又能动手的新型工程人才，此乃大快乐也。然而这样就让我们产生了困惑：当我们说一句话的时候，这句话到底是什么意思？道可道非常道语言是表达意义的工具。人类对于文字的敬畏可以追溯到很久以前，但古人也很早就认识到了自然语言的“不完美”。老子说“道常无名”，孔子也认为“书不尽言，言不尽意”，陆机在《文赋》中称“意不称物，文不逮意”。但是老子的说法“知者不言，言者不知”，本身却是个悖论。而这个悖论都不是今天才被指出来的。白居易在《读老子》里说：“言者不如知者默，此语吾闻于老君。若道老君是知者，缘何自著五千文？”（善言者不如智者善于沉默，这话是老子说的。如果老子真是“智者”的话，他干嘛还要写五千个字的《道德经》呢？）这还没完。我们先不要管语言这么复杂的事情，一步一步来，先从定义一个关于某事物的名词开始。如何定义事物？忒修斯之船（The Ship of Theseus）在希腊传说中，英雄忒修斯与雅典战士们从克里特岛回到雅典，他们的船被雅典人保留下来作为纪念。随着时间推移船上的木材开始腐朽，雅典人便用新的木头来替换那些腐烂的木头。最后，船上的每根木头都被换过了。问题是，最终的这艘船是否还是原来的那艘忒修斯之船，抑或是一艘完全不同的船？如果不是原来的船，那么在什么时候它不再是原来的船了？我们还可以对此问题进行延伸：如果用忒修斯之船上取下来的老部件来建造一艘新船，那么两艘船中哪艘才是真正的忒修斯之船？这样的讨论同样适用于人类。人体每天都在进行新陈代谢，这样隔过一阵子组成身体细胞的全部原子都会被换掉，那么我们还是原来那个自己吗？如果不是，什么时候不是的？当然，我们可以举出从精神、意志、社会关系等方面对个人的定义来说明，单纯依靠物理的实体来定义像人一样复杂的事物是不合适的，但对船而言呢？对花花草草而言呢？对猫猫狗狗而言呢？对猩猩猴子而言呢？接着就是复杂一点的人类了，这些物种之间什么时候产生了界限呢？于是我翻开了词典。为了权威性，我翻开了《牛津英语词典》，为了避免翻译的误差，我翻开了英文版的。词的互相定义BOX，container made of wood, cardboard, metal, etc. with a flat base and use a lid, for holding solids.我总要看看container是什么意思。CONTAINER, box, bottle, etc. in which sth is kept, transported, etc.这明显的是在用container来解释box，用box来解释container。看来，或者说至少，如果通过词典来定义我们说的每一个词，并试图以此理解人类的语言是有些问题的。到底这些语言有什么意义呢？它们完全可以是一些互相替代的符号。由此可见，理解一本词典，需要词典之外的常识。这些常识，来源于我们的生活、文化、教育，而不只是文字本身。常识的建立，可以通过大数据来实现吗？如果可以，那么到底要多少知识，才能构成人类交流的常识？事实上，人类的生活中存在很多默认的知识，但深究下去，为什么用这个，为什么这么用，我们并不十分清楚，但我们在交流中毫无障碍地用到了它们。如何学习外语？There was a time when men were kind从前，人们是友善的When their voices were soft那时，他们声音轻柔And their words inviting言语让人盛情难却There was a time when love was blind从前，爱是盲目的And the world was a song那时，世界是一首歌And the song was exciting歌声里充满了激情There was a time然而，有一天Then it all went wrong一切面目全非I dreamed a dream in time gone by我曾梦见那个关于往昔的梦When hope was high梦里我满怀憧憬And life worth living我的生活有它的价值I dreamed that love would never die我梦想着爱永不消亡I dreamed that God would be forgiving我梦想着上帝会宽容一切Then I was young and unafraid那时我年轻无畏And dreams were made and used and wasted梦想诞生、挥霍又被遗忘There was no ransom to be paid没有赎金要偿付No song unsung没有哪首歌会不被唱响No wine untasted也没有哪滴酒不被品尝But the tigers come at night但是猛虎从深夜中走来With their voices soft as thunder声音低沉像是闷雷在响As they tear your hope apart接着它们撕碎了你的希望And they turn your dream to shame让你因为曾有过的梦而羞愧难当He slept a summer by my side整个夏天他都睡在我身旁He filled my days with endless wonder他使我的每一天都充满幻想He took my childhood in his stride他轻易获得我的童贞But he was gone when autumn came而他在秋天来的时候消失在远方And still I dream he'll come to me我依然梦到他会回来找我That we will live the years together我们还将携手走过余生时光But there are dreams that cannot be然而有些梦不可能实现And there are storms we cannot weather就像暴风雨来时我们无力阻挡I had a dream my life would be我曾梦想那个我可能的人生So different from this hell I'm living与我活着的地狱绝不一样So different now from what it seemed与今日的宿命也绝不一样Now life has killed the dream I dreamed然而现实它却磨灭了我从前的梦想2009年，我在伯克利地下室里困顿于实验和理想的时候，看了《英国达人秀》，苏珊·博伊尔（Susan Boyle，即“苏珊大妈”），一个来自英国乡下的48岁女性，在舞台上演唱了这首出自音乐剧《悲惨世界》中的歌曲I Dreamed a Dream（《我做了一个梦》）。这首歌触动了我对未来不确定的期许，于是我把它翻译成了中文。虽然我们希望不同的语言可以做到“信达雅”的翻译，然而大多数语言之间是无法对应的。“信”，指翻译内容的真实可靠；“达”，指翻译的通顺流畅；“雅”，是翻译的最高境界，即文字要优美。但这一关往往不是翻译者文学素养的问题，能够做到“雅”的翻译，要碰运气。在语言翻译中，“信达雅”是可遇不可求的。有的话，会心一笑；没有，也无可奈何。人们为了避免歧义，利用数据的冗余，多说几句来减少误会。Dialogue翻译成“对话”，只能说是“信”，翻译成“大唠嗑”，是“信”和“达”，而碰到个读者是东北人，这第二种翻译就是“信达雅”了。英语里有个Buchoski悖论：My younger brother is older than I am。英语里brother这个词没有哥哥和弟弟的区别，所以这一句看起来就是矛盾的。但事实上“我”可以有两个哥哥，那个年纪轻一点的小哥哥（younger brother）自然比“我”的年龄大。但是younger brother对应为中文时又有“弟弟”的意思。我刚到英国的时候，别人问我的名字，我跟他们说“zhaoyuan”，这两个音在英语里是完全发不出来的，德国人会好一点。这本书里用到外国人翻译为中文的名字，除非大家已经习以为常的名人的中文译名，比如爱因斯坦，其他的我通常会保留原来的英文拼写，以避免强硬地翻译成中文，让读者更不知道是谁了。至于我的英文名，留学那些年为了避免英国人发不了“zhaoyuan”的尴尬，我用过“Joe”“John”“Zhao”，最后还是强行让他们习惯发“zhaoyuan”的音，哪怕极难听。不同的语言会有不同的发声习惯。汉字的发音多为单音，总共只有400多个，而常用的汉字有一万多个，因此要在每个音上加上声调，加上组合字，这样来形成丰富的语言。多数的拼音语言会有大量的辅音在元音前后，所以不需要有音调来辅助。这样形成的说话习惯是，我们会觉得外国人说中文为什么不会“抑扬顿挫”，而中国人说英语，会因为习惯的声调变化而成了所谓的Chinglish（中式英语）。不是我不愿意让你叫我的中文名，是你发不了这个音啊！就更别说那些名字后面的来自家长的期望和深厚的文化背景了，名字翻译实现“信达雅”是很难的。语言甚至在一定程度上塑造了我们的思维习惯。当然，反之亦然。母语为俄语的人会比母语为英语的人更快地区分出深蓝色和淡蓝色的不同，在俄语中，这是两个不同的词汇，голубой（发音同goluboy，意为淡蓝色）和синий（发音同siniy，意为深蓝色）。英国历史上早期的贵族讲法语，平民和下等人讲英语。这样就形成了有意思的现象，英语里面表示活物的家畜所用的单词源于英语，而表示能吃的肉类源于法语。比如说羊，用sheep和goat是英语，说羊肉用mutton是法语。牛可以跑的用cow，这是英语，用来吃的叫beef，这是法语。能吃的猪肉pork是法语，但pig（猪）是英语。我之前读的那所中学有西藏班，西藏班的同学既要学习藏语也要学习汉语。学习汉语的目的之一是通过汉语来学习物理、数学等科学知识。因为这些科学课中所用的一些词汇没有对应的藏语词汇。但在清代，所有知识在满、汉、回、蒙、藏文中是对应的。现代科学引进中国不过一百多年，藏语就完全没法儿跟着演化。同样的困难也存在于写这本书，做科学的人越来越喜欢用英语来表达新概念，因为中文并不能跟上最新的进展。新的语言和词汇的形成，需要大量的使用者促成新的表达习惯和共识。而本来可以被广大语言使用者接触的搜索引擎，也因商业信息的覆盖而很难查到有用的信息。危言耸听地说，也许过不了多久，汉语也可能会被最新的科学进展逐渐隔离，成为一种古老的语言而被博物馆化。第二章基本的逻辑多少逻辑叠加在一起就不是逻辑了？至今人工智能不管算法如何炫酷高深，都还是要基于图灵机来完成，图灵机是人们用来实现逻辑推演的工具。因此要了解人工智能做不了的事，就要先从了解逻辑机开始。我们首先从逻辑的角度来看能否通过有效的逻辑工具来避免语言里这些似是而非的问题。至少，我们会看到，在一系列利用语言沟通的问题上，逻辑是有用而必要的。一个逻辑系统，至少有一些基本的规则，这些规则将保证说话的人不再说一些前后矛盾的话。这看似容易，但当我们犯了逻辑错误的时候，我们往往不知道。而正因为没有逻辑，我们对自然界的观察始终没法积累成有意义的衍生品——新的知识。逻辑的基本规则，至少包括以下内容：• 同一律（Law of Identity）• 矛盾律（Law of Contradiction）• 排中律（Law of Excluded Middle）• 充足理由律（Law of Sufficiency）同一律在用语言进行逻辑推演的过程中，必须保持概念本身始终具有同一性。同一律要求在同一推演过程中使用某个概念时，必须自始至终在唯一的确定的意义上使用这个概念。同一律只是要求所讨论的命题保持同一，要求事物前后一贯。不能将其理解为要求“命题断定的情况必须与客观情况一致”，就是说，不能把命题事实层面的真或假混同于命题与其自身是否保持了同一。同一律并不保证所讨论的对象本身的真实性。同一律在逻辑推演中的作用在于保证思维的确定。思维只有具有确定性，人们才能进行正常的交流。只有遵守同一律，我们才不致于产生“混淆概念”和“转移话题”的逻辑问题，才能让讨论正常进行下去，写文章说话才能主题明确、思路连贯。同一律保证对话有中心，辩论不偏离议题。但就同一律本身而言，它不能推出任何有用的新知识。因为语义本身可以被无穷诠释，所以同一律的两个对象，必须严格一致，任何差别都会被扩大，从而使同一等式的两端并不同一。苹果是苹果小明去买苹果，看中了10元一斤的苹果。小明跟售货员说要一斤，售货员给他拿了20元一斤的苹果。苹果还是苹果，但价格不同了。但即使价格都是10元一斤的苹果，也有品种的不同。即使品种相同，也有新鲜程度不同的苹果。小明想要的苹果是“那个”（独一无二的）苹果，但事实上，连这个也做不到。即使是看到的同一个苹果，但当小明决定了要买，拿起来看的时候发现苹果的另一面被虫蛀过，这已经未必还是刚才他想买的那个苹果了。这样的推论已经脱离了经典的逻辑范畴，而开始涉入我们将要谈的哥德尔不完备问题的范畴。我们不得不通过常识和适当的宽容来达成沟通的共识。否则，除非不做任何拓展，同一律才能严格地成立。但同一律严格成立的时候，我们不能获得任何新的知识。它的两端不得不严格相同。矛盾律矛盾律的要求是：在同一逻辑过程中不能同时有两个互相矛盾的概念或者陈述同时为真。“A”和“非A”不能指称同一个对象。一个判断不能既断定某对象是什么，又断定它不是什么，不能同时肯定两个互相反对的陈述都是真的，必须确认其中有一个是假的。矛盾律的主要作用是保证逻辑过程没有矛盾，前后自洽。无矛盾是逻辑推演必不可少的基本条件，遵守矛盾律是构造科学体系的基本要求。科学常常是在发现逻辑矛盾、逐步排除和解决矛盾的过程中发展的。《韩非子·难势》中有讲：客曰：“人有鬻矛与盾者，誉其盾之坚，‘物莫能陷也’，俄而又誉其矛曰：‘吾矛之利，物无不陷也。’人应之曰：‘以子之矛，陷子之盾，何如？’其人弗能应也。”以为不可陷之盾，与无不陷之矛，为名不可两立也。这段话的大意为：有一个卖矛又卖盾的人，他先夸他的盾最坚固，无论什么东西都戳不破；接着又夸他的矛最锐利，无论什么东西都能刺透。旁人问他，如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果，他回答不上来了。这是一个既不可以同时为真，又不可以同时为假的命题。前提出现矛盾，也就无法推出结论。这并不仅仅是卖矛和盾的人才犯的“低级错误”，对于严格的数学家、逻辑学家或者物理学家而言，我们的每一步推理，都含着很多默认的常识。这些常识如果不被提取或者抽象化，我们甚至难以觉察到它们事实上被我们毫无顾忌地使用着，但这些默认的常识之间一定没有矛盾吗？我们如何知道并确信？一个系统不能在同一概念中包含互相否定的思想。例如“尖而圆的脸”“不是房子的房子”“方而圆的桌子”等。这些话每当这么说的时候都特别像佛教语言，尤其是你以闻得出文字味道的敏锐欣赏这些话时。“一个不是房子的房子”，或者，“一座不是山的山”。又例如，有人会说，“有个神秘的地方从来没有人去过，去了的人也从来没有回来过”。这既肯定了“所有人都没有去过”，又肯定了“有的人曾经进去过”。还有一种矛盾不会同真，可以全假，或至少有一假，例如“此地无银三百两”和“此地无银两百两”。排中律排中律的内容是：在同一逻辑过程中，两个互相否定的陈述不能都假，必有一真，反之亦然。排中律否定了大而全的理论。我们希望有一种理论，可以包括所有的正确内容，这样就可以立于不败之地。比如可以有矛盾统一的理论。自然语言可以这么说，但数学上没法表达。一旦选择了骑墙的态度，就是哪边对站哪边，很容易形成一套包罗万象的理论。然而对逻辑和现代科学而言，这套理论不会有任何价值，包罗万象的理论也一样包罗了错误。矛盾律和排中律都默认了二元论的假设。我们确实可以把任意的系统分割成两个可能，再把其中的可能分割成更多的两个和两个的组合。为了使我们的陈述具有相对的正确性，对任何一个陈述，都可以定义对错、真假的二元分析。事实上，除了我们看到的很多可以被二元化的模型之外，很多现实的对象是无法被二元化的。我们无法区分一个莫比乌斯环的正面和反面。量子力学也提供了大量不得不同时处在两个态之间的对象，我们把这叫作叠加态。图2–1 莫比乌斯环排中律和矛盾律是一种重要证明方法——反证法的基础。能够使用反证法的逻辑依据在于我们假设了如果错误的假设得出错误的结论，那么假设的另外一面就是对的。但它不适用于一类我们将会在这本书里提到的悖论，比如“这句话是错的”。充足理由律充足理由律的内容是：在同一逻辑过程中，一个陈述被确定为真，总有其充足理由。事物的存在，总有其道理，这个道理是充分的。充足理由律的逻辑要求主要有两条：1.理由必须真实；2.理由与推断之间有必然的逻辑联系。充足理由律本身并不能为人们提供真实理由。在一个论证中，理由究竟是真是假，这不能由充足理由律来确定，它只提出了这样的要求来保证论述合乎逻辑，理由本身的真假只能由实践和具体的科学实验来解决。充足理由律是前三条逻辑规律的必要补充。我们在前三条规律的基础上，保持了概念和判断的确定性之后，还要更进一步，指出判断与判断之间的联系具有必然性。在指出事物是什么之后，自然要进一步解释事物为什么是这样，而不是那样。只有遵守这四条逻辑规律，我们才能做到概念明确、判断恰当、推理有逻辑性和论证有说服力，也才能判定论证是否合乎逻辑。戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）认为“推理要建立在矛盾原则和充足理由原则之上。任何一个陈述如果是真的，就必须有一个为什么这样而不那样的充足理由，虽然这些理由总是不能为我们所了解”。亚瑟·叔本华（Arthur Schopenhauer）把充足理由律分解为四种形式：生成的充足理由律（因果律）、认识的充足理由律（逻辑推论）、存在的充足理由律（数学证明）和行动的充足理由律（动机律）。充足理由律的因果律背景暗示着宇宙中的事物都不能自我解释。没有什么事物是其自身存在的理由。如果一个事物是其自身存在的原因，那么这个事物必然先于它自身而存在，这显然是不可证的。因此，这四条逻辑基本定律构架的知识系统是为超自然力的存在留下伏笔的。然而，因果律在我们将看到的某些情况下，甚至应该在更普遍的情况下，是可以违背的。当我们考虑到量子力学的范畴，因果律的正确性会接受诸如约翰·惠勒（John A. Wheeler）的后选择实验的考验（见《量子大[1]唠嗑》）。这样接着就会对充足理由律提出新的考验。惠勒的后选择实验描述了这样的事实：此刻的现象可以被未来的事件影响。这意味着，附着于时间顺序上的因果律会有问题，此刻的选择决定了过去物体的行为！而这个思想实验居然被一系列物理实验证实了！矛盾律与充足理由律都是真理的逻辑标准或形式标准。矛盾律是反面的标准，因为遵守矛盾律的思想不一定为真，而违反矛盾律的思想不可能为真；充足理由律则是正面的标准，因为遵守充足理由律的思想一定是有根据的，是从一些原则得出的而且不会导致假的结论的思想。任何一个科学思想体系都要求推理有逻辑性和论证有说服力，也都必须同时遵守这四条逻辑规律，缺一不可。我们说怎样才能比较有格调地聊天，首先应关注聊天本身是否符合逻辑的基本要求。这里我们举几个常见的逻辑错误。违背同一律• 歪曲对方观点进行攻击李雷：传统中药配方在未经临床测试的情况下，是不能使用的。韩梅梅：你怎么能丢掉中华民族的传统遗产？这种做法会让传统文化断子绝孙的！显然韩梅梅歪曲了李雷的话。李雷的观点是“不能使用未经临床测试的中药”，韩梅梅将其歪曲为“丢掉中华民族的传统遗产”。• 滑坡谬论：将一连串的“可能性”转化为“必然性”，得出不可靠的结论有人大代表在“两会”上提案同性婚姻合法化，对此某评论员质疑：“如果仅仅是当事人自愿便可结婚，那么，父女、兄妹、母子自愿结婚可不可以？三个人结婚可不可以？人和动物呢？人和板凳呢？”仅从同性可以结婚这一前提出发，连续利用一系列微弱的“可能性”，推论允许同性结婚就会导致“人与板凳结婚”。这就犯了滑坡谬论的逻辑错误。违背充足理由律• 有前后时间顺序的事情，未必有因果关系，很多时候相关性不代表因果性，有其他原因作为解释从清朝初年到18世纪末，中国人口数量从不到一亿增长到三亿左右，说明康雍乾三代帝王对国家的治理水平远超前代，所以这三代被称为康乾盛世。当然不一定。人口增长的原因是多面的，红薯和土豆在明末从南美传到中国，大幅度地提高了粮食产量；医疗技术的积累和新技术的传入也大幅降低了新生儿死亡率并且延长了普通人的平均寿命。相关性不代表因果性，高相关系数也不能说明因果性更强，改变实验条件常常可以检查这种结论的可靠性。再例如，新医学统计证明，一个人的寿命和这个人成年后手掌大小的关系密切，具体表现为——手掌大通常寿命短，而手掌小寿命则长。太奇怪了！事实是，男性寿命通常比女性短，而男性的手掌则通常比女性的大。逻辑和佛性语言是思维的载体之一，思维借助文字符号表达出来，语言的运用反映了思维的逻辑。古代文化存在的一个重要问题在于其大量的讨论不符合逻辑的基本要求。现在我们知道了，逻辑有自己的基本规律。然而佛教的陈述往往并不遵循这些规律。我们以P来代表一个对象，它可以是明镜台，也可以是菩提树。佛教经典的论述方式往往是：如果P是真，那么P是假。佛教论述扩展的一般形式就是：如果P是Q，那么P不是Q。铃木大拙在《禅：答胡适博士》（Zen: A Reply to Dr. Hu Sih）一文中说：“我们一般推论：A是A，因为A是A；或者，A是A，所以A是A。禅学同意并接受这种推论方式，但是，禅学有它自己的方式，这种方式并不是一般人可以接受的方式。禅会说：A是A，因为A不是A；或者，A不是A，所以A是A。”唐代禅师青原惟信谈到其对禅体验的三个境界时说：“老僧三十年前未参禅时，见山是山，见水是水。及至后来，亲见知识，有个入处，见山不是山，见水不是水。而今得个歇处，依前见山只是山，见水只是水。”其中“见山不是山，见水不是水”是一种典型的逻辑谬误。在佛学经典里这类例子不胜枚举。如我是他，但他不是我（违反矛盾律）；得即是失（违反矛盾律）；既不是肯定也不是否定，二者都不对（违反排中律）；勿言生，勿言无生（违反排中律）。它们背后的禅理是语言无法达到的，也是不符合逻辑的。不符合逻辑可以推出任何结论，这也意味着推不出任何结论。菩提本无树，明镜亦非台；本来无一物，何处惹尘埃。据说六祖慧能年少时在街上听到有人读《金刚经》中“应无所住，而生其心”这一句话后，豁然感悟，于是决定出家，后来作出这几句偈诗，表达出“空”的思想。慧能还提出过反排中律的命题，如“无方圆大小”“无有头尾”，认为诸如“方圆”“大小”“头尾”的矛盾也是“空”的。类似的一首偈诗是南北朝时期禅师善慧（傅翕）写的：空手把锄头，步行骑水牛；人从桥上过，桥流水不流。佛性会讲这些悖论超越了理性，禅师运用起悖论来反而显得自在坦然。但这也是对逻辑的不清晰和不求甚解。这并不是因为古人只受中国文化或者东方文化的影响，而是因为他们认识有限，思维没有逻辑作为牵引而所面临的共同问题。同样，今天的基础教育中大多数人也没有机会接触到逻辑课程。我们的论证逻辑以很浪漫的方式出现在语文课上，举例论证、道理论证、比较论证和比喻论证，这议论文写作的“四大论证方法”在中学语文教科书中存在了许多年，极大地影响了很多人的写作和论说的思维脉络。可惜的是，这“四大论证方法”不是逻辑，甚至是谬误。1.举例论证：列出诸多相似的事例来证明论点的成立。孟子在《生于忧患，死于安乐》中说：舜发于畎亩之中，傅说举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。这段话里，孟子举了六个出身穷苦却最终功成名就的人的例子，得出“天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”的结论。然而，很不幸，对绝大多数人而言，苦难只是纯粹的苦难，好的家世却意味着更好的教育、更宽阔的眼界和更多的成功机会。我们生活的空间够大，时间够久，也有更多的例子可以举。人们先选择观点，再选取支持这个观点的案例，忽略甚至隐藏反面的例子，这同样是逻辑错误。在逻辑论证中，我们更关心可以否定观点的反例。证明一个命题放之四海而皆准是困难的，因为我们要去验证每一个例子，在一般情况下，这样做非常困难。只有一种情况是特例，即命题是可以用数学归纳法来证明的，自然数的性质保证了这个证明方式的有效性。对于一般的归纳总结，在有限的案例中得出的普遍规律是不符合逻辑要求的。举例论证中举出一两个例子来说明一个普遍的规律，是非逻辑的。事实上证明一个结论，尤其是通过大量案例来得出一个普遍的结论所用的归纳法，是非常脆弱的论证方法。这种方法严格防止反例，即论证时要把所有的可能都尝试一遍，这在大多数的情况下是不可能的。不管有多少正面的证据，一个反面的证据就推翻了这个普遍结论。因此用举例的方法来论证一件事情非常难，而推翻一件事情却很容易，一个反例就够了。但这个举例论证往往成了我们常用的论证方法，比如我们在谈起某一位中医的神奇时，都会说自己的邻居或某某熟人，癌症好几期了，都是这神医用药，甚至不用药给治好的，所以他灵啊，不灵主要是你不信的问题。然而这样的举例论证不具有推广意义上的普遍性，他被治愈你未必能行，人体是复杂系统，病好不好，各人体质有差别，常常有别的原因作为解释。2.道理论证：引用经典著作中的名人名言、权威的话来证明论点的成立。科学做的事情是在挑错，在不断地否定既有的权威。不要说权威，掌握了知识的个别人在某一领域中即使有深厚的积累，在别的领域中也可能缺乏基本的常识，这样的例子并不少见。“权威说的话”是双方都偷懒的途径：作为“权威”的人不用花精力去说服别人，只要把牌子一举就够了，“我是专家”；引用“权威观点”的人也不用花精力去证明，因为“权威”会背锅，“某某专家说了”。但这样的论证都谈不上逻辑，是最有害的。它不但妨碍了我们对内容真实性的探索，而且建立了人对知识的等级观，把“人治”的观点引入了知识世界，最终妨碍了人对知识的深入探索。这样做的不良后果在于，“权威”死了，世界就崩塌了。列举某某名人说的话，似乎名人所说的话就是真理，就可以用来证明某个结论是对的。这本身也是毫无道理的，姑且不说名人在说某句话的时候一定有上下文，而语言本身也可以被无穷诠释。名人的话包括名人自己也不断地被历史重新审视。所以他说的话难道就可信吗？就能成为论证的基础吗？我们把绝对真理相关的学问和方法统称为“神秘论”，在《量子大唠嗑》这本书里，我们这样定义了神秘论：1.相信有绝对真理的存在；2.相信有绝对权威的存在；3.所有证明都是为了证明绝对权威掌握了绝对真理。比照这三条，我们教育灌输给学生的论证方式，是神秘论化的论证方式，是古代的思维方式，是不科学、不现代的。这样的论证方式会坑害中国，使得中华五千年文明原地踏步而无所发展，如果继续这样教下去，也必毫无益处。3.类比论证和比喻论证，指的是一种将两种事物进行对照，得出某种结论的论证方法。董仲舒为了证明其“天人合一”理论，在《春秋繁露》做过这样的类比：天以终岁之数，成人之身，故小节三百六十六，副日数也；大节十二分，副月数也；内有五藏，副五行数也；外有四肢，副四时数也；占视占瞑，副昼夜也；占刚占柔，副冬夏也。这段话主要说的是，人全身有366个关节，对应天一年有366天；人有12个大关节，对应天一年有12个月；人有五脏，对应天有五行；人有四肢，对应天有四季；人眼有开合，对应天有昼夜；气息有刚有柔，对应季节有冬夏。然而，仅就事实而论，人体并无366个关节——证据是按照观点凭空臆造出来的。类比推理和比喻论证往往只能提供某种“或然性”。这种“或然性”在人类认知世界的历史进程中，有着很重要的地位。它可以将事物描绘得更形象，将问题表达得更清晰，达到易于理解的效果；它能够给我们带来认识新事物的好的启发，构成一定的“大胆假设”。然而，要做到紧跟在“大胆假设”后面的“小心求证”，则需要“同构映射”，即证明两类事物之间从假设到论证是严格一一对应的。这件事情，只在数学领域中做得很成功，我们接下来还会谈到。但在自然形成的语言中，严格证明两个事物是同构的，非常之困难。比喻论证，强调了相似的部分而忽略了不同的部分。相似的部分具有某种特性，不能被推论为具有这个部分的事物就具有类似的其他特性。所谓“上善若水”，我们无法说水具有某种特性，而人性也具有某种特性，因此，水的另外特性，也是人性的特性。比喻有助于直觉的形成，但不构成论证的基本方法。因此在通常情况下，无论类比论证还是比喻论证，逻辑上都是不成立的。这四种所谓的论证方法，从逻辑上来说都是错误的。只能作为写作时的修辞手段，远远谈不上论证的作用。在帮助人思考方面，不仅没有益处，还大大有害。不要抱怨这本书枯燥，这本书努力避免使用这些不靠谱的论证方法，以免让本来就深邃的概念更加令人糊涂。忍忍就好，值得的。逻辑的自洽和完备能不能完全依靠客观的逻辑来排除某些人的直觉，甚至是一群人的直觉，来建立普适的知识体系？比如说不用假定任何假设就可以证明一个系统没有内在矛盾，那么怎样才能算一个完美的理论系统呢？构架于严格逻辑体系的理性系统至少应该是自洽（Consistency）和完备（Completeness）的。自洽，要求理论有效，不能自相矛盾；完备，要求理论有用，能够对体系内有效的命题进行判断。如果一个理论系统前后矛盾，那么它不会有任何用处。在一个矛盾的理论体系里，任何命题都能被证明。同样，在一个有用的理论体系中，用这个理论体系所规定的名词给出一个命题时，这个命题的对错应该是可以通过理论的基础假设和合理的逻辑推演来判定的。否则的话，连对错都不能告诉我们的理论体系有什么用呢？这两点都做到的话，才是一个完美的体系，“完”，在于完备，“美”，在于它至少不是自相矛盾的。自洽性要求符合逻辑的理论体系应该是自洽的，也就是说它是前后一致的，没有矛盾的，不光是一句话里没有矛盾，是理论体系内处处不能有矛盾。否则的话这些矛盾总能碰到一起，从而使整个体系丧失公信力。建立一套知识理论体系，首要的任务是证明命题系统的无矛盾性。这个要求很自然，否则如果从命题中推出相互矛盾的结果来，那么这个命题构成的任何说法都毫无价值。自洽的要求极其朴素，你不能刚说了什么，接着就又说自己刚才说的不对。在说话的时候，不能自带武器来攻击自己。至少也是别人用另外的话语和证据来说明你的言论有不当的地方，而不是都不用别人出手，自己就把自己打败了。自洽源于一个可信服的原理，即逻辑上不相容的命题不可能同时为真；如果一组命题是真的，那么这些命题逻辑上是相互协调一致的。如果说一个知识系统是自洽的，那么不可能得出0≠0的结果；或者不能出现这个系统中的一个命题与它的否定命题都是对的。一句话来说，不自洽的假设证明一切。罗素是教皇从单纯的逻辑上来讲，不自洽（存在矛盾）的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程无懈可击。伯兰特·罗素（Bertrand Russell）证明他能从“2+2=5”推出“罗素是教皇”。罗素证明如下：由于2+2=5，等式的两边同时减去2，得出2=3；两边同时再减去1，得出1=2；两边移位，得出2=1。教皇与罗素是两个人，既然2=1，教皇和罗素就是1个人，所以“罗素就是教皇”。罗素因此也可以是任何人。这个不靠谱的结论，就是由一个与已知知识矛盾的假设引发出来的。我们既然在算术系统中可以证明真的命题2+2=4，那么2+2=5便成为与之矛盾的命题了。同样，不自洽的体系内可以推出任何结论。完备性要求如果说一个知识系统是完备的，那么这个系统中的所有命题都是可以被证明的，即每一个系统内的真理都对应着一个定理和它的证明过程。完备性是另一个知识理论体系的朴实的要求。我们希望学习一套知识，就会给我们个可靠的说法。问一个问题，总该给我们一个确定的答案，对还是错，给个准话。辛辛苦苦建立起来的一套没有矛盾的理论体系里有很多很多命题，我们总希望每个命题都能判断对错。我们这里说的命题，就是简单到像“2+2=4”，“在没有外力作用下物体会沿着直线做匀速运动”，“明天会下雨”，“柿子10元钱一斤”。当然也有复杂的，比如哥德巴赫猜想，即“大于4的偶数，总能写成两个质数的和”。这些命题并不属于同一个命题体系，自然数建立了算术的知识体系，气候建立了气候的，而物理学建立了物理学的。这些知识体系有一个共同的特点：它们必然建立在某一些“不证自明”的前提条件上。传统意义上这些前提条件被称为公理，但可能称为“公设”会更合适一些，要明确它们不过是共同承认的“公允的假设”，未必有理。“理”给人一种更强的默认是对的含义，而事实上，我们从本书里可以看到，这些假设未必总是真的。我们常常会看到理论系统所依赖的不证自明的公理会随着新的证据出现而动摇，而在本书接下来的讨论中我们也会发现，公理本身并不能够证明它的正确性，因此说它是“公允的假设”，比“公允的道理”或“公允的真理”更符合事实。图2–2 公设与定理人们建立一套知识体系，希望这套知识体系能够回答我们提出的问题。如果我们用这个体系的语言工具不能够回答我们提出的问题，这个体系就还不完备，那应该继续扩展这个体系，让它能够解答我们提出的问题。同时我们希望这套理论可以描述它自己的问题。一个命题用这套新的理论描述出来，我们应该有办法来判别它是对的或错的。我们也常常利用自洽性来检测完备性的要求，即使用反证法，但凡是用了反证法的证明，都要在系统是自洽的这一假设下能得到矛盾的结论，这个证明或者证伪才是有效的。构建一个知识体系符合逻辑要求的知识理论体系的建立开始于一些不证自明的公设。公设是一系列存而不证的假设，因此我们希望公设越少越好。公设之间应该是互相独立的，若是有一条公设能够由其他公设推论出来，那么这条公设就是多余的。一套公设应该容许我们对这门科学下的每条命题加以判别其为真或为假。我们通常也把这样的公设体系和它们基于逻辑推演规则得出来的命题系统总称为形式系统。它是构建一切已知科学知识体系的基础。当然，我们用来做逻辑推演的规则本身，也是公设内容之一，只不过它们在各种理论体系中都被普遍地使用，从而成为逻辑的通用要求。像其他公设一样，这些作为推演规则的公设，一样可以被怀疑。我们举一个例子。任何学习过几何的人，无疑都会认为它是一门完美的由演绎而产生的学科。由演绎而产生的学科与由经验产生的学问不同。在经验学问中，一个定理只要和观察相一致就会被接受。但在几何学中，一个定理是经由明确的逻辑证明得出的结论。这种对定理要求的观念可追溯到古希腊人，正是他们发明了所谓的公设方法，并且基于这种方法系统发展了几何学。总而言之，公设方法，就是先不加证明地将某些命题当作公设或前提，例如“通过两点只能画一条直线”的公设，然后从公设导出系统中的所有其他命题为定理。公设构成了系统的基础，定理则是从公设仅依靠逻辑原则的演绎所得出的被证明为真的“上层建筑”。我们常见到的大部分棋类游戏也是形式系统，比如中国象棋，它们是严格按照公设体系建立起来的。系统的语法将指明，什么样的符号串（陈述）是合适的（这代表棋盘上的有效结构，例如黑象不能位于红方半场内）。这样，语法正确的句子试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]