作者：圣才电子书
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2019年注册土木工程师（港口与航道工程）《公共基础考试》过关必做1200题（含历年真题）试读：
第一部分 章节习题及详解
第一章 高等数学
第一节 空间解析几何
单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）
1设α、β均为非零向量，则下面结论正确的是（ ）。[2017年真题]
A．α×β＝0是α与β垂直的充要条件
B．α·β＝0是α与β平行的充要条件
C．α×β＝0是α与β平行的充要条件
D．若α＝λβ（λ是常数），则α·β＝0【答案】C【解析】AC两项，α×β＝0是α与β平行的充要条件。B项，α·β＝0是α与β垂直的充要条件。D项，若α＝λβ（λ是常数），则α与β相互平行，则有α×β＝0。
2设向量α与向量β的夹角θ＝π/3，模|α|＝1，|β|＝2，则模|α＋β|等于（ ）。[2018年真题]
A．
B．
C．
D．【答案】B【解析】计算得：
3若向量α，β满足|α|＝2，|β|＝，且α·β＝2，则|α×β|等于（ ）。[2016年真题]
A．2
B．
C．
D．不能确定【答案】A【解析】设两向量α，β的夹角为θ，根据α·β＝2，解得：
故
|α×β|＝|α||β|sinθ＝2。
4已知向量α＝（－3，－2，1），β＝（1，－4，－5），则|α×β|等于（ ）。[2013年真题]
A．0
B．6
C．
D．14i＋16j－10k【答案】C【解析】因为
所以
5过点（1，－2，3）且平行于z轴的直线的对称式方程是（ ）。[2017年真题]
A．
B．（x－1）/0＝（y＋2）/0＝（z－3）/1
C．z＝3
D．（x＋1）/0＝（y－2）/0＝（z＋3）/1【答案】B【解析】由题意可得此直线的方向向量为（0，0，1），又过点（1，－2，3），所以该直线的对称式方程为（x－1）/0＝（y＋2）/0＝（z－3）/1。
6设直线方程为
则该直线（ ）。[2010年真题]
A．过点（－1，2，－3），方向向量为i＋2j－3k
B．过点（－1，2，－3），方向向量为－i－2j＋3k
C．过点（1，2，－3），方向向量为i－2j＋3k
D．过点（1，－2，3），方向向量为－i－2j＋3k【答案】D【解析】把直线方程的参数形式改写成标准形式：（x－1）/1＝（y＋2）/2＝（z－3）/（－3），则直线的方向向量为±（1，2，－3），过点（1，－2，3）。
7下列平面中，平行于且与yOz坐标面非重合的平面方程是（ ）。[2018年真题]
A．y＋z＋1＝0
B．z＋1＝0
C．y＋1＝0
D．x＋1＝0【答案】D【解析】D项，平面方程x＋1＝0化简为x＝－1，显然平行yOz坐标面，且不重合。ABC三项，均不平行于yOz坐标面。
8已知直线L：x/3＝（y＋1）/（－1）＝（z－3）/2，平面π：－2x＋2y＋z－1＝0，则（ ）。[2013年真题]
A．L与π垂直相交
B．L平行于π但L不在π上
C．L与π非垂直相交
D．L在π上【答案】C【解析】直线L的方向向量为±（3，－1，2），平面π的法向量为（－2，2，1），由于3/（－2）≠（－1）/2≠2/1，故直线与平面不垂直；又3×（－2）＋（－1）×2＋2×1＝－6≠0，所以直线与平面不平行。所以直线与平面非垂直相交。直线L与平面π的交点为（0，－1，3）。
9设直线L为
平面π为4x－2y＋z－2＝0，则直线和平面的关系是（ ）。[2012年真题]
A．L平行于π
B．L在π上
C．L垂直于π
D．L与π斜交【答案】C【解析】直线L的方向向量为：
即s＝（－28，14，－7）。平面π的法线向量为：n＝（4，－2，1）。由上可得，s、n坐标成比例，即（－28）/4＝14/（－2）＝（－7）/1，故s∥n，直线L垂直于平面π。
10设直线方程为x＝y－1＝z，平面方程为x－2y＋z＝0，则直线与平面（ ）。[2011年真题]
A．重合
B．平行不重合
C．垂直相交
D．相交不垂直【答案】B【解析】直线的方向向量s＝（1，1，1），平面的法向向量n＝（1，－2，1），s·n＝1－2＋1＝0，则这两个向量垂直，即直线与平面平行。又该直线上的点（0，1，0）不在平面上，故直线与平面不重合。
11yOz坐标面上的曲线
绕Oz轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是（ ）。[2016年真题]22
A．x＋y＋z＝1222
B．x＋y＋z＝1
C．
D．【答案】A【解析】一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面为旋转曲面。若yOz平面上的曲线方程为f（y，z）＝0，将此曲线绕Oz轴旋转一周得到的旋转曲面方程为：
又22
故x＋y＋z＝1。同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为：22
12在空间直角坐标系中，方程x＋y－z＝0表示的图形是（ ）。[2014年真题]
A．圆锥面
B．圆柱面
C．球面
D．旋转抛物面【答案】D2【解析】在平面直角坐标系中，z＝x为关于z轴对称的抛物线。因此可考虑将该抛物线绕Oz轴旋转一周所形成的曲面方程：2
代入z＝x得2222
即x＋y－z＝0。因此方程x＋y－z＝0表示的图形为在面xOz2内的抛物线z＝x绕z轴旋转得到的图形，即旋转抛物面。222
13方程x－y/4＋z＝1，表示（ ）。[2012年真题]
A．旋转双曲面
B．双叶双曲面
C．双曲柱面
D．锥面【答案】A222222【解析】方程x－y/4＋z＝1，即x＋z－y/4＝1，可由xOy平面上双曲线
绕y轴旋转得到，或可由yOz平面上双曲线
绕y轴旋转得到。即该方程表示旋转双曲面。22
14在三维空间中方程y－z＝1所代表的图形是（ ）。[2011年真题]
A．母线平行x轴的双曲柱面
B．母线平行y轴的双曲柱面
C．母线平行z轴的双曲柱面
D．双曲线【答案】A【解析】由于22
表示在x＝0的平面上的双曲线，故三维空间中方程y－z＝1表示双曲柱面，x取值为﹙－∞，＋∞﹚，即为母线平行x轴的双曲柱面。
15设有直线L：（x－1）/1＝（y－3）/（－2）＝（z＋5）/1与1L：2
则L与L的夹角θ等于（ ）。[2014年真题]12
A．π/2
B．π/3
C．π/4
D．π/6【答案】B→【解析】由题意可知n＝（m，n，p）＝（1，－2，1）1111
将L的参数形式改为标准形式：（x－3）/（－1）＝（y－1）/2（－1）＝（z－1）/2→
所以n＝（m，n，p）＝（－1，－1，2）2222
所以L与L的夹角θ＝π/3。12222
16曲线x＋4y＋z＝4与平面x＋z＝a的交线在yOz平面上的投影方程是（ ）。[2012年真题]
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]