作者：刘晓波
出版社：机械工业出版社
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铝及铝合金铸轧成形与裂纹扩展试读：
前言
随着世界经济和科学技术的发展，铝已成为仅次于钢铁的第二大金属。双辊铸轧技术具有生产工艺简单、生产周期短、生产成本低等优势而成为国内外铝工业中的一种主要生产方法。铝双辊超薄快速铸轧技术以其铸坯组织晶粒细化、较少的偏析、优良的力学性能以及高的生产率等特点而成为当今冶金科技的前沿技术之一。由于铸轧过程熔体流动和凝固传热更加复杂，铸坯质量的控制难度增加，铸轧工艺参数的可调范围减小，铸轧工艺参数的合理匹配已成为制约实现快速超薄铸轧，获得高质量铸坯的一个关键问题。高性能铝合金具有高的室温强度和良好的综合力学性能，已广泛应用于航空、国防、高铁等领域。由于高强铝合金在锻造变形过程中温度不均匀产生裂纹等缺陷，严重影响了铝合金的质量，因此，研究高强铝合金裂纹等缺陷的产生机理，确立抑制成形过程组织缺陷的调控方法，对于获得高质量铝合金具有重要的意义。
本书系统地研究分析了铝及铝合金铸轧成形与裂纹扩展规律及其影响因素。基于元胞自动机法（CA），采用LGK模型模拟了晶粒生长的动态演变，用基于正态分布的形核模型和KGT生长模型，对铝铸轧凝固过程中晶粒的生长及微观组织的形成进行了模拟，模拟结果有助于从理论角度解释微观组织中出现枝晶间偏析、点偏析及微观缩松等缺陷的形成原因。基于有限元法（FEM），建立了铝铸轧过程整体模型，分析了铸轧参数对铸轧过程的影响。基于损伤理论，研究了辊套疲劳寿命预估。基于有限差分法（FDM），建立了铸嘴的流动模型，分析了铸轧参数对铸嘴型腔熔体流动、出口速度及出口温度的影响。通过水模试验及铸轧过程试验验证了模拟的有效性。基于分子动力学法（MD），采用嵌入原子势法（EAM），模拟了铝裂纹扩展行为，从裂纹扩展图观察到裂纹扩展的变化情况：裂纹尖端钝化、子裂纹的产生、孔洞的生成及长大过程以及裂纹和孔洞的汇集；探讨加载速度和初始裂纹长度对体系裂纹扩展行为的影响；分析了孔洞大小、数量及分布对铝裂纹扩展行为的影响；模拟铝合金粗大第二相AlCu拉伸变2形行为，发现AlCu非常脆，应变ε=0.086时应力达到峰值6.4GPa，2在拉伸初期不易产生位错，从而弹性变形阶段较长；探讨温度和应变率对体系拉伸变形行为的影响；分析了孔洞数量及分布对AlCu拉伸2变形行为的影响。基于均匀化方法，建立了铝合金细观结构的数学模型，对铝合金细观结构响应进行了分析；并分析了温度、孔洞数量对裂纹扩展的影响。对7050铝合金进行均匀化热处理，分析热变形参数对7050铝合金流变应力的影响；通过热变形参数对微观组织演化规律的影响，对高温塑性变形条件下的变形机制进行研究。
本书的内容为作者十余年来的研究成果，在研究过程中先后得到了国家自然科学基金项目（No：50564004）、教育部科学技术研究重点项目（No：02081）、江西省自然科学基金项目（No：0250020，2010GQC0803）及江西省教育厅科技落地计划科学前沿项目（No：KJLD12073）的资助。本书内容对研究铝及铝合金铸轧成形与裂纹扩展，从而获得高质量的铝及铝合金产品具有较强的指导作用。
感谢清华大学许庆彦教授、中南大学易幼平教授对本书内容的修改意见!感谢南昌航空大学学术文库专项基金资助!
由于时间仓促，且作者水平有限，书中错误和不当之处在所难免，在此诚恳地欢迎广大读者批评和指正。刘晓波第1章 绪论1.1 铝及铝合金铸轧成形与裂纹扩展研究意义
随着世界经济和科学技术的发展，人们对铝的需要不断增加，铝已成为仅次于钢铁的第二大金属。采用双辊铸轧技术直接生产带坯，由于能够以简单的铸轧形式代替通常生产铝板带所需的铸造、锯削、加热、热轧等多道工序，因此，双辊铸轧以其生产工艺简单、能耗少、投资少、生产周期短、生产成本低的突出优势而成为国内外铝工业中的一种主要生产方法。铝双辊超薄快速铸轧技术以其铸坯组织晶粒细化、较少的偏析、优良的力学性能以及高的生产率等特点而成为当今冶金科技的前沿技术之一。超薄快速铸轧技术实现产业化很困难，其原因是随着铸轧速度的进一步提高，铸坯减薄，铸轧过程中熔体流动和凝固传热更加复杂，铸坯质量的控制难度增加，铸轧工艺参数的可调范围减小。铸轧工艺参数的合理匹配成为制约实现快速超薄铸轧，获得高质量铸坯的一个关键问题。
高性能铝合金具有高的室温强度和良好的综合力学性能，已广泛应用于航空、国防、高铁等领域，如飞机重要部件（包括飞机起落架的隔框、翼梁、托架等承载构件）、导弹壳体、高速列车车厢等。由于高强铝合金在常温条件下的塑性较低，一般需经高温塑性加工成形，但高强铝合金由于在锻造变形过程中温度不均匀产生裂纹等缺陷，严重影响了高强铝合金的质量，因此，研究高强铝合金高温塑形的变形机制及裂纹等缺陷产生机理，确立抑制成形过程组织缺陷的调控方法，改进高温变形特性，对制订该类合金的成形工艺，获得高质量铝合金具有重要的意义。1.2 铝及铝合金铸轧成形与裂纹扩展研究发展状况1.2.1 铝及铝合金铸轧成形研究发展状况
双辊铸轧方法是1846年由英国人Henry Bessmer首先设想出来的，他提出了从两旋转辊上方倾倒金属液，从两旋转辊下方得到金属铸坯的方法，由于当时缺乏相应的技术（如结构材料和过程控制仪表等）支持，这种设想未能获得成功。
20世纪50年代美国Hunter-Douglas公司首先研制出倾斜式双辊铝带材铸轧机并投入生产运行，随后，法国Pechiney公司研制的3C水平式双辊铸轧机也获得成功，从此以后，铝带坯双辊连续铸轧技术和设备得到了迅速的发展。20世纪70年代以前，铸轧机多为标准型，铸轧辊直径为φ600～φ700mm，铸轧带坯厚度为7mm左右，铸轧速度小于1.5m/min。20世纪80年代以后出现了超型铸轧机，铸轧辊直径可达φ1000mm，铸轧带坯厚度为5～12mm，铸轧速度为3m/min左右，铸轧金属已由纯铝扩大到3000系列、5000系列软铝合金。20世纪90年代初出现了改进型超型铸轧机，铸轧带坯厚度为3mm，铸轧速度为5m/min。由于铸轧带坯尺寸薄和铸轧速度快能进一步发挥快速凝固的特点，使铸轧带坯的晶粒细化，从而获得更好的冶金质量，也可使这一生产方式为人类带来更大的效益。从20世纪90年代以来，国际上一些公司开展了快速超薄铸轧技术的研究，主要有意大利Fata-Hunter公司、法国Pechiney公司、英国Davy公司以及挪威Hydro公司。它们共同的做法是先研究开发中心与大学合作进行小型试验，在取得一定成果和经验后，进行中试和大型工业试验。英国Davy公司和牛津大学合作，于1991年推出了第一台快速超薄铝带坯铸轧试验机。1996年以来，意大利Fata-Hunter公司、英国Davy公司以及法国Pechiney公司都相继研制出快速超薄铸轧工业样机，能铸轧出1mm厚的铸坯，铸轧速度达15m/min，应该说，这是铸轧技术发展中的又一次飞跃。但是由于各国（美国、英国、法国、意大利、挪威）对快速超薄铸轧技术的研究均处于工业试验阶段，试验条件（如设备参数和功能、工艺环境条件等）各不相同，所得结果也有差别，甚至相反。例如：Fata-Hunter公司的试验与Hydro公司的试验，对快速超薄铸轧的组织与性能的认识与结果几乎完全相反；在快速超薄铸轧的铸轧机型选择上也存在不同的主张，如Fata-Hunter公司采用二辊铸轧机型，Davy公司则采用四辊铸轧机型，同时各试验铸轧机的工艺环境条件、设备参数和工艺参数及其范围的确定也不一致（力能参数，辊径，有、无外部冷却，铸轧区长度、大小，铸嘴开口度大小等）。在主要技术规律上尚未达成共识。
我国铝带坯连续铸轧技术研究开发工作始于20世纪60年代。1964年初进行了双辊下注式铝带坯连续铸轧模拟试验，并于同年铸轧出厚8mm，宽250mm和400mm的铝带坯，1965年铸轧出宽700mm的铝带坯。1971年由东北轻合金加工厂研制成我国第一台800mm水平下注式双辊铸轧机。1975年，用铝带坯生产的冷轧板基本上满足了一般深冲制品和箔材毛料的性能要求。1979年由华北铝加工厂研制成φ650mm×1300mm我国第一台亨特式倾斜铸轧机，并于1981年和1983年相继研制成φ650mm×1600mm和φ980mm×1600mm铸轧机，并通过部级鉴定，标志着我国铸轧技术进入成熟阶段。1984年中日涿神有色金属加工专用设备有限公司成立，并于1993年该公司为其母公司华北铝业有限公司试制成功我国第一台仿3Cφ960mm×1550mm超型铸轧机。至此国产铸轧机已具有标准型和超型这两种机型，而且铸轧机逐步实现标准化、系列化。
随着我国微电子、信息、机械、食品、包装、建筑产业的迅猛发展，我国已成为铝材生产及消费大国，如何提高铝材生产率、降低生产成本、提高铝材质量、扩大铝材使用范围已成为迫在眉睫的问题。而快速超薄铸轧的冷却速度远高于现有常规铸轧，铸坯结晶组织的晶粒度和枝晶间距明显减小，溶质元素在固溶体中的过饱和度增大，因此板带的深冲性能和力学性能得到了改善，可生产出具有优良冶金组织和表面质量的优质板带；同时，可铸轧合金范围也可拓展（如3000系列等铝合金），可使铸轧产品的应用市场范围扩大。例如：高精度PS 版基、计算机硬盘的铝质基板、高层建筑幕墙板以及空调箔等。另外，铸轧板厚度减薄后，不仅大大减轻了对后面工序——冷轧的压力，解放了冷轧机的生产力，大大节省了铝箔生产的投资和能源，而且提高了生产率，增加了产品的市场竞争力。中南大学于2000年7月在试验铸轧机上成功地铸轧出铸轧速度为13.2m/min、厚度为2mm的铸坯，华北铝业有限公司也在工业铸轧机上成功铸轧出铸轧速度为5.8m/min、厚度为3.2mm的铸坯，这标志着我国在快速超薄铸轧技术领域已经达到世界先进水平。
为了进一步探明铸轧过程熔体流动和凝固传热规律，掌握铸轧工艺参数的合理匹配，实现稳定的工业生产，除了继续进行试验研究以外，结合数值模拟是一种有效的方法。由于铸轧过程熔体不容易检测，发展数值模拟方法是研究铸轧成形的有效途径，国内外学者做了一些研究。Ozawa等研究建立了铝双辊铸轧过程的一维瞬态模型，用有限差分方法求解轧辊及带坯的温度分布，计算了不同铸轧工艺参数条件下液相区、两相区和变形区的大小。Miyasawa等第一个建立了铝垂直双辊铸轧在固相和液相区的传热和流体流动计算数学模型，他们运用流体动力学润滑理论来预测在轧辊间隙(辊缝)内的速度场，同时他们也预测了其温度场，通过差分方案来求解热平衡方程。M Yun等开发了铸轧过程流场和温度场的二维仿真系统，并用该系统分析了铝合金快速铸轧过程中弥散偏析产生的工艺条件。史荣等对铝带坯连续铸轧凝固过程进行了数值模拟研究。李晓谦等进行了快速铸轧中的接触热导及带坯在铸轧区的温度分布的仿真分析，研究了快速铸轧辊套与铸坯之间具有强温变特性耦合关系的接触热阻的计算方法，分析了各工艺参数对液穴区长度及出口温度的影响。湛利华等应用刚黏塑性有限元法建立铝合金连续铸轧过程的变形模型，进行了双辊连续铸轧工艺中温度场和热应力场的数值计算。1.2.2 铝合金裂纹扩展研究发展状况
在高强铝合金7×××系合金中，当在Al中加入Zn、Mg、Cu等元素时，可生成一系列新的化合物，如β相为MgAl，T相为AlZnMg，58233S相为CuMgAl，η相为MgZn，θ相为MgZn，γ相为以Zn为基体的固225溶体。它们都易固溶于Al中，且在Al中的固溶度都很高。虽然加入Zn和Mg元素之后，铝合金的强度得到了极大的提高，但是铝合金的伸长率和耐蚀性却随着Zn和Mg含量增加而降低。为了改善铝合金的综合性能及耐蚀性，可以在合金中添加Cu元素，合金的伸长率和耐蚀性得到了提高，同时也使合金的疲劳强度得到了很好的改善。另外，微量元素通过对合金在热加工变形过程中微观组织的影响，可较明显地影响到合金的综合性能。例如：微量的Cr、Mn、Zr等元素不仅可以大大提高合金的再结晶温度，而且这些微量元素的金属间化合物能有效地阻止晶粒长大。此外，铝合金在制备过程中不可避免会掺杂进一些有害的杂质，如Fe、Si等元素，这些杂质往往对铝合金成形件的综合性能有极大的损害。高强铝合金因其在拥有超高强度的同时，断裂韧性和抗应力腐蚀性能等综合性能优异，故它的出现给航天航空事业带来了飞速的发展。目前，7050铝合金厚板已大量应用于波音777客机以及F/A-18Hornet和F-22RaPtor军用飞机，成为飞机制造业通用的结构材料。
目前国内外在高强铝合金高温变形行为、显微组织和性能方面进行了较深入的研究，在高强铝合金裂纹缺陷的研究中疲劳裂纹研究多，变形裂纹研究少。在铝合金塑性变形裂纹的研究方面，高维林等建立了金属塑性变形中位错组态演化模型；Masumura等建立了裂纹位错排列干涉模型；刘世兴等的研究表明7055铝合金在垂直于纵向面上的断裂是延性穿晶断裂，平行于纵向面上的断裂主要是沿晶断裂；Fourmeau等通过试验和数值模拟研究了高强铝合金在不同应力状态下的各向异性失效模式；Liu等采用扩展有限元法模拟了高强铝合金在单方向拉伸载荷条件下晶界裂纹的扩展；李江等研究了7050 高强铝合金断裂韧性及其影响因素，降低各向异性和适度提高预制裂纹长度，可有效降低试样宏观开裂角。
在数值模拟研究方面，国内外有学者通过建立多尺度模型来进行仿真研究，Wei等建立了描述晶体材料的韧性断裂过程多尺度模型；Potirniche等利用修正嵌入原子法的分子动力学模拟，进行了材料长度尺度对单晶镍的破坏进程影响的分析，该研究提供了针对桥接材料从纳米尺寸到更大尺寸的长度尺度方面的研究手段；陈康华等建立了高强铝合金断裂韧性与双级微裂纹的非线性关系模型，通过模型解析,分析两种尺度微裂纹体积分数对高强铝合金断裂韧性的影响规律；Groh等建立了一个数值的、分层的多尺度模型的方法论，通过使用晶体塑性模型验证的多尺度桥梁方法论来预测在［4 2 1］晶向的单轴压缩载荷下的单晶铝变形的机械响应；Jordon等表征和模拟了锻造铝合金在两种不同的长尺度下，由材料的微观组织均质化引起的损伤诱发各向异性；陆怀宝等采用多尺度准连续介质法(QCM)模拟体心立方(bcc)金属钽Ⅱ型裂纹尖端位错的形核与发射过程，获得位错发射位置与应力强度因子关系曲线，研究全位错分解以及扩展位错形成机理；王绍青等在金属材料力学性质多尺度计算模拟方面取得了有意义的成果。这些研究证明，通过多尺度模型来进行仿真研究，对于认识裂纹产生条件、裂纹演化和影响因素是一种有效的研究方法。1.3 铝及铝合金铸轧成形与裂纹扩展数值方法及其研究发展状况1.3.1 元胞自动机法
1.常见的组织模拟方法简介
要逼真地再现微观组织的形貌，就要找到一种可靠的模拟方法来准确预测晶粒的形核、生长、吞并、阻碍等过程。在宏观传热、传质、动量传输和结晶理论基础上，通过固相率这一桥梁将微观组织变化通过传热方程的源值项联系起来，形成宏观、微观模拟相统一的模拟方法。近年来各种微观组织的模拟方法纷纷出现，如传统的热焓法、元胞自动机法(CA)、蒙特卡罗法(MC)和相场方法等。这些方法各有其优缺点，都能在一定程度上较准确地模拟合金的凝固组织。凝固微观组织数值模拟的方法主要有确定性方法、相场方法及随机性方法。
确定性方法以凝固动力学为基础，虽然符合晶粒生长物理背景，但是它不能处理晶体生长过程中的一些随机过程，难以考虑晶体学的影响，所以无法模拟凝固时枝晶的生长过程及形貌。
相场方法是一个描述枝晶生长的新方法，它可以避免跟踪固液界面的位置和形状，而模拟一个枝晶内的亚结构，如二次臂和高次臂的生长过程。但它的计算域较小，难以用于实际铸轧过程模拟。
随机性方法主要采用概率方法来研究晶粒的形核和长大，包括形核位置的随机分布和晶粒晶向的随机取向，动态跟踪显示每个晶粒的形核生长过程和柱状晶向等轴晶转变过程，适用于柱状晶组织的形成及柱状晶与等轴晶相互转变的模拟，主要有MC法和CA法。尽管MC法被证明能产生同实际铸件组织相似的晶粒结构，但它缺乏物理基础。由于CA法在基本单元定义和变化规则应用方面的灵活性，其发展应用不局限于特定物理体系，而且为微观结构模拟中实现不同空间及时间尺度之间的跨越性模拟计算提供了方便简洁的数值工具。
长期以来，预测微观组织进而控制性能一向是铸轧加工的追求目标。随着对凝固机理的进一步了解和计算能力的提高，这一目标的最后实现将成为可能。
2.元胞自动机法国内外研究现状
Von Neumann最早把CA法作为一种物理现象的模拟技术引入的，这种方法将物理系统分成许多小单元，通过成套的规则，每个单元同其相邻的单元迭代地作用，这些单元通常映象到计算机的屏幕上。于是，模型系统随时间的发展变化就能观察到。Rappaz和Gandin发展了CA法。该方法具有一定的物理基础，能够定量地反映过冷度和溶质浓度的影响。
Rappaz和Gandin等用基于高斯分布的连续形核模型来计算晶粒密度，考虑了铸件表面与中心形核位置及晶粒取向随机性。他们把晶粒的形核与长大的物理机制引入到模型中，考察了晶粒在模具壁处的不均匀连续形核、晶核的晶体学位向关系以及枝晶尖端生长的动力学，建立了随机CA模型来模拟凝固结晶中晶粒结构的形成。他们成功地预测从柱状晶到等轴晶的转变，并得到了试验验证；并将二维模型发展到三维模型，并将得到的等轴涡轮叶片翼面晶粒结构同试验所得铸件横截面组织图进行了比较。Brown把CA法与有限差分法结合起来，建立了三维的CA有限差分(CAFD)模型来模拟两相的耦合生长，把此模型应用到真实的共晶系Pb-Sn的凝固中，得到了固液界面移动的距离随时间的变化及相的片间距等定量的结果。Geiger等人则利用CA方法研究了温度、各向异性、活化能和界面能对晶粒长大动力学的影响。Marx和Kumar建立了奥氏体中析出铁素体的CA模型。模拟结果能够再现Militzer等人做的作为冷却速率函数的初始温度的变化、每个奥氏体晶粒内铁素体晶粒数和铁素体晶粒大小等实验结果。模型描述了铁素体在奥氏体晶界的形核及铁素体沿奥氏体晶界和在晶内的长大。
在国内，这方面也做了一些研究，朱鸣芳等改进了三维CA模型，CA模型也运用到凝固的共晶生长现象中。康秀红等用枝晶尖端生长动力学模型研究了晶粒的生长及［100］择优晶向对生长的影响，确立了由柱状晶向等轴晶转变的判据。李殿中等用CA法模拟了镍基合金叶片凝固过程微观组织，又用CA法模拟了金属成形过程中的组织演变，建立了金属成形过程组织演变的宏观-微观耦合模型。张林等建立了镍基耐热合金凝固过程的CA模型，该模型以温度扩散方程、多组元的溶质扩散方程以及枝晶尖端生长的LGK模型为基础。利用这个模型模拟了凝固过程中不同冷却速度下晶粒微观结构的演化。许庆彦等采用CA微观模型，并与宏观的传热计算相结合，在模拟过程中，采用连续形核的方法处理液态金属的异质形核现象，通过高斯分布函数描述形核质点密度随温度的分布关系，晶粒生长模型则考虑枝晶尖端生长动力学和择优生长方向［100］晶向，对砂型铸造铝合金铸件的凝固组织形成进行了模拟。张涛等建立了基于CA法的7055铝合金动态再结晶(DRX)模型，研究了7055铝合金在热压缩过程中的组织演变规律。1.3.2 有限元法
1.有限元法简介
有限元法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法。其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。随着高速运算计算机的发明，有限元法这种有效的数值计算方法才得以发展，如热传导、流体、失效与破坏等领域都已经普遍应用有限元法来分析计算。
2.有限元法在铸轧成形中的应用
M.Gupta等利用有限元法模拟了水平式双辊铸轧薄带过程中熔池内的热传导、液体流动和熔液的凝固，但是未考虑材料的物性参数随温度的变化情况，即材料为常物性;也没有考虑气隙对传热的影响。李晓谦等进行了铝带坯连续铸轧变形的有限元分析。他们以Levy-Mises塑性流动理论为基础，并同时考虑温度变化因素，对铸轧过程的塑性变形进行了分析计算。A.Saxena和Y.Sahai通过FIDAP软件分析得到了铸轧过程流体流动、凝固传热模型、有限元网格及节点温度值，并将其转化到ANSYS中作为变形分析时的温度载荷边界条件；然后运用有限元分析软件ANSYS建立了铝合金双辊铸轧过程二维稳态热-力耦合模型，计算了水平双辊薄带坯连续铸轧工艺中由于温度梯度以及轧辊对铸坯施加的机械载荷的作用引起的应力。逯洲威等用MARC大型有限元分析软件，采用弹塑性大变形热-力耦合有限元法，对薄板坯连铸液芯铸轧过程铸壳变形特点进行了仿真研究。C.G.Kang和Y.D.kim等利用ANSYS有限元分析软件对不锈钢材料半固态连续铸轧成形过程的流动行为、轧制力和轧制变形进行了仿真研究。金珠梅等在分析旋转状态铸辊内部传热过程特点的基础上，应用广义流体概念，建立了熔池和铸辊混合区域的整体数学分析模型，实现了整体模型的耦合计算，计算结果揭示了双辊法连续铸轧过程熔池内流场、凝固温度场及铸辊内温度场、热应力场的特点。
3.有限元法在裂纹扩展中的应用
在国外，Shephard等研究了裂纹扩展后便重新划分网格且其边界条件随即也发生变化的改进有限元法。Bittencourt等提出一种为了得到光滑的裂纹边界通过改变裂纹扩展后的局部网格形状的方法。为了解决裂纹扩展问题，Klein等引进了一种虚拟联结单元。Siegmund等研究了铝合金薄板中的裂纹扩展。Scheider等对光棒试样的缩颈断裂过程进行了数值模拟。Chowdhury等采用大变形有限元程序和内聚区模型相结合的方法对准静态裂纹扩展进行了模拟，得到的裂纹扩展曲线相比于试验得到曲线差别不是很大。
在国内也有很多学者对裂纹扩展进行了大量的模拟研究。杨庆生、杨卫在用有限元法模拟裂纹扩展中，应用的是自适应的网格划分方法来实现网格动态划分。孙穆、余寿文通过研究证明，材料在裂纹扩展中裂纹扩展阻力与定常扩展裂纹的弹塑性场受到材料各向异性硬化性质的影响是非常大的。王德民、徐纪林对在一对均匀拉应力作用下的铝合金薄板（含中心裂纹）运用有限元方法与塑性大变形的基本方程进行模拟计算，所获得的结果与试验结果吻合得较好。崔玉红等研究了Hybird、Trefftz有限元应用于Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ型复合裂纹的弹性断裂问题。黄向平等研究了自适应网格生成技术，这种技术能够对裂纹扩展进行跟踪、仿真。王承强等提出了求解基于线性内聚力模型的平面裂纹扩展问题的半解析的有限元法。郁大照等采用有限元软件 MSC.Marc 构建含裂纹螺接件的三维有限元分析模型，通过分析得到了不同损伤模式下的 SIF 与裂纹长度沿板厚度方向的变化曲线。1.3.3 有限差分法
1.有限差分法简介
有限差分法（FDM）的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。有限差分法原理简单，便于实施，发展相对比较成熟，但对几何形状的适应性较差，在应用网格生成技术后，这一缺点得以克服。有限差分法广泛用于热传导、气体扩散、流体传热问题。
2.有限差分法在铸轧成形中的应用
在铸轧过程方面，M.J.Bagshaw等对铸轧过程中热线形成问题进行了较为深入的研究，建立了二维稳态热流模型来描述铸轧过程，将轧辊与铸坯之间的传热系数在整个铸轧区内划分为三部分，通过对仿真结果的分析解释了在不同界面传热系数的条件下热线形成的原因。牛津大学的Bradbury等对连续铸轧过程中固态和半固态区的凝固、传热和流体流动进行了数值模拟，将固态和半固态区的黏度考虑为温度函数的修正黏度，即认为材料为无加工硬化的各向同性材料。带坯/轧辊界面假定为黏着摩擦，金属与轧辊间的传热系数由施加在轧辊上的局部压力来决定。固相百分数由Scheil方程得到。
在铸嘴型腔方面，H.Yu建立了二维铸嘴型腔层流流体力学模型，M.V.Akdeniz和K.Sarioglu等对二维流场、温度场铸嘴系统进行了计算机仿真，乐起胜建立了二维电磁铸轧铸嘴型腔温度场模型，李宏建立了二维快速超薄铸轧铸嘴型腔层流流体力学模型。1.3.4 分子动力学法
1.分子动力学法简介
分子动力学法（MD）的前身是统计物理学，经过近几十年的发展和验证，证明这是一种描述原子层次对象的有效方法。越来越多的科研工作者将分子动力学模拟与理论分析和实验观察相提并论，并称其为第三种科学研究手段，也称为“计算机实验”手段，该方法在诸多研究微观物质的学科中大放光彩。
20世纪50年代，Alder等使用分子动力学理论，验证了钢球模型下气体和液体的状态方程，并取得了尝试性的成功，这是第一次将分子动力学模拟方法运用到研究物质宏观性质上。但当时由于受模拟设备性能的制约，模拟的原子数量、空间尺度和时间步长都受到很大限制。1964年Rahman利用Lennard-Jone势函数法对液态氩性质进行了验证模拟。1977年Rychaert等将约束动力学应用到分子动力学模拟中。1984年Berendsen等创造了恒压分子动力学方法，Berendsen恒压法的原理是将一个虚拟的“压浴”与模拟系统相结合，此方法在各向异性或各向同性系统均能达到稳定压强的目的，而且在各向同性系统中，元胞在三个方向上的尺度均能实现独立变化。1984年Nosé-Hoover等提出了恒温条件下的分子动力学法，由于等温等压系综和正则系综相较于微正则系综与宏观实验数据更为接近，其渐渐成为主流。1984年Daw等首次提出嵌入原子法（EAM），此方法的基本思想是把晶体的总势能分成位于晶格点阵上的原子核之间的相互作用对势和原子核镶嵌在电子云背景中的嵌入能两个部分，并根据实验数据选取对势和多体势的相互作用函数。嵌入原子法较准确描述了多元素结构之间的作用关系，近年来常用来描述金属体系。1985年面对半导体嵌入原子法势函数难以选取的问题，Car等在传统的分子动力学中引入了电子的虚拟动力学，从而提出了第一性原理分子动力学法。20世纪末期，Larid等将辛算法引入分子动力学模拟，由于辛算法的保结构特性，从而允许进行更长时间的模拟。
近年来，由于分子动力学模拟的诸多特性，其已成为一个重点研究领域，大量海内外研究者已经在此取得了实质成果。但分子动力学模拟结果与宏观实验结果相符合的程度在于势函数的选取，一个准确合适的势函数往往能事半功倍。
为了得到准确的势函数，研究工作者选择从量子轨道理论来获得更为准确的势函数。这种基于量子轨道理论的分子动力学法也称为现代分子动力学法(Modern MD)。
2.分子动力学法国内外研究现状（1）分子动力学模拟在材料科学中的应用 根据相对原子间作用势不同，分子动力学可分为经典分子动力学和现代分子动力学。前一种方法计算量较小，可以用来解决体系规模较大的问题。后一种方法由于获取原子间作用势，使用过程中不需要经验参数，准确性高，但计算量较大，只适用于体系规模较小的问题。
在经典分子动力学方面，国外学者F.A.Celik等利用分子动力学模拟方法，采用Sutton-Chen的嵌入原子作用势(SCEAM)，通过聚类分析研究了三元合金系统的结晶过程，结果发现：纳米尺寸的三角带结构在退火温度为500K的结晶过程发生了非晶态转变。Kim等通过模拟纳米多晶镁的拉伸过程，认为应力条件的变化会引发滑移、孪晶和晶界迁移等不同的变形机制。Keonwook Kang等采用修正的嵌入原子作用势研究了尺寸和温度对于纳米线的硅断裂机制的影响，揭示了裂纹形核是由解离断裂引起的，剪切失效是由位错形核引起的。
在国内，朱志雄等采用分子动力学法对NiAl和NiAl合金在不同冷3却速度下的凝固过程进行了研究，分析了凝固过程中不同温度下的偶分布函数、能量和体积的变化。王卫东等基于EAM势，采用分子动力学法对超细镍纳米线在［100］晶向的拉伸性能进行了研究，并对其温度相关性和拉伸应变速率相关性进行了探讨。张晓泳等利用分子动力学模拟研究了Ti-Al 纳米杆的单向拉伸变形过程，比较分析了不同拉伸速率、拉伸温度以及Al含量对Ti-Al应力-应变关系及其塑性变形行为的影响。袁林等人使用Voronoi法构建出拉伸方向无表面效应的多晶纳米线模型，并模拟了各种预制晶粒大小条件下的纳米丝线单轴拉伸，算出了银纳米丝线的各种特征值。梁力等利用分子动力学模拟方法分别研究了空位、自间隙杂质原子、杂质He 原子等缺陷对金属Ti 样品的力学性能的影响，对完整晶格的金属Ti 在不同拉伸应变速率下的应力-应变曲线进行了计算。樊倩等采用分子动力学模拟方法，研究了层厚度和应变速率对铜-金多层复合纳米线在均匀拉伸载荷下力学性能的影响,并分析了铜-金位错成核机理。
虽然经典分子动力学采用势函数进行模拟，计算得到的一些数据与实验值相符。但是对于不同的问题，可能需要确定不同的经验参数。这就为研究者带来了非常大的麻烦。
在现代分子动力学的研究方面，Jong Bae Jeon等利用分子动力学研究了晶粒尺寸对于纳米晶系的体心立方Fe的变性行为的影响，主要的变形机制从位错的滑移变为晶粒边界的移动。Helio Tsuzuki利用分子动力学模拟了Cu的快速位错，结果表明位错的运动的速度可以接近声速或者超声速。
祝江波等基于从头计算分子动力学法，对液体和非晶态的NiAl3合金结构进行了研究。Ren等基于第一性原理，采用修正的嵌入原子势模拟不同晶格常数的材料界面分子结构，结果发现：微小改变的势能极大影响界面的分子结构，同时也观察到了孔洞和扩散。（2）裂纹萌生和扩展的分子动力学模拟现状 找出材料内部裂纹萌生和扩展的规律一直是材料工作者急需解决的一个难题。近年来，国外研究学者取得了一些可喜的成绩。K.Nishimura等通过分子动力学模拟了上百万的原子，利用Johnson对势，清楚显示了α-Fe材料晶粒边界的塑性变形过程。Harold S.Park等模拟了单晶面心立方纳米线的拉伸和压缩，通过研究金、铜、镍这三种不同的面心立方（fcc）材料，发现纳米线的变形机制为一个材料类别、应力状态、应力与晶界夹角以及纳米线粗细有关的函数。Majid Karimi等利用嵌入原子模型方法在Ⅰ型加载情况下，研究了单晶镍在有缺陷和没有缺陷下的裂纹扩展情况。D.Terentyev等在不同应变速率、温度和裂纹形状的条件下研究了bcc和fcc中金属裂纹的扩展和钝化行为。结果表明，分子动力学是研究微观裂纹萌生和扩展的有效方法。
国内一些研究学者中，单德彬等采用Morse势，运用分子动力学模拟方法研究了单晶铜弯曲裂纹萌生和扩展机理，发现晶体内部产生的空位源于应变能的不断累积，材料的裂纹萌生于空位，裂纹的缺陷促进了裂纹的萌生和扩展。郭雅芳利用分子动力学模拟方法，对裂纹扩展及相关尺寸行为进行了研究，发现在bcc铁中，Ⅰ型裂纹在低温时为脆性解离扩展，并且随着温度的升高，观察到了位错的发射。王晓娟等基于分子动力学法，运用Morse势函数，模拟了单晶铝预制初始裂纹扩展过程。结果表明，导致裂纹尖端出现钝化最主要的原因是裂尖处发射位错。裂尖处能量畸变，裂纹逐渐扩展。曾祥国等人使用修正嵌入原子法（MEAM）模拟分析了镁合金断裂失效和裂纹尖端扩展机制。结果表明：不同类型的预制裂纹（如缩孔型和锋锐型裂纹）的成长方式也存在很大的差异。郭巧能等用EAM势模拟了温度对超薄铜膜疲劳性能的影响，分析原子结构图得出铜薄膜疲劳损伤进化过程为空位聚集→空隙形成→裂纹萌生→断裂。通过铜薄膜总能以及应力循环变化曲线，总结出了热浴条件与铜薄膜疲劳寿命的联系。（3）孔洞演变行为的分子动力学模拟现状 由于材料在制造和使用过程中不可避免会出现如孔洞、夹杂等组织缺陷，而材料内部裂纹扩展也往往伴随着孔洞一系列的演变。因此，孔洞的演变规律也成为一个研究的热点。
国外学者Seppälä等在对Cu中两个初始半径R=2.2nm、间距L=12.2nm的A、B孔洞的贯通聚结行为进行了分子动力学模拟，发现随着孔洞尺寸的增长，当两孔洞壁的间距缩小至约一个孔洞半径的时候两者发生贯通，聚结成一个较大的孔洞。Eduardo M.Bringa等通过分子动力学模拟方法研究了特殊位错环的发射和向外扩张，结果发现，在纳米晶体中孔洞形核和增长的临界应力要远远小于在单晶中晶粒边界上有效形核位置的临界应力。Tapan G.Desai等采用了分子动力学模拟方法研究了含孔洞直径为φ2.2nm的单晶UO。结果发现：2孔洞尺寸在微米级别时，表面扩散控制机制与晶格扩散控制机制相互交叉，相互混合。Aude Simar等采用分子动力学模拟了单晶镍滑移分解的刃型位错和孔洞之间的相互作用，研究了孔洞的尺寸、相互分离机制和位错的动力学响应机制对材料强度的干扰。
国内一些研究学者中，赵艳红等利用分子动力学法，对含孔洞的金属铜进行拉伸模拟，发现随着拉伸应力的增加，模型经历弹性均匀拉伸→局部面心立方（fcc）到密排六方（hcp）的相变及缺陷的产生→缺陷积累产生微裂纹或空洞→材料断裂的过程。陈军等利用分子动力学法和有限元法相结合的多尺度方法，对含孔洞金属材料在冲击加载条件下的动力学行为进行了研究，发现在孔洞坍塌过程中形成局部热点的主要原因是过程中出现的微喷射原子的压缩，局部绝热剪切带的形成与孔洞坍塌产生的位错和局部热点有关。张宁等利用分子动力学法，对在单向拉伸载荷作用下含孔洞双晶铜的力学行为进行了研究，同时也探讨了晶粒内部孔洞和晶界孔洞对晶体力学行为的影响。陈明等通过分子动力学法，分别对无孔洞和有孔洞的纳米单晶铜杆，运用EAM势函数研究了其拉伸特性。结果发现：沿拉伸方向，孔洞的中间位置应力集中程度最高，在孔洞的两端应力集中程度最低。1.4 本章小结
本章阐述了铝及铝合金铸轧成形及裂纹扩展的研究意义，分析了铝及铝合金铸轧成形及裂纹扩展研究发展现状，并重点研究了元胞自动机法、有限元法、有限差分法及分子动力学法。第2章 基于元胞自动机的铝铸轧微观数值模拟2.1 概述
在铝双辊铸轧过程中，材料凝固和成形微观组织取决于铸轧工艺参数的控制，而微观组织的不同又对其使用性能产生很大影响，过去的组织优化研究是对不同条件下制备的试样进行金相实验，这样不仅要浪费大量的人力、物力、财力，而且有一定的盲目性。而微观组织的数值模拟在这方面有很大的优势，利用计算机在晶粒尺度上模拟铝带微观组织的形成过程，做小量的实验就可以预测铝带的微观组织并推断其力学性能，工艺参数与组织的定量关系，为铝带的工艺控制及改善微观组织提供了可靠的依据。随着计算技术的不断发展，各种模拟方法也纷纷出现。主要的模拟方法有确定性方法、随机性方法及相场方法。确定性模型可以把凝固过程中的质量守恒方程和形核长大模型耦合起来，在考虑宏观偏析和固态传输时更接近于实际凝固过程，但是它不能处理晶体生长过程中的一些随机过程，难以考虑晶体学的影响，所以无法模拟凝固时枝晶的生长过程及形貌。而随机性模型只能将能量方程与形核长大模型耦合起来，更适合于描述柱状晶的形成以及柱状晶等轴晶之间的转变。它主要有蒙特卡罗法和元胞自动机法。尽管蒙特卡罗法被证明能产生同实际铸件组织相似的晶粒结构，但它缺乏物理基础。而相场方法用统一的控制方程，不必区分固液相及其界面，不必跟踪固液界面，在模拟晶粒三维生长方面有独特的优势，但其计算量非常大，其数值模型求解方法的计算效率还较低。在求解复杂相场模型时，只能依托大型工作站对简单模型进行计算。综合以上各自的优缺点进行考虑，采用元胞自动机法进行铸轧过程微观组织的模拟和预测，找出铸轧过程凝固微观组织形成和生长规律对于优化铸轧工艺参数、获得高质量的铸坯是一个既经济又切实可行的方法。2.2 微观组织数值模拟的元胞自动机模型2.2.1 形核模型
根据形核理论，在均质形核与非均质形核两种基本的形核机理中，对实际生产有实际意义的是整体液相中通过外来质点或基底所发生的非均质形核过程。这种质点可以是金属液中原有的，也可以是人工添加的。在微观组织的模拟过程中，对非均质形核的处理有两种方法，即瞬时形核和连续形核。
1.瞬时形核模型
瞬时形核(Instaneous Nucleation)模型，假设所有晶核都是在同一温度即形核温度下形成的。在一定过冷度ΔT时的形核率可表示为
式中，k是正比于熔体原子与形核质点碰撞频率的常数；n是初10始形核基底密度； n是下一时刻晶粒和形核质点密度；T是温度；k12是与晶核、形核质点和液体间界面能相关的常数。
该模型依据经典凝固理论，形核率与过冷度成指数关系，表面存在形核临界过冷度。该模型已用于等轴共晶生长模型，便于计算凝固过程中的固相率，但不能解释凝固过程中其他条件对最终晶粒大小、形态的影响，不能准确预测晶粒度。对于具有很窄结晶区的合金，推荐使用瞬时形核模型，因为这种模型节省运算时间。
2.基于正态分布的形核模型
采用基于正态分布的形核模型，来描述铝带铸轧过程中的晶核数量、位置及其变化。在这个形核模型中，假设形核现象发生在一系列不同的形核位置上，而这些形核位置可由连续的而非离散的分布函数dn/d(ΔT)来描述。在某一过冷度ΔT时所形成的晶粒密度n(ΔT)即可由对该分布曲线的积分求得，即
式中，ΔT是过冷度；ΔT是平均形核过冷度；ΔT是标准曲率过Nσ冷度；n是异质形核基底的数目。max
考虑到型壁和液相内部异质形核基底的差异很大，因此采用两组不同参数的正态分布来进行控制。正态分布的参数一般只能通过参照和估计来确定，在具体的模拟中可根据不同工艺条件对形核的影响进行调整。这一形核模型的具体实现一般是预先按照分布参数把形核位置和形核过冷随机分配到元胞中去，这样在计算开始之后，只需要比较当前元胞的实际过冷和核心元胞的形核过冷就可以判断是否形核。2.2.2 生长模型
晶体的生长从原子的尺度上说，意味着原子在固液界面上不断地堆积。根据固液界面的微观结构不同，可以将其划分为粗糙界面和光滑界面。在此基础上，晶体可能以连续生长、二维台阶生长、螺型位错生长等机制长大。另一方面晶体的生长则表现为宏观上的固液界面向前推进。这一过程首先受到热扩散的影响，因为结晶释放的潜热需要排走。对于合金而言，晶体的生长还受到溶质扩散的影响，因为固、液相的成分不同造成了界面前沿的溶质再分配。此外，晶体的生长还与界面能作用和界面动力学效应有关。
根据固液界面前沿的温度梯度和成分梯度的不同，界面可能呈现不同形态。当界面前沿的温度梯度为负时，界面处的凸起将处于过冷熔体中，因而其生长得到加强，最终将会破坏界面的稳定形成枝晶组织。当界面前沿的温度梯度为正时，对于纯金属而言，界面处的凸起将处于过热状态而熔化，生长界面将保持为稳定的平界面；但对于合金而言，界面前沿可能会由于溶质富集(对于平衡分配系数小于1的合金)而形成成分过冷，使稳定的平界面生长遭到破坏而产生胞状组织或枝晶组织。在实际的凝固过程中，枝晶组织最为常见。
晶粒的生长不仅涉及尖端的稳态生长行为，而且涉及非稳态分枝结构不断产生和演化。下面不仅对晶粒生长的有关理论问题进行了阐述，并且对相应的理论模型进行了推导。在此基础上建立晶粒生长的数学模型，并提出相应的数值计算处理方法。对于合金而言，在常规铸轧条件下凝固时，晶粒的生长主要伴随着溶质扩散和表面能效应这两个物理过程。其中热扩散和溶质扩散将促使界面失稳，而表面能则作为一种稳定性力量使界面维持平衡，从而使晶粒保持稳态生长。若以固液界面为原点建立移动坐标系，则当界面以速度V沿界面法向n方向移动时，界面前沿的温度场和溶质场可以由以下两式给出，即
但对上述两式的稳态求解并不容易，因为界面的形状并不是已知条件，而需要作为求解的一部分，同时还必须通过一种自恰的方式使界面形状在生长中保持不变。严格的形状恒定求解非常复杂，求解结果表明它非常接近一个旋转抛物面。Invanstov首先对这一旋转抛物面模型进行了严格的数学求解，得到
式中， Ω是无量纲过饱和度； C 是合金原始成分； T是熔体温0∞*度； T是界面温度；Iv（P） 是 Invanstov 函数； P是溶质 Péclet C数； P是热 Péclet 数； D是溶质扩散系数； α是热扩散系数； R TLL是晶粒尖端半径； V 是晶粒尖端生长速度；是界面平衡液相成分； L 是结晶潜热； C是恒压热容； k 是溶质平衡分配系数。P0
但通过这一关系式并不能求得晶粒尖端生长速度V和尖端半径R，而只能够求得它们的乘积RV，因此，还需要其他的约束条件来进行约束。Langer等根据界面稳定性理论提出将R=λ作为一个约束条C件，其中λ是最小临界扰动波长。这一条件可以写成如下形式，即C
式中，m是液相线斜率；G是界面处的成分梯度；ξ是P的函LCCC*数，在P<1时，ξ≈1；G是界面处的平均温度梯度；σ是稳定性常数，CC2其理论值为1/（4π）；Γ是Gibbs表示Tompson 常数。
这一约束条件也称为临界稳定性判据，根据 IMS （Invanstov solution＆Marginal Stability criterion） 得到的晶粒尖端半径、生长速度和过冷度之间的关系与实验数据取得很好的一致，并且实验数据显*示，在不同过冷度下， σ在很窄范围内变动。这说明了确实表现出稳定性常数的特性，与过冷度和熔体流动无关。这一过冷熔体中自由晶的生长模型最早由Lipton等人提出，因此这个模型被称为LGK模型。下面对这个模型进行了详细的介绍。
对于过冷熔体中生长的晶粒，过冷度由以下几部分组成。
曲率过冷度，这是由于晶粒生长界面的曲率引起平衡液相线温度的改变。
式中，ΔT是曲率过冷度；K是界面曲率；σ是表面能；ΔS是体Rf积熔化熵。
成分过冷度，这是由于界面前沿富集了大量的溶质，从而引起界面处的温度与前方熔体的液相线温度形成差距（对于平衡液相成分小于1的合金）。
解式（2-6）得到*
由于界面温度T与熔体温度T之间还存在着温差，即∞
解式（2-7）得到
由上述式（2-12）、式（2-14）和式（2-16）可以得到
根据最小临界波长判据即式（2-11），可得到晶粒尖端半径为
利用=k及式 （2-6） 可以得到0
同样的道理考虑到晶粒尖端的热平衡有
晶粒尖端的温度梯度可以表示为
式中，λ是固体的热导率；λ是液体的热导率。若假设固相和液SL相的热导率相同，并考虑到Invanstov解中晶粒的生长是一个等温面（G=0），由式（2-21）和式（2-22）可以得到S
将式（2-20）、式（2-23）代入式（2-18） 并认为在P较小的情C况下ξ≈1就得到C
在给定总的过冷度下，根据式（2-17）、式（2-24） 可以唯一地求得晶粒的尖端生长速度V与晶粒尖端半径R。这个模型被称为LGT模型。
Kurz等对于枝晶在定向条件下的生长进行了研究，由于定向条件下的温度梯度已知，只需要将式（2-20）代入式（2-18）并把R写成2PD/V，整理后可以得到一个关于V一元二次方程，即CL
式中，P是溶质Péclet数；Iv(P)是Invanstov函数。CC
在给定P后就可以求得速度V,并由P=RV/2D就可以得到晶粒尖CCL端半径R。这一过冷熔体中自由晶的生长模型最早由Kurz等提出，因此这个模型被称为KGT模型。2.2.3 溶质扩散模型
1.溶质扩散模型的建立
要完整地描述枝晶的生长行为，必须综合考虑到热扩散、溶质扩散、流动、界面能以及高速生长时的动力学效应。但由于它们分别在各种尺度和不同的条件下起作用，此处首先建立一个基本模型，在此基础上可以根据情况对基本模型进行扩展。考虑一个最简单的情况：枝晶在过冷熔体中生长，熔体的过冷度ΔT为已知的恒定值。模型的基本假设如下。
1）考虑到热扩散的尺度比溶质扩散高出3～4个数量级，因此忽略枝晶生长中的热扩散，认为在枝晶生长过程中熔体始终是等温的。
2）在过冷度不大的情况下，忽略动力学过冷，也不考虑高速生长时的动力学效应。这一效应包括固、液相线斜率以及分配系数随生长速度的变化。
3）考虑到溶质在液相中的扩散系数比在固相中高出3个数量级，因此忽略溶质在固相中的扩散。
4）不考虑熔体的流动。
5）认为界面始终处于平衡状态，界面两侧的固液相成分服从
2.界面元胞的生长
在假设1）、2）下，熔体总的过冷度由曲率过冷度和成分过冷度组成。在前面计算曲率过冷度时只考虑枝晶尖端的情况，但此处是对枝晶各处生长界面而言，因此在计算曲率过冷度时要考虑界面能各向异性的影响。对于处于面心立方的铝而言，界面能各向异性可以表示为
式中，σ是各向同性时的界面能； θ是界面法向与坐标轴正向的0夹角；ε是界面能各向异性强度；θ是择优生长方向与坐标轴正向的0夹角。
在考虑了界面能各向异性后，曲率过冷度可以写成
在给定总的过冷度后，界面平衡液相成分可由下式求到，即
由于界面平衡液相成分与远离界面处的平衡液相成分之间存在着成分梯度，因此在这一成分梯度的作用下，会排除多余的溶质并向前推进。通过求解界面速度来求解固相分数增量。有另外的一种方法不用求解界面速度，而是基于界面元胞与液相元胞之间的溶质扩散来获得固相分数增量。考虑到与界面元胞相邻的四个元胞中肯定存在一个液相元胞，从而溶质就会从界面元胞流向液相元胞，流出的溶质为ΔC，则这一溶质平衡关系可以表示为
式中，nL是界面元胞近邻中的液相元胞；C是液相元胞nL的成nL分；Δ是溶质排除的时间间隔，即时间步长；ΔX是元胞尺寸。t
固相分数增量与溶质的排除满足如下的关系，即
由于界面元胞在生长过程中，可能还有多余的溶质成分被排入到周围的液相元胞中，因此有必要对液相元胞进行溶质扩散计算。
3.溶质再分配
溶质再分配是整个模型计算中一个非常重要的环节，这一问题以前的解决方法是，在界面元胞内部，可以将其看成由成分为C的固S相f和成分为C的液相（1-f）组成，并且SLS
但需要注意的是：
首先，界面元胞的固相成分C及液相成分C并不必须满足SL
界面元胞的平均成分并不能由下式来表示，即
因为只有对于界面处才满足
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