作者：刘靖贤
出版社：社会科学文献出版社
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弗雷格逻辑主义研究试读：
弗雷格著作缩写CN Conceptual Notation and Related Articles，ed. and trans. with a biog. and introd.by T.W.Bynum，Oxford：Oxford University Press.
Gl Die Grundlagen der Arithmetik，Breslau：W.Koebner.
The Foundations of Arithmetic，J.L.Austin （trans.），Oxford：Blackwell.
GgⅠ Grundgesetze der Arithmetik，begriffsschriftlich abgeleitet，Jena：H.Pohle，Vol.Ⅰ.
The Basic Laws of Arithmetic：Exposition of the System，ed. and trans. with an introd.by Montgomery Furth，Los Angeles：University of California Press.
GgⅡ Grundgesetze der Arithmetik，begriffsschriftlich abgeleitet，Jena：H.Pohle，Vol.Ⅱ.
PW Posthumous Writings，trans. by P.Long and R.White，Oxford：Blackwell.
PMC Philosophical and Mathematical Correspondence，B.McGuinness （ed.），H.Kaal （trans.），Oxford：Blackwell.
CP Collected Papers on Mathematics，Logic，and Philosophy，B.McGuinness （ed.），M.Black et al.（trans.），Oxford：Blackwell.导言
弗雷格是数理逻辑的创始人和分析哲学的奠基人，然而他的大部分工作都致力于研究一种被称为逻辑主义的数学哲学。这种哲学把算术还原为逻辑，也就是说，用逻辑符号定义算术符号，从逻辑公理推出算术公理，从而通过逻辑的分析性和先天性来保证算术的分析性和先天性，把算术建立在可靠的基础上。
为了执行其逻辑主义方案，弗雷格在《概念文字》中设计了一种不同于亚里士多德逻辑和布尔逻辑的新逻辑系统，这个系统实质上是二阶逻辑，它不仅包括一阶量化，也包括二阶量化，还隐含地使用了与概括公理等价的代入规则。概括公理是说，任意可表达公式都可以断定概念的存在：∃X∀x（Xx↔ϕ（x）） 其中X不在ϕ（x）中自由出现
后来，弗雷格又在《算术基础》中分析了数的概念，给出了数的定义（包括隐定义和显定义），并且以非形式化的方式说明如何在概念文字中从数的定义推出数的规律。《算术基本规律》是弗雷格逻辑主义的最终成果，他给出了一个严格的形式系统，这个系统实质上是由二阶逻辑和第五公理构成的理论。弗雷格在这个系统中推导出了关于自然数的规律。第五公理是说，两个概念的外延相同当且仅当这两个概念等价：εF=εG↔∀x（Fx↔Gx）
其中，ε是外延算子。然而，正当弗雷格从关于自然数的规律转向关于实数的规律时，罗素在弗雷格的系统中发现了悖论。罗素悖论根源于概括公理和第五公理的不一致性。
长久以来，人们一直认为，罗素悖论彻底瓦解了弗雷格的逻辑主义。然而，20世纪80年代，人们发现在弗雷格那里隐藏着一个重要结论：从休谟原则可以推导出算术的规律。休谟原则是说，两个概念的数相同当且仅当存在这两个概念之间的一一对应：#F=#G↔F≈G
其中，#是数算子，≈是F和G之间的等数关系。休谟原则和第五公理都被称为抽象原则，它们具有如下共同形式：§F=§G↔Σ（F，G）
其中，§是抽象算子，Σ（F，G）是F和G之间的等价关系。后来的研究结果表明，休谟原则与二阶逻辑是一致的，并且从二者可以推出皮亚诺算术公理。这一结果被称为弗雷格定理，它引发了新弗雷格主义（也被称为新逻辑主义或新抽象主义）的兴起。人们把由休谟原则和二阶逻辑构成的理论称为弗雷格算术。新弗雷格主义认为，如果弗雷格用休谟原则取代第五公理，就可以实现其逻辑主义方案。然而，弗雷格的目标是为算术奠定认识论基础，从逻辑规律推出算术规律，从而用逻辑的认识论地位保证算术的认识论地位，即通过逻辑的分析性和先天性保证算术的分析性和先天性。即使成功地把算术公理还原为二阶逻辑和休谟原则，仍然需要说明二阶逻辑和休谟原则的认识论地位。也就是说，二阶逻辑是不是纯粹逻辑，休谟原则是否具有分析性和先天性仍然有待进一步论证。与此相关，既然弗雷格本人已经证明了弗雷格定理，那么他本人为什么不放弃第五公理转而诉诸休谟原则呢？
新弗雷格主义围绕休谟原则展开了许多争论，这些争论主要分为两类：一类与凯撒问题（Caesar Problem）相关，另一类与良莠不齐反驳（Bad Company Objection）相关。凯撒问题是说，如何确定任意对象（例如，凯撒）是不是一个数。如果对象a形如#F，则根据休谟原则可以确定a是否与某个概念的数相同；否则，不能确定a是否与某个概念的数相同。良莠不齐反驳是说，如何把可接受的抽象原则与不可接受的抽象原则区别开来。休谟原则与二阶逻辑是一致的，所以它是合理的抽象原则。但是，第五公理与二阶逻辑是不一致的，所以它不是合理的抽象原则。
从弗雷格的逻辑主义到新弗雷格主义或新逻辑主义的发展过程表明，弗雷格的思想并没有过时，他的工作在当代哲学和逻辑研究中仍然具有举足轻重的意义。本书将对弗雷格的逻辑主义进行系统性研究，以当代新弗雷格主义及其相关争论为出发点，还原弗雷格本人的逻辑主义思想。除第一章（从逻辑到算术）作为预备性的知识介绍外，全书可以概括地划分为三个部分。第一部分是历史性工作，主要围绕弗雷格的三本著作展开，用现代逻辑符号重构出弗雷格本人的公理、规则、定义和定理。这部分内容包括第二章（《概念文字》中的形式证明）、第三章（《算术基础》中的形式证明）和第四章（《算术基本规律》中的形式证明）。第二部分是技术性工作，主要围绕罗素悖论展开，分别针对第五公理和概括公理给出避免罗素悖论的方案。这部分内容包括第五章（改变抽象原则）、第六章（区分抽象原则）、第七章（限制经典逻辑）和第八章（修正经典逻辑）。第三部分是哲学性工作，主要围绕凯撒问题展开，分别讨论数、外延、真值以及涵义在弗雷格逻辑和哲学中的重要作用。这部分内容包括第九章（凯撒与数）、第十章（凯撒与外延）、第十一章（真值问题）和第十二章（涵义问题）。
下面简述各章内容。
第一章（从逻辑到算术）介绍与二阶逻辑和二阶算术相关的背景知识。第一节介绍二阶逻辑的语言、演绎系统、语义和元理论。对一阶逻辑进行扩张可以得到自由变元逻辑、标准二阶逻辑和分支二阶逻辑。二阶逻辑的语义包括标准语义和非标准语义（亨金语义和一阶多类语义）。第二节介绍一阶算术与二阶算术的分层，包括Robinson算术、Nelson-Wilkie算术、Kalmar算术、Gentzen算术、Grzegorczyk算术、Parsons算术、Ackermann算术、一阶算术、直谓算术、非直谓算术、二阶算术等。
第二章（《概念文字》中的形式证明）用现代逻辑的符号重构出弗雷格在《概念文字》中的主要结论及其证明过程。《概念文字》第三部分的主要内容是证明命题98和命题133。命题98是说，如果在f序列中y在x之后，并且在f序列中z在y之后，则在f序列中z在x之后。可以不严格地把命题98表述为：x＜y→（y＜z→x＜z）
命题133是说，如果步骤f是多对一的，并且m和y在f序列中在x之后，则y属于以m为起点的f序列，或者y在f序列中在m之前。可以不严格地把命题133表述为：x＜m→（x＜y→y＜m∨m≤y）
弗雷格的目的是，在纯粹逻辑的基础上证明这两个通常看来必须依赖于直观才能证明的命题。
第三章（《算术基础》中的形式证明）用现代逻辑的符号重构出弗雷格在《算术基础》中的主要结论及其证明过程。《算术基础》第四章第三部分（§§70-83）的主要内容是证明任何一个自然数后面都跟随另一个自然数。首先，弗雷格定义了等数关系（一一关联）、后继关系（在数序列中紧跟着）、强祖先关系（在数序列中后于或先于）和弱祖先关系（属于以某个数为起点或终点的序列）。然后，根据这些定义，弗雷格证明了皮亚诺算术中的后继公理，即任何数都在数序列中被另一个数紧跟着。也就是说，在数序列中不存在最大数。这个证明过程实质上是把属于“在数序列中先于n”这个概念的数看作在数序列中紧跟着n的数。
第四章（《算术基本规律》中的形式证明）用现代逻辑的符号重构出弗雷格在《算术基本规律》中的公理、规则、定义和定理。《算术基本规律》包括六条公理，分别是关于否定、蕴涵、量词、等词、值域（外延）和定冠词的公理；也包括一系列推理规则，如子部分互换规则、假言易位规则、子部分合并规则、从罗马字母到德文字母的转换规则、第一推理规则、第二推理规则、第三推理规则、罗马字母的代入规则、德文字母改写规则、希腊元音字母改写规则等；还包括一系列定义，如应用算子、双值域的多对一性、双值域的多对一关联性、双值域的逆、数算子、0、1、后继关系的双值域、强祖先关系的双值域、弱祖先关系的双值域、无穷数、序对等。在《算术基本规律》第二部分“自然数规律的证明”中，弗雷格一共证明了484个关于自然数的定理，主要有休谟原则、后继关系的双值域的多对一性、后继关系的逆的双值域的多对一性、关于0的规律、关于1的规律、关于有穷数的规律、关于计数的规律、关于无穷数的规律等。
既然罗素悖论的根源是概括公理与第五公理的冲突，或者是二阶逻辑与抽象原则的冲突，那么避免罗素悖论的方案大致可以划分为两类：一类是让抽象原则顺从于二阶逻辑，通过弱化抽象原则来避免悖论；另一类是让二阶逻辑顺从于抽象原则，通过弱化二阶逻辑来避免悖论。本书第五章和第六章考虑前一类方案，第七章和第八章考虑后一类方案。
第五章（改变抽象原则）主要评述三种通过改变抽象原则来避免罗素悖论的方案。第一种方案是弗雷格本人提出的，他建议把第五公理修改为：εF=εG↔∀x（x≠εF∧x≠εG→（Fx↔Gx））
这个方案是弗雷格在遭遇罗素悖论后提出的补充方案，但后来的研究表明，这个方案并不能避免罗素悖论。第二种方案是用休谟原则替代第五公理。休谟原则是弗雷格本人提出的，但他并没有用休谟原则替代第五公理，莱特在弗雷格的《算术基础》中重新发现了休谟原则，由此提出了所谓新弗雷格主义。第三种方案是布勒斯提出的，他建议把第五公理修改为新公理：**F=G↔（Small（F）∨Small（G）→∀x（Fx↔Gx））
布勒斯证明新公理与二阶逻辑是一致的。
第六章（区分抽象原则）主要评述良莠不齐问题。第五公理、休谟原则和新公理都是抽象原则，既然有些抽象原则与二阶逻辑一致，有些抽象原则与二阶逻辑不一致，那么是否存在一个标准，能够把好的抽象原则与坏的抽象原则区别开来，这就是所谓良莠不齐问题。新弗雷格主义者提出了一系列区分抽象原则的标准，如一致性、保守性、稳定性等。虽然这些标准极大地深化了我们对抽象原则的理解，但是这些标准都面临着已知的或潜在的反例的挑战，都没能最终解决良莠不齐问题。笔者认为，弗雷格逻辑主义的实质是从第五公理（概括或外延的规律）推出休谟原则（数的规律），用休谟原则取代第五公理的做法违背了弗雷格的基本精神，所以笔者从改变抽象原则的方案转向限制二阶逻辑的方案。
第七章（限制经典逻辑）主要讨论三种通过限制二阶逻辑的概括公理来避免罗素悖论的方案。第一种方案是直谓概括公理，这是由新弗雷格主义者提出的。笔者的工作是揭示出直谓概括公理的局限性，即从直谓概括公理与公理版本的第五公理不能推出休谟原则。第二种方案是正概括公理，这是笔者在司寇伦等人工作的基础上提出的。虽然目前看来正概括公理还不足以实现弗雷格的逻辑主义方案，但笔者认为，在突破某些技术性瓶颈之后，这个方案的未来前景是光明的。第三种方案是分层概括公理，这是笔者在蒯因等人工作的基础上提出的。虽然与前两种方案相比这个方案可以推出更多的数学内容，但是由于一阶分层概括的一致性问题尚未解决，二阶分层的一致性仍然是一个开放问题。
第八章（修正经典逻辑）主要讨论在非经典逻辑的背景下如何避免罗素悖论。在弗雷格的逻辑系统中，他使用了三个逻辑常项，即否定、蕴涵和全称量词。通过改变这三个逻辑常项的意义，我们可以从经典逻辑得到非经典逻辑。例如，把二值否定修正为三值否定，由此得到多值逻辑；把实质蕴涵修正为严格蕴涵，由此得到模态逻辑；把有存在预设的量化修正为无存在预设的量化，由此得到自由逻辑。为了避免罗素悖论，本章给出了两种非经典逻辑方案，一种是基于三值原则的弗协调逻辑方案，另一种是基于严格蕴涵的模态逻辑方案。虽然这两种方案都可以避免罗素悖论，但是由于非经典逻辑的有限推理能力，这些非经典逻辑方案都不足以推出有实质内容的数学理论。
为数学奠定基础是弗雷格的哲学理想，在他执行逻辑主义方案的过程中还伴随着早期对心理主义的批判以及晚年的第三域思想。虽然晚年的弗雷格认识到其逻辑主义的失败，但他仍然坚信数学和逻辑的客观性。他所设定的第三域不仅包括真值和外延，也包括数和涵义。他认为，这些东西虽然不存在于物理世界，但仍然具有客观性。本书第九章至第十二章分别讨论数、外延、真值和涵义。
第九章（凯撒与数）主要讨论与数相关的凯撒问题。弗雷格放弃了用休谟原则取代凯撒问题，其根本原因是休谟原则不能解决凯撒问题。凯撒问题是说，休谟原则不能确定任意一个对象是不是一个数。本章详细考察了弗雷格在给出数的定义时如何提出凯撒问题，在此基础上评述了各种解决凯撒问题的方案，包括莱特的方案、赫克的方案、林奈博的方案、乌兹奎亚纳的方案和库克的方案，也包括笔者的解决方案。但笔者认为，如果从弗雷格的角度看，这些解决方案都不能令人满意，这似乎使得凯撒问题成为不可解的谜题。然而，无论如何，从当代哲学的视角看，凯撒问题深化了我们对形而上学、认识论和语义学的理解，在笔者看来，甚至当代分析哲学许多热点问题都在某种程度上体现了凯撒问题。
第十章（凯撒与外延）主要讨论与外延相关的凯撒问题。新弗雷格主义者认为，虽然休谟原则不能解决凯撒问题，但是第五公理也不能解决凯撒问题。也就是说，第五公理不能确定任意一个对象是不是一个外延。针对这个责难，笔者详细考察了弗雷格关于公理和定义的论述，在此基础上论证了如下观点：根据弗雷格的公理观和定义观，他把第五公理看作公理，作为公理的第五公理并不面临凯撒问题的挑战，但是休谟原则无论作为公理还是作为定义都不能回避凯撒问题的挑战。笔者认为，第五公理并不是关于外延的公理，而是关于概念的公理。为此，笔者详细考察了弗雷格的概念观，特别是他关于概念来源以及概念同一性标准的看法。
第十一章（真值问题）主要讨论弗雷格的真理论。“真”是一个语义概念，但弗雷格本人并没有在严格意义上发展出塔斯基所建立的形式语义学。在当代真理论关于紧缩论与膨胀论之间的争论中，许多学者把弗雷格和塔斯基看作紧缩论的先驱。但笔者认为这是一种误解。实际上，从弗雷格的相关论述本身并不能得出紧缩论，从塔斯基的真定义本身也不能得出紧缩论。与此同时，在对当代多元真理论进行批判考察的基础上，笔者认为，以多元真理论为代表的膨胀论并不是真正的实质真理论，它们面临着与凯撒问题类似的混合问题的挑战。虽然弗雷格本人并没有亲自看到塔斯基的真定义，但笔者认为，弗雷格或许对这个定义采取有限度的认可态度。最后，从弗雷格的视角出发，在融合塔斯基真理论的基础上，笔者提出了一种新的真理论，即分层真理论。
第十二章（涵义问题）主要讨论弗雷格的涵义理论。弗雷格认为，名称既有指称也有涵义。由此他被看作语言哲学中描述理论的先驱。但是描述理论遭到以克里普克为代表的指称理论的激烈批评，指称理论认为名称只有指称，没有涵义。在数学哲学中，弗雷格通过概念的分层以及外延的迭代来说明可数无穷多个数的存在。与此类似，在语言哲学中，在间接引语中所发生的指称转移现象也导致涵义的迭代，这在文献中被称为涵义无穷分层问题。本章首先简要回顾卡尔纳普、戴维森、达米特、卡普兰、丘奇以及伯奇关于涵义无穷分层问题的观点，在此基础上详细考察了克里普克对这个问题的解决方案。笔者的观点是，克里普克的方案是对弗雷格的误解，实际上，在弗雷格那里根本不存在涵义无穷分层问题。笔者从弗雷格本人关于涵义的论述出发，利用演绎定理，给出了一种消解涵义无穷分层问题的方案。
从整体上看，除了预备性的知识介绍（第一章）以及历史性的铺垫工作（第二章至第四章）外，本书主要由两大部分构成：逻辑部分（第五章至第八章）和哲学部分（第九章至第十二章）。从表面上看来，本书的逻辑部分所面对的核心问题是，如何在避免悖论的前提下找到一种解决方案从而实现弗雷格的逻辑主义。本书不仅回顾了已有的解决方案（例如，休谟原则和直谓逻辑），而且给出了一些新的方案（例如，正逻辑和分层概括）。然而，这些方案都不能完美地实现弗雷格的逻辑主义：要么这些方案的一致性是尚未解决的开放性问题，要么这些方案本身不能推导出足够多的算术内容。罗素悖论的解决并不是一个简单的问题，它是困扰整个20世纪数学哲学的难题。虽然从纯粹一致性角度考虑，人们可以提出许多解决罗素悖论的方案，但是也付出了沉重的代价，要么其所修改的非逻辑公理具有特设性，要么其所修改的逻辑系统变得非常弱，以至于偏离了通常意义上的数学推理。实际上，本书所提出的各种各样的解决罗素悖论的方案并不是为了实现逻辑主义，而是为了指明，罗素悖论的解决依赖于固定点定理（又称为不动点定理）。换言之，构造罗素悖论的对角线定理与消解罗素悖论的固定点定理是一个问题的两个方面。也就是说，人们多大程度上能够完美地消解罗素悖论取决于人们在多大程度上理解和运用固定点定理。
例如，罗素悖论所依赖的对角线结构来源于康托定理。康托定理是说，一个集合A的基数与其幂集的基数是不相等的，或者说，不存在和A之间的一一对应，即。而罗素悖论的消解取决于是否能够绕开这种对角线结构。如果把限制为它的真子集，则有可能找到′和A之间的一一对应，即。固定点定理恰好断言，满足什么样条件的函数存在固定点，即f（x）=x。如果把看作函数f，把等数（≈）看作相等（=），那么罗素悖论的消解实质上是寻找固定点，也就是说，与f（x）=x具有相同的形式。本书所给出的二阶正逻辑方案以及二阶多值逻辑方案都依赖于完备度量空间上的巴拿赫固定点定理。
本书的哲学部分是以凯撒问题为核心而展开的。从表面上看来，凯撒问题是说，如何区分（作为日常对象或具体对象的）凯撒与（作为数学对象或抽象对象的）数，这是弗雷格在《算术基础》一书中针对休谟原则而提出的。然而，凯撒问题并不仅仅与数有关，还与任何弗雷格式的通过抽象主义方式把数学还原为逻辑的方案有关。弗雷格为数学奠定基础的做法实际上是建立一种数学本体论，与此同时，通过数学公理来实现这种数学本体论的认识论通达。也就是说，通过数学公理给出通达数学对象的同一性标准，换言之，数作为数学对象究竟是不是凯撒。因此，弗雷格需要以凯撒这样的具体对象为参照系，来考察数学对象与具体对象的同一和差异。弗雷格在执行逻辑主义的还原方案时，又试图通过逻辑的本体论为数学本体论奠定基础，与此同时，通过逻辑公理来实现这种逻辑本体论的认识论通达。也就是说，通过逻辑公理给出通达逻辑对象的同一性标准，换言之，外延作为逻辑对象究竟是不是凯撒。因此，弗雷格仍然需要以凯撒这样的具体对象为参照系，来考察逻辑对象与具体对象的同一和差异。弗雷格不仅把数学对象还原为逻辑对象，而且把逻辑对象还原为概念，也就是说，数（作为数学对象）是由外延（逻辑对象）定义出来的，而外延（逻辑对象）是从概念本身派生出来的。至于究竟什么是概念，弗雷格认为，这是自明的，无须多言，有什么样的概念观就具有什么样的逻辑观，整个“概念文字”的逻辑系统就是建立在弗雷格概念观的基础上的。由此可见，弗雷格最终把数学本体论和逻辑本体论都奠基于概念本体论。
除了数和外延，真值与涵义也是弗雷格第三域中的成员，所以在派生的意义上，真值与涵义也与凯撒问题有关，不仅需要考察凯撒与真值的同一与差异，而且需要考察凯撒与涵义的同一和差异。本书把真值问题和涵义问题与当代哲学中的争论紧密结合起来。首先，当代真理论仍然面临着弗雷格真理论所面临的问题。对于弗雷格来说，如果真值是抽象对象，那么如何把真值（作为抽象对象）与凯撒（作为具体对象）区分开来？对于当代真理论来说，真值到底是抽象的、单一的空洞性质还是具体的、多重的实质性质？如果是后者，那么如何判定涉及不同论域的陈述的真值？例如，“凯撒是不是数”这个陈述既涉及日常论域也涉及数学论域，这就是当代多元真理论中的混合问题。由此可见，混合问题其实是凯撒问题的延伸。在这个意义上，多元真理论不仅不外在于弗雷格的凯撒问题，反而与之紧密相关。其次，当代分析哲学所争论的涵义无穷分层问题也与凯撒问题有关。虽然本书并没有直接讨论涵义与凯撒的同一与差异，但是涵义在特定语境中的同一识别问题是所有关于涵义问题争论的焦点，不论是弗雷格之谜还是信念之谜，都与涵义的同一识别标准有关。在分析哲学发展史上，涵义的语法解读和认知解读是两大传统，本书所提出的逻辑解读是在语法解读的基础上发展起来的。语法解读和逻辑解读是根本不同的：前者依赖于表达式的递归形成规则，只要两个表达式是由不同的符号构成的，那么这两个表达式的语法涵义就是不同的；后者依赖于公理系统或演绎系统，即使两个表达式是由不同符号构成的，但是只要它们相对于特定推理系统是等价的，那么它们的逻辑涵义仍然是相同的。第一章 从逻辑到算术
逻辑主义的目标是从“逻辑”的规律推出“算术”的规律。这里的“逻辑”和“算术”不同于我们通常意义上的逻辑和算术。在弗雷格看来，“逻辑”不仅包括一阶逻辑，也包括高阶逻辑和抽象原则；“算术”不仅包括自然数理论，也包括实数理论和复数理论。本章是后面章节的技术性准备。首先，介绍二阶逻辑，包括语法、语义和元理论。其次，介绍算术分层，包括原始递归算术、一阶算术、高阶算术和集合论。第一节 逻辑
一般来说，逻辑包括语言、演绎系统和语义。语言是合式公式的集合，而公式是有穷长的字符串。推演系统是证明的集合，证明是公式集Ф和公式ϕ之间的有序对，推演本身是证明的序列。如果存在从Ф到ϕ的推演，则ϕ是Ф的推演后承；如果ϕ是空集的推演后承，则ϕ是定理。如果不存在公式ϕ，使得ϕ和﹁ϕ都是Ф的推演后承，则Ф是一致的。如果合式公式的集合和推演的集合是递归的，则推演系统是能行的；如果推演系统是能行的，则定理集是递归可枚举的。语义是模型的集合，而模型是论域和解释的集合。语义后承是由满足关系定义的，满足关系与赋值密切相关。如果任给赋值s，M都满足ϕ，则M是ϕ的模型；如果任给赋值s，M都满足Ф的成员，则M是Ф的模型。如果满足Ф的任意模型和赋值也满足ϕ，则ϕ是Ф的语义后承；如果ϕ是空集的语义后承，则ϕ是有效的。ϕ是有效的，当且仅当ϕ的全称闭包是有效的。如果存在满足Ф的成员的模型和赋值，则Ф是可满足的。ϕ是可满足的，当且仅当ϕ的存在闭包是可满足的。如果定理都是逻辑真理，并且推演后承是语义后承，则逻辑是可靠的；如果逻辑真理是定理，并且语义后承是推演后承，则逻辑是完全的。
二阶逻辑是在扩张一阶逻辑的基础上得到的，不同的扩张方式可以得到不同的二阶逻辑。下面分别介绍自由变元逻辑、标准二阶逻辑[1]和分支二阶逻辑。
自由变元逻辑是在一阶逻辑的基础上增加关系变元和函数变元而得到的。除一阶逻辑的形成规则外，还包括如下形成规则：
如果f是n元函数变元并且t，…，t是项，则ft，…，t是项。1n1n
如果R是n元关系变元并且t，…，t是项，则Rt，…，t是原子1n1n公式。
如果语言只包含关系变元，不包含函数变元，则可以用n+1元关系变元表示n元函数变元；如果语言只包含一元关系变元，不包含多元关系变元，则可以用n元组表示n元关系变元。
标准二阶逻辑是在自由变元逻辑的基础上增加二阶量化而得到的。除自由变元逻辑的形成规则外，还包括如下形成规则：
如果ϕ是公式并且R是关系变元，则∀Rϕ是公式。
如果ϕ是公式并且f是函数变元，则∀fϕ是公式。
与一阶逻辑的情况类似，可以用二阶全称量词定义二阶存在量词：∃Rϕ=：﹁∀R﹁ϕ∃fϕ=：﹁∀f﹁ϕ
另外，在标准二阶逻辑中，等词是可以定义的：（t=s）=：∀X（Xt↔Xs）
也就是说，在标准二阶逻辑中，等词是可以通过定义引入的；换言之，带等词的标准二阶逻辑和不带等词的标准二阶逻辑没有实质性区别。
分支二阶逻辑是在标准二阶逻辑的基础上为每个关系变元增加下标，它表示关系变元的层次，例如X，…，X。分支二阶逻辑一般不0n包括带下标的函数变元。
标准二阶逻辑的公理系统是在一阶逻辑公理系统的基础上增加如下关于二阶量词的公理：
∀Xϕ（X）→ϕ（T），其中T对X代入自由，或者T是关系常项
从ϕ→Ψ推出ϕ→∀XΨ（X），其中X不在ϕ中自由出现。
∀fϕ（f）→ϕ（h），其中h对f代入自由，或者h是函数常量
从ϕ→Ψ推出ϕ→∀fΨ（f），其中f不在ϕ中自由出现。
在此基础上还增加关于关系的概括公理：∃R∀x…∀x（Rx…x↔ϕ（x，…，x）），其中R不在ϕ（x，…，1n1n1n1x）中自由出现。n
它断定，任意可表达公式都可以断定一个关系的存在。还可以增加关于函数的概括公理：∀R（∀x…∀x∃！yRx…xy→∃f∀x…∀xRx…xfx…x）1n1n1n1n1n
它断定，任意满足特定条件的关系都可以断定一个函数的存在。标准二阶逻辑的概括公理也被称为非直谓概括公理。另外，还可以增加选择公理：∀R（∀x…∀x∃yRx…xy→∃f∀x…∀xRx…xfx…x）nnnnn11111
它断定，如果存在满足特定条件的y，则存在一个函数f，它可以挑选出这样的y。
标准二阶逻辑不需要关于等词的公理，因为根据等词的定义可以推出关于等词的公理，其中需要用到概括公理。
对于自由变元逻辑，因为它没有二阶量化，所以无法在其中表达概括公理。但是可以在其中表达如下代入规则：[2]从ϕ（X）推出ϕ（Ψ（x）），其中Ψ对X在ϕ中代入自由。
它断定，任意可表达公式都可以替换自由关系变元。还可以增加如下函数变元消除规则：**从ϕ推出ϕ，其中ϕ是用关系变元替换ϕ中的函数变元所得到的结果。
事实上，由于没有二阶量化，自由变元逻辑中的所有自由变元都被前束全称量词约束，也就是说，ϕ（X）相当于∀Xϕ（X），﹁ϕ（X）相当于∀X﹁ϕ（X），ϕ（X）→Ψ（X）相当于∀X（ϕ（X）→Ψ（X））。
可以对标准二阶逻辑的概括公理进行某种限制，例如直谓概括公理：∃X∀x（Xx↔ϕ（x）），其中ϕ（x）不包含二阶量词。
也就是说，只有自由变元逻辑的公式可以断定一个关系的存在。包括直谓概括公理的二阶逻辑被称为直谓二阶逻辑。直谓二阶理论是一阶理论的保守扩张。
在分支二阶逻辑中，可以增加分支直谓概括公理：∃X∀x（Xx↔ϕ（x）），其中X的层次高于ϕ（x）中出现的变元的层iii次。
另外，还可以增加还原公理：∀X∃Y∀x（Yx↔Xx）n00n
它断定，任给n层关系，都存在一个与之等价的0层关系。
二阶逻辑的语义包括标准语义和非标准语义，其中非标准语义又分为亨金语义和一阶语义。
标准模型是M≤D，I＞，其中D是一阶变元的取值范围，是二阶变元的取值范围，I是解释。令s是赋值。项t的指称记为d（t）。满足关系⊨的定义是：
如果d（t）∈s（X），则M，s⊨Xt。
如果任给与s合同（除X外）的s′，都有M，s′⊨ϕ，则M，s⊨∀Xϕ。
如果任给与s合同（除f外）的s′，都有M，s′⊨ϕ，则M，s⊨∀fϕ。
如果任给s，M，s⊨ϕ，则M是ϕ的模型。如果任给M，任给s，都有M，s⊨ϕ，则ϕ是标准有效的。如果存在M，存在s，使得M，s⊨ϕ，则ϕ是标准可满足的。如果任给M，任给s，如果M，s⊨Ф，则M，s⊨ϕ，则ϕ是Ф的标准后承。
满足关系之于标准二阶逻辑正如拟满足关系之于自由变元逻辑。拟满足关系的定义是：如果任给与s合同（除二阶变元外）的s′，都有M，，则M，。
显然，M，当且仅当M，s⊨∀Xϕ（X）。拟有效、拟可满足和拟后承的定义与标准有效、标准可满足和标准后承的定义类似。
亨金模型是HM≤D，D，f，I＞，其中D是一阶变元的取值范围，D是关系变元的取值范围，f是函数变元的取值范围，I是解释。令s是亨金模型的赋值。亨金满足关系⊨的定义是：H
如果d（t）∈s（X），则HM，s⊨XtH
如果任给与s合同（除X外）的s′，HM，s′⊨ϕ，则HM，s⊨∀XϕHH
如果任给与s合同（除f外）的s′，HM，s′⊨ϕ，则HM，s⊨∀fϕHH
亨金有效、亨金可满足和亨金后承的定义与标准有效、标准可满足和标准后承的定义类似。拟亨金满足关系之于亨金满足关系⊨正如拟满足关系之于标准满足关系⊨。H
如果D是D上的所有关系，f是D上的所有函数，则亨金模型HM被称为完整模型FM。令M是标准模型，FM是相应的完整模型。完整模型和标准模型之间存在如下关系：
任给公式ϕ，任给赋值s，M，s⊨ϕ当且仅当FM，s⊨ϕ。H
亨金语义和标准语义之间存在如下关系：如果ϕ是亨金有效的，则ϕ是标准有效的；如果ϕ是标准可满足的，则ϕ是亨金可满足的；如果ϕ是Ф的亨金后承，则ϕ是Ф的标准后承。
一阶模型是FOM≤D，D，f，＜I，p，a＞＞，其中D是一阶变元的取值范围，D是关系变元的取值范围，F是函数变元的取值范围，I是解释，p是D×D的子集，即“谓述”关系的解释，a是从D×f到D的函数，即“应用”函数的解释。令s是一阶模型的赋值，令t的指称是d（t）。如果f是函数变元，则f（t）的指称是a（d（t），s（f））。一阶满足关系⊨的定义是：FO
如果（d（t），s（X））∈p，则FOM，s⊨Xt。FO
如果任给与s合同（除X外）的s′，FOM，s′⊨ϕ，则FOM，FOs⊨∀Xϕ。FO
如果任给与s合同（除f外）的s′，FOM，s′⊨ϕ，则FOM，s⊨FOFO∀fϕ。
一阶有效、一阶可满足和一阶后承的定义与标准有效、标准可满足和标准后承的定义类似。
令t在亨金模型下和一阶模型下的指称都是d（t）。令f（t）在亨金模型下的指称是d（f（t）），f（t）在一阶模型下的指称是Hd（f（t））。令s是亨金模型的赋值，s是一阶模型的赋值。关于FOHFO项，有如下关系：d（f（t））=d（f（t））当且仅当a（d（t），s（f））=s（f）HFOFOFOH（d（t））H
关于原子公式，有如下关系：FOM，s⊨XtFO当且仅当（d（t），s（X））∈p当且仅当d（t）∈s（X）当且仅当HM，s⊨XtH
一阶模型和亨金模型之间存在如下关系：
任给亨金模型HM，都存在一阶模型FOM，任给亨金模型的赋值s，都存在一阶模型的赋值s′，使得任给公式ϕ，HM，s⊨ϕ当且仅当HFOM，s′⊨ϕ。FO
任给一阶模型FOM，都存在亨金模型HM，任给一阶模型的赋值s，都存在亨金模型的赋值s′，使得任给公式ϕ，FOM，s⊨ϕ当且仅FO当HM，s′⊨ϕ。H
亨金语义和一阶语义之间存在如下关系：ϕ是一阶有效的当且仅当ϕ是亨金有效的；ϕ是一阶可满足的当且仅当ϕ是亨金可满足的；ϕ是Ф的一阶后承当且仅当ϕ是Ф的亨金后承。
与二阶逻辑相关的元理论包括：可靠性、紧致性、Löwenheim-Skolem性质、完全性、范畴性。
标准语义对于标准二阶逻辑是可靠的：
令Ф和ϕ分别是标准二阶逻辑的公式集和公式。如果ϕ是Ф的推演
后承，则ϕ是Ф的标准后承。
类似的结论也适用于自由变元逻辑和拟语义。注意，在验证概括公理时，需要在元语言层面假定公理集合论的分离公理。
算术的语言包括：0（零）、s（后继函数）、+（加法函数）、×（乘法函数）。算术的公理包括：∀x（sx≠0）∀x（x+0=x）∀x（x×0=0）∀x∀y（sx=sy→x=y）∀x∀y（x+sy=s（x+y））∀x∀y（x×sy=x×y+x）∀X（X0∧∀x（Xx→Xsx）→∀xXx）
上述公理所构成的理论被称为二阶算术。如果把二阶算术表述在自由变元逻辑中，则需要去掉最后一条公理前面的全称量词，称其为自由变元算术。下面的结论说明，二阶算术唯一地刻画了自然数结构：令M≤D，I＞和M≤D，I＞分别是模型。令0、0，s、111222121s，+、+，×、×分别是零、后继函数、加法函数、乘法函数在21212M和M下的解释。如果M和M都是二阶皮亚诺算术的模型，则M12121和M是同构的，也就是说，存在从D到D的函数f，使得f（0）=0，21212任给D中的a和b，f（sa）=sa，f（a+b）=f（a）+f（b），f（a1121121×b）=f（a）×f（b）。1121
上述结论是由戴德金证明的。根据二阶算术的同构性，标准二阶逻辑的标准语义不具有Löwenheim-Skolem性质。由于二阶逻辑的表达力强于一阶逻辑，二阶逻辑可以刻画“有穷”和“无穷”，所以标准二阶逻辑的标准语义也不具有紧致性。类似地，同构性、非Löwenheim-Skolem性以及非紧致性也适用于自由变元逻辑和拟语义。另外，根据哥德尔不完全性定理，一阶算术的真理集不是递归可枚举的，而二阶算术包含一阶算术，因此二阶算术的真理集也不是递归可枚举的，也就是说，存在真但是不可证的标准二阶逻辑的语句。因此，标准语义对于标准二阶逻辑是不完全的。如果把自由变元逻辑的关系变元和函数变元改写为非逻辑符号，则自由变元逻辑变成一阶逻辑。因此，拟语义对于自由变元逻辑是完全的。但是自由变元算术的拟后承集也不是递归可枚举的。
对于标准二阶逻辑，亨金模型不是可靠的，因为它可能不满足概括公理或选择公理。类似地，亨金模型对于自由变元逻辑也不是可靠的。如果亨金模型满足概括公理和选择公理，则称其为忠实于标准二阶逻辑；如果亨金模型拟满足代入规则和函数变元消除规则，则称其为忠实于自由变元逻辑。由此可以得到可靠性和完全性：令Ф和ϕ分别是标准二阶逻辑的公式集和公式。如果ϕ是Ф的推演后承，则任何满足Ф的忠实的亨金模型也满足ϕ。如果任何满足Ф的忠实的亨金模型也满足ϕ，则ϕ是Ф的推演后承。
与标准模型不同，在亨金模型中不能定义等词。在标准模型中，任给元素a∈D，都存在它的单元集；根据∀X（Xt↔Xs），{a}可以把t和s识别为相同的。但是在亨金模型中，有可能，所以∀X（Xt↔Xs）不能把t和s识别为相同的。如果任给赋值s，如果M，s⊨∀X（Xx↔Xy），则x和y的赋值相同，则称亨金模型M是等词标准的。由此可以得到紧致性：如果任意Ф的有穷子集在忠实的（等词标准的）亨金模型中都是可满足的，则Ф在忠实的（等词标准的）亨金模型中是可满足的。[3]
令HM′≤D′，D′，F′，I′＞是HM≤D，D，f，I＞的亨金子模型。令k是从HM′到HM的函数。如果任给P∈D′，都有k（P）∈D并且[4]P=k（P）∩D′，任给g∈F′，都有k（g）∈f并且g=k（g）|D′，则称kkk是对应函数。令s是赋值。s是新的赋值，s与s在一阶变元上合同；k任给关系变元R，如果s把P赋值给R，则s把k（P）赋值给R；任给k函数变元f，如果s把g赋值给f，则s把k（g）赋值给R。由此可以得到Löwenheim-Skolem性质：如果HM≤D，D，f，I＞是亨金模型，则存在亨金子模型HM′≤D′，D′，F′，I′＞和对应函数k使得：（1）D′、D′和F′都是可数无穷的；（2）任给公式集Ф和HM′上的赋值s，HM′，s⊨Ф当且仅当HM，Hks⊨Ф。H
类似地，向上的Löwenheim-Skolem性质也成立。第二节 算术
无论是弗雷格的逻辑主义还是希尔伯特的形式主义，都可以看作广义上的还原主义，即把某种看似不合理的、复杂的、较强的理论还原为某种合理的、简单的、较弱的理论。弗雷格的目的是把算术（包括自然数和实数理论）还原为逻辑，而希尔伯特的目的是把整个古典数学还原为有穷主义数学。虽然弗雷格的理想遭到罗素悖论的打击，希尔伯特的方案被哥德尔不完全性定理推翻，但是有可能分别部分地实现逻辑主义或形式主义，前者是新弗雷格主义，后者是反推数学。[5]为了考察这种部分实现的程度，这一小节简要介绍算术分层。
首先，简要说明可解释性、保守扩张和相对一致性等基本概念。如果存在从语言L的公式到语言L的公式的映射，使得L的理论T的1211公理都映为L的理论T的公理或定理，并且这个映射保持逻辑结构，22也就是说，所有T的定理都被映为T的定理，则称T可以解释T或者1221T在T中是可解释的。任给L的公式ϕ，如果ϕ是L的理论T的定理，12122则ϕ也是L的理论T的定理，称T是T的保守扩张。一般地，如果T11212在T的保守扩张中是可解释的，则称T可以还原为T。如果T还原为1212T，则T和T具有相对一致性，即如果T是一致的，则T也是一致的。11212在某些情况下，相反的结论也成立，即如果T和T具有相对一致性，12则T可以还原为T。21
一般来说，Robinson算术被看作最弱的算术系统，简记为Q。这个系统最早由Robinson提出，他的目的是确定哥德尔不完全性定理成立的范围；后来证明，哥德尔不完全性定理适用于任何解释Robinson算术的理论。Robinson算术的语言包括零、后继函数′、加法函数和乘法函数。它的公理包括：﹁x′=0x′=y′→x=yy=0∨∃x（y=x′）x+0=0x+y′=（x+y）′x×0=0x×y′=（x×y）+x
注意，许多运算规律都无法在Robinson算术中证明。例如，加法和乘法的交换律、结合律和分配律。
Nelson和Wilkie证明，包含运算规律的Robinson算术在Robinson算术中是可解释的。为了证明这些运算规律，需要用到数学归纳法。事实上，运用无量词的数学归纳法就可以证明这些运算规律。如果在Robinson算术的基础上增加如下无量词的归纳公理：ϕ（0）∧∀x（ϕ（x）→ϕ（x′））→∀xϕ（x），其中ϕ（x）不包含量词。
则称其为Nelson-Wilkie算术或多项式函数算术，简记为Q。2Nelson和Wilkie分别证明，Nelson-Wilkie算术在Robinson算术中是可解释的。因此，可以把它们二者看作相同的层次。
如果在Robinson算术语言的基础上增加幂函数↑，并且增加如下公理：x↑0=0x↑y′=（x↑y）′
则称其为Kalmar算术或幂函数算术，简记为Q。Kalmar最早提3出了这个系统，目的也是把哥德尔不完全性定理表述在更弱的理论中。如果再增加超幂函数⇑及其相关的公理，则称其为Gentzen算术或超幂函数算术，简记为Q。已经证明，切割消去定理的证明需要4用到Gentzen算术。类似地，如果增加越来越多的原始递归函数，则可以得到越来越强的算术系统Q、Q、Q等。最后得到的算术被称567为Grzegorczyk算术，简记为Q。Grzegorczyk证明，这个算术系统恰ω好包含所有原始递归函数。0
无量词公式又被称为△公式。相应地，无量词归纳公理又被称000为△归纳公理。如果Ψ形如∀x…∀xϕ，其中ϕ是△公式，则称Ψ是
01n0000∏公式。如果Ψ形如∃x…∃xϕ，其中ϕ是△公式，则称Ψ是Σ公式。11n0100如果Ψ形如∀x…∀x∃y…∃yϕ，其中ϕ是△公式，则称Ψ是∏公1n1n0200式。如果Ψ形如∃x…∃x∀y…∀yϕ，其中ϕ是△公式，则称Ψ是Σnn11020000公式。类似地，还可以定义∏公式、Σ公式、∏公式、Σ4公式334等等。0
如果把Nelson-Wilkie算术中的无量词归纳公理替换为如下Σ归1纳公理：ϕ（0）∧∀x（ϕ（x）→ϕ（x′））→∀xϕ（x）00
其中ϕ（x）是Σ公式，则称其为Parsons算术，简记为IΣ。事11实上，原始递归函数的存在性和唯一性证明需要用到Σ归纳公理。因100此，Q在IΣ中是可解释的。后来，Charles Parsons又证明，IΣ在ω110Q的保守扩张中也是可解释的。在此基础上，如果把Σ归纳公理替ω100换为Σ归纳公理，则称其为Ackermann算术，简记为IΣ。Wilhelm 22Ackermann最先发现了非原始递归的递归函数，即Ackermann函数。0Ackermann函数的存在性和唯一性证明需要用到Σ归纳公理。类似2地，如果替换为越来越强的归纳公理，则可以得到越来越强的算术系000统IΣ、IΣ、IΣ等。最后得到的算术被称为一阶算术，简记为345P。11
无二阶量词公式被称为△公式。如果Ψ形如∀X…∀Xϕ，其中ϕn01111是△公式，则称Ψ是∏公式。如果Ψ形如∃X…∃Xϕ，其中ϕ是△
011n01公式，则称Ψ是Σ公式。如果Ψ形如∀X…∀X∃Y…∃Yϕ，其中ϕ是11n1n11△公式，则称Ψ是∏公式。如果Ψ形如∃X…∃X∀Y…∀Yϕ，其中021n1n1111ϕ是△公式，则称Ψ是Σ公式。类似地，还可以定义∏公式、Σ023311公式、∏公式、Σ公式等。44
如果把一阶皮亚诺算术表述在二阶逻辑中，则得到二阶算术，简记为P。实质上，二阶算术是把一阶算术的归纳公理：2ϕ（0）∧∀x（ϕ（x）→ϕ（x′））→∀xϕ（x）
变成两条公理：∃X∀x（Xx↔ϕ（x）），∀X（X0∧∀x（Xx→Xx′）→∀xXx）
前者是概括公理，后者是二阶归纳公理。在P中，可以直接用1ϕ（x）进行归纳；而在P中，先用概括公理把ϕ（x）变成X，再用X2进行归纳。因此，在P中，有什么样的概括就有什么样的归纳；通2过限制概括公理，可以限制归纳公理。如果把概括公理限制为直谓概1括公理，即概括公理中的ϕ（x）是△公式，则得到直谓算术，简记0为ACA。其中，ACA表示算术概括公理（Arithmetic Comprehension 0Axiom），直谓概括公理也被称为算术概括公理，下标0表示二阶归纳1公理。直谓算术是一阶算术的保守扩张。如果把概括公理限制为∏11概括公理，即概括公理中的ϕ（x）是∏公式，则得到非直谓算术，11简记为∏-CA。绝大多数的数学定理都可以在非直谓算术中得到证10111明。类似地，还可以得到∏-CA、∏-CA、∏-CA等。203040
类似于一阶算术P和二阶算术P，还可以得到三阶算术P、四123阶算术P、五阶算术P等，最后直到P，后者类似于罗素的类型45ω论。
一般认为，公理集合论是目前最为实用的数学基础。下面简要介绍集合论分层，并且比较算术分层和集合论分层。
集合论的语言是在一阶逻辑的基础上增加属于符号∈，简记为Z。Z的公理包括以下内容：
外延公理：∀z（z∈x↔z∈y）→x=y。
空集公理：∃x∀y（y∈x↔y≠y）。
无序对公理：∃x∀y（y∈x↔y=u∨y=v）。
附加公理：∃x∀y（y∈x↔∃z（z∈u∧y∈z））。
并集公理：∃x∀y（y∈x↔y∈u∧ϕ（y））。
分离公理：∃x∀y（y∈x↔y∈u∧ϕ（y））。
无穷公理：断定无穷集的存在，简记为∞。
幂集公理：∃x∀y（y∈x↔∀z（z∈y→z∈u）），简记为。
由外延公理、空集公理和附加公理所构成的理论被称为Szmielew-Tarski集合论，简记为ST。如果把Szmielew-Tarski集合论表述在二阶直谓逻辑中，则得到直谓集合论，简记为PST。如果在Szmielew-Tarski集合论中增加分离公理，则得到一般集合论（General Set Theory），简记为GST。如果Z的分离公理中的ϕ（y）11-是∏公式，则简记为∏-Z。如果减去Z中的幂集公理，则简记为Z。nn表示断定无穷集的幂集存在的公理，，与类似。如果把Z中的幂集公理替换为断定无穷集的幂集存在的公理，则简记为，与类似。
表1-1说明，Szmielew-Tarski集合论可以解释Nelson-Wilkie算术；直谓集合论可以解释Kalmar算术；一般集合论可以解释一阶算术；不包含幂集公理的集合论可以解释二阶算术。表1-1 算术分层与集合分层
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