作者：李秀昌、邵建华
出版社：中国中医药出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
高等数学试读：
前言
为落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》《关于医教协同深化临床医学人才培养改革的意见》，适应新形势下我国中医药行业高等教育教学改革和中医药人才培养的需要，国家中医药管理局教材建设工作委员会办公室（以下简称“教材办”）、中国中医药出版社在国家中医药管理局领导下，在全国中医药行业高等教育规划教材专家指导委员会指导下，总结全国中医药行业历版教材特别是新世纪以来全国高等中医药院校规划教材建设的经验，制定了“‘十三五’中医药教材改革工作方案”和 “‘十三五’中医药行业本科规划教材建设工作总体方案”，全面组织和规划了全国中医药行业高等教育“十三五”规划教材。鉴于由全国中医药行业主管部门主持编写的全国高等中医药院校规划教材目前已出版九版，为体现其系统性和传承性，本套教材在中国中医药教育史上称为第十版。
本套教材规划过程中，教材办认真听取了教育部中医学、中药学等专业教学指导委员会相关专家的意见，结合中医药教育教学一线教师的反馈意见，加强顶层设计和组织管理，在新世纪以来三版优秀教材的基础上，进一步明确了“正本清源，突出中医药特色，弘扬中医药优势，优化知识结构，做好基础课程和专业核心课程衔接”的建设目标，旨在适应新时期中医药教育事业发展和教学手段变革的需要，彰显现代中医药教育理念，在继承中创新，在发展中提高，打造符合中医药教育教学规律的经典教材。
本套教材建设过程中，教材办还聘请中医学、中药学、针灸推拿学三个专业德高望重的专家组成编审专家组，请他们参与主编确定，列席编写会议和定稿会议，对编写过程中遇到的问题提出指导性意见，参加教材间内容统筹、审读稿件等。
本套教材具有以下特点：
1.加强顶层设计，强化中医经典地位
针对中医药人才成长的规律，正本清源，突出中医思维方式，体现中医药学科的人文特色和“读经典，做临床”的实践特点，突出中医理论在中医药教育教学和实践工作中的核心地位，与执业中医（药）师资格考试、中医住院医师规范化培训等工作对接，更具有针对性和实践性。
2.精选编写队伍，汇集权威专家智慧
主编遴选严格按照程序进行，经过院校推荐、国家中医药管理局教材建设专家指导委员会专家评审、编审专家组认可后确定，确保公开、公平、公正。编委优先吸纳教学名师、学科带头人和一线优秀教师，集中了全国范围内各高等中医药院校的权威专家，确保了编写队伍的水平，体现了中医药行业规划教材的整体优势。
3.突出精品意识，完善学科知识体系
结合教学实践环节的反馈意见，精心组织编写队伍进行编写大纲和样稿的讨论，要求每门教材立足专业需求，在保持内容稳定性、先进性、适用性的基础上，根据其在整个中医知识体系中的地位、学生知识结构和课程开设时间，突出本学科的教学重点，努力处理好继承与创新、理论与实践、基础与临床的关系。
4.尝试形式创新，注重实践技能培养
为提升对学生实践技能的培养，配合高等中医药院校数字化教学的发展，更好地服务于中医药教学改革，本套教材在传承历版教材基本知识、基本理论、基本技能主体框架的基础上，将数字化作为重点建设目标，在中医药行业教育云平台的总体构架下，借助网络信息技术，为广大师生提供了丰富的教学资源和广阔的互动空间。
本套教材的建设，得到国家中医药管理局领导的指导与大力支持，凝聚了全国中医药行业高等教育工作者的集体智慧，体现了全国中医药行业齐心协力、求真务实的工作作风，代表了全国中医药行业为“十三五”期间中医药事业发展和人才培养所做的共同努力，谨向有关单位和个人致以衷心的感谢！希望本套教材的出版，能够对全国中医药行业高等教育教学的发展和中医药人才的培养产生积极的推动作用。
需要说明的是，尽管所有组织者与编写者竭尽心智，精益求精，本套教材仍有一定的提升空间，敬请各高等中医药院校广大师生提出宝贵意见和建议，以便今后修订和提高。国家中医药管理局教材建设工作委员会办公室中国中医药出版社2016年6月
编写说明
高等数学是数学知识中比初等数学内容更深入、研究问题更复杂的一门学科。其内容广泛应用于自然科学、社会科学等各个领域，使许多学科产生了质的飞跃，对人类的文明和发展起到了重要作用，是大学素质教育中重要的组成部分，是中医药院校的一门重要基础课。
本教材是全国中医药行业高等教育“十三五”规划教材之一。是为了适应高等教育快速发展需要，满足大众化教育对学生素质的要求，体现高等数学的数学思想、方法和文化，注重高等数学的系统性、知识性，密切联系其在实际问题中特别是在中医药领域的应用而编写的。本教材是由全国中医药院校长期从事数学教学工作的教师编写。
全书共分9章，主要包括一元函数微积分、多元函数微积分、微分方程基本知识和线性代数初步。主要介绍极限、微分、积分、微分方程、线性代数中的基本概念、定理和方法。本书还提供了《高等数学习题集》配套教材。习题集中提供了大量的客观性习题，教材中的习题在其中都有详细解答；数字化教材中，注重知识的分解，对问题具体化。
本书编写分工如下：第一章由金国华、陈丽君、李东编写，第二章由陈瑞祥、刘欣编写，第三章由李秀昌、孙健、李杰编写，第四章由王世钦、白丽霞编写，第五章由于鹤丹、徐永编写，第六章由崔红新、胡灵芝编写，第七章由包红、田振明编写，第八章由邵建华、赵莹、韦杰编写，第九章由尹立群、武京君编写。
本教材数字化工作是在国家中医药管理局中医药教育教学改革研究项目的支持下，由中国中医药出版社资助展开的。该项目（编号：GJYJS16061）由李秀昌负责，其他编委会成员共同参与完成。
本书在编写过程中参考了大量同类书刊并借鉴了同行们的经验，同时还得到了编者所在单位及同事的大力支持、帮助和鼓励，在此一并表示衷心的感谢。我们本着负责的原则，虽然对书进行了反复的推敲、修改，书中若有疏漏之处，恳请使用本书的师生和广大读者提出宝贵意见，以便再版时修订提高。《高等数学》编委会2016年4月1函数与极限
函数是高等数学的主要研究对象，极限是高等数学研究函数的重要工具，并是微积分各种概念和计算方法建立及应用的基础.因此，函数和极限是高等数学中非常重要的基础概念. 1.1函 数1.1.1 常量与变量
在某一过程中，保持同一数值的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量.2
例1 圆的面积公式为A=πr，其中 π是固定不变的量，为常量；r、A是变化的量，为变量.
在实际问题中，一个量是常量还是变量，要视情况而定.精确度要求不高时，整个地球上的重力加速度可以看成常量.要求比较精确时，整个地球上不同地点的重力加速度就是变量，同一地点的重力加速度可以看成常量.若考虑地层运动引起重力加速度变化，则同一地点的重力加速度也是变量.
在例1圆面积公式中，当半径r在(0，+∞)范围内变化时，面积A按公式有确定的值与之相对应.两个变量间的这种依存关系称为函数.1.1.2 函数的概念
定义 设x、y为同一过程的两个变量.若对非空数集D中任一x(记为∀x∈D)，按一定法则f在数集M中存在唯一确定的值y与之对应，则称f是定义在D上的函数，记为y=f(x).
x称为自变量，y称为因变量或函数.自变量的取值范围D称定义域，因变量 y相应的取值所成的集合称为函数的值域.
当x取数值x∈D时，与x对应的y的数值y称为函数y=f(x)在点x0000处的函数值，常记为
例2 y>x不是函数关系.
解 函数的定义要求对任一x值，存在唯一确定的y值与之对应.本例按对应法则，对任一x值，有无数多个y值与之对应，故y>x不符合函数的定义，所以其不是函数关系.22
例3 讨论由关系式x+y=1确定的函数.
解 原式可解出y=±.由函数定义可知，它是定义在同一定义域D=[-1，1]上的两个函数y=和y=-.
如果对应法则在整个定义域D上不能用一个解析式表示，而必须把D分为若干部分，在各部分要用不同的解析式表示，则这样的函数称为分段函数.
例4 绝对值函数
和符号函数
虽然形式上都可以写为一个式子，但是，当x属于不同区间时，函数的解析式不同。因而，它们都是分段函数，图形分别如图1-1、图1-2所示.图1-1图1-2
例5 在生理学研究中，有人根据血液中胰岛素浓度C(t)(单位/mL)随时间t(min)变化的数据，建立经验公式，即求胰岛素浓度函数C(t)的定义域.
解 胰岛素浓度C(t)是时间 t的分段函数，定义域D=[0，5]∪(5，+∞)=[0，+∞).
定义域和对应法则决定了函数的构成，是函数的两要素.两个函数只有在其定义域及对应法则都相同时，它们才是相同的.22
例6 y=sin x+cos x与u=1是相同的函数.
解 虽然变量用的字母不同、解析式的形式不同，但它们的定义域与对应法则相同.因此，它们是相同的函数.
例7 y=x与w=是不同的函数.
解 虽然定义域都为(-∞，+∞)，但它们的对应法则不同，因此，它们是不同的函数.1.1.3 函数的表示法
函数的表示法有解析法、列表法、图象法.
解析法用数学公式或方程表示变量间的函数关系，优点是便于计算和理论分析.解析式明显地用一个变量的代数式表示另一个变量2时，称为显函数，如A=πr；解析式没有明显地用一个变量的代数式xy表示另一个变量时，称为隐函数，如x+y=1、e +y=sin x等.
列表法用表格列出变量间的函数关系，优点是可以不用计算直接从表上读出函数值.试验数据常使用列表法，并可用统计方法建立函数关系的解析式，称为经验公式.
图象法用坐标系中的图形表示变量间的函数关系，函数的图形既可以在直角坐标系又可以在极坐标系中描绘，优点是直观、明显，心电图、自动记录的气温曲线、试验数据绘制的散点图或曲线，都是用图象法表示函数.在实际问题中，三种表示方法常结合使用.1.1.4 函数的几个特性
有些函数具有一些特殊的性质，利用这些特性可方便对这些函数的研究.
1.奇偶性
设f(x)的定义域D关于原点对称，若∀x∈D，总有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.偶函数的图形关于纵轴对称.
若∀x∈D，总有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数.奇函数图形关于原点对称.2
例如：y=x及y=cos x是偶函数，y=及y=sin x是奇函数，y=x+cos x是非奇非偶函数.
2.单调性
若区间 I⊂D，∀x，x∈I，当 x
单调递增函数的图形沿横轴正向上升，单调递减函数的图形沿横2轴正向下降.例如：函数y=x在区间(-∞，0)单调递减，在区间(0，+∞)单调递增，在整个(-∞，+∞)不是单调的.
3.有界性
区间I⊂D，若存在常数M(记为∃M(常数))，对∀x∈ I，总有f(x)≤M，则称f(x)在区间I有上界M；若总有f(x)≥M，则称f(x)在区间I有下界M.若f(x)在区间I既有上界又有下界，则称f(x)在区间I有界.有上界函数的图形位于某水平线下方，有下界函数的图形位于某水平线上方.例如：函数y=sin x在整个区间(-∞，+∞)上有界；函数y=在区间(-∞，0)有上界而无下界、在区间(0，+∞)有下界而无上界.
4.周期性
若∃m(非零常数)，使∀x∈D，总有f(x+m)=f(x)，则称f(x)为周期函数，称m为它的周期.周期函数的图形按周期循环出现.例如：常值函数y=C是以任意非零常数为周期的周期函数，三角函数y=sinωx是以为最小正周期的周期函数.1.1.5 反函数
在研究两个变量的函数关系时，可以根据问题需要，选定其中一个变量为自变量、另一个变量为因变量.例如：y=2x-1中，x为自变量、y为因变量.从解析式解得x=，在这个函数表达式中可认为y为自变量、x为因变量.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D、值域为R，若y∈R，能由解-1析式y=f(x)确定x∈D与之对应，得到的函数x=g(y)(或记为x=f(y))，称-1为y=f(x)的反函数；相对于反函数x=g(y)或x=f(y)来说，y=f(x)称为原函数或直接函数.-1
直接函数y=f(x)单调时，其反函数x=f(y)是唯一的.直接函数不单2调时，与之对应的反函数可能是多个.例如：y=f(x)=x的定义域为(-∞，+∞)，在定义区间不单调，所以它将在区间[0，+∞)上对应一个反函数x=；在区间(-∞，0]上对应另一个反函数x=-和x=-各称为y=f(x)反函数的一个分支.
习惯上，自变量用x表示，因变量用y表示.因为函数的实质是对应关系，只要对应关系不变，自变量和因变量用什么字母表示无关紧-1-1要.所以，y=f(x)的反函数也可改写为y=f(x).反函数y=f(x)与直接函数xy=f(x)的图形关于直线y=x对称.例如：指数函数y=2与对数函数y=互为反函数；三角函数(如y=sinx)与反三角函数(y=arcsin x)在主值区间上互为反函数。1.1.6 函数概念的应用
用数学方法来解决实际问题，首先要把实际问题中量的关系抽象成函数，然后才能利用各种数学手段去分析处理.
例8 在板蓝根注射液含量稳定性研究中，测得pH=6.28、温度78℃时，保温时间t与含量破坏百分比P的数据，如表1-1所示.研究含量破坏百分比P与保温时间t的关系.表1-1 板蓝根注射液含量破坏百分比与保温时间数据
解 以保温时间t为横轴、含量破坏百分比P为纵轴，可绘制如图1-3所示的图象.图1-3
用这些数据拟合，可以建立经验公式，即
P=-29.0313+9.77498ln t
例9 经济活动的目的是为了获得利润，经济活动研究的函数，统称为经济函数.常用的经济函数有：
利润函数L，可表示为收入R减去成本C：L=R-C.
收入函数R，可表示为产品数量q的函数：R=R(q)；简单情形，可以表示为价格p与产品数量q的乘积R=pq.
成本函数C，可表示为产品数量q的函数C=C(q)；简单情形，可以表示为固定成本C加变动成本C q，即C=C+C q.0101
考虑价格p是产品数量q的函数p=p(q)，称价格函数；考虑产品数量q是价格p的函数q=q(p)，称需求函数.价格与需求是一对反函数，变量名不能改写.
若考虑成本函数C(q)对产品数量q的平均值，则有AC=，称平均成本函数.
常见经济函数之间的关系，如图1-4所示.图1-4 1.2初等函数1.2.1 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，统称为基本初等函数.
基本初等函数中，以10为底的对数称为常用对数，记为lg x；以e为底的对数称为自然对数，记为ln x.常值函数可视为幂函数的特殊情形.基本初等函数的解析式、定义域、值域等简单性质，如表1-2所示.表1-2 基本初等函数续表1.2.2 复合函数
由函数y=sin x与x=2t，通过解析式代入的方法，可以构成新的函数y=sin2t，称为函数y=sin x与x=2t的复合函数.
定义1 对函数y=f(u)与u=g(x)，若x在g(x)定义域的子集上取值时，对应u值使y能按y=f(u)取得对应值，则称新函数为y=f(u)与u=g(x)的复合函数，记为y=f[g(x)].f(u)称为外层函数，g(x)称为内层函数，u称为中间变量.中间变量为多个时，可以多层复合.
例1
解 从内到外逐层代入，求得
例2 若f(x)的定义域为[0，1]，求f(ln x)的定义域.
解 y=f(ln x)分解为 y=f(u)、u=ln x，由 0≤u≤1，有 0≤ln x≤1，故，f(ln x)的定义域为[1，e].
例3 指出下列函数是怎样复合而成的.arctan+13
①y=e； ②y=cos(ln).arctan+1u2
解 ①y=e是由 y=e ，u=arctan v，v=，w=x+1复合而成的；332
②y=cos ln是由 y=cos u，u=v，v=ln w，w=，q=x+5复合而成的.
对复合函数的分解，应按从外到内或由后向前运算的复合层次进行，分解出的每一复合层次或每一步骤，都必须是基本初等函数.实际运算时，多项式可以不用分解.1.2.3 初等函数
定义2 由常数和基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合运算构成的，并能用一个解析式表示的函数，称为初等函数.2
例4 y=sin(2x-1)+lntan(x+3)是初等函数.2
解 原函数是由y=sin u+ln v、u=2x-1、v=tan w、w=x+3复合而成的.其复合过程是有限次四则运算、有限次复合运算，且能表示成一个式子，所以它是初等函数.2
例5 y=1+x+x+…(≥1)与y=sgn x不是初等函数.2
解 函数y=1+x+x+…不是有限次运算构成的函数，故不是初等函数.
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