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发布时间:2020-09-02 02:21:49

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作者:关新平,吴忠强

出版社:电子工业出版社

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现代控制理论

现代控制理论试读:

前言

以频域方法为基础的古典控制理论在经历了一百多年之后,直到20世纪的四五十年代才形成完整、独立的控制理论。毫无疑问,古典控制理论在解决广泛的控制问题上是非常有效的,并且已被广大从事自动控制的工程技术人员所掌握。它的广泛应用给人类带来了巨大的社会和经济效益,它的突出成就是导致自动化技术的诞生和发展。但是,也正是这种社会的进化过程对控制理论不断地提出新的更加严格的要求,使古典控制理论面临着挑战。随着20世纪50年代兴起的航天技术及其他生产技术的发展,一方面使控制对象变得更加复杂,另一方面对控制的要求提出了更加苛刻的条件。例如,非线性的、时变的或者分布参数的系统的控制问题,对系统本身或其周围环境的不确定因素的适应控制问题,多输入-多输出(MIMO)系统的分析与综合问题,以及实现控制的某种目标函数意义下的最优化问题等,都不是单纯依赖古典控制理论所能解决的。面对这些挑战,控制理论必须向前发展,而在这个时期整个科学的进步,特别是现代数学和计算机技术的成就恰好为控制理论的发展提供了强有力的工具。正是在这种历史背景下,现代控制理论应运而生。在20世纪五六十年代,很多科学家为此做出了杰出的贡献,其中应特别提出的有庞特里亚金的极值原理,贝尔曼(Bellman)的动态规划,以及卡尔曼(Kalman)的滤波、能控性与能观测性理论等。正是他们的这些理论上的突破性成果奠定了现代控制理论的基础,成为控制理论由古典控制理论发展到现代控制理论的里程碑。至今40多年来,现代控制理论不论在理论方面还是在应用方面一直处于十分活跃的发展状态。它不仅在航天与航空技术上取得了举世瞩目的惊人成就,而且在电气、机械、化工、冶金、交通等工程系统及生物工程、企业管理和社会科学等广泛领域内都有成功的应用。可以毫不夸张地说,现代控制理论已经成为渗透到各个学科领域的横向科学。显然,控制理论的发展与成就标志着人类对客观世界的认识能力和改造能力的进一步提高。因此,它也必然会对人类的认识论和方法论给以重大影响。

本书共分6章:第1章介绍了控制系统的状态空间表达式,由姚成玉编写;第2章介绍了控制系统状态空间表达式的解,由魏立新编写;第3章介绍了线性控制系统的能控性与能观性,由吴忠强编写;第4章介绍了控制系统的稳定性,由李峰磊编写;第5章介绍了线性定常系统的综合,由张秀玲编写;第6章介绍了最优控制,由罗小元编写。全书由关新平、吴忠强汇总整理。本书可作为高等学校自动化专业的本科生和非自动化专业的研究生教材。

由于时间仓促,本书难免有疏漏之处,恳请读者批评指正。

编 者第1章 控制系统的状态空间表达式

在经典控制理论中,对线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接与输入联系起来。实际上,系统除了输出量这个变量以外,还包含其他相互独立的变量,而微分方程或传递函数对这些内部的中间变量是不便描述的,因而不能包含系统的所有信息。显然,从能否完全揭示系统的全部运动状态来说,用微分方程或传递函数描述线性定常系统有其不足之处。

然而,现代工程系统日趋复杂,性能要求越来越高,因此,对系统的描述应该更加精细。对一个复杂系统的分析与综合,不仅需要了解它的输入-输出关系,而且要求知道它的内部结构。经常遇到的受控对象,不仅是定常的,也可能是有许多时变的;不仅是线性的,也可能是非线性的;不仅是确定性的,也可能是随机的。总之,对象的多样性,要求描述系统的数学工具应具有一定的适应性。尤其是现代许多复杂系统中,往往都需要有计算机参与工作。因此,为适应控制系统理论这种发展趋势的要求,在描述系统的数学方法上,需要进一步改进。控制理论发展到20世纪五六十年代便产生了一种新的描述方法——状态空间法。

这一方法的特点是:采用状态空间表达式(状态空间描述)作为系统的数学模型,系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化,从而能同时确定系统的全部内部运动状态,而且还可以方便地处理初始条件。这样,在分析和设计控制系统时,不再只局限于输入量、输出量、误差量,为提高系统性能提供了有力的工具。加之可利用计算机进行分析设计及实时控制,因而可以应用于非线性系统、时变系统、多输入-多输出系统及随机过程。

本章在阐述状态空间表达式基本概念、表达形式的基础上,介绍依据不同已知条件(物理模型、框图、微分方程、传递函数)的建立方法。然后,介绍状态矢量的线性变换及约旦标准型。最后,介绍从状态空间表达式求解传递函数阵。1.1 状态变量及状态空间表达式1.1.1 状态变量

足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量。一个用n阶微分方程描述的系统,就有n个独立的变量,当这n个独立变量的时间响应都求得时,系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此,可以说该系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。同一个系统,究竟选取哪些变量作为独立变量,这不是唯一的,重要的是这些变量是相互独立的,且其个数应等于微分方程的阶数;又由于微分方程的阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数,因此,状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数。

众所周知,n阶微分方程式要有唯一确定的解,就要必须知道n个独立的初始条件。很明显,这n个独立的初始条件就是一组状态变量在初始时刻t的值。0

综上所述,状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量,当其在t=t时刻的值已知时,则在给定t≥t时间的输00入作用下,便能完全确定系统在任何t≥t时间的行为。01.1.2 状态矢量

如果n个状态变量用x (t),x (t),…,x (t)表示,并把这12n些状态变量看做是矢量x(t)的分量,则x(t)就称为状态矢量,记作

并且,状态矢量x的维数定义为其组成状态变量x (t),x (t),12…,x (t)的个数,即dimx=n。n1.1.3 状态空间

以状态变量x (t),x (t),…,x (t)为坐标轴所构成的n维12n空间,称为状态空间。在特定时刻t,状态矢量x(t)在状态空间中是一点。已知初始时刻t的状态x(t ),就得到状态空间中的一个初始00点。随着时间的推移,x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹,称为状态轨线。状态矢量的状态空间表示将矢量的代数表示和几何概念联系起来了。1.1.4 状态方程

由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。

用如图1-1所示的RLC电路,说明如何用状态变量描述这一系统。图1-1 RLC电路此系统有两个独立储能元件,即电容C和电感L,所以,应有两个状态变量。状态变量的选取,原则上是任意的,但考虑到电容的储能与其两端的电压u和电感的储能与流经它的电流i均直接相关,故通常C就以u和i作为此系统的两个状态变量。C

根据电学原理,容易写出含有两个状态变量的一阶微分方程组,即

亦即

式(1-1)就是如图1-1所示系统的状态方程,若将式中状态变量用一般符号x表示,即令x=u ,x =i;并写成矢量矩阵形式,则状i1C2态方程变为

式中1.1.5 输出方程

在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式,称为系统的输出方程。

在如图1-1所示系统中,指定x=u作为输出,输出一般用y表示,1C则有

式(1-3)就是如图1-1所示系统的输出方程,它的矩阵表达式为

式中,c=[1 0]。1.1.6 状态空间表达式

状态方程和输出方程综合起来,构成对一个系统完整的动态描述,称为系统的状态空间表达式。

例如,式(1-1)和式(1-3),或式(1-2)和式(1-4)就是如图1-1所示系统的状态空间表达式。

在经典控制理论中,用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。如图1-1所示的系统,在以u作为输出时,从式(1-1)C消去中间变量i,得到二阶微分方程为

其相应的传递函数为

如果要从高阶微分方程或从传递函数变换为状态方程,即分解为多个一阶微分方程,那么此时的状态方程可以有无穷多种形式,这是由于状态变量的选取可以有无穷多种的缘故。这种状态变量的非唯一性,归根到底,是由于系统结构的不确定性造成的。关于这个问题,下面还将论及,此处暂不多述。

回到式(1-5)或式(1-6)的二阶系统,若选作为两个状态变量,即令x=u ,,则得一阶微分1C方程组为

若以q=idt和i作为两个状态变量,即令x=q,x=q.=i,同样可求12得一个状态方程。比较式(1-8)和式(1-2),显而易见,同一系统中,状态变量选取的不同,状态方程也不同。

从理论上说,并不要求状态变量在物理上一定是可以测量的量,但在工程实践上,仍以选取那些容易测量的量作为状态变量为宜,因为在最优控制中,往往需要将状态变量作为反馈量。

设单输入-单输出定常系统,其状态变量为x ,x ,…,x ,则12n状态方程的一般形式为

输出方程式为

用矢量矩阵表示时的状态空间表达式为

式中:为n维状态矢量;

A=为系统内部状态的联系,称为系统矩阵,为n×n方阵;

b为输入对状态的作用,称为输入矩阵或控制矩阵,这里为n×1的列阵;

c=[c c …c ]为状态对输出的影响,称为输出矩阵,这里为1×n12n的行阵;

d为输入与输出直接传输项,这里为一标量。

对于一个复杂系统,具有r个输入,m个输出,此时状态方程变为

至于输出方程,不仅是状态变量的组合,而且在特殊情况下,还可能有输入矢量的直接传递,因而有如下的一般形式:

因而,多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为

式中:x和A同单输入系统,分别为n维状态矢量和n×n系统矩阵;

试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]

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