作者：刘义
出版社：电子工业出版社
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RecurDyn多体动力学仿真基础应用与提高试读：
前言
机械系统动态仿真技术，又称为虚拟样机技术（Virtual Prototyping Technology, VPT），它是一种全新的机械设计方法。VPT作为一项计算机辅助工程（CAE）技术于20世纪80年代随着计算机技术的发展而出现，在20世纪90年代特别是进入21世纪以后得到了迅速发展和广泛应用。
利用虚拟样机技术，工程师可以在计算机上方便快捷地建立物理样机的仿真模型，通过对仿真模型进行各种动态性能分析，然后改进物理样机的设计方案，从而达到用数字化形式代替传统物理样机实验的目的。机械系统动态仿真技术涉及多体系统运动学与动力学建模理论及其技术实现，是基于先进的建模技术、多领域仿真技术、信息管理技术、交互式用户界面技术和虚拟现实技术的综合应用技术。
随着计算机技术的日益进步和工程的需要，机械系统的动态分析对象也越来越复杂，工程对仿真技术提出了更高的要求。人们对一个系统进行仿真分析时，不仅仅限于其简单的机械系统的仿真分析，更多的研究对象表现为一个复杂的机—电—液—控制系统。支持多领域物理系统混合建模与仿真成为当今虚拟样机仿真软件的发展方向。韩国FunctionBay公司推出的新一代仿真软件RecurDyn，是一个能够实现机—电—液—控制、优化多学科系统协同仿真的优秀软件。
这是一本介绍新一代多体系统动力学仿真软件RecurDyn的图书，目的是引导读者如何能够快速地掌握这个优秀的仿真工具。RecurDyn是由韩国FunctionBay公司基于相对坐标系建模和递归求解，充分利用最新的多体动力学理论，开发的一个优秀多学科协同仿真软件。由于其令人震撼的求解速度与稳定性，方便、快捷的建模方法，自诞生至推广到市场以来受到业内持续关注，并且国际、国内客户群日益壮大。尤其是在国内企业、高校等用户稳步扩大的情况下，对RecurDyn相关的中文教学指导资料的需求也日益迫切。正是在这种情况下，本书编著者根据教学，以及工程实践的基础上，将推出RecurDyn系列图书。
RecurDyn作为一个功能强大的高级CAE机—电—液—控制、优化多学科系统协同仿真软件，想要在一本书中对其进行全面透彻的讲解几乎是不可能的；同时根据学习的特点，也为了避免大而全、多而不精的情况，使读者通过RecurDyn系列图书的学习能够对RecurDyn的建模特点达到真正掌握的目的，从而满足能够熟练应用RecurDyn解决工程实际问题，以及学术研究的需要，编著者将RecurDyn的介绍分为基础篇、进阶篇、工程篇三部分进行详细介绍。
本书为RecurDyn系列图书的基础篇，本书中详细透彻地介绍了RecurDyn的基本操作、建模方法、后处理、刚柔耦合动力学建模等内容。全书所有的案例均以最新版本的RecurDyn V8R1进行讲解，系统介绍了RecurDyn平台的各个基本分析模块。所有案例均经过精心设计与筛选，其中不乏真正的工程案例，代表性较强。并且在介绍每个案例的过程中都通过用户图形交互界面进行全程详细讲解，并给出了尽可能最为详细的操作说明过程。
以后将陆续推出RecurDyn的进阶篇（工业子系统建模工具的应用、优化设计、二次开发等）、工程篇（工程应用案例），会在不久之后与广大的读者见面。RecurDyn系列图书从初学者学习的角度出发，系统介绍了RecurDyn的功能、建模方法，以及大量的操作技巧，希望RecurDyn系列图书的推出能够对刚入门和有使用经验的读者学习RecurDyn提供帮助。
本书的出版，特别要感谢FunctionBay韩国公司Jin H·Choi教授，以及上海博览达CEO张湝渭博士、技术经理焦晓娟在本书编写过程中给予的大力协助。尤其是焦晓娟经理在本书后期成稿过程中付出了大量辛勤的劳动，在此表示深深的谢意！同时感谢中国博士后科学基金（编号：2012M521003），以及江苏南方轴承博士后工作站对本书的支持。
全书共12章，第1～2章由徐恺（河南科技大学）编写，第3～5章由司东宏（河南科技大学）编写，第6～9章由刘义（河南科技大学）编写，第10章由涂鲜萍（河南科技大学）编写，第11章由李济顺、薛玉君（河南科技大学）编写、第12章由韩翔（徐州工程学院）编写。全书由刘义策划、统稿。本书使用的案例源文件读者可到www.myrecurdyn.cn自行下载。
由于编者的时间、水平所限，本书难免存在不妥之处，真诚地欢迎广大读者提出批评和建议，以便修正和补充。同时也欢迎各位CAE爱好者和编者进行技术方面的交流。作者邮箱：liuyixnjd@163.com。编著者第1章多体动力学及虚拟样机技术
本章主要对多体动力学的基本计算理论，以及虚拟样机技术的应用情况进行了详细介绍。对利用多体动力学的基本计算理论进行多体系统动力学建模的基本术语，以及动力学方程求解方法作了较为详细的说明；最后详细介绍了最新版本的RecurDyn V8R1的相关情况。1.1 多体系统动力学研究状况
工程领域对机械系统的研究主要有两大问题。一个问题是涉及系统的结构强度分析。由于计算结构力学的理论与计算方法的研究不断深入，加之有限元（FEA）应用软件系统的成功开发和应用，这方面的问题已经基本得到解决；另一个问题是要解决系统的运动学、动力学与控制的性态问题，也就是研究机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应。作为大多数的机械系统，系统部件相互连接方式的拓扑与约束形式多种多样，受力的情况除了外力与系统各部件的相互作用外，还可能存在复杂的控制环节，故称为多体系统。与之相适应的多体动力学的研究已经成为工程领域研究的热点和难点。
多体系统动力学的核心问题是建模和求解，其系统研究开始于20世纪60年代。起始于20世纪70年代的基于多体系统动力学的机械系统动力学分析与仿真技术，随着计算机技术，以及计算方法不断进步，到了20世纪90年代，在国内外已经成熟并成功地应用于工业界，成为当代进行机械系统设计不可或缺的有力工具之一。
多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学上的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，特别是在前者已经趋于成熟。
多体动力学是以多体系统动力学、计算方法，以及软件工程相互交叉为主要特点，面向工程实际问题的新学科。计算多体动力学是指利用计算机数值手段来研究复杂机械系统静力学分析、运动学分析、动力学分析，以及控制系统分析的理论和方法。计算多体动力学的产生极大地改变了传统机构动力学分析的面貌，对于原先不能够求解或者求解困难的大型复杂问题，可以借助计算机顺利完成。
在20世纪80年代初，Haug等人提出了“计算多体动力学”的概念，认为其主要任务如下：● 建立复杂机械系统运动学和动力学程式化的数学模型，开发实现
这个数学模型的软件系统，再输入少量描述系统特征的数据、由
计算机自动建立系统运动学与动力学方程。● 建立稳定的、有效的数值计算方法，分析弹件变形对静态偏差、
隐定性、动态响应的影响，通过仿真由计算机自动产生系统的动
力学响应。● 将仿真结果通过计算机终端以方便直观的形式表达出来。实现有
效数据后处理，采用动画显示、图标或者其他方式提供数据后处
理。
在多刚体系统建模理论已经成熟的情况下，多体动力学的研究内容重点由多刚体系统转向了侧重多柔性体系统。由于多柔性系统能够比刚形体精确描述系统在实际工作状态下动态特性，多柔性体系统的建模和分析一直是计算多体动力学的重要内容和研究的热点。国内外的学者提出了许多新的概念和方法，其中，应用比较多的有浮动标架法、运动—弹性动力学方法、有限段方法，以及最新提出的绝对节点坐标法等。1.1.1 多刚体系统建模理论
多刚体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况（自由质点）和一般简单的情况（少数多个刚体），是经典力学的研究内容。多刚体系统动力学就是为多个刚体组成的复杂系统的运动学和动力学分析建立适宜于计算机程序求解的数学模型，并寻求高效、稳定的数值求解方法。由经典力学逐步发展形成了多刚体系统动力学，在发展过程中形成了各具特色的多个流派。
对于由多个刚体组成的复杂系统，理论上可以采用经典力学的方法，即以牛顿—欧拉方法为代表的矢量力学方法和以拉格朗日方程为代表的分析力学方法。这种方法对于单刚体或者少数几个刚体组成的系统是可行的，但随着刚体数目的增加，方程复杂度成倍增长，寻求其解析解往往是不可能的。由于计算机数值计算方法的出现，使得面向具体问题的程序数值方法成为求解复杂问题的一条可行道路，即针对具体的多刚体问题列出其数学方程，再编制数值计算程序进行求解。对于每一个具体的问题都要编制相应的程序进行求解，虽然可以得到合理的结果，但是这个过程长期的重复是让人不可忍受的，于是寻求一种适合计算机操作的程式化的建模和求解方法变得迫切需要了。20世纪60年代初期，在航天领域和机械领域，分别展开了对于多刚体系统动力学的研究，并且形成了不同派别的研究方法。如罗伯森·维滕堡（Roberson·Wittenburg）方法、凯恩（Kane）方法、旋量方法和变分方法等。
对于多刚体系统，从20世纪60～80年代，在航天和机械两个领域形成了两类不同的数学建模方法，分别称为拉格朗日方法和笛卡儿方法；20世纪90年代，在笛卡儿方法的基础上又形成了完全笛卡儿方法这几种建模方法的主要区别在于对刚体位形描述的不同。
航天领域形成的拉格朗日方法，是一种相对坐标方法，以Roberson·Wittenburg方法为代表，是以系统每个铰的一对邻接刚体为单元，以一个刚体为参考物，另一个刚体相对该刚体的位置由铰的广义坐标（又称为拉格朗日坐标）来描述，广义坐标通常为连接刚体之间的相对转角或位移。这样，开环系统的位置完全可由所有铰的拉格朗日坐标阵q所确定。其动力学方程的形式为拉格朗日坐标阵的二阶微分方程组，即
这种形式首先在解决拓扑为树的航天器问题时推出。其优点是方程个数最少，树系统的坐标数等于系统自由度，而且动力学方程易转化为常微分方程组（ODEs-Ordinary Differential Equations）。但方程呈严重非线性，为使方程具有程式化与通用性，在矩阵A与B中常常包含描述系统拓扑的信息，其形式相当复杂，而且在选择广义坐标时需人为干预，不利于计算机自动建模。不过目前对于多体系统动力学的研究比较深入，现在有几种应用软件采用拉格朗日的方法也取得了较好的效果。
对于非树系统，拉格朗日方法要采用切割铰的方法以消除闭环，引入了额外的约束，使得产生的动力学方程为微分代数方程，不能直接采用常微分方程算法去求解，需要专门的求解技术。
机械领域形成的笛卡儿方法是一种绝对坐标方法，即Chace和Haug提出的方法，以系统中每一个物体为单元，建立固结在刚体上的坐标系，刚体的位置相对于一个公共参考基进行定义，其位置坐标（又称为广义坐标）统一为刚体坐标系基点的笛卡儿坐标与坐标系的方位坐标，方位坐标可以选用欧拉角或欧拉参数。单个物体位置坐标在二维系统中为3个，在三维系统中为6个（如果采用欧拉参数为7个）。对于由N个刚体组成的系统，位置坐标阵q中的坐标个数为3N（二维）、6N或7N（三维），由于铰约束的存在，这些位置坐标不独立。系统动力学模型的一般形式可表示为
式中，Φ为位置坐标阵q的约束方程，Φq为约束方程的雅可比矩阵，λ为拉格朗日乘子。
这类数学模型就是微分—代数方程组（DAEs - Differential Algebraic Equations），又称为欧拉—拉格朗日方程组（Euler-Lagrange Equations），其方程个数较多，但系数矩阵呈稀疏状，适用于计算机自动建立统一的模型进行处理。笛卡儿方法对于多刚体系统的处理不区分开环与闭环（即树系统与非树系统），统一处理。目前，国际上最著名的两个动力学分析商业软件ADAMS和DADS都是采用这种建模方法。
完全笛卡儿坐标方法，由Garcia和Bayo于1994年提出，是另一种形式的绝对坐标方法。这种方法的特点是避免使用一般笛卡儿方法中的欧拉角或欧拉参数，而是利用与刚体固结的若干参考点和参考矢量的笛卡儿坐标描述刚体空间位置与姿态。参考点选择在铰的中心，参考矢量沿铰的转轴或滑移轴，通常可由多个刚体共享而使未知变量减少。完全笛卡儿坐标所形成的动力学方程与一般笛卡儿方法本质相同，只是其雅可比矩阵为坐标线性函数，便于计算。1.1.2 刚柔耦合多体系统动力学的进展
实际工程中，绝对的刚形体是不存在的。一个多体系统的构件在运动过程中，或多或少地会表现其柔性体特征。为了更为真实地模拟机构实际工作状态，在多刚体建模成熟的今天，刚柔耦合多体系统动力学建模成为多体动力学建模研究的重点。
对于刚柔耦合（柔性）多体系统，从计算多体系统动力学理论上来说，刚柔耦合（柔性）多体系统动力学的数学模型能够和多刚体系统与结构动力学存在兼容性，或者说，可以将多刚体系统看作刚柔耦合（柔性）多体系统所有部件柔性特性不明显的特例。
在柔性体的建模方法上，工程界许多学者一直致力于把有限元分析与多体力学的分析统一起来，进行多柔性体动力学建模研究，这也是近年来多体动力学分析的一个研究热点。
模态柔性体是在工程中应用最广的一种柔性体。一般先用有限元程序计算得出部件的模态参数，然后利用包含模态信息的有限元模型代替多体系统中的刚体，该柔体在多体中受力后的响应是用模态叠加法计算的，对于高端多体仿真软件模态柔体方法在其中普遍实现了。模态柔性体的理论基础是固定界面模态综合法，最早由Hurty提出，随后由R.R.Craig和M.C.C.Bampton在1966对Hurty提出的理论进行改进，所以，此方法又称为Craig- Bampton方法，属于动态子结构方法的一种。一般，首先将整个结构划分为若干子结构，并将子结构的界面完全固定。构造由固定界面的分支保留主模态集合全部界面坐标的约束模态集组成的建设分支模态集。对各子结构分析完成以后，对个子结构作模态坐标变换，将物理坐标变换到缩减后的模态坐标下；进行第二次坐标变换，非独立的模态坐标，建立系统运动方程，最后返回物理坐标再现子结构。具体详细推导过程见参考文献。可见，模态柔性体是与有限元模态分析技术紧密结合在一起的。模态柔性体用变形体的模态矢量及相应的模态坐标的线性组合来描述物体的弹性变形，同时可以把相对于变形贡献小的模态忽略，从而可以利用较少的模态自由度比较准确地描述系统构件的动态特性，由于缩减了求解规模，大大节省计算时间，降低了对计算机硬件的要求，因而得到了大量的应用。模态柔性体最大的缺点就是不能够描述大变形柔性体的运动特性，只能够用于分析变形相对较小柔性体的动力学特性。另外，局限性也是很明显的：对接触问题的建模不准确，因为接触是用虚拟的“触点”表述，要提高精度需要静力修正模态；柔体变形后模态模型需要更新，但是需要运行外部有限元程序进行模态分析，这很难实现。1.1.3 模态柔性体建模原理
在构建诸如摩擦提升机这类比较复杂结构的柔性体时，采用有限元方法对研究对象进行离散化，往往会使系统的自由度多达几千、几万阶以上，求解这样大自由度系统的特征问题，在实际过程中会遇到许多困难。动态子结构模态综合法是解决复杂结构动力学分析的有效方法。该方法可以在不改变问题本质的基础上大幅度缩减整体结构的自由度。
基于模态综合法的柔性体（模态柔性体）变形描述基本原理是将柔性体视为有限元模型节点的集合，从而用模态来表示物体弹性的。利用此种方法建立的柔性体对于计算弹性小、变形的系统是相当有效的。模态柔性体建模基本思想是赋予系统中每个柔性体各一个模态集，利用模态展开法，将柔性体中节点的线性局部运动近似为模态振型或模态振型矢量的线性叠加。通过计算每一时刻物体的弹性位移来描述系统中柔性体的变形运动。
模态综合法根据各子结构间连接关系的不同，可以分为自由界面模态综合法、固定界面模态综合法、混合界面模态综合法三种。Craig-Bampton法是固定界面模态综合法中具有代表性，应用最多的的一种方法。
传统的Craig-Bampton法是将弹性结构分为n个子结构，每个子结构用λ（λ=1,2,…,n）标号，并假定其模态集为
式中，为假定子结构界面坐标固定得到的分支保留模态；i为内部自由度数；j为界面自由度数；k为保留的主模态数；为子结构对全部界面坐标约束模态；c为子结构附加约束的自由度数，为界面坐标依次产生单位位移引起的内部坐标的静模态；为界面坐标依次产生的单位位移。
对各子结构有限元离散化后，求界面固定状态下的特征值，求解方程，即
得到正则化的固定界面分支主模态，即
结构的静力平衡方程可以表示为
子结构的模态坐标和物理坐标的变换关系为
显然，式（1-10）给出了利用Craig-Bampton法把子结构的弹性变形用模态坐标形式表示的方法。
由Craig-Bampton子结构模态综合法原理可知：此方法是以利用结构模态基函数和模态坐标来描述柔性结构相对于浮动坐标系的弹性小变形；以约束模态和固定边界的正则模态把柔性系统的自由度分成边界自由度与内部自由度；利用模态变换得到结构的广义质量、对角矩阵与刚度对角矩阵；柔性结构的质量矩阵在约束模态和固定边界的正则模态之间具有惯性耦合，而刚度矩阵为非耦合的。
Craig-Bampton子结构模态综合法优缺点也是显而易见的：它的优点是能够方便地描述柔性体的柔性效应；缺点是约束模态为6个不能失效的刚体模态，这不但会增加多体系统的约束，而且其约束模态由于是基于静态载荷法获得的，从而不能考虑影响柔性多体系统的动态响应特性的因素。所以，在多体动力学中并不能直接应用这种方法，而是采用修正后的Craig-Bampton方法。
修正的Craig-Bampton方法是指把每个柔性体看作一个子结构，首先利用未经修正的Craig-Bampton方法得到其物理坐标的变形。
对于每一个子结构的动力学方程，即
式中，mλ为子结构的质量矩阵；cλ为子结构的阻尼矩阵；kλ为子结构的刚度矩阵；Fλ为子结构的外载荷矩阵。
将式（1-8）带入式（1-9）得到子结构的模态质量矩阵和模态刚度矩阵，为了书写方便，以下略去上标λ，即
得到单个子结构无阻尼运动方程为
式（1-14）中的质量矩阵和刚度矩阵的阶数大大降低。由于各子结构的分析是独立进行的，为了把坐标的变换扩充到整个结构，建立一组非耦合但不是都独立的运动方程，需要作两次坐标变换实现各子结构的连接。
第一次坐标变换，即
同理，可以得到各子结构的刚度矩阵与质量矩阵，即
建立系统在模态坐标［p］下的非耦合整体运动方程为
由于各子结构是通过界面连接而成的，根据界面的唯一连续条件，把各子结构的动力学方程组合成整体动力学方程。假定两个子结构在α、β之间有对接面，则α、β处的模态坐标可以分别写成如下：
结合面位移连接的条件为
从而得到第二次坐标变换，连接各子结构装配成广义坐标{q}下的系统方程，即
式中，{pk}表示对应于所有子结构主模态的模态坐标；{pc}表示对应于所有子结构界面的独立模态的模态坐标。
将式（1-21）带入式（1-18）得
得到整体系统的特征方程，表示为
解方程（1-25）得到整体系统的特征值和特征矢量，再经过两次坐标逆变换，就可以得到整体系统在物理坐标下的动态响应。
由此可知，利用修正后的Craig-Bampton固定界面法，对界面的坐标依次固定时产生的模态被无约束的模态近似值代替；约束的模态用边界特征矢量替代。这样，零频率所对应的6个刚体运动模态被除去了，由于所有的模态都与频率对应，对高频产生的模态进行预测，可以根据需要截取所需的低频模态。
在多柔性动力学中，应用的基于模态坐标的柔性体与有限元方法有着密切的关系。Craig-Bampton方法同有限元的关系如表1-1所示。表1-1 Craig-Bampton方法同有限元方法的类比
柔性多体系统不存在连体基，通常选定一浮动坐标系描述物体的大范围运动，物体的弹性变形将相对该坐标系定义。弹性体相对于浮动坐标系的离散将采用有限单元法与现代模态综合分析方法。某用集中质量有限单元法或一致质量有限单元法处理弹性体时，用节点坐标来描述弹性变形。在用正则模态或动态子结构等模态分析方法处理弹性体时用模态坐标描述弹性变形。这就是莱肯斯首先提出的描述柔性多体系统的混合坐标方法，即用坐标阵p=（qT aT）T描述系统的位形，其中，q为浮动坐标系的位形坐标，a为变形坐标。考虑到多刚体系统的两种流派，在柔性多体系统动力学中也相应提出两种混合坐标，即浮动坐标系的拉格朗日坐标加弹性坐标与浮动坐标系的笛卡儿坐标加弹性坐标。
根据动力学基本原理推导的柔性多体系统动力学方程，形式同式（1-1）和式（1-2），只是将q用p代替，即柔性多体系统具有与多刚体系统类同的动力学数学模型。1.1.4 有限元柔性体建模原理
由A.A.Shabana提出的绝对节点坐标法可以说是柔性多体力学发展的一个重要进展，是近年来最具有代表性的多体动力学研究成果；它同时也是对有限元技术的较大拓展和创新。通常在有限元法中，梁单元、板壳单元由于采用节点微小转动作为节点坐标，因而不能精确描述刚体大变形运动。在绝对节点坐标法中，由于采用节点位移和节点斜率作为节点坐标，其形函数不仅可以有结构的弹性变形，而且能够描述任意刚体大变形位移。从而利用绝对节点坐标方程可以对作大变形柔性体的运动进行研究。同时，利用绝对节点坐标方程时，梁和板壳可以看作等参单元，这样系统的质量阵为一常数阵，然而，其刚度阵为强非线性阵。从理论上讲，绝对节点坐标方程是基于连续结构几何非线性理论，由于保留了纵向应变和弹性力的高阶项，所以，绝对节点坐标方程能够分析结构大变形，以及转动等运动及动力学问题，已经应用于多项工程的研究之中。
最近提出的有限元多柔性体MFBD（Multi-Flexible-Body Dynamics）技术是多体动力学发展的又一个重要成就。它首次实现了有限元技术与多体动力学的有机结合，克服了模态柔性体的缺点，能够精确表达接触力引起的局部变形，并且能够表达柔体累计的非线性变形，可用于结构大变形的分析，在分析的过程中，可以得到结构柔性体上节点应力随时间变化的过程。需要说明的是，MFBD技术不是取代了模态缩减法，而是采用“节点法”对它进行了补充和扩展，应用到真实的有限元结构，从而可以在一个系统中合并两种方法。
与模态柔性体不同的是，有限元柔性体利用柔性体节点之间的相对位移和相对旋转作为描述柔性体变形的量。有限元多柔体技术是现代最新的多体动力学仿真技术，它在充分考虑系统动力学的前提下，对柔性体和复杂接触进行了一个正确的表述。首次将多体动力学分析和有限元分析两个单独的领域合并起来，排除了模态缩减的明显弊端。采用此方法，能够精确地预测柔性体之间，以及柔性体和刚体间的接触问题，同时能够直接得到有效的应力结果。“模态缩减”方法求解有限元结构问题，通过有限元程序预先求解结构的特征值，进而得到模态缩减的柔性体结构。该方法已经满足了许多应用的需要，但是对于一些重要的应用呈现出了较大局限性。一方面这些线性化的柔性体不允许出现大变形，更为重要的是不具备足够的刚度信息，接触计算比较困难，甚至不能实现。因为结果的好坏直接取决于从有限元程序倒入特征值，评价组件的应力显得非常重要。有限元柔性体新技术不是为了取代模态缩减法，而是采用“节点法”对它补充扩展，应用真实的有限元结构，在一个系统中合并两种方法。
采用有限元柔性体，不再需要一个单独的有限元工具预先对柔性体求解，仿真过程中通过反复计算结构矩阵，可以进行精确地应力分析、考虑柔性体结构间的碰撞与接触，以及考虑非线性变形。
以下以梁单元的有限元柔性体为例来说明有限元柔性体的建模原理。
如图1-1所示，系统是由按照一定次序连接而成的三维梁单元组成的多柔性体系统，在这个系统中将相邻节点的相对位移作为基本未知量，从而建立整个系统的运动方程。在空间结构中把已经离散化的连续的一系列梁单元中任意取出两个单元i−1和i（图1-2）。单元i−1由节点i−1和i组成，单元i由节点i和节点i+1组成。在空间结构中，在每个梁单元的节点上有6个自由度：沿着X、Y、Z三个方向的线位移和绕X、Y、Z三个轴的角位移。节点坐标的X轴方向为沿着梁单元的纵向的方向，Z轴方向为沿着梁单元的横向方向，Y轴方向由右手定则确定。变形前后的两个梁单元如图1-2所示。引入梁单元的节点参考坐标系，来描述节点的位置和方向矢量。图1-2中的坐标系X-Y-Z为总体惯性坐标系；xk−yk−zk（k为梁单元的节点编号i，j）为节点k的节点参考坐标系；rk表示节点k在总体惯性坐标系的位置矢量。x（i−1）i−y（i−1）i−z（i−1）i为固结在节点i上，关于节点i−1的为随体坐标系。随体坐标系与结构力学中有限元单元坐标系相同，是与节点上邻域的微元相固连的，而不是浮动的，即随体坐标系随着柔性体的变化而变化。在单元i-1没有变形的情况下，节点随体参考坐标系x（i−1）i−y（i−1）i−z（i−1）i和节点参考坐标系xi−1−yi−1−zi−1的方向是一致的。图1-1 梁单元划分及节点分布图1-2 梁单元变形示意图
对于柔性体任意一点p的位置变化可以表示为
式中，r为点p在总体惯性坐标系中关于X、Y、Z的位置矢量；ro为浮动坐标系原点在总体惯性坐标系中的位置矢量；A为关于空间坐标变换的方向余弦矩阵；sp为柔性体在没变形时，点p在随体坐标系中位置矢量；up为相对变形矢量，包括位置变形及方向的变化。
系统任意一节点在惯性坐标系的速度和虚位移分别定义为
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