作者：王潼
出版社：中国经济出版社
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宏观经济区间数据泛论试读：
前言
继时间序列数据和面板数据之后，近年来，区间数据受到经济学家的特别关注。
宏观经济指标从不同侧面反映社会经济活动，它们的年度取值与季度取值及月度取值之间的数量联系，是客观经济活动特征的一种外在表现。
数学区间概念和区间分析方法为研究宏观经济指标年度取值与季度取值及月度取值之间的数量联系提供了有力的工具。可以严格证明，可加性宏观经济指标的年增长率均有其合理的运行区间（适当的运行区间），其上下限值可按确定规则在其本年季度增长率和月度增长率数值中寻找。此结论称为宏观经济指标区间定理。与此同时，可以严格证明，用月度数据找出的宏观经济指标的年增长率的合理运行区间可以嵌套用季度数据找出的该宏观经济指标的年增长率的合理运行区间，后者，又可嵌套用半年度数据找出的此宏观经济指标的年增长率的合理运行区间，此结论称为宏观经济指标区间套定理。
本书依据区间数据观点，找到我国国内生产总值、社会物价水平、全社会固定资产投资、工业生产、社会消费品零售总额、国家财政收入、社会广义货币供应量、居民人均可支配收入、进出口总额和我国经济规模等宏观经济指标在我国经济新常态时期（2013—2017）各年增长率的合理运行区间（适当区间）及其上下限值，并综合分析比较了这些区间的特征，以及它们的长度和中间数，从而验证了宏观经济指标区间定理和宏观经济指标区间套定理，描述了新常态时期我国经济发展的主要区间数据数量特征。
本书依区间数据观点对宏观经济指标进行预测，提出新的预测方法和评估预测准确度的标准。区间经济预测比（依计量经济学的）定点经济预测具有优越性，容易预测成功，区间经济预测是一种模糊预测，是一种可以按季度（或月度）滚动的预测。
本书使用的数据截止日期为2018年第二季度（季度数据）和2018年6月（月度数据）。本书为宏观经济区间数据学的泛论，是一部抛砖引玉的著作。笔者在书中指明了宏观经济区间数据学未来的发展方向，为数量经济学研究提供了一些思路。第一章 区间数据的一般知识第一节 日常生活中，区间数据无处不在
在日常生活中，到处可遇见大量的区间数据。学校里，每节课都是以其开始时间和结束时间为标识的。天气预报中的最高温度和最低温度。在体育竞技、各种文艺比赛、裁判评分等中，都有最高分和最低分。
凡此种种都说明，区间数据无处不在，区间数据与人们的日常生活密切相关。一般来说，在日常生活中，时点数据侧重于对事物做定量的描述；如果再加以相应的区间数据，则可对事物做一定程度定性的描述。
表1-1为笔者血常规的体检报告摘要。此表共五列，（从左往右）第一、第二列为五种血常规指标名称，第三列为它们的检测值，第四列为各项指标正常值范围，第五列为各项指标正常值的测量单位。可称各项检测值为时点数据，或定点数据；同时，标识各项指标正常值范围的数据为区间数据。时点数据是一维数据；区间数据是二维数据，每个区间数据都有其上限值和下限值。表1-1 血常规检验报告单
由表1-1可见，时点数据（定点数据）和其相应的区间数据密切相关，二者相互依赖，互相补充，相辅相成。检测所得的时点数据，只有对照其区间数据，才有明确的意义，才能判断相应的指标是否正常，是高或是低（是多还是少，是大还是小），从而采取相应的措施。只有将这些区间数据和相应的检测数据对比时，区间数据才能发挥其作用。第二节 经济区间数据
在众多区间数据中，最引人注目的是具有经济（金融）意义的区间数据。
每只股票、每只债券、每宗期货，每天都有开盘价和收盘价。大量和人们日常生活密切相关的时令商品（蔬菜、水果和肉食等），每周、每月和每年都有最高价和最低价。许多宏观经济数据都有其变化的范围，这些范围大都可用其范围的上限和下限来界定。一、经济指标定点值
一般来说，人们日常生活中习惯使用经济指标的定点值。例如，2017年8月15日，北京市西城区万方超市一斤西红柿的价格是3.5元。这里，经济指标取值指向确定的经济实体——西红柿；同时，经济指标的取值，与确定的地点和确定的时间及确定的度量相联系：确定的地点是北京市西城区万方超市；确定的时间是2017年8月15日；确定的度量是一斤。
经济指标定点值对消费者十分重要。消费者经常从多种实体店和网站比较各种商品的经济指标定点值，以决定自己的购买行为。二、经济指标区间值
经济经营者（如万方超市的管理者）和经济管理者（如北京市西城区物价局的管理者）更关心经济指标区间值。例如，2017年，8月1—30日，北京市西城区万方超市一斤西红柿的最低价和最高价是多少？假定最低价是3.2元，最高价是3.6元，则3.2是此经济指标区间值的下限，3.6是此经济指标区间值的上限。三、经济区间数据的标识
经济区间数据可用X（a，b）标识，X是数据的经济名称，a是经济数据的下限，b是经济数据的上限。根据X所描述的经济现象，经济活动或经济过程不同，a和b取不同的单位。
例如，GDPR（a，b）标识GDP年增速区间，GDPR（2017）（a，b）标识2017年GDP增速区间。其中，R是增速。GDPR（2017）（a，b）=（6.7%，6.9%），上式读作：2017年GDP增速区间的下限是6.7%，上限是6.9%。四、经济区间数据X（a，b）的长度
定义经济区间数据X（a，b）的长度为L=b-a；其中，L表示对经济区间数据X（a，b）取长度；例如，LGDPR（2017）=6.9%-6.7%=0.2%五、经济区间数据的中间数
经济区间数据X（a，b）的上下限之和的一半，可称为此区间数据的中间数m，其中，M表示对经济区间数据X（a，b）取中间数。例如，MGDPR（2017）=（6.9%+6.7%）/2=6.8%第三节 经济指标区间数据时间序列
如同不同时刻的经济指标定点值可以组成时间序列一样，经济指标区间数据亦可组成区间数据时间序列。
以PT（2017）表示2017年上半年各月北京市西城区万方超市一i斤西红柿的价格区间数据时间序列：其中，P表示价格，T表示西红柿，i（i=1，2，…，6）表示月份，如表1-2所示。表1-2 2017年上半年北京市西城区万方超市西红柿价格
根据表1-2可知，PT（2017）=（4.3，5.4）是2017年2月西红柿2的最高价（5.4元／斤）和最低价（4.3元／斤）。
2017年上半年各月北京市西城区万方超市一斤西红柿的价格区间数据时间序列的数学形式为PT（2017）（a，b）（i=1，2，…，6）iii
同样，可以组成经济区间数据下（上）限时间序列，它们是定点值序列，其中，经济区间数据的中间数时间序列尤为重要。
显然，对超市管理者或政府市场监督者而言，采集或获取上述一定时期的（西红柿）经济区间数据时间序列，能更清晰和更直观地了解（西红柿）市场的销售情况，从而帮助他们对市场进行管理。
对于宏观经济分析而言，区间数据的上限时间序列和区间数据的下限时间序列，以及区间数据的中间数时间序列都有重要作用。第四节 经济区间数据矩阵
以上我们只讨论了一个经济对象（西红柿）的经济区间数据时间序列。类似地，我们还可以讨论其他蔬菜的经济区间数据时间序列。例如，西兰花、洋葱、土豆……的经济区间数据时间序列。
我们可以用i=1，2，…，6，表示月份；j=1，2，…，4，表示蔬菜种类。Y表示西红柿，Y表示西兰花，Y表示洋葱，Y表示黄瓜。1234这样，我们就可以组成一个四列（用Y表示）六行（用S表示）的ji2017年上半年北京市西城区万方超市四种蔬菜的价格经济区间数据的矩阵，如表1-3所示。表1-3 经济区间数据矩阵
根据表1-3，用a表示第i月第j种蔬菜当月的最低零售价；用b表ijij示第i月第j种蔬菜当月的最高零售价。
对超市管理者或政府市场监督者而言，采集或获取上述一定时期的（各种蔬菜）经济数据时间序列并组成其数据矩阵，能更清晰、直观、全面地了解整个蔬菜市场的销售情况，从而帮助他们对市场实施精细化管理。第五节 大数据时代的区间数据经济学新篇章
大数据时代，在云技术的支持下，要获得当i=50，j=100的上述经济区间数据矩阵，只是举手之劳。这样，在连续50个月中的100种蔬菜在万方超市的销售情况便一清二楚。
上述50×100×2的经济区间数据称为经济符号数据，它是大数据的一种重要类型。
对于经济符号数据，和其他类型大数据一样，可以进行各种分析和挖掘，测算其数理统计参数，描述其数理统计分布特征，实施各种可能的聚类，从而对客观经济情况（市场情况）做出科学的分析和判断，相应地采取有效的管理措施，以保证经济活动正常进行。
特别要指出的是，聚类分析对正确了解和管理市场具有重要性。对于蔬菜市场，可以实施绿色蔬菜、白色蔬菜、红色蔬菜和其他蔬菜等区间数据的聚类，分析它们的生物特征、营养价值、需求和供给以及价格变化，从中得出规律性认识，为蔬菜生产者和经营者提供指导。
以上只对蔬菜销售举例说明，微观和宏观经济各领域、各企业，均可参照此例。
在云计算时代，树立大数据区间观点，实施大数据区间分析，区间数据经济学将面目一新。
20世纪30年代兴起的古典计量经济学主要是以分析研究建模时间序列数据为基础；面板数据概念的提出，使计量经济学的研究范围得以扩大，应用范围更加广泛。现在的大数据（包括符号数据和区间数据）无疑会将计量经济学研究引向新的高峰，其应用范围将会扩大到经济和社会生活的方方面面。第二章 宏观经济指标区间定理和区间套定理第一节 泛谈宏观经济指标一、我国宏观经济指标
宏观经济指标区别于微观经济指标，具有总量性、综合性和复杂性的特征；微观经济指标往往是个量指标、单一性指标和简单的指标。宏观经济指标的数值，经常反映的是多种经济活动互相关联、互相影响的结果，是各种错综复杂的经济关系的数量表现。宏观经济指标的某些数量特征、年度取值和其季度取值及月度取值之间的数量联系，是客观经济活动特征的一种外在表现。
人类社会经济活动和自然界物体运动有相似之处，它们都遵循惯性定律。一般情况下，经济发展具有连续性的特征。宏观经济指标从不同侧面反映社会经济活动，它们的取值也遵循惯性定律。因此，它们的年度增长率与其季度、月度增长率之间必然存在着某种数量关系。
俗话说，“冰冻三尺，非一日之寒”。在观察和分析一项宏观经济指标的年度表现时，不能不与其在本年度内的各时间段（季度、月度、周甚至日）的表现相联系、相关联。
宏观经济指标的增长率取值有时比其本身的取值更重要：宏观经济指标的增长率是判断经济形势、分析经济走势和决定经济政策的重要依据，也是宏观经济预测最重要的内容。
数学区间概念和区间分析方法为研究宏观经济指标年度增长率取值和其季度增长率取值及月度增长率取值之间的数量联系提供了有力的工具。
我国宏观经济指标的时间跨度有年度指标、季度指标和月度指标。我国许多宏观经济指标既有年度值，又有季度值和月度值。有些宏观经济指标只有年度值和季度值，没有月度值；有些宏观经济指标只有年度值和月度值，没有季度值，但是由月度值很容易得出其季度值。
我国许多月度宏观经济指标都是用累计法统计的。季节因素对我国经济活动有着非常深刻的影响，尤其是春节因素的影响，是十分复杂的。统计部门和经济学家对这些因素的科学合理的估计和测算，尚未取得共识，因此，在我国国家统计数据中，有很多的宏观经济指标采用累计的方法统计。无论是这些指标的实际取值（同期值或期末值），还是它们的累计增长率的测算，都是以每年1月1日作为累计起点的。在这些累计法统计的指标中，每年1月和2月没有单独的统计数据，只有1月和2月累计的统计数据或第一季度累计的统计数据。本书用累计法统计的宏观经济指标的12月（或第四季度）的统计值即是该项经济指标的全年统计值。
用累计法统计的宏观经济指标的月度数据时间序列的图像，给人一种残缺不全的印象。有时，用累计方法统计的宏观经济指标的12月（或第四季度）的统计值与在年度数据中的该项指标取值有差别，这主要是年度指标的统计口径与累计月度指标统计口径不完全一致所致。
图2-1为近5年来用累计法统计的我国固定资产投资月度增长率（MTFINVR）时间序列。这种残缺不全的时间序列给经济数量分析工作带来许多困难。图2-1 2013—2018年我国固定资产投资月度增长率（MTFINVR）时间序列
本书中所有宏观经济指标的年度、半年度、季度和月度值均来自我国国家统计局官方网站国家数据。二、不同统计方法下宏观经济指标增长率换算问题
我国宏观经济指标的增长率有年度增长率、季度增长率和月度增长率，在这些增长率中，有的是同比（与上年比，与上年同一季度比或与上年同一月度比）增长率，有的是环比增长率（与相邻的上季度比或与相邻的上月度比）。
现设法将按累计法统计的宏观经济指标的月度累计同比增长率换算为该指标按季度的同比增长率。
设某项宏观经济指标X的有关当期值统计数据如下：
把第一年第一季度和第二季度以及第二年第一季度和第二季度的指标X值记为X（i，j）；i=1，2；j=1，2，其中，i表示年度，j表示季度。具体而言，令X（1，1）=a，X（1，2）=a；12X（2，1）=b，X（2，2）=b；12
这时，（b-a）/a=V1111
是X指标第二年第一季度的同比增长率（或累计同比增长率）；而［（b+b）-（a+a）］/（a+a）=V1212122
是X指标第二年上半年累计的增长率。
现设法在已知V和V的情况下，求出X指标第二年第二季度的同12比增长率Y=（b-a）/a222容易看出，（b-a）+（b-a）=V（a+a）；1122212
所以，（b-a）/a=［V（a+a）-（b-a）］/a=［V（a+a）/aa-22221211221212V/a］×a=V（a+a）/a-Va/a=V（a/a）+V-V（a/a）12121221122122112=C（V-V）+V；1212上面，C=a/a；112假定D=（a-a）/a1211所求X指标第二年第二季度的同比增长率是C=1/（1+D）；11所求X指标第二年第二季度的同比增长率为Y=C（V-V）+V=（V-V）/（1+D）+V；12122112
这样，就可以根据经济指标X第二年累计的第一季度同比增长率和其上半年累计同比增长率求出其第二年第二季度的同比增长率，此时，要使用其第一年第二季度的环比增长率。第二节 可加性宏观经济指标与经济增长率的重要性一、可加性宏观经济指标
若一项宏观经济指标的年度值等于其所含2个半年度值之和，其半年度值等于其所含2个季度值之和，其季度值等于其所含3个月度值之和，则称此项宏观经济指标为可加性宏观经济指标。大部分宏观经济指标是可加的，如（名义和实际）国内生产总值、社会消费品零售总额等；也有不少宏观经济指标是不可加的，如社会消费品零售物价指数和生产者物价指数等。还有许多宏观经济指标虽然是可加的，但只有年度统计数据，没有相应的季度和月度统计数据，也使它们成为“似可加”的，如财政赤字、国家债务等。由于对这些经济指标缺乏足够的统计信息支持，对它们的年度增长率也就无合理运行区间可言。有些经济指标（如各种固定资产投资指标）只有累计月度形式，它们“表面上”亦属不可加的，但经过数量处理后，它们便成为可加的。
可加性宏观经济指标亦可称为可分解性宏观经济指标。即其年度值可分解为其季度值之和，其季度值可分解为其月度值之和。
在使用区间数据分析方法分析我国宏观经济指标数据时，不但要注意这些指标的时间跨度（年度、半年度、季度或月度），还要注意这些指标的取值特征，是当期值（同期值）、累计值还是期末值等。二、经济增长率（一）经济增长率的定义
1．时变经济增长率
一般而言，设t为时间，X（t）为一时变经济变量，其增长率定义为
当X（t）为一经济流量时，它的增长率表示其变化速度与其自身变化的比率；当存在与X（t）对应的经济存量时，即若有时，则X（t）也表示此经济存量变化的加速度与其变化速度的比率，即
由于离散程度（时间间隔）不同，上述时变经济增长率可取年度、半年度、季度和月度经济增长率等离散形式。
2．年度经济增长率
设X（t）为一个以年度计的经济指标，t=1，2，3，…，n，表示年份。这时，经济指标X在t年的增长率定义为V（t）=［X（t）-X（t-1）］/X（t）
一般来说，年度经济增长率以百分数表示。这样，就要适当地取V（t）的有效数位。
3．半年度经济增长率
设X（p）为一个以半年度计的经济指标，p=1，2，3，…，n，表示半年份。这时，经济指标X在p半年的同比增长率定义为V（p）=［X（p）-X（p-2）］/X（p）
一般来说，半年度同比经济增长率以百分数表示。这样，就要适当地取V（p）的有效数位。
4．季度经济增长率
季度同比经济增长率
设X（s）为一以季度计的经济指标的原始统计数据，s=1，2，3，…，n，表示季度。这时，经济指标X在s季度的同比增长率定义为V（s）=［X（s）-X（s-4）］/X（s-4）
一般来说，季度同比经济增长率也以百分数表示。这样，要适当地取V（s）的有效数位。
季度环比经济增长率
将原始经济统计数据经过季节调整后，可以测算季度环比经济增长率。
设X（r）为一以季度计的经过季节调整后的经济指标，r=1，2，3，…，n，表示季度。这时，经济指标X在r季度的环比（同相邻的上季度比）增长率定义为V（r）=［X（r）-X（r-1）］/X（r-1）
一般来说，季度环比经济增长率也以百分数表示。这样，要适当地取V（r）的有效数位。
当然，也可以使用季节调整数据测算季节调整半年度和季度同比增长率。
我国尚未对主要宏观经济指标进行季节调整。我国公布的环比增长率是以原始统计数据为基础的。
年化季度经济增长率
许多经济活动都是以年度时间跨度为周期的。季度同比和环比经济增长率都只观察到经济活动的局部（季度）情况。从年度的角度观察季度经济活动，可以帮助人们更全面地了解和正确评价本季度的经济活动及有关经济活动的政策效果。
得到某季度的季节调整经济增长率数据后，假定全年4个季度都可以实现相同的经济增长，即为本季度换算为年率的（季节调整）增长率。计算公式为4本季度年化增长率={Y/Y（-1）}-1其中，Y为本季度季节调整数据，Y（-1）为上季度季节调整数据。
某季度换算为年率的（季节调整）增长率向我们传递了一个信息，如果保持现行的经济政策基本不变，使全年各季的经济增长率如同本季，则本年度的（同比，同上年比）经济增长率即是本季度的换算为年率的（季节调整）增长率。
因此，得知（计算出）某季度换算为年率的（季节调整）增长率时，就可以知道本年度经济发展的预期增长率。
大多数发达国家采用换算为年率（年率化）的季度季节调整增长率数据。
5．月度经济增长率
使用月度原始统计数据可以测算经济活动的月度同比增长率。使用月度季节调整统计数据可以测算经济活动的月度环比增长率。
6．累计增长率
对于我国使用累计法统计的宏观经济指标而言，一般没有1月的月度同比增长率，3月的累计增长率即是第一季度同比增长率，前6个月的累计增长率即是上半年的同比增长率，全年12月底累计增长率，即是年度同比增长率。对这些使用累计法统计的宏观经济指标而言，第二季度、第三季度和第四季度的同比增长率都需要单独测算，各月的增长率也需要单独测算。（二）经济增长率的重要性
宏观经济指标的增长率取值一般比宏观经济指标本身取值更为重要。宏观经济指标的增长率是判断经济形势好坏，衡量经济政策效果，决定宏观调控措施和决策经济发展最重要的经济数据。
世界三大经济组织（世界贸易组织、世界银行、国际货币基金组织）的年度、半年度、季度或月度经济形势分析或预测报告中，90%以上的数据是增长率型数据。每年的我国经济发展年度预期目标中，主要的目标数据也是增长率型数据。第三节 宏观经济指标区间定理及其证明一、以实际GDP为例的宏观经济指标区间定理
现以典型的可加性宏观经济指标实际GDP为例，讨论其年增速的合理运行区间的存在性。所谓合理运行区间的存在性，就是指GDP的年度增长率可以用其半年度（或季度）增长率界定，或者可以用其半年度（或季度）增长率表示这个年度增长率的某种意义下的上下限。合理运行区间亦可称为适当区间。
1．将年度分解为上、下两个半年度的情形
假定第一年上半年实际GDP为a，下半年实际GDP为a；12
假定第二年上半年实际GDP为b，下半年实际GDP为b；12
这样，由于可加性，
第一年实际GDP为a+a=a；12
第二年实际GDP为b+b=b；12
第二年实际GDP增速为（b-a）/a=g；
第二年上半年实际GDP同比增速为（b-a）/a=g；1111
第二年下半年实际GDP同比增速为（b-a）/a=g。2222
假定，所讨论的经济处于增长时期，这样，假定：
a≤a；b≤b；b≥a，b≥a；12121122
并且，以上所有数据均为正数。
同时，不妨假定：min（g，g）=g；max（g，g）=g；121122
第二年实际GDP同比增速为g=（b-a）/a=［（b+b）-（a+a）］/（a+a）；121212
容易得出：g≥（b-a）/（a+a）≥（b-a）/2×a=g/2=max（g，g）/2；2212222212
g≤［（b-a）+（b-a）］/a≤［（b-a）/a］+［（b-a）/1122211122a］≤g+g=min（g，g）+max（g，g）≤2max（g，g）212121212
上述计算证明：第二年实际GDP同比增速g位于区间［max（g，g）/2，2max（g，g）］之中，或者，第二年实际1212GDP同比增速小于第二年上半年实际GDP同比增速和下半年实际GDP同比增速中最大者的2倍；同时，大于第二年上半年实际GDP同比增速和下半年实际GDP同比增速中最大者的1/2。
区间［max（g，g）/2，2max（g，g）］就是第二年实际1212GDP同比增速g的合理运行区间。这个区间是客观存在的，这个区间是可以用g和g界定的，即其上下限是可以用g和g表示的。1212
从以上讨论可见，当经济减速或经济波动时，同样可以找到第二年实际GDP同比增速g的合理运行区间。
2．将年度分解为季度和月度的情形
用上述方法，借助第一季度和第二季度的数据，可以找出上半年GDP增速的合理运行区间，同时，借助第三季度和第四季度的数据，可以找出下半年GDP增速的合理运行区间。这样，就可借助4个季度的数据，可以找出第二年全年GDP增速以季度数据界定的合理运行区间。
同样，可以使用可加性宏观经济指标的月度值，界定其年度指标年增长率的合理运行区间。
由以上讨论可见，可加性宏观经济指标年度经济增长率的合理运行区间是客观存在的，其合理运行区间的上下限数值可在其半年度、季度或月度增长率指标值中寻找。一般而言，每项宏观经济指标年度增长率的合理运行区间的上下限，既可在其月度增长率数据中寻找，也可在其季度和半年度增长率数据中寻找。如果在一项可加性宏观经济指标的季度和月度增长率数据中找不到此项经济指标的合理运行区间的上下限数值，则应怀疑相应统计数据的统计口径发生了变化。
上文，假定经济处于增长时期，即假定a≤a；b≤b；b≥a，b≥a；12121122
并且，以上所有数据均为正数。
其实，从上述证明过程可见，上面4个数据的大小排序，并不会影响合理运行区间的存在性，只不过它的上下限数值的表示方法会有所变化。
现假定经济在第二年下滑，即假定b 容易看出：g≤（b-a）/（a+a）≤（b-a）/2×a=g/2≤max（g，g）/2；1112111112 此外，再假定b-a≥b-a，这时，有1122g≥［（b-a）+（b-a）］/2a≥［（b-a）/a］=g=≥min（g，g）11222222212 这样，在第二年经济下滑的情况下：区间［min（g，g），12max（g，g）/2］就是第二年实际GDP增速g的合理运行区间。这个12区间是客观存在的。 用类似的方法，可以讨论第二年上半年经济上升、下半年经济下降，或者，上半年经济下降、下半年经济上升的情况。 总之，第二年经济变化（经济增长率）的合理运行区间均可用其上、下半年的经济速度在某种意义下界定。 上述简单的数学演算，说明经济发展过程中存在某些必然的数量联系，说明宏观经济指标存在某些内在的数量关系。这些数量关系在经济发展过程中是内在的，是客观存在的。 在实际具体寻找某项宏观经济指标的年度变化的合理运行区间时，不一定非要使用上述证明中较复杂的数据。实践证明，某项经济指标年度变化的合理运行区间经常可以简单地用其季度（月度）变化的最大值和最小值界定。 如果使用这种简单的方法，尚不能确定某项宏观经济指标的年度变化的合理区间，就可以借用上述证明中的数据，以确定此项经济指标年度变化的合理运行区间。 这里，用简单的数学知识证明了可加性宏观经济指标的年增长率必然有合理的运行区间，且其合理运行区间的上下限可按确定的方法，从其季度增长率或月度增长率中确定。但这并不意味着，对不可加性宏观经济指标不能找到其年度增长率的合理运行区间。恰恰相反，本书第三章介绍了如何寻找典型的不可加性宏观经济指标CPI（社会物价水平）的年度增长率的合理运行区间。 本节的证明结果，可称为宏观经济指标区间定理，它是深入研究和细致研究宏观经济的有效途径，是使用季度和月度数据研究宏观经济的有利工具。它不但在年度数据层次上研究宏观经济，而且在半年度、季度和月度层次上研究宏观经济，并把年度、半年度、季度和月度层次上的宏观经济研究有机、系统地结合起来，给人一种面貌一新的感觉。二、宏观经济指标区间定理的简明证明及应用 1．区间代数证明 设a，a，a，b，b，b均为正实数，且1212a=a+a，b=b+b；1212 令c=（b-a）/a，c=（b-a）/a，c=（b-a）/a；11112222 试设法使用c和c界定c的变化区间。12 解： 假定 a≤a，b≤b，容易证明，1212c≤c/2+c（a/2a），1221 同时，c≥c/2+c（a/2a）2112 2．宏观经济指标区间定理的应用 可加性宏观经济指标的年增长率均有其合理的运行区间（适当的运行区间），其上下限值可按确定规则在其本年的半年度增长率、季度增长率和月度增长率数值中寻找。可加性宏观经济指标的半年度增长率、季度增长率和月度增长率数值中最大值为此项宏观经济指标年度增长率的合理运行区间的上限；可加性宏观经济指标的半年度增长率、季度增长率和月度增长率数值中的最小值为此项宏观经济指标年度增长率的合理运行区间的下限（简明证明见上题）。第四节 宏观经济指标区间套定理及其证明一、宏观经济指标区间套定理 用（a，a）表示实数区间a，用（b，b）表示实数区间b。若1212a≤b，a≥b，则称区间a嵌套区间b，或区间b嵌套于区间a（内）。1122区间嵌套可用集合论符号⊆表示，即b⊆a。 用月度数据找出的宏观经济指标的年增长率的合理运行区间可以嵌套用季度数据找出的该宏观经济指标的年增长率的合理运行区间，后者，又可嵌套用半年度数据找出的此宏观经济指标的年增长率的合理运行区间。此结论称为宏观经济指标区间套定理。 从上面的讨论可知，对一项可分解性宏观经济指标而言，为寻找其合理运行区间，使用半年度数据找到的合理运行区间较使用季度数据找到的合理运行区间为窄，使用季度数据找到的合理运行区间较使用月度数据找到的合理运行区间为窄。二、宏观经济指标区间套定理的证明 设X为某宏观经济指标，其年度增长率的合理运行区间的半年度值为X（ah，bh），其年度增长率的合理运行区间的季度值为X（aq，bq），其年度增长率的合理运行区间的月度值为X（am，bm）。上述宏观经济指标合理运行区间套定理的数学表示为： X（ah，bh）⊆X（aq，bq）⊆X（am，bm），这时，自然有 LX（ah，bh）≤LX（aq，bq）≤LX（am，bm）； LX（a，b）表示区间X（a，b）的长度。 现只以实际GDP年增速为例，讨论和证明宏观经济合理运行区间套定理。 1．将年度分解为4个季度的情形 假定第一年1～4季度的实际GDP分别为a，a，a，a；1234 假定第二年1～4季度的实际GDP分别为b，b，b，b；1234 这样，第一年上半年的实际GDP为a+a=A，第一年下半年的实121际GDP为a+a=A；342 第二年上半年的实际GDP为b+b=B，第二年下半年的实际GDP121为b+b=B；342 第二年上半年实际GDP同比增速为（B-A）/A=G；1111 第二年下半年实际GDP同比增速为（B-A）/A=G；2222 第二年一季度实际GDP同比增速为（b-a）/a=g；1111 第二年二季度实际GDP同比增速为（b-a）/a=g；2222 第二年三季度实际GDP同比增速为（b-a）/a=g；3333 第二年四季度实际GDP同比增速为（b-a）/a=g；4444 假定，所讨论的经济处于增长时期，并假定： a≤a≤a≤a；b≤b≤b≤b；b≥a；b≥a；b≥a；b≥a；1234123411223344 亦即 A≤A，B≤B，B≥A，B≥A；12121122并且，以上所有数据皆为正数。 同时，不妨假定：g≤g≤g≤g1234且G≤G；12 由于a≤a，g=（b-a）/a≤（b-a）/a=g，1211112222 得出（b-a）≤（b-a）；1122 第二年上半年实际GDP同比增速为 G=（B-A）/A=［（b+b）-（a+a）］/（a+a）；1111121212 容易看出，G≥2（b-a）/2a，1112 即G≥g（a/a）；1112 同样，G≤2（b-a）/2a，1221 即G≤g（a/a）；1221 这样，第二年上半年实际GDP的同比增速G位于区间［g（a/111a），g（a/a）］；2221 同理，很容易计算出第二年下半年实际GDP的同比增速G位于2区间［g（a/a），g（a/a）］；334443 这样，使用季度数据的第二年全年实际GDP的合理运行区间就为［g（a/a），g（a/a）］。112443 2．将年度分解为上、下两个半年度的情形 第一年的实际GDP为A=A+A=a+a+a+a；121234 第二年的实际GDP为B=B+B=b+b+b+b；121234 第二年实际GDP同比增速为 G=（B-A）/A=［（B+B）-（A+A）］/（A+A）121212=［（b+b+b+b）-（a+a+a+a）］/（a+a+a+a）；123412341234 由于A≤A，12 且（B-A）/A=G≤G=（B-A）/A，11112222 得到（B-A）≤（B-A）；G=［（B+B）-（A+A）］/（A+A）≥2（B-11221212121A）/2A，12 即G≥G（A/A）；112 同样，G=［（B+B）-（A+A）］/（A+A）≤2（B-A）/2A，121212221 即G≤G（A/A）；221 这样，第二年全年实际GDP的合理运行区间就为 ［G（A/A），G（A/A）］。112221 下面证明使用半年度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间包含于（嵌套于）使用季度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间。 容易证明，G不可能小于G，也不可能大于G，且12［G，G］⊆［G（A/A），G（A/A）］G=［（b+b）-12112221112（a+a）］/（a+a）>2（b-a）/2a=g（a/a）1212112112G=［（b+b）-（a+a）］/（a+a）<2（b-a）/2a=g（a/a）2343434443443即g（a/a）≤G≤G≤g（a/a）。11212443 一般情况下，可选季度增长率的最大值为年度增长率合理运行区间的上限，可选季度增长率的最小值为年度增长率合理运行区间的下限。即选用［g，g］为年度增长率合理运行区间，且14［g，g］⊆［g（a/a），g（a/a）］；14112443计算G-g=［（b+b）-（a+a）］/（a+a）-（b-a）/a=（ab-1112121211112ab）/［a（a+a）］21112由于g≤g，12即（b-a）/a≤（b-a）/a；111222因此，ab≤ab，2112可得G-g≥0；11计算G-g=［（b+b）-（a+a）］/（a+a）-（b-a）/a=（ab-2434343444443ab）/［a（a+a）］，34434由于g≤g，34即（b-a）/a≤（b-a）/a，333444可得ab≤ab；4334由此可得G-g≤0；24即g≤G≤G≤g；1124 由以上证明可知，使用季度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间范围要大于使用半年度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间范围，即使用季度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间范围要嵌套使用半年度数据计算出的实际GDP年度增长率的合理运行区间。 有些宏观经济指标只有季度统计数据，没有月度统计数据（如名义GDP和实际GDP等）。它们的年度增长率的合理运行区间只有半年度数据区间和季度数据区间（其半年度数据需从其季度数据中推算），且其季度数据区间嵌套其半年度数据区间，这种嵌套是一种唯一的单嵌套，即这时的区间套是一种单区间套；许多宏观经济指标都有月度统计数据，从它们可以推算出其季度和半年度统计数据。对这些宏观经济指标而言，它们的年度增长率的合理运行区间既有月度区间，又有季度区间和半年度区间。这时，月度区间嵌套其季度区间，季度区间又嵌套半年度区间。这种区间套是一种复合的区间套，或者说，是一种多区间套，准确地说，是一种双区间套。 对于可加性宏观经济指标而言，基于加法运算的自然性质，在某些情况下，把全年分解为两个半年时。显然，两个半年的经济增长率不可能都高于全年的经济增长率，同样，两个半年的经济增长率不可能都低于全年的经济增长率，这样，全年经济增长率一定介于两个半年经济增长率之间。同理，再把两个半年分解为四个季度时，全年经济增长率一定低于四个季度经济增长率的最高者，高于四个季度经济增长率的最低者。再把四个季度分解为12个月度时，可以得到，全年经济增长率一定低于12个月度经济增长率的最高者，高于12个月度经济增长率的最低者。这便是宏观经济区间定理和宏观经济区间套定理的自然出发点。 上述论述可以严格证明如下。实际上，在本章第三节的证明中，曾假定a≤a，min（g，g）=g和max（g，g）=g，12121122也就是说，b-a≤b-a。1122这时可见： g=（b-a）/a=［（b+b）-（a+a）］/（a+a）=［（b-1212121a）+（b-a）］/（a+a）≤2（b-a）/2a=g（a/a）；12212221221 g=（b-a）/a=［（b+b）-（a+a）］/（a+a）=［（b-1212121a）+（b-a）］/（a+a）≥2（b-a）/2a=g（a/a）；12212112112 上述计算证明：第二年实际GDP增速g位于区间［（g（a/a），112g（a/a）］之中。特别地，如果a=a，则第二年实际GDP增速小22112于第二年上半年实际GDP增速和下半年实际GDP增速中最大者，同时，大于第二年上半年实际GDP增速和下半年实际GDP增速中最小者。 容易证明，g不可能小于g，也不可能大于g。12 这里特别强调，宏观经济区间套定理仅对同口径的统计数据成立，仅对当期值统计数据成立。对于累计的统计数据和期末值统计数据，虽然仍可能出现区间套情况，但嵌套的情况，要依具体条件和具体指标决定。 应当指出的是，可加性对区间定理和区间套定理具有特别重要的意义。本章主要研究和讨论的是宏观经济指标。这是因为宏观经济指标往往有丰富的统计数据支持，特别是国家级宏观经济指标，往往有权威国家行政部门保障它们的可靠性。当然，如果某项微观经济指标是可加性指标，并有足够的统计信息支持，对这些经济指标区间定理和区间套定理进行讨论也未尝不可。第三章 使用经济区间数据观点分析我国经济新常态时期的主要数量特征 本章将使用上一章介绍的概念和方法，使用经济区间数据观点分析我国经济新常态时期的主要数量特征。本章将选用我国10项主要宏观经济指标进行分析和讨论。它们分别是：国内生产总值（GDP）、全社会物价水平（CPI）、社会固定资产投资（TFINV）、工业生产（IND）、社会消费品零售总额（SALES）、国家财政收入总额（GFR）、广义货币供应量（M2）、居民人均可支配收入（RMI）、进出口总额（EI）和经济规模（NGDP）（名义国内生产总值）。 本章各节中，根据宏观经济指标区间定理，将依次找出上述10项指标的年增长率的合理运行区间及其上下限。根据统计数据的支持程度，这些区间和上下限值既可以在它们的月度数据中寻找，也可以在其季度数据中寻找。在对依季度数据和月度数据寻找到的它们年增长率的合理运行区间及其上下限后，将对它们的区间长度和其中间数进行综合对比分析和研究，并对一些既有季度数据又有月度数据支持的宏观经济指标验证区间套定理，从而得出新常态时期我国经济的主要区间数据数量特征。第一节 我国经济新常态时期的经济增长（使用季度同比和环比数据）一、新常态时期我国经济发展态势分析 我国实际国内生产总值GDP既有年度同比统计数据，也有季度同比统计数据。2011年一季度起，还有季度环比统计数据。 1．年度发展态势分析 表3-1列出了我国近5年新常态时期的实际经济增长速度（RGDP）。表3-1 2013—2017年我国实际经济增长速度 图3-1为我国近5年来经济增长速度（RGDPR）。图3-1 2013—2017年我国经济增长速度（RGDPR） 由表3-1和图3-1可知，2013—2016年，我国经济发展速度缓慢下降，年均下降0.2个百分点左右。2017年，我国经济发展速度回升。5年来（2013—2017年），国内生产总值年均增长7.1%，经济增长速度从高速增长转为中高速增长。 2．季度同比发展态势分析 表3-2和图3-2显示我国新常态时期同比各季（与上年同季相比）经济发展速度。表3-2 2013—2017年我国同比各季度经济发展速度图3-2 2013—2018年我国同比各季经济发展速度注：QGDPR表示同比季度实际GDP增长率。 从表3-2和图3-2可知，我国季度经济发展波动稍大，季度实际GDP增速最快的季度为2013年的第一季度和第三季度，为7.9%；增速最慢的是2016年前3个季度，为6.7%。季度实际GDP增速最慢仅为增速最快的85%。这样，在最近5年，从季度同比速度观察，我国经济发展不够均衡。 3．季度环比经济发展态势分析 表3-3和图3-3为我国新常态时期的季度环比经济发展速度。表3-3 2013—2017年我国季度环比经济发展速度图3-3 2013—2017年我国季度环比经济发展速度注：QGDPRS为GDP季度环比经济增长速度。 从表3-3和图3-3可知，我国新常态时期，按环比观察，季度实际GDP增速最快的季度是2013年的第三季度，为2.1%，增速最慢的季度是2016年第一季度，为1.3%。最慢季度增速只是最快季度增速的62%。 从季度环比数据来看，我国季度经济发展不平衡、不均衡的情况，更明显于同比的季度数据。 4．我国经济发展新常态时期各季度换算为年化的实际GDP增长率 根据第二章第二节的介绍，根据表3-3，可以得出我国经济发展新常态时期各季度换算为年化的经济增长率，其值如表3-4所示。表3-4 2013—2017年我国各季换算为年化的环比经济增长率 由表3-4可知，我国经济发展新常态时期各季经济增长率的波动情况一如我国新常态时期年化的季度环比经济增长的波动情况。依年化的季度环比经济增长率，对年度经济发展预期最高的在2013年第三季度，高达8.7%；对年度经济发展预期最低的在2016年第一季度，低至5.3%。 从表3-4与表3-2的比较可知，我国经济发展新常态时期各季经济增长率的原始统计同比数据和年化的环比数据不尽相同，各有高低。在2013—2017年的20个季度里，只在2个季度中，季度年化环比增长率与季度原始数据同比增长率相同，在其他18个季度里，季度年化环比增长率与季度原始数据同比增长率不同。季度年化环比增长率与季度原始数据同比增长率都可以作为年度经济增长率的预期。两个增长率的不同，标志着两种预期的不同。两种预期的不同必然会影响相应的宏观经济管理决策和相应的宏观调控政策的实施。 发达国家使用季度季节调整数据做经济分析和经济预测。季节调整数据，去除了气候、自然灾害、节假日（包括倒休的节假日）和春节等因素对经济活动的影响，比较客观、真实、科学地反映了经济活动的情况。我们一定要深入研究和学习发达国家的宏观经济统计方法、分析方法和管理方法，不断改善我国的宏观经济统计分析方法。二、我国经济新常态下经济增长合理运行区间研究（使用季度数据） 党的十八大以后，我国经济发展进入新常态，经济增长速度由超过年增10%以上的粗放式高速增长，转变为更重视质量的、集约式的年增长6.7%～7.5%的中高速增长。 对于我国经济运行的合理区间，应使用计量经济学的新分支——区间数据建模理论，进行数量分析和描写。 可使用我国每年4个季度的同比实际经济增速的最高值和最低值，作为我国年度经济增长的合理运行区间（参见本书第二章的宏观经济指标区间定理）。 表3-5列出了我国经济新常态下近5年的实际经济增长速度的合理运行区间。表3-5 2013—2017年我国实际经济增长速度的合理运行区间 从表3-5和表3-1可知，2013和2016年，我国经济在合理运行区间的低端运行；2015和2017年，我国经济在合理运行区间的高端运行；2014年，我国经济在合理运行区间内部运行。 由表3-2可知，2013年，我国实际GDP合理运行区间的上限位于2013年第一季度、第三季度，下限位于2013年第二季度；2014年，我国实际GDP合理运行区间的上限位于2014年第二季度，下限位于2014年第三季度；2015年，我国实际GDP合理运行区间的上限位于2015年第一季度、第二季度，下限位于2015年第四季度；2016年，上限位于2016年第四季度，下限位于2016年前三季度；2017年，我国实际GDP合理运行区间的上限位于2017年第一、第二、第四季度，下限位于2017年第三季度。第二节 我国经济新常态时期的通货膨胀（使用季度累计环比数据和月度同比数据） 标志我国社会物价水平的宏观经济指标是居民消费价格指数CPI。我国CPI有年度统计数据和月度统计数据，没有季度统计数据。年度统计数据是（同上年相比）同比的数据；月度CPI数据既有（同上年同月相比）同比数据，也有（和上月相比的）环比数据，还有从每年1月1日算起的累计数据。 当然，在上述CPI基础统计数据的支持下，使用经济指标指数化方法，可以生成CPI的季度环比统计数据。这里先使用CPI的年度和月度同比统计数据，研究CPI年度值变化的合理运行区间。虽然CPI不是可加性经济指标，但使用直接观察方法可见，其年度变化的合理运行区间依然存在。一、新常态时期我国年度物价变化研究 2013—2017年，我国年度CPI变化如图3-4所示。图3-4 2013—2017年我国年度CPI变化CPIR 新常态时期，我国社会物价水平最高的年份是2013年，CPI为2.6%，最低的年份是2015年，CPI只有1.4%。2013—2017年CPI（算数）平均只有1.9%，低于公认的低通货膨胀水平——2%。 图3-5显示的是2003—2012年的CPI变化情况。图3-5 2003—2012年我国CPI变化情况注：CPIR为我国年度居民消费价格指数。 由图3-5可知，除2009年因世界金融危机影响我国出现通货紧缩（CPI为-0.7%）外，其他年份，我国CPI均取正值。这一时期（2003—2012年），我国CPI最高年份为2008年的5.9%。这10年间，我国CPI（算数）平均为2.7%。可以说，这一时期，我国处于温和的通货膨胀的环境。二、新常态时期我国月度同比CPI变化情况 表3-6显示的是从2013年1月至2018年6月我国各月（同比）社会物价水平变化情况（CPI月度值）。表3-6 2013—2018年我国各月（同比）社会物价水平变化情况 表3-6中，01一行表示上半年，其中，第二列表示1月……，07一行表示下半年，其中，第二列表示7月，…… 图3-6显示的是从2013年1月至2018年6月我国各月（同比）社会物价水平变化情况（CPI月度值）。在这66个月中，月度同比CPI最高值在2013年的2月和10月，这两个月的CPI值均为3.2%；在这66个月中，月度同比CPI最低值在2015年的1月、2016年8月和2017年的2月，这3个月的CPI值均为0.8%。图3-6 2013—2018年我国各月（同比）社会物价水平变化情况（CPI月度值）注：MCPI为月度同比CPI值。三、新常态时期我国年度同比CPI变化均在合理运行区间（使用月度同比数据） 可以使用月度同比CPI值确定新常态时期我国年度同比CPI的合理运行区间。在确定年度CPI增长率合理运行区间时，要找出本年度中12个月的月度CPI的最高值和最低值，取其作为合理运行区间的上限和下限。 2013—2017年我国年度CPI年增长率的合理运行区间及其上下限，如表3-7所示。表3-7 2013—2017年我国年度同比CPI的合理运行区间（月度数据）
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