作者：陆国栋,王进
出版社：浙江大学出版社
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动漫玩具快速创意设计方法试读：
第1章 动漫玩具产业发展现状
目前，我国已是世界上最大的玩具制造国和出口国，可谓是名副其实的世界玩具制造工厂。据统计，我国现有玩具企业近2万多家，目前全球75%的玩具来自中国，我国玩具产品行销100多个国家和地区，出口玩具已成为我国商品五大支柱之一。我国玩具年消费额已达到250亿元，并将以每年40%的速度增长。然而尽管我国生产的玩具在量上在全球具有优势，但是由于种种原因，我国的玩具在质上却存在着诸多问题。
首先，虽然中国是玩具生产大国，但不是玩具设计强国，这主要表现为产品在自主创新方面远落后于其他国家，设计创新少，科技含量低，玩具品种单调落后。我国有3.8亿多儿童，每年在儿童玩具上的消费在500亿元以上，但实际上国内每年只生产相当于80亿元的自主设计玩具，大部分市场都被“洋玩具”占据。其次，我国玩具的科技含量较低，产品的附加值得不到提升。在美国，可以进行人机对话的智能互动玩具“芭比娃娃”上市时，尽管售价高达120美元，却赢得众多消费者的青睐。而我国的玩具产品仍以传统玩具为主，玩具品种单调，缺少创新，特色不明显；产品档次偏低，高科技、高附加值产品较少。
另外，我国的玩具市场还存在许多空白。美国很早就有了专门为成年人设计玩具并生产成人玩具的公司。但我国的玩具业还未走出儿童天地，至今未有专门生产成人玩具、老人玩具以及残疾人玩具的企业。即使是我国最大的玩具生产基地的广东省，玩具业的开发也基本上定位于儿童市场。
目前我国动漫产业正处于快速发展阶段。自2004年国家颁发《关于发展我国影视动画产业的若干意见》，中央和地方政府不断增加对动漫产业的扶持力度，动漫企业雨后春笋般涌现。2010年我国动漫产业实现跨越式发展，动漫产业核心产品直接产值突破80亿元。各种专业数据的统计分析表明，中国动漫产业是中国各行各业中发展速度最快、最具有潜力和市场的行业，每年保持20%以上的增长。在未来的几年中国动漫产业将发展得更成熟、更细化。中国动漫玩具制造业的快速发展源于20世纪80年代末国外大玩具公司生产基地向中国内地的迁移。玩具制造业是劳动密集型产业，而我国有丰富而廉价的劳动力资源，这使得欧美、日本、韩国、中国香港和中国台湾这些玩具业发达的国家和地区纷纷在中国大陆建起了玩具生产基地。同时，中国自己也衍生出一些自主设计的玩具厂商，其凭着比各著名品牌的玩具低得多的价格，也占有自己的一片市场。但是这样的行业形成背景和产业格局也导致了我国动漫玩具行业现实存在的问题。
尽管中国玩具的出口量很大，但这些玩具基本上是以OEM的形式进入国际市场的。在全国8000多家玩具生产企业中，3000家获得出口许可证，但其出口的七成以上玩具都属于来料加工或来样加工，即是为国外品牌打工。目前我国的玩具产业自主研发水平相当落后，基本以引进、加工、代理运营为主，缺少自主设计，附加值不高，缺乏市场竞争力。除了少数具有自主设计品牌的玩具厂商，我国的玩具行业中多是中、小规模的生产、加工企业，其以加工贸易为主，属于劳动密集型产业，近一半的企业是“仿制车间”，长期依靠外方提供样本或仿制。许多企业并不重视玩具的设计开发，在一些以面向国内市场生产为主的企业中，几乎没有专业的设计者来从事玩具新产品的设计开发，于是简单的模仿就成了许多玩具生产企业的主要设计手段。产品的创新设计能力已成为动漫玩具行业的硬伤。
通过上面分析可知，这一方面与我国企业对设计人员能力的培养和投入不够有关，另一方面和目前没有专用的为动漫玩具提供创意创新设计环境的CAD系统有关。目前玩具企业大多采用手工绘制玩具图案、手工打板，稍微先进点的用二维CAD打板，或用通用三维CAD软件进行造型，这需要很高的专业知识技能，无法为设计人员的创意提供强有力的支撑。
除此以外，当前在动漫玩具设计方式上愈加重视客户个性化和设计参与性。随着时代进步和大众生活水平的提高，玩具的质量和品位愈加为人们所关注，用户在选择动漫玩具产品时更加倾向于与自身的审美情趣相匹配，对于玩具产品的要求趋于多样化和个性化。著名玩具厂商泰迪熊公司推出了BuildABear Workshop网站，进行小熊等玩具的定制，通过“选选我”、“听听我”、“许心愿”、“缝缝我”、“洗澎澎”、“穿衣衣”、“取取名”、“回家家”等流程来对玩具的类型、声音、配件、姓名等进行定制，充分调动和满足了孩子们自己动手配置玩具的愿望，这样的一个玩具，往往可卖出更高的价格，孩子们也更会珍惜这样的玩具，并更有兴趣期待制作下一个玩具。芭比娃娃更是玩具选配定制的经典，每年芭比娃娃推出上百种款式，而且可以对服装、毛发、挂链、手袋、宠物、太阳镜、化妆品、手表、家具、小汽车等一系列配件进行选配，从而获得了巨大的成功，到1966年露丝50岁时，美泰公司统治了竞争激烈的玩具世界，控制了美国20亿美元玩具市场12%的份额。以上成功的案例表明，越来越多的人希望通过对玩具设计进行一定程度的参与，交互搭配玩具模型，进行简单的修改，快速发挥其创意，从而形成个性化的玩具。从全球化大市场发展趋势来看，客户对产品的个性化需求愈来愈迫切，同时渴望产品低价、交货快。这一背景下，大批量定制（MC）将逐渐成为新的生产方式主流，将客户个性化的需求同大规模生产的低成本和高效率相结合以提供定制产品和服务。
第2章 动漫玩具设计发展现状
动漫玩具设计与制作是一门结合卡通创意、造型艺术和服装裁剪制造的综合性技术，其设计流程包括形象创作、开片排版、裁剪缝纫、填充检测等。而其中形象创作和开片排版是动漫玩具设计中最为关键的步骤：形象创作是一个创意设计的过程，要求设计者能把握市场定位和用户心理需求，通过玩具外观从第一眼打动客户；成功的布绒设计案例，如泰迪熊、加菲猫等具有独特的吸引客户的形象因而长盛不衰。开片排版是设计者将三维玩具形象从空间角度去理解，将不同玩具部件通过合理的表面划分展开到二维平面上，是一个从立体造型返回到平面图形上的过程，这一过程涉及是否能将设计好的玩具形象付诸实物制造。目前大多数的研究都着眼于上述两方面设计过程的改进，以下从三个层面论述现有动漫玩具设计研究和应用现状。
1.传统手工玩具设计方法
早在120多年前Steiff公司就开始了真正意义上的布绒玩具设计，至今以造型模仿、手工开片排版的设计方式仍然保留在一些劳动密集型的玩具生产中。这一类设计方法大多模仿现有的卡通造型或其他布绒玩具造型，创意性和新颖性较差，处于毛绒玩具设计的低端，附加价值低；同时由于停留在手工开片的阶段，设计人员依据经验对玩具造型进行二维开片分析，手工或半自动地制作开片纸样。由于受设计人员的经验影响，初步得到的二维裁片需要反复修改，才能得到符合设计要求的三维形状，因而生产的效率不高，产品质量无法得到很好的提高和改进。
2.应用通用CAD技术的玩具设计
为了解决传统手工设计存在的弊端，目前不少企业和设计人员将CAD技术结合到布绒玩具设计中。通用的如利用photoshop、Coreldraw等二维平面设计软件进行玩具形象的创意设计，以及玩具裁片的开片排版布局。目前流行的三维造型软件，如Maya、3DS Max、AutoCAD、SolidWorks、Rhino等，尽管提供了较为强大的三维自由曲面造型技术，但是由于其设计操作复杂且非常耗费时间，与玩具设计仍存在脱节。这一类的设计方式将计算机绘图技术引入动漫玩具设计过程中，但是缺乏与玩具实际设计需求的有效结合，无法为玩具设计提供有力的支持。
3.面向动漫玩具设计的CAD研究与应用
目前，针对传统手工设计的不足和通用CAD技术在玩具设计中的局限，国内外学者和部分企业研究开发了面向动漫玩具设计的CAD系统。这些研究进展主要从布绒设计过程的两个方面入手：（1）动漫玩具三维快速造型方法研究
CAD技术发展至今，已产生了诸多成熟的CAD系统并成功应用于各个领域，如工业领域应用较为广泛的pro/E、AutoCAD、UG等，动画与形象设计方面的有3DSMax、Maya、Rhino等。前者由于其研究对象大多集中于工业产品，尽管有一定的曲面造型能力，但是总体而言主要适用于机械、电子等零件设计，并不适合于类似服装、玩具等具有复杂自由曲面的造型设计。后者在自由形态造型方面具有优势，多应用于三维动画设计、装饰设计、产品设计等艺术设计领域，虽然适用于复杂自由曲面造型，但是其操作过程专业性要求非常高，设计过程较为复杂且缺乏良好的交互性，同时与布绒玩具制造存在脱节，因而仍然无法契合动漫玩具设计的要求。
针对现有CAD系统存在的问题，国内外学者开展了面向动漫玩具设计的CAD快速造型方法研究。首先，动漫玩具产品外观相比于其他产品有其自身的特点：多数玩具造型往往由多个自由形态的曲面组合而成，表面光滑连续，对于形态的尺寸、比例的精确性要求不高，对于设计的交互性和创意性要求较高。要在体现玩具设计创意的前提下进行快速的自由形态造型具有一定的难度，王亮、周志斌等结合逆向成型技术获取动漫玩具实体模型的三维点云数据并处理获得三维模型。然而该方法一方面所需要的设计成本较高，必须具备三维扫描设备和专业的三维点云处理技术，另一方面必须制作玩具的实体模型，因而操作起来具有很大的局限性。也有学者就完善布绒玩具模型的交互性、创意性快速建模进行的直接深入的研究，主要是利用二维草绘设计方法，研究通过二维轮廓快速生成三维模型。Igarashi等提出了利用草图交互手段，在屏幕上通过绘制造型轮廓线，系统自动生成相应的自由曲面模型，并对这些模型提供了一些交、并、差等简单操作，从而生成较为复杂的三维玩具模型，并且开发了一个系统原型Teddy。Andrew等基于线条草绘的方式提出了交互性更强的三维自由曲面造型方法，能够在三维曲面上通过线条勾绘实现造型的自由变形，强化了操作的友好性和易用性。Yuki等进一步针对布绒玩具介绍了一个CAD系统plushie，在二维轮廓草绘的基础上，不但能快速生成三维布绒玩具模型，并且提供了辅助开片功能，进一步与布绒玩具的设计实践相结合。相比国外的草绘式布草绘式动漫玩具设计研究
绒玩具快速造型研究，国内也有成功的CAD研究实例和系统开发。如与浙江大学合作的杭州力孚公司自主开发了一套适用于动漫玩具快速造型的应用软件EasyToy，该软件结合草绘式的交互设计思想，实现了利用草绘线的三维快速造型和曲面编辑修改技术，能够进行快速的图纹彩绘得到接近实体效果的三维彩绘动漫玩具模型。（2）动漫玩具计算机辅助开片设计研究
通过前文的相关论述可知，动漫玩具的开片技术是一个由三维形体展平到二维平面的过程，开片裁片技术的高低与布绒玩具制造息息相关。传统的手工设计多凭借开片设计者的经验，运用通用CAD技术进行开片设计也仅仅是一种手段形式上的改变，本质上并未改变依靠开片设计者经验设计的局限。因而利用计算机辅助设计手段较为合理地进行开片设计就成为了该领域的一个研究重点。
实际上，动漫玩具的开片是一个将三维曲面展开为二维平面的过程，这一过程的研究是CAD/CG领域的一个基本课题，很多学者已经在这方面做了大量研究。对于复杂自由曲面的展开方法主要可分为几何展开法、力学展开法、几何展开/力学修正法。这三种方法中，在服装、玩具开片设计中运用较多的是力学展开法。这类方法从分析、模拟曲面材料的应力与应变关系出发，计算曲面展开的形状和尺寸。如王弘、王昌凌提出的一种基于弹簧能量模型的曲面展开算法。樊劲、周济等人采用质点-弹簧模型的求解力法，给出了服装裁片二维到三维映射算法的具体实现步骤。杨继新等人提出在依附于复杂曲面的两条空间曲线之间，构造可展面，使复杂曲面可展化并展开。褚莲娣、周志斌等以质点-弹簧模型为基础，提出了三维曲面展开算法进行三维布绒玩具设计的方法与步骤，并开发了玩具设计系统验证了三维布绒玩具的表面展开。在商业应用方面，杭州力孚开发了电脑自动开版系统patternImage，能够在三维玩具模型的表面绘制缝合线，然后将三维纸样自动展开到平面上得到二维纸样，最后，将纸样打印出来用于玩具制作。另外上海咔咻目前推出了一款玩具造型开版软件，提供了三维模型建立、缝合线绘制、二维纸样自动生成、纸样排版、算料报价、切割机对接等功能。
第3章 引言
如何实现动漫玩具的快速创意设计是本书所讨论的主题，其关键是如何实现设计创意的快速捕捉。动漫玩具的设计是一个系统性的工程，包含了玩具模型设计、玩具彩绘设计等过程，是设计者创意逐渐实现的过程，在这一过程中设计者利用设计工具将原本存在头脑里的抽象的设计思路逐步转化为直观的设计形象。玩具形象的表达涉及人的认知、心理等诸多因素，一个设计方法能否提供符合设计者认知和心理的设计工具，能否按照合理的设计过程进行设计对于创意的快速捕捉具有决定性的意义。此外，动漫玩具的创新设计也是设计的一个重要方面，有时完全凭借设计者的创意并不能设计出足够好的作品，通过合理的运用创新方法则可以得到令人满意的结果。
本章主要以创意的捕捉以及创新设计为主要研究内容，从设计工具、设计方法构建以及创新设计方法出发，分别讨论其实现机理。第2.2节主要讨论如何从人的认知角度出发构建合理的设计语义，使设计工具能够符合设计者的认知规律，实现创意的快速捕捉；第2.3节从设计规律以及方法实现的角度出发讨论如何通过分治的方法简化设计过程，降低方法的实现难度；第2.4节则以玩具相似性的角度出发，探讨如何利用玩具的相似性进行玩具的创新设计。
第4章 三维玩具快速创意设计的语义构建机理
语义即语言的含义、意义，它原本是语言学范畴的概念。芝加哥新包豪斯的查理斯（Charles）与莫里斯（Morris）在符号学的基础上，对应语言学的“语义”、“语构”、“语用”，建立了产品符号学体系。根据他们的解释，产品的语义主要指产品的形态与意义的关系，产品的语构是指产品的功能结构与形态的关系，而产品的语用则是造型的可行性及环境效应与人的关系。1983年，美国宾夕法尼亚大学克里本多夫（Klaus Krippendorff）教授和俄亥俄州立大学的巴特（Reinhart Butter）教授明确提出了产品语义学（product semantics）这一概念，将其定义为研究人工物的形态在使用情景中的象征性并将其应用于设计的学问。
产品语义学的发展是建立在符号学的基础之上的。对于符号和意义的研究始于20世纪初瑞士语言学家索绪尔的研究。意义包含能指（signifiant）和所知（signifie），前者是意义后者是被意义，两者之间关联的纽带是形象。符号则分为符号的作用部和意义部，前者用于知觉，后者则唤起观念。艺术设计就是给作用部一定的形态，其关系到如何将其更好地表现出来。意义存在于形中，通过形表现出来。而意义的表现又与人的心理、社会、文化等因素息息相关，一定的符号只有处于一定的条件下才能够实现意义传达的效果。因此，掌握不同语言的人在交流时会存在障碍；对不懂什么叫汽车的人谈起汽车不会起到交流的效果。
产品语义学包含了物理性、生理性功能以及心理、社会、文化等方面的内容，主要研究通过造型语义的运用将产品的内部信息和外部信息有效地传达给客户。对于本书研究的内容来说，对于语义的运用则是为了解决如何通过合理的设计来实现系统同用户之间流畅的信息传递，实现用户创意的高效转化，以达到三维玩具的快速创意设计的目的。
在现有的动漫玩具设计领域中，存在着以下几种设计方法：
一是采用手工绘图或二维CAD软件的设计方法。这种方法利用笔纸进行绘图，通常只有经过专业训练的人才能够很好地绘制和阅读绘图信息，为了完成一个作品需要绘制多幅图形，并且不易修改。从语义的角度讲，这种方法由于存在着与大多数人的代沟，因此不利于信息的传达，当然也不利于快速的创意设计。
二是采用通用三维CAD软件的设计方法。这种方法虽然是直接运用三维的手段使得设计结构直观可见，但是这些软件提供的工具一般比较复杂，需要的输入过于精确，使得软件的使用存在困难。这些软件本身没能实现同设计者之间畅通的语义交换，使得快速创意设计难以实现。
最近国内外又出现了一些基于自由手绘的三维CAD系统，利用手势来代替传统三维CAD软件复杂的操作模式。这些系统通过充分挖掘手势的语义表达能力，使得用户只需要在绘图板上绘制不同的草图就可以实现各种操作。但是由于这些软件缺乏同用户语义交换的手段，用户面对的通常只是一个空空荡荡的绘图板，这使用户不得不额外学习很多操作的方法，当操作种类增多时就增加了学习的难度。另外，这些软件经常将建模与其他操作混合在一起，通过手势的方法统一处理，使用时也容易造成混乱，使得用户和软件间的语义传达出现困难。
以上这几种方法都或多或少地存在一些语义表达上的缺陷，使其不能够很好地支持快速创意设计。而本节则从语义的角度出发探讨三维玩具快速创意设计的语义构建机理，以解决如何实现系统对于快速创意设计的支持问题。
设计者是本书讨论的三维玩具快速创意设计方法的使用主体。是否能够充分发挥设计者的创意思想，实现快速创意设计的目的，对于该设计方法具有至关重要的意义。而对一项产品或方法对于使用者的适用程度通常可以从硬件尺度、软件尺度、习惯尺度和可用性等方面进行判断。硬件尺度指人类身体与产品之间的关系，例如对一把椅子的大小与高度是否合适的判断、对鼠标的形状与大小是否合适的判断等。软件尺度是指产品的软件设计是否适应人的需要，它在很大程度上决定了硬件工具能否更好地和人类的实践活动结合在一起。例如，在第二次世界大战期间，美国空军因为仪表误读发生了很多事故，为此他们对高度仪指针进行了知觉分析，并根据分析结果将原来的三指针式仪表改为一指针式，大大降低了误读率。习惯尺度则是指产品是否符合人的操作习惯，如果某一工具不符合人的使用习惯就会带来操作不便、错误操作等情况。例如，普通的螺丝都是向右拧紧的，如果有一款螺丝是向左拧紧的，就会给使用者造成迷惑。对于需要若干动作完成的使用行为来说，遵循用户的习惯就显得更加重要。然而习惯尺度通常具有个体差异，不同的人在做同样的事情时可能习惯采用不同的方法，采用不同的操作顺序，不过通过对使用群体的研究就可以尽可能地找到群体的共性，对于设计将具有指导意义。可用性尺度则是指根据用户的使用进行改善的过程，通过用户使用的反馈信息采取技术的手段不断提高产品的使用性能。综合上面几个判断尺度的讨论内容，对于本书研究的三维玩具快速设计方法应该从以下几个方面出发进行语义构建：（1）所采用的设计方法应该能够直观、有效地向用户展示设计结构。（2）设计过程和软件的操作方法应符合用户的设计习惯。（3）操作的行为应尽可能简化，避免相似动作。（4）能够柔软地对待用户的知识、经验和喜好。（5）通过自动化，减少用户操作，提高效率。
为了实现以上所述的效果，我们必须要对常用动漫玩具设计方法以及人的认知习惯等内容有所了解。
在包括动漫玩具设计在内的几乎所有的设计领域中，无论在设计中采用的是什么工具，草图通常都占有重要的地位。首先，草图可以用来帮助思考，其通常被使用在设计的构思阶段。思维是指理性认识或者理性认识的过程，是人脑对客观事物能动的、间接的、概况的反映。思维包括逻辑思维和形象思维。在产品设计中创造者的形象思维能力显得格外重要。阿恩海姆在他的著作《视觉思考》中，从心理学领域对创造能力进行了研究，探讨如何消除思考与感觉两种行为之间的隔阂，建立探索研究的基本结构。视觉思考是一种应用视觉产物思考的方法，即运用观看、想象和作画进行思考。在设计范畴中，则更加重视图画或草图。当思考以手绘表现的形式外部化时，就能成为思维的图像表达。在这个阶段，思考与设计草图的交流可以促进设想和理顺思路，辅助创新设计。另外，草图也是交流的一种手段，在设计过程中设计师需要进行不断的自我交流和与他人交流。设计师的交流即是设计师与设计草图之间的交流，交流通过纸面上的草图形象，使眼睛的观察、脑的思考和手的绘画构成封闭的循环。在每一次循环过程中，设计者可以将观察的情况筛选、添加，与原有设想结合，再产生新的设想。这样的循环，在设计师自己也在其他的设计师身上发生，从而达到自我交流和相互交流的效果。正是因为草图在设计中的重要作用，它理应成为设计师与设计系统的主要沟通工具。
虽然草图在创意设计方面具有独特的优势，但是当利用草图生产三维模型时，它自身也存在着模糊性问题。在这种情况下，我们的视觉系统必须要考虑的基本问题是“眼睛所看到的图像可以有无数种可能的解释”。为了解决这一问题我们就必须建立一套健全的视觉规则。在一定程度上讲这些规则也就是草图语义。通过草图语义的定义将草图按照规则转化为固定的三维模型，从而可以规避模糊性问题。从用户的认知角度出发，人们通过同样的操作通常希望获得可以预期的结果。例如，用户绘制一个圆，有可能目的是绘制一个球，但是，由于需求的多样性，有时用户绘制圆的目的是为了绘制圆柱，这是就需要提供新的方法，以提示系统生成正确的模型，因此就需要在默认的情况下，为用户提供新的功能，但又不能增加用户的学习负担，其最好的办法就是提高按钮或菜单，显示提示，让用户输入要求。
因此在进行语义构建时首先要保证对草图的有效利用，通过实现对草图的支持实现快速设计的目的。对于草图语义的定义，应该从动漫玩具设计的特点出发，确定转化规则。对于动漫玩具设计来讲，所生成的三维模型通常都是圆滚滚的形象，因此草图到三维模型转化的语义规则就可以定义为生成的三维模型是二维草图的膨胀效果。另外，由于用户输入的草图通常包含了一定的含义和输入习惯，通过自动对用户输入的统计，提高对用户的适应能力，提高软件的使用效率。其次，对于需要多次操作的过程应符合用户操作习惯。由于已有的玩具设计方法中也包括利用一些三维建模软件的方法，因此在一些通用的功能上以及显示风格上应实现相似的功能，使用户可以以习惯的方式进行操作。另外在操作的设计上应更加贴近人的思维方式，保证创作思维的连续性。再次，通过合理设置按钮和菜单，提示用户进行有效操作。对于首次使用的用户，应给予足够的提示和帮助，尽可能使用户在使用中可以不假思索，实现随心所欲的设计。最后，要保证设计过程直观有效，实现设计语义的高效传递。利用本书中所阐述的方法进行玩具建模时，应该能根据用户的输入实时获得反馈，实现用户同设计的实时交流，达到快速创意设计效果。
第5章 三维玩具快速创意设计的分治性原理
分治即分而治之，表现为通过分层、分类等方法将较为复杂的研究对象分解为多个规模小的问题，然后分别求解各个小问题的解，经过一定规则的综合就可以得到原问题的解。它解决问题的一般步骤是分解、求解和合并。通过分治的方法可以将难以解决的大问题简化为可以解决的多个小问题，达到解决问题的目的。
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由于分治的思想在解决问题上有着重要的作用，因此在我们的日常生活中随处可见。例如：在学校里，不同的老师负责不同科目的教学工作，每个人由于只负责一门课的任务，因此可以将精力集中起来，提高教学的质量；在工作中，每个人也有不同的分工，每个人的工作共同构成了整个公司的协同运转。当然我们也会很容易地发现分治的思想不仅仅是我们解决问题的一种方式，并且它还具有充分挖掘组成各部分潜力的能力。正如上面的例子，教师只教一门课程通常可能比教多门课程平均耗费的精力更多，因此更容易取得好成绩。而每个人都负责自己的工作，也更容易把工作做得更好。
三维玩具快速创意设计涉及用户输入、三维建模、三维模型美化等各个方面的工作，因此通过对其进行合理的分治处理，将降低其实现的难度，同时也更有利于各个部分功能实现较好的效果。
分治的基本方式主要有两种，一种是“串行分治方式”，另一种是“并行分治方式”。“串行分治方式”，其特点是任务能分解为n个顺序式子任务，前一个任务的输出构成了后一个任务的输入，这样的一条任务链构成了整个任务集。“串行分治方式”示意图“并行分治方式”，其特点是任务能分解为n个并行的子任务，每个子任务在时间上保持相互独立，任务的最终完成有赖于子任务的集结。“并行分治方式”示意图
由于“串行分治方式”和“并行分治方式”在结构上具有的不同特点，使得它们分别适用于不同的场合。“串行分治方式”更加适合于具有先后顺序的流程分治，“并行分治方式”则更加适用于对同一目标的分治处理。在三维玩具的快速创意设计中可以根据这两种分治的特点，经过合理应用达到简化设计的目的。
在三维玩具的快速创意设计方法中分治思想的体现可以分为三个层次：第一个层次是应用中的分治，即设计者在设计过程中的分治。在玩具设计中，草图通常是概念设计阶段常用的表达和交流方式，通过草图可以快速记录设计者的设计创意，在草图的基础上建立的玩具透视图通常可以展示出比一般草图更为详细的设计信息，最后设计者才会选择对手绘图形进行涂色。因此对于用户设计来讲，可以将用户的操作流程进行串行的分治处理，按照用户在设计中常用的顺序先绘制草图，然后生成模型，最后再进行彩绘或贴图。
设计过程的串行分治
第二个层次是在设计系统内部的分治，即整个设计系统在功能上的分治。本书所阐述的三维玩具快速创意设计方法包含了草图生成、三维模型生成、三维模型修改和彩绘及贴图等很多功能，从这些大的分类上来讲这几个功能相互依托，后一个都是以前一个步骤作为输入的，因此应该以串行的分治方式处理。但是在每个功能的内部又分为很多小的功能，例如三维模型的生成则包含了标准常用模型生成、特征模型生成和一般利用膨胀蒙皮算法进行模型生成，这些功能相互之间独立，但是又都是以生成三维模型为目的，这些功能之间可以通过并行分治的方法进行分别处理。
具体功能的并行分治
相同操作不同情况的并行分治
第三个层次是指用户的相同操作在不同情境下的分治处理。例如对草图的分治处理，草图在三维模型生成中可以作为输入条件，利用相应的功能直接生成三维模型，有时又需要利用草图进行草图导航以生成常用草图，有时又要直接利用草图导航生成常用的三维模型，因此草图在这一阶段就需要根据不同的情况输入到不同的功能模块中去。另外，在三维造型阶段，有时需要利用草图对三维模型进行修改，因此对于这些情况就需要分别处理。
以上这三个层次，分别从用户设计的角度、方法设计的角度以及操作语义的设计角度对整个三维玩具的快速创意设计的分治原理进行了阐述，将原本复杂的问题简化为一个个小的问题，使得该方法的实现成为了可能。
第6章 三维玩具快速创意设计的相似性原理
一件新的产品设计通常包含3个基本阶段：根据产品设计要求，经验丰富的设计师运用发散思维在经验记忆中广泛搜索，然后运用收敛思维得到最相似的实例，即“回忆”阶段；然后设计师的思维从实例与设计要求不匹配之处发散，搜索出或产生出新的解决方法，即“联想”阶段；最后通过综合这些设计的长处，交叉组合得到最终的设计结构，即“组合”阶段。这三个阶段的设计通常在产品创新设计中是必不可少的，尤其是“联想”阶段通常是这一创新设计方法的核心部分。
联想是以两个对象间的相似程度为基础进行的。相似即为相近、相像的意思，它来源于人对客观事物的感知情况。由于观察的角度的不同，相似也包含了许多不同的维度，例如结构相似、拓扑相似、语义相似、情感相似、数据相似等，涉及数学、几何学、认知学等诸多方面。由于所研究的角度不同，相同的对象间可能在某一个领域内相似，而在另外一个领域内不相似，因此所导致的联想结果也会不尽相同，因此要想利用相似性进行动漫玩具设计就需要考虑到构成动漫玩具的诸多要素，充分考虑到各个要素相似性对于创新设计的作用，并且根据要求进行合理选用。在动漫玩具设计中，玩具产品本身包含了材料、形状、拓扑结构甚至感性信息等诸多因素，因此，从玩具的这些属性出发进行的联想是玩具创新设计的一个重要方法。本节将以动漫玩具快速创意设计中可能用到的几种相似性原理进行探讨，以实现三维玩具快速创意设计的目的。
本书所谈论的玩具设计方法是以三维模型为基础的，通过三维模型的合理组合最终完成设计方案。而模型本身则包含了网格形状、网格特征、模型纹理信息等属性，因此从单个的模型来讲相似性通常包含了形状的相似性、特征相似性和纹理相似性，其中形状相似性指的是三维模型在外在形状上的相似性，特征相似性指三维模型网格曲面具有的特征类型上的相似性，这里的特征通常包括拉伸、选择和对称等特征，纹理相似性则是指三维模型彩绘图形的相似性。在本书中我们将这三个相似性统称为模型相似性。所示为三个在形状、特征和纹理上都较为相近的三维模型，其中在形状上，三个模型都包含圆形头和两个扁的耳朵；从模型的建模特征上来讲，三个模型都是经过膨胀并进行局部调整得到的；从纹理上讲，三个模型都包含了结构基本相同的纹理即同样采用了一致的底色加上代表耳朵、眼睛、鼻子和嘴巴的绘画纹理，只是在颜色选取上有所不同。从图中我们可以发现，利用模型相似为依据进行联想，得到的结果通常是形状和纹理上较为相似的模型，得到的模型通常具有相同的语义，中都是同为小熊头部模型，结构上也较为相似，因此可以用于相近模型的创新设计，使得到的模型符合原有设计语义，模型风格上不会有太大出入。但是由于网格形状、特征及纹理较为难以衡量，因此在具体实现上会比较困难。
模型相似性
语义相似性是指玩具部件所代表的语义之间的相似性。由于在玩具设计中，某一部件通常代表了玩具形象身体上某一个部分，而这个部分的含义则是该玩具部件的语义。例如图，图中包含了三个语义相似性
玩具的头部模型，它们都表达了“头”的语义，三者之间可以具有不同的结构、形状和纹理。通过利用语义相似度，可以将参加联想的模型限定在一定的范围内，例如可以专门针对“头”进行语义联想，也可以专门针对“尾巴”等语义进行联想，通过将原本在模型上并不相似的模型聚合在一起进行联想，得到结构可能与原模型具有较大形状差异，使得动漫玩具模型的创新设计不再局限于设计者的原有设计，而是可以在更广阔的范围内寻找最佳设计，便于进行更加大胆的创新设计。但是，由于根据语义相似性进行联想的范围相对较大，对于参与联想的模型也缺乏筛选系统，因此不便于对创新设计范围进行限定，得到的设计结果也过于自由化。
从整个玩具模型中不同部件的组合方式来讲玩具相似性又包含了拓扑相似性。拓扑相似性是指玩具不同部件间相互组合方式的相似性，的是三个在拓扑结构上不相似的三维玩具模型，的是三个拓扑相似的三维玩具模型。拓扑不相似三维玩具模型由于其各个部分的连接方式的不同，通常其各个部件在形状、特征等方面也各不相同，如在中，鱼的头、青蛙的头和小熊的头就各不相同。拓扑结构不同的玩具所具有的语义也通常属于不同的归类。而对拓扑结构相似的三维模型来讲，虽然它们可能代表了不同的玩具形象，但是其对应的各个部件间通常可以通过联想的方式进行创新设计，将拓扑结构相似的三维模型的头部部件进行互换得到的结果也是可以接受的。从这个例子我们可以看出，通过利用拓扑相似性结合语义相似性的创新设计方法，可以在单一利用语义相似性进行联想的基础上进一步限制参与联想的模型类型，因此相对更加易于获得满意的设计结果。
拓扑不相似的三维玩具模型
拓扑相似的三维玩具模型
拓扑相似的三维玩具模型头部交换结果
另外，由于玩具本身通常蕴含了某种设计意图，用以表现某种感性的意义--这里的感性指的是动漫玩具所引起的人的精神感受，例如可爱、漂亮、有趣、充满个性等词汇都可以在描绘动漫玩具时被用到--因此动漫玩具除了以上所说的属性外，还具备感性的特点，与此对应的动漫玩具的相似性还应该包含感性的相似性。在动漫玩具设计领域，人的感性认识来源于很多方面，如动漫玩具的材料、形状、纹理等，由于在本书中讨论的动漫玩具设计方法主要涉及动漫玩具的形状、纹理等内容，因此在此仅仅考虑这些能够在计算机上进行显示、能够被设计者观察到的各个因素对于人的感性认识的影响。但是由于人的感情是看不见摸不着的，因此直接对这些内容进行考察是十分困难的。感性工学（Kansei Engineering，KE）正是为了解决这一问题而出现的，它通过对研究对象诸多不确定因素影响的感性特征进行评价，最终得出各个设计要素对于所要研究的感性特征的影响程度。感性工学的操作通常有两种，一种是从具体的设计要素中导出感觉要素，另一种是从感觉要素导出具体的设计要素。本书的研究内容来讲，我们可以利用感性工学的方法分析构成玩具模型各个要素对于某些感性特征的影响程度，然后利用感性相似性结合语义相似性和拓扑相似性，通过联想的方法针对某一个或某几个感性特征进行联想，得到新的三维玩具模型，也可以通过感性特征评价的方法进行具有方向性模型创新设计。
第7章 小结
本章主要从动漫玩具的快速创意设计出发，探讨了如何通过合理的语义设计实现设计方法对于快速创意设计的支持，指出了设计语义必须满足符合动漫玩具设计的思维过程、操作过程与惯用方法相一致、显示内容必须直观有效的基本要求，以用户能够实现不假思索地快捷操作为目的，实现设计创意的快速捕捉；从设计过程以及方法实现的角度出发，通过分治的方法将设计过程分治、系统内部分治和操作语义情景分治，使设计过程符合动漫玩具设计的一般流程，实现创意的顺序捕捉，降低设计方法的实现难度，实现操作语义的流畅表达；从产品创新设计的角度出发，通过模型相似性、语义相似性、拓扑相似性和感性相似性的研究，讨论各个相似性对于产品创新设计的重要作用，并指出根据各相似性以及其相互组合，通过联想的方法可以快速实现动漫玩具的创新设计。
第8章 引言
手绘草图因为其具有的直观、绘制方便的特点，使其成为人类进行思想交流一种常用的表达方式，即便是一些本身抽象的、不能直接用图形表达的内容，也通常被千方百计地形象化，使其可以用草图进行交流和表达。草图的应用在我们的日常生活中随处可见：教师在授课过程中会通过绘制草图将原本抽象的数学问题通过图形化的方式进行形象化表达，便于学生理解；设计师通过绘制草图进行思想交流，共同讨论设计方案。
另外，手绘草图也通常是概念设计和创意设计的重要工具。在概念设计和创意设计阶段，设计师通常会在脑海中构建自己的设计意图，但通常这种设计意图是模糊的、不稳定的，这时手绘草图就会发挥它易用和便捷的特点，可以让设计师通过简单的笔画将自己稍纵即逝的设计构思快速地记录下来，提高设计效率。
轮廓草图是手绘草图的一种，代表了某一物体外围形状，虽然其不像完整的手绘草图那样可以比较完整地记录所要表达的信息，但是通常会传达出足够的信息量，使得我们足以判断出物体的大致形状。是一幅小熊的图片及其轮廓草图。从小熊的轮廓草图中我们可以比较容易地判断出该轮廓草图所代表的大致形状。
小熊的轮廓草图
正是因为轮廓草图相比于草图具有更加简单但同时可以传递足够信息的特点，我们选择轮廓草图作为本书所研究的动漫玩具快速创意设计方法的输入。本章主要研究如何实现草图的快速生成，为用户提供快速创意设计的支持。其中第3.2节主要研究用户自定义草图的获取及处理；第3.3节研究如何从图片中提取玩具的轮廓草图，实现轮廓草图的快速自动输入；第3.4节研究复杂轮廓草图库的设计和使用，使用户可以直接从库中选择想要输入的复杂草图；第3.5节研究轮廓草图的识别与导航，将用户输入的草图进行识别和规整，将用户输入的随机性波动较大的草图转化为库中存在的标准草图，实现用户的准确输入。
第9章 动漫玩具轮廓草图绘制生成
设计是一种创造的活动，因此设计师在设计动漫玩具的时候通常是随心所欲的，这些玩具的轮廓草图也是多种多样，预先无法确定，因此设计良好的基于草图的设计软件都必须支持用户的自由手绘输入。
由于草图在信息表达、传递和设计中的重要作用，越来越多的输入设备都支持草图输入，而这些设备的一个关键特征是支持自由手绘输入，例如鼠标、绘图板和触摸屏等，利用这些设备用户可以方便地输入草图。但是，由于用户的绘制技术不熟练和输入设备本身的局限性，通常直接从输入设备上得到的草图会包含一些错误的采样点。另外，从输入设备上直接得到的草图中通常包含了过多的冗余采样点，因此还需要对草图进行进一步的处理和转换，使最终作为输入的草图既能准确地表达用户意图，又便于计算机处理。
由于输入设备和绘图速度的不同，会造成原始输入笔画采样点直接的距离各不相同，另外由于绘制过程中存在的抖动和误差等因素，会引入大量的数据噪音。重采样是一种降低输入笔画数据噪音的方法，它可以在绘制过程中进行，也可以在绘制结束后执行。
重采样通常从采样点的位置信息出发对原始数据进行处理。常用的重采样方法有距离控制法、固定点数间隔法、角点重采样等方法，由于固定点数间隔法原理比较简单，并且仅适用于平滑的输入情况，使用范围狭窄，因此下面主要介绍距离控制法和角点重采样方法。
1.距离控制法
距离控制法的原理是：设定一定的阈值，舍弃一些与前面采样点距离低于该阈值的采样点，并对高于阈值的情况进行插值处理，从而得到新的采样点序列。该方法可以获得较为均匀的采样点，但是该方法不利于保存原始采样点的局部笔画特征，如角点等。是利用距离控制法进行重采样的结果，由图中我们可以看出当阈值较大时，原始图形中的部分局部信息没有得到保留，因此在使用该方法时要注意这一问题。
2.角点重采样方法
设计良好的重采样方法应该能够在保证原始采样数据的局部信息的同时尽可能地减少采样点数量，从表面上看就是在平坦的区域保留较少的采样点，在细节较多的地方保留相对较多的点。角点重采样算法就可以解决这一问题。
角点是曲线的重要型值点，通常代表着曲线的局部特征，因此，为了能够在重采样时保留曲线的局部信息，就必须要保留曲线的角点。角点检测的方法有很多，如利用采样点位置进行判断的常用方法有曲率法和隶属度法等；结合输入习惯的判断方法有速度法和压力法等。另外，由于曲线上通常存在噪音，因此角点检测得到的角点中通常存在一些不是角点的点，因此还需要进一步的处理，去除伪角点。有时为了保证重采样后得到的曲线形状更接近于原始曲线，还需要将某些非角点的点加入到采样点中。下面将对利用曲率进行角点检测、去除伪角点以及添加非角点的方法作进一步的说明。（1）角点检测
根据曲率判断角点是一种直观有效的角点检测方法，它主要计算曲线上某一点与其相邻两点间的连线所构成的夹角，并将夹角的大小同预先设定的阈值进行比较，当计算值大于该阈值时则判断该点为角点，小于时就不是角点。
所设定的阈值通常是根据经验和使用的条件由用户确定或系统指定的，有的方法是用预先判断的方法对阈值进行自动调整，也有方法采用模糊判别来提高角点判断的准确性。（2）去除伪角点
去除伪角点主要针对距离较近的角点进行。如果某一角点在其前后两角点连线上或者该点与前后两点连线距离小于某一限制的时候，可以认为该角点是多余的，就可以将该角点删除，以减少不需要的角点，减小内存开销。
在点3和5中间，点4距离两点间连线的距离很近，所以当点3和点5的距离很近时就可以将点4去掉，保留3和5，以减少角点序列的数量，而当3和5的距离比较远时，由于3和5之间的轮廓可能会很复杂，为了减少后续控制点提取时的工作量，而将点4保留。而点2由于距离1、3连线较远，所以不能去掉。
具体步骤如下：
①从角点数组的第二个开始，进行角点简化；
②找到当前角点、前一个角点、下一个角点，判断当前角点和其余两个角点的距离是否小于角点距离限制，如果小于角点距离限制则转向步骤③；否则转向步骤④；如果不存在下一角点则转向步骤⑥；
③判断当前角点距离其余两点间连线的距离，如果小于距离限制则转向步骤⑤；否则转向步骤④；
④将下一个角点设置为当前角点转到步骤②；
⑤删除当前角点；
⑥结束角点简化。（3）Douglaspeucker算法添加非角点
Douglaspeucker是用来简化曲线的常用方法，它可以在保证曲线基本形状的情况下减少曲线上点的数量，在这里我们也可以把它用作判断原始采样点是否应该被包含在新采样点中，使重采样结果更接近于原始采样曲线。
Douglaspeucker算法的基本思路，它主要考察的是两点间曲线上各点同两端点连线的距离，去掉距离近的点，保留距离远的点。
①确定阀值ε。
②先连接第一个和最后一个边界网格顶点（我们暂且称这条线为基准线，这两个顶点为基准顶点对），然后计算这对基准顶点对之间的点到基准线的距离。如果有一个及一个以上的点到基准线的距离大于ε，将距离基准线最远的点记为第n个点，删除基准线，并将第一个点和第n个点记为基准顶点对，将第n个点和最后一个点记为基准顶点对；如果所有点到基准线的距离都小于等于ε，删除基准顶点之间的所有点，只保留基准顶点对作为基准顶点对之间曲线的控制顶点。
③重复将步骤②中得到的基准顶点对进行步骤②的计算，直到所有点到其基准线的距离都小于等于ε。
在利用Douglaspeucker算法添加非角点时，将经过简化的角点序列中相邻的两个角点作为基准顶点，然后判断位于两角点间的原始采样点中有哪些点是应该被添加到重采样结果中的，并将这些点添加进重采样结果中，从而得到了最终结果。
利用角点重采样法可以获得包含较少数据量的采样结果，并能够保证采样结果与原始采样数据满足阈值要求，同时可以保证局部特征的保留，为利用该方法进行重采样的结果。从中我们可以看出采样结果用很少的点就可以表达原始采样数据，并很好地保留了原始采样点中的局部信息。
本节中介绍的两种重采样方法各有特点：距离控制法算法简单、高效，但重采样结果中包含大量冗余信息，并且会造成局部信息缺失；角点重采样方法可以尽可能减少冗余信息，并保留局部信息，但是算法相对复杂，计算量大。两种方法在最终使用时应根据使用要求合理选用。
轮廓草图拟合
在重采样或平滑后，草图中依然存在大量的冗余采样点，将草图拟合为曲线相比与多边形拟合更加贴近用户的真实输入意图，同时也可以使最终生成的三维曲面更加平滑、美观。目前曲线拟合的方法有很多，传统方法如最小二乘多项式拟合、Bézier曲线拟合、B样条拟合等在曲线拟合方面十分流行，最近也出现了使用细分曲面和变量隐式曲面进行曲线拟合的方法也取得了不错的效果。下面将以Ferguson插值曲线拟合和三次B样条拟合为例介绍轮廓草图拟合的方法。
1.Ferguson插值曲线拟合
Ferguson插值曲线也称为hermit插值曲线，这种曲线拟合方法的特点是拟合生成的曲线经过控制点，生成的曲线具有一阶连续性，曲线上某一点的位置受其相邻4个控制点的影响，并且算法快速、简单，它的这一特点使得用户可以直观方便地修改曲线的形状。
Ferguson曲线段的表达式为
p（u）=［u3u2u1］2-211
-33-2-1
0010
1000p（0）
p（1）
p′（0）
p′（1）
设该三次Ferguson样条曲线S由n（n>2）个控制点pi（xi，yi，zi）（i=0，1，…，n-1）拟合而成，为了方便计算机处理，将每两个控制点间的曲线分成10，可知非闭合样条曲线由10n-9个离散点组成，闭合样条由10n个离散点连接而成。
当S非闭合时，设q10i+j（i
定义两个边缘偏移量p′i、p′i+1，其分别为
p′i=0.5（pi+1-pi-1）（i>0）；p′i+1=0.5（pi+2-pi）（i
特殊情况下，当i=0时，p′i=p1-p0+0.5［p1-0.5（p0+p2）］；
当i=n-2时，p′i+1=pi+1-pi-0.5（pi-0.5［pi-1+pi+1）］。
设u=0.1j（j=0，1，…，9），则有
q10i+j=pi（u-1）2（2u+1）+pi+1u2（3-2u）+p′i（1-u）2u
+p′i+1（u-1）u2（i=0，1，…，n-2；j=0，1，…，9）
由上述公式可以通过非闭合三次样条曲线S上n个控制点的坐标计算出所有10n-9个离散点的坐标，依次连接这些离散点即可拟合出该非闭合样条曲线。
对于闭合样条曲线S，离散点q10i+j（i
p′i=0.5（pi+1-pi-1）；p′i+1=0.5（pi+2-pi）
q10i+j=pi（u-1）2（2u+1）+pi+1u2（3-2u）+p′i（1-u）2u
+p′i+1（u-1）u2（i=0，1，…，n-1；j=0，1，…，9）
特殊情况下，当i=0时，pi-1=pn-1；
当i=n-2时，pi+2=p0；
当i=n-1时，pi+2=p1，pi+1=p0。
由上述公式可以通过闭合三次样条曲线S上n个控制点的坐标计算出所有10n个离散点的坐标，依次连接这些离散点即可拟合出该闭合样条曲线。
2.三次B样条拟合
对于拟合的曲线的光滑程度有较高要求的情况，三次B样条拟合是一种常用方法。与Ferguson插值相比三次B样条曲线得到的曲线具有二阶连续性，因此能够保证曲线有更好的光滑连接。三次B样条曲线一般不通过控制点，由于计算过程中的条件不同因此曲线形状也略有不同，但是同样具有局部控制的功能。
三次样条插值函数的数学描述如下。
设给定一个区间［a，b］，且a＝x0
S（xj）＝yj （j＝0，1，…，n）（3.2.1）
令Mj=S″（xj）（j＝0，1，…，n），由于S（x）为分段3次多项式，所以S″（xj）在区间［xj-1，xj］上为一线性函数，因而它可由通过（xj-1，Mj-1）与（xj，Mj）两点的线性插值函数
S″（x）=Mj-1xj-xhj+Mjx-xj-1hj （xj-1≤x≤xj）（3.2.2）
所决定，其中hj=xj-xj-1。
为了最后求出S（x）在［xj-1，xj］上的表达式，只需对（3.2.2）式积分两次，并定出积分常数就可以了。
当x∈［xj-1，xj］时，有
S（x）＝Mj-1（xj-x）36hj+Mj（x-xj-1）36hj
+yj-1-Mj-1h2j6xj-xhj+yj-Mjh2j6x-xj-1hj（3.2.3）
S′（x）＝－Mj-1（xj-x）22hj+Mj（x-xj-1）22hj+yj-yj-1hj-Mj-Mj-16hj（3.2.4）
由式（3.2.4）可知，为求S（x），关键是设法确定各个Mj（j＝0，1，…，n），而为了求得各个Mj（j＝0，1，…，n），必须引用样条节点处光滑连接条件
S′（xj-0）＝S′（xj+0）（3.2.5）
由式（3.2.4）得
S′（xj-0）＝hj6Mj-1+hj3Mj+yj-yj-1hj（3.2.6）
S′（xj+0）＝-hj+13Mj-hj+16Mj+1+yj+1-yjhj+1（3.2.7）
由式（3.2.5）可得连续性方程
hj6Mj-1+hj+hj+13Mj+hj+16Mj+1＝yj+1-yjhj+1-yj-yj-1hj （j＝1，2，…，n-1）（3.2.8）
它给出了n+1个未知数Mj（j＝0，1，…，n）的n－1个方程式，依此尚不足以唯一确定Mj（j＝0，1，…，n），还须补充两个“边界条件”。这分为以下几种情形：（1）假设S′（a）=y′0，S′（b）=y′n，由式（3.2.7）得
2M0+M1=6h1y1-y0h1-y′0（3.2.9）
由式（3.2.6）得
Mn-1+2Mn=6hny′n-yn-yn-1hn（3.2.10）（2）假设M0=0，Mn=0，这相当于自然样条函数的条件。
无论（1）或者（2），均可概括为
2M0+λ0M1=d0
μnMn-1+2Mn=dn（3.2.11）
引入记号
λi=hj+1hj+hj+1，μj=1-λj（j＝1，2，…，n-1）（3.2.12）
则式（3.2.8）可以改写为
μjMj-1+2Mj+λjMj+1＝6×yj+1-yjhj+1-yj-yj-1hjhj+hj+1（j＝1，2，…，n-1）（3.2.13）
所以，由式（3.2.11）和式（3.2.13）所确定的线性方程组为
2λ00000000
μ12λ1000000
0μ22λ200000
00………0000
000………000
0000………00
00000μn-22λn-20
000000μn-12λn-1
0000000μn2M0
M1
M2
…
…
…
Mn-2
Mn-1
Mn＝d0
d1
d2
…
…
…
dn-2
dn-1
dn（3.2.14）
其中dj（j＝1，2，…，n-1）表示式（3.2.13）的右端项。
式（3.2.14）是一个以三对角矩阵为系数矩阵的线性代数方程组，其一般形式为
b1c100000
a2b2c20000
0a3b3c3000
00………00
000………0
0000an-1bn-1cn-1
00000anbnx1
x2
x3
…
…
xn-1
xn＝d1
d2
d3
…
…
dn-1
dn（3.2.15）
其计算程序为先形成qk和uk：
pk=akqk-1+bk
qk=-ckpk
uk=dk-akuk-1pk（q0=0；k＝1，2，…，n；u0=0）（3.2.16）
然后按以下关系式逐一推算各xj的值：
xk=qkxk+1+uk
xn=un （k＝1，2，…，n-1）（3.2.17）
至此，Mj（j＝0，1，…，n）都已求出，所以三次样条曲线函数得以解出。
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]