作者：李忠
出版社：北京大学出版社
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高等数学(第2版)上册(普通高等教育“十一五”国家级规划教材)试读：
内容简介
本套教材是综合性大学、高等师范院校及其他理工科大学中的非数学类各专业（尤其是物理类专业）学生的高等数学教材．全书共分上、下两册．上册共分六章，内容包括：绪论，函数与极限，微积分的基本概念，积分的计算，微分中值定理与泰勒公式，向量代数与空间解析几何，多元函数微分学等；下册内容是多元函数积分学，级数与常微分方程．
本套教材的前身《高等数学简明教程》（全三册，北京大学出版社，1998）曾荣获教育部2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖，本书第一版是在原书的基础上修订而成．
本书是作者在北京大学进行教学试点的成果．它对传统的高等数学课的内容体系作了适当的整合，力求突出数学概念与理论的实质，避免过分形式化，使读者对所讲内容感到朴实自然．本书强调数学理论与其他学科的联系．书中附有历史的注记，简要叙述相关概念和理论的发展演变过程，以及重要数学家的贡献．本书语言流畅，叙述简捷，深入浅出，有较多的例题，便于读者自学．每小节有适量习题，每章配置综合练习题，习题给出答案或提示供读者参考．
本书是第二次修订版，其指导思想是在保持第一版的框架与内容结构不变的基础上，对教材作少量必要的修改与补充，以使本书更进一步贴近读者，更好地体现教学基本要求．具体做法是：对重要的数学概念和定理增加了解释性文字与具体实例，使学生便于理解与掌握；去掉了少数几个习题；删去了第一版中有关闭区间上连续函数有界性定理、介值定理、最大最小值定理、隐函数存在性定理的证明；重新审定了原书中的“历史的注记”与“人物注记”，还适当增加了一些新的内容．
本书有配套的学习辅导书，请读者参考《高等数学解题指南》（周建莹、李正元编，北京大学出版社，书号：ISBN 978-7-301-05853-4/O·0550）．
第二次修订版前言
本书的前身是1998年出版的《高等数学简明教程》（全三册）．2004年做了第一次全面修订，在内容上做了一定的调整，由三册改为两册，并更名为《高等数学》．本次修订是第二次修订．
本书的主要读者是高等院校中物理类专业的学生．高等数学课（或者简单地说，微积分学）对于这些专业而言，其重要性是不言而喻的．然而，这个课对一部分学生说来，往往又是难学的，甚至是让人“望而生畏的”．本书编写的主要指导思想就是希望通过调整某些传统讲法，使微积分学的讲授，能够“返璞归真”，平实自然，有趣有用．具体想法请参见原版序言．
本书出版后，十余年来在北京大学以及其他许多院校得到了广泛地采用．十余年来的教学实践经验为本次修订提供了基础．这次修订的想法是希望在保持原有的框架与内容结构不变的基础上，对教材作少量的必要的更改与补充，以使本书更进一步贴近读者，更好地体现教学的基本要求．
在这次修订中，我们在书中若干地方，增加了解释性文字与具体实例，希望以此为读者铺设一条更为平坦的学习之路．
本书的第一次修订版中，增添了历史的注记与人物注记，以简短扼要的文字，叙述有关重要数学概念的来源和发展，以及数学家的故事，以使读者有较宽广的视野和必要的数学历史知识．在教材近五年的使用中，这些注记普遍受到读者的欢迎．在这次修订中，除了对原有的这些注记做了重新审定之外，还适当增加了一些新的内容．
在这次修订中，原来的习题（包括每一章的综合练习题）一般没有更动，但去掉了少数的几个题目．作者一向不赞成在初学阶段引导学生作难题、偏题，那样做是得不偿失的．
在这次修订中，我们删去了若干定理的证明，其中包括闭区间上连续函数有界性定理、介值定理、最大最小值定理、隐函数存在性定理等定理的证明．这种删改并不表示教学基本要求的改变，而是恰恰相反．这些定理的证明在原书中，或者以附录的形式出现，或者明确注明超出教学大纲的要求，不必在课堂讲授．尽管如此，把它们写在书中，毕竟有可能对教师或学生产生误导，模糊了教学的基本要求，并增加了教师与学生不必要的心理负担，不如干脆去掉为好．因此，这样做是为了使本书更明确地体现教学的基本要求．
多年来，北京大学出版社理科编辑室主任刘勇同志，为该书的出版以及各种修订做了大量工作．现在，该书即将出版第二次修订版之际，作者要特别向他表示衷心的感谢！同时，也向那些曾经给本书提过宝贵意见的读者与专家们表示致谢！李 忠2009年2月23日于北京大学
原版前言
1996年秋至1998年春，我们在为北京大学物理系、无线电电子学系及技术物理系讲授高等数学课期间，在课程内容体系上做了一些改革的尝试．现在出版的这套《高等数学简明教程》就是在当时试用讲义的基础上修改补充而成的．
全书共分三册，供综合性大学及师范院校物理类各专业作为三学期或两学期教材使用．第一册是关于一元函数微积分及空间解析几何；第二册是关于多元函数微积分与常微分方程；第三册是关于级数，参变量积分，傅氏级数与傅氏积分，概率论与数理统计．
现在我们就这套教材的内容处理做以下几点说明：（一）与传统的教材相比，这套教材在讲授内容的次序上作了一定的调整
目前国内多数高等数学教材是先讲微分学，后讲积分学．这样做的好处是数学理论体系清晰．其缺点则是积分概念出来过晚，使初学者对微分概念与积分概念有割裂之感．另外，由于积分概念出现过晚而使数学课在与其他课程，如力学与普通物理等课的配合上出现了严重脱节现象．
在本教材中，我们把微积分的基本概念及计算放在一起先讲，在讲完微积分基本定理及积分的计算之后，才开始讲微分中值定理与泰勒公式．这样调整的主要目的是为了让初学者尽可能早地了解与把握微积分的基本思想，掌握它的最核心、最有用、最生动的部分．在试验过程中，学生们在第一学期期中考试前已经学完了微商、微分、不定积分、定积分的概念及全部运算，对微积分的概念初步形成了一个比较完整的认识．同时，这样的调整也缓解了与其他课程在配合上的矛盾．因此，我们认为这种调整或许是解决物理类专业在大学一年级数学课与其他基础课脱节问题的途径之一．
微积分就其原始的核心思想与形式是朴素的、自然的，容易被人理解与接受的．随着历史的发展，逻辑基础的加固和各种研究的深化，它已经变成了一个“庞然大物”，让初学者望而生畏．现在，如何选取其中要紧的东西以及用怎样的方式将它们在较短的时间内展示给学生，不能说不是一个问题，值得我们思考与探索．（二）关于极限概念的处理
关于极限概念和有关实数理论的处理历来是微积分教学改革中争论的焦点之一．我们认为，极限的严格定义，即“ε-δ”与“ε-N”的说法是应该讲的，并且要认真讲．因为它在处理一些复杂极限过程，特别是涉及函数项级数一致收敛性等问题时，是必不可少的．物理类专业的学生可能还要学许多更高深的数学，不掌握极限的严格定义也是不行的．
但是，我们也不赞成在一开头就花很大力气去反复训练“ε-δ”，而形成一种“大头极限论”．我们希望随着课程的深入，让学生在反复使用中逐渐熟悉它，掌握它．在现在的教材中没有出现大量的用“ε-δ”求证具体函数极限的练习，更没有做十分困难的极限习题，因为做过多的这类练习意义不大．极限的概念在这套教材中既是严谨的，又保留其朴素、直观、自然的品格．
与极限概念密切联系在一起的是关于实数域完备性的几个定理．我们采用了分散处理的办法．在全书的一开头就把单调有界序列有极限作为实数完备性的一种数学描述加以介绍．有了它，这在有关极限的许多讨论中已足够了．闭区间上连续函数的性质在第一章中只叙述而不加证明，其证明只作为附录，供有兴趣的读者自行阅读．在讨论级数之前再次涉及实数域的完备性，这时才介绍柯西收敛原理，以满足级数讨论的需要．这种分散处理的办法，不仅分散了难点，而且使初学者更容易看清这些基础性定理在所涉及问题中的意义．（三）本书坚持了传统教材中的基本内容与基本训练不变，但拓宽了内容范围
在内容的取舍上，我们采取了相当慎重的态度．近来对高等数学课的内容现代化改革呼声很高．但是，作为一门数学基础课似乎不宜简单地以现代化作为其改革的主要目标．数学学科中概念的连贯性使得它不可能像电子器件一样去“更新换代”和“以新弃旧”．而且现在看来掌握好微积分的基本概念、基本理论与基本训练，对于一个理工科大学生而言依然是必不可少的．当然，计算机的广泛使用以及数学软件功能的日益提高，正促使我们思考在高等数学课中简化或减少某些计算的内容．然而就目前的情况，我们尚难于下定决心取消某些内容．为了慎重从事，这次改革试验中，我们保留了传统教材中的基本内容与基本训练．
我们认为目前对高等数学课而言重要的不是去更新内容，而是避免教学中烦琐主义的倾向，不要在一些枝节问题上大做文章．那样做既歪曲了数学，又使学生苦不堪言．
在本书的表述上，我们尽可能注意了文字的简洁、例子的典型性以及对基本概念背景及意义的解释，以便于读者自学．除每节的练习题之外，每一章之后又附加了总练习题，以使读者有机会做一些综合练习．
国际著名数学家柯朗曾经尖锐地批评过数学教育．他指出：“二千年来，掌握一定的数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力．数学在教育中的这种特殊地位，今天正在出现严重危机．不幸的是，数学教育工作者对此应负其责．数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练．固然这可以发展形式演算能力，但却无助于对数①学的真正理解，无助于提高独立思考能力．……”
柯朗的话是对的．数学教育需要改革，我们任重道远．
最后，我们应该提到，这次改革试点工作先后在北京大学及北京市教委正式立项并得到了他们的支持，借此机会我们向北京市教委及北京大学教务处与教材科的有关同志表示衷心感谢．北京大学数学科学学院院长姜伯驹教授一直十分关心这项工作，并给予多方面的鼓励与帮助．此外，彭立中教授、黄少云教授与刘西垣教授也很关心这项工作，并对试用讲义提出了许多宝贵意见．北京大学出版社邱淑清编审及刘勇同志大力支持教材的出版．刘勇同志作为本书的责任编辑为本书的出版做了大量工作，付出了辛勤的劳动．我们在这里一并对这些同志表示感谢！
毫无疑问，这套教材会有许多不成熟之处，甚至有不少错误．我们诚恳地希望数学界同仁加以批评指正，以便改正．李 忠 周建莹1998年2月15日于 北京大学中关园（2004年元月略作删改）注释① 见《数学是什么》第一版序，柯朗与罗宾斯著，汪浩、朱煜民译，湖南教育出版社，1985．绪 论
在课程内容开始之前，我们先来谈谈什么是数学以及数学跟科学技术的关系．希望读者从中增进对数学的了解，看到学习数学的意义．同时，我们还就怎样学好高等数学将向初学者提供若干建议．1．数学的基本特征
一百多年之前，恩格斯就说过，数学是研究现实世界中数量关系及空间形式的科学．尽管在这一百多年中数学的发展使它的研究内容早已超出了“数”与“形”的范畴，但是就其基本精神而言，恩格斯对数学的概括依然是正确的．
数学的基本特征是它的研究对象的高度抽象性．
数本身就是抽象的．数字“1”是人们从1个苹果、1只羊、1个人等现象中舍去了苹果、羊、人……的具体特征，单从数量上抽象出来的．除了人们容易理解的自然数外，数学中还有负数、无理数、超越数、复数等等．它们的抽象程度则较自然数要更高．要想对一个没有中学数学知识的人解释清楚何为无理数未必容易，更不用说复数或i＝了．
初等几何中的点、直线、三角形及圆等也是抽象的．它们是根据人们生活经验抽象而来，因此是容易被理解的．我们生活的现实空间是3维空间，这一事实是抽象的结果；但毕竟容易接受．至于4维空间就变得难于理解．在物理中人们通常把时间与空间合在一起视做4维空间．然而，数学中还要研究一般n维空间乃至无穷维空间，甚至更为抽象的流形或拓扑空间．这些特别抽象的概念不一定是从人的直接生活经验与生产活动中得来，而是从人类的科学研究（包括数学研究）、科学试验以及复杂的技术过程中抽象而来，它们似乎超出了普通人的直接经验，也超出了自然现象的范畴．数学研究对象的这种高度抽象性使得数学科学区别于自然科学——后者的研究对象是自然现象．
数学研究对象的抽象性决定了数学的另一特征：它在论证方法上的演绎性．
人们说：“数学是一门演绎科学．”这是从它的论证方法而言的．具有中等数学训练的人都知道数学的推理过程：假设结论．
这里的logic是指形式逻辑．这就是说，在数学中要论证一个结论的成立，是根据假设（包括公理）按照形式逻辑推演出来的．在一定意义上可以说，除掉假设及逻辑推理之外，它不允许任何其他东西作为导出结论的依据．
在实验科学中实验结果是结论的重要依据．但在数学中则不能以任何实验结果作为结论的依据．在生物学中解剖几只麻雀之后即可断言“麻雀有胃”．然而，在数学中则不能由测量若干个三角形内角而断言“三角形内角之和为180°”——数学中的这一结论是由平行公理推演得来的．
我们要作一点说明，说数学是一门演绎科学是指其论证方法而言，而不是指其整个研究方法．在数学研究中，尤其在探索阶段，实验、归纳、类比、猜测或假想同样是一些重要方法．然而，最终论证一个结论的成立则需要演绎．在数学中没有经过证明的命题最多只能是一种猜想．
数学在论证方法上的演绎性使数学理论构成了一个严谨的形式体系，其中有公理、定义、定理，一环扣一环，演绎出许多公式与结论．这里的公理是指那些不须证明的基本假定，而定义则用来规范和界定各种术语的内涵．定理是关于一个数学命题的叙述，通常由两部分组成：条件与结论．在数学书籍或文章中，通常还有所谓“引理”或“命题”之类．它们与定理在性质上相同，只是文章或书籍的作者认为讨论过程中它们的重要性不及定理而已．
人类历史上第一个完整的演绎体系是欧几里得（Euclid，约公元前300年）的《几何原本》，它对人类文明产生了巨大影响．欧几里得在书中不是简单地罗列了前人的几何知识，而是由五条公理（在《几何原本》中称之为公设）出发，用形式逻辑将其全部结论逐一推出．爱因斯坦高度评价了这个“逻辑体系的奇迹”．他说：“推理的这种令人惊叹的胜利，使人类的理智为今后的成就获得了所需要的信心．”
数学的第三个特征就是应用的极端广泛性．这同样是由它的研究对象的抽象性所决定的；简单地说，正是因为数学抽象，所以其结论的应用范围才广．比如，数字是由苹果、羊、人等许多事物抽象而来．因此，2＋3＝5则不仅适用于苹果，而且还适用于羊、人，等等，也适用于一切可能谈论数量的事物．
在数学中，同一方程式完全可能代表着互不相干的事物的某种相同规律．同一个拉普拉斯方程可能代表许多不同的物理现象．某种生物种类群体的数量变化可能与市场某种商品的价格涨落满足同一数学模型．所有这些就是数学抽象力量的所在．
数学应用广泛性的一个重要标志是数学在其他科学中的特殊地位与作用．伽利略说：“自然界这部伟大的书是用数学语言写成的．”事实上，数学是各门科学的语言．物理定律及原理都是用数学语言描述的．数学在天文、力学与物理学中的地位与作用是人所共知的，无须多言．数学在化学中的应用已不是过去说的只有线性方程组，而数学在生物学中的应用也早已不是零了．分子生物学中DNA的复杂的立体结构跟数学中拓扑学里的纽结理论有关．过去人们认为数学在社会科学中作用不大．这种看法也已过时了．管理科学、质量控制、产品设计、金融投资中的风险分析、保险业、市场预测等正在广泛地应用着数学．数学在经济学理论的发展中扮演着重要角色．在近些年来经济学诺贝尔奖获得者中，有半数以上的人有从事数学研究的历史背景．数学在众多学科中的这种特殊地位与作用是任何其他学科所不能比的．
有些人认为数学是“丝毫不反映现实世界的纯形式体系”，从而也就从根本上否认了数学的应用价值．令人遗憾的是某些数学家也持此种看法．一位著名的数学家曾宣称：“我的任何一项发明都没有，或者说都不可能为这个世界的安逸带来哪怕是微小的变化，……他们（指数学家）所做的工作和我同样无用．”具有讽刺意味的是：这位数学家的言论很快被自己的成果推翻．他的一篇纯数学研究论文中的定理被应用于生物遗传学上，并以他的名字命名这项遗传学上的定律．
还有一些人认为数学的形式系统是数学家们“自由创作”的结果，“就像小说家设计人物、对话和情节一样”，没有任何必然性．
这些看法之所以错误，是因为它们不符合于数学被广泛应用的现实，不符合于数学及其他科学发展历史，更不能解释数学内部的高度和谐与统一，不能解释数学与物理及其他科学的一致性．我们认为，数学内部的统一性以及它跟其他科学的一致性是宇宙统一性的反映．
这里我们想简单提一下数学与物理的关系．谁都知道，数学为物理提供了描述现象与规律的语言与工具，反过来物理现象也为数学概念的建立提供了原型．实际上数学中有不少概念首先是由物理学家提出，然后由数学家逐步严谨化．这种现象屡见不鲜．还常常有这种情况，数学家与物理学家在各自的领域内进行研究，彼此并不知道他们的研究有任何关联，用着不同的术语与方法，过了若干年之后，他们惊异地发现，他们的研究竟是相通的或者干脆说是同一个东西的不同侧面．杨振宁与米尔斯所研究的规范场论和陈省身教授所研究的纤维丛理论之间的紧密关系就是一个有趣的例子．
还应当指出，人类对未知世界的探索是一种永远不会停顿的顽强追求，这种追求有时超越了直接的功利目的．某些数学的研究常常是一个纯粹的数学问题，既看不到实际应用的背景，也无法预测它的应用前景．人们对这类问题的研究，单从研究动机上看似乎和艺术一样，是对某种永恒与完美的追求．我们对这种追求的意义也不应有任何忽视．
数学研究的基本动力来自外部的社会实践的要求，然而，也不可否认还有一部分相当大的动力来自数学内部．数学内部的矛盾，数学研究中所遇到的重大问题，往往会激起数学家们巨大的研究兴趣，促使数学家们做出不懈的努力．这些问题是纯数学形式的，然而这种纯数学问题的研究往往推动了数学新理论与新方法的产生，而后者在科学上或技术上有重要价值．数学发展的历史证明着这一点．
欧几里得的《几何原本》的第五公设（即平行公理）曾经引起了许多人的研究．他们试图用其他四个公设将它推导出来．两千多年间不知有多少数学家为此绞尽脑汁而最后都失败了，其中不乏一些著名数学家．两千多年的失败经验促使高斯、罗巴切夫斯基和波约等人做出相反的大胆思考，于是诞生了非欧几何．平行公设问题，自然是一个纯数学问题，很难在当时说清它的研究价值．然而如果没有这样的讨论，就不会有非欧几何以及黎曼几何的出现，从而也就没有爱因斯坦的相对论和他的时空观．2．数学发展的历史回顾
为了使读者对数学以及上述观点有更具体的了解，让我们回顾一下数学发展的历史．
从历史上看数学的形成与发展经历了以下几个历史阶段：
公元前600年以前是数学的形成时期．在这一漫长的历史时期中，人类在生产活动中逐渐掌握了计数的知识，会做加减乘除四则运算，具有了初步的算术知识，并且积累了几何方面片断的知识．
公元前600年至17世纪中叶被认为是初等数学时期．在这时期内有了完整的几何知识，尤其是有了欧几里得的《几何原本》．此外，代数、三角、对数都有了完整的系统理论，成为独立的学科．在这一时期中，一个重大的事件是无理数的发现．它冲破了原先人们的认识——一切量均可以用整数表示，而这一认识曾是毕达哥拉斯学派的基本观点．他们认为宇宙间一切皆数（指整数），任何量均可由整数表示，特别地，他们认为任意两条直线段可用某个第三条直线段去作为公度（也即前两条线段都是第三条线段的整数倍），毕达哥拉斯时代许多几何定理（如相似三角形对应边成比例及关于三角形的面积的某些定理）的证明都是建立在这一假定基础之上．
无理数的发现完全动摇了这一学派的逻辑基础，形成了所谓第一次数学危机．这一危机后来依靠希腊数学家欧多克斯（Eudoxus，约公元前400—前347年）提出的办法而得以克服．
数学发展的第三个时期是变量数学时期，大约是自17世纪中叶至19世纪20年代．标志着这一时期数学发展的有两件大事：第一件是笛卡儿引入了坐标并建立了解析几何的观念，它沟通了数学中两个基本研究对象——数与形——之间的联系，用代数运算去处理几何问题．这一发现为处理一般变量间的依赖关系提供了几何模型．第二件大事是牛顿与莱布尼茨两人独立地创立了微积分．他们破天荒地为变量建立了一种新型的行之有效的运算规则，去描述因变量在一个短暂瞬间相对于自变量的变化率，以及在自变量的某个变化过程中因变量的某种整体积累．前者称为微商，而后者称为积分．
为了解释他们的发现，我们举两个例子．
设想一个沿直线运动的质点，在时刻t距原始出发点之距离为s＝3t．问它在时刻t的速度为多少？0
为了回答这一问题，牛顿的办法如下：他考虑时刻t之后一个极0短的瞬间dt．在这一瞬间质点所走过的路程为
这样在这一瞬间的速度应该是
由于这一瞬间极短，可以认为dt＝0，于是质点在t时的速度就是03牛顿将称为函数s＝t在t时的流数．后来人们把它称做微商．0粗略地说，一个函数y＝f（x）在一点x处的微商就是指当自变量x在0x处有一个微小变动时，因变量的变化与自变量变化之比率．0
我们以变动着的力所做的功来解释什么叫积分．设一个物体沿直线自点a处移到点b处（见图1）．在移动过程中任意一点x处所受的力为f（x），其方向与位移一致，问力所做的功是多少？图 1
若f（x）是一个常数则很容易解决，所求的功就是该常数乘以距离b－a．但若f（x）不是常数时，我们就不知道如何计算它．牛顿与莱布尼茨所建议的方法如下：在任意一点x处考虑一个极小位移dx，然后拿这个极小位移乘以f（x）就作为力在这一小段位移上所做的功．换句话说，力在x点对功的贡献是f（x）dx．把力在每点的贡献“加”起来就是总的功．按照莱布尼茨的记号，这个总的功记做
其中表示自点a至点b对量f（x）dx求和．这就是所谓函数f（x）的从a到b的积分．由此可见，积分就是因变量的一种积累值．
牛顿与莱布尼茨所发现这些方法与概念有很高的典型性与普遍性．
最为重要的是牛顿与莱布尼茨发现了积分运算与求微商的运算互为逆运算，从而给出了计算积分的公式．
牛顿与莱布尼茨的发明为一大批几何问题及力学问题提供了有效的解答，从而震撼了整个学术界．从此微积分被迅速地应用于各种理论研究与工程技术之中．特别值得一提的是，牛顿利用微积分在开普勒三大定律的基础上导出了万有引力定律；或者等价地说，牛顿利用微积分与万有引力定律从理论上证明了开普勒三大定律，后者原本是基于观测总结出来的．
然而，微积分在它发明的初期有严重的逻辑混乱．在上面的讨论中，当我们用dt去除ds时显然是认为dt不等于零，而当除完之后又认为在式子
中的dt为零．无论是牛顿还是莱布尼茨都无法对他们称为“一瞬的”或“无穷小量”的dt到底是零还是不是零提供合理的解释．当时著名的红衣大主教贝克莱对于微积分的逻辑混乱提出了尖锐批评．他冷嘲热讽地说“无穷小量是已死的量的幽灵”．
微积分所面临的逻辑基础危机通常称做第二次数学危机．一百多年之后经过柯西等人的努力，微积分在初期的逻辑混乱才得以澄清．这里的关键之处是在于将无穷小量看做是一个趋于零的变量，而不是看成一个固定的量．相应地，把微商与积分也都看做是一个极限．从此微积分才有了严格的理论基础．
无论如何，牛顿与莱布尼茨所发明的微积分把数学乃至整个科学带入了一个新时代．
通常人们认为，19世纪20年代至20世纪40年代是近代数学时期．在这一时期中具有里程碑性的重大事件有罗巴切夫斯基几何的诞生——几何从欧几里得的《几何原本》中解放出来．由于阿贝尔与伽罗瓦的贡献发展了群论，产生了近世代数．此外，在微积分基础上发展起来的微分几何、复变函数论、拓扑学也逐渐形成各自的体系并有了长足的发展．非欧几何的出现促使人们加强了对数学基础的研究，对公理体系和集合论的研究吸引着很多人的注意力．
现代数学时期是以20世纪40年代电子计算机的发明为标志而开始的．这时一方面数学的应用大大加强了，形成或发展了许多应用数学的学科．计算数学、运筹与控制、数学物理、经济数学、概率论与数理统计，等等，有了飞速的发展．另一方面，数学的核心部分，即数理逻辑、数论与代数、几何与拓扑、函数论与泛函分析及微分方程等学科，则向着更为抽象、更为综合的方向发展．分支学科的界限日益淡化，并出现了许多新的分支学科．历史上的若干难题获得解决或取得重大进展．
电子计算机的发明一般归功于两位数学家：杜林与冯·诺伊曼．数学科学是推动电子计算机的发明与广泛使用的基础．反过来，电子计算机的广泛使用使数学在科学与技术中的地位也发生了巨大变化．电子计算机的广泛使用，使数学的应用范围正在日益扩大．过去由于计算量过大而不能实际计算的问题，现在有了大型快速计算机就迎刃而解了．数学的理论与方法跟电子计算机的结合产生了五花八门的新技术，从医疗手段到电影动画的制作，从指纹或签字的识别到自动排版技术，从战争的指挥到用于和平建设的各种辅助设计……已经渗透到人类活动的方方面面，并形成了一种新型产业——有人建议称之为“头脑产业”．过去许多抽象数学研究如今正迅速广泛地应用于社会实际生活．
数学在信息时代的这种重要意义正日益为更多的人所认识．1985年美国国家研究委员会在一份报告中把数学科学称做是“一个统一的、大有潜力的资源”，认为“数学是推动计算机技术发展及促进这些技术在其他领域中应用的基础学科”．美国前总统科学顾问爱德华·大卫指出：“迄今为止，很少人认识到当今如此广泛称颂的高技术在本质上是一种数学技术．”这种见解是富有远见的．3．学习数学的目的以及怎样学好高等数学
我们正处在一个科学技术飞速发展的新时代，它对现在理工科的大学生，这些未来的科技工作者，提出了许多挑战，具有较高的数学素养就是其中之一．
作为非数学专业的理工科大学生，他们学习数学的主要目的在于“用数学”．这不仅是在大学期间许多课程中需要用数学，而且在大学毕业之后的各种实际工作中仍需要用数学．因此，掌握好数学应该视做具有长远意义的一种基本训练．
根据前面对数学发展史的回顾，我们可以看出中学时代所学的数学基本上是初等数学，是17世纪中叶以前的数学．现在，在大学阶段所学的数学才是变量数学时期及其以后的数学，即17世纪中叶以后的数学．在广义上讲，不妨把它们称做高等数学．然而，作为理工科学生的一门数学基础课，高等数学的含义是十分狭窄的．在我国，习惯上高等数学课的主要内容是微积分，以及级数理论、常微分方程等．从现有的内容看，高等数学课的基本内容实际上尚未涉及到近代数学与现代数学．介绍近代数学或现代数学是今后其他数学课的任务．不过，我们要特别强调指出，微积分无论在理论上还是在实用上都有重大的意义与价值，没有微积分就不可能有现代数学．掌握好微积分应该是理工科大学生所必须具备的基本训练．
数学教育对人的素质的提高会产生深远而重要的影响．通过数学的训练，培育了人们分析问题、解决问题的能力，抽象事物的能力和逻辑推理能力．对数学问题的思考又常常培养了人们探索精神和创新精神．无论你将来做什么工作，这些能力与精神都是不可缺少的．
要学好高等数学，首先要特别注意对其中基本概念的理解与掌握．
高等数学的内容一般说来要比初等数学较为复杂、抽象．特别值得提出，初学者要花较多的气力于基本概念的把握上，多去思考这些概念的本质，它们的意义，以及它们跟其他事物的联系，以求得真正理解它们．数学概念常常以某种抽象数学语言叙述，了解它们的直观背景或物理背景往往是透过抽象形式理解其本质的一条重要途径．正面或反面的典型例子对帮助理解某些抽象概念也是十分重要的．
其次，在学习高等数学的过程中，多做一些练习题是需要的．高等数学在一定的意义上讲也是一种基本技能的训练．能够熟练地进行微积分的基本运算是高等数学课的教学目标之一．只有通过做练习才能熟练掌握所学的理论．但我们认为做练习应当是在基本把握了有关概念与定理的基础上进行的，不要盲目地做题．初学者要改变中学里“只知做题”的习惯，而应该花较多的时间去思考所学的基本概念及基本定理．此外，我们也不主张做过多的难题、偏题，它无助于对数学思想的理解，并违背数学教学的根本宗旨．
数学的特点之一在于它的逻辑的严谨性，初学者在学习过程中要特别注意表述的确切性、论证推理的严密性，养成一个科学严谨的思考习惯．这就要求初学者在做习题时十分注意文字表达的严谨性．
最后，我们要谈谈如何读数学书．读数学书与读其他书有鲜明的差别．由于数学书在表述形式上的抽象性，使得数学书往往有些难懂．读者不能期望数学书一读就懂，复杂的地方要反复读和反复思考，直到弄懂为止．在读数学书时要特别留意定义及定理的叙述．我们不主张单纯记忆或背诵．但是，在理解的基础上，适当地记忆某些最基本的公式，重要定义的叙述以及定理的条件与结论，恐怕也是必要的．
为了加深理解，在读数学书时，手边放些草稿纸，边读边做些练习或画个草图是非常有益的．数学书中为了突出重点或节省篇幅，经常要省略一些推导或演算．有时会用“显然”或“经过简单计算表明”之类的话放在某个结论之前．凡是对你说来，并不是那么“显然”的事实，或者你认为有必要去验算的地方，不妨去试着补上自己的证明或计算．这对初学者加强对内容的理解是一个很好的练习．
学好数学需要独立思考的精神．勤于思考，不满足于成法，善于或敢于提出问题，努力把所学知识跟其他领域中的问题联系起来加以钻研，都是十分可贵的．
学好数学并不是一件难事，但需要你付出必要的努力．数学不应当是枯燥乏味的，只要你钻进去就会感到趣味盎然．数学不是一堆繁琐无用的公式，掌握了它的真谛，它就会给你增添智慧与力量．第一章函数与极限
变量与函数是微积分的基本研究对象，而极限论是微积分研究的基本工具．本章的内容将为今后的讨论奠定基础．§1 实 数1．有理数与无理数
实数在微积分中扮演着一个重要角色．因此，我们先来讨论实数域的若干基本性质．
人类最早知道的是自然数：1，2，3，…．通常全体自然数用N表示．由于做加法逆运算的需要，人们增添了零及负整数，从而将自然数扩充为一般整数．今后我们用Z表示全体整数．乘法的逆运算又导致分数的产生，而分数又称为有理数．通常用Q表示全体有理数，也即
其中（m，n）表示m与n的最大公约数．（m，n）＝1表明m与n没有大于1的公约数，因而此时是既约分数．
有理数集合的一个重要特征是对加减乘除（除数不为零）四则运算封闭；也即这个集合之中的任意两个数做上述四种运算时，其结果仍在这个集合之中．
粗略地说，对加减乘除封闭的数集合叫做数域．因此，有理数集合是一个数域．
公元前五百多年古希腊人发现了等腰直角三角形的腰与斜边没有公度，从而证明了不是有理数．这样，人类首次知道了无理数的存在．
命题1 不是有理数．
证 用反证法．假设是有理数，这时存在两个正整数m及n，使得（m，n）＝1，且222
对上式两边取平方，即得到2n＝m．这表明m是偶数．因此，m一定是偶数．设m＝2l，则有2
这又表明n是偶数，从而n也是偶数．既然m与n均为偶数，那么2则是它们的公约数．这与（m，n）＝1矛盾．证毕．
后来人们发现了更多的无理数，比如，以及π与e等．
究竟什么是无理数？在本书中，我们不打算给出其严格的定义，而只是把它们形式地视做一个无穷不循环小数．从中学的数学课本中，我们知道有理数可以表示成有穷小数或无穷循环小数，比如
反过来，任何有穷小数或无穷循环小数一定是有理数．因此，我们认为无理数是无穷不循环小数．
设a＝m．aa…a…是一个正的无理数，其中m≥0是一整数，12na（k＝1，2，…）是在0，1，…，9中取值的整数．这里a是a的第kkk位小数．我们考虑a的近似小数
即只保留其前n位小数所构成的数．显然，a是一个有理数，并nn且它与a的差的绝对值不超过1/10．当n无限增大时，a可以任意接n近a．
显然，当a是一个负的无理数时，类似的讨论也成立．
因此，可以认为一个无理数是一串有理数无限逼近的结果．
根据这一看法，我们可以将有理数的加、减、乘、除四则运算扩充到无理数之间或无理数与有理数之间．这里我们承认这一事实，而不加详细论证．
通常我们把有理数与无理数统称为实数，并把实数集合记做R．2．实数集合R的基本性质
实数集合R具有以下基本性质：
Ⅰ．R是一个数域：任意两个实数作加、减、乘、除（除数不为零）运算后仍然是一个实数．
Ⅱ．对乘法与加法满足交换律、结合律与分配律：对任意的a，b，c∈R，总有
a·b＝b·a，a＋b＝b＋a；（a·b）·c＝a·（b·c），（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；a·（b＋c）＝a·b＋a·c．
Ⅲ．实数域是一个有序数域．确切地说，R中任意两个不同的数a与b都有大小关系，也即a 顺便指出，今后我们用记号a≤b表示a 前面所讲的关于实数集合的三条性质显然对于有理数集合也成立．也就是说，有理数集合Q也是一个满足交换律、结合律与分配律的有序数域． 然而，有理数域Q与实数域R有着实质性的差异．这主要体现在对极限运算，有理数域不是封闭的（即有理数的数串的极限可能不再是有理数），而实数域对极限运算是封闭的（即一串实数若有极限，则极限仍是实数）．对于实数域R的这一性质，通常称为实数域的完备性． Ⅳ．实数域的完备性．实数域R的完备性从直观上来看就是实数域布满了整个数轴，连绵不断，没有空隙．有理数域Q在数轴上虽是密密麻麻，但没有布满．因此，实数域的完备性有时也称为实数域的连续性． 如何描述实数域的完备性，有许多彼此等价的说法．本书中采用下述命题，作为实数域完备性的一种刻画： 在实数域中，任意一个单调有界序列一定有极限存在． 现在，我们来解释这一命题．所谓数列｛a｝是有界的，那是指na的绝对值｜a｜有一个公共的上界，也即存在一个正数M使得｜annnn｜≤M，n＝1，2，…．比如｛1＋1/2｝中每一项绝对值均小于2，因2而是一个有界数列．而集合｛n：n∈Z｝则是一个无界的数列． 若｛a｝中每一项都不超过其下一项，也即a≤a，则称nnn＋1｛a｝单调递增．若｛a｝中每一项都大于或等于其下一项，也即annn≥a，则称｛a｝单调递减．单调递增或单调递减的序列统称为单n＋1n调序列． 关于什么是极限，本章后面的几节中将详细讨论，目前无须深究，只要作一个朴素的理解即可：所谓l是｛a｝的极限，就是指当n充分n大时，a可以任意接近于l．n 在实数域中单调有界序列总有极限存在这一性质，体现了实数域的完备性．而在有理数域中这一条性质不成立．比如，一个逼近的有理数序列：1.4，1.41，1.414，…，虽然它是一个单调递增的有界序列，但在有理数域中却没有极限存在． 在本书中，我们承认实数域自然具有性质Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，而无须证明，它们构成我们今后讨论的基础．用一句话来概括：实数集合是一个完备的有序数域．3．数轴与区间 笛卡儿（Descartes, 1596—1650）引入了空间坐标的概念，把空间中一点用三个数来表示，这样做的前提是把实数集合与一条直线上的点集合建立一一对应关系．正像在中学所学过的，在一条直线上，取定一点O，称为坐标原点，然后取定一个单位长度并在直线上选定一个方向（见图1.1）．对于任意实数x，若x＝0，则将x对应于坐标原点O；若x>0，则将x对应于直线上一点P使得自O移动至P的方向与所选定方向一致，且线段的长度恰好是单位长度的x倍；若x<0，则P点选择办法类似，只不过是自O至P的移动方向与选定方向相反．这样一来，这条直线上的每个点都可以看做是一个实数；反之，每个实数也可以看做是这条直线上的一个点．因此，我们把这样的直线称做数轴．图 1.1 在引入数轴的概念之后，我们常常把实数集合R与数轴相等同，把实数与数轴上的点相等同，并把一个数x称做点x． 有了数轴的概念之后，两个数a与b的大小关系a 在微积分中我们要用区间的概念．给定两个实数a ［a，b）＝｛x｜a≤x 此外，有时我们也可将整个数轴R表示成（-∞，+∞）．（应该特别强调，这里-∞与+∞只是两个记号而已，它们不是两个数，不能作任何运算．）在某些情况下，我们还会考虑下列的区间：（a，+∞）＝｛x｜a 据此，读者可以自己定义区间［a，+∞）及（-∞，b］． 一个开区间（a，b）或闭区间［a，b］的长度是b－a，而点c＝（a＋b）／2称做区间（a，b）或［a，b］的中心．4．绝对值不等式 在微积分中，我们经常要使用绝对值不等式来描述变量的变化．因此，熟练地运用绝对值不等式是十分重要的． 为此，我们要复习一下在中学学过的数的绝对值的概念． 数x的绝对值记做｜x｜，它的定义是 因此，数x的绝对值｜x｜总是非负的，并且代表在数轴上点x到坐标原点的距离，不论x是正的还是负的，都是如此． 根据绝对值的定义，立即可以推出下列命题： 命题2 对于任意的x∈R及y∈R，我们有：（1）｜x｜≥0，其中等号当且仅当x＝0时成立；（2）｜x｜＝｜-x｜；（3）｜x＋y｜≤｜x｜＋｜y｜． 一般说来，给定两个数a与b，数a－b的绝对值｜a－b｜在数轴上代表点a到点b的距离（见图1.2）．图 1.2 在命题2中令x＝a－b，y＝b－c，立即推出 命题3 对于任意实数a，b，c，我们有：（1）｜a－b｜≥0，其中等号当且仅当a＝b时成立；（2）｜a－b｜＝｜b－a｜；（3）｜a－c｜≤｜a－b｜＋｜b－c｜． 命题3中的结论（3）称做三角不等式．它的几何意义是：点c到点a的距离小于或等于点b到点a的距离与点b到点c的距离之和．当a，b，c是平面上的三点且不在一条直线上时，这一结论便是三角形中两边之和大于第三边．这就是我们称（3）为三角不等式的缘由． 今后，我们会经常用到不等式｜x－a｜ 反过来，若x满足a－r 总之，我们证明了下列命题： 命题4 ｜x－a｜ 例1 证明｜｜x｜－｜y｜｜≤｜x－y｜． 证 由命题2得到 ｜x｜＝｜x－y＋y｜≤｜x－y｜＋｜y｜． 于是我们有 ｜x｜－｜y｜≤｜x－y｜． 又由于｜x－y｜＝｜y－x｜，在上式中交换x与y的位置后即得到 ｜y｜－｜x｜≤｜x－y｜， 这样，我们得到 -｜x－y｜≤｜x｜－｜y｜≤｜x－y｜， 也即数｜x｜－｜y｜要落在以-｜x－y｜及｜x－y｜为端点的闭区间之内，从而｜x｜－｜y｜的绝对值不超过｜x－y｜．证毕．历史的注记无理数的发现是数学史中的一件大事．公元前五百多年希腊有一个毕达格拉斯学派．他们认为任意两条直线段都有公度，也即对于任意给定的长度分别为a与b的线段，总存在一条长度为d的线段，使得a＝md，b＝nd，其中m与n是正整数．该学派所证明的许多定理都是建立在这一假定的基础上的．后来该学派中有人发现了一个惊人事实：等腰直角三角形的斜边与腰没有公度．这一发现相当于证明了不是有理数．这导致了毕达格拉斯学派的逻辑体系的危机．直到公元前370年，希腊数学家欧多克斯才巧妙地克服了这一困难．但他只定义了什么是两个长度的比（包含无公度的情况），却没有回答什么是无理数．完整的实数概念出现在19世纪．通常人们归功于戴德金（Dedekind, 1831—1916）及康托尔（Cantor, 1845—1918）等人．他们分别给出了实数的严格定义．他们的定义形异而实同，本质上都是将无理数视做有理数逼近的结果．严格的实数理论的建立是分析学发展的必然结果．它与极限理论的基础及连续函数的基本性质的证明紧密相关．毕达格拉斯（Pythagoras，约公元前580—前501年），古希腊著名数学家与哲学家．他组织的学派十分重视数学，试图用数解释万物．当时他们已掌握相当一批几何定理的证明，其中包括勾股弦定理．该学派对欧几里得《几何原本》的出现有重要影响．习 题 1.1 1．证明为无理数． 2．设p是正的素数，证明是无理数． 3．解下列不等式：（1）｜x｜＋｜x－1｜<3；2（2）｜x－3｜<2．
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]