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发布时间:2020-09-28 22:30:58

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作者:刘昕彤 马文华 郑荣杰 主编

出版社:北京理工大学出版社

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数字电子技术

数字电子技术试读:

版权信息书名:数字电子技术作者:刘昕彤 马文华 郑荣杰[主编]排版:咪奥出版社:北京理工大学出版社出版时间:2017-03-23ISBN: 9787568237819本书由北京理工大学出版社有限责任公司授权北京当当科文电子商务有限公司制作与发行。— · 版权所有 侵权必究 · —前言Preface

随着信息化、智能化、网络化的发展,数字电子技术应用的领域越来越多,数字电路以其使用简单、方便、成本低、反应速度快等特点受到大家的喜爱。各高等职业院校电类及相关专业纷纷开设了“数字电子技术”课程。但是数字电子技术作为一门专业基础课,使用的教材一般只注重于理论讲解,忽略了实际的应用。本书在结合基本理论的基础上,引入了电路仿真的分析方法,以“理论为主,仿真为辅”的理念来构建教材结构。“理论为主”指的是以数字电子技术的基本理论知识够用和必用为指导思想,除去学习中晦涩难懂的电路内部构造和电路原理等知识,让学生主要学习集成芯片的输入、输出关系和状态转换特性,并根据芯片特点完成规定功能的电路,讲解的重点在于如何应用芯片而不在于电路内部原理。“仿真为辅”指的是借助Multisim 12仿真软件,使学生直观清楚地看到集成电路工作时的状态变化,使学生对集成芯片的工作情况能有更深刻的理解。同时为学生自主利用集成芯片设计电路打好基础。

本书将Multisim 12仿真引入到数字电路分析、设计的过程中,力图通过直观的Multisim仿真实现数字电路的“形象化”描述,通过“直观的”状态变化展示抽象的电路规律。以充分调动学生的形象思维,激发学生学习的兴趣。用Multisim 12仿真构建虚拟的实践环境,可弥补真实的实践环境的不足,学生通过仿真,可以充分发挥个人的想象力,锻炼其独立分析问题和解决问题的能力。

本书共分8个项目,基本涵盖了数字电子技术所有的知识点和Multisim 12在数字电路中应用时需要注意的问题。其中,项目一主要是学习数字电子技术的基本知识,项目二~项目六这5个项目,每个项目除对数字电路知识的介绍以外,最后一个任务就是对本项目内容的一个总结。项目二主要介绍了门电路的使用,并通过学习门电路来完成八选一编码电路的设计;项目三主要介绍了组合逻辑电路的使用,完成了数码显示电路的设计;项目四是对触发器的学习,完成了四路抢答器的设计;项目五主要是对时序逻辑电路的学习,完成了秒计数器的设计;项目六主要介绍了555定时器的知识,完成了报警电路的设计。项目七主要内容是Multisim 12仿真软件在数字电路中的使用方法和常见问题。项目八是对整本书的内容进行总结和提高,综合整本书中出现的知识点,总结并设计了3个通过数字电子技术能实现的电路,并对其进行仿真。在这本书的最后,还附有指导书,内容包括6个数字实验和1个数字实训的任务,教师在平时上课时可以直接使用。本书做到了既有理论知识,又有仿真实践;既直观形象地演示了数字电路的状态,又详细地讲解了数字电路的基本知识。由于仿真实验都是单独作为任务出现的,所以教师在采用该书讲授数字电子技术时既可以结合仿真软件调动学生的积极性,又可以脱离仿真只讲解基本理论。

本书每个项目都配有相应的练习题和答案,请读者自行参考。本书可作为高职高专院校和成人教育学院电类等相关专业的数字电路教材,也可供科研人员、工程技术人员和数字电路爱好者参考阅读。

河北水利电力学院刘昕彤老师编写项目四、项目七;马文华老师编写项目六;郑荣杰老师编写项目五;张艳敏老师编写项目二;王建强老师编写项目三;罗海兵老师编写项目一;唐山职业技术学院任丽泉老师编写项目八;石家庄工商职业学院夏云霞、衡水科技工程学校王琳、渤海理工职业学院侯志成共同编写了数字电子技术实验实训指导书;此外,河北水利电力学院的刘雅老师参与了部分项目图表的绘制。刘昕彤负责全书内容的组织和统稿。河北水利电力学院崔海良教授担任主审,并对编写工作提出了很多宝贵的意见,在此表示衷心感谢。

此外,本书在编写过程中,得到了许多同行专家的大力支持和帮助,编者在此谨表谢意。由于编者水平有限且成书仓促,书中难免会有疏漏错误和不妥之处,敬请读者批评指正。编者项目一数字电路基础项目摘要

数字电路已广泛地应用于各个领域,本项目介绍数字电路的基本知识和应用实例。本项目在介绍数字系统运算的数制(二、八、十、十六进制)与码制(BCD码、余三码、循环码)的基础上,重点介绍各种常用数字逻辑电路的逻辑功能、逻辑代数的基本逻辑运算、逻辑函数的表示方法、化简及应用。学习目标

·掌握数字系统运算的数制与码制;

·掌握逻辑代数的基本逻辑运算;

·掌握逻辑函数的表示方法及化简使用方法;

·培养和提高查阅有关技术资料和数字集成电路产品手册的能力。1.1 生活中的数字电路

当今时代,数字电路已广泛地应用于各个领域,随着以信息技术高速发展为背景的“互联网+”时代的到来,数字生活成为依托互联网和一系列数字科技技术应用的一种广为接受的生活方式,可以方便快捷地带给人们更好的生活体验和工作上的便利。数字生活离不开形形色色的数字电路。1.1.1 数字电路常见产品

生活中,由数字电路或者主要由数字电路组成的产品比比皆是。比如说,现在几乎每个人都在使用的手机,就是一个典型的数字电路。它是在以前的模拟手机(传说中的“大哥大”)的基础上发展而来的,具体来说就是用数字电路替代了原来的模拟电路。因为只有数字电路才能做到集成度更高,也才能在手机这样有限的空间内容纳更多的电路,从而实现各种复杂的功能。

再比如说,现在的电视也已经全面步入数字化时代,数字电视与原来的模拟电视相比,无论是画面质量还是频道数都得到了大大的增强与提高。尤其是数字智能电视的推出,使得原本只能单向接收信息的电视观众,可以对节目内容等进行越来越多的个性化定制,这是模拟电视所不可能实现的。

数字电路的另外一个典型的应用就是计算机了,当今世界上所有投入使用的计算机无一例外都是数字计算机。当我们沉迷于“魔兽世界”的时候,当我们发动“极品飞车”的时候,当我们开启“星际争霸”之旅的时候,估计我们很少会有人想到在后台运行的居然是一串串的“0”和“1”的组合,无论游戏进程多么跌宕起伏,也无论游戏场景多么绚丽多彩,居然都是靠着“0”和“1”两个“数字”来实现的,而且居然连个“2”都没有用到。1.1.2 数字时代的另一个产物——网络

生活在当今社会的人们,尤其是年轻人,已经习惯畅游在网络的世界中了,如果哪一天没有网络,就会“觉得整个世界都不好”了。而就是这个人们已经离不开的网络,其构成也全部是数字化的。

首先,人们上网所能得到的各种各样的信息,包括文字、图片、声音、视频以及各种动画等,无一例外都是以数字的形式存储在遍布世界各地的数字存储器中。这些存储器为人们提供了网上的各种数字资源。

其次,信息之所以能够以极快的速度从存储器传输到客户端,也是因为有了联通世界的数字化网络。这个数字化网络能够快速而高效地传输各种数字信号。

最后,人们用来上网的各种终端设备,如计算机、手机都是由数字电路构成的电子产品。1.1.3 智能家居

智能家居(英文:smart home,home automation)是以住宅为平台,利用综合布线技术、网络通信技术、安全防范技术、自动控制技术、音视频技术将家居生活有关的设施集成,构建高效的住宅设施与家庭日程事务的管理系统,提升家居安全性、便利性、舒适性、艺术性,并实现环保节能的居住环境。

智能家居之所以能够实现,除了要依托上一小节提到的网络外,很重要的一点就是日常生活中的各种家用电器都应该是嵌入了控制系统的,而这个被嵌入的控制系统(ARM系统、PLC系统、单片机系统)也是由数字电路组成的。控制系统接收到数字传感器采集的信号,经过智能家居系统的处理后,再将指令发送给嵌入式控制系统,进而实现家居的智能化控制。1.2 数字电路入门知识1.2.1 模拟信号与数字信号

自然界中存在着各种各样、千变万化的物理量,但就其变换规律,不外乎两大类:模拟信号和数字信号。

模拟信号——物理量在时间和数值上均连续的信号。如速度、压力、温度等。话音信号、正弦波信号就是典型的模拟信号。产生、变换、传送、处理模拟信号的电路称为模拟电路。

数字信号——在时间上和数值上均是离散的。如电子表的秒信号、生产线上记录零件个数的记数信号、矩形波、方波信号等就是典型的数字信号。图1.1 方波信号(1)数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流,如图1.1所示的方波信号。

数字信号通常又称为脉冲信号、离散信号,一般来说,数字信号在两个稳定的状态之间做阶跃变化,它有电位型和脉冲型两种:用高、低两个电位信号来表示数字“1”和“0”是电位型表示法,用有无脉冲数字来表示数字“1”和“0”是脉冲型表示法。产生、存储、变换、处理、传达数字信号的电路称为数字电路。(2)正逻辑与负逻辑。

数字信号是一种二值信号,用两个电平(高电平和低电平)分别来表示两个逻辑值(逻辑1和逻辑0)。在应用时存在两种逻辑体制,分别是正逻辑和负逻辑。正逻辑体制规定:高电平为逻辑1,低电平为逻辑0;负逻辑体制规定:低电平为逻辑1,高电平为逻辑0。通常,数字电路中采用的是正逻辑体制,图1.2所示为采用正逻辑体制表示的逻辑信号。图1.2 正逻辑1.2.2 数字电路的分类及特点

1.数字电路的分类(1)按电路有无集成元器件来分,数字电路可分为分立元件电路和集成元件电路两大类。(2)按集成电路的集成度进行分类,可分为小规模集成数字电路(SSI)、中规模集成数字电路(MSI)、大规模集成数字电路(LSI)和超大规模集成数字电路(VLSI)。(3)按构成电路的半导体器件来分类,可分为双极型数字电路和单极型数字电路。(4)按功能来分,可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路。

时序电路,它是由最基本的逻辑门电路加上反馈逻辑回路(输出到输入)或器件组合而成的电路,与组合电路最本质的区别在于时序电路具有记忆功能。时序电路的特点是:输出不仅取决于当时的输入值,还与电路过去的状态有关。它类似于含储能元件的电感或电容的电路,如触发器、锁存器、计数器、移位寄存器、储存器等电路都是时序电路的典型器件。组合逻辑电路是指在任何时刻,逻辑电路的输出状态只取决于电路各输入状态的组合,而与电路原来的状态无关。即组合逻辑电路的输出与时间无关,仅与输入有关。

2.数字电路的特点(1)用数字信号完成对数字量进行的算术运算和逻辑运算,具有逻辑运算和逻辑处理功能。因此,数字电路也常被称为数字逻辑电路或逻辑电路。(2)便于高度集成化。(3)数字信息便于长期保存。(4)数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。(5)抗干扰力强。由于数字电路所处理的是逻辑电平信号,因此从信号处理的角度看,数字电路系统比模拟电路具有更高的信号抗干扰能力。(6)保密性好。数字电路中容易对数字信号进行加密处理,使信号在传输过程中不容易被窃取。1.3 数制与码制1.3.1 数制

按进位的原则进行计数,称为进位计数制,简称数制。不论是哪一种数制,其计数和运算都有共同的规律和特点。逢N进一:N是指数制中所需要的数字字符的总个数,称为基数。位权表示法:位权是指一个数字在某个固定位置上所代表的值,处在不同位置上的数字所代表的值不同,每个数字的位置决定了它的值或者位权。位权与基数的关系是:各进位制中位权的值是基数的若干次幂。

1.几种常用的计数体制

常用的数制有十进制、二进制、八进制、十六进制等。

(1)十进制(Decimal)

十进制计数是我们日常使用最多的计数方法(俗称“逢十进一”)。十进制数组成以10为基础的数字系统,由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9一共10个基本数字组成。一般表达式(加权系数展开式)为:。式中Ki为基数10的i次幂的系数,它可为0~9中的任意一个数字。如:(234)10=2×102+3×101+4×100。

在数字电路中一般不直接采用十进制,因为要用10个不同的电路状态来表示十进制的10个数码,既不容易又不经济。

(2)二进制(Binary)

二进制是相对十进制计数法而言的,是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数用0和1两个数码来表示数。它的基数为2,进位规则是“逢二进一”,借位规则是“借一当二”。二进制数据也是采用位置计数法,其位权是以2为底的幂。例如:二进制数据110,逢2进1,其权的大小顺序为22、21、20。二进制数据的一般表达式(加权系数展开式)为:。【例1.1】 将二进制数据111写成加权系数展开式的形式。

解:(111)2=1×22+1×21+1×20

(3)十六进制(Hexadecimal)与八进制(Octal)

十六进制是计算机中数据的一种表示方法,同日常生活中的表示法不一样。它由0~9和A~F组成,字母不区分大小写。与十进制的对应关系是:0~9对应0~9;A~F对应10~15;N进制的数可以用0~(N-1)的数表示,超过9的数用字母A~F表示。

八进制是一种以8为基数的计数法,采用0、1、2、3、4、5、6、7这8个数字,逢八进一。一些编程语言中常常以数字0开始以表明该数字是八进制。八进制数和二进制数可以按位对应(八进制一位对应二进制三位),因此常应用在计算机语言中。

2.不同数制之间的相互转换

(1)十进制数转换成二进制数

十进制转换为二进制采用“除2取余,逆序排列”法。具体做法是:用2去除十进制整数,可以得到一个商和一个余数;再用2去除商,又会得到一个商和一个余数,如此进行,直到商为零,然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位,后得到的余数作为二进制数的高位有效位,依次排列起来。【例1.2】 将十进制数25转换成二进制数。

解:用“除2取余”法转换,为:

则(25)10=(11001)2。

(2)二进制数转换成十进制数

由二进制数转换成十进制数的基本做法是:把二进制数首先写成加权系数展开式的形式,然后按十进制加法规则求和。这种做法称为“按权相加”法。【例1.3】 将二进制数10011转换成十进制数。

解:将每一位二进制数乘以位权,然后相加,可得:(10011)2=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=(19)10

(3)二进制数转换成八进制数

从小数点开始,整数部分向左、小数部分向右,每3位为一组用一位八进制数的数字表示,不足3位的要用“0”补足3位,就得到一个八进制数。

(4)八进制数转换成二进制数

把每一个八进制数转换成3位的二进制数,就得到一个二进制数。八进制数与二进制数的对应关系见表1.1。表1.1 八进制数与二进制数的对应关系二进制八进制二进制八进制00001004001110150102110601131117【例1.4】 将八进制的37转换成二进制。

根据表1.1可知(37)8=(011 111)2。

即:(37)8=(011 111)2。【例1.5】 将二进制的010110转换成八进制。

从低位到高位3个为一组,最高位不足3位补0即得到:(010 110)2,按照表1.1可得:(010 110)2=(26)8。

(5)二进制数转换成十六进制数

二进制数转换成十六进制数时,只要从小数点位置开始,向左或向右每4位二进制划分为一组(不足4位数可补0),然后写出每一组二进制数所对应的十六进制数即可。

(6)十六进制数转换成二进制数

把每一个十六进制数转换成4位的二进制数,就得到一个二进制数。十六进制数与二进制数的对应关系见表1.2。表1.2 十六进制数和二进制数的对应关系二进制十六进制二进制十六进制00000100080001110019001021010A001131011B010041100C010151101D011061110E011171111F【例1.6】 将十六进制数5DF转换成二进制数。

根据表1.2可知每一位十六进制数可以由4位二进制数代替,即:(5 DF)16=(0101 1101 1111)2。【例1.7】 将二进制数1100001转换成十六进制数。(0110 0001)2=(61)16。1.3.2 码制

1.BCD码(二-十进制码)

BCD码——用二进制代码来表示十进制的0~9这10个数。

要用二进制代码来表示十进制的0~9这10个数,至少要用4位二进制数。4位二进制数有16种组合,可从这16种组合中选择10种组合分别来表示十进制的0~9这10个数。选哪10种组合,有多种方案,这就形成了不同的BCD码,表1.3是常用BCD码。表1.3 常用BCD码

2.余三码

余三码(余3码)是由8421BCD码加上0011形成的一种无权码,由于它的每个字符编码比相应的8421码多3,故称为余三码(BCD码的一种)。余三码是一种对9的自补代码,因而,可给运算带来方便。其次,在将两个余三码表示的十进制数相加时,能正确产生进位信号,但对“和”必须修正。修正的方法是:如果有进位,则结果加3;如果无进位,则结果减3。

如(526)10进制=(0101 0010 0110)8421BCD码=(1000 0101 1001)余3码

3.循环码

循环码又称格雷码(Grey Code)。格雷码又称循环二进制码或反射二进制码。在数字系统中只能识别0和1,各种数据要转换为二进制代码才能进行处理,格雷码是一种无权码,它具有的循环、单步的特性消除了随机取数时出现重大误差的可能,它的反射、自补特性使得求反非常方便。格雷码属于可靠性编码,是一种错误最小化的编码方式。格雷码的特点是:相邻两数的格雷码,仅仅有一位二进制发生变化。而且在其范围内的最小值和最大值也仅仅有一位二进制发生变化。1.4 逻辑代数的基本运算

逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的,故又称布尔代数。布尔用数学方法研究逻辑问题,成功地建立了逻辑演算。逻辑代数是按照一定的逻辑规则进行逻辑运算的代数,是分析数字电路的数学工具。逻辑代数中的变量包括自变量(前因)和因变量(后果),都只有两个取值:“1”和“0”。

逻辑代数和普通代数是有明显区别的,尽管在逻辑代数和普通代数中都存在数字“1”和数字“0”,但其在两者中的含义是有本质区别的,在逻辑代数中,“1”和“0”不表示具体的数量,而只是表示逻辑状态。例如,电位的高与低、信号的有与无、电路的通与断、开关的闭合与断开、晶体管的导通与截止等。而且逻辑运算也是逻辑关系的组合,并不表示数值的计算关系。1.4.1 三种基本逻辑运算

任一逻辑函数和其变量的关系不管多么复杂,它都由相应输入变量的与、或、非3种基本运算构成,即逻辑函数中包含3种基本逻辑运算:与、或、非。任何逻辑运算都可以用这3种基本运算来实现。通常把实现与逻辑运算的单元电路叫作与门,把实现或逻辑运算的单元电路叫作或门,把实现非逻辑运算的单元电路叫作非门(也叫作反相器)。

1.逻辑与(与门)

逻辑与的意义是:当A和B都为“1”时,Y才为“1”;A和B中只要有一个为“0”,Y必为“0”。图1.3 与逻辑电路

如图1.3所示的两个开关串联控制电灯的电路就是一种与逻辑电路,可以列出输入(开关)A、B与输出(电灯)Y的所有关系。可以很明显看出:只有当A=1并且B=1时,才有Y=1;A和B中只要有一个为0时,则Y=0。与逻辑——只有当决定一件事情的条件全部具备之后,这件事情才会发生。

设开关闭合为“1”、断开为“0”,电灯亮为“1”、不亮为“0”,可以用表格的形式列出逻辑关系,叫作真值表。它是描述逻辑功能的一种重要形式。表1.4为与逻辑的真值表。表1.4 与逻辑的真值表ABY000010100111图1.4 与门符号

反映逻辑与关系的逻辑运算叫作逻辑与,其逻辑函数表达式为:Y=A·B(或Y=AB)。式中,A和B是输入变量,Y是输出变量,“·”表示逻辑与运算。由此可见,与逻辑运算的规则为:“有0出0,全1出1”。与门是数字电路中最基本的一种逻辑门电路,它的符号表示如图1.4所示。

2.逻辑或(或门)图1.5 或逻辑电路

如图1.5所示的并联控制电灯的电路就是一种或逻辑电路。或逻辑和与逻辑的分析过程类似,可以列出该电路的输入开关A、B与输出(电灯)Y的所有关系。

灯亮的条件是两个开关只要有一个闭合,这种Y与A、B的关系为“或逻辑”关系。所谓或逻辑,是当决定一件事情的几个条件中,只要有一个或一个以上条件具备时,这件事情就发生。这种因果关系叫作逻辑或,或者叫逻辑加。在逻辑代数中,逻辑变量之间的逻辑加关系称为加运算,也叫逻辑加法运算。

同理,若以开关闭合为“1”、断开为“0”,电灯亮为“1”、不亮为“0”,可以用表格的形式列出或逻辑的真值表,见表1.5。表1.5 或逻辑的真值表ABY000011101111

反映逻辑或关系的逻辑运算叫作逻辑或,其逻辑函数表达式为:Y=A+B。由此可得或逻辑运算的规则为:“有1出1,全0出0”。能够实现或逻辑运算的电路称为“或门”,它的符号表示如图1.6所示。图1.6 或门符号

3.逻辑非(非门)

如图1.7所示的电灯控制的电路就是一种非逻辑电路。可以得出该电路的输入(开关)A与输出(电灯)Y的关系,结果灯Y的亮、灭与条件开关A的闭合、断开呈现一种相反的因果关系,这种关系为“非逻辑”关系,或者叫作逻辑反。所谓非逻辑,是某事情发生与否,仅取决于一个条件,而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生;条件不具备时事情才发生。图1.7 非逻辑电路

同理,若以开关闭合为“1”、断开为“0”,电灯亮为“1”、不亮为“0”,可以用表格的形式列出非逻辑的真值表,见表1.6。表1.6 非逻辑的真值表AY0110

反映逻辑非关系的逻辑运算叫作逻辑非,其逻辑函数表达式为:Y=A。由此可得非运算的规则为:0=1;1=0;A+A=1;A×A=0。能够实现非逻辑运算的电路称为“非门”,它的符号表示如图1.8所示。图1.8 非门符号1.4.2 复合逻辑运算

实际的逻辑问题往往比与、或、非复杂得多,不过它们都可以用与、或、非的组合来实现。最常用的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或、同或等。表1.7给出了它们的表达式、逻辑符号、真值表和运算规律。

1.与非运算

与非——由与运算和非运算组合而成。其逻辑表达式、真值表、逻辑符号和运算规律见表1.7。表1.7 5种组合逻辑运算

2.或非运算

或非——由或运算和非运算组合而成。其逻辑表达式、逻辑符号、真值表和运算规律见表1.7。

3.与或非运算

与或非运算是将A和B、C和D分别相与,然后将两者结果求和再求反。其逻辑表达式、逻辑符号、真值表和运算规律见表1.7。

4.异或运算

异或是一种二变量逻辑运算,当两个变量取值相同时,逻辑函数值为0;当两个变量取值不同时,逻辑函数值为1。其逻辑表达式、逻辑符号、真值表和运算规律见表1.7。

5.同或运算

同或运算是当输入变量A和B的取值相同时,输出变量的值为“1”;当输入变量A和B的取值不相同时,输出变量的值为“0”。其逻辑表达式、逻辑符号、真值表和运算规律见表1.7。1.5 逻辑代数的公式和运算规则1.5.1 基本公式

1.基本定律

逻辑代数是一门完整的科学。与普通代数一样,也有一些用于运算的基本定律。基本定律反映了逻辑运算的基本规律,是化简逻辑函数、分析和设计逻辑电路的基本方法。

(1)交换律

A+B=B+A

A·B=B·A

(2)结合律

A+(B+C)=(A+B)+C

A·(B·C)=(A·B)·C

(3)分配律

A·(B+C)=A·B+A·C

A+B·C=(A+B)·(A+C)

(4)反演律(德·摩根定律)

A+B=A·B

AB=A+B

2.基本公式

(1)常量与常量

0·0=0,0·1=0,1·1=1

0+0=0,0+1=1,1+1=1

0=1,1=0

(2)常量与变量

0·A=0,1·A=A

0+A=A,1+A=1

(3)变量与变量

A·A=A,A·A=0

A+A=A,A+A=1

3.常用公式

除上述基本公式外,还有一些常用公式,这些常用公式可以利用基本公式和基本定律推导出来,直接利用这些导出公式可以方便、有效地化简逻辑函数。

(1)A+AB=A

证明:A+AB=A(1+B)=A

上式说明当两个乘积项相加时,若其中一项(长项:AB)以另一项(短项:A)为因子,则该项(长项)是多余项,可以删掉。该公式可用一个口诀帮助记忆:“长中含短,留下短”。

(2)AB+AB=A

证明:AB+AB=A(B+B)=A

上式说明当两个乘积项相加时,若他们分别包含互为逻辑反的因子(B和B),而其他因子相同,则两项定能合并,可将互为逻辑反的两个因子(B和B)消掉。

(3)A+AB=A+B

证明:A+AB=(A+A-)(A+B)=A+B

上式说明当两项相加时,若其中一项(长项:AB)包含另一项(短项:A)的逻辑反(A)作为乘积因子,则可将该项(长项)中的该乘积因子(A)消掉。该公式可用一个口诀帮助记忆:“长中含反,去掉反”。

(4)AB+AC+BC=AB+AC

证明:

AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC

=AB+AC+ABC+ABC

=AB(1+C)+AC(1+B)

=AB+AC

上式说明当3项相加时,若其中两项(AB和AC)含有互为逻辑反的因子(A和A),则该两项中去掉互为逻辑反的因子后剩余部分的乘积(BC)称为冗余因子。若第3项中包含前两项的冗余因子,则可将第3项消掉,该项也称为前两项的冗余项。该公式可用一个口诀帮助记忆:“正负相对,余(余项)全完”。1.5.2 逻辑代数的3个运算规则

1.代入规则

在任意一个逻辑等式中,如果将等式两边所有出现的某一变量都代之以一个逻辑函数,则此等式仍然成立,这一规则称为代入规则。

2.反演规则

已知逻辑函数F,求其反函数时,只要将原函数F中所有的原变量变为反变量,反变量变为原变量;“+”变为“·”,“·”变为“+”;“0”变为“1”;“1”变为“0”。这就是逻辑函数的反演规则。

3.对偶规则

已知逻辑函数F,只要将原函数F中所有的“+”变为“·”,“·”变为“+”;“0”变为“1”;“1”变为“0”,而变量保持不变、原函数的运算先后顺序保持不变,那么就可以得到一个新函数,这新函数就是对偶函数F′。对偶函数与原函数具有如下特点:原函数与对偶函数互为对偶函数;任两个相等的函数,其对偶函数也相等。这两个特点即是逻辑函数的对偶规则。1.6 逻辑函数的表示方法及化简1.6.1 逻辑函数的建立

逻辑函数(Logical Function)是数字电路(一种开关电路)的特点及描述工具,输入、输出量是高、低电平,可以用二元常量(0,1)来表示,输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系,仿效普通函数的概念,数字电路可以用逻辑函数的数学工具来描述。【例1.8】 3个人表决一件事情,结果按“少数服从多数”的原则决定,试写出该逻辑函数。

解:第一步,设置自变量和因变量。

第二步,状态赋值。

对于自变量A、B、C,设:同意为逻辑“1”,不同意为逻辑“0”。

对于因变量Y,设:事情通过为逻辑“1”,没通过为逻辑“0”。

第三步,根据题意及上述规定列出函数的真值表,见表1.8。表1.8 三人表决电路真值表A B CY0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 10 0 0 1 0 1 1 1 1

一般地说,若输入逻辑变量A、B、C…的取值确定以后,输出逻辑变量Y的值也就确定了,就称Y是A、B、C的逻辑函数,写作:Y=f(A,B,C…)。

逻辑函数与普通代数中的函数相比较,有两个突出的特点:(1)逻辑变量和逻辑函数只能取0和1两个值。(2)函数和变量之间的关系是由“与”“或”“非”3种基本运算决定的。1.6.2 逻辑函数的表示方法

逻辑函数常用的表示方法有:逻辑真值表法、逻辑函数式法(逻辑式或函数式)、逻辑图法、波形图法。

1.逻辑真值表法

采用一种表格来表示逻辑函数的运算关系,其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能组合,输出部分给出相应的输出逻辑变量值。逻辑真值表完全地反映了逻辑函数的逻辑关系,一个逻辑函数对应一个逻辑真值表。

2.逻辑函数式法

采用与数学函数式相类似的表达方式来描述数字逻辑,其用与、或、非、异或、同或等逻辑运算符将逻辑变量连接起来,从而表示出逻辑变量之间的逻辑关系。同一个逻辑函数可以有多种逻辑函数式的表示方式。

3.逻辑图法

采用规定的图形符号来构成逻辑函数运算关系的网络图形。逻辑图往往从逻辑函数式演变而来,即将逻辑函数式中用以描述逻辑关系的与、或、非、异或、同或等运算符用相应的逻辑符号来表示。逻辑图表示法比逻辑函数式表示法更加形象易懂。

4.波形图法

波形图法是指在给出输入信号的波形的同时,给出对应的输出信号的波形。波形图是最能形象地表示逻辑函数的表示方法,其以图形的形式建立起输入与输出的函数关系。另外,波形图能够描述出逻辑函数的时间特性,例如延时等。

5.逻辑函数几种表示法之间的相互转换

同一个逻辑函数可以用以上方法中的任何一种或几种进行表示,对于同一个逻辑函数而言,其只是表示方法的不同,含义是相同的,几种表示方法之间是可以相互转换的。

(1)逻辑真值表与逻辑函数式的相互转换

由真值表写出逻辑函数式的一般方法如下所述。(1)找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输入变量取值的组合。(2)每组输入变量取值的组合对应一个乘积项,其中取值为1的写入原变量,取值为0的写入反变量。(3)将这些乘积项相加,即得Y的逻辑函数式。

由逻辑式列出真值表就更简单了。这时只需将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值,再列成表,即可得到真值表。

(2)逻辑函数式与逻辑图的相互转换

从给定的逻辑函数式转换为相应的逻辑图时,只要用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑运算符号,并按运算符号的优先顺序将它们连接起来,就可以得到所求的逻辑图了。

(3)波形图与逻辑真值表的相互转换

在从已知的逻辑函数波形图求对应的真值表时,首先需要从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值,然后将这些输入、输出取值对应列表,就得到了所求的真值表。

在将真值表转换为波形图时,只需将真值表中所有的输入变量与对应的输出变量取值依次排列画成以时间为横轴的波形,就得到了所求的波形图。1.6.3 逻辑函数的公式化简法

逻辑函数的化简有两种常用的方法:公式化简法,卡诺图化简法。

公式化简法就是运用逻辑代数的基本定律和基本公式消去函数式(多指与或逻辑式)中多余的乘积项或乘积项中多余的因子,进而得到最简与或表达式。公式化简法的常用化简方式有:

1.并项法

利用公式AB+AB=A,把两项合并为一项,从而消去变化量,保留不变量。

Y=ABC+ABC+AB=AB+AB=B

2.吸收法

利用公式A+AB=A,消去多余的乘积项。

Y=A+AB+ABC=A

3.消去法

利用公式A+AB=A+B或AB+AC+BC=AB+AC消去多余的乘积项。

Y=AB+AC+BC=AB+AC+BC+BC=B+AC

4.配项法

利用公式A+A=1或AB+AC+BC=AB+AC,可以使任何函数项乘以A+A,展开后消去一些项。

Y=AB+BC+BC+AB

=AB+BC+BC(A+A)+AB(C+C)

=AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC

=AB+BC+AC1.6.4 逻辑函数的卡诺图化简法

公式化简法往往需要综合运用以上几种方法,要求化简人员熟练掌握逻辑代数基本公式,并具有一定的运算技巧才能完成,并且不同的逻辑函数间化简的规律性不强。逻辑函数的卡诺图化简法则是基于图像(卡诺图)的方式,以规律性的方式对逻辑函数进行化简,对化简人员的知识要求水平大大降低了。

1.最小项

由n个变量组成的乘积项中,如果每个变量都以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次,那么该乘积项称为n个变量的一个最小项。

例如,A、B、C 3个变量的最小项有ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC共8个。观察发现,这些最小项都具有A、B、C 3个变量,并且这3个变量都以原变量A、B、C或其反变量A、B、C的形式出现一次,由此可知3个变量的最小项一共有23=8个。同理,4个变量的最小项有24=16个。一般具有n个变量的,其最小项一共有2n个。

最小项具有以下性质:(1)任何一组变量取值下,只有一个最小项的值为1,其他最小项的值均为0。(2)任何两个不同的最小项的乘积为0。(3)任何一组变量取值下,全部最小项之和为1。

为了表示方便,常常给最小项进行编号,一般地,将令最小项值为1时的各乘积项对应的二进制数的十进制数值表示为该最小项的编号。例如:ABC为1时,A、B、C取值为0、0、0,其对应的十进制为0,因此,ABC标记为m0;类似地,ABC标记为m1。

2.最小项表达式

逻辑函数的最小项表达式是指在逻辑函数的与或表达式的基础上,将那些不是最小项的乘积项乘以(X+X)表达式,即补齐缺失因子后得到的表达式。

Y=AB+AC

=AB(C+C)+AC(B+B)

=ABC+ABC+ABC

最小项之和形式的表达式如果用序号形式表示则为:

Y(A,B,C)=m5+m6+m7=∑m(5,6,7)

一个逻辑函数,其最小项之和表达式只有一个。

3.卡诺图

如果两个最小项中,只有一个因子互为相反,其余因子均相同,则这两个最小项称为逻辑相邻项。美国工程师卡诺(Karnaugh)设计了一种最小项方格图,他把逻辑相邻项巧妙地安排在位置相邻的方格中,即用位置相邻表示逻辑相邻,该种类型的方格图称为卡诺图。

例如:两个变量A、B的卡诺图如图1.9所示。为画图方便,一般把变量标注在卡诺图的左上角,而用0和1表示原变量和反变量,标注在卡诺图的左侧和上方,图1.9的卡诺图可以简化表示为图1.10所示。图1.9 两变量卡诺图图1.10 两变量卡诺图的简化表示

三变量的卡诺图和四变量的卡诺图分别如图1.11和图1.12所示。图1.11 三变量卡诺图图1.12 四变量卡诺图

需要注意的是,图中不仅位置直接相连方格的最小项是逻辑相邻项,而且上下、左右相对的方格也是逻辑相邻项,例如图1.12中,m1和m9是逻辑相邻项,m8和m10也是逻辑相邻项。

4.用卡诺图表示逻辑函数

逻辑函数都可以表示成最小项之和的形式,而卡诺图只不过是一种特殊排列的最小项的图形表示形式,因此卡诺图完全可以表示逻辑函数。用卡诺图表示逻辑函数的方法是:先根据逻辑函数所包含的变量数,画出相应的最小项卡诺图,然后在卡诺图中与逻辑函数中包含的最小项相对应的方格中填1,逻辑函数中不包括的最小项对应的方格填0或不填。【例1.9】 用卡诺图表示Y=AB。

Y=AB的卡诺图表示如图1.13所示。图1.13 例1.9的卡诺图【例1.10】 用卡诺图表示Y=AB+BC+AC。

先将逻辑表达式写成最小项的表达形式:

Y=AB+BC+AC

=AB(C+C)+(A+A)BC+AC(B+B)

=ABC+ABC+ABC+ABC

其卡诺图表示如图1.14所示。图1.14 例1.10的卡诺图【例1.11】 用卡诺图表示Y(A,B,C,D)=AB+CD。

Y(A,B,C,D)=AB+CD

=AB(C+C)(D+D)+(A+A)(B+B)CD

=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

其卡诺图表示如图1.15所示。图1.15 例1.11的卡诺图

5.用卡诺图化简逻辑函数

由于卡诺图中位置相邻的两个方格其逻辑也是相邻的,而两个逻辑相邻项可以合并成一项,并消去那个变化的因子,所以利用卡诺图可以很方便地找到逻辑相邻项(即位置相邻项),合并后消去相应项,就可以很方便地得到化简后的函数式了。利用卡诺图对逻辑函数进行化简的方法称为卡诺图化简法或图形化简法。

卡诺图化简法中,合并最小项的规则是:两个相邻方格的最小项合并可以消去那个不同的因子,其他相同因子保留。4个相邻方格的最小项(要求成矩形相邻)合并可以消去那两个不同的因子,其他相同因子保留。8个相邻方格的最小项合并可以消去那3个不同的因子,其他相同因子保留。一般地,2n个排成矩形相邻方格的最小项合并可以消去n个变化的因子,而保留其余不变的因子。

卡诺图化简法的一般步骤如下:(1)画出逻辑函数的卡诺图。(2)按照合并最小项规则,将能合并的最小项圈起来。(3)没有相邻项的单独圈。(4)每个圈作为一个乘积项,将各圈表示的乘积项加起来即为化简后的与或表达式。

卡诺图化简法中,合并最小项(画最小项圈)时需要注意以下几点:(1)能够合并的最小项数必须是2的整数次幂,即2n。(2)合并的最小项所在方格必须是相邻的,并排成矩形。(3)合并相邻项的圈尽可能的大。(4)每个圈中至少有一个最小项是没有被其他圈圈过的。(5)用尽可能少的圈,不遗漏地圈完所有逻辑函数所包含的最小项。

下面通过几个例子具体说明如何通过卡诺图化简法来化简逻辑函数。【例1.12】 用卡诺图化简法将逻辑函数Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,6,7,14)化简为最简与或式。

解:(1)画出逻辑函数的卡诺图,如图1.16所示。图1.16 例1.12的卡诺图(2)按照合并最小项规则画圈合并。(3)化简后的表达式为:Y=ABC+ABC+BCD

说明:由上例可以看出,卡诺图中每一个圈对应化简后的表达式中的一个乘积项,化简中最小项可以重复使用。【例1.13】 用卡诺图化简法将逻辑函数Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,4,5,6,7,13,14,15)化简为最简与或式。

解:(1)画出逻辑函数的卡诺图,如图1.17所示。图1.17 例1.13的卡诺图(2)按照合并最小项规则画圈合并。(3)化简后的表达式为:Y=AC+BC+BD。【例1.14】 用卡诺图化简法将逻辑函数Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,6,7,14)化简为最简与或式。

解:(1)画出逻辑函数的卡诺图,如图1.18所示。图1.18 例1.14的卡诺图(2)按照合并最小项规则,画圈合并最小项。(3)化简后的表达式为:Y=ACD+ABC+ABC+ACD。

说明:尽管图1.18中虚线部分是一个大的圈,但由于包含在其中的所有方格都已经被其他圈所包含了,因此,该圈是不必要的。【例1.15】 用卡诺图化简法将逻辑函数Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,8,9,10,11)化简为最简与或式。

解:(1)画出逻辑函数的卡诺图,如图1.19所示。图1.19 例1.15的卡诺图(2)按照合并最小项规则画圈合并。(3)化简后的表达式为:Y=B。

说明:卡诺图上下对应位置的方格也是逻辑相邻的。【例1.16】 用卡诺图化简法将逻辑函数Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,8,10)化简为最简与或式。

解:画出逻辑函数的卡诺图,如图1.20所示。图1.20 例1.16的卡诺图

化简后的表达式为:Y=BD。

说明:卡诺图上下对角和左右对角位置的方格也是逻辑相邻的。

6.具有无关项的逻辑函数及其化简

数字电子技术中的逻辑问题分完全描述与非完全描述两种。在非完全描述逻辑函数中,逻辑函数的输出只和一部分最小项有关,而和其余最小项无关,这部分无关的最小项写与不写对逻辑函数没有影响。这些与逻辑函数输出无关的最小项称之为逻辑无关项或无关项。

无关项可分为任意项和约束项,任意项指该项的取值对电路的输出(即对电路的功能)没有影响;约束项是指由于变量之间的约束关系,使有些变量的取值不可能出现,即它所对应的最小项恒为0。

因为约束项(无关项)的取值对逻辑函数没有影响,即取0和取1对于逻辑电路的效果是一样的,所以在卡诺图中约束项(无关项)所对应的方格内填0或填1均可,一般地,填入“×”表示无关项。

约束项也可以用最小项的编号代替最小项,相应的约束项用对应编号表示,格式如下:

∑d(n1,n2,…,nm)=0,其中n1,n2,nm为最小项的编号,为自然数。

化简具有约束项的逻辑函数时,可以根据化简需要,合理地确定约束项的取值,从而得到更加简化的逻辑表达式。也就是说,为了使化简时的矩形圈尽可能的大,可以让其中的在圈内的约束项取值为1,而那些圈外的则取值为0,从而不增加多余项。【例1.17】 用卡诺图化简法将带有无关项的逻辑函数化简为最简与或式。

Y=∑m(1,3,5,7,11)+∑d(9,10,13,14,15)

解:画出逻辑函数的卡诺图,如图1.21所示,其中无关项用“×”表示。按照合并最小项规则,将最小项画圈合并。图1.21 例1.17卡诺图

化简后的表达式为:Y=D。

说明:为了化简需要,在卡诺图中m9、m13、m15 3个方格内的无关的最小项取值为1,而将m10、m14两个方格内无关的最小项取值为0,这样得到的化简后的表达式最简单。1.7 课堂实验——入室盗窃警报装置1.7.1 实验目的(1)掌握基本逻辑门电路的逻辑功能。(2)掌握基本逻辑门电路的测试方法。(3)学会逻辑门电路的简单运用,用或门实现一个简单的入室盗窃警报电路。(4)学会用Multisim软件进行数字电路的仿真实验。1.7.2 实验设备

装有Multisim软件的计算机。1.7.3 实验原理图1.22 入室盗窃警报装置的简化图

一个简单的入室盗窃警报装置的简化图如图1.22所示。这个装置可以用于一间具有两扇窗户和一扇门的房间。传感器是磁性开关,它被打开时会产生一个高电平输出,关闭时会产生一个低电平输出。只要窗户和门是安全的,开关就是关闭的,并且或门的3个输入都是低电平。当一个窗户或者门被打开时,在或门的输入就会产生一个高电平,这样或门的输出就是高电平,警报电路就会被激活,发出入侵警报。1.7.4 计算机仿真实验内容

1.与非门74LS00的逻辑功能测试(1)设置仿真环境。

单击“仿真(S)”菜单中的“混合模式仿真设置(M)”,如图1.23所示。图1.23 “仿真(S)”菜单

在打开的对话框中选中“使用真实管脚模型(仿真准确率更高-要求电源和数字地)(R)”,然后单击“确认”按钮,如图1.24所示。图1.24 “混合模式仿真设置”

设置完成后,电路引脚悬空就为高电平,与真实芯片情况相同。(2)打开Multisim软件,创建逻辑功能仿真电路。

在元器件库中选择“TTL”组,在列表中选择“74S”系列,在元器件列表中选中“74S04D”,如图1.25所示。单击“确认”按钮,确认取出74S04D非门。注意:在Multisim中芯片的引脚命名和原理部分或与其他书籍有所不同,但只要是引脚号相同,就表示同一个引脚。图1.25 元器件的选取(3)其他元器件可参照以下说明取用。

·S1单刀开关:Basic组—>SWITCH系列—>SPDT元器件

·阈值电压:Sourses组—>PROBE系列—>PROBE_DIG_BLUE元器件

·地GND:Sourses组—>POWER系列-Sourses—>GROUND元器件(4)搭建如图1.26所示的电路。图1.26 入室盗窃警报仿真电路

用开关S1、S2、S3分别代表两扇窗户和一扇门,每次开关S1、S2、S3分别闭合一次,等价于在或非门输入端拉低电平一次,非门的输出指示灯X1点亮,表示输出高电平1,这时激活警报电路,发出

试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]

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