作者：（英）迈克·戈德史密斯（Mike Goldsmith）
出版社：人民邮电出版社
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奇妙数学史：从代数到微积分试读：
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代数学与微积分在数学里人气寥寥，这么说是毫不夸张的。我们中好多人在最初翻阅数学教科书时，都对着整行整行的文字和符号目瞪口呆。所惊之处，乃是学生问得最多的两个问题。谁是代数学的“始作俑者”呀？就是他，花拉子密，在公元830年首先使用了这个词。我们恨他、怨他，但是也应当敬他、谢他。继续阅读便知分晓。1. 这都是什么意思？
代数学与微积分都曲高和寡，乏人问津，至少它们的核心是如此。用数字做算术耳熟能详，用图表做几何一目了然，但代数学与微积分跟这些不同，它们大量使用字母和符号的组合，在我们的日常生活中可不多见。2. 这都是要干嘛？《成为微积分百万富翁》或者《驾驭代数探索太阳系》，有这样耸人听闻的标题的读物在书架上少之又少。我们即使通读代数学与微积分书上的内容，也不一定能搞懂其用途。本书每章的标题也不像小说的那么引人入胜。积分呀，逆命题呀，因式分解呀，还有微分方程呀，它们可不是让我们迫不及待想读下去的那种妙词儿吧。回答
本书就是要完完整整地回答以上两个问题，但是现在我们先回答一部分。
在某种意义上，代数学是一种语言，但是跟我们日常所用的文字语言不同。代数学已经经历了几个世纪的演进，只为这个目的：解释，分析，从包括工程、物理和经济在内的生活的方方面面解决疑难问题。当然，我们也可以用文字语言来讨论这些问题，但是用数学语言更精准。代数学的语言比文字语言更确切，微积分的语言亦然。代数学与微积分使我们了解自然变化。
我们可能要回答这样的问题：“我想去1千米以外的新游泳池游泳，但是得在2小时之内回来。那还值得一去吗？”使用代数学的方法，我们可以得到下面这个方程。t+t+t+t+t=2小时去程更衣游泳擦干并更衣返程
面对疑难的方程，我们首先要做的就是化简。假设路上往返花费的时间一样（t=t），要是抓紧点儿，游泳前后更衣的时间也一去程返程样（t=t），我们就可以将之简化为更衣擦干并更衣2t+2t+t=2小时路上更衣游泳
首先考虑t。如果人每小时走3千米，游泳池在1千米以外，那路上么我们就可以解出t是多少。怎么解？这个嘛，走得越远，时间越路上长啊。我们可以用代数学的形式将它写成路上时间∝距离，也就是说“路上时间与距离成正比”。简而言之，我们可以将上面的问题简化为t∝d。但是，我们要考虑的当然不只是距离，还有速度。走得越快，花费的时间越短。这个写作t∝1/v，也就是说“路上时间与速度成反比”。高等数学创建虚部来解释当前的时空。
想想为什么这里写成分数。考虑下面这串分数：1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，它们从左到右越来越小，因为分数线下面的分母越来越大。也就是说，分数的大小跟分数线下的分母成反比。代数学和其他所有的数学分支都来源于追寻日常生活中问题的答案。
因此，我们有：t∝d和t∝1/v。
因为路上时间仅与这两者有关，所以我们可以将之合并到一个公式里
t=d/v
已知d=1千米，v=3千米/小时，可以将之代入公式里。这里的d和v称为变量，它们可以用数值代入，具体的数值随问题而异。计算可得，t=1/3小时。如果更衣的时间是一刻钟，那么t=1/4小时。路上更衣
我们把这些值代入方程2t+2t+t=2小时中，即得2/3小时路上更衣游泳+2/4小时+t游泳=2小时。
1小时的2/3是40分钟，1小时的2/4就是1/2小时，也就是30分钟。既然前面的单位都是分钟，我们把2小时也换算成分钟，就得到40分钟+30分钟+t=120分钟，也就是70分钟+t=120分钟。显而游泳游泳易见，t是50分钟，这是两边都减去70分钟得来的：70分钟-70分游泳钟+t=120分钟-70分钟。游泳
因此，t=50分钟。游泳
这就是代数学，解决形形色色问题的神兵利器。日常题目类似上文，更有大矣哉的问题，比如在星星等大质量的物体附近时间会变慢多少。使用代数学和微积分可以研究遥远的彗星的运行轨迹。
t就是在物体附近测量到的时间，t就是在远处测量到的时间，G0f是一个常数（常数就是在计算中保持不变的数），M是物体的质量，r是测量t时到物体的距离，c是光速。0微积分又是怎么回事？
微积分是科学家、工程师和经济学家把握世界的关键之道。
在上文的例子中，我们得出了在给定速度下到达某处所花费的时间。速度是位移的变化率。变化乃是自然的内涵。经济、星辰、交通、人口……皆随时间变化，我们需要合适的数学工具来把握它们，这个工具就是微积分。艾萨克·牛顿是微积分的发明者之一，发明它是为了将之当作一种工具，精确地计算行星和彗星的位移、速度以及重力影响下的运行轨迹。
然而，代数学和微积分并非实战的真刀真枪。我们的宇宙与数学以同样的规律运转，冥冥之中无人知晓。数学家定义了许多概念，竟与现实恰巧相合（比如虚数，参见此处）。所以说，数学确确实实是我们参透宇宙奥妙的关键。埃米·诺特的明信片上的数学内容展示时空的联结。
代数学的黎明
代数学兴起于约4000年前的古巴比伦（位于现今的伊拉克境内）。因为古巴比伦人喜好书记，也因为他们用由砖石陶土做成的碑匾立柱来记录而流传下来，我们才得知这一切。古巴比伦以空中花园闻名，如今已经尘归尘土归土。它的数学反而绵延更久。
古巴比伦文字是用一种形状特殊的尖笔刻在润湿的陶土上，然后印出的楔形图案。他们使用的这套书写系统如今被称为楔形文字，在多种文明中传承了千余年。古巴比伦人对文字很上心，现存有超过50万块的陶土碑匾。到了1860年，人们已经知道许多陶土碑匾上包含数字符号，但是仍未对之产生关注。追溯过往
我们对古巴比伦数学家并不了解，但是有一个人的大名与楔形文字紧密相连，他就是奥地利数学家奥托·诺伊格鲍尔。正是此人解读了陶土上的算式，整合了古巴比伦代数，并在20世纪30年代和40年代以出版图书的方式告诉了人们他的发现。诺伊格鲍尔在德国生活，他的工作备受尊崇，是1933年哥廷根数学研究所最杰出的成果。然而，当他被要求宣誓效忠由纳粹党控制的政府之日，就立刻离职去国，先到丹麦，后到美国，去研究古巴比伦代数。古巴比伦数字我们使用的是10进制系统，也就是说一个四位数比如2074表示2个千（没有百位数）、7个十和4个一。用10进制计数，我们只要用10个不同的字符（包括0）就可以了：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。数完了这些，我们在数的左边加个1，再数10个数：10，11，12，…，19。数完了这些，我们增大左边的1，再数10个数：20，21，…我们推测10进制的由来是我们有10根手指，如果我们用它们来计数，超过10的时候就得用点别的什么东西。但是，古巴比伦人可没有局限于10。他们使用60进制，不过他们的数字进制系统里没有0。他们的数字进制系统是这样子的。因为我们的数字进制系统与古巴比伦数字进制系统的渊源，如今，我们仍把1小时分成60分钟，1分钟分成60秒。古老的代数学
诺伊格鲍尔挖掘出的代数在某些方面还是相当先进的。古巴比伦数学家对勾股定理（参见此处）已经熟稔，还会解二次方程（参见此处方框），尽管他们并没有任何形式的数学符号，甚至连等号都没有。他们的计算都是用文字和数字写出的，有点像密码。我们现在要想解出数学问题，可以将公式里的字母替换成适当的数，然后用计算器进行各种计算。在古巴比伦可完全不是这样。你可没有笔记簿，只有一摞刻着全套数学符号的石板。你得在上面找类似这个问题场景的题目，然后用自己的数按步骤进行替换。你可以自己做一些简单计算，但是像求平方和开平方这样的问题还得查这套板子。你还得搞一套乘法表。跟现在的小学生不同，他们的乘法表不用背诵啦：古巴比伦人用的可是60进制的数字系统哦，他们的乘法表有59行和59列哦！15世纪的一本书上所绘的《圣经》中的巴别塔。这一类书阐述了如何计算基督教节庆的日期——使用古巴比伦代数。这块古巴比伦楔形文字石板包含二次方程的247个问题。古巴比伦学生一定视力极佳。原理解二次方程2第一步：把方程化为标准形式，也就是ax+bx+c=0的形式。2所以，形如x+2x=4+2x的方程要进行改写。2x+2x=4+2x2两边同时减去2x，得x=4。2两边同时减去4，得x-4=0。第二步：因式分解。(x+2)(x-2)=0第三步：选择x的取值，使得第一个括号里得零。(-2+2)(-2-2)=0也就是(0)(-4)=0，即x=-2是方程的一个解。第四步：选择x的取值，使得第二个括号里得零。(2+2)(2-2)=0也就是(4)(0)=0，即x=2是方程的另一个解。第五步：如果二次方程难于因式分解，那么可以使用二次求根公式。2求解7x+3x-11=0，得即也就是x≈-1.486或者x≈1.057。唯一解
古巴比伦数学有个古怪之处，模板只给出了答案，没指出从哪儿入手解读。所以，学生都得掌握如何针对手头的问题选择合适的案例。因为古巴比伦人没有负数的概念，所以他们假定本来有多个解的二次方程只有唯一解。用古巴比伦的方式解题一个典型的古巴比伦问题是这样的：“矩形的长比宽多10，面积是600，那么长和宽各是多少？”（古巴比伦人本来用的是60进制，这里已经改写成10进制了。）现在，我们这样列式子。然后进行求解。改写（1）式x=10+y代入（2）式（10+y）y=600展开210y+y=600化成二次方程的标准形式2y+10y-600=0用标准二次求根公式（参见此处），代入a=1，b=10，c=-600可得也就是y=–30，x=–20或y=20，x=30然而，古巴比伦人是套用他们的案例模板来解决的。他们是这样做的。长和宽的差距是多少？（10）折半（5）平方（25）（古巴比伦学生利用平方根表查找）加上面积（625）开方（25）（译者注：矩形边长取正值）这个平方根加上长宽差值的一半就是长（30），减去长宽差值的一半就是宽（20）。古巴比伦的建筑和工程根源于先进的数学知识，因此才有了坚固而宏伟的建筑。吉萨金字塔展现出了古埃及人对数学的把握。成功之谜
在古巴比伦之前的数千年里，有许多先进文明可圈可点，然而就我们所知，无人可望古巴比伦之项背。古巴比伦数学的一个便利之处在于，他们使用自己发明的进位制数字系统，这就胜过了早期（和若干晚期）文明。进位制就是指符号根据它的位置可以取不同的值。我们现在使用的数字系统也是进位制的。246，426和642这几个数的含义完全不同，尽管它们用的数码是一样的。我们之所以可以“解码”，是因为我们知道每个数位的含义：首位是“百”，次位是“十”，末位是“一”。这样下来，阅读和计算数字都很便捷。古巴比伦数学家怎样计算数字已不可考。就我们所知，他们是没有含变量的通解这一概念的。所以对他们而言，方框里的（1）式和（2）式没有意义。222所以，虽然说他们熟悉勾股数（又叫毕氏三元数，即满足a+b=c的整数组，比如3，4，5和5，12，13），在他们的“文档”里也包含了这样的一些例子，但距离人们能用一个简洁的公式表达这个思想，还有几个世纪之遥啊。毕达哥拉斯以他的著名公式整合了3，4，5（参见此处）。参见：► 代数学东渐
证明
定理就是数学中的法则。定理涉及甚广，简单的如勾股定理，复杂的则过于深奥。圆的分割似有规律可循，但是在数学上还是要给出一个证明。
数学家要使用定理，须先证明。证明有5种方式，下文再叙。古巴比伦数学家时时刻刻都在应用各种法则，这毫无疑问，但他们对用定理的方式指出或是证明这些法则的思想还相当陌生。如果你问一个古巴比伦数学家怎么知道自己的计算方法是对的，他的回答大概是“就是这样啊”或者“以前也是这么着啊”。这跟我们学语言的方法差不多嘛。我们找到方法，然后就固定这么做了。当我们再看见一个新词时就可以直接读出来，不用额外学按什么语法去读。比方说生造一个词“zam”，其读音的元音部分很大可能跟“ham”相同；如果在a的后面再加上一个“e”，其读音的元音部分就可能跟“claim”相同（译者注：比拟汉字的情况，如果一个人不认识“免”这个字，很大可能就认为它跟“冕”同音；免再加上一个点变成“兔”，就可能认为它跟“菟”同音）。语言音韵，各有其法，不言自明。但是，当我们想要学习一门新的语言时，就得学习语法了。数学法则
在数学里，法则是至关重要的，模棱两可绝对不行。比方说，上图中的4个圆，每个点都与其他点有线段相连。这些线段把圆形区域划分成了若干块：
2个点：2块
3个点：4块
4个点：8块
5个点：16块
规律呼之欲出嘛。每增加一个点，区域的块数就翻倍。我们甚至可以总结成公式：点数-1
区域块数=2
我们验证一下这个式子：那6个点的圆包含多少块区域呢？上式告诉我们是32块，然而答案其实是31块——请看上图。这就告诉我们，一个定理看似正确还不够，必须要去证明。暗夜初星
史册所载的第一位数学家是泰勒斯，据我们所知，他是证明定理的第一人（也证明了以他的名字命名的定理，参见下面方框）。泰勒斯是古希腊人，生于米利都（今土耳其境内）。跟许多古希腊人一样，关于他的故事林林总总，形形色色，真真假假。传说中，夜里他专注于仰观星象，失足落井。又说他天赋异禀，能预知天气。当他预知橄榄会丰收时，就趁低价购入橄榄压榨机，然后高价脱手——那时候丰收如期而至，橄榄压榨机已经供不应求啦。据说，他这么做就是为了回应那些漫言科学无用的人。泰勒斯，科学家、数学家和哲学家，生活在米利都（位于今土耳其境内），约2600年前。
还有故事说他既是工程师又是商人，他成功地预测了日食，这些传说更为可靠。如今，许许多多专业的数学家，还有物理学家、经济学家和工程师，年年月月深研定理，证真或证伪。证明方式
数学里有5种证明方式，几乎每个数学定理都能用其中的一种或多种来证明。在古代，压榨橄榄以得到珍贵的橄榄油是一个辛苦活，但泰勒斯从中发现了生财之道。原理证明泰勒斯定理以泰勒斯的名字命名的定理是这么说的：如果在圆里面画一个内接三角形，其中一条边是圆的直径，那么该边的对角必是直角。泰勒斯的证明基于两个事实。1. 三角形的内角和等于180度。2. 等腰三角形的两个底角相等。这个定理的证明过程是把三角形ABC画在圆里，从圆心O到直径的对角B画一条线，把三角形一分为二为两个等腰三角形。因为三角形AOB是等腰三角形，所以两个底角是相等的，并标记为α（读作阿尔法，希腊字母）；另一个等腰三角形BOC的两个底角也相等，标记为β（读作贝塔，亦为希腊字母）。这里代数就登场啦。我们知道，三角形ABC的内角和为180度，从下图中可以看出α+(α+β)+β=180度所以2α+2β=180度亦即2(α+β)=180度两边同时除以2，给出证明(α+β)=90度1. 直接证明
这种证明方式最常用。它分成几个步骤。要证明“A能推出B”，你可以这么做。“已知A能推出C。”“又已知C能推出B。”“因此A能推出B。”
举个例子。2
定理：如果n是偶数，那么n也是偶数。
证明：偶数的定义是能够被2整除的整数。所以说10是偶数，因为它除以2得整数5。5这样的奇数除以2是小数（5/2=2.5），它再乘以2还是整数。
从定义来看，任何偶数都可以写成2w，其中w是一个整数。
定理说n是偶数，所以
n=2w
两边同时平方，得到222
n=(2w)=4w
可以写成222
n=4w=2×2w（我们马上会看到这步很有用。）2
现在，我们把2w定义成新的形式2
m=2w
故而我们说222
n=4w=2×2w=2m
现在我们回顾定义，知道2m一定是个偶数，因为它除以2得到m，2是一个整数。最后我们说n一定也是偶数，因为它等于2m，而我们刚刚证明了2m就是偶数。如何使双格多米诺骨牌加起来总是偶数，即使它本身是奇数？2. 归纳证明
有关数列的定理的证明经常要用到归纳法。它的思想是：如果你能证明某个结论对其中某个选定的数成立，又对选定的数的后面一个数也成立，那么就说这个结论对数列中的所有数都成立。
比方说，要证明
1+2+3+…+n=n(n+1)/2
那么，为了证明这个等式对无论n是多少都成立，首先我们要证明它对某个选定的n成立。
我们选取n=2，代入等式得
1+2=2(2+1)/2
即
3=6/2
所以当n=2时，这个等式是成立的。易证，对后一个数3等式也成立。但是，我们想要证明的是无论n是什么数，该等式都成立，且对它的后一个数也成立。也就是说，我们必须证明它对任意正整数k成立，且对后一个数(k+1)也成立。昨天太阳升起了，今天太阳也升起了，明天就还会升起。这就是归纳法。但是，这幅图画中发生日食啦。公元前585年，泰勒斯第一次预言了日食。
我们已经阐明了
1+2+…+k=k(k+1)/2
起码对一个k值（就是2）成立。现在，我们把上式两边都加上(k+1)，得
1+2+…+k+k+1=k(k+1)/2+k+1
然后，重新对等式进行整理。首先，我们加个括号，括号里面的每一项都乘上2，整体再除以2
1+2+…+k+k+1=[k(k+1)+2k+2]/22
1+2+…+k+k+1=(k+k+2k+2)/22
1+2+…+k+k+1=(k+3k+2)/2
1+2+…+k+k+1=(k+1)(k+2)/2
也就是说，原式
1+2+3+…+n=n(n+1)/2
对k和k+1都成立。
因为k可以是任何正整数，也就是说我们的式子对所有正整数都成立，这正是我们要证明的。
请注意，证明也依赖于其他涉及的数学知识的正确性。比如，在2上述证明中把k(k+1)化为k+k就要求我们知道带括号的乘法的展开原2理，还得知道k乘以k得k。克里斯托弗·哥伦布航海去印度，他就觉得所到之处就是印度了。“瞧，是印度哟！无须证明！”
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]