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作者:蒋诗泉 叶飞 钟志水

出版社:人民邮电出版社有限公司

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线性代数及应用

线性代数及应用试读:

前言

线性代数是高等院校经管类、理工类等专业的重要基础课之一,它是后续课程和现代科学技术的重要基础,在自然科学、经济管理、工程科技领域有着广泛的应用.这门课程对培养学生创新思维和应用意识有着重要的作用.编者在多年的线性代数教学和大学生数学建模竞赛辅导的基础上编写了本书,旨在为广大读者提供系统的线性代数知识及丰富的应用案例,真正体现线性代数的应用价值.本书主要内容如下.第一章为行列式.本章介绍了n阶行列式的定义、行列式的基本性质、行列式的常用计算方法和克莱姆法则等内容,并给出了行列式的应用案例.第二章为矩阵.本章首先通过实例介绍了矩阵的背景,给出矩阵的概念,再介绍矩阵的运算及运算的性质、分块矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换和初等矩阵、矩阵的秩,最后给出矩阵在编制运输计划表和网络图中实际应用的案例.第三章为线性方程组.本章基于向量组相关理论,讨论一般线性方程组的解法、线性方程组解的存在性及线性方程组解的结构等内容,并给出线性方程组在任务分派和经济系统平衡中应用的案例.第四章为相似矩阵与二次型.本章首先介绍向量的内积、向量组正交化方法、正交矩阵、方阵的特征值与特征向量、相似矩阵、矩阵的对角化条件及实对称矩阵的对角化,然后介绍二次型化为标准形、正定二次型等问题,最后给出相似矩阵与二次型在约束最优化等实际问题中应用的案例.第五章为线性空间与线性变换.本章首先给出一般线性空间的概念与性质,然后给出基变换与坐标变换概念并介绍线性空间上的一种重要的对应关系———线性变换和线性变换的矩阵表示,最后给出线性空间与线性变换在密码学和平面图形变换等实际问题中应用的案例.第六章为MATLAB在线性代数中的应用.本章首先对MATLAB进行简单介绍,然后重点介绍MATLAB的矩阵运算和矩阵函数,最后通过食品配方、交通流量、成本核算等实例介绍MATLAB在线性代数中的应用.本书具有以下主要特色.第一,突出数学概念背景和实际应用.对于每个概念尽量通过实例引入,使读者了解知识的脉络.每一章专门增加一节应用实例,注重培养学生的数学应用意识,将数学建模的思想完全融入课程,并配有大量应用性习题.第二,系统化的学习结构体系.本书在每一章都给出该章的主要内容,在每一节都配有“课前导读”和“学习要求”,使学生快速了解该节的主要内容及该节的学习重点.在每章后面都有该章知识点网络图、该章题型总结与分析、总习题(A)、总习题(B),这些内容设置可帮助学生快速掌握该章的逻辑结构、重点内容、主要方法等.第三,配有丰富的、多样化的例题和习题.习题严格按照知识点的难易程度进行梯度安排,既有基础知识,也有提高知识.每章的总习题部分专门设置为A组和B组两类.A组强调基础,B组强调提高,且很多习题都选自考研真题.第四,MATLAB应用于线性代数课程中.为了帮助读者更好地了解书中的重要概念、定理、方法及其应用.本书专门设计了MATLAB在线性代数中的应用.通过介绍MATLAB科学计算,使学生真正感受到数学的应用价值,知道如何应用数学并将数学与计算机进行无缝对接.本书由蒋诗泉、叶飞、钟志水担任主编,谢国根、张齐、丁学平、黄新旭担任副主编.各章编写分工:第一章由叶飞编写,第二章由丁学平编写,第三章由谢国根编写,第四章由张齐编写,第五章由蒋诗泉编写,第六章由钟志水编写.黄新旭对部分习题进行了校对.全书由蒋诗泉统稿.本书在编写过程中得到了铜陵学院教务处、数学与计算机学院的各位领导和老师的大力支持,在此表示由衷的感谢!本书编写过程中参考的相关书籍均列于参考文献中,在此也向有关作者表示真诚的感谢!编 者2019年5月第一章 行列式

行列式是数学家莱布尼茨提出的,它源于线性方程组的求解,起初只是作为线性方程组解的一种速记符号.在很长一段时间内,行列式只是作为解线性方程组的一种工具被使用,后来,行列式才单独形成一门理论并得到进一步研究.在对行列式的研究中,数学家麦克劳林、克莱姆、范德蒙、拉普拉斯、柯西和雅克比等都做出了杰出的贡献,持续推动了行列式理论的发展.其中,雅克比的著名论文《论行列式的形成和性质》总结了行列式的发展.标志着行列式系统理论的建立.就线性代数而言,行列式既是线性代数中最基本的内容之一,也是我们用来分析和解决线性代数中其他问题的工具.本章主要介绍了n阶行列式的定义、行列式的基本性质、行列式的常用计算方法和克莱姆法则等内容.第一节 行列式概念的引进【课前导读】

在求解二元或三元一次线性方程组时,通过高斯消元法,不难发现方程组的解可以用方程组的系数和常数项来表示,但想强行记住这些表达式是很不容易的,特别是对于三元一次线性方程组.为此,行列式作为一种速记符号被引入.通过行列式符号,可使方程组解的表达式更加简洁和规整,更便于使用.【学习要求】

1.了解二元和三元线性方程组的解与方程组系数和常数项之间的关系.

2.理解二阶和三阶行列式的概念和它们所表示的代数和.

3.掌握二阶和三阶行列式的对角线规则,并能使用对角线规则来计算二阶和三阶行列式.一、二阶行列式

设有二元一次线性方程组

当时,由高斯消元法可得线性方程组(1-1)的唯一解

可以看出,线性方程组的解(1-2)由线性方程组的系数和常数项构成.若想强行记住这些表达式,是不容易的.为了便于记忆,人们引进符号

来表示代数式,并称这个符号为二阶行列式.通常,二阶行列式的计算可用图1-1表示.图1-1 二阶行列式对角线规则

基于上述二阶行列式的概念,代数式和可分别记为

因此,当行列式

时,线性方程组(1-1)的解可表示为

其中,D由方程组的系数构成,称之为系数行列式.将D的第一列换成方程组的常数项可得,将D的第二列换成方程组的常数项可得.显然,式(1-3)比式(1-2)更便于记忆和使用.

例1 解二元一次线性方程组

解 根据给定的线性方程组,可知

因为系数行列式D≠0,所以方程组存在唯一解二、三阶行列式

设有三元一次线性方程组

当时,由高斯消元法可得线性方程组(1-4)的唯一解

可以看出,线性方程组的解(1-5)也由线性方程组的系数和常数项构成.相对于二元一次线性方程组,若想记住这些表达式,更不容易.同样地,为了便于记忆和使用,人们引进了符号

来表示代数式

并称这个符号为三阶行列式.通常,三阶行列式的计算可用图1-2所示的对角线规则(也称为沙流氏规则)来记忆.图1-2 三阶行列式对角线规则

基于上述三阶行列式的概念,代数式

可分别记为

其中,D由方程组的系数构成,称之为系数行列式.将D的第一列换成方程组的常数项可得,将D的第二列换成方程组的常数项可得,将D的第三列换成方程组的常数项可得.

因此,当行列式

时,线性方程组(1-4)的解可表示为

例2 用对角线规则计算行列式

解 D=1×1×2+2×0×2+1×3×3-1×1×2-2×3×2-1×0×3=-3.

例3 解三元一次线性方程组

试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]

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