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作者:斯科特·佩奇(Scott Page)

出版社:浙江人民出版社

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模型思维

模型思维试读:

版权信息本书纸版由浙江人民出版社于2019年12月出版作者授权湛庐文化(Cheers Publishing)作中国大陆(地区)电子版发行(限简体中文)版权所有·侵权必究书名:模型思维著者:斯科特·佩奇电子书定价:134.99元THE MODEL THINKER:What You Need to Know to Make Data Workfor You By Scott E. Page.Copyright © 2018 by Scott E. Page. All rights reserved广受欢迎的“模型思维课”主讲人密歇根大学复杂性研究中心“掌门人”圣塔菲研究所外聘研究员研究复杂性与多样性的专家

斯科特·佩奇于1985年获得密歇根大学安阿伯分校数学学士学位,1988年获得威斯康星大学麦迪逊分校数学硕士学位,1990年获得西北大学凯洛格商学院管理经济学硕士学位,1993年获得西北大学凯洛格商学院管理经济学和决策科学博士学位。

佩奇以对社会科学的多样性和复杂性的研究和建模而闻名。具体研究方向包括路径依赖、文化、集体智慧、适应和社会生活的计算模型。研究领域涉及多个学科,包括经济学、政治学、计算机科学、管理学、物理学、公共卫生、地理学、城市规划、工程学和历史学。

他曾多次在高中、大学、公司、非营利组织以及政府演讲,介绍他关于多样性和复杂性的研究。也曾经为国际货币基金组织、美国教育部、福特汽车公司、奔驰汽车公司等提供咨询。

佩奇获得了多项奖金,包括2002年的IGERT奖和2001—2006年的生物复杂性项目SLUCE奖,以及2013年的古根海姆奖(Guggenheim Fellowship)。他还曾多次获得加州理工学院、西北大学和密歇根大学颁发的杰出教学奖,这些大学对他多年来在复杂性和多样性方面的教学成果给予了高度认可。佩奇于2011年当选美国艺术与科学学院院士。广受欢迎的“模型思维课”主讲人

密歇根大学前校长玛丽·苏·科尔曼(Mary Sue Coleman)说:“我们的教师渴望与全世界分享他们的知识,我们的学生对于可以体验全新的教学方式也同样激动。”斯科特·佩奇对此也积极响应,他在Coursera平台上线了“模型思维课”,该课程包括一百多个视频和阅读资料。自课程上线以来,有超过5万名学生注册该课程,超过120万人次观看了课程视频,受到了来自世界各地学生的好评。

佩奇教授鼓励对课程好奇的人们注册学习,并亲身参与其中。他说:“这是一个很好的机会,让我们的校友和想要就读密歇根大学的学生们体验一下什么是密歇根大学的教育方式。”

在这门课程里,佩奇讲授了理解和应用模型如何帮助人们做出更好的决策。有证据表明,具备模型思维的人要比没有这种思维的人更优秀,而且能够运用多种模型思考并解决问题的人要比只运用一种模型思考的人更优秀。

佩奇在课程里还着重介绍了几种模型,展示出多样性对创新的重要性。并具体讲解了拥有多样性视角、启发式的群体是怎么比个人表现更好的。

佩奇的课程引用大量的例子,内容生动有趣。他曾在模型思维课程里讲过一个观点:在离散状态马尔科夫(数学模型)过程中,如果把人生看成努力和不努力两个状态,只要状态转移矩阵确定了,长期来看,在每个状态下所停留的时间比例也就都确定了。如果人生的动力源泉是固定的,努力的百分比就是固定的,那么短期内努力或者不努力并不会有什么影响。也就是说,问题的根本不在于你的状态,而在于源动力!所以,在瓶颈期遇到困难实在不想努力的话,多去找一找自己的源动力,想想当初为什么出发。密歇根大学复杂性研究中心“掌门人”圣塔菲研究所外聘研究员

斯科特·佩奇于2002—2009年担任密歇根大学复杂性研究中心副主任,于2010—2015年担任主任。复杂性研究中心成立于1999年,其创始成员是一个现已成为传奇的研究小组——巴赫小组(BACH Group)。巴赫小组始于20世纪80年代,成员包括来自不同学科的研究人员,他们都对各种复杂的适应性系统感兴趣。

巴赫小组最初的成员包括美国数学家亚瑟·伯克斯(Arthur Burks)、遗传算法之父约翰·霍兰德(John Holland)等人。美国进化生物学家威廉·汉密尔顿(William Hamilton)、认知科学家侯世达、认知科学家梅勒妮·米歇尔(Melanie Mitchell)也是巴赫小组的成员。现在,巴赫小组由政治学家罗伯特·阿克塞尔罗德(Bob Axelrod)、物理学家马克·纽曼(Mark Newman)、数学家和公共政策学家卡尔·西蒙(Carl Simon)和斯科特·佩奇等人组成。其中,马克·纽曼、卡尔·西蒙也是复杂性研究中心的成员。

佩奇于1999年被圣塔菲研究所聘为研究员,开始了在圣塔菲研究所十几年的研究生涯,主要研究方向依然是复杂性和多样性。献给迈克尔·科恩不应否认,任何理论的终极目标都是尽可能让不可简化的基

本元素变得更加简单且更少,但也不能放弃对任何一个单一经验

数据的充分阐释。阿尔伯特·爱因斯坦扫码下载“湛庐阅读”APP,搜索“模型思维”,获取更多精彩内容。序言 这本书是怎样写成的对我来说,成功意味着我在这个世界上的有效性:我能够把

我的思想和价值观带给这个世界,我能够以积极的方式改变它。汤亭亭

这本书源于我与美国复杂系统专家迈克尔·科恩(Michael Cohen)一次偶然的见面。那是在2005年,密歇根大学西厅旁边购物中心的花园。作为一名学者,迈克尔素以慷慨大方而闻名,他在这次见面时说的一番话,彻底改变了我的教学生涯。迈克尔眼中闪烁着光芒,他说:“斯科特,我曾经根据查尔斯·拉夫(Charles Lave)和詹姆斯·马奇(James March)写的一本书,开设过一门名为‘社会科学建模导论’的课程。你应该重开这门课程,它需要你。”

它需要我?我有点困惑。回到办公室后,我马上找出了那门课的课程大纲。看了之后,我发现迈克尔错了,不是这门课程需要我,而是我需要它。我一直在寻找这样一门课程:既能够向学生介绍复杂系统领域的知识,同时又不脱离他们的日常生活和未来的职业规划。通过讲授一门关于模型的课程,我可以向学生展示各种相关的工具和思想,提高他们推理、解释、设计、沟通、行动、预测和探索的能力。

开设这样一门课程的基本动机是,我们必须利用多种多样的模型去应对复杂性。学了一个学期之后,学生们在看待这个世界时,就不会拘泥于某个特定的角度,相反,他们将透过多种不同的视角去观察世界。他们将站在有许多扇窗户的房子中,拥有看向多个方向的能力。我的学生应该能够更好地应对他们所面对的复杂挑战:改善教育,减少贫困,实现可持续增长,在人工智能时代找到有意义的工作,管理好资源,设计出强大而稳健的金融、经济和政治体系。

第二年秋天,我真的重新开设了这门课程。我本来打算将这门课程命名为“32种使你变成天才的模型”,但是密歇根大学的传统不允许这个有“王婆卖瓜”之嫌的名字。于是,我沿用了迈克尔的课程名称“建模导论”。事实早已证明,查尔斯·拉夫和詹姆斯·马奇的书是非常不错的入门读物。不过,在过去的几十年中,建模技术已经取得了巨大的进步。我需要对这门课程进行更新,以便将长尾分布(long-tailed distributions)、网络模型、崎岖景观模型(rugged-landscape model)和随机游走模型(random walk model)等全都包括进来。我需要一本讨论复杂性的书。

于是,我开始了写作,但这并非易事。刚开始的两年,写作进展得非常缓慢。后来,在一个春天,我又一次遇到了迈克尔,这次是在西厅的拱门那里。我自己一直对这门课程有所疑问,尽管那时课程已经吸引20多名学生了。对于本科生来说,这些模型是否过于抽象了?我是不是应该针对不同的问题或政策领域开设不同的课程呢?面对这些问题,迈克尔笑了笑,他指出任何值得做的事情都必定会招致质疑。告别时,迈克尔再一次强调,帮助人们清晰地进行思考是非常重要且非常有价值的。他叮嘱我不要放弃。

2012年秋季学期,这门课程又发生了根本性变化。密歇根大学副教务长玛莎·波拉克(Martha Pollack)邀请我加入在线开放课程体系,开设一门在线课程,也就是现在所说的慕课(MOOC)。于是,借助于一台联网的电脑,一个29美元的摄像头和一个90美元的麦克风,“模型思维”(Model Thinking)这门在线课程正式诞生了。

在来自密歇根大学、斯坦福大学以及Coursera的无数师友的帮助下,我将上课用的讲义重新改编成了适合在线课程的形式,包括将每个主题划分为若干模块,并删除了所有受版权保护的资料。在这里,我要对这些热心人士表示感谢,尤其是汤姆·希基(Tom Hickey),他总是随叫随到,帮我解决了很多疑难问题。为了保证效果,我一遍又一遍地重新录制课程。感谢我的狗Bounder,它是我忠实的听众。“模型思维”第一次上线时就吸引了6万名学生。到现在,这门课程的注册学生人数已经接近100万了。在线课程如此受欢迎,以至于我暂时放弃了写作本书的计划。我当时认为也许没有必要写一本书。但是很快,我的电子邮件收件箱就被学生们要求得到一本可以作为在线课程补充书籍的请求塞满了。在迈克尔·科恩不幸因癌症去世后,我更加觉得自己必须尽快完成这本书,于是我重新摊开了书稿。第1稿,第2稿……第9稿……现在,你们看到的是第30稿。

写一本书需要大量的时间和开阔的空间。美国著名现代诗人华莱士·史蒂文斯(Wallace Stevens)曾经这样写道:“也许,真理取决于在湖边散步的时间。”就我自己写作这本书的经历来说,思考大大得益于数百次横穿怀南斯湖(Winans Lake)的游泳,每到夏天,我和我的家人总是在那里过周末。

在整个写作过程中,我和我生命中的挚爱珍娜·贝德纳(Jenna Bednar)、我们的儿子奥里(Orrie)和库珀(Cooper),以及我们养的3只爱犬Bounder、Oda和Hildy一起开怀大笑、享受生命、面对挑战、把握机遇。在那里,奥里订正了本书倒数第二稿中的数学错误,珍娜花了两个星期阅读了全部书稿并修正了数百个有问题的地方:字体和语法上有错误的、思路不清晰的、逻辑有缺陷的、举例混乱的……事实上,与我撰写的所有文字作品一样,对这本书的一个更加准确的描述是:斯科特·佩奇写出了第一稿,最后定稿则由珍娜·贝德纳完成。

在写作本书的过程中,我看着我的孩子们从青春期过渡到了成人阶段。我们一家人也吃掉了太多的石锅拌饭、意大利面和燕麦片巧克力饼干。我们用锯子和修枝剪,修剪了无数棵大大小小的树木,补好了篱笆上的几十个破洞;花费了很多时间和精力,试图让地下室和车库变得整齐一些,但最终却总是无功而返。我们也一年又一年地盼望湖上的冰厚到可以滑冰……

从草拟大纲到提交定稿,用了整整7年的时间,怀南斯湖冬天结冰、春天又化开,前前后后也有7次了。然而,有的冰冻期比其他冰冻期更加难挨。在写作本书的过程中,我的母亲玛丽莲·坦博·佩奇(Marilyn Tamboer Page)不幸因心脏病突发去世,当时她正在散步,那是她每天的例行事务之一。有些深洞永远无法填满,它们会提醒我们珍惜生命所提供的宝贵机会。

现在,这本书终于已经完成了。奥里已经上了大学,库珀明年也要去上大学了。如果您,我亲爱的读者,认为本书中的模型和思想是有用的、有创造性的,而且能够将它们应用于现实世界,并以积极的方式去改变世界,那么我将这些资料组织成书的努力就得到了最大的回报。如果有一天,当我在某个教授或研究生的办公室里(最有可能是在美国中西部的某所大学里)浏览书架时,在拉夫和马奇的书旁边发现了我的这本书,那么我将会觉得非常幸福。01 做一个多模型思考者要想成为一个有智慧的人,你必须拥有多个模型。而且,你

必须将你的经验,无论是间接的,还是直接的,都放到构成这些

模型的网格上。查理·芒格(Charlie Munger)

这是一本关于模型的书。我在书中用简洁的语言描述了几十个模型,并解释该如何应用它们。模型是用数学公式和图表展现的形式化结构,它能够帮助我们理解世界。掌握各种模型,可以提高你的推理、解释、设计、沟通、行动、预测和探索的能力。

本书提倡多模型思维方法,应用模型集合理解复杂现象。本书的核心思想是:多模型思维能够通过一系列不同的逻辑框架“生成”智慧。不同的模型可以将不同的力量分别突显出来,它们提供的见解和含义相互重叠并交织在一起。利用多模型框架,我们就能实现对世界丰富且细致入微的理解。本书还包括了一些正式的论证,阐述了如何对现实世界应用多模型框架。

本书非常实用。多模型思维具有十分重要的实用价值。运用这种思维方式,你就能更好地理解复杂现象,就能更好地推理。你将会在职业生涯、社区活动和个人生活中表现出更小的差距,做出更加合理的决策。是的,你甚至还可能会变得更有智慧。

25年前,像本书这样讲解模型的著作主要是供教授们和研究生们研究商业、政策和社会科学所用的,金融分析师、精算师和情报界人士也是潜在的读者。这些人都是应用模型的人,他们也是与大型数据库关系最密切的人,这并不是偶然。不过到了今天,关于模型的书已经拥有了更多的读者:广大的知识工作者们。由于大数据的兴起,他们现在已经把模型作为日常生活的一部分了。

如今,用模型组织和解释数据的能力,已经成了商业策略家、城市规划师、经济学家、医疗专家、工程师、精算师和环境科学家等专业人士的“核心竞争力”。任何人,只要想分析数据、制订业务发展策略、分配资源、设计产品、起草协议就必须应用模型,哪怕是做出一个简单招聘决策,也要运用模型思维。因此,掌握本书的内容,特别是那些涉及创新、预测、数据处理、学习和市场准入时间选择的模型,对许多人都有非常重要的实际价值。

使用模型来思考能够带给你的,远远不仅仅是工作绩效的提高。它还会使你成为一个更优秀的人,让你拥有更强的思考能力。你将更擅长评估层出不穷的经济事件和政治事件,更能识别出自己和他人推理中的逻辑错误。有了这种思维方式,你将懂得辨识什么时候意识形态取代了理性思考,并对各种各样的政策建议有更丰富、更有层次的洞见,无论是扩建城市绿地的建议,还是强制药物检测的规定。

所有这些好处都来自与多种多样模型的“亲密接触”,幸运的是,我们用不着一下子掌握千百种模型,而只需先掌握几十种就足够了。本书给出的这些模型就为你提供了一个很好的出发点。它们来自多门学科,其中包括许多人耳熟能详的囚徒困境博弈模型,逐底竞争(Race to the Bottom)和关于传染病传播的SIR模型,等等。所有这些模型都有一个共同的形式:它们都假设一些实体,通常是人或组织,并描述他(它)们是如何相互作用的。

本书所讨论的模型可以分为三类:对世界进行简化的模型、用数学概率来类比的模型以及人工构造的探索性模型。无论哪一种形式,模型都必须是易处理的。模型必须足够简单,以便让我们可以在模型中应用逻辑推理。例如,我们讨论了一种传染病模型,这个模型由易感者、感染者和痊愈者组成,可以给出传染病的发生概率。利用这个模型,我们可以推导出一个传染阈值,也就是一个临界点,超过这个临界点,传染病就会传播。我们还可以确定,为了阻止传染病传播,需要接种疫苗人数的比例。

尽管单个模型本身可能就已经相当强大了,但是一组模型可以实现更多的功能。在拥有多个模型的情况下,我们能够避免每个模型本身所固有的局限性。多模型方法能够消除每个单个模型的盲点。基于单一模型的政治选择可能忽略了世界的一些重要特征,如收入差距、1身份多样性以及与其他系统的相互依赖关系。有了多个模型,我们可以达成对多个流程的逻辑推理,可以观察不同因果过程是如何重叠和相互作用的,也拥有了理解经济、政治和社会世界复杂性的可能。而且,我们在这样做的时候并不需要放弃严谨性,因为模型思维能够确保逻辑的一致性。由此,推理将建立在扎实的证据基础之上,因为模型需要用数据检验、改进和精炼。总而言之,当我们的思维得以在多个逻辑上一致、处在通过了经验验证的框架中时,我们更有可能做出明智的选择。大数据时代的模型

在当今这个大数据时代,像本书这样一本讨论模型的书可能看上去有些不合时宜。现在,数据正以前所未有的维度和粒度急速地涌现出来。过去,消费者的购买数据只能以每月汇总表的形式打印出来,而现在却可以与空间、时间信息及消费者“标签”一起实时传输。学生的学习成绩数据,现在也包括每一份作业、每一篇论文、每一次测验和考试的分数,而不再仅仅是一个期末总成绩了。过去,农场工人也许只能在每月一次的农场会议上提出土壤过于干燥的问题,而现在,他们却能够用拖拉机自动传输以平方米为单位的关于土壤肥力和水分含量的实时数据了。投资公司要跟踪数千只股票的数十种比率和趋势,并使用自然语言处理工具来解析文档。医生则可以随时提取包括相关遗传标记在内的患者记录。

仅仅在25年以前,大多数人获得的知识只能来自书架上的几本书。也许你工作的地方有一个小型图书馆,或者你家里有全系列的百科全书和几十本参考书。学术界、政府和私营部门的研究者则可以利用大型图书馆的馆藏资料,但是他们也经常不得不亲身前往查阅。就在20世纪末21世纪初,为了获得必要的信息,学者们仍然不得不在卡片目录室、缩微胶片阅览室、图书馆书架以及私人收藏家的“宝库”之间来往穿梭。

现在,这一切都发生了颠覆性的变化。几个世纪以来一直受到纸张束缚的知识内容,今天已经以数据包的形式在“空中”自由流动了。关于此时此地的实时信息也是如此。以前,新闻是刊载在报纸上的,最高以每天一次的频率送到我们手上;而现在,新闻却是以连续的数字流形式流入我们的个人设备。股票价格、体育赛事比分、关于政治经济事件和文化事件的新闻,全都可以实时查询、实时访问。

然而,无论数据给我们留下的印象如何深刻,它都不是灵丹妙药。我们也许可以通过数据了解到已经发生了什么和正在发生什么,但是,由于现代世界是高度复杂的,我们可能很难能理解为什么会发生这种情况。更何况,经验事实本身也可能是误导性的。例如,关于计件工资制的统计数据往往会显示,工人每生产一件产品获得的报酬越高,他们生产的产品就会越少。对此,用一个薪酬取决于工作条件的模型可以很好地解释相关数据。如果工作条件很差,导致很难生产出产品,那么每单位产品的工资可能很高;如果工作条件很好,那么每单位产品的工资就可能会很低。因此,并不是更高的计件工资导致了2更低的生产率,而是更加糟糕的工作条件导致了这种结果。

此外,我们社会中的大多数数据,也就是关于经济、社会和政治现象的数据,都只是时间长河上的瞬间或片断的记录。这种数据是不能告诉我们普遍真理的。我们的经济、社会和政治世界并不是固定不变的。在这个十年内,男孩在标准化考试中的成绩超过了女孩,但是下个十年就有可能变为女孩的成绩好于男孩。人们今天投票的原因,可能与未来几十年投票的原因截然不同。

我们需要模型,不然就无法理解计算机屏幕上不断滑过的数据流。因此,这个时代,可能恰恰因为我们拥有如此多的数据,也可以被称为多模型时代。纵观学术界、政府、商界和非营利部门,你基本上无法找到任何一个不受模型影响的研究领域,甚至可以说根据不存在不需要模型的决策领域。麦肯锡(McKinsey)和德勤(Deloitte)等咨询业巨头要通过构建模型来制订商业策略;贝莱德集团(BlackRock)和摩根大通集团(JPMorgan Chase)等金融业大公司要利用模型来选择投资,州立农业保险公司(State Farm)和美国好事达保险公司(Allstate)等公司的精算师要借助风险校正模型来给保险单定价。谷歌公司的人力资源部门要利用预测分析模型来为超过300万求职者进行评估。各大学和学院的招生人员也要建立模型,以便从成千上万的申请入学者当中选出合格的新生。

美国行政管理和预算局(Office of Management and Budget)通过构建经济模型预测税收政策的影响。华纳兄弟公司通过数据分析模型评估观众对电影的反应。亚马逊公司开发机器学习模型向消费者推荐商品。由美国国家卫生研究院(National Institutes of Health)资助的研究团队建立了人类基因组学的数学模型,用于寻找和评估癌症潜在的治疗方法。盖茨基金会使用流行病学模型设计疫苗接种策略。甚至运动队也都使用模型来预测选秀结果和交易机会,并制订比赛策略。例如,芝加哥小熊队(Chicago Cubs)之所以能够在经历了一个多世纪的失败后赢得世界职业棒球联赛的冠军,就是因为很好地利用了模型去选择球员、设计比赛策略。

对于使用模型的人来说,模型思维的兴起还有一个更简单的解释:模型能够让我们变得更聪明。如果没有模型,人们就会受到各种认知偏差的影响:我们会对近期发生的事件赋予过高的权重、会根据“合理程度”分配概率、会忽略各种基本比率。如果没有模型,我们处理数据的能力就会受到极大的限制。有了模型,我们就能澄清相关假设且更有逻辑地进行思考,还可以利用大数据来拟合、校准、检验因果关系与相关性。总之,有了模型,我们的思考会更有效。有证明3表明,如果让模型与人面对面直接“竞争”,模型将会胜出。为什么需要多模型

在本书中,我们主张在给定情况下不仅使用一个模型,而要使用多个模型。多模型方法背后的原理基于这样一个古老的思想,那就是“管中窥豹需多管齐下”。这个思想至少可以追溯至亚里士多德,他强调了将许多人的优点集中起来这个做法的价值。呈现视角和观点的多样性,也是美国历史上“名著运动”(great-books movement)背后的一大动力。在这个运动中涌现出来的《伟大的思想:西方世界名著中伟大的思想观念合集》(The Great Ideas:A Syntopicon of Great Books of the Western World)一书,就收集了102个重要的可永世流传的思想。

现在,这种方法也在汤亭亭所著的《女勇士》(The Women Warrior)一书中得到了回响,她这样写道:“我已经学会了如何让我的思想变得博大;因为宇宙很大,所以给悖论留下了存在的余地。”这种方法也构成了现实的商业和政治世界有实际意义的行动基础。最近的一些论著指出,如果我们想要理解国际关系,就不能只将世界建模为一组具有明确目标的自利国家,也不能只将世界建模为跨国公司4和政府间组织之间的联系枢纽,而应该把世界同时建模为这两者。

尽管多模型方法看上去似乎很平常,但请注意,它其实是与我们讲授模型和构建模型的传统方法相悖的。传统的方法,那些在高中时老师教授的方法,依赖一对一的逻辑,也就是说一个问题需要一个模型。比如,老师会告诉我们,在这种情况下,我们应该运用牛顿第一定律;在那种情况下,我们应该运用牛顿第二定律;在第三种情况下,则应该运用牛顿第三定律。又或者,在这里,我们应该使用复制因子方程(replicator equation)来说明下一期兔子种群的大小。在这种传统的方法中,目标是确定一个适当的模型并正确应用这个模型。而多模型思维所要挑战的,恰恰正是这种传统方法。多模型方法主张尝试多个模型。如果你在九年级时就使用过多模型思维,你可能会被阻止,但是现在使用多模型思维,你将会取得很大进步。

大部分学术论文也遵循传统的一对一的方法,尽管有时它们是在使用单一的模型去解释复杂的现象。例如,有人声称,在美国2016年选举中投票给特朗普的那些人,都是经济上的失败者。又或者,小学二年级时老师的素质决定了孩子长大成人后能够取得经济成就的大

5小。不过,近年来,一系列畅销的非虚构作品的诊断,使这种基于单个模型的传统思维方式的弊端呈现在人们面前:教育成功只取决于毅力;资本集中导致不平等;糖消耗导致民众健康状况不佳……这些单个模型中的每一个都可能是正确的,但没有一个是全面的。面对各种复杂的挑战,创造一个包容更广泛教育成就的世界,我们需要的不是单个模型,而是多个模型构成的格栅。

通过学习本书中的模型,你就可以着手构建自己的格栅模型。这些模型来自多个学科,涉及各种现象,例如收入不平等的原因、权力的分配、传染病和流行风尚的传播、社会动乱的前置条件、合作的发展、秩序的涌现,以及城市和互联网的结构等。

模型的假设和结构各不相同。有些模型描述了少量理性的、自私的行为主体之间的互动,有些模型则描述了大量的遵循规则的利他主义者的行为。一些模型描述了均衡过程,还有一些模型讨论路径依赖性和复杂性。这些模型的用途也各不相同。一些模型是用来帮助预测和解释的,一些模型是用来指导行动、推动设计或促进沟通的,还有一些模型则创造了有待我们去探索的虚拟世界。

所有模型都有三个共同特征。第一,它们都要简化,剥离不必要的细节,抽象掉若干现实世界中的因素,或者需要从头重新创造。第二,它们都是形式化的,要给出精确的定义。模型通常要使用数学公式,而不是文字。模型可以将信念表示为世界状态的概率分布,可以将偏好表示为各备选项之间的排序。通过简化和精确化,模型可以创造易于处理的空间,我们可以在这些空间上进行逻辑推理、提出假说、设计解决方案和拟合数据。模型创建了我们能够以符合逻辑的方式进行思考的结构。正如维特根斯坦在《逻辑哲学论》(Tractatus Logico-Philosophicus)一书中所写的:“逻辑本身就能解决问题,我们所要做的,就是观察它是如何做到的。”是的,逻辑有助于解释、预测、沟通和设计。但是,逻辑也不是没有代价的,这就导致模型的第三个共同特征是:所有模型都是错误的,正如统计学大师乔治·博克斯6(George Box)所指出的那样。所有模型概莫能外,即使是牛顿提出的那些定律和法则,也只是在特定的条件下成立。所有模型都是错误的,还因为它们都是简化的,它们省略掉了细节。通过同时考虑多个模型,我们可以实现多个可能情况的交叉,从而克服单个模型因严格而导致的狭隘性。

只依靠单个模型其实是过于狂妄自大的表现,这种做法会导致灾难性的后果。相信只凭一个方程,就可以解释或预测复杂的现实世界现象,会使真理成为那种很有“魅力”的简洁的数学公式的牺牲品。事实上,我们永远不应指望任何一个模型能够准确预测1万年后的海平面将上升多少,甚至也不应该指望任何一个模型能够准确预测10个月后的失业率。我们需要同时利用多个模型才能理解复杂系统。政治、经济、国际关系或者大脑等复杂系统永远都在变化,时刻都会涌现出介于有序和随机之间的结构和模式。当然,根据定义,复杂现象7肯定是很难解释或预测的。

因此在这里,我们面临着一个严重的脱节。一方面,我们需要模型来连贯地思考。另一方面,任何只具有少数几个活动部件的单个模型都无法解释高维度的复杂现象,例如国际贸易政策中的模式、快速消费品行业的发展趋势或大脑内部的适应性反应。即便是牛顿,也无法写出一个能够解释就业水平、选举结果或犯罪率下降趋势的三变量方程。如果我们希望了解传染病的传播机制、教育成效的变化、动植物种类的多样性、人工智能对就业市场的冲击、人类活动对地球气候的影响,或者社会动乱的可能性,就必须通过多个模型去了解它们:机器学习模型、系统动力学模型、博弈论模型和基于主体的模型等。智慧层次结构

为了论证多模型思维方式的优点,我们先从诗人和剧作家T. S.艾略特的一个疑问入手:“我们迷失于知识中的智慧到哪里去了?我们迷失于信息中的知识到哪里去了?”在这里,我们还可以加上一句:我们迷失于数据中的信息到哪里去了?

我们可以把艾略特的这个疑问形式化为一个智慧层次结构(wisdom hierarchy),如图1-1所示。在这个智慧层次结构的最底部是数据,也就是原始的、未编码的事件、经历和现象。出生、死亡、市场交易、投票、音乐下载、降水、足球比赛,以及各种各样的(物种)发生事件等。数据既可以是一长串的0和1,也可以是时间戳,或是页面之间的链接等。数据是缺乏意义、组织或结构的。图1-1 智慧层次结构

信息用来给数据命名并将数据归入相应的类别。为了说明数据与信息之间的区别,看看这几个例子:落在你头上的雨是数据,佛蒙特州伯灵顿市和安大略湖的7月份总降水量则是信息;威斯康星州麦迪逊市国会大厦旁边周六市场上的鲜红辣椒和金黄玉米是数据,而农民的总销售额则是信息。

我们生活在一个信息极大丰富的时代。一个半世纪以前,掌握信息可以带来很高的经济和社会地位。英国小说家简·奥斯汀(Jane Austen)笔下的爱玛就曾问过,弗兰克·丘吉尔(Frank Churchill)是(1)不是“一个拥有着很多信息的年轻人”。如果放到今天,她肯定不会在意这个问题。如果穿越到现在,那么弗兰克·丘吉尔会和其他人一样有一部智能手机,问题只在于他有没有能力很好地利用这些信息。正如陀思妥耶夫斯基在《罪与罚》一书中所写的那样:“他们说,我们已经得知了事实。但事实不是一切,至少有一半的分歧就出在人们怎样利用事实上!”

柏拉图将知识定义为合理的真实信念。更现代的定义则认为知识就是对相关关系、因果关系和逻辑关系的理解。知识组织了信息,呈现为模型的形式。市场竞争的经济学模型、网络的社会学模型、地震的地质学模型、生态位形成的生态学模型以及学习的心理学模型都体现了知识。这些模型能够解释和预测。化学键模型解释了为什么金属键会使我们无法将手伸进钢制的门,为什么当我们潜入湖水中时氢键8会影响我们的体重。

层次结构的基础就是智慧。智慧就是指识别和应用相关知识的能力。智慧需要多模型思维。有时,智慧体现在懂得如何选出最优模型,就好像将箭从箭袋中抽出来一样。还有时,智慧可以通过求出各种模型的平均结果来实现,这是在进行预测时的一种常见做法。采取行动时,有智慧的人都会应用多个模型,就像医生会让病人做好几种检查来帮助诊断一样。他们使用模型来排除某些行为、选择某些行为。有智慧的个人和团队会有意让模型之间相互“对话”,探索不同模型之间的重叠和差异。

智慧包括选择正确的知识或模型。考虑一下这个物理问题:一个小小的毛绒玩具猎豹从一架飞在6千米高的飞机上掉下来,当它着地时会造成多大的伤害?学生可能已经掌握了引力模型和自由降落速度模型。这两个模型会给出不同的答案。引力模型的预测是,这个玩具猎豹会撕裂汽车的顶棚。自由降落速度模型的预测则是这个玩具猎豹9的最高速度可以达到每小时16千米。在这个问题上,智慧意味着,知道应该如何运用自由降落速度模型。事实上,站在地上的一个人,完全可以将这只柔软的毛绒玩具抓在手中。在此,不妨引用进化生物学家J. B. S.霍尔丹(J. B. S. Haldane)的一段话来说明这个问题:“你可以将一只小鼠丢到一口深达千米的矿井,当它坠落到井底时,只要地面是相当柔软的,那么小鼠只会受到轻微的震荡,而且能够自行走开。但如果是大鼠的话就会摔死,人则会粉身碎骨,马更将尸骨无存。”

回到上面这个毛绒玩具的问题上来,要想得到正确的答案需要信息(这个玩具的重量)、知识(自由降落速度模型)和智慧(选择正确的模型)。商界和政界领袖也依靠信息和知识做出明智的选择。例如,2008年10月9日,冰岛的货币冰岛克朗(króna)开始自由落体般的急剧贬值。当时的软件巨头甲骨文公司(Oracle)的财务主管埃里克·鲍尔(Eric Ball)必须做出一个决定。就在几个星期之前,他刚刚处理了国内住房抵押贷款危机带来的冲击。冰岛的情况引发了国际关注,而甲骨文公司持有数十亿美元的海外资产。鲍尔先考虑了关于金融崩溃的网络传染模型,然后他又考虑了讨论供给和需求的经济学模型(在这种模型中,价格变化的幅度与市场冲击的大小相关)。2008年,冰岛的国内生产总值仅为120亿美元,只相当于麦当劳公司6个月的销售收入。事后,鲍尔回忆当时的思考过程:“冰岛的经济10规模比美国弗雷斯诺市还要小呢。回去工作吧,不用多管。”

要理解这个例子,或者理解多模型思维方法,关键是要认识到鲍尔并没有去探索过多的模型,他找到了一个模型来支持已经决定采取的行动。是的,他没有尝试很多模型后找到一个能证明自己行为合理性的模型。相反,他只评估了两个可能有用的模型,然后选择了一个更好的模型。鲍尔拥有正确的信息(冰岛很小),选择了正确的模型(供需模型),并做出了一个明智的选择。

接下来,我们重新反思两个历史事件来说明如何让多个模型展开“对话”。这两个历史事件是:2008年的全球金融市场崩溃,它使总财富(或者说至少是人们所认定的总财富)减少了数万亿美元,进而导致了长达4年之久的全球经济衰退;以及1961年的古巴导弹危机,它几乎引发了一场核战争。

对于2008年全球金融市场崩溃的原因,已经出现了多种解释:外国投资过多;投资银行过度杠杆化;抵押贷款审批过程缺乏监督;家庭消费者过分乐观的情绪;金融工具的复杂性;对风险的误解,以及贪婪的银行家明知泡沫存在却铤而走险并期望获得救助;等等。表面证据似乎与这些解释保持了一致:从外国流入了大量资金;贷款发起人发放了“有毒”(低质量)的抵押贷款;投资银行的杠杆率确实非常高;金融工具太过复杂导致大多数人无法理解;不少银行预计政府会出台救助计划;等等。通过模型,我们可以在这些解释之间加以“裁决”,可以分析其内在一致性:它们是否符合逻辑?我们还可以用数据进行校准、对推断进行检验。

经济学家罗闻全运用多模型思维方法,对关于这场危机的20种不同解释进行了评估。他发现,每一种解释都有不足之处。而且,没有理由认为投资者在明知自己的行为会导致全球危机时还会为泡沫作贡献。因此,泡沫的严重程度一定是出乎许多人的意料的。金融公司可能假定其他公司已经做好了尽职调查,而事实上并没有。回想起来,明显“有毒”的抵押贷款组合也找到了买家。如果全球金融市场崩溃成为定局,那么买家就不会存在。虽然杠杆率自2002年以来一直在上升,但却并没有比1998年的时候高出很多。而对于政府必定会救助银行的观点,雷曼兄弟银行的遭遇说明了一切:雷曼兄弟银行于2008年9月15日倒闭,它的资产超过6 000亿美元,这是美国历史上最大的破产案,然而政府并没有介入。

罗闻全认为,每种解释都包含了一个逻辑上的缺憾。从数据本身来说,没有任何一个解释是特别有根据的。正如罗闻全所总结的:“我们应该从一开始就努力对同一组客观事实给出尽可能多的解释,并寄希望于时间。当时机成熟的时候,关于这场危机更细致和更一致的解释就会浮现出来。”他还说:“唯有通过收集多样化且往往相互矛盾的解释,我们才能最终实现对危机更完整的理解。”任何单个的11模型都是不足的。

在《决策的本质》(Essence of Decision)一书中,美国政治学家格雷厄姆·艾利森(Graham Allison)采用多模型思维方法解释了古巴导弹危机。1961年4月17日,一支由美国中央情报局训练出来的半正规武装队伍在古巴海岸登陆,企图推翻菲德尔·卡斯特罗的政权,加剧了美国与古巴的盟友苏联之间的紧张关系。作为回应,时任苏联总理尼基塔·赫鲁晓夫将短程核导弹运到了古巴。而时任美国总统约翰·肯尼迪则以对古巴的封锁作为回应。最终,苏联做出让步,危机结束了。

艾利森用三个模型解释了这个事件。首先,他运用理性行为者模型(rational-actor model)阐明,肯尼迪当时有三种可能的行动:发动核战争、入侵古巴或者进行封锁,最终他选择了封锁。理性行为者模型假设肯尼迪为每种行动绘制了一棵博弈树,并附上苏联可能做出的反应,然后,肯尼迪根据苏联的最优反应来思考自己的行动。例如,如果肯尼迪选择发动核战争,那么苏联就会反击,最终可能会造成数百万人死亡。如果肯尼迪决定封锁古巴,他就会使古巴人挨饿,而苏联则可能选择撤退或发射导弹。考虑到这个选择,苏联应该让步。这个模型揭示了核心策略逻辑(central strategic logic),并为肯尼迪大胆选择封锁古巴提供了合理的理由。

然而,尽管如此,像所有模型一样,这个模型也是错误的。它忽略了一些重要的相关细节,使它乍看起来比实际情况更好。这个模型也忽略了苏联已经将导弹运入古巴这个事实。如果苏联是理性的,他们应该会和肯尼迪一样画出博弈树,并认识到他们必须拆除导弹。理性行为者模型也无法解释为什么苏联没有将导弹藏起来。

其次,艾利森用组织过程模型(organizational process model)解释了这些不一致性。缺乏组织能力是苏联未能隐藏导弹的原因。这个模型也可以解释为什么肯尼迪选择封锁古巴,因为当时美国空军不具备在一次打击中就摧毁导弹的能力。即便只剩下一枚导弹,也会造成数百万美国人的伤亡。艾利森巧妙地结合了这两个模型。来自组织过程模型的洞察力,改变了理性选择模型(rational-choie model)中的结果。

最后,艾利森又使用了政府过程模型(governmental process model)。之前的两个模型都将国家化约为它们的领导者:肯尼迪代表美国行动,赫鲁晓夫代表苏联行动。政府过程模型则认为,肯尼迪不得不与国会抗衡,而赫鲁晓夫则必须维持支持自己的政治基础。因此,赫鲁晓夫在古巴部署导弹是一种力量的宣示。

艾利森这本书分别展示了模型本身以及模型之间对话的威力,每一个模型都能使思路变得更加清晰。理性行为者模型确定了导弹到达古巴后可能采取的行动,并帮助我们看清了这些行动的含义。组织过程模型让我们注意到了是组织而不是个人在实施这些行动。政府过程模型则突出了入侵的政治成本。在通过所有这三个视角评估了这个事件后,我们就有了更全面、更深刻的理解。所有模型都是错的,但是同时运用多个模型确实非常有用。

在这两个例子中,不同的模型解释了不同的因果因素。此外,多模型思维方法也可以专注在不同的尺度上。在一个经常被人提及的故事中,一个孩子声称地球是驮在一头巨大的大象背上的。一位科学家问这个孩子,那么大象又是站在什么东西上呢。孩子回答道:“一只巨大的乌龟的背上。”然后,科学家继续问,孩子继续答。不难预料接下来会发生的事情,孩子的回答是:“你不要再问啦!乌龟驮乌龟,12一直驮下去!”

如果我们这个世界真的就是通过乌龟驮乌龟这样维持着的,或者说,如果这个世界是自相似(self-similar)的,那么最顶层的模型将适用每个层面。但是经济、政治世界和社会都不可能是这样的乌龟队列,大脑也不可能。在亚微米水平上,大脑由构成突触的分子组成,突触组成了神经元,神经元在神经元网络中结合。不同的神经元网络相互重叠,具体模式可以通过脑成像技术来加以研究。这些神经元网络存在的层级低于功能性系统(如小脑)。既然大脑在每个层级都有所不同,我们就需要多个模型,而且这些模型也各不相同。表征神经元网络稳健性的模型与用于解释脑细胞功能的分子生物学模型几乎没有任何相似之处,而后者又与用于解释认知偏差的心理学模型有所不同。

多模型思维的成功取决于一定程度的可分离性。在分析2008年金融危机的成因时,我们需要依赖外国人购买资产模型、资产组合模型、金融杠杆模型等多个模型。艾利森在根据博弈论模型进行推导时,不需要考虑组织过程模型。与此类似,在研究人体时,医生会将骨骼系统、肌肉系统、大脑系统和神经系统分开。也就是说,多模型思维并不要求这些不同的模型将系统分割为互不相关的部分。面对一个复杂的系统,用柏拉图的话来说,我们不能“将整个世界雕刻在关节上”。但是,我们可以部分地将主要的因果关系分离出来,然后探讨它们是如何交织在一起的。在这个过程中,我们将发现经济、政治和社会系统产生的数据会表现出一致性。这样一来,社会数据就不会再像家里养的猫一样吐出令人费解的毛球序列了。做一个多模型思考者

现在总结一下。我们生活在一个充斥着信息和数据的时代。同时,这些数据得以产生的技术条件还极大地缩短了时间和空间上的距离。它们让经济、政治和社会行动者变得更加敏捷,能够在一瞬间就对经济和政治事件做出反应。它们还增加了连通性,因而也增加了复杂性。我们面临着一个由技术引发的悖论:在我们对世界的了解变得更多、更深入的同时,这个世界也变得更加复杂了。考虑到这种复杂性,任何单个模型都更有可能遭到失败。当然,我们不应该抛弃模型,恰恰相反,我们应该将逻辑一致性置于比直觉更优先的位置;我们不能满足于双重模型、三重模型甚至四重模型,我们要成为多模型思考者。

要成为一个多模型思考者,必须学习掌握多种模型,我们可以从中获得实用的知识,需要理解对模型的形式化描述,并知道如何应用它们。当然,我们也不一定非要成为专家不可。因此,这本书在可阅读性和论证深度之间做了一些权衡,它既可以作为学习资源也可以作为学习指导,书中对各个模型的正式描述都放在独立的专栏中。我还保证不会出现一行接一行都是方程式的情况,如果那样的话,即便是最专注的读者可能也无法忍受。不过,本书还是包括了少数几处包含方程式的论述,但它们都是容易理解的,也是应该被掌握的。构建模型是一门艺术,只能通过不断实践才能熟练掌握,这不是一项以观赏为目的的活动,需要刻意地练习。在建模中,数学和逻辑扮演着专家教练的角色,它们会纠正我们的缺漏。

本书其余各章安排如下。第2章和第3章讨论了多模型思维方法,第4章讨论了对人类建模的挑战。接下来的20几章,每章分别讨论一个模型或一类模型。由于一次只讲解一个模型,所以可以非常方便地将模型的假设、含义和应用厘清。这种章节结构也意味着,我们既可以阅读纸质书,也可以阅读电子书,而且可以直接去阅读与自己感兴趣的模型相关的章节每一章,我们都会应用多模型思维方法去解决各种各样的问题。本书最后给出了两个深度分析:一是针对类药物流行的现象,另外一个则涉及收入不平等问题。02 模型的7大用途了解现实就意味着构建转换系统,这些转换系统或多或少都

必须与现实相对应。让·皮亚杰(Jean Piaget)

在本章中,我们定义了模型的类型。人们通常认为,模型就是对世界的简化。是的,模型可以是对世界的简化,但是模型也可以采用类比的形式,或者,模型本身可能就是为探索思想和总结观点而构建的虚拟世界。在本章中,我们还描述了模型的7大用途。在学校里,我们应用模型来解释数据。在现实世界中,我们应用模型来预测、设计和采取行动,也可以使用模型来探索新思想和新的可能性,还可以利用模型来交流思想、增进理解。

模型的价值还体现在,它们能够把特定结果所需要的条件清晰地揭示出来。我们所知道的大多数结论都只是在某些情况下成立。例如,三角形最长边的平方等于另两边平方之和这个结论,只有当最长边是直角的对边时才成立。模型还可以揭示直觉结论可能成立的条件。我们可以分析传染病在什么情况下会传播、市场在什么条件下能正常运行、投票在什么环境下能够得到好的结果、群体在什么条件下能够给出准确预测……。这些都不是确定的事件。

本章分为两部分。在第一部分,我们描述了构建模型的3种方法。在第二部分,我们介绍了模型的7大用途:推理(reason)、解释(explain)、设计(design)、沟通(communicate)、行动(act)、预测(predict)和探索(explore)。这些用途的首字母,构成了一个缩略词“REDCAPE”。这个缩略词的字面含义为“红色披风”,提醒1我们:多模型思维可以赋予我们强大的力量。构建模型的3种方法

要构建一个模型,我们可以在如下所述的3种方法中选择一种。

构建模型的第一种方法是具身法(embodiment approach)。用这种方法构建的模型包括重要部分,同时对于不必要的维度和属性,要么剥离,要么将它们整合在一起考虑。生态沼泽模型、关于立法机构和交通系统的模型都是用这种方法构建的,气候模型和大脑模型也是如此。

构建模型的第二种方法是类比法(analogy approach),可以对现实进行类比与抽象。我们可以将犯罪行为传播类比为传染病传播,将政治立场的选择类比为在一个左-右连续线段上的选择。球形牛是类比方法的一个最直观的例子:为了估计一头牛身上牛皮的面积,我们会假设那头牛的形状是球形的。之所以要这样做,是因为微积分教科书所附积分表中的公式,会出现tan(x)和cos(x),但是不会出现类似2cow(x)这样的东西。

相比而言,具身法更强调现实主义,而类比法则致力于刻画过程、系统或现象的本质。当一位物理学家假设不存在摩擦,同时又以其他方式做出符合现实的假设时,他所采用的就是体现法。当一位经济学家将相互竞争的公司视为不同的物种并在此基础上定义产品利基时,就是在做类比,用一个模型来表示不同的系统。但是,在具身法与类比法之间并没有一条明确的界限。例如,关于学习的心理学模型,在给不同的备选项分配权重时,往往会合并考虑多巴胺反应与其他因素,这种模型还会用我们在不同备选项之间进行权衡的方案做类比。

构建模型的第三种方法是另类现实法(alternative reality approach),也就是有意不去表征、不去刻画现实。这类模型可以作为分析和计算的“演练场”,我们可以利用这类模型探索各种各样的可能性。这种方法使我们能够发现适用于物理世界和社会世界之外的一般结论。这类模型有助于我们更好地理解现实世界中各种约束条件的含义,比如如果能够通过空气安全有效地传输能量,那么将会怎样?这类模型还允许我们进行现实世界中不可能的(思想)实验:如果我们能够加快大脑的进化,那么将会怎样?本书包含了不少这种类型的模型,其中一个是“生命游戏”(Game of Life),它是一个很大的棋盘,棋盘上的每一个方块要么是活的(黑色),要么是死的(白色),并根据某个特定规则在生死之间切换。虽然这个模型与现实世界并不一致,但是它能够帮助我们加深对自组织、复杂性现象的认识,甚至是许多关于生命本身的洞见。

无论是表征更复杂的现实世界、创造一个类比,还是建立一个用来探索思想的虚拟世界,任何一个模型都必须是易于处理且便于交流的。我们能够用形式化的语言对模型编码,比如数学符号或计算机代码。在描述模型时,我们不能在不给出正式描述的情况下直接抛出诸如信念或偏好之类的东西。信念通常可以表示为一系列事件或先验的概率分布。而偏好则可以用多种方式来表示,比如用对一组备选项的排序或者一个数学函数来表示。

易于处理则是指适合分析的性质。在以往,分析依赖于数学运算或逻辑推理,因此建模者必须能够证明论证中的每一个步骤。这个约束条件导致了一种崇尚极致简约模型的“审美倾向”。神学家、哲学家奥卡姆的威廉(William of Ockham)提出了流传至今的“奥卡姆剃刀”原则:如无必要,勿增实体(Plurality must never be posited without necessity)。爱因斯坦则把“奥卡姆剃刀”原则进一步阐释为:事情应该力求尽可能简单,但是不可过于简单化。不过到了今天,当遇到用解析方法难以处理的问题时,我们还可以求助计算方法,可以构建由许多不断变化的组件的精细模型,而无须考虑解析上是否易于处理。科学家在构建全球气候模型、大脑模型、森林火灾模型和交通模型时,就采用了这种方法。当然,他们仍然不会忘记“奥卡姆剃刀”原则,只不过已经认识到“尽可能简单”还会要求很多不断变化的组成部分。模型的7大用途

模型有几十种用途,不过在这里,我们只专注讨论其中的7种用途:推理、解释、设计、沟通、行动、预测和探索。

模型的7大用途(REDCAPE)推理:识别条件并推断逻辑含义。解释:为经验现象提供(可检验的)解释。设计:选择制度、政策和规则的特征。沟通:将知识与理解联系起来。行动:指导政策选择和战略行动。预测:对未来和未知现象进行数值和分类预测。探索:分析探索可能性和假说。REDCAPE:推理

在构建模型时,我们要先确定最重要的行为人(行动者)、实体以及相关特征。然后,描述这些组成部分如何互动和聚合,我们能够推导出一些东西,并说明原因何在。这样一来,也就提高了我们的推理能力。虽然,能够推导出的东西取决于我们的假设,但是我们通过(2)模型发现的绝不仅仅是重言式(tautology)。因为我们很少能仅凭检验推断出假设的全部影响,我们需要形式逻辑。逻辑还可以揭示不可能性和可能性。利用模型进行推理,我们可以得到精确的,甚至是令人出乎意料的关系。我们可以发现自身直觉的制约性。

阿罗定理(Arrow's Theorem)就是一个可以说明逻辑如何揭示不可能性的极佳例子。这个模型解决了个人偏好是否集结为集体偏好的问题。在这个模型中,偏好表示为各备选项之间的排序。以对餐馆进行排名为例,假设有5家意大利餐馆,分别用字母A到E表示,这个模型允许120种排序中的任何一种。阿罗要求集体排序是单调的(如果每个人都将A排在B之前,那么集体排序也是如此)、独立于无关的备选项(在其他备选项的排名发生了变化的情况下,如果任何人对A和B的相对排名都没有发生变化,那么A和B在集体排名中的顺序也不会改变),且是非独裁的(没有任何一个人能够决定集体排序)。然后阿罗证明,如果允许任何偏好都存在,那么就不存在集体排序。3

逻辑也可以揭示悖论。利用模型,我们可以证明,每个亚种群中的女性人口比例大于男性,但是在整个种群中却是男性人口的比例更高,这种现象被称为“辛普森悖论”(Simpson's paradox)。在现实世界中,这种情况已经发生过了:1973年,加州大学伯克利分校的绝大多数院系都录取了更多的女生,但是从总体上看,它却录取了更多的男生。模型还表明,两个没有胜算的赌局,当交替轮流进行时,是有可能带来正的预期回报的,这就是人们熟知的“帕隆多悖论”(Parrondo's paradox)。通过模型,我们可以证明,在向网络中添加4节点的同时,是可以减少连接所有节点所需边的总边长的。

需要注意的是,我们不能把上面这些模型的例子简单地视为数学上的新奇事物。事实上,每一个模型都有很大的实际应用价值:提高女性在人口中比例的努力可能会适得其反;将没有机会赢利的投资适当地组合起来可能会带来收益;电线、管道网、以太网线路或道路网的总长度可以通过增加更多的节点来减少等。

逻辑也可以揭示数学关系。根据欧几里得定理,三角形可以由任意两个角和一条边,或任意两条边和一个角唯一确定。根据对消费者和公司行为的标准假设,当市场上有大量的相互竞争的企业时,价格等于边际成本。但是,这里也会出现一些出乎意料的结果,其中一个是所谓的“友谊悖论”(friendship paradox),它说的是,在任何一个由友人组成网络中,平均而言,一个人的朋友拥有的朋友要比这个人更多。“友谊悖论”之所以会出现,是因为非常受欢迎的那些人有更多的朋友。图2-1显示的是扎卡里(Zachary)的空手道网络。在图中,黑色的圆圈所代表的人有6个朋友,这些朋友用灰色圆圈表示,他的

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