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作者:(美)阿尔伯特·爱因斯坦,(波兰)利奥波德·英费尔德

出版社:湖南科学技术出版社

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物理学的进化

物理学的进化试读:

第二版序言

本书第一版在20多年前出版。此后,本书的主要作者,或许也是有史以来最伟大的科学家与最善良的人——爱因斯坦,与世长辞了。也是在这以后,物理学有了无可比拟的巨大发展。对此,我们只要叙述一下核科学和基本粒子理论的发展,以及人们对宇宙空间的探索便可见一斑。尽管如此,本书必须改动的地方却很少,因为它探讨的只是物理学的主要理念,它们在本质上仍然未曾改变。据我所见,只有以下几个不是很重要的地方需要略加修正。第一,本书探讨的是理念的进化,而不是一部历史的回顾。所以,其中提及的年代通常是近似的,往往采取如下形式:“……许多年前。”例如,在第四章“量子”的“光谱”一节中,我们在写到玻尔的时候说,“他的理论是在25年前建立的……”。因为这本书第一次问世是在1938年,所以“25年前”指的是1913年,就是玻尔的论文发表的那一年。因此读者应该记住,所有的类似表达都是相对于1938年的。第二,我们在第三章“场,相对论”的“以太和运动”一节中写道:“这两个例子中没有任何不合理的地方,只是在这两种情况下,我们都必须跑出大约400码每秒的速度,但我们可以很有把握地想象,未来的科技发展会达到这种速度的。”今天的每个人都知道,喷气式飞机的速度已经成功地超越了音速。第三,我们在同一章的“相对论和力学”一节中写道:“……从最轻的氢到最重的铀……”但现在这已经不是正确的分类了,因为铀已经不是最重的元素了。第四,也是在第三章,我们在“广义相对论及其证实”一节中写到了水星的近日点进动:“由此可知,这种效应是很小的,而且,如果要在距离太阳更远的行星上发现这个效应,我们的希望又何等渺茫。”但更晚些时的测量揭示,这个效应不仅在水星上是真实的,而且对其他行星来说也是真实的。这个效应确实非常小,但却似乎符合理论的预测。或许,在不久的将来,这一效应也可以在人造卫星上加以检验。在第四章“量子”的“概率波”一节中,我们就单个电子的衍射写道:“几乎不用说,我们就知道这是一个理想化实验,没法实际完成,但只是想象一下还是可以的。”值得一提的是,1949年,一位苏联物理学家V.法布里坎特教授和他的同事们做了一项实验,他们在其中观察了单个电子的衍射。有了这几项修改,这本书便赶上了时代的潮流。我不打算在新版的正文上做出修改,因为我觉得,一本与爱因斯坦共同写作的书应该保留我们一起写作时的原样。我感到非常高兴的是,在他去世之后,这本书仍然保持着生命的活力,而且确实,他所有的著作全都如此。1960年于华沙利奥波德·英费尔德

第一版序言

在开始阅读之前,你自然会期待这本书能回答一些简单的问题。比如,为什么要写这本书?这本书准备面向哪些读者?很难在书的开头清楚、有说服力地回答这些问题。在结尾的时候回答要容易得多,但答案会很肤浅。我们发现,说这本书不打算成为什么样子是件简单的事情。我们写的不是一本教科书。这不是有关基本物理学的事实和理论的系统课程。反之,我们想要画一份草图,用粗线条勾画人类的头脑联系思维世界与物质世界的尝试过程。我们试图让读者看到那些活跃的力量,它们迫使科学按照我们的世界发明理念。但我们必须做出简单的表述。我们必须在事实与概念的迷宫中选择一条通衢大道,一条我们认为最具特色、最为重要的大道。不经过这条大道的事实与理论我们只能放弃。我们有一个总的目标,因此,我们必须正确地对事实与想法做出取舍。某个问题的重要性不应该根据书中的篇幅判定。人类思维过程中的一些重要方面没有出现在书中,并不是因为我们觉得它们不重要,而只是因为它们不在我们选定的道路上。在写作过程中,我们曾长时间地针对这本书的理想读者所具有的特点进行讨论,并为他做出打算。在我们的设定中,他完全没有任何物理学和数学的有效知识,但有许多别的优点。我们发现他对物理和哲学的理念非常感兴趣,而且,当他勉为其难地在风景不那么优美的崎岖道路上跋涉时,我们不得不佩服他具有非凡的耐心。他意识到,为了能够理解书中的每一页,他必须认真地阅读前面的内容。他知道,对于一部科学著作,哪怕只是一本科普读物,他也不能以阅读小说的方式阅读。这本书是你和我们之间的一次简单聊天。你可能觉得它乏味或者有趣,单调或者令人兴奋。但是,物质现象有主宰它们的客观规律,人类的创造性思维一直试图更深刻地理解这些规律。如果通过这本书,你能够在这个无尽征程中产生一些想法,本书的目标就成功实现了。阿尔伯特·爱因斯坦利奥波德·英费尔德第一章机械论的崛起一个伟大的侦探故事

让我们想象一个完美的侦探故事。这个故事会把一切关键线索放在我们面前,促使我们提出自己的探案设想。如果仔细地按照线索搜寻,我们就可以在作者揭露真相之前,自行得出全部答案。与那些平庸的侦探故事不同,这个结局不会令我们失望,而且,它在我们期待的那一刻如期而至。

不知多少代人类科学家前赴后继,为解决“自然界”这本侦探小说中的神秘现象苦苦探索,我们是否可以把这样一本书的读者与这些科学家相比?这样的比喻是不精确的,以后必须抛弃,但也有一定的合理性,我们可以加以扩充并修改,让它更接近于科学为探索宇宙的奥秘而做出的努力。

时至今日,人们仍然无法全部索解这个伟大的神秘故事,我们甚至也无法断言,它是否有终极答案。我们做了反复的研读,它已经让我们理解了不少东西,教会了我们自然的基础语言并让我们理解其中的许多线索。在科学的进步过程中,它常常是快乐与振奋的源泉。但我们意识到,尽管我们已经阅读并理解了它的许多篇章,但如果它确实真的有完整的答案,那我们仍旧与其相去甚远。在科学发展的每一个阶段,我们都在努力寻求解释,力争契合我们已有的发现。我们暂时接受的理论解释了许多事实,但还不存在一个能将所有已知线索囊括其中的统一答案。常有的情况是,一个完美的理论似乎已经显现,但通过进一步的解读,就会发现它并非恰当之选。我们读得越多,便越对这本书的完美结构赞誉有加,尽管我们一直在向前发展,但完整的解答却似乎不断后退,让我们浮想联翩。

在柯南·道尔令人赞叹的故事之后,几乎每一部侦探小说都会出现这样一个时期:侦探至少在某个时期搜集到了他需要的所有事实,可以解释他面临的问题的某一个方面。这些事实往往相当古怪、不合逻辑,相互之间完全没有关联。然而,大侦探终于意识到,他暂时不需要进一步的调查了,只有用纯粹的思维,才能将扑朔迷离的关系契合到搜集到的事实之间。于是他拉起小提琴,或者坐在客厅的扶手椅上,惬意地抽着烟斗,将头脑中的思绪一一厘清。突然间,他灵光一闪,不仅对手头的线索有了解释,而且他知道,必然会发生其他一些事件。他现在清楚地知道,他必须去何处搜寻,如果他愿意,他可以去证实自己的假设。

在阅读其他故事时,有些性急的读者经常会翻到书的结尾一探究竟。但是,让我们再重复这一点:阅读自然这本书的科学家必须自己找到答案。对阅读这本书的读者来说,他也是一位探索者,他正在寻求解释,至少要在丰富的相关事实间找出部分关联。即使想要得到部分答案,这位科学家也必须尽力搜集各项貌似无序的已有事实,用创造性的思维归纳整理,让人们可以理解其中的内涵。

在接下来的叙述中,我们的目标是概括性地描述物理学家的工作,这些工作与侦探的纯粹思维相一致。我们主要关心的是,在对物理世界知识的惊险探索中,人类的思维和想法扮演的角色。第一个线索

自从人类具有思维能力以来,阅读这个伟大侦探故事的尝试就已经开始了。然而,在300多年以前,科学家们才开始理解了这个故事[1][2]的语言。从那时开始,也就是从伽利略和牛顿的时代开始,阅读的速度加快了。人们开发了研究的技巧以及寻找和追踪线索的系统方法。人们已经理解了一些自然的奥秘,尽管后来的研究发现,其中一些解释只是暂时的,过于肤浅。

运动是一个最基本的问题,但由于其复杂性,几千年来,其本质一直笼罩在迷雾之中。无论是一块被抛入空中的石头,还是一条在水中航行的船,或者是一辆被人沿街推动的手推车,所有这些在自然中观察到的运动实际上都非常复杂。为了理解这些现象,明智的方法是从最简单的事例开始,然后逐步推广到较为复杂的情况。设想有一个完全不运动的静止物体,为了改变这个物体的位置,我们必须在它身上施加一定的力,推动它或者举起它,或者让别的物体,诸如马匹或者蒸汽机之类的东西对它产生作用。我们的直觉认为,运动是与推、举或者拉的行为有关的。经过多次尝试之后,我们或许会大胆地进一步推测,如果想让这个物体运动得更快,我们就得更使劲地推它。我们似乎可以很自然地得出结论:我们对这个物体施加的作用越剧烈,它的速度就越快。四匹马拉的车比只有两匹马拉的车跑得更快。因此,直觉告诉我们,速度与运动有着极为重要的关系。

侦探小说读者熟悉的一个事实是,一条不正确的线索会让故事扑朔迷离,推迟破案过程。千百年来,根据直觉而来的推理方法是不可[3]靠的,它导致了有关运动的错误想法。亚里士多德的思想在整个欧洲具有极大的权威,这很可能是人们长期相信直觉理念的主要原因。《论力学》(Mechanics)是一部2000多年前的著作,人们认为是亚里士多德所作,我们可以从中读到:物体的运动来自推动它的力。当力不再继续推动它时,它的运动就会停止。

伽利略发现并使用了科学的推理方法,这是人类思想史上最重要的成就之一,标志着物理学的真正开始。这一发现告诉我们,以直接观察为基础的直觉结论并不总是可信的,因为它们有时会导致错误的线索。

但我们的直觉在什么地方出了错呢?四匹马拉的车比两匹马拉的车跑得快,这种说法有问题吗?

让我们更仔细地核查一些运动的基本事实,从人类自文明开始以来便在生存斗争中熟悉的简单日常经验开始。

假设有人在一条水平道路上推着一辆手推车行走,突然他不再推动车子了。在停止之前,那辆手推车还会向前运动一小段距离。我们问:我们如何增加这段距离?可以有多种方法,比如给轮子上油、让道路更平整等。车轮越容易转动,道路越光滑,手推车向前运动的距离就越长。但给轮子上油和平整道路到底起了什么作用呢?只有一个作用,就是尽量减少外力对车子的影响,也就是降低车轮以及车轮与地面之间所谓“摩擦”的作用。这已经是对于可观察的证据的一种理论解释,但这种解释实际上是随心所欲的。只要再向前迈出重要的一步,我们就将得到正确的线索。假设有一条绝对光滑的道路,而且轮子也完全不受摩擦的困扰,那么就不会有任何东西阻碍手推车,所以它就可以永远运动下去。只有通过一个理想化的实验,才能得到这样的结果。我们永远无法进行这种实验,因为我们不能消除所有的外部影响。但这个理想化的实验告诉我们一个线索,它构成了运动力学的真正基础。

比较一下处理这一问题的两种方法,我们可以说:直觉的想法是,作用力越大,速度越快。于是,速度就表示是否有外力作用在物体身上。伽利略发现的新线索是:如果一个物体没有被推、拉,或者受到任何其他形式的力的作用,或者更简单地说,如果一个物体没有受到外力作用,则它将做匀速直线运动,也就是说,总是沿着一条直线路径,以相等的速度运动。因此,速度并不能说明在物体上是否有外力作用。伽利略的结论是正确的,是在历经一代人的时间之后,由牛顿以惯性定律的形式确立的。这通常是我们在学校里学习物理学中背下的第一个定律,一些人到现在还记忆犹新:在不受令其改变状态的外力作用的情况下,任何物体将保持静止状态,或者沿直线路径做匀速运动。

如前所述,我们无法通过实验直接得到这一惯性定律,只能通过推测性思考,得出符合观察的结论。理想化的实验永远无法实施,但它却能让我们深刻地理解实际的实验。

我们周围的世界中有各种复杂的运动,我们从中选择的第一个例子是匀速直线运动。这是最简单的运动,因为物体不受外力作用。然而,匀速直线运动永远无法实现;无论是从一座塔上扔下的石头,还是在一条路径上推动的车子,它们都永远无法绝对匀速运动,因为我们无法消除外力的影响。

在优秀的侦探故事中,最明显的线索经常让人们怀疑无辜之人。与此类似,在我们试图理解自然定律时,我们也发现,最明显的直觉解释往往是错误的。

人类思维创造了一个永远变化的宇宙图像。伽利略的贡献是摧毁了直觉的观点,并以新的观点取而代之。这就是伽利略的发现的重大意义。

但立即出现了有关运动的一个新问题。如果速度不是外力作用在物体上的标志,那么什么才是呢?对于这个基本问题的答案仍然是由伽利略做出,并由牛顿更精确地阐明的,它形成了我们研究的新线索。

为了找到正确的答案,我们必须更加深入地思考在绝对光滑的路径上运动的车子。在理想化实验中,匀速直线运动是通过不受外力作用实现的。现在让我们想象,正在做匀速直线运动的车子受到了一个在它的运动方向上的推动力。现在会发生什么情况?它的速度显然加快了。同样明显的是,一个与运动方向相反的力会减慢它的速度。在第一种情况下,车子因为受到推动而加速,而在第二种情况下则减速了,或者说慢了下来。我们立刻可以得出一个结论:外力的作用改变了速度。所以,推或者拉造成的后果并不是速度本身,而是它的变化。顺着运动方向作用的力将让物体加速,逆着运动方向作用的力将让物体减速。伽利略清楚地看到了这一点,并在他的《两种新科学》(Two New Sciences)中这样写道:……一个运动的物体得到了某个速度,则在不存在让它加速或者减速的外部原因的情况下,它将始终维持这个速度,这种条件只在水平表面上可以得到;因为在向下倾斜的情况下,表面上已经存在着引起加速的外力,而在斜坡向上的情况下则有让它放慢的阻力。由此,沿着一个水平表面的运动是永恒不变的;因为,如果速度是均匀的,它就不会降低或者放缓,更别说消失了。

通过追踪正确的线索,我们对于运动问题有了更深刻的理解。牛顿建立经典力学的基础是力与速度变化之间的联系,而不是像我们直觉设想的那样,是力与速度之间的关系。

我们一直在使用下面两个在经典力学中具有重大作用的概念:力和速度的变化。在科学的进一步发展中,它们都得到了补充和扩展。因此,我们必须更加仔细地考察这两个概念。

什么是力?我们能从直觉上感受到这个术语的意义。这个概念来自我们做推、扔、拉这类动作时的感觉,每次这样做时肌肉会具有紧张感,但它的普遍化远远超过了这些简单的例子。即使在没有出现马拉车的图像时,我们也同样可以考虑力。我们谈论太阳和地球之间,地球和月球之间的吸引力,以及那些造成潮汐的力。我们谈论地球迫使我们和我们周围的所有物体限制在它的作用范围内的力,还有风吹过海面造成浪涛的力,以及吹落树叶的力。一般来说,无论何时何地,每当观察到速度变化时,我们都可以在广泛的意义上将其归因于某个外力。牛顿在他的《自然哲学的数学原理》(Principia)中写道:一个强制力就是在某个物体身上施加的一个作用,它将改变这个物体的状态,无论这个物体是静止的还是处于匀速直线运动中。这个力仅仅存在于作用中;当作用结束时,这个力便消失了。由于惯性,物体将保留它所获得的每一种新状态。强制力有不同的来源,如碰撞、压力、向心力。

如果一块石头从一座塔的塔顶落下来,它的运动绝不会是匀速的;石头的速度将在下落过程中增加。我们得出结论:有外力作用在它的运动方向上。或者换言之:地球在吸引这块石头。让我们另举一例,当我们垂直向上扔一块石头时发生了什么?石头的速度一直在下降,直到它到达最高点并开始下落为止。让速度下降的力和让下落物体加速的力是同一个力。在一种情况下,这个力的作用方向与运动方向相同,而在另一种情况下,它的作用方向与运动方向相反。力是相同的,但它在石头下落时对其加速,而在石头被向上扔时令其减速。[1] 伽利略(1564—1642),意大利物理学家、数学家、天文学家,现代科学的奠基人之一。——译者注。[2] 牛顿(1643—1727),英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家,近代物理学之父,代表作为1687年发表的《自然哲学的数学原理》。——译者注。[3] 亚里士多德(前384—前322),古希腊哲学家,西方哲学的奠基人之一。——译者注。矢量

迄今我们考虑的所有运动都是直线运动,也就是说,是物体沿着一条直线的运动。现在我们必须再往前走一步。通过分析最简单的情况,并在我们的第一次尝试中排除一切复杂状况的条件下,初步认识了自然定律。直线比曲线简单。但是,仅仅了解直线运动无法让我们满意。月球、地球和行星的运动是运用力学定律取得辉煌成果的几个例子,但它们都是沿着弯曲的轨道运动的。从研究直线运动转而研究曲线运动,这会给我们带来新的困难。如果我们想要理解经典力学的原理,就必须有勇气克服这些困难,因为这些原理给了我们第一批线索,并形成了科学发展的起点。

让我们考虑另一个理想化实验,设想有一个完全圆滑的小球在一个光滑的桌面上匀速滚动。我们知道,如果有外力施加在小球上,则它的速度会改变。现在假定,与手推车的例子情况不同,这个外力的作用方向明显地不同于小球运动的方向(无论顺逆),比如说,与之垂直。小球将会发生什么样的情况呢?它的运动将分为三个不同的阶段:初始运动,力的作用阶段,以及力停止作用后的最终运动。根据惯性定律,在外力作用前后的小球运动都是完美的匀速运动。但这两种匀速运动有所不同:运动的方向不一样。小球的初始路径与力的作用方向相互垂直。小球最终运动的方向与上述两条线都不相同,处于二者之间。如果作用力比较大而初始运动速度较慢,则靠近力的作用线;如果作用力较小而初始运动速度较快,则靠近初始运动路径。根据惯性定律,我们得到的新结论是:一般来说,外力的作用不仅会改变速度,还会改变运动的方向。理解了这一事实,我们就做好了准备,迎接在物理学中引入的矢量这一概念。

我们可以继续使用直接的推理方法,出发点仍然是伽利略的惯性定律。在解决运动之谜方面,这个有价值的线索还大有潜力可挖。

让我们考虑在光滑桌面上沿不同方向运动的两个小球。为了有一个确定的图像,我们可以假设这两个方向相互垂直。由于小球上没有外力作用,它们的运动是绝对匀速的。我们进一步假设,它们的运动速度相等,也就是说,在相等的时间内,它们将走过相同的距离。但是,如果我们说它们有相等的速度,这种说法是否正确?答案可以是“是”,也可以是“否”。如果两辆汽车上的速率表都显示每小时40英[1]里,我们通常说它们有相等的车速或者速度,无论它们各自朝哪个方向行驶。但为了科学本身的应用,它必须创造自己的语言和概念。科学概念经常始于日常生活事务中的普通语言,但它们有不同的发展。它们自身得到了改造,不再具有普通语言所含有的模糊性,而是有了严格的定义,这样就可以在科学思维中得到应用。

从物理学家的观点出发,说两个朝不同方向运动的小球的速度不同更合适。假设在同一个交通大转盘上,有四辆分别驶向四条不同道路的汽车,它们的速率表上的数字都是每小时40英里,但它们的速度各不相同。尽管这纯粹是一个惯例,但这样说十分方便。通过这种区分车速与速度的方式,可以让我们清楚地看到,物理学是从日常生活中的概念开始的,但却通过某种方式改变了这个概念。科学的进一步发展证明,这种方式会带来累累硕果。

我们进行测量时会得到一个结果,表达为某种单位的多少倍。一[2]根棍子的长度或许是3英尺7英寸,某个物体的重量为2磅3盎司,测得的某个时间段是多少分钟或者多少秒。在每种情况下,测量的结果都表达为一个数字。然而,一个数字本身不足以描述某些物理量。对于这一事实的认知标志着科学研究的明显进步。例如,方向也和数字一样,是速度不可或缺的特征。这种带有数值和方向的量叫作矢量。矢量的恰当符号是一个箭头。我们可以用一个箭头表示速度,或者,简言之,用一个矢量表示速度,它的长度是某个选定单位的若干倍,表示速度的数值,它的方向就是运动的方向。图1

如果四辆汽车以相同的车速驶离这个交通大转盘,它们的速度可以用四个长度相等、方向不同的矢量代表(如图1)。上图使用的比例尺,1英寸代表每小时40英里。通过这种方法,任何速度都可以用矢量表示,反之,如果比例确定,我们可以根据这样一个矢量的图像确定速度。图2图3

如果两辆汽车在大路上相向而过,它们速率表上的数值都是每小时40英里。这时我们可以用两个不同的矢量(如图2)表示它们的速度,它们长度相等,但箭头指向相反的方向。同样,在纽约地铁中,分别标注着“出城”与“进城”的两辆火车也必定沿着相反的方向运动。但所有的火车,只要它们以同样的车速进城,则无论它们正在通过哪个车站或者在哪条轨道上运行,它们都有相同的速度,可以用同一个矢量代表。这个矢量不会告诉我们它们在哪两个车站之间,或者在许多平行轨道中的哪两条上运行。换言之,根据惯例,我们可以认为,图3中画出的所有矢量都相等;它们长度相等,位置相同或者平行,而且箭头指向同一个方向。图4中的几个矢量各不相同,因为它们或者长度不同,或者方向不同,或者二者都不相同。还可以用另一种方式画出图5中的四个同样的矢量,它们全都从同一点出发,指向不同的方向。因为出发点在这里并不重要,这些矢量可以代表从同一个交通大转盘驶离的四辆汽车的速度,或者是在这个国家中不同地方旅行的四辆汽车的速度,只要这几辆汽车具有这些矢量表示的车速和方向即可。图4图5

我们现在可以用这个矢量表示法描述过去讨论过的直线运动的情况。我们讨论做匀速直线运动的手推车,它受到了一个沿着运动方向的推力的作用,增加了速度。我们可以用两个矢量的图解方法表示这一过程,其中较短的矢量代表受到推力作用之前的速度,而方向相同但较长的矢量代表受到推力作用之后的速度(如图6)。用虚线表示的矢量的意义很清楚,它代表着速度的变化,我们知道,这一变化来自推力。在外力与运动速度完全相反的情况下,手推车的速度降低,表示这一过程的矢量图略有不同(如图7)。此处用虚线表示的矢量也对应于速度,但现在它的方向不同。很明显,不但速度本身是矢量,它们的变化也同样是矢量。但速度的每一种变化都是外力的作用造成的,因此,我们也必须用矢量代表力。为了表示一个力,只说出我们推动手推车的力有多大是不够的。与速度和速度的变化一样,我们也必须用矢量代表力,而不能只用一个数字。所以,外力也是一个矢量,其方向必定与速度的变化相同。在图6、图7中,虚线表示的矢量告诉我们力的方向,这个方向确实与速度变化的方向相同。图6图7

在这里,怀疑论者或许会发表评论,他看不出引入矢量概念的优点何在。我们做的一切,只不过是把过去已经认识到的事实翻译为一种复杂的、我们不熟悉的新语言。在当前阶段,我们确实很难让他认清自己的错误。实际上,他暂时是正确的。但我们将会看到,正是这种奇怪的语言,引起了一项重要的推广,其中使用矢量是其关键。[1] 1英里≈1.6千米。——译者注。[2] 1英尺=30.48厘米,1英寸=2.54厘米,1磅≈453.59克,1盎司≈28.35克。——译者注。运动之谜

如果我们处理的都是直线运动,就远远无法理解在自然界中观察到的许多运动。我们必须考虑曲线运动,而下一个步骤就是确定支配这样的运动的定律。要做到这一点可不容易。现已证明,在直线运动情况下,我们的速度、速度变化和力的概念都是很有用的。但我们无法一眼看出,应该怎样才能把它们应用于曲线运动。我们确实可以想象,过去的概念不适用于描述普遍情况下的运动,因此必须创造新的概念。我们应该按照过去的方法加以尝试还是应该寻找新的方法?

推广一个概念,这是在科学中经常出现的过程。无法确定推广的方法,因为通常是多种方法共同进行的。然而,有一个要求必须得到严格的满足:在满足原有条件的情况下,任何推广的概念都必须能简化为原有的概念。

通过我们正在处理的一些例子,我们可以对此做出极好的解释。我们可以尝试将速度、速度的变化和力的原有概念扩展应用于曲线运动。严格地说,当我们说到曲线时,直线也包括在内。直线是曲线的特例,是它很小的一部分。因此,如果我们把速度、速度的变化和力的概念引入曲线运动,它们便自动地包括了直线运动的情况,但这一结果绝不可以与我们前面已经得到的结果相矛盾。如果曲线变成直线,所有经过推广的概念都必须简化,成为我们熟悉的描述直线运动的原有概念。但这一限定条件还不足以唯一确定推广的过程,我们不能排除许多其他可能的方法。科学的历史证明,最简单的推广有时能够成功,有时不能。首先,我们必须做出猜测。在我们现在的情况下,猜测正确的推广方法比较简单。事实证明,新概念非常成功,我们借以理解了抛出去的石头的运动,同时也理解了行星的运动。

而现在,在曲线运动这种普遍情况下,速度、速度的变化和力这几个词意味着什么呢?让我们从速度开始。一个极小的物体沿曲线从左向右运动,我们通常称这样的小物体为质点。在图8中,曲线上的黑点告诉我们这一质点在某一时刻的位置。这个时刻和位置对应的速度如何?伽利略的线索又一次以某种方式暗示了应该如何引进速度。我们必须再次发挥想象力,考虑一个理想化的实验。在外力的作用下,这个质点从左向右沿曲线运动。让我们想象,在某一给定时刻,在图9中黑点确定的位置上,所有外力突然停止了作用。根据惯性定律,这时候的运动必定是匀速的。当然,我们永远无法真的让一个物体完全不受外力作用,只能推测在这种情况下会发生的事件,并比较我们从中得出的结论与实验结果的吻合程度,从而判断我们的推测是否恰当。图8图9

在所有外力全部消失的情况下,图10中的矢量表示我们猜测的质点匀速运动的方向,这就是所谓的切线方向。如果在显微镜下观察一个运动质点,我们可以看到这个曲线很小的一部分,看上去像一条很短的线段,这条切线就是它的延长线。就这样,我们画出的矢量就代表质点在给定时刻的速度。速度矢量在切线上,它的长度代表速度的数值,或者说,就像我们在一辆汽车的速率表上看到的数值。图10

为了找出速度矢量,我们的理想化实验试图打断质点的运动,对这种实验不必过于认真,它只不过是在帮助我们,让我们知道应该如何得出速度矢量,并让我们能在给定时刻的给定点上确定这一矢量。

图10给出了曲线运动中的质点在三个不同位置上的速度矢量。在这种情况下,运动中的质点不但方向有所改变,就连数值也不尽相同,这一点可以从矢量的长度变化上看出。

这一速度的新概念是否满足所有推广都必须满足的要求?也就是说,如果曲线变成了直线,它能否回归到我们熟悉的概念上?显然是可以的。直线的切线就是它本身。速度矢量就在运动线上,这和运动中的手推车或者滚动中的小球的情况完全相同。

下一步是引入曲线运动中质点的速度变化。这也可以通过不同的方法进行,我们在这些方法中选择最简单也最方便的一种。图10显示了曲线路径上各个不同点上代表运动的几个速度矢量。我们可以把其中的矢量1和矢量2重新画在图11中,让它们有共同的起点,我们看到,这在矢量中是可以的。我们称图中以虚线表示的矢量为速度变化矢量,它的起点是矢量1的终点,终点是矢量2的终点。乍一看,速度变化矢量的这个定义似乎很牵强,而且毫无意义,但在矢量1和矢量2方向相同的特例中,这种定义变得清楚多了。当然,这就意味着回到直线运动的情况中。如果两个矢量有同样的起点,则虚线表示的矢量同样连接它们的终点。图12与图6完全相同,而且我们也得到了原来的概念,它是新概念的特例。可以说,在图12中我们不得不将两条线分开,否则它们将重合在一起,无法分辨。图11图12

现在是我们推广过程的最后一步,但这也是我们迄今必须做出的猜测中最重要的一环。我们必须建立力和速度变化之间的联系,这样我们就能够形成一个线索,让我们理解运动的一般问题。

解释直线运动的线索很简单:速度的变化是外力造成的,代表力的矢量与速度变化矢量的方向相同。但现在,什么是曲线运动中的线索呢?完全是同一个!仅有的差别是,速度变化的现有意义比以前扩大了。再看一下图11和图12中虚线表示的矢量,我们就可以清楚地看出这一点。如果曲线上各点的速度都是已知的,我们就可以立刻推导出任何一点上的力的方向。可以说,时间间隔很小的两个时刻对应着曲线上非常接近的两个点。只要画出这两点上的速度矢量,从第一个矢量的终点到第二个矢量的终点的矢量方向就是作用力的方向。但至关重要的一点是,分开两个速度矢量的时间间隔必须“非常小”。对于“非常接近”“非常小”这类词语的严格分析实在不简单。确实,[1]就是这个分析,让牛顿和莱布尼茨发明了微积分。

经过漫长而又复杂的过程,伽利略的线索最终得到了推广。事实证明,这一推广结出了累累硕果,但我们无法在本书中一一列举。应用这一推广,人们以简单的方式,令人信服地解释了过去许多支离破碎、理解错误的事实。

运动的种类极为繁多,我们将从中选择最简单的几种,并用我们刚刚得到的定律加以解释。

从枪口发出的一枚子弹,沿着某个初始角度投出的石头,从一根管子里喷出的水流,所有的这些运动都形成了我们熟悉的同一种路径——抛物线。例如,我们可以在想象中把一个速率表安装在一块石头上,这样我们就可以在任何时刻画出它的速度矢量。图13可以准确地显示我们得到的结果。作用在石头上的力的方向正是速度变化矢量的方向,我们已经看到了应该如何确定这个方向。图14给出了结果,说明力垂直于地面,方向向下,这一结果与我们在塔顶让石头垂直下落时得到的完全相同。石头在这里的路径非常不同,速度矢量也非常不同,但速度的变化方向相同,也就是说,都指向地心。图13图14

如果用手甩动一块固定在绳子一端的石头,让它在一个水平平面上旋转,它将沿着圆形路径运动(如图15)。图15图16

如果转速恒定,图中所有代表这一运动的矢量都有相同的长度。尽管如此,这并不是匀速运动,因为路径并不是直线。只是当物体做匀速直线运动时才不涉及外力。然而,在这里,速度的数值并没有改变,但方向却改变了。根据运动定律,必然有造成这一变化的力,在这种情况下,是石头和拉住绳子的手之间的力施加了作用。这样马上就有了新的问题:这个力的作用方向是什么?图16给出了这个问题的答案。图16画出了在两个相距非常近的两点上的速度矢量,我们从中找到了速度变化的矢量。我们看到,最后的这个矢量是沿着绳子指向圆心的,而且总是与速度矢量或者轨道的切线垂直。换言之,通过绳子,手在石头上施加了一个力。

月球围绕地球的旋转是一个更加重要的例子,其情况与此非常相似。这个运动可以近似地表达为匀速圆周运动。与我们前一个例子中的力指向手的原因一样,这里的力指向地心。在地球和月球之间并没有一根绳子,但我们可以想象有一条连接两个天体中心的线,力位于这条线上,指向地心,与我们向空中扔出的石头或者从塔顶掉下来的石头所受的力情况相同。

可以用一句话总结我们说过的有关运动的一切:力与速度的变化是方向相同的矢量。这是揭开运动之谜的最初线索,但它显然不足以完全解释我们观察到的一切运动。从亚里士多德的观点向伽利略的观点的转变,形成了科学基础上最重要的一块基石。这一突破一经形成,进一步的发展方向即已指明。在这里,我们的兴趣在于发展的第一阶段,即追踪我们的最初线索,弄清楚新的物理学概念是如何在与旧有观念的痛苦斗争中诞生的。我们只关心科学中的前驱工作,它们包括:找到出人意料的发展新途径,创建永恒变化的宇宙图像的科学思想探险。最初与最基本的步骤总是具有革命性的。科学的想象力发现,旧有的概念限制了科学的发展,因此用新的概念取代了它们。无论任何方向,一旦开创,沿着这一方向的持续发展便更多地具有进化的性质,直到达到下一个转折点,那时的人们必须征服一个更新的领域。然而,为了理解让重要概念必然发生变化的原因和困难,我们不仅必须知道最初的线索,也必须知道人们从中得出的结论。

现代物理学最重要的特点之一是:我们从最初的线索中得到的结论不仅是定性的,而且也是定量的。让我们再次想想从塔顶落下的一块石头。我们已经看到,石头的速度在下落的过程中加快,但我们知道的应该多得多。速度的变化到底有多大?在开始下落之后的任意时刻,石头会在哪里?速度如何?我们希望能预测事件,并通过实验确定,观察能否确认我们的预测,从而确认最初的假设。

为了得出定量的结论,我们必须使用数学语言。科学的大部分基本想法本质上是简单的,而且通常可以用人人都能理解的语言加以表达。要跟踪这些想法,就需要研究高度精练的技巧方面知识。如果我们希望得出与实验对照的结论,数学是必不可少的推理工具,但如果我们仅仅关心基本的物理学理念,就可以避免使用数学语言。在本书中,我们关心的一直是基本的理念,因此,为了让读者理解在进一步发展中出现的重要线索,我们有时只得在有限的情况下,不加证明地引用一些必需的结果。因为放弃数学语言所必须付出的代价是缺乏准确性,有时只能引用一些结果,而对如何得到它们不加说明。

运动的一个非常重要的例子是地球围绕太阳的公转(如图17)。我们知道,这一运动的路径是一个封闭的曲线,人们称之为椭圆。人们建立了地球在这条轨道上运动的速度矢量图,发现作用在地球上的力指向太阳。图17

但不管怎么说,这样的信息实在不算多。我们应该能预测地球和其他行星在任意时刻的位置,也应该能预测下一次日食发生的日期和延续时间以及许多其他天文现象。我们是可以做到这些的,但单凭我们最初的线索是不够的,因为我们现在不仅必须知道力的方向,而且要知道它的绝对值,即它的大小。牛顿在这个问题上做出了极有创见的猜测。根据他的引力定律,两个物体之间的引力是它们之间距离的一个简单函数。距离增加时引力减弱,具体地说,当距离是原来的2倍时,引力是原来的1/4,距离是原来的3倍时,引力减弱为原来的1/9。

于是我们看到,对于引力,我们已经成功地用一种简单的方式,表达了力与运动物体之间距离的相关性。我们继续以类似的方式探讨与各种不同的力作用的其他情况,例如电力、磁力以及其他力。我们尝试用简单的方式表达力。只有当由此得到的结论被实验证实的情况下,这样的表达方式才会被人们接受。

可是,单单靠引力方面的知识还不足以描述行星的运动。我们已经看到,在任何短暂的时间间隔内,代表力的矢量与代表速度变化的矢量具有相同的方向,但我们必须更进一步地继续观察牛顿的研究过程,假定它们的长度存在着一种简单关系。在所有其他条件都相同的情况下,也就是说,考虑同样的运动物体和相同的时间间隔,牛顿认为,速度的变化与力成正比。

于是,为了得到有关行星运动的定量结论,我们只需要两个互补的猜测。一个是普遍性质,说的是力和速度的变化之间的关系。另一个是特殊性质,说的是与两个物体之间的距离有关的那种特定的力的准确相关性。第一个是牛顿有关运动的普遍定律,第二个是他的引力定律,它们共同确定了这种运动的性质。我们可以用下面听起来有些笨拙的推理来清楚地说明这一点。首先假定,我们可以在某个给定时刻确定一颗行星的位置和速度,而且力是已知的。然后,根据牛顿的定律,我们可以知道在极短的时间间隔前后的速度变化。知道初始速度和速度的变化,我们就可以知道行星在这一时间间隔结束时的速度和位置。不断地重复这一过程,即使没有进一步的观察数据,我们也可以得出整个运动轨迹。这就是力学在原则上预测运动物体轨迹的方法,但这种方法几乎没有实用价值。实际上,这种一步一步进行的过

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