作者：管成学,赵骥民
出版社：吉林科学技术出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
科学精神光照千秋：古希腊科学家的故事试读：
序言
十一届全国人大副委员长、中国科学院前院长、两院院士放眼21世纪，科学技术将以无法想象的速度迅猛发展，知识经济将全面崛起，国际竞争与合作将出现前所未有的激烈和广泛局面。在严峻的挑战面前，中华民族靠什么屹立于世界民族之林？靠人才，靠德、智、体、能、美全面发展的一代新人。今天的中小学生届时将要肩负起民族强盛的历史使命。为此，我们的知识界、出版界都应责无旁贷地多为他们提供丰富的精神养料。现在，一套大型的向广大青少年传播世界科学技术史知识的科普读物《世界五千年科技故事丛书》出版面世了。
由中国科学院自然科学研究所、清华大学科技史暨古文献研究所、中国中医研究院医史文献研究所和温州师范学院、吉林省科普作家协会的同志们共同撰写的这套丛书，以世界五千年科学技术史为经，以各时代杰出的科技精英的科技创新活动作纬，勾画了世界科技发展的生动图景。作者着力于科学性与可读性相结合，思想性与趣味性相结合，历史性与时代性相结合，通过故事来讲述科学发现的真实历史条件和科学工作的艰苦性。本书中介绍了科学家们独立思考、敢于怀疑、勇于创新、百折不挠、求真务实的科学精神和他们在工作生活中宝贵的协作、友爱、宽容的人文精神。使青少年读者从科学家的故事中感受科学大师们的智慧、科学的思维方法和实验方法，受到有益的思想启迪。从有关人类重大科技活动的故事中，引起对人类社会发展重大问题的密切关注，全面地理解科学，树立正确的科学观，在知识经济时代理智地对待科学、对待社会、对待人生。阅读这套丛书是对课本的很好补充，是进行素质教育的理想读物。
读史使人明智。在历史的长河中，中华民族曾经创造了灿烂的科技文明，明代以前我国的科技一直处于世界领先地位，涌现出张衡、张仲景、祖冲之、僧一行、沈括、郭守敬、李时珍、徐光启、宋应星这样一批具有世界影响的科学家，而在近现代，中国具有世界级影响的科学家并不多，与我们这个有着13亿人口的泱泱大国并不相称，与世界先进科技水平相比较，在总体上我国的科技水平还存在着较大差距。当今世界各国都把科学技术视为推动社会发展的巨大动力，把培养科技创新人才当做提高创新能力的战略方针。我国也不失时机地确立了科技兴国战略，确立了全面实施素质教育，提高全民素质，培养适应21世纪需要的创新人才的战略决策。党的十六大又提出要形成全民学习、终身学习的学习型社会，形成比较完善的科技和文化创新体系。要全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，我们需要一代具有创新精神的人才，需要更多更伟大的科学家和工程技术人才。我真诚地希望这套丛书能激发青少年爱祖国、爱科学的热情，树立起献身科技事业的信念，努力拼搏，勇攀高峰，争当新世纪的优秀科技创新人才。
引子
20世纪初以来，西方科技和文化大量传入中国，作为西方文明主要源头之一的古希腊文化也迅速在中国知识界产生重要影响。在部分知识分子中，当说到一个概念、一条原理、一种思想，追溯其历史渊源的时候，甚至出现了“言必希腊”的倾向。
这种“言必希腊”的倾向，固然与鸦片战争以来中国人民饱受西方列强欺凌，民族自尊心受到极大伤害，民族虚无主义思潮泛滥有很大关系，但也应当承认，古希腊人在哲学和科学的各个领域的确取得了巨大的成就，对欧洲近代文明的兴起和发展产生了不可估量的影响。不仅如此，古希腊科学家和思想家的科学精神与辉煌成就，仍有如灿烂的明灯，照耀着今天和今后有志献身于科学发展的人前进的道路，并激励着每个青年朋友奋发向上，勇于开拓，积极进取，创造自己美好的未来。
在这部书里，我们将向大家着重讲述古希腊科学家特别是数学家的故事，介绍他们的科学贡献，他们的献身精神和科学态度，和大家一起共同分享他们的喜怒哀乐。应该指出的是：由于年代久远，文献漫天，古希腊科学家的真实的生平事迹很多湮没不彰，现在流传的很多故事已经难辨真假。但是，历经2000年时间洗刷而仍在流传的故事，不正是科学家活在人们心中的真实写照吗？
因此，本书不仅叙述历史学家考证后认为属于真实的材料，也讲述那些与科学家个性相符但未必真实的传奇故事。我们将力图本着我国汉代大史学家司马迁“信以传信，疑以传疑”的准则，并稍作艺术加工，尽量准确生动地反映古希腊科学家的精神风貌和科学成就，也算是向这些对人类文明作过重大贡献的伟人表达景仰之情吧。
从公元前2000年左右到公元前30年，古希腊人以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心，在包括意大利半岛西部、西西里岛、希腊半岛、北非和西亚的整个地中海地区建立了一系列奴隶制国家。特别是公元前8世纪以后，大批的奴隶制城郡兴起，并逐步建立了奴隶主民主政治制度，生产力有了很大发展，经济繁荣，自由的学术气氛得以产生并获得发展。在这样的社会条件下，希腊人创造了光彩夺目的古代文明，在哲学和科学“特别是数学”上取得了极其巨大的成就。余波所及，以至公元前30年亚历山大并入罗马帝国版图后，数学仍得到一定发展，甚至在公元3世纪中叶至4世纪中叶这段时间还出现了所谓古希腊数学的白银时代。
公元前7世纪末以后，希腊逐渐产生了一些哲学派别，造就了一大批名垂青史的杰出哲学家和科学家。他们的成就和贡献不仅促进了后世科学和文化的发展，而且至今仍是我们学习的材料；他们的大名则常常出现在教科书里重要定律和原理的名称中，受到人们永久的纪念和景仰。
神奇预言把兵练
公元前7世纪末，在今伊朗北部的米底五国与两河流域下游的迦勒底人联合攻占了亚述的首都尼尼微，亚述的领土被米底和迦勒底瓜分了。米底占据了今伊朗的大部分土地，仍不满足，想要继续向西扩张，遭到了吕底亚王国的顽强抵抗。双方在哈吕斯河一带展开了激烈的战斗。战争进行到第5个年头，仍不见胜负。残酷的战争给两国人民带来了深重的灾难，生产受到极大破坏，人民生活苦不堪言，到处是尸横遍野，遍地哀鸿。可是双方的统治者仍不顾一切，继续作战。一位哲人预言说：上天反对战争，某月某日将把白天变成黑夜来警告作战双方。到了那一天，两国士兵仍在继续对战，双方打得难分难解，血流成河。突然，白昼变成了黑夜，伸手不见五指，正在酣战的两国兵将大为恐惧，以为真是上天发怒，相信如果再战下去将受到老天严厉的惩罚，于是休兵息战，讲和修好，表示和睦相处，不再兴兵。后来两国还互通婚姻，成为友邦。
这位做出神奇预言的人名叫泰利士（Thales of Miletas，约前624—前547），是最早留名于世的哲学家和科学家。他创立了古希腊最早的哲学学派——伊奥尼亚学派（又称米利都学派）。泰利士生于米利都，父亲艾克萨米斯是卡里亚人，母亲克利奥布林有腓尼基血统。泰利士早年从商，曾游历了巴比伦、埃及等地，并很快学到了那里的数学和天文学知识。后来他又从事过政治和工程活动，研究科学和技术，晚年他潜心哲学研究。
泰利士作出神奇的预言并不是他有特异功能，只是他掌握了一定的天文学知识和计算方法，预测出那天（一般认为是公元前585年5月28日下午3时）会发生日食。战争的结束当然还有政治和经济方面的原因，泰利士的准确预报则提供了一种契机。他看到了战争给人民带来了无尽的苦难，希望尽早结束罪恶的战争，就借口上天反对战争，来促使战争的结束。
泰利士是一个风趣机智的人。《伊索寓言》里有一个故事说：有一个商人用一头驴子驮东西，买卖各种货物。有一次，他到海边去贩盐，买了很多驮在驴背上，赶往山村里去卖，一路走得很顺利。走着走着，他们来到山间，经过一座狭窄的石桥，桥下流淌着一条很深的小溪。商人牵着驮有很多盐的驴子，在溜滑的石桥上小心翼翼地走着，突然驴子一失足滑倒了，一下跌入小溪里去。驴子挣扎着逆水而游，流淌的溪水把驴背上的盐溶化了，冲走了，驴背上的重量越来越轻，最后，只剩下几只空口袋还系在鞍上。驴子背上一身轻，便轻易地上了岸，轻松愉快地向前赶路。不久，商人决定再去贩一次盐。他带着驴子驮着从海边买来的盐，仍然往山村里去卖。不知不觉，他们又来到了那座狭窄的石桥前。驴子想起它曾多么轻易地甩掉了重担，不驮东西走起来真是舒服多了，便故意跌进溪里，在水里挣扎，直到盐给溶化得一干二净才爬上岸来。商人很懊恼，他损失了整整两驮盐，很怀疑驴子是在有意跟他捣鬼。于是他决定捉弄一下这头狡猾的驴子。他赶着驴子又一次来到海边。这回他不是买盐，而是买了一大驮海绵。驴子高高兴兴地驮着海绵向山村里赶去。心想：“这口袋真轻，一到那座石桥就更轻了。”不久，他们来到石桥前，驴子一踏上石桥，就往溪水里滚去，倒在那儿挣扎，等着背上的东西像前两次一样溶化掉。这回轮到驴子倒霉了，海绵不但没有溶化掉随水流走，而且很快吸满了水。驴子感到背上的口袋越来越重，心想：“这是怎么回事呢？不对劲呀！”渐渐地，它只觉身子直往溪底沉下去，终于吃不住了，就不住大叫起来：“救命呀！主人，救命呀！”商人这才弯腰把这头气喘吁吁、口喷唾沫的驴子从水里拉上岸来。“我们回家吧，怎么样？”商人说道，他牵着驴子向山腰走去。驴子迈着缓慢的步子，驮着沉重的口袋，朝山村里赶去，心里很难过地想道：“这回驮东西，怎么比出发时反而加重了一倍？”此后这头驴子再也不敢故伎重演了。伊索的这个寓言，是要告诉人们不要用同样的办法解决不同的问题。据说泰利士有过这样的故事，或许伊索根据泰利士的传说，加工成这个寓言也未可知。
泰利士年轻时到各处经商，见闻广博，他又勤于思考，所以在商业上很成功。据亚里士多德说，泰利士要利用多方面的知识，预见到有一年橄榄必然会获得特大丰收，于是他便先垄断了这一地区的榨油机。事情果不出他所料，那年橄榄真的特大丰收，需要大批的榨油机。于是泰利士自定价格出租榨油机，获得了巨额的财富。
不过，泰利士从商并不是为了致富而致富。据说有人曾讥讽他：如果你真聪明的话，为什么不发财呢？泰利士从商，是为了向人们显示发财并不比研究天文学更困难。泰利士经商发了财，但时时留意各种知识，研究科学问题，最后他终于走上了探索大自然奥秘的道路。
泰利士研究事物非常专注，所以有很大的成就。柏拉图曾记载：有一次泰利士观察天象，探索星体运行的规律，一不小心失足跌进沟渠里去，一位秀丽的色雷斯女仆便嘲笑他说：“你连近在眼前的东西都看不见，怎么会知道天上发生的事情呢？”泰利士的失足，可谓“智者千虑，必有一失”。
泰利士没有结婚。雅典的大改革家梭伦去米利都探望泰利士，问他为什么不娶妻生子。泰利士没有马上作答。几天以后一个陌生人来了，说他10天前从雅典来，梭伦问他那里有什么见闻。他说：“别的倒没什么，只是有一位年轻人的葬礼全城的人都参加了。他们说，他是一位尊贵人物的儿子。这位父亲是全城品行最高洁的人，可是不在家，很久以前就出去旅行去了。”梭伦说：“多么惨的人啊！可他叫什么名字来着？”那人说：“我倒是听说过，可就是忘了。只听说他很英明、很正直。”梭伦被他的每句答话所刺激，恐惧感不断增加，最后他惊慌失措起来，不由得吐出了自己的名字，死死抓住那位陌生人的手问那个死去的年轻人是不是梭伦的儿子。当陌生人点点头时，梭伦悲痛万分不能自禁，双手不住地捶打自己的脑袋。泰利士连忙握住他的手，微笑着说：“梭伦，这就是我不结婚生小孩的原因。你看，这种事就连这么坚强的你都承受不了。不过，这个消息请你别在意，它完全是件虚构的事！”原来，那位陌生人竟是泰利士特意请来这么做的！
泰利士还曾帮助吕底亚克罗色斯的军队渡霍利斯河。据说克罗色斯挥师开往波斯，为霍利斯河所阻，不能前进。正巧泰利士也在军中，他想了一个巧妙的办法。他让士兵们挖了一条半圆形的深水渠，水围在军营的后面，两头与霍利斯河相通。这样河水就分为两部分，军队就能轻而易举地涉过去了。
泰利士不仅在现实生活中表现出少有的睿智，更为重要的是他在抽象理论方面取得了巨大的成就。在哲学上，他创立了希腊历史上第一个学派——米利都学派。他提倡水是万物的始基、本原和实体，认为万物都从水中而来，是水的变形，万物又最后都复归于水。水包围着大地，大地漂浮在水上，不断从水中吸取它所需要的养分。这是从感性直观所把握的千姿百态的具体事物和现象中寻找它们共同的统一的物质基础的有益尝试。虽然这种理论还很幼稚，但这种从统一性和总体性上把握世界的自觉意识，标志着古希腊哲学进入一个新的历史阶段。
泰利士早年经商到过埃及和巴比伦，学会了那里的数学和天文学知识，结合自己的研究，他取得了很大成就。公元5世纪雅典柏拉图学园晚期的导师普罗克洛斯（Proclus，约412—485）说以下定理是他发现的：（1）圆的任意直径平分圆。（2）等腰三角形两底角相等。不过，当时他还没有把角作为具有大小的量看待，只是看成具有某种形状的图形，所以他用“相似”这个词来描述两个角的相等。（3）两直线相交，对顶角相等。（4）有两角夹一边对应相等的两个三角形全等。这个定理系公元前4世纪的欧德莫斯（Eudemus of Rhodes，活跃于公元前335年前后）发现，却归功于泰利士，并说他还利用它测算出船到岸边的距离。可惜具体测法已经失传，数学家只能去推测了。（5）半圆所对的圆周角是直角。据说泰利士从埃及人那里学到几何学后，第一次在圆内作出内接直角三角形，还为此宰了一头牛来庆贺呢。
如果上述记载确实可靠，那么泰利士的几何学成就确实达到了相当高的水平，肯定已掌握了更多的知识。据说他还利用他的几何学知识测定过金字塔的高度。对这点，有的说是他利用人的身高和影子相等的时候，金字塔的高也和它影子相等的道理；有记载则说泰利士在金字塔影子的端点处直立一根杆子，利用塔高与杆子的比等于二者影子长度之比的道理。当然，由于塔尖在地平面上的投影没法直接确定，所以具体的测量要复杂一些。泰利士对金字塔高度的测定使埃及法老雅赫摩斯二世很高兴。这是西方测量术的滥觞，也说明他对相似形对应边成比例的定理有了初步的认识。
泰利士对希腊科学和哲学产生了巨大的影响，毕达哥拉斯就是在他的学派影响下产生出来的杰出人物。
神秘的数
今天，我们都知道万物都是由原子构成的，可在2500多年以前有位哲人却提出一个很奇特的观点，认为不能把事物归于具体的物质，只有抽象的数才是万物的本质。他就是名字被西方人用来命名勾股定理的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯（Pythagoras，前570—前490）生于小亚细亚西岸的萨摩斯岛，父亲谟涅萨尔库是位富有的商人。毕达哥拉斯青少年时代就热衷于学术活动，又对宗教的神秘仪式和祭典怀有浓厚的兴趣。他曾在爱琴海中的锡罗斯岛求学于费雷西底。后来他又来到米利都求学于泰利士。泰利士发现毕达哥拉斯聪颖好学，领悟力极强，而自己年事已高无法亲自施教，于是便把他介绍给自己的学生安纳克西曼德，并劝他也像自己一样到埃及去游学。公元前540年前后，毕达哥拉斯渡海去埃及游学，学习和通晓了古埃及语言、文字及各种知识，后又当过埃及僧侣，参加了埃及神庙中的祭典和秘密入教仪式。约过了10年，毕达哥拉斯被波斯国王从埃及虏往巴比伦等地，他在那里约待了5年的时间，和当地的僧侣有过交往，学习了那里的科学和哲学知识。约公元前525年左右，他回到萨摩斯岛开始讲学，并游历了希腊本土及克里特岛，考察法律和政治制度。约公元前520年，为了摆脱波利克拉底的暴政，毕达哥拉斯和母亲及唯一一个弟子离开萨摩斯，移居西西里岛，最后在克罗托内（意大利半岛南端）定居。在克罗托内，他广收门徒，建立了一个集宗教、政治和学术于一体的组织——毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯在政治上成了当地保守贵族政体的决策核心。毕达哥拉斯初到克罗托内就受到欢迎，被邀请对当地的青年、妇女和儿童作演讲。在热心的听众中有房主米洛的女儿西雅娜，这位绮年玉貌的姑娘被毕达哥拉斯迷住了，后来成了他的妻子，还给他写过传记，可惜早已失传了。
毕达哥拉斯学派宗教组织很严密。它的信徒分为两等。一等是普通听众，占大多数，他们只能听讲，不能提问，更不能参加讨论，得不到高深的知识。另一等才真正是这个学派的成员，这种成员名称的原意是掌握了较为高深知识的人，它后来演化为数学家，这就是欧洲文字中数学一词的来源。
毕达哥拉斯学派对其成员有很高的要求，他必须有一定的学术水平，接受长期的训练和考核，加入组织时要宣誓永不泄露学派的秘密和学说，严格遵守学派的清规戒律，同时通过一系列神秘的宗教仪式，以求达到“心灵的净化”。由于和政治结合在一起，毕达哥拉斯学派曾在克罗托内掌权约20年，其影响达到整个南意大利、甚至西西里岛，但他遭到两股政治力量的反对。在公元前5世纪初和公元5世纪中叶前后受到两次严重的打击。据亚里士多德的记载，毕达哥拉斯本人预感到以摩隆为代表的上层贵族会发动政变，就事先逃到另一城邦梅塔蓬图，后来他竟饿死在那里的一座文艺女神缪斯的神庙中。
毕达哥拉斯本人没有留下著作，学派的学术创造只在内部练习，对外则是秘而不宣的。所以早期只有少数成果流传于世。后来学派的组织逐渐分散，放弃了保密的信条，他们的成果才逐渐为较多的人们所知。
与泰利士把水、泰利士的学生安纳克西曼德把“不定型”作为万物的始基不同，毕达哥拉斯认为抽象的数是万物的始基（不过这个“数”只是我们今天的正整数，至于其他的数都是正整数的比，是从正整数派生出来的）。它先于可感知的万物，万物以数为模型，是模仿数派生出来的，没有数就不会有任何一种东西存在。任何一种东西之所以能够被认识，就在于它包含有一种数。数可以脱离其他事物而存在，也可以脱离其他事物而被认识，但不认识数就不能真正认识万事万物。所以毕达哥拉斯学派非常崇拜数，十分注意事物中量的关系。当然，要脱离具体事物而认识数是虚妄的梦想。所以毕达哥拉斯学派对数的认识是唯心的、先验的，他们不可能真正认识数的本质，只能在研究具体问题时把其中的数量关系归结于他们关于数的神秘信条；因此，当他们发现不可公度时，就惊慌失措了。
毕达哥拉斯学派基于数是万物本原的信条，把所有学习课程分为四大部分：1.数的绝对理论——算术；2.数的应用——音乐；3.静止的量——几何；4.运动的量——天文。合起来叫做“四道”或“四艺”，这和中国古代儒家以礼、乐、射、御、书、数为“六艺”之说有些相似。
据扬布里可记载，有一次，毕达哥拉斯经过一家铁匠铺，听到铁匠打铁的叮叮当当的声音，发现有时有两个音非常和谐，善于思考的他马上意识到这里存在什么奥秘。于是他比较了不同重量的铁锤敲打时发出的谐音的比例关系，进而又测定了各种音调的数学关系。后来，他在琴弦上做进一步的试验，找出了八度、五度和四度音程的关系。他发现如果一根拉紧的弦弹出一个音（例如do），那么它的一半长度弹出的音比刚才的音高八度，它的2/3弹出一个高五度的音。这几个音是谐和（调和）音，一起弹出来时就非常悦耳。把弦的长度1/2，1/3，1这3个数取其倒数时便得到2，3/2，1，它们显然成等差数列，那么弦长组成的数列就被叫做调和数列。这就是调和数列一词的起源。毕达哥拉斯研究了音程在什么情况下和谐，什么情况下不和谐。他把音程归结于数，因为音程在于一个量与另一个量的比较。毕达哥拉斯关于音律的研究具有重大的历史意义，被有的物理学史家认为是“物理定律的第一次数学公式表示，完全可以认为是今天所谓理论物理发展的第一步。”
毕达哥拉斯学派认为10是最完美的数，它由1、2、3、4这前4个自然数组成。而1代表点，2代表线，3代表三角形，4代表四面体。1是最基本的，所以他们认为数产生出点，点产生出线，从线产生出平面图形，从平面图形又产生出立体图形。而从立体又产生出可感觉的4种元素水、火、土、空气。这4种元素以各种不同的方式互相转化，于是产生出我们这个有生命的世界的万事万物。毕达哥拉斯学派认为圆和球是最完美的形体，所以他们认为日、月和五星及其他天体都呈球状，悬浮在太空中，它们运行的轨迹也是圆形的。毕达哥拉斯原来认为地球是宇宙的中心，但他的门徒后来放弃了这一主张，而认为地球围绕“中心火”旋转。他们认为数10是最完美的，宇宙总是按照最美的方式构成，所以宇宙中的天体必然是10个。但中心大，加上地球、日、月、五星（金星、木星、水星、火星、土星）才9个，于是他们设想有10个天体“对地”存在着，这样就正好凑足10个天体。由于地球人居住的半球是面向中心火和对地的相反方向，所以人类永远也看不到这两个星体。不过，有些毕达哥拉斯学派的成员放弃了存在中心火和对地的假说，把它直接理解为地球或太阳。
如果一个自然数等于它本身以外的所有因子之和，如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14等等，那么这个数叫做完全数。完全数的存在是毕达哥拉斯学派的重大贡献。在欧几里得《几何原本》中，有这样一个23nn2n定理：如果1+2+2+2+……+2是素数，那么2（1+2+2+……+2）是n2n2完全数。显然，2（1+2+2+……+2）除本身外的所有因子1，2，2，n2n2nn-1……，2；（1+2+2+……+2），2（1+2+2+……+2），……，22n（1+2+2+……+2），它们的和为因此nn-12（1+2+……+2）确是完全数。这里用到了等差数列求和公式1+2+n-1n……+2=2-1，而它却早已出现在毕达哥拉斯学派的著作中，因此有nn-1n人推测毕达哥拉斯可能已经知道：当2-1为素数时，2（2-1）是完全数。活动于公元100年前后的尼科马霍斯给出了4个完全数6，28，496，8128，它们都满足上述性质，他指出这是完全数的一般性规律。18世纪的瑞士大数学家欧拉证明每一个偶完全数n都具有形式p-1ppn=2（2-1），这里p和2-1均为素数。有关完全数的问题很多，有的至今没有得到彻底解决，如是否存在无穷多个偶完全数，是否存在奇完全数，等等。
亲和数是毕达哥拉斯另一发现。284除它自身之外的所有因子之和为220，而220除它自身之外的所有因子之和又是284，这样一对数叫做亲和数。毕达哥拉斯认为亲和数象征着友谊。当别人问“朋友是什么”时，他回答说：“另一个自我。”亲和数不大好找，第2对亲和数直到17世纪的费马才找到，这就是17296和18416。1750年，欧拉写出了60余对亲和数（包括以前已知的）。现在已知的亲和数已达千对以上。
形数是毕达哥拉斯学派的又一重要贡献。他用点代表1，组成多种图形。如图1，3，6组成的点数叫三角形数，第1个为1，第2个为1+2=3，第3个为1+2+3=6，第N个为1+2+3+……+n=（2n-1）。222
而正方形数，即平方数，它们分别是1，2，3，……，n……。
有趣的是，当我们用曲尺形按不同的方式分隔的时候，便得到不同的求和式。如第1个曲尺形围的点数为1，第1、2两个曲尺形之间围的点数为3，……第（n-1）个和n个曲尺形之间的点数为（2n-1），22它们的和显然是n，于是有1+3+5+……+（2n-1）=n。当曲尺形放在偶数的周围时，围出的点数分别是2，4，6，8，……2n，再加上最外2没有围上的点数（n+1），便得到全部点数（n+1），于是有2+4+6+2……+2n+（n+1）=（n+1）。
毕达哥拉斯学派最为脍炙人口的贡献是勾股定理，以至西方世界一直把它称为毕达哥拉斯定理。一般认为，他们的发现是：在直角三角形的斜边上所作的正方形等于在两条直角边上所作的正方形之和。这里所谓相等是说直角边上的两个正方形通过割开重新拼补，可以得到斜边上的正方形。设a, b，c分别是直角三角形ABC的三条边，以（a+b）为边作正方形，它由AB上的正方形加4个△ABC组成。还可以看出，大正方形由AC和BC上的正方形I、II加上两个矩形组成，而这两个矩形正好是4个直角三角形ABC，于是I+II=III。这是对毕达哥拉斯如何证明这个定理的一种推测，原来的证明方法已经失传了。
现在的资料表明，早在公元前1700年左右巴比伦就已经知道了勾股定理，比毕达哥拉斯早了1000多年。由于毕氏本人去过巴比伦，有人推测他是从巴比伦人那里学来的。不过，传说毕达哥拉斯学派把勾股定理作为他们的伟大成就，并宰了一头牛来祭神（有人认为这不可信，因为他们反对以动物作为牺牲的），从这欣喜若狂的情况看，也许是毕达哥拉斯学派重新发现了这个定理，或者至少是找到了证明的方法。中国人对这个定理有自己独特的贡献。公元前1000多年的商高就知道了勾三股四弦五的特例，后来陈子又指出勾平方与股平方之和开平方后得到弦，这便是今天中学教材中勾股定理的表达方式，由于陈子的年代难以确认（有人认为在公元前六七世纪），我们把它称为勾股定理是比较合适的。
在数学史上，最让人伤脑筋的事情之一是不可公度的发现。不过，由于年代久远，他们是怎样获得这一发现的事迹都已难确认，流传至今的说法很多，比较流行的一种是：用辗转相截的方法寻求正方形的边与对角线的公度（边和对角线都等于公度的整数倍），结果发现根本不存在这种公度：
若AC是正方形ABCD的一条对角线，现在要求AC与边AB的公度。先在AC上截取AM=AB，作EM垂直AC于M，交BC于E，显然CM=ME=BE。AC截去等于AB的一段AM之后余下的一段为CM, CM＜CE＜BC=AB。现在在ABC上截取一段等于CM，因AB=BC，故在BC上截取。因CM=ME=BE，故BC上截去等于CM的一段之后余下部分为CE。CE正好是以CM为边的正方形之对角线，于是情况又和开始从AC上截取等于AB的一段完全一样，以下的步骤只是重复上述的手续而已。这样，这种程序就永远不会完结，而如果有公度则会在有限步骤之后完结，所以AC和AB必然不存在公度。
不可公度的发现表明有的量不能用整数或分数来表示，这与毕达哥拉斯学派“万物皆数”的教条相矛盾，致使他们惶恐不安。由于找不到消除这种矛盾的办法，他们就企图通过保密来掩盖这事实。但这种掩耳盗铃的做法当然无济于事，不可公度的事还是传了出去。毕达哥拉斯学派讨论比和比例问题，只限于可公度的量，对不可公度是回避的，后来欧多克索通过探索，建立了通用于可公度量和不可公度量两种情形的比例理论，在很大程度上去掉了数学家们的一块心病。
毕达哥拉斯学派把一切发明都归功于学派的领袖人物，而且对外保密，这在一定意义妨碍了科学的传播与发展。由于与宗教、政治纠缠在一起，毕达哥拉斯学派具有相当浓厚的神秘主义和唯心主义色彩。尽管如此，他们承认并强调数学对象的抽象性，在证明命题方面作出了重大推进，强调数形结合，对数学的发展作出了重大贡献，使数学逐渐成为一门独立的学科，这的确是功不可没的。
2000多年来的三大难题
谈到数学，人们往往首先想到各式各样的难题，著名的数学家陈景润就因为对哥德巴赫猜想这个世界难题的解决起了重大的推进作用而名扬四海。不过，吸引参加人数最多的难题恐怕要数几何作图的三大难题了。在公元前5世纪，就有人试图求解这种难题了。虽然人们不可能解决这三大作图难题，但寻求对它们的解决无疑推动了数学的发展，这就是难题的魅力所在，也是难题的价值所在。
几何作图的三大难题是：1.化圆为方——求作一个正方形，使其面积和一已知圆相等；2.三等分任意角；3.二倍立方体——求作一立方体，使其体积等于一已知立方体的二倍。关于二倍方立体问题，据说与一神话有关：爱琴海南部有一个小岛德洛斯遭到了鼠疫的袭击，疫病夺走了很多人的生命，并随时威胁着尚未染上鼠疫的健康人。人们想尽各种办法，也未能阻止鼠疫的继续蔓延。正在不知所措、濒于绝望时，有一位先知者出现了，他声称得到了神的谕示，有一条途径可以禳灾。人们急切地问他是什么办法，他说建造一个新的立方形祭坛，使它的体积为原立方形祭坛的2倍，在此祭坛上祭神，瘟疫就可以停息。于是大家找到建筑师，要求他马上兴建。可是建筑犯难了，因为他不知怎样才能使祭坛的体积加倍。全岛的人都去想办法，但都没有找到办法。于是有人提议去请教大哲学家柏拉图（Plato，前427—前347）。柏拉图说：神的真正意图并不是要把祭坛的体积加倍，而是要让希腊人为忽视几何学而感到羞愧。
这三大难题之所以难，就难在作图工具限制在直尺和圆规的范围内。所谓直尺，就是没有刻度、只能画直线的尺。限制只用直尺、圆规作图，实际是强调用最少的基本假设，得出最强的结论。这种限制的关键在于在基本假设的前提下揭示作图的可能性和操作步骤，至于实际的图形，由于画出的点线总是有一定大小和宽度，也许用别的工具反而可以画出更精确的图来。
在古希腊，有一个巧辩学派，他们以教授学生雄辩术、修辞学、文法、逻辑、数学和天文等学科为职业。巧辩学派的学者很多都致力于用数学来揭示宇宙运行的奥秘的研究，而其中不少人对几何作图的三大难题情有独钟，虽然没能解决，却获得了很多副产品。
不过，米利都学派的安纳克萨哥拉（Anaxagoras，前500—前428）才是最早研究化圆为方问题的学者。他一心追求科学，而无心去照管自己相当数量的财富。有这么一个故事，有位农夫带给安纳克萨哥拉的朋友、著名政治家伯里克利一个前额长着一只角的公羊头，预言家朗彭把这解释为伯里克利和修昔底德（当时的贵族领袖，不是著有《伯罗奔尼撒战争史》的同名历史学家）争夺最高权力的斗争，谁获得胜利谁就得到公羊头。可安纳克萨哥拉却打开了公羊头，并做了一篇关于解剖学的简短讲演，解释了产生畸形的种种原因。这种书呆子式的举动，表现了他对当时流行的预言反感和反对迷信的立场，也是回避尖锐政治问题的一种处理方法，尤其表现了他热爱科学、献身科学的忠贞不渝的崇高精神。尽管安纳克萨哥拉与世无争，但伯里克利在政治上失利时，安纳克萨哥拉还是受到牵连。他被指责为对神大不敬，因为他主张太阳是一大块红热的石头，月球则是泥土，本身不发光，月球的光亮来自太阳。他被投进监狱，罚款并流放，还差点被处死。在监狱里他还潜心研究化圆为方的问题，可惜他的成果没有
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]