作者：王远山
出版社：南京大学出版社
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关于数学的100个故事试读：
前言
数学在人类茹毛饮血的远古时代就诞生了。在从事各类生产活动过程中，人类学会了用抽象的符号来度量数量和计算，用简化的图形来描绘事物和表达，以至于在几千年前就累积了许多数学知识，并且有意识地使用。
作为人类文明的结晶，数学和人类历史一样不断发展，成为每一个阶段的人们认识世界和改造世界最有力的工具之一。毫不夸张地说，人类对数学掌握的程度，决定了人类文明的层次。
在科学技术高度发达的今天，数学在所有学科的发展中，成为披荆斩棘的先行者，任何一门自然科学和相当一部分社会科学，都因大量使用了数学学科的成果和研究方法而得到发展，成就了现代文明。与此同时，数学分类越来越多，内容也越来越抽象，甚至只能用简略的符号进行形而上的表达。不可否认，世界上绝大多数人的认知仍然难逃具象的范围，难以理解抽象的符号和其中表达的深刻含义，加上数学的研究和发展已经远远超过日常生活的范畴，绝大多数人也无法窥测和理解数学的宏大和瑰丽。这就使社会上出现了“数学是否应该退出大学考试”和“数学无用论”的争论。
为了改变多数人对数学的不理解，笔者按照时间顺序挑选并撰写了关于数学的一百个故事。这一百个故事涵盖了传说中的远古时代、古希腊时期、古罗马帝国时期、文艺复兴时期、近代和现代，着重讲述了数学的每一个知识如何诞生，如何发展，如何分化，又如何引出了更多的数学概念，在讲述上避免抽象的陈述，力求还原当时人类对数学的思考。这样，读者就可以了解和把握每一个数学概念诞生的原因和发展的脉络。同时，这一百个故事也覆盖了数学中几乎所有的主要分支学科，早期的计数、算术、测量和数论，中期的分析学、代数学和几何学、后期研究对象的分化和研究方法交叉使用诞生的代数拓扑学、微分几何学等在本书中都有涉及。
在本书的最后，笔者写到了一些著名的数学家，他们在数学史上熠熠生辉，但在数学圈之外却鲜为人知。这些数学家来自各个年代和不同国家，有着不一样的人生和精彩的故事，但相同的是，他们都为数学和人类文明的发展做出了不朽的贡献，努力实现人类在数学上的宏愿——超越人类极限，做宇宙的主人。
本书适合对数学有兴趣的专业和非专业人士，不论是寻找课外书以开阔视野的中小学生、对数学有大致了解从事各类工作的成人，还是数学学习者和数学史研究人员，阅读本书无不适宜。而更多先进的研究方法、抽象的描述和现代数学的最新进展，由于篇幅有限、内容过于抽象、小众及其笔者水平有限等原因，就不在本书中赘述。
笔者真心希望每一位读者都能在本书中获取到有益的知识。在阅读本书后，读者如果能燃起对数学的热情，甚至投身数学研究事业做出一番贡献，那更是善莫大焉。自序
自毕业以来，笔者一直从事课外辅导培训工作，讲授从小学到高中各个年级数学和奥林匹克数学竞赛的课程，同时为各类数学报刊和研究所培训学校编撰试题。从事教育事业的十年来，笔者认识了很多热爱数学的学生，他们对数学的热情和对未知的探索精神让笔者深深感动，但更多的却是热衷各种网络游戏、手机游戏，只想着应付数学考试的学生。
这种现象让我想起了小时候，那个年代手机和网络是新鲜玩意儿，条件好的家庭可能会配置一台价格昂贵的计算机，而大多数条件普通的家庭甚至买不起任天堂的红白机，如果能到游戏店买几个游戏币都是很奢侈的。在那种物质并不充裕年代，数学题就成了我们的玩具，很多同伴不仅不畏惧解题的困难，甚至以解题为乐趣。而这种风气在成年人圈中更甚，说起哪个孩子数学好，很多家长都会非常羡慕，因为在成年人的心里，数学好和聪明是画等号的，被评价数学好，是对自己孩子最大的褒奖。
笔者在大学读了数学系，发现之前学习的大多数数学知识都不能称为数学，只能勉强称为算术。真正的数学宏大、抽象和深刻，让笔者相见恨晚，又庆幸自己在挑选科系上做出正确的选择，于是把大多数时间都投入到数学学习中，力求在短短的几年接受人类几百年的成果。虽然在毕业以后，笔者并没有从事数学研究而选择了数学教育工作，但始终关注着数学界的进展，并和从事数学研究的同学保持着联系。而这些，都是源自对数学的热爱。
这种热爱在现在的很多学生看来似乎不可理喻：明明有那么多好玩的东西，为什么非要在艰深抽象的数学上“浪费”时间？而笔者很清醒地知道，数学就像一座高峰，只有不畏艰难险阻到达峰顶，才能俯瞰美丽的景色，而在山脚下徘徊，自然不明白数学的乐趣，自然也无法理解数学对思维的训练作用，笔者能在业余时间快速地学习和掌握网页程序设计、actionscript动画程序设计和android开发等计算机技能，都是拜系统的数学学习和训练所赐。
在讲课之余，笔者为多家图书公司撰写并出版了多本社会科学类、生活类等书籍，这些工作看似与数学教育和数学研究风马牛不相及，只是一个兴趣爱好，满足笔者看到文档变成铅字的虚荣心。然而在2014年，笔者接到红蚂蚁公司编辑韩老师的邀请，撰写《关于数学的100个故事》。这是一个把我的工作、写书的副业和对数学的热爱结合在一起的一项任务，也是向大众普及数学知识的一项有益的工作，于是我欣然接受。
在写作中，笔者经常沉浸在浩瀚的数学世界里不能自拔。本书虽然不能称为呕心沥血之作，但笔者至少也尽心尽力，倾注了全部热情。看到书的完成，就像看到自己孩子诞生一样，真心希望本书与读者尽快见面。目录
前言
自序
第一章 数学的形成 1 始创于伏羲与女娲 结绳计数与标尺的应用2 泥板上的文字 古巴比伦数学的开端3 写在莎草纸上的数学 古埃及的数学4 阻止战争的日食 泰勒斯和沙罗算法5 万物皆数的惨案 毕达哥拉斯学派6 源自印度的阿拉伯数字 印度数学的十进制7 数学与宗教的结合 印度数学的《绳法经》8 齐桓公与九九歌 春秋时期的数学
第二章 数学的分化 9 飞矢不动 埃利亚学派的诡辩10 墓志铭上的难题 代数学的开创11 贾宪与杨辉三角 二项式系数展开图12 平面几何学的集大成 《几何原本》13 周公与商高的对话 《周髀算经》与勾股定理14 算术基本定理 初等数论的诞生15 来自星星的学科 希腊三角学的发展16 米诺斯国王子的坟墓 古希腊三大几何作图问题17 《海岛算经》 中国最早的测量数学著作18 震惊世界的计算方法 测量地球周长19 巴尔干半岛几何的最后闪光 圆锥曲线20 古希腊数学的灭亡 希帕蒂亚之死
第三章 中世纪和文艺复兴时期的初等数学 21 保留数学文明的火种 伊斯兰数学22 代数学之父 阿尔·花拉子米23 黑暗时代的数学曙光 斐波那契的兔子和代数24 建筑师也是数学家 投影几何的诞生25 意大利的数学竞赛 三次方程的解法26 无法调和的科学和神学 帕斯卡的悲剧27 密码专家和他的未知数 符号系统的产生28 虚无缥缈的数字 虚数与复数域29 笛卡尔家的蜘蛛 直角坐标系的诞生
第四章 分析学的发展期 30 不断发展的数学概念 函数和映像31 对信号和波的研究 傅里叶分析的由来32 高等数学的起点 微积分的诞生33 众人拾柴火焰高 微积分基础的完善34 关于微积分的尝试 威力巨大的微分方程35 无穷多个数相加是多少 级数的发展36 一根绷紧的弦如何振动 偏微分方程的发现37 对微积分的修补 实变函数38 复数也能做变数 复变函数的诞生39 始创于最速降线 变分法的出现40 抽象的映射有什么特点 泛函分析的诞生
第五章 几何学与拓扑学的发展 41 “以算代证”证明命题 解析几何的诞生42 可以变形的图形 仿射几何43 用微积分来解决几何问题 微分几何的诞生44 用代数研究几何 代数几何的历史45 第五公设的难题 非欧几何的诞生46 几何学的统领 广义黎曼几何47 海岸线有多长 分形几何学48 七桥问题和四色定理 不在乎形状的拓扑学49 用点的集合研究拓扑学 点集拓扑学50 一百万美元的问题 代数拓扑学
第六章 数论的发展 51 初等数论的核心 整除和同余理论52 几千年的努力 寻找质数的规律53 韩信点兵 中国剩余定理54 这个猜想没那么重要 哥德巴赫猜想55 用分析学研究数论 解析数论的诞生56 费马的难题 代数数论的诞生57 不能用代数方程解出来的奇怪数 超越数论58 怀尔斯的最后一击 费马大定理的解决
第七章 代数学的发展 59 输油管线的问题 最小二乘法60 计算线性方程组的方法 高斯消去法61 天元术和增乘开方法 一元高次方程的列式和求解62 朱世杰和四元术 四元四次方程组的求解63 来自幻方的数学 矩阵和行列式64 基、向量和空间 线性代数65 多项式代数的用途 几何定理的机器证明66 方程的根有什么特点 奇思妙想的近世代数67 近世代数的三个研究对象 群、环和域68 代数的集大成 泛代数
第八章 概率与统计学的发展 69 赌徒的难题 古典概率的诞生70 用函数来表示可能性的大小 概率分布71 柯尔莫哥洛夫的贡献 概率论公理化72 对随机现象的研究 随机过程中的马尔可夫过程和时
间序列分析73 概率在生活中的应用 数理统计学74 如何选取研究对象 抽样的方法
第九章 其他数学分支的发展 75 引发第三次数学危机 公理化集合论的产生76 长度、面积和体积的推广 测度论是什么77 追根问底的数学 数理逻辑是什么78 与计算机密切相关 组合数学是什么79 多少岁的人算老人？ 模糊数学是什么80 数学在工程上的应用 计算数学是什么81 用数学做出最优的决策 运筹学的发展
第十章 著名的数学家和数学团体 82 与康熙有私交的数学家 莱布尼茨83 伟大多产的数学家 欧拉84 微分几何之王 陈省身85 不为政治折腰的数学家 柯西86 英年早逝的天才 伽罗华87 数学界的无冕之王 希尔伯特88 悖论的最终解决 哥德尔89 数学、物理和计算机全才 冯·诺伊曼90 住在原始森林里的天才 佩雷尔曼91 华人数学之光 陶哲轩92 ABC猜想 望月新一93 爱因斯坦的数学老师 闵考夫斯基94 迟到的学生 丹齐格
第十一章 数学学派、数学大奖与数学竞赛 95 世界数学的摇篮 哥廷根数学学派96 斯大林的秘密武器 苏联数学学派97 新兴的数学中心 普林斯顿数学学派98 国际数学三大奖 菲尔兹奖、沃尔夫数学奖、阿贝尔
奖99 群星璀璨 数学各分支重要奖项100 青少年的数学战场 国际数学奥林匹克竞赛1始创于伏羲与女娲结绳计数与标尺的应用
传说在上古时期的中国，有一个叫作“华胥国”的国家。
一天，一个华胥国的姑娘到雷泽玩，路上看到了一个巨大的脚印，不谙世事的姑娘好奇地踩了一下，没过几天就有了身孕。十二年后姑娘生下了一个儿子，这个儿子人首蛇身，取名伏羲。
伏羲天资聪颖，品德高尚，他团结华夏各个部落，为人类开创了先进的文明。相传伏羲还是中国医药学的创始人，发明了音乐，教会人们狩猎和捕鱼，不仅如此，他还根据编渔网时的打结，发明了结绳计数。伏羲是中华民族人文始祖，是中国古籍中记载的最早的王
在结绳计数之前，人们还没有发明数字去度量自己拥有的财产。早上打开圈门放牲畜的时候，他们绝对不敢一股脑儿地都轰出来，只能在地上画个圈，每放出去一只牲畜就在圈里放一块石头，直到圈里的牲畜都走光了，圈里就堆满了石头；等到傍晚赶牲畜进圈，每进去一只牲畜，他们就从圈里拿走一块石头，等到圈里的石头被拿光了，牲畜也就全部进去了。尽管这种一一对应的方法很直观，但对习惯到处放牧的原始人类来说不太方便，毕竟大数量的小石头不是任何地方都能找到，而且携带起来也很不方便。
在编渔网的时候，伏羲教人们用绳子打结计算数量。每天早上放出一只牲畜就在绳子上打一个结，傍晚回来一只牲畜就解开一个结，以此计数。和摆小石头相比，绳子便于携带，绳子上的结也便于保存，所以结绳计数成为早期人类的计数方式。
女娲是伏羲的妹妹，和伏羲一样，女娲也是人首蛇身，天赋异禀。她不仅练就七彩神石补天，还取地面的黄土造人，创造了世界万物。北宋《太平御览》一书中记载，女娲在正月初一造了鸡，初二造了狗，初三造了猪，初四造了羊，初五造了牛，初六造了马。到了初七女娲看了看周围，一片生机盎然，却总感觉少点什么。于是她就按照自己的样子捏了很多泥人，并施加神力，使之成为人类。为了让人们持续繁衍，靠自己的能量“造人”，女娲与伏羲创造了婚嫁制度，向人类传授了生殖能力，从此人们就在大地上繁衍开来，并尊崇女娲和伏羲为生殖之神。伏羲女娲图
根据古代文献记载，女娲和伏羲蛇身缠绕，上身分开，伏羲手拿矩尺，女娲手持圆规，他们用矩尺和圆规来衡量天地，创造万物。《孟子——离娄章句上》有“不以规矩，不能成方圆”之说，充分说明了古代人民已经知道了矩尺和圆规在数学中重要的作用。
伏羲和女娲的故事是否真实，他们是否真正创造了结绳计数和矩尺应用值得商榷，但不可否认的是，中国人在很早就开始懂得了使用矩尺和圆规进行生产活动，开启了数学文明。此外，除了中国，很多国家的古代文明都不约而同地创造了结绳计数以及圆规和矩尺。在古希腊的传说中，圆规的发明者是塔洛斯；而在古代埃及，工匠们就采用绳子打结的方式进行计算，甚至利用到盖房子上。这些自发的数学活动充分说明了人类在早期发展时对于数学的认知完全相同，而这种相同也一直影响着后来数学的发展。结绳计数发展成为代数学，而矩尺的应用也推动了几何学的诞生。小知识古代中国认为“天圆地方”，即天就像一个球形的锅盖，扣在方形的地面上，女娲手持圆规测量天空，伏羲手握矩尺测量大地，朴素的思想导致了这两种工具的诞生。2泥板上的文字古巴比伦数学的开端
公元前3500年左右，幼发拉底河和底格里斯河贯穿的美索不达米亚平原上生活着苏美尔人。在几十个世纪的发展中，苏美尔人创造了高度发达的文明，他们不仅有先进的铸造技术，还在黑色的玄武岩上刻下了世界上第一部法律——《汉谟拉比法典》，同时发明了适合书写的工具——“泥板书”。苏美尔人的国家——古巴比伦，也因此成了人类最早期的奴隶制国家。
考古界广泛流传着关于苏美尔人的传说，但两河流域断断续续的发现却不能激起考古界对古巴比伦的兴趣，直到1872年刻有《汉谟拉比法典》的石柱出土，考古学家们才把目光都集中在这片神奇的土地上。在古巴比伦遗址中挖掘出土了大量刻有楔形文字的泥板，而在这些泥板上有大量关于数学的信息。巴比伦数字出现于公元前3100年左右，为目前已知最早的位值制数字系统
相传，古巴比伦是希腊文明的源头，很多古希腊早期的哲学家和数学家都有在这里学习的经历，那么古巴比伦的数学发展到什么程度呢？
由于古巴比伦有着先进的灌溉系统，他们的农业也非常发达。吃不完的农产品常常用来向周边的国家放贷，他们的数学就在放贷中发展起来。因为要计算利息，所以相较加减法，他们更重视对乘法的应用，比如要计算34×7，他们创造性地使用了30×7再加上4×7的方法，这就是后来的乘法分配律；而对于加法，古巴比伦甚至没有记号表示。为了利用乘法分配律快速算出乘法，古巴比伦甚至编写了1×1到60×60的乘法表。
看到这里，有的人会有疑问：我们背诵的乘法表到9×9为止，为什么古巴比伦要费力地编写到60呢？实际上，古巴比伦采用的是六十进位。我们常用的十进制，一旦数到了9，再加1就需要进一位，变成10。而古巴比伦用一个符号写到59后，再加上1才能进一位变成两个符号。另外，古巴比伦人在计时上先进于其他国家，所以我们现在使用的时间也是采用六十进制——每六十秒为一分钟，每六十分为一小时，角度也是如此，每一度角可以分为六十分。
除了乘法表，古巴比伦还有先进的倒数表、平方表、立方表和开方表。在耶鲁大学博物馆珍藏的一块编号为7289的泥板上，记载着的近似值，按照十进制进行换算，结果为1.414213，已经达到了非常高的精度。为了计算复利，古巴比伦放贷的商人们甚至随身带着刻着指数表的泥板，他们乘法计算的普及程度可见一斑。
古巴比伦利用放贷的方式与外国进行经济合作，而对内的分配也丝毫不含糊。另一块泥板记录了这样一个问题：兄弟十人分三分之五米那的银子（“米那”是古巴比伦的重量单位，1米那＝60赛克尔），相邻的兄弟两人所分的银子之差相等，而且老八分得的银子是6赛克尔，求每个人分得的银子数量。这个问题说明了古巴比伦已经熟练掌握了相邻数之差相等的数列，即等差数列。在出土的泥板上类似的例子不胜枚举，充分显示了古巴比伦人极高的算术和代数水平。
除此以外，古巴比伦人的几何也达到了相当发达的程度，他们不仅能算出圆周率的近似值，还能求出柱体和棱台的体积，他们知道毕氏定理，甚至会计算三元二次方程组。在天文学上，古巴比伦人通过大量的观察和计算，制定出严谨的历法，我们现在使用的十二个月就是来自古巴比伦历法。由于更多的楔形文字并没有被完全解读出来，所以考古学家和数学史专家认为，古巴比伦人还有更多的文明和数学水平不为人所知，而解读剩下的“泥板书”也成为考古学家的重要课题之一。
作为四大文明古国之一，古巴比伦高超的数学水平影响着周围的国家，见贤思齐的古希腊人从古巴比伦学到了数学，并且把这些知识带入了巴尔干半岛，形成了独特的古希腊文明，最后传遍了整个欧洲。因此，从某种意义上说，古巴比伦是西方文明最初的发源地。古巴比伦遗址在现在的伊拉克境内，和六千年前的辉煌相比，现在的两河流域战火连连，冲突不断，民不聊生，这种反差真是令人唏嘘不已。小知识古巴比伦人用草根在泥板上刻划文字。这种文字像木楔的形状，因此被称为楔形文字。他们把刻好楔形文字的泥板放在火中烧干烧硬，便于携带和保存，以至于几千年后的今天，上面的文字还清晰可辨。3写在莎草纸上的数学古埃及的数学
发源于埃塞俄比亚高原上的尼罗河是世界上最长的河流，在蜿蜒六千七百公里后，尼罗河在埃及注入地中海。对埃及人来说，尼罗河赋予了他们丰富的水资源，灌溉着两岸的土地，孕育了尼罗河河谷和古埃及文明，尼罗河是名副其实的“埃及母亲河”。
安详的尼罗河有时也会“发怒”。每年六月份尼罗河开始涨水，到了九月份达到最大流量，对没有现代水利工程的古埃及人来说，这样周而复始的洪水就是一场灾难。洪水过后，肥沃的土地渐渐从水下露出来，界碑早就被冲得不见踪影，为了解决土地丈量问题，高超的几何学和测量学在古埃及的奴隶主阶层中诞生了。鹰神荷鲁斯为拉美西斯二世沐浴祈福
莎草纸是古埃及人常用的书写工具，在出土的一张莎草纸上记录了这样一段内容：法老拉美西斯二世把土地分成大小相同的正方形，然后分给每一个埃及人，同时，他规定支付年税作为国家收入的来源。如果一个人的土地被河水冲走，他可以找法老申报，然后法老会派人调查并测量减少的土地数量，测量之后，这个人就可以按照剩下土地的比例进行缴税。从这段话看出，古埃及人已经能熟练地使用几何工具进行土地测量了。
此外，古埃及人在建筑上也有很高的造诣，举世闻名的金字塔就是他们杰出的建筑成就之一，有的莎草纸显示，古埃及人已经懂得了类似于金字塔形状的正四棱台的体积计算。莫斯科美术博物馆珍藏的莎草纸——莫斯科莎草纸上面记录了二十五个数学问题，其中有一个问题是这样的：“你这样说，一个正四棱台六腕尺高，顶面每边四腕尺，底面每边二腕尺。你可以这样做：将四乘以自己，得到十六，再把底边二乘以顶边四，得八，将二乘以自己，得四，把上面得到的十六、八和四相加，得二十八，再取高六的三分之一，乘以二十八，得五十六。看，这个五十六就是你要求得体积。”这个描述让所有数学史专家感到震惊，这说明了古埃及人早在4000年前就很熟悉正四棱台的计算公式了。
相较于古埃及人的几何水平，他们的计数系统和代数水平也丝毫不逊色。数学史专家相信，古埃及人受到人有十根手指的启发，是最早采用十进位的国家之一，但他们的十进制却不太完善，比如十万竟然用一只鸟表示。尽管和古巴比伦人相比，古埃及人的计算能力稍弱，但也独立发展出了乘法分配律，对于乘除法，古埃及采用连续加倍的运算完成，比如15×26，他们先把15分成1＋2＋4＋8，分别与26相乘。荷鲁斯之眼
此外，说起古埃及的数学，不得不提到还有“荷鲁斯的眼睛”。荷鲁斯是古埃及神话中的鹰神，也是法老的守护神。在古埃及对荷鲁斯的描述中，它的眼睛蕴含着深刻的数学知识，如果我们把它眼睛的每部分拆开，会发现每一个元素代表者1/2、1/4、1/8、1/16、1/32和1/64，这些分数组合起来可以表示分母为64的任何分数。
古埃及人在二元一次方程组的求解和数列的计算上也有很强的能力，但和他们高超的几何学相比就相形见绌了。现代人深刻了解数学的作用，所以用数学的研究成果推动着科技的发展和生活水平的提高，但在远古时期，人们并没有对数学有这么高的认识，只有在生活和生产需要的时候，才会发展数学，使用数学。古埃及人正是为了分配土地和建造建筑才发展出了高超的几何水平，但当他们觉得够用的时候，就开始故步自封，并没有进一步研究和传承下来，古埃及在外族侵略后，这些高超的数学也只能随着莎草纸淹没在历史的长河中了。小知识坊间一直流传金字塔有很多数学上的未解之谜，以胡夫金字塔为例，金字塔每面墙壁三角形的面积等于其高度的平方，塔高与塔基之比等于圆半径与周长之比等等，这些“巧合的现象”是英国的约翰·泰勒等人测量发现的。尽管金字塔对古埃及人来说是个很大的工程，但工程测量中出现这些数字是很正常的事情，完全不值得大惊小怪。4阻止战争的日食泰勒斯和沙罗算法
公元前585年5月的哈吕斯河流域，米底王国的大军正在和吕底亚王国的军队进行厮杀。在过去的十几年里，来自伊朗地区的米底王国一路向北，所向披靡，入侵并征服了许多国家；位于土耳其地区的吕底亚王国尽管弱小，却以逸待劳，奋勇抗争，战场上的双方势均力敌，谁也无法战胜对方，这场战役竟然进行了五个年头。
战火蔓延，生灵涂炭，百姓民不聊生，苦不堪言，持续的战争引起了身在古希腊的泰勒斯的注意。泰勒斯是古希腊米利都城邦的著名学者，他创立了古希腊最早的学派——米利都学派，同时他也是西方第一个有名字记载的数学家和哲学家，被称为“科学与哲学之祖”。为了解救米底王国和吕底亚王国的百姓，泰勒斯决定走访两个国家来说服他们停止战争，和平共处。泰勒斯
在两个国家的军营中，泰勒斯分别见到了军方的将领。面对这位远近闻名的学者，双方的将领都很客气，他们都希望自己能得到泰勒斯的指点来打败对方，早日结束战争。实际上，经过连年的战乱，米底王国的士兵早已疲惫不堪，他们希望能早一点回去与自己的家人团聚，而吕底亚的居民希望米底的军队快点从本国撤走，恢复本来的生活。了解到双方都有意结束战争，泰勒斯决定给双方一个台阶下，维持在不失去颜面的情况下调停战争。“上天对这场战争很气愤，它决定要给你们一些警告，如果你们再不停止战争，那么将会有大祸临头——上天会遮住太阳，让你们永远得不到光明。”泰勒斯严正警告他们。
听完泰勒斯的说法，双方的将领都不以为然：打仗是人类之间的斗争，和上天有什么关系呢？这个泰勒斯真是徒有虚名，竟然用这种话来骗人。两方军队的首领不约而同地赶走了泰勒斯，继续投入到激烈的战斗中。5月28日的上午，双方军队正如往常一样每天进行战斗。突然狂风大作，天空渐渐暗下来，士兵们面面相觑，他们纷纷放下武器，不再战斗，而是望向天空看看究竟。出人意料的一幕发生了，太阳被遮去了一角，而且阴影还在不断扩大——发生了日食。当时的科学技术并不发达，人们还不知道日食发生的原因，联想到泰勒斯的警告，双方将领都以为上天真的动怒，于是指挥着军队撤离了战场，并且迅速签订了和平条约，达成了永不再战的约定。
根据近代数学史考证，泰勒斯是用了古巴比伦的沙罗算法推算出日食发生的。沙罗算法是计算日食发生的时间规律的算法，古巴比伦人通过大量资料统计和计算发现：一般来说，每隔一个沙罗周期，即18年11.32天，日食就会在地球上发生；而每隔三个沙罗周期，即54年33天，日食会在同一个位置出现。
不仅是西方的泰勒斯，很多通晓数学的古代东方人也利用各种演算法预测当时无法解释的天文现象，成为众人口中的奇人异士。唐朝的著名道士李淳风就利用类似于沙罗算法的方法为唐太宗成功预测过一次日全食，得到了太宗皇帝的信任，最后获得高官厚禄。
正如伽利略所说，数学是上帝用来书写宇宙的文字。天体的运行、股票的走势、人口的增减、建筑的受力，无一例外地符合某些特定的规律，尽管我们无法掌握宇宙中的所有规律，但可以肯定的是，所有规律都能用数学来描述和解释。因此，在任何时代，数学都是一个高深而广泛的学问，不管你喜爱它或者讨厌它，数学永远都不会消失，它巨大的作用和影响力会贯穿整个历史，为人类的进步和科技的发展提供支持。小知识泰勒斯游历了古巴比伦和古埃及后，学到了很多几何知识。回到古希腊以后，泰勒斯把知识一般化，总结出了一些基本的定理：一、圆被它的任一直径平分；二、半圆的圆周角是直角；三、等腰三角形两底角相等；四、相似三角形的各对应边成比例；五、若两个三角形两角和一边对应相等，则两个三角形全等。后来，这些定理被欧几里得写进《几何原本》。5万物皆数的惨案毕达哥拉斯学派
当古巴比伦和古埃及数学文明已经很发达的时候，古希腊对数学还没有明确的认识。不过千山万水也无法阻隔古希腊的贵族和奴隶主们好学的决心，他们或横跨土耳其海峡，或者扬帆地中海，到古巴比伦和古埃及学习数学知识。年轻的毕达哥拉斯听从他老师泰勒斯的建议，也游历了这些国家，成为古希腊数学界的翘楚。
毕达哥拉斯出生在古希腊一个贵族家庭，他的父亲同时也是一个商人，往返于地中海各个国家，这为毕达哥拉斯的游学创造了条件。当毕达哥拉斯返回以后，他开始在古希腊开办学堂，吸收众多门生并推广自己的思想，久而久之，毕达哥拉斯和他的学生们形成了一个举世闻名的学派——毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯
在古希腊的计算、数论和几何上，毕达哥拉斯和他的学生们有着很大的贡献，其中最引人注目的就是直角三角形三边长的关系——毕达哥拉斯定理，也就是我们说的勾股定理。毕达哥拉斯学派认为，世界上的一切都是由数字1组成的，任何物体都是1的整数倍，在他们的教义中，“万物皆数”，“数是世界的本原”，“一切数都可以写成整数或者整数之比”。
真理是掩盖不住的。在毕达哥拉斯学派中有一个叫作希帕索斯的人，他通过简单的计算，发现当正方形的边长为1时，对角线长无法用整数或者整数之比表示，这一发现直接导致了无理数——不能用整数和整数之比表示的数——横空出世。希帕索斯的发现使毕达哥拉斯学派大为恐慌，也引起了当时古希腊学术界的强烈震撼。要知道，当时的毕达哥拉斯学派已经不单纯是一个数学学派，更是一个哲学学派和政治派别，如果毕达哥拉斯学派所尊崇的本源发生了改变，那么他们的其他论述也就不会令人信服了。恼羞成怒的毕达哥拉斯学派无法反驳无理数的存在，于是决定处死希帕索斯以儆效尤。这一历史事件被称为“第一次数学危机”。
在一个寒冷的午后，可怜的希帕索斯被他昔日的同伴们装进一个铁笼子里，在众人冷漠的注视和毕达哥拉斯学派的欢呼中，铁笼子在水中缓缓下沉。希帕索斯就这样以惨烈的方式结束了自己短暂的一生，但真理是不会随着希帕索斯的死而沉入水底的，从此以后，无理数逐渐被古希腊各数学家承认，而希帕索斯也被追认为世界上第一个发现无理数的人。
实际上，毕达哥拉斯学派并不是故步自封的学派。虽然他们反对无理数，但在数学上的确是功大于过，我们现在使用的很多定理和结论，在哲学中使用的很多思想都是毕达哥拉斯学派的成果。毕达哥拉斯学派的诞生，影响和鼓舞着其他古希腊数学家和哲学家。从此，古希腊学术进入了百花齐放的时代。
毕达哥拉斯学派在一场政治暴动中灭亡，毕达哥拉斯本人在这场政治暴动中被暗杀，弟子和门徒也作鸟兽散，散布在古希腊各地。从更高的角度来看，毕达哥拉斯学派的灭亡是历史的必然。在科学不发达的当时，人们希望能掌握绝对的真理来理解世界，把握自己。毕达哥拉斯带着数学文明而来，人们当然会给予他更高的要求，不仅是数学上的，哲学上的，更是政治上的。但一旦涉及政治，一定会有更强的反对力量，毕达哥拉斯学派的覆灭也就不足为奇了。小知识关于是无理数有很多证明，而希帕索斯的证明是最简单的。史料记载，他的证明方式如下：证明：假设能用分数表示，即＝p/q，其中p和q已约分。平方后得22到2q＝p。因为左侧是一个偶数，所以p一定是偶数，可以表示2222成p＝2k，即2q＝4k，除以2后，得到q＝2k，即q也是偶数。由于p和q都是偶数，可以约分，这与之前“p和q已约分”矛盾，所以不能用分数表示。6源自印度的阿拉伯数字印度数学的十进制
当我们每天使用0到9的十个数字进行记录和计算的时候，很少会去思考这些数字的来源，尽管这些数字叫作阿拉伯数字，实际上却发源于印度，严格说应该是“印度数字”。
印度离中国并不远，但阿拉伯数字却经过两次大迁徙才来到我们的身边。
除了古巴比伦，其他文明古国早期都采用了十进制的方法，不过古希腊十进制并不完备，他们除了0到9十个数字以外，又引入了其他的符号，表达很混乱；古代中国在商朝就使用十进制，但也只是在奴隶主阶层小范围使用，并没有推广开来，尽管后来出现了算筹，但用起来很不方便；只有古代印度的十进制被广泛使用和传播。
古印度的阿拉伯数字的创立符合“天时”、“地利”和“人和”。实际上，阿拉伯数字的创立非常晚，大约在300年，在古印度西北部的旁遮普也就是现在的巴基斯坦境内，印度人才陆续地创立了十进位的数字记号、小数点和进位的规则，而此时，古希腊已经被古罗马帝国征服，数学的发展戛然而止，全民开始使用现在钟表上常用的罗马数字。
没有古希腊人的竞争，印度人后来居上，这就是阿拉伯数字诞生的“天时”。旁遮普地区接连帕米尔高原，西方的阿拉伯帝国很难打进来，连续四百年没有战争，让旁遮普地区的数学变得异常发达起来，这就是阿拉伯数字诞生的“地利”。直到700年左右，阿拉伯帝国的军队终于攻陷了旁遮普地区，征服者突然发现，印度人的计数方式比他们要先进很多，于是很多印度的数学家被抓到他们的首都巴格达，向阿拉伯学者传授印度数字的写法和算法。可怜的印度数学家们只能在巴格达度过余生，而他们使用的数字也在阿拉伯地区生根发芽，不仅阿拉伯的学者们使用，就连商人们也用阿拉伯数字进行计算。阿拉伯数字
后来，做生意的阿拉伯商人们把这种计数方法传到了西班牙，西班牙人以为这种计数方法是阿拉伯人发明的，于是称这种数字为“阿拉伯数字”。大约在10世纪，时任教皇热尔贝·奥里亚克利用自己的宗教力量把阿拉伯数字推广到了欧洲各地。直到1200年，欧洲的数学家都开始使用阿拉伯数字进行研究工作了，但这种优秀的计数方式只在高阶层的人群中使用，普通人是无法触及的。
阿拉伯数字在欧洲广泛使用，要归功于文艺复兴早期的数学家斐波那契了，他独立地向阿拉伯人学习了阿拉伯数字和计数方法，并传授给普通大众。到了1500年，在欧洲大陆上阿拉伯数字的使用已经非常普遍了。阿拉伯数字在13到14世纪传入中国，在这里，马可·波罗做出了很大的贡献，但当时的中国人过于习惯使用算筹进行计数，所以阿拉伯数字并没有得到推广，直到20世纪初，中国人才开始逐渐使用阿拉伯数字——世界上最方便而且最广泛使用的数字——进行计算。
阿拉伯数字经过了上千年在丝绸之路上往返，才传回它的诞生地——亚洲。现代的知识交流很方便，网络、电话等通讯方式层出不穷。在交流不发达的古代，知识更多是通过战争和商业的作用才得到交流和融合。战争一方面给人民带来了苦难，另外一方面也为不发达地区带来了文明，好在大多数胜利者并没有因为战胜而对先进文明大开杀戮，在今天我们才能收获到几千年累积下的数学的馈赠。小知识在阿拉伯数字传入之前，欧洲使用的是罗马数字，其中他们用ⅢⅠ来表示4，但从中世纪开始，一些罗马人为了节省空间，使用Ⅳ替代IIII。这种写法得到了大多数人的反对，因为在罗马神话中众神之神朱庇特名字的缩写就是Ⅳ，应该避讳。至今，这两种写法同时存在于各种文献中。7数学与宗教的结合印度数学的《绳法经》
公元前3000年，印度土著人达罗毗荼人居住在印度河流域的哈拉帕等城市。根据历史记载，达罗毗荼人创造了“哈拉帕文化”，他们有很高的数学水平，但公元前2000年，雅利安人入侵印度，这些文化也就消失了。至今，考古学家还无法破译哈拉帕文化遗址中的符号。因此，说起印度数学，数学史家都会从公元前300多年的孔雀王朝开始算起。
印度数学最显著的特点是它与宗教相结合。在古代印度，婆罗门教——也就是今天的印度教开始兴起，一本叫作《仪轨经》的著作成为当时印度家庭必备的经书。《仪轨经》是六支吠陀支之一，用梵语写成，所谓吠陀，是知识和光明的意思。其中包括《随闻经》——祭祀的方法；《家宅经》——家庭祭祀和日常行为守则，包括出生礼、葬礼、婚礼和取名等方法；《法经》——人们应该遵守的法律以及最让数学家感兴趣的《绳法经》——关于神庙和祭坛的建造方法。《绳法经》如果按照意译，即为“结绳的规则”。它成书的具体时间已不可考证，但一般认为在公元前8世纪到2世纪间陆续完成，早于印度知名的史诗《摩诃婆罗多》和《罗摩衍那》。关于建筑的方法，书中进行了严格的规定，比如祭坛的形状可以是正方形、圆形或者半圆形，但不管是哪种形状，面积一定要相等，这就要求印度人要能做出和正方形等面积的圆或者两倍于正方形面积的圆，取一半就得到了与正方形面积相等的半圆，他们由此提出了很多几何和代数的问题，并且给出了有趣的演算法。更为有趣的是，《绳法经》中有很多算法，至今无法确定他们是怎么得到的。比如圆周率π他们有的采用这样的算法：有的采用π＝3.004和进行计算。另外，对于，书中的算法是
虽然这些数据和圆周率的真实数值相比并不是太准确，但数学史家对这些数据的来源非常感兴趣——计算π时使用的6、8、9和29都是怎么来的？印度人为什么和古埃及人一样，用分子为1的分数通过加减得到圆周率π？有的数学家认为这些数字是婆罗门教中很神秘的数字，只有这些数字组合的代数式才能运算π和等无理数的近似值，而和古埃及算法相同，则很有可能是因为文化的交流——商人把埃及的演算法从非洲带入阿拉伯地区，再传给印度。
在《绳法经》之后，印度人受到了更多的外族侵扰，匈奴人、蒙古人等先后入侵、占领，又受到印度人的反抗。印度数学就在这种命运多舛的环境中寻找着和平时期，断断续续地发展着。在印度数学史上，恰好生在战争的缝隙中的数学家们前仆后继，推动着印度数学的发展，其中阿耶波多（476年—约550年）、婆罗摩笈多（598年—665年）、马哈维拉（9世纪）和婆什迦罗（1114年—约1185年）是其中最杰出的代表。
他们发展和改进了古希腊的三角学，制定了印度的正弦表，对二元一次方程组采用了辗转相除法（欧洲称为“欧几里得算法”）进行求解，对于二次方程，则发展出了求根公式。到了婆什迦罗时期，印度数学家已经能熟练使用现在三角函数中的公式，并且能认识和广泛使用带根号的无理数了。
综观印度的数学史，古印度数学家令人唏嘘不已。他们是幸运的，可以学习到其他国家的数学成果并加以发展；他们又是不幸的，多次战争让他们的数学无法得到系统性的全面发展，仅仅在几个数学分支上出现了亮点。
但不可否认的是，印度人和中国人一样，有着高超的数学天赋，在美国华尔街利用数学进行金融分析的金融工程师们，在洛杉矶“硅谷”利用数学研发各种IT产品的计算机科学家们，很多都来自印度和中国。也许有人会为欧美人建立的数学系统和标准感到羡慕，但谁又能预料代表东方数学的印度和中国不会在未来异军突起，在数学领域有着更大的贡献呢？小知识和毕达哥拉斯学派相同，印度人认为整数是最和谐的数字，为了表示圆和正方形中含有的数字，他们习惯用整数和分数来代替这些无理数。有数学家认为，印度人关于π和的表示应该和古希腊三大几何作图问题之一——化圆为方有关。8齐桓公与九九歌春秋时期的数学
春秋时期，周天子对诸侯国彻底失去了控制，只能依附强大的诸侯。各诸侯国为了争夺霸权，占领更多的地盘，互相征战，从公元前770年到公元前476年间，逐渐形成了齐桓公、宋襄公、晋文公、秦穆公和楚庄王五个霸主，史称“春秋五霸”。
如果要称王称霸，只有强大的军事而没有人才的支持是不行的，为了争夺人才，各个国家的君王想尽一切办法，豢养了很多门客，但门客们常常只能得到衣食住行的支持，在精神上得不到任何的尊重。
齐桓公和其他君主一样因求贤若渴而广招贤士，一年过去了，没有一个有真才实学的人前来，这令齐桓公大为恼火。
一天，东野来了一个自称有很强能力的人，齐桓公非常高兴，在大殿接见了这个贤人。齐桓公问：“你有什么才能，能助我成就霸业？”贤人回答道：“回大王的话，我会九九算术歌。”
听到他的回答，齐桓公十分生气，小小东野草民，九九算术歌是人人都会，竟然来这里邀功请赏，但齐桓公毕竟是君主，要顾及君主的形象，只能强忍住怒火，讽刺道：“会九九算术也能算一技之长，我们齐国这样的人到处都是！”
贤人回答道：“大山也是细小石头堆积起来的，大海也是涓涓细流汇集的。九九算术歌不算什么，但如果您对我以礼相待，还担心比我高明的人不来吗？”
听了贤人的回答，齐桓公觉得很有道理，于是便用“庭燎”——在大庭点燃火炬，这种当时最高规格的形式接待贤士。一个月过去了，四面八方的贤士听到齐桓公礼贤下士的故事，都来投靠齐桓公，而齐桓公也成为“春秋五霸”中最先称霸的君主。
这个故事所谓的九九算术歌，就是每个学生都会背诵的九九乘法口诀。
从故事中的对话我们会发现，春秋时期的数学已经相当发达，关于数的计算已经发展到很普及的程度。要知道当时很多国家，包括数学发达的古希腊也是刚刚才从古埃及和古巴比伦那里学习到数学知识而已。《孙子算经》书影
那么，在没有阿拉伯数字的时候，古代中国使用什么方式表示数字进行计算呢？聪明的中国人发明了算筹，所谓算筹，是一些小木棒，或者动物骨骼磨制成的骨棒。《孙子算经》记载：“一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当……”也就是说，记数的时候，和古代书写一样，从右向左，有几个数就放几根算筹，个位竖着放，十位横着放，百位竖着放，千位横着放，剩下的依此类推，空位用空一个格来表示，这样就不会错位。算筹的作用不仅如此，古人为了解决实际问题，还利用算筹计算多元一次方程组的解。根据史书记载，加减消元法和代入消元法都已经被数学家们使用得很熟练了。
除此以外，比春秋更早的西周初期，中国人就已经掌握了毕氏定理，比毕达哥拉斯发现相同定理还要早五六百年，甚至在周公和商高的对话中，数学史家们还发现，商高使用了相似的方式进行了测量。这些无不说明了，在春秋时期，中国有着很高的数学水平。
在周朝贵族教育体系中，周朝官员要求学生们要学习六艺——礼、乐、射、御、书、数，其中数就是数学，可见当时的贵族阶层已经意识到了数学的重要性。但由于年代过于久远，加上秦始皇焚书坑儒对典籍的毁灭性打击，六艺中《数》已经失传，因此，我们只能通过其他典籍窥见当时数学的辉煌成就。虽然中华文明并没有断层，但古代中国人重视经验而轻视理论，重视政治和文学而轻视科技，起点很高的中国数学在未来的两千年后渐渐掉队，而落后于其他国家了。小知识在春秋时期，以墨翟为首的墨家撰写的《墨经》中记载了很多数学问题，其中包括光学、力学、逻辑学和几何学等。在《墨经》中，给出了点、线、面等基本几何图形的定义，同时也给出了平行线、圆的图形的概念，甚至还对无穷大和无穷小等进行了探索。可惜的是，在焚书坑儒以后，墨家渐渐衰落，墨家的数学理论还没有发扬光大就消失了。9飞矢不动埃利亚学派的诡辩
严格来讲，最早期的数学是从哲学里分化出来的。
在古希腊哲学家的思考中，无一不影响着数学的变革，而他们很多观点也成为数学中重要的命题。在古希腊历史上，最早的唯心主义哲学派别——埃利亚学派成为其中最著名的学派。
公元前5世纪，位于意大利半岛南端的埃利亚城邦出现了一位叫作克赛诺芬尼的学者，他提出了“存在”是宇宙万物的共同本质。看起来这是一句平凡无奇的话，在当时却是很了不起的。在此之前，哲学只能研究那些可以看得见、摸得着的东西，但世界上还有很多确实存在但无法看到的物质，比如物理里的电场、磁场等，又比如宗教中的神。一句话存在解决了在认知上的问题，是人类认知论上的巨大进步。
克赛诺芬尼的徒弟巴门尼德和徒孙芝诺很好地继承了他的思想，形成了埃利亚学派，但巴门尼德却认为世界上到处充满了“存在”，是“永恒不变”的，因此事物是“永恒地静止”，运动只是“假象”。他的学生芝诺为了证明这种观点，举了飞矢不动的例子。
设想一支飞行的箭，在每个时刻，它在空间中会存在在一个位置，如果把这些时间分成无穷份，每一份非常小，箭是不动的，所以芝诺认为，飞行的箭是静止而不是运动的。这就是历史上著名的芝诺飞矢不动悖论。
所谓悖论是在逻辑上可以推导出相互矛盾的结论，但表面上又能自圆其说的命题。芝诺的描述看起来没有任何问题，却从运动得到了静止的结果。尽管看起来明显是错的，但在当时还是没有人能反驳芝诺。
芝诺的另外一个悖论也被人熟知——阿基利斯追乌龟的故事。阿基里斯是神话中的英雄，以善于奔跑著称。一次他和乌龟赛跑，乌龟在前面B点开始跑，他在后面追。在竞赛中，阿基利斯跑到乌龟原来的位置B点，而此时乌龟已经在前方C点了；如果阿基利斯跑到C点，乌龟又会在阿基利斯的前方D点，以此类推，阿基利斯永远无法追上乌龟。在希腊故事中，阿基利斯是所有英雄之中最耀眼的一位
今天，我们可以利用无穷大、无穷小、微积分和级数求和等数学观点毫不费力地解决芝诺悖论，但也不要因此嘲笑古人的愚笨。要知道，上述数学观点也是两千多年来，无数数学家深刻钻研芝诺悖论和其他问题的研究成果，也就是说，没有芝诺悖论和其他问题的“蛋”，也就不会有“鸡”——现在的各种数学概念和工具。
数学的每一次进步，都是无数数学家为之努力奋斗得来的。在前进的道路上，人类会发现各式各样显而易见或者难以理解的现象和观点，对于这些观点的疑问促使了人类不断地问“为什么”，而后续的数学家会沿着这条路走下去，直到找到真理。从某种意义上说，提出问题和解决问题同等重要。当然这里的“提出问题”并不是漫无目的地胡乱一问，而是站在更高的层次上，经过深思熟虑地提出提纲挈领的问题，促使数学家们更深层次地思考，从而得到结论。而此时的收获不仅是得到了解决问题的结论，在论证的过程中，思想和方法才是最重要的成果。不管是悬而未决的哥德巴赫猜想，还是三百年后被怀尔斯攻克的费马最后定理，都是鲜活的案例。小知识埃利亚学派诞生于公元前5世纪，学派中的每个学者都能言善辩，他们维护奴隶主贵族的统治，宣传唯心主义和形而上学。由于埃利亚学派活动于奴隶主贵族统治的埃利亚城邦，所以得到了统治阶级的维护和重视。所谓“成也萧何，败也萧何”，随着奴隶主中民主思想的兴盛，这个学派也因为得不到支持而迅速衰落。10墓志铭上的难题代数学的开创
自毕达哥拉斯之后，很多古希腊的数学家认为，只有经过类似于几何证明的论证方式才是正确的，才是天衣无缝的，所以他们不屑去研究数字的特点和计算方法，对于未知数也兴趣寥寥。
当这些古希腊的数学家们都在地上画图研究几何的时候，在亚历山大后期，出现了一位数学家——丢番图。和其他数学家不同，丢番图没有从众选择几何作为研究的重点，他把更多的精力放在了计算和数论上，最终被奉为代数学创始人之一。
由于丢番图的研究工作实在太不合群了，所以在历史纪录中，关于他的生平纪录非常少。只是在500年左右的《希腊诗文选》中，有46首和代数有关的诗歌，这些诗歌肯定了丢番图对代数学开创和发展的重要作用。另外，丢番图所著的《算术》也是代表着古希腊数论和代数最高水平的一本名著，这本一共十三卷的数学典籍仅仅在15世纪发现了希腊文版本的六卷，1973年在伊朗发现了另外四卷的阿拉伯文，剩下的三卷已经失传。
在丢番图的墓碑上，我们可以看到这位数学家的执着和幽默，墓志铭写道：路过的人请看一看，这坟中安葬着丢番图，下面忠实地
记录了他所经历的道路，请你算算丢番图活了多少年。他度过了占有生命六分之一的童年，又经过了十二分之
一的生命，他开始长胡子，再过了七分之一，他结了婚。五年后他的儿子出生了，可怜这个儿子，仅活到父亲年
龄的一半就去世了。丢番图很悲伤，只能通过研究数论来忘记，又过了四年，
丢番图也走完了人生旅途。他终于告别了数学。
对当时的人来说，这个问题算是一道难题，但是我们可以用方程式很容易地解决。如果设丢番图的年龄为x，根据他的童年为x/6，童年到长胡子时间是x/12，剩下的以此类推，把这些时间加在一起等于他的整个年龄x，得到x＝84。
除此以外，丢番图的研究还包括丢番图方程——系数和解都是整数的方程。进而，数学家们提出关于丢番图方程的几个重要问题：丢番图方程有解答吗？除了一些显而易见的解答外，还有哪些解答？解答的数目是有限还是无限？理论上，所有的解答是否都能找到？实际上能否计算出所有解答？直到1970年，数学家们才用马蒂雅谢维奇定理证明出：不可能存在一个算法判断丢番图方程是否有解。至此，丢番图方程问题才算尘埃落定。
丢番图的另一个重要贡献是丢番图逼近论，简而言之，如果规定一个数字，如何找到满足条件的无穷个有理数，让这些数越来越接近规定的数字，并且测量到底有多接近。尽管丢番图是在有理数上进行讨论的，但更多的例子都说明，20世纪以来，丢番图逼近论在无理数上有重要的应用。
丢番图之所以能名垂竹帛，在数学史上占有很重要的地位，和他不从众的研究项目有关。实际上，和其他古希腊数学相比，丢番图所处的年代并不久远，如果其他古希腊数学家在代数和数论上发力，这些成果可能会易主，丢番图也就不会有如此大的贡献。由此看来，在任何学科领域，想要有大的成就，必须挣脱当时的束缚，独辟蹊径，才能有机会看到别人不曾经历的风景，成为一个新方向的开创者。小知识丢番图的《算术》代表着古希腊算术和代数的最高水平，但直到16世纪，这本书才传入欧洲。首先，胥兰德根据阿拉伯文版本翻译成了拉丁文，随后巴歇又把拉丁文版本翻译成希腊文。法国数学家费马正是看到了拉丁文版本后才走上了数学的道路，他在这本书中写下了很多批注，其中就有“费马最后定理”的猜想。费马去世以后，他的儿子把批注和《算术》拉丁文版本结合在一起出版。11贾宪与杨辉三角二项式系数展开图
在宋朝，很多有知识的人都会在外面开办私学，相对于官府开的官学，私学就是今天的补习班。
对于数学来讲，官方的重视程度不够高，学生的数量远远不及学习经史子集的人多，所以只能在私学中学习。但就是这些宋朝的补习班，靠着师徒之间的传承和发展，把对《九章算术》的研究推广到一个新的高度。
贾宪就是其中一员。
贾宪是北宋时期著名的数学家，他在研究《九章算术》的时候，发现了这样一个问题：今有积一百八十六万八百六十七尺，问立方几何？在这里，尺实际上是立方尺的意思，问题实际上在问，体积是一百八十六万八百六十七立方尺的正方体，边长是多少？如果知道了边长，求体积很容易，只需要边长的三次方就可以，但对一个数开根号，332就不是一件简单的事情了。于是贾宪采用了（a＋b）＝a＋3ab＋233ab＋b这样的公式，把数字进行拆分，最后得到了结果。
那么，如何对于一个数开更高次方呢？为此，贾宪找到了两项乘方公式的展开式的一般特点，形成了我们看到了二项式定理。
我们观察一下这些式子：1（a＋b）＝a＋b222（a＋b）＝a＋2ab＋b33223（a＋b）＝a＋3ab＋3ab＋b4432234（a＋b）＝a＋4ab＋6ab＋4ab＋b554322345（a＋b）＝a＋5ab＋10ab＋10ab＋5ab＋b
在等式的左侧，有a和b两项，所以左侧被称为二项式。
在1050年左右，贾宪完成了对《九章算术》的研究，撰写了《黄帝九章算经细草》，不过原书已经失传。
好在南宋的数学家杨辉早就在自己的书中引入了此书大量的内容，我们才能看到贾宪的研究成果。
为了纪念贾宪的开创性工作和杨辉对成果的抢救性保留，于是这种规律被称为贾宪-杨辉三角。
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