作者：王根
出版社：河北科学技术出版社
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统一的终极原理：调和原理试读：
前言
这是一本关于终极原理的著作，此原理是统一一切已知原理和预测未知原理的母原理。宇宙中的一切现象都在调和原理的内禀机制下运作，调和原理是关于一切存在物的终极统一原理，一切存在物都必须严格遵守的绝对原理，调和原理揭示了一切绝对真实的自然客观过程都是由二元性的调和所完全驱动的。二元性具有互补性，统一性，对立性等根本性质。通过调和原理可以得到调和机制，调和方程，调和态，调和因子，调和信息和调和等对一切客观现象都具有普适性的描述性词汇，其中调和因子包括稳定的二元内部系统的状态因子与表达因子，表达因子传达的是调和信息或调和的结果。任何调和态都是二元性作用贡献的必然结果。一切客观的自然规律在调和原理的描述下都将有一个统一的绝对不变的数学表述形式。调和原理的应用可以研究一切自然科学并且以调和原理作为一切其他原理的母原理可以推广原本狭义的表述形式使之广义化，其他的原理都是调和原理的子原理，这些子原理的数学表述在很大程度上并不具有完备性，因此，根据调和原理可以使这些子原理的数学表述更加具有很好的完备性。调和原理的数学表述是一种高度形式化的完备表述。它能作为一种完备性很好的模板去完善已知理论并预测未知理论，调和原理是万物发展变化的根本性原理。所以，本专著的结构如下：（1）总述自然科学的本质；（2）调和原理的提出；（3）根据调和原理阐述变化的本质及它们的联系；（4）调和原理与数学；（5）调和原理与物理；（6）调和原理与化学；（7）调和原理与生物；（8）中心论；（9）终极理论的预测。
一切存在物都在自发地调和，而且描述存在物的自然规律能极大的反映出这一点，调和原理是万物之理，它成功的阐述了一切存在物存在的理由和它们变化的本质。
目前，自然科学的终极目的是建立和谐、统一与完美的理论形式用以描述一切存在物的运作原理。支配自然界各种形态和行为的物理学规律以及由此引发出的物理模型与物理理论，包含着最深沉内在的美，它是用美和简单来理解宇宙的万事万物，自然规律的美体现为简单、和谐、质朴和对称等。在物理学界，统一理论的理想候选者普遍认为是超弦理论，它从理论上实现了包括引力在内的四种相互作用力的统一，在弦理论中，粒子对应于弦的不同振动模式，但调和理论揭示了超弦理论的局部非完备性。
调和原理的二元性与统一性揭示了一个完备的理论体系。调和理论是以阴阳哲学作为指导思想并结合自然辩证法而建立的，将调和理论与数学上的两种形式的量（正数与负数）结合到一起可以达到完美的形式理论，自然科学的描述完全依赖数学，从自然科学作为实证处出发得到了很好的完备性解释。所以，调和理论具有统一性。调和原理是从哲学中抽象出来的具体表象，所以调和理论是一种公理化的理论形式，因此，调和理论具有简单、和谐、质朴和对称等优良属性，它是一种最为原始的理论形式。调和理论将哲学的核心提炼出来，使之成为具有客观实在意义的科学理论。调和原理是一种纯自然科学理论，由于它是最为原始的根本理论，所以，以调和理论作为思想指导，对于自然科学的探索具有目标性的指导意义，它使探索具有确定的方向性，而且对科学理论的完备性建立具有绝对性客观意义。
事实上，自然科学中的很多疑难都可以运用调和理论得到很好的解释。所以，调和原理具有终极性与统一性。它具有绝对的普适性。
这是一个全新的理论形式，所以存在很多不完善的地方以及可能出现的错误之处，在此希望得到读者朋友的批评与指正，并深感谢意。王根2013年3月25日于黄石
第一章 自然科学的本质
1.1 宇宙存在物的客观实在性
宇宙在漫长的历史演变中，按它固有的规律运行，一切存在物都严格遵守客观规律运行和发展，客观实在性是一切存在物的共性。
1.2 宇宙存在物的统一性
宇宙有结构性和物质性，物质在时空结构下运行，运动是物质的存在方式和根本属性。它包含宇宙中发生的一切变化和过程，运动是标志一切存在物和现象变化的真实存在，存在物是一切运动变化和发展过程的实在基础和承担者。宇宙存在物的运动是绝对的，而存在物[1]在运动过程中又有某种相对的静止，物理上的表述是两个物理系统的相对距离不变，相对的特征是二体系性，静止是存在物运动在一定条件下的稳定状态，它包括空间的相对位置和存在物的根本属性暂时未变。运动的绝对性体现了存在物运动的变动性，无条件性，静止的相对性体现了存在物运动的稳定性，有条件性。运动与静止相互依赖，相互渗透，相互包含。时间和空间是存在物运动的存在形式，存在物[2]的运动与时空的不可分割证明了时空的客观性，它表明时空也有固有属性和结构性。根据广义相对论的描述，时空是弯曲的，这揭示出宇宙的几何结构性，时空结构决定物质的运动。时间是指物质运动的连续性，顺序性，它具有一维性和单向性，空间是指存在物运动的范围性，广延性，它具有三维性。存在物的运动总是在一定的时空中进行。具体的存在物形态的时空是有限的，而整个宇宙存在物的时空是无限的。存在物的运动时间和空间的客观实在性是绝对的，它的具体[3]特性是相对的。存在物，运动和时空具有内在的统一性。注释[1]《马克思主义基本原理概论》编写组．马克思主义基本原理概论．第4版．北京：高等教育出版社，2010.[2]同上。[3]同上。
1.3 宇宙存在物的联系和发展
1.3.1 存在物的联系联系是指事物内部各要素之间和存在物之间相互影响，相互制约[4]和相互作用的关系。宇宙是一个整体，也就意味着，一切存在物都是彼此联系的，相互纠缠在一起的。联系具有以下性质：（1）客观性。事物的联系是存在物本身所固有的，每一种存在物都是和其他存在物联系着而存在的，这是一切存在物的客观本性。（2）普遍性。①任何存在物内部的不同部分和要素是相互联系的，即任何存在物都具有内在的结构性。②任何存在物都不能孤立存在，都同其他存在物处于一定的相互联系中。③整个宇宙是相互联系的统一整体，任何存在物都处于普遍联系，交互作用中，不存在完全孤立的存在体。（3）多样性。直接与间接联系，内部与外部联系，本质与非本质联系，必然与偶然联系等，不同的联系构成存在物内部与存在物之间的存在状态和发展趋势[5]。1.3.2 存在物的永恒发展
存在物的相互联系包含存在物之间的相互作用，而相互作用必然导致存在物的运动、变化和发展。存在物之间相互作用的结果使存在物原有的状态和性质发生程度不同的变化，一定形式的运动都意味着一定的变化，变化的基本趋势是发展，它是一个过程，一切存在物只有经过一定的过程才能实现自身的发展，一切现象都是作为一个过程而向前发展的，这从形式上看是存在物在时间上的持续性和空间上的广延性的交替，从内容上看是存在物在运动形式、形态、结构、功能[6]和关系上的更新，一切存在物都有自己兴衰变化的过程。注释[4]《马克思主义基本原理概论》.[5]同上。[6]同上。
1.4 真理的本质
总论：真理的客观性，绝对性和相对性。真理是人类对于宇宙客观存在物及其规律的正确认识。1.4.1 客观性（1）真理的内容是客观的。它最根本的特征在于对客观存在物本质和规律的正确揭示。（2）在于思想与客观存在物本质和规律的一致性。（3）检验真理的标准也是客观的，实践是检验真理的唯一标准。1.4.2 真理的绝对性和相对性
真理的绝对性是指真理的无条件性，无限性。任何真理都必须包含着同客观对象相符合的客观内容，这一点是绝对的，无条件的。
真理的相对性是指真理的有条件性，有限性，在一定条件下人类对存在物的客观过程及其发展规律的正确认识总是有局限的，不完全的。真理所反映的对象是有条件的，有限的，它只能是对无限的宇宙存在物发展的某一阶段，某一方面，某一层次的认识，因而是有限的。真理的绝对性和相对性是统一的和相互转化的。真理的绝对性通过相对性表现出来，无数的具有相对性的真理之总和构成具有绝对性的真理即现在的局部真理都是相对于总和真理而言的。真理永远处在由相[7]对向绝对的转化和发展中。注释[7]《马克思主义基本原理概论》编写组．马克思主义基本原理概论．第4版．北京：高等教育出版社，2010.
1.5 绝对的规律性
总论：在事物的发展过程中，既有偶然的转瞬即逝的方面，也有其必然的稳定的方面。规律揭示的就是宇宙存在物运动发展中本质的、绝对的、稳定的联系。（1）规律是存在物的本质的联系，任何规律都是存在物的内在根据和本质联系。（2）规律是存在物的绝对联系，任何规律都是存在物绝对的确定不移的关系。（3）规律是存在物的稳定联系，任何规律都是同类现象背后的共性，是现象[8]背后的稳定关系，规律的稳定性也就是它的相对重复性。注释[8]同上。
第二章 调和原理
2.1 调和原理
宇宙中的一切存在物都有从非稳相态在固有的调和机制下调和达到稳相态的根本属性。
推论：（1）任何一个描述存在物客观规律的数学表达式是完备的充分必要条件是它的表述形式满足：（2）调和机制具有绝对的客观真实性，一切真实的自然规律都是在调和机制的支配下表达出来的。（3）调和机制是调和原理的内禀属性，同时也是任何一个自然规律的固有性质。（4）破缺机制是调和机制的表现形式之一，通过破缺得到表达继而达到调和的状态，表达出来的就是调和信息。（5）调和方向永远是非稳相态指向稳相态，它具有绝对的单向性，即（6）一切自然的客观物理过程都是调和过程，相应的，一切自然现象都是在调和过程中得到表达。（7）所有的客观存在物都在自发地调和。（8）任何处于稳定状态的客观情形都是二元性相互调和的必然结果。
2.2 调和原理的基础
一切存在物包括时空结构本身都是以相态的形式存在，相态是复合态，它由两个基本的元相态：正相态与负相态的功能之和构成。复合相态又分为稳相态与非稳相态，任何的存在物处于稳相态或非稳相态。
2.3 调和原理的数学表述
记存在物的相态是集合S，稳相态与非稳相态分别记为则S=，两种基本的元相态：正相+-态与负相态分别记为i，i，图示如下：
图示即二元性的体现。式中i是具有同种属性的存在物，上标+，-表示此存在物的两个基元态。相态贡献的功能量用功能函数+-F=F（i）表示，那么正相态i与负相态i的功能分别是：++--
F=F（i），F=F（i）
它只具有表征调和因子的组成部分具有二元性特征，它们可以代表一切对立互补的两面贡献的功能。正相态与负相态的功能之和用调和因子表示，所以调和因子满足：
式中是调和算符，它具有二元性的特征，即调和方程固属于特征方程表达式，任何稳定的系统结构一定具有二元性的固有属性，此二元性的根本属性是互补的，此理论揭示了根本性属性必定具有二元性的规律支持而得到完备性的运作机制。+-（1）若调和因子，则得到内禀调和方程F+F=0。这是+-一个具有绝对对称性的方程。此内禀调和方程F+F=0描述的是客观真实的自然规律，此时这一自然规律描述下的存在物处于调和态，调和态是稳相态。由内禀调和方程可以得到调和解，调和解是在调和机制的支配下得以运作。同时内禀调和方程也表现出完美的互补性，正相态贡献的功能与负相态贡献的功能是互补的，对称的。因此，客观的存在物处于调和态的充分必要条件是：这时正相态与负相态作为一个调和的系统存在。+-（2）若调和因子，则得到表达方程F+F≠0，这是一个+-具有对称性破缺的方程。那么，此表达方程F+F≠0描述的是一个客观的调和过程，在调和过程中将调和的结果瞬时表达出来，这就是现象的本质。表达方程所描述的是一个非稳相态向稳相态演变的调和过+-程，更准确的讲F+F≠0是一个过程表达方程或过程调和方程。+A. 若，则有正向贡献余值记为ε，即，所以根据调和原+-+-理有调和过程：即ε→0，即存在ε＜0满足：ε+ε=0，此调和方程揭示了正向余值的调和方向是：正向（+）→负向（-）。-B. 若，则有负向贡献余值记为ε，即，因此根据调-++-和原理有调和过程：ε→0，即存在ε＞0，满足：ε+ε=0，此调和方程揭示了负向余值的调和方向是：负向（-）→正向（+）。
2.4 调和原理的分析
调和原理作为终极的统一性原理成功的揭示了宇宙的本质属性。真正的客观表象的科学内涵是具有二元性表征的函数的特征形式。
宇宙的一切客观存在物都在调和以达到调和态，调和机制作为调和原理的固有内禀属性揭示了客观规律的起源。调和原理本身则揭示了客观存在物的二元性，任何处于稳定状态的客观情形都是二元性相[1][2]互调和的结果。二元性具有如下的性质：（1）互补性。（2）统一性。（3）对称性。
这在客观意义上说明了调和原理的终极性与统一性。调和原理的图示：注释[1]徐道一．周易·科学·21世纪中国：易道通乾坤和德济中外．太原：山西科学技术出版社，2008.[2]查有梁．恩格思与物理学．成都：四川辞书出版社，1999.
2.5 调和机制的分析
调和机制是调和原理的固有内禀属性，同时它也是宇宙万物的运行机制。调和机制是一切真实的客观规律的根本属性。调和机制具有如下的性质：（1）调和机制所赋予的自然规律严格的遵守完备的最小作用量原理。（2）调和机制是一切客观存在物稳定运作的根本性机制。（3）调和机制是二元性相互调和的内在运作机制，它是一切稳定的客观实在的充分必要条件。（4）调和机制赋予调和过程在时空背景下的完成效率是最高的。因此可以推出另一原理：一切自然现象的实现过程的效率是最高的。称之为最高效率原理。显然，它与最小时间原理是自洽的。所以最高效率原理与最小时间原理是调和机制的运作结果。
因此，从上面的性质可以得到，调和机制的运行使时空结构异常的稳定，因此，它让许多自然规律成为隐变的难以发现的。调和机制的性质揭示了时空的内部结构的真实存在性。同时它揭示了光速的不变原理，超对称理论的可行性等一切的客观存在规律。
2.6 调和过程的分析
宇宙的一切客观规律都是在调和原理的支持下表达出来的，调和机制是调和原理的内禀属性，它始终伴随着调和过程，调和过程是在调和机制的引导下完成的。任何一个调和过程都是在某一时间区间［t，t］上实现，根据调和机制的性质可以得到：一个真实的物理过0程满足△t=t-t是最小的，调和过程是一个局域的守恒过程，一切现象0都是在调和过程中得到表达的，然而我们对它们的描述都是等效的描述，因此现有的自然规律都不是绝对客观的而是等效的客观规律，即对自然现象的描述具有绝对的等效性，因此，所有完备的客观规律都是调和原理的等效描述，现根据调和理论将以上的陈述表述为具有一般的适用性原则。
等效性原则：假定客观真实的绝对性规律用TL表示，这里显然有TL=HP，HP是调和原理的简称而与之等效的规律记为EL（i），i=1，2，…，n…∞等效性原则具有如下的性质：（1）若TL～EL（i），TL～EL（j），i≠j则EL（i）～EL（j），式中符号～是等效符。（2）调和过程具有绝对的真实性，在调和过程中对现象的描述满足等效性原则。即TL～EL（i），i，i=1，2，…，n…∞。（3）等效性具有绝对的不可分辨性除非发生等效性破缺。
显然，广义相对论中的等效原理是等效性原则的一个表现。
调和过程具有如下的性质：（1）调和过程是动态的，自发的，局域守恒的过程。（2）一切客观的自然过程都是调和过程，它是调和因子得到表达的过程。（3）调和过程是单向性的，永远都是非稳相态指向稳相态。
一切客观的存在物都在自发的调和，调和具有永久性和绝对性，它维持着整个宇宙的和谐与稳定。调和过程是一个完整的过程：
2.7 调和因子的分析
调和因子是正相态贡献的功能与负相态贡献的功能之和，调和因子起着沟通正相态与负相态的贡献功能的桥梁作用。调和方程属于特征表达式，它说明任何一个稳定的系统必定是具有二元性特征的因子的共同调和贡献。调和因子分为两种情况，具体分析如下：（1）若，则它表示稳定的二元内部系统的状态因子，此时，正相态与负相态作为一个高度对称的内部系统对外表达的调和信息是这个系统处于绝对的调和态，具有不可区分性。因此，在这种情况下，外界对它的描述完全是具有不可分辨的等效描述，它具有绝对的客观实质性。由它得到的规律是调和机制所完全赋予的，因而是真实绝对的。（2）若，则它表示表达调和方程，此时，对称性破缺，所以在调和过程中这种破缺会得到表达，因此，外界可以得到通过调和而表达出来的调和信息。它具有绝对的可区分性，所以此时的等效描述具有可分辨性。正是这种对称性破缺表达出了差异性。
2.8 调和算符的运算特性
（1）若，则一定有。（2）若，则一定有。（3）。（4）调和算符可以与任意的线性算符对称变换。（5）调和算符最大的特点是方程表达式中体现二元性。2.9 调和方程
调和方程的形式表达式为：
调和方程分为内禀调和方程与表达调和方程，内禀调和方程为：
它揭示的是绝对的客观规律，从内禀调和方程可以得到具有调和性质的真实规律。表达调和方程为：
它揭示的是一个在调和过程中会有调和信息表达出来的绝对过程，它是内禀调和方程破缺形式的表达。数学上的描述性方程则有：++--
F=F（i）＞0，F=F（i）＜0
而自然科学上的描述则包括上述正负数的形式，且有任意互补两面的功能贡献的和，此时非数学描述的情况可能没有量上的限制。
第三章 变化的本质
3.1 总述
变化是绝对的客观真实，变化中蕴含着不变的因子，不变的因子引导变化的规律。调和原理的统一性揭示它能精确的阐述变化的本质结构。
3.2 变化的本质结构
任何的变化都必须涉及到二元性，这是调和原理要求的。根据调和原理对二元性的阐述以及出于对变化的精确刻画，现从变化在量的+-关系上的反映来表述它的实质。记二元分别为i，i，前者是正元，后+-者是负元。它们在量的体现上用量函数Q（i），Q（i）表示，则+-Q（i），Q（i）分别表示正元的量的体现和负元的量的体现。这里的量函数指代各种形式的量。那么，变化的实质用量变调和因子来表示。所以由调和原理的数学表述形式可以得到变化的实质是：+-
式中是调和算符，Q（i）＞0，Q（i）＜0，所以变化的实质是量变调和因子的表达，即。
根据调和原理对变化进行分析：（1）若，则量变调和因子对外表达出无变化，但调和系统内部是稳定的变化。因此是一个内禀调和方程。它具有绝对的对称性，通过对对称的调和方程的分析能得到调和信息。调和信息传达的是真实的客观存在。（2）若，则量变调和因子对外表达出绝对真实的变化，它具有绝对的对称性破缺，因此通过调和过程对外传达的调和信息具有特定的性质。
3.3 调和原理与变化实质之间的联系
变化的实质是通过调和原理的统一性揭示出来的。前者是后者在量关系上的精确表达，后者是前者的支撑依据或理论支持。后者即调和原理是总体理论反映，前者即变化的实质是在量式上表达了调和原理的核心意义。所以变化的实质与调和原理相辅相成。再者表述变化实质的数学表达形式是以调和原理的数学表述形式作为模板进行刻画的，因此，这种表述形式具有绝对性和客观性。
3.4 变化在数学上的体现
数学是一门纯理论科学，它只研究并揭示客观现实世界的几何结构与量的关系，所以，数学是单纯的揭示量的变化规律和几何结构之间的联系。几何结构之间的关系的精确描述是关于量的关系表达式，这一点是显而易见的，现代拓扑学是以集合加公理作为基础对量关系的研究。在数学结构中有两种最基本的形式量：正量与负量，这里的量的形式多样化如标量、向量、张量、旋量等。由于客观规律具有不变性即客观规律的数学表述形式不随坐标系的变换而改变，它具有绝对性。出于这个根本的准则，在量的多样化中仅有零阶张量即标量具有这样的性质，所以张量是以分量的形式表示。因此，量的本质是标量（不变量），标量的基本运算形式是四则运算，但四则运算的本质是加法运算，其余三种运算是加法运算的特殊形式。这在一定意义上说明了调和原理的数学表述的客观性。因此变化在数学上的体现与变化实质的数学表述是一样的，只是前者包括几何结构与量的关系，后者完全从量的角度出发进行阐述。数学是纯理论科学，因而它具有高度的抽象性和普适的实在性，这从数学的广泛应用上可以得到证明。所以数学能在量的关系式上给出具有客观意义的真实规律。
3.5 变化在自然科学上的体现
自然科学是研究一切客观存在物变化规律的总称。完备的变化规律是在调和机制的约束下通过调和过程得到体现，一个完备的变化规律在量式上的体现形式与变化实质的数学表述完全一样。自然规律的表述形式都具有绝对的不变性，它不随坐标系的变换而发生改变，这一点满足广义协变原理即在任意的参考系下，表述真实的物理规律的数学方程的形式不变。自然科学的终极目的是对能量形式的完全掌握和加以利用。宇宙的本质是一个能量场，也就是说，一切客观的存在物都是能量，只不过有的能量是隐性的，而有的能量是显性的。一切的自然现象都是由能量的驱动而得以完成，能量的形式多样化，但根据调和原理的二元性，宇宙当中只存在两种形式的能量，它们分别是正能量与负能量，显然，它们的存在是客观的。能量可以由作用量对时间的一阶导数来定义，准确的说，作用量才是真正意义上的物理效应。能量是标量（不变量），这与数学的本质是标量相对应，因此，变化在自然科学上的体现的表述形式与变化实质的数学表述完全一样，不一样的只是变化的内涵不同。所以，能量的变化导致存在物的变化包括运动形式的变化，时空位置的变化等等。变化的精确刻画是变化率，变化率的精确刻画是一阶导数或一阶偏导数，任何自然过程都是在4-维时空背景下发生的，也就意味着，描述客观规律的参量（物理量、化学量等等）都是时间与空间的函数，只是显含与隐含的区别，任意的某个参量对时间的一阶导得到的都是具有速率性质的另外的参量，我们早已知道，速率与普适能即动能直接相关联。所以，在自然科学中，更具说明性的规律往往是以微分方程的形式表示的，普遍情况下是偏微分方程。
第四章 数学篇
4.1 数学的本质
宇宙万物及宇宙结构本身都是以一定的形体或几何结构表示出来的，这些几何结构在外观上给予外界一些感性认识之外，更精确的描述是关于量的关系表达式。即几何体或形体的量化，且刻画几何体的唯一两种量是线量与角量。所以量与形的关系可以表述为：量中有形，形中有量。所以数学的本质是纯粹从量的关系与形体的关系加以研究的元科学。即量的地位与形的地位是同等的，但出于量描述的精确性，一般把量的关系作为主要的研究对象。量的形式多样化如数量（标量）、向量、张量，其中张量的表述形式主要是以标量性质的分量表示的。所以量的本质是标量（不变量）。因此量的形式具有共同的本质内涵，形的量化表明形体也具有共同的本质，以后改称形体为几何结构。所以，宇宙的一切存在物都有共同的数学起源。
4.2 子调和原理在数学上的表述
数学的本质是量的关系与几何结构内部的关系，且它们的关系往往是相通的，所以用调和因子表述量的关系与几何结构内部的关系。通过调和因子我们能得到精确刻画的稳定条件与稳定关系。下面用“相”统称量与几何结构，相调和因子记为：
式中是调和算符，它作用于功能函数F=F（i）上代表调和的结果是正相的作用功能的正贡献与负相的作用功能的负贡献的总贡献。+-
正相与负相分别记为i，i，它们的作用功能分别为：++--
F=F（i），F=F（i）
以上的形式记号与调和原理的含义及数学表述是相同的。正相i+-可以代表正数、正定函数、向量的正方向、正曲率等等，负相i可以代表负数、负定函数、向量的负方向、负曲率等等。所以相调和因子是：++--
式中F=F（i）＞0，F=F（i）＜0。+-+-
即存在：FF＜0，F（i）F（i）＜0。
正相功能与负相功能在形式上具有高度的互补性，统一性。调和方程属于特征方程表达式，此处的大于零与小于零在形式上具有广义性，它表征一个完备的表达式在特定的函数结构方面（包括整体或局部）体现出二元性的特征，它代表一切互补的两面。
根据调和原理可以得到一系列的性质：+-（1）若，则得到具有对称性质的内禀调和方程F+F=0，由调和方程可以得到具有客观意义上的调和解。（2）若，则得到具有对称性破缺的表达调和方程，此时相调和因子会在调和过程中表达出来，而且调和过程是在真实的客观规律的支配下完成。
4.3 量关系的分析
4.3.1 微积分总论：微积分是微分与积分的合称，它们的数学表述形式与子调和原理的数学表述形式完全符合。i12n
设任意n元函数F=F（X），X={x}={x，x…x}，i=1，2，…，n定义在某区域V上，并假定F=F（X）是n元正定函数即F=F（X）＞0。下述表述采用Einstein约定。（1）微分。
式中正相++ii
F=F（i）=F（X+dX）=F（x+dx），
负相--i
F=F（i）=-F（X）=-F（x），
相调和因子[1]（2）积分。
式中n重积分假定为L积分，且：
上式中的n重积分值I体现了二元性的相互作用，其中：++0--0
正相：F=F（i）=G（x），负相：F=F（i）=-G（x），相调ii和因子。
通过以上的分析可以得到微积分的表述形式与调和原理的数学表述在形式上完全自洽，数学理论在没有赋予物理意义时，可能出现不自洽，但作为一个自洽的科学理论一定要满足调和原理的表述，微积分在自然科学上有绝对的应用地位，所以现在以微积分的自然科学的地位来理解调和原理。
下面将对微积分进行系统分析。4.3.2 极限12ni1
设n元函数F=F（x，x…x）=F（x），i=1，2，…，n在P点（x，2nx…x）的邻域内有定义，若极限：i
存在，那么称此极限值为n元函数F=F（x），i=1，2，…n在P点i处关于x的偏导数，记为：
根据调和原理在量的表现上，上述极限能稳定存在的充分必要条件是：
它是内禀调和方程。（1）微分。i121
设n元函数F=F（x），i=1，2，…n在P点（x，x…x）不受限制i的变到点P′，则n元函数F=F（x），i=1，2，…n在P′点的值为ii
F=F（x+△x），i=1，2…ni
那么n元函数F=F（x），i=1，2，…n相对于点P的变化量是iiiiii
△F（x）=F（x+△x）-F（x），若存在线性函数使△F（x）-A△xii
是比｜△x｜高阶的无穷小量，即
则称n元函数可微，且记为i
所以函数F（x）的稳定条件是调和因子iiii
dF（x）=0，即F（x+dx）-F（x）=0，
上式是内禀调和方程，根据此内禀调和方程可以得到守恒量。内禀调和方程是具有对称性的方程。（2）积分。
下面从一般的积分进行阐述。
连续函数的n重积分：12ni
A. 设n元函数F=F（x，x…x）=F（x），i=1，2，…n定义在n维可求体积的流形区域V上，通过对V的分割，近似，求和，取极限的过程便得到n重积分
式中
不连续可测函数的n重积分：11ni
B. 设n元函数F=F（x，x…x）=F（x），i=1，2，…n是定义在n维可求体积的不连续的流形区域V，j=1，2，…n上，则分别对V进行jj分割、近似、求和、取极限的过程得到各自的积分值在加和，表述式如下：
积分的行式多样，最广义的形式是坐标变换下的积分表达式，它涉及时空的度规张量g及其行列式，但任意的确定积分区域都是二μv元性的加和式，它是绝对的。4.3.3 变分（1）泛函。
泛函是一种广义化的函数形式，它是定义在积分形式下的一种函数结构，抽象的形式记法是
式中P是一个形式参量符号，n是维度，它的具体形式由具体问题决定。（2）变分原理。
泛函的变分值为零，即δJ=0。
因泛函是另一种函数结构，所以δJ=J（P+δP）-J（P）=0，显然，变分原理是调和原理的子原理。由变分原理得到的是积分形式下的内禀调和方程，因此，通过内禀调和方程可以得到具有客观实在意义的解。[2][3]（3）具体形式的泛函。2n
1）设D是平面区域，（x，y）∈D，U（x，y）∈C（D），F∈n+1C（D），则有泛函dxdy所以泛函的变分δJ=0得到调和解
此调和解满足。[4]i
2）拉格朗日力学。选取一个位形空间Q，用坐标q（i=1，2，ii…n）描述所研究系统的构型，则拉格朗日函数L[q，q，t]=T（v）-V（r），则变分原理表述为
则得到欧拉—拉格朗日方程
显然，上式是内禀调和方程，且它一般描述平动情况。
若拉格朗日函数，式中Ω是体角速度分量。I是依赖于ii刚体的形状和质量分布的常数。则由变分原理得内禀调和方程：
它描述转动效应。
所以，描述平动效应与转动效应的方程具有相似性，它们都是内禀调和方程。4.3.4 微分与变分（1）微分。
微分分为普通微分与协变微分，后者属于张量分析的范畴，普通微分是协变微分的一部分，协变微分又称绝对微分，它是一个不随坐标系变化的量，由协变微分表述的自然规律不随坐标变换而发生改变。它的表述形式在任意参考系中都相同，它满足广义协变性原理，通过微分手段可以得到函数的稳定极值。即让一阶微分等于零，或调和因子为零。当然，这当中存在一些不稳定的函数形式如F（x）=Aexp（hx），式中A，h均为与x无关的量，协变微分的形式如下：假k定一个向量场U=ue定义在某流形区域上，则协变微分是kkk[5][6]
式中dU是普通微分，是克氏符号，DU是绝对微分，根据调和原理的论述，那么稳定性条件是
根据这个特点，微分几何中的测地线方程
描述的就是一种调和态的物理过程。（2）变分。
变分是具有泛函形式的函数得到的，具体地讲，此时函数是定义在积分号下的形式。假定泛函
是定义在某区域且满足相关的边界条件，则变分
那么由变分原理得到稳定性的条件是δJ=J（y+δy）-J（y）=0（3）微分与变分的关系。
根据调和原理的数学表述形式，微分与变分的操作过程在本质上是一样的，唯一的不同就是操作对象的具体函数结构形式不同，由微分与变分得到稳定解的条件都遵守调和原理，根据调和原理的系统语言描述，微分与变分都是调和因子的分称，所以基于以上的论述，可以产生一个新的原理即微分原理，它加上变分原理一起构成调和原理的子原理。4.3.5 统一的法则
根据调和原理的统一性，将微分与变分统一为一阶调和因子，微分原理与变分原理统一为调和原理的子原理，一切得到稳定性的数学操作都在遵循着调和法则，调和法则是不变的统一法则。4.3.6 张量分析（1）总论。
张量分析在理论上显示出了数学的形式结构美，应用张量分析可以不改变物理，力学问题的本质，使物理概念更明确，数学方程由复杂变得清晰且在任何坐标下具有绝对的不变性。[7]（2）张量场的微分与导数。（采用Einstein约定）
1）零阶张量场。
零阶张量是一个数量，零阶张量场是一个函数，并记函数iU=U（x），i=1，2，3，则协变微分
协变导数
2）一阶张量场—向量场。kk
向量场可以表示为：U=ue=ue，则协变微分是kk
协变导数是
或者
3）二阶张量场。
下面以度规张量作为例子：
度规张量，
则协变微分与协变导数分别是
且恒成立，因此有
式中是第一类克氏符号，是第二类克氏符号。
上式的恒等式是具有绝对的客观性，它满足因而，根据调和原理所论述的稳定性即调和因子可以依次得到以下内禀调和方程：
以上的度规张量的特性是它完全确定时空的几何性质所决定的。当然满足这种特性的还有Eddington张量ε=（e，e，e），以上只是ijkijk形式之一，Dε=▽ε=0，Eddington张量ε=（e，e，e）表示以向ijkmijkijkijk量e，e，e为边长的平行六面体的体积，是度量时空区域的。ijk[8][9]（3）曲率张量。
1）任一协变张量A的二阶协变导数为▽▽A，交换求导次序得到ikji另一协变导数▽▽A，则有：jki
式中是曲率张量，也是曲率张量。所以向量的二阶协变导数可交换的充分必要条件是：
此条件同时也是时空处于平直态的充分必要条件。
若，则它表明时空是弯曲的。根据广义相对论理论，引力场是时空弯曲的表现，再加上WMAP探测器的观测结果，宇宙时空是平直态，引力场是宇宙的基本力场，所以这与理论不符，然而，调和原理给出了合理的解释，具体见宇宙学。（1）若，则时空弯曲的效应一定在调和过程中表达出来。这种效应表现出两个分支效应：引力与斥力。它们的调和效果是宇宙的真实运行模式。（2）若，则它描述的是一个稳恒态的平直时空。
1）曲率张量的性质：
R+R=R+R=R-R=R+R+R=0ijkβjikβijkβijβkijkβkβijijkβikβjiβjk
以上公式为内禀调和方程。
2）Ricci张量与数量曲率分别为：
3）Bianchi恒等式：
上式绝对的满足内禀调和方程：
4）Einstein张量：
由Bianchi恒等式可以推导得：ikik
▽（gR-½ggR）=0ijkjk
记G=R-½gR是Einstein张量，且ijijij
G-G=0ijji
Einstein张量的散度为零，且根据能量动量守恒，有
▽Γ=0iμv
因此存在关系式：
▽G-▽T=▽（G-T）=0iμviμviμvμv
所以，不含宇宙学常数项的Einstein引力场方程是：
R-½gR=kTμvμvμv
式中k是常数，Einstein引力场方程是由绝对的内禀调和方程得到的，因而能描述真实的客观世界。由度规张量所满足
所以，得到含宇宙常数项的完整Einstein引力场方程：
R-½gR+Λg=kTμvμvμvμv
式中Λ是宇宙学常数，它描述反引力或斥力效应，根据调和原理，它的存在是必须的。详细论述见宇宙学。[10]
5）Weyl张量。
由Riemann张量可以得到Weyl张量，它具体表示为：
显然，Weyl张量包含了Riemann张量，Ricci张量与数量曲率。因此，它具有综合性质。Weyl张量有一个特别的性质：
显然，这是一个内禀调和方程，由它一定可以得到具有良好性质的调和解。
6）联络空间ni
若对空间R中的每一坐标系（x），在一已知点M给定了一组数ii'i'i（x），并在坐标变换x=x（x）下它们按下列规律变化：
则称在点M给定了一个联络系数。n
假定在空间R中给定了一个联络系数
且这些函数是连续可微的，且一般来说，不是张量，挠率张量，nA. 若，则空间R是无挠的，Einstein引力场方程是建立在无挠的基础上的。nB. 若，则空间R是有挠的，绝对平行引力理论是建立在有挠的基础上的。C. 绝对平行引力理论是曲率张量与挠率张量的加和式为零的理论，显然，此时的描述具有一定的等效性。这种理论具有良好的发展潜力。[11]4.3.7 Killing矢量
它表示为ξ（x），Killing方程是：μ
ξ;+ξ;=0vμμvμ
若同时满足ξξ，且在引力场g中，它的解存在，那么这一引力μμv场称为稳恒引力场，时空g是稳恒时空。Killing方程是典型的内禀调μv和方程，矢量ξ（x）的两次协变导数的对易式是：μ
因此循环角标可以得到：
ξ;;-ξ;;+ξ;;-ξ;;+ξ;;-ξ;;=0μρσμσρσμρρμσρσμσρμ
将Killing方程代入可以得到：
ξ;;-ξ;;-ξ;;=0μρσμσρσρμ
于是有
上面的恒等式满足内禀调和方程，所以它们具有很好的性质。注释[1]华东师范大学数学系．数学分析．第4版．北京：高等教育出版社，2011.[2]老大中．变分法基础．第2版．北京：国防工业出版社，2010.[3]贾小勇．19世纪以前的变分法．西安：西北大学（博士论文），2008.[4]［美］马斯登，罗蒂尤．力学和对称性导论：经典力学系统初探．王丽瑾，刘学深，译．北京：清华大学出版社，2006.[5]田宗若．张量分析．西安：西北工业大学出版社，2005.[6]李开泰，黄艾香．张量分析及其应用．北京：科学出版社，2004.[7]田宗若．张量分析．西安：西北工业大学出版社，2005.[8]田宗若．张量分析．西安：西北工业大学出版社，2005.[9]李开泰，黄艾香．张量分析及其应用．北京：科学出版社，2004.[10]M. Carmeli，S. Malin. Theory of Spinor：An Introduction．北京：世界图书出版公司北京公司，2003.[11]王永久．经典宇宙与量子宇宙．北京：科学出版社，2010.
4.4 几何结构关系的分析
4.4.1 总论一切存在物都有几何结构，外在的或内禀的。这些几何结构能给人感性认识，但更准确的刻画是关于几何结构内在的数量关系。几何结构的层次关系依次是：点，线，面，体。其中点是基本的单位元素。线分为直线与曲线，面分为平面与曲面，体则由面构成。一切直线与平面的曲率都为零，这是它们的共性。曲线与曲面的曲率除极值点外处处为零。体指的是时空区域，因此，时空的描述分为平直时空与弯曲时空。（1）点：●（2）线：（3）面：（4）体：4.4.2 曲率
根据调和原理的数学表达式：++--
式中，F=F（i）＞0，F=F（i）＜0。
结合调和原理的二元性与几何结构的分析可以得到：几何结构除基本元素点以外只有两种态：平直态与弯曲态。其中弯曲态包括两种基本形式的态：正曲率态与负曲率态。正曲率态与负曲率态的作用功能之和是曲率调和因子，它们的具体形式表述如下：++--
F（i）=F（k）＞0，F（i）=F（k）＜0+-
式中k，k分别是正曲率与负曲率，它们都是作用功能的函数。是正曲率与负曲率的作用贡献的结果即曲率功能调和因子。（1）若，则得到具有绝对对称性的内禀调和方程：+-
F（k）+F（k）=0
上式的守恒方程揭示了正曲率与负曲率的作用贡献是互补的，绝对不变的。因此，这个系统对外表现出平直态，而系统内部依旧是弯曲态，且是调和的状态。（2）若则得到具有绝对对称性破缺的表达调和方程：+-
F（k）+F（k）≠0
因此，它揭示了破缺的部分会在调和过程中以调和信息表达出来。这是破缺机制的必然结果。
自然界中有一种曲线具有很好的属性，它就是悬链线。悬链线满足调和原理的论述，原因之一是它等效满足受力平衡，即线处于调和态，此时必有二元性体现出来；原因之二是描述悬链线的数学方程满足调和方程：
式中是双曲余弦函数，a是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数。具体来说，其中g是重力加速度，λ是线密度（假设绳子密度均匀），而T是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决0于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了T0
其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。悬链线的原理在工程中的应用很广泛，如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。4.4.3 曲率能
曲率的存在表明能量的作用效应，将此能量命名为曲率能。因此，两种形式的曲率对应两种曲率能。显然，曲率能是曲率的函数。现表述如下：+++---
F（i）=F（E（k））＞0，F（i）=F（E（k））＜0++--
式中F（E（k）），F（E（k）），分别是正曲率能的贡献功能与负曲率能的功能贡献，曲率能功能调和因子。（1）若，则得到具有对称性的内禀调和方程：++--
F（E（k））+F（E（k））=0
它描述的是稳定性质的物理状态。（2）若，则得到具有对称性破缺的表达调和方程：++--
F（E（k））+F（E（k））≠0
它描述的是破缺信息或调和信息会在调和过程中表达出来。4.4.4 形变能
任何形变的结构体都具有能量，它在几何结构上表现为弯曲形式即非平直态。此时，几何结构若是稳定存在，那么，它一定体现出调和原理的二元性的共同作用贡献。
4.5 调和方程
4.5.1 总论调和方程根据是否破缺分为两类：内禀调和方程与表达调和方程，前者的统一形式是
，它揭示了调和原理的二元性，具有绝对客观真实性的现实意义。后者的统一形式是，它揭示了对称性绝对破缺的形式，因而，调和信息会在调和过程中表达出来。调和方程的统一形式是。
其中有一种内禀调和方程的形式是：
式中m与n分别代表变元的数量，偏导阶数。n=1，2，…4.5.2 二阶偏导数所构成的调和方程
总论：二阶偏导数所构成的调和方程包括波动方程，热传导方程，Laplace方程，Possion方程等，它们都描述客观真实的物理现象，它们属于内禀调和方程或表达调和方程。（1）n维Laplace方程。
设U=U（x），i=1，2，…n定义于n维流形上，若i
式中是n维Laplace算子，则它称为n维Laplace方程。显然，n维Laplace方程完全满足内禀调和方程的形式：
因而，n维Laplace方程具有绝对的客观真实性。
1）狭义相对论揭示了时空的四维性，即n=4，此时四维梯度算[12]符是：
根据调和原理的论述，它在形式上符合二元性的要求。
因此，对于静质量为零的微观粒子可以得到四维Laplace方程，[13]它就是Klein-Gordon方程：
式中
上式的Klein-Gordon方程的解形式是波动方程：μ
Ψ=exp（-ipx）=exp［i（p·x-Et）］μ
式中采用自然单位制，显然，它是由内禀调和方程得到的而μ且因子-px=p·x-Et是作用量的运算，因而具有一定的完备性，从而μ它能描述客观物理现象。[14]
2）电磁波。
电场与磁场的无源波动方程是：
式中E，H分别是电场强度与磁场强度，且
其中c，D，B，ε，μ分别是光速，电位移矢量，磁感应强度，真空介电常数，真空磁导率。波动方程包含了电场，磁场的旋度性及散度性质，它完整的反映了交变电磁场的相互关系及电场，磁场与源的关系。上式也揭示了电磁波的传播速度等于光速，这满足最高效率原理。显然，上式方程的解是调和解具有客观真实性。其中对于均匀的简谐平面波有亥姆霍兹方程描述即，它的解形式是E=Eexp（-ikz）+Eexp（ikz），它的解形式满足调和原理的数学表x00述。
因此狭义相对论描述的时空具有完备性。也正是由于这一点，在狭义相对论框架表述的物理规律具有一定的协变性即物理规律不随坐标系的变换而发生改变。因而狭义相对论理论能很好地描述客观物理现象。[15][16][17][18]
3）若n=3，则得到三维Laplace方程。
显然，它是内禀调和方程。所以，通过求解此内禀调和方程可以得到具有客观实在的物理机制。上式的调和解是球面波解，即：
式中C是常数，r是球的半径。球面波解揭示了发生在三维空间的波动形式是以波源为中心的球面波。这是调和的形式。客观事实成功的说明了这一点。同理，若n=2，则得到二维Laplace方程：
它的解是：22½22U2
U（x，y）=ln（x+y），x+y=（e）
由复变函数理论，任何解析函数ω（z）：
ω（z）=ξ（x，y）+iη（x，y）
其中z=x+iy，实部ξ（x，y）及虚部η（x，y）都是二维Laplace方n程的解，幂次函数z，n≥0是解析函数：nnn
ω=z=（x+iy）=rexp（inø）
其中（r，ø）是平面极坐标或圆域坐标，于是：nn
Re（ω）=rcosnø，lm（ω）=rsinnø-n
都是二维Laplace方程的解，当r→∞，ω=z是解析函数故：--nn
Re（ω）=rcosnø，lm（ω）=-rsinnø
是二维Laplace方程在无限远处正则的解。所以，在平面极坐标下的完备解是：
以上的调和界揭示了发生在二维平面的波动过程是按圆域形式进行调和的。满足n维Laplace方程的函数称为调和函数，它具有如下性
[19]质：
A. 均值性：调和函数U=U（x），i=1，2，…n在其定义域G内任i一点的值M，等于U=U（x），i=1，2，…n在以M为球心，而含于G0i0中的任一球面S上的积分平均值：R
反之，若U=U（x），i=1，2，…n满足均值公式，则U=U（x），iii=1，2，…n在G内必定是调和函数。
B. 极值性：调和函数不可能在其区域内部达到极值，故极大值与极小值只能在G的边界上取得。
C. 守恒性：调和函数在其区域内部守恒即：
式中是方向导数，它的物理意义是：穿过闭曲面的物理量守恒。
上述有关调和函数的性质满足调和原理的论述。（2）n维Possion方程。
设u=u（x），i=1，2，…n定义于n维流形上，若i
式中P是任意不为零的参量。是n维Laplace算子，显然，n维Possion方程完全满足表达调和方程的形式：
所以，n维Possion方程描述的是一种在调和过程中会有调和信息表达出来的客观情景。若n=4，对于静质量不为零的微观粒子得到[20][21]Klein-Gordon方程：
式中m是粒子的静质量。自由粒子的Klein-Gordon方程也可写为0
含有质量项的解形式是μ
Ψ=exp（-ipx）=exp［i（p·x-Et）］μ
则有
所以，解包含正能量与负能量，调和原理的论述表明一定存在这两种形式的能量。它是真实客观存在的。且正能量与粒子（正粒子）联系，负能量与反粒子（负粒子）联系。这是调和原理所必需的。具体讨论留在量子场论。
若n=3，则可以得到三维空间的Helmholtz方程2
△U=-kU
它的解是两个球对称解：
式中k是任一实数。根据调和原理的论述可以得到完备解形式：
完备解揭示了一个完整的物理过程是二元性的共同结果。
考虑波动方程U-△U=0，tt
则可以得到时谐解U（r，t）=U（r）exp（-ikt），则U（r，t）满足Helmholtz方程，由两个球对称解可以得到具有二元性的完备解
式中ø（r，t）表示从原点向外辐射的球面波，ø（r，t）表示12由无穷远处向原点入射的球面波。从而由调和原理的论述可以得到完备解形式：
它表明完备的调和过程是二元性共同的作用贡献。
以上的完备解形式都是根据调和原理完善得到的具有客观性的规律。（3）n维波动方程。
设U=U（x），i=1，2，2…n定义于n维流形上，则称满足i
的方程是n维波动方程。
显然，若f（x，t）=0，i=1，2，…n，则n维波动方程变为n维内i禀调和方程
若f（x，t）≠0，i=1，2，…n，则n维波动方程变为n维表达调和i方程
1）若n=3，f（x，t）=0，i=1，2，3且z＞0，t＞0，则有方程：i[22]
它的解是
上式解又称为Possion解，显然，它描述了一种调和的方式。它[23]的物理意义如下：
以点M（x，y，z）为球心，r=at为半径作出球面，然后将初始扰动Φ，Ψ代入球面波进行积分，积分只在球面上进行，只有与M相距为at的点上的初始扰动能够影响U（x，y，z，t）的值，M（ξ，0η，ζ）处的初始扰动在时刻t只影响到以M（ξ，η，ζ）为球心，r=at0为半径的球面上的各点，上任一点以r=at为半径作球面必须经过M（ξ，η，ζ）点，这表明了扰动是以速度a传播的。这是调和机制0的运作结果。球面解与圆域解都是调和的结果，它们都是客观的物理运作形式。
方程：2
U-a（U+U+U）=0ttxxyyzz
化为球坐标系的表示形式是：
它的解具有球对称性即：
此解的物理意义是左行列波与右行列波的叠加，显然，它的解形式完全满足调和原理的表述，而且这个解具有完备性，它严格地体现了调和原理的二元性。[24]
2）若n=1，且f（x，t）=0，i=1，则有方程：i2
U-aU=0ttxx
它的解是：
此解的物理意义是左行列波与右行列波的叠加。它完全符合调和原理的二元性论述。上式方程在能量积分
下可以得到
即E（t）=Const或。
上式的解物理意义很明确，它表示波动过程中能量守恒。（4）n维热传导方程。
1）总论：热传导方程又称扩散方程，它描述的是自发的不可逆的单向物理过程。即它描述调和过程。如河水流动、热传导、气体扩散、量子力学中的薛定谔方程，一种描述微观粒子的运动方程它最初由波函数倒推得到等等。因此，此类方程具有绝对的实在性。
2）设U=U（x），i=1，2，…n定义于n维流形上，则称满足：i
的方程是n维热传导方程。
若f（x，t）=0，i=1，2，…n，则得到内禀调和方程i
它描述稳定的调和过程。
若f（x，t）≠0，i=1，2，…n，则得到表达调和方程i
它揭示调和信息的存在。
3）薛定谔方程：
式中V（r）是系统势能。
若，则有内禀调和方程△Ψ=0。
若，则有表达调和方程注释[12]W. Greiner，J. Reinhardt. Field Quantization. 北京：世界图书出版公司北京公司，2003.[13]W. Greiner. Relativistic Quantum Mechanics：Wave Equation. 北京：世界图书出版公司北京公司，2003[14]刘连寿．理论物理基础教程．北京：高等教育出版社，2003.[15]程建春．数学物理方法及其近似方法．北京：科学出版社，2004.[16]黄大奎，舒慕曾．数学物理方法．北京：高等教育出版社，2001.[17]王元明．数学物理方程与特殊函数．第3版．北京：高等教育出版社，2004.[18]陈恕行，秦铁虎，周忆．数学物理方程．上海：复旦大学出版社，2003.[19]陈恕行，秦铁虎，周忆．数学物理方程．上海：复旦大学出版社，2003.[20]W. Greiner. Relativistic Quantum Mechanics：Wave Equation. 北京：世界图书出版公司北京公司，2003.[21]W. Greiner，J. Reinhardt. Field Quantization. 北京：世界图书出版公司北京公司，2003.[22]王元明．数学物理方程与特殊函数．第3版．北京：高等教育出版社，2004.[23]黄大奎，舒慕曾．数学物理方法．北京：高等教育出版社，2001.[24]陈恕行，秦铁虎，周忆．数学物理方程．上海：复旦大学出版社，2003.
4.6 总结
调和原理在数学上的体现处是数学方程的表达式体现为二元性。具体的表述形式是变化实质的表达式以及数学图形表现出来的凹凸性。二元性图示：
上面的图示与数学中的正数与负数或正量与负量完全自洽。数学中只存在这唯一的两种量形式，9点与数学中的9符合，它作为一个调和点沟通正数与负数。所以，调和原理的量体现与数学符合。
第五章 物理篇
5.1 物理的本质
物理是指一切宇宙存在体运行的客观规律及它们存在的理由。在一定层面上，物理包括化学、生物等。宇宙存在体都有共同的数学起源，而物理规律的描述完全依赖于数学，这暗示了物理学规律也有相同的起源。这个起源就是能量结构。整个宇宙就是一个能量场，它主要体现为物质能与结构能。同时这也表明终极的物理规律一定是一个关于能量结构的数学表达式。通过这个能量结构表达式采用不同的数学手段的处理则可以得到各个物理分支领域问题的精确解释。因此，物理的本质是对能量结构的统一，这是物理学的目标，从统一角度来认识自然界的统一性。所谓统一即纳入一个统一的模式或方程来描述一切客观存在物。显然，调和原理的数学表述形式是一个完美的统一[1]结构模式。如牛顿实现了天体力学与机械力学的统一，Maxwell实现了光与电磁场的统一，狭义相对论实现了时空的统一，广义相对论实现了引力与时空几何的统一，量子力学实现了化学与原子物理的统一，弱电统一理论实现了电磁场与弱作用场的统一，超弦理论有可能实现四种相互作用力场的统一。以上这些统一只是局部领域的统一，这种统一既是场的统一，又是力的统一，也是相互作用的统一，一切归结起来最终都是能量的统一，是对不同形式的能量结构的统一描述。注释[1]高隆昌．大自然复杂性原理．北京：科学出版社，2004.
5.2 子调和原理在物理上的表述
物理是揭示一切客观存在物变化规律的真理。根据调和原理的二元性可以得到一个完备的变化规律一定具有二元性的特征。所有的客观存在物都是处于一定的状态，现用“相态”表示所有客观存在物可能存在的状态。客观的存在物一定具有两种基本相态，它们分别是正相态与负相态，那么任何真实的物理态一定是正相态的作用功能与负相态的作用功能之和，即真实的物理态是一种复合态或叠加态。叠加态又分为稳相态与非稳相态。非稳相态又叫过程相态或表达相态，所以统一用调和因子表示叠加态。通过调和因子来刻画真实的物理态是否处于稳相态。下面采用调和原理的形式记号表述物理态，调和因子是：
式中是调和算符，它作用于功能函数F=F（i）上代表调和的结果是正相态的作用功能的正贡献与负相态的作用功能的负贡献的总贡献。++--
正相态的功能与负相态的功能分别记为F=F（i），F=F（i），以上的形式记号与调和原理的含义及数学表述是完全一样的。正相态+i可以代表正方向的力，磁场南极，高电势，正电荷的作用贡献，正-能量，正作用量等等，负相态i可以代表反方向的力，磁场北极，低电势，负电荷的作用贡献，负能量，负作用量等等。所以调和因子是：++--
式中F=F（i）＞0，F=F（i）＜0。
正相态的功能与负相态的功能在客观意义上具有绝对的统一性。此处的大于零与小于零只是物理规律在量的关系上的反映，更本质的是正相态与负相态的真实客观体现。根据调和原理可以推出一系列的性质：+-（1）若，则得到具有对称性质的内禀调和方程F+F=0，由内禀调和方程可以得到具有客观意义上的调和解，此调和解揭示了客观物理实在的稳定性质。（2）若，则得到具有对称性破缺的表达调和方程，此时相调和因子会在调和过程中表达出来，而且调和过程是在真实的客观规律的支配下完成。
根据性质（2）可以推断出：宇宙的一切物质都是通过这种破缺机制而诞生的。可以设想一下，在宇宙大爆炸之前的很长一段时间，所有一切即正物质与反物质都处于调和的量子态，由于某种创世的因素导致对称性破缺，那么调和机制就会自发地调和，在调和过程中破缺的那一部分得到体现，它就是时空与一切物质。
5.3 能量分析
5.3.1 总论从本质上来看，宇宙是能量场。一切客观存在物都是能量体，它们都具有能量结构。能量是一个抽象的物理概念，之所以抽象是因为它能解释一切。能量是自然科学研究的本质问题，一切自然现象本质上都是能量的体现。能量的表达是通过对外做功而得到体现的。这种能量一般称为显能，隐能一般是结构能。做功的过程是能量之间转化的过程，它更是调和过程。能量在一般意义上的分类可以分为：固定能与自由能。其中固定能主要是结构能与物质能，自由能主要是系统状态能（机械能）、场能、热能。一切相互作用实质上是能量之间的相互作用的效应体现。能量是标量（不变量），它是一个绝对量。这与数学的量的本质是标量完美的自洽。所以，自然科学的统一一定是能量的统一。任何能量的作用过程都有一维时间的积累，能量对时间的积累得到作用量，它才是客观效应的体现者。根据狭义相对论对时空的统一描述，能量是四维动量的一个分量，所以，三维动量对空间的积累也得到作用量，具体表述如下（经典表述）：
设四维动量是P，μ=0，1，2，3，四维坐标是作用量是I，则有：μ
式中采用Einstein约定，上式的表述并不具有完备性，所以需要根据调和原理进行修改，这是后续工作。5.3.2 宇宙中的能量结构层次[2]（1）质量能。
质量能是由物质质量决定的能量形式，它由内能和相对动能之和构成，由Einstein的狭义相对论中的质能关系有：
物质的总能量∑E=相对动能T+内能∑E0222
数学表述是：∑E=mc=T+E=½mv+mc00
式中是动质量，m是物质的静止质量。v是物质的相对速0度，c是光速。上式的等式揭示出一切具有静质量的物体皆有相应的在牛顿意义下看不出来的内在能量。质量能是统一相对动能与内能的。（2）结构能。
总述：宇宙的一切客观存在物都具有绝对的结构能。
结构能是一切客观存在物，它可能处于任意的状态，都是由基本粒子（玻色子，费米子）经过一定层次的结合而成的。因此，结构能是客观存在物的固有属性能。这揭示了时空本身一定有时空结构能，它可能是调和能，因而它属于隐性能。超对称理论完全符合调和原理的表述，因而超对称理论具有客观实在性，所以它成功的说明了这一点，具体解释由量子场论给出：客观世界只存在两种形式的粒子，玻色子与费米子，它们在量子态的真空期望值分别是：正能量，负能量，故能量调和因子：
这揭示了空间是存在结构的，从内禀调和方程可以说明真空异常稳定的原因：这正是调和的结果。但在特定条件下真空是破缺的即它具有可观测的物理效应。详细阐述留在后续。结构能一般是以稳定的形式存在，因此要利用结构能一般需要外界因素的扰动。但存在外界因素的作用时，存在物的结构一般会发生变化，那么，稳定的结构能将在局域变得不稳定，此时，存在物会自发地调和以达到新的稳态。根据调和原理的推论，此时在调和过程中会有能量表达出来。以释放能量或吸收能量的方式达到调和态。下面使用调和原理的语言系统进行阐述：假定某存在物稳定的以某固定的结构存在，它自身拥有的结构能总量是∑E （假设这个系统与外界无能量交换），在某一时刻，系统受到外界能量因素E的扰动而发生变化时，记系统的结构调和到0再次稳定的结构能量是∑E′，
那么能量调和因子，现以调和原理作为依据进行分析：1）若，则系统的结构能保持守恒。2）若，则系统释放了结构能。3）若，则系统吸收了外界能的部分或全部。（3）系统状态能。
系统状态能是描述系统所处状态的能量形式，它主要表现为相对动能与系统势能（这里的系统至少是两个存在物），如系统势能有：2具有负能量的引力势能，弹性势能E（x）=½kx等，相对动能有：2
平动相对动能E（v）=½mv，转动相对动能E （r，m，ω）=½22Jω，J=∫rdm等。因此，在对客观存在物的描述当中普遍采用相对动能与系统势能进行描述，系统状态能又称机械能，它是相对动能与系统势能之和。因为能量是标量，所以可以进行线性运算，即能量的线性运算得到的依旧是能量，正是出于这个重要的性质，所以才有了在量子力学中被广泛采用的哈氏量H=T+V和量子场论中通用的拉式量L=T-V，式中T是相对动能，V是系统势能。（4）场能。
根据量子场论，每一种粒子都是一个场的量子态，任何粒子都具有量子能。所以，场能的基本构成单元是量子能，场能的物理效应是量子能效应的统计结果或集合体。场都有一定的空间分布范围，因而它具有一定的几何分布结构性。宇宙是一个能量场且有时空结构，所以宇宙有结构能。场存在于时空结构中，因而，场能受宇宙结构能的作用而发生交互作用，这影响着场的量子态即粒子的运行形式。更准确地讲，客观粒子的运行方式是调和的结果，至于背后参与调和的两种对立因素具有怎样的特性取决于确定的物理环境。物质场的场能形式如热场、辐射场等，物质场就是质量能，它的结构能只有在结构发生变化时才由隐性能变为显性的可以观测的能量形式。当然，这当中有明显与不明显之分。通常情况下，物质场的变化伴随着系统状态能的显现。系统势能是针对于两个系统而言的，它们的相对距离表明它们的相互作用是通过场的形式完成的，系统势能就是沟通两个系统的场能。[3]（5）热能。
热能是一种普遍存在的自由能形式。热能具有如下的特点：1）热能可以直接做功或热能可以直接转化为机械能。2）热能可以作为自由能直接传播，输送以增加相对冷的系统温度。一切物质系统皆可接受热能，所谓“绝热系统”只是相对的说法。3）几乎一切系统在做功的同时都要产生热能，因为功并非一种实在，它只是机械能转化为热能时的一种表象和度量。4）星系的演化过程始终表现为热能的产生与传播过程。
总之，热能可以表现为能量交换（做功）的中介形式。5.3.3 完备的能量理论（1）能量理论的完备性是以调和原理作为指导而建立的。
根据调和原理的二元性与统一性，一个完备的能量结构体系一定是建立在正能量与负能量的基础之上的。这一点具有绝对的客观真实性。根据前面的能量分析，任意形式的能量的线性运算得到的仍然是能量。以调和原理作为运作原理，一切相互作用的本质是能量的转化。下面根据调和原理的数学表述形式建立完备的能量理论：+-
设能量的集合体是E，正能量与负能量分别表示为E，E且+-+-，。式中E＞0，E＞0，E＜0，E＜0，则能量结构ii+-的集合E={E，E}，能量的功能函数定义为F=F（E），那么，一切客观的交互作用都是正能量贡献的作用功能与负能量贡献的作用功能之和，用功能调和因子+-
表示，且F（E）＞0，F（E）＜0，此处的大于零与小于零只是一种形式体现或量纲体现。所以：
式中变形的根本原因在于能量具有运算的线性性。现对上式进行调和分析：
若令能量的功能函数F=F（E）是能量本身，即F=F（E）=E，那么得到能量调和因子是1）若，则得到具有时间对称性的内禀调和方程，此时能量是绝对的不可测量的量。因此，它具有绝对的守恒性。由能量调和方程得到的是稳定的描述性质。从这个内禀调和方程可以揭示出隐性能（两种互补的能量的和效应）的真实存在的不可观测性。时空可能就属于这种情况。2）若，则得到具有对称性破缺的表达调和方程，此时能量是绝对的可观测的量，因为能量一定会在调和过程中表达2出来，这个表达调和方程必然表现出显性能。根据质能关系E=mc，此时显性能有可能表现为质量，或者转化为其他存在物。将这种情况应用到时空，那就是真空破缺而导致真空的可观测性。
根据以上的分析可以推断出：真空或时空必定具有内部的物理结构，但它的运作原理一定服从调和原理。因此，通过特殊的途径使真空破缺，那么它一定会自发地调和，在它调和的过程中用特别而可行的方法利用这个调和的显性能，那么实现操控时空的目的，这在理论上是可行的。（2）能量完备性的简短证明。
设任意的客观体系由功能调和因子：完全描述。能量μ4E=E（x），μ=0，1，2，3，定义于四维点集Ω或四维流形上，则有：++μ--μ
E=E（x）＞0，E=E（x）＜0，μ=0，1，2，3，所以有
且有，此时有，且是有限大的量。若在是无穷小量，中有意义，故：，只要：
或：是四维流形的度规张量，则有，即
所以有，即得证。5.3.4 完备的作用量原理
总述：作用量是定义在积分下的一种泛函，作用量原理是建立在变分原理的基础上的，而变分原理是调和原理表现在量关系上的子原理。所以完备的作用量原理是调和原理的必然结果。因此，由调和原理的客观真实性，作用量原理的完备性必须根据调和原理来建立。[4]（1）物理上广泛使用的最小作用量原理的总述。
最小作用量原理是变分原理在物理上的具体应用。它的具体内容是：对于任何有势力作用下的完整系统的质点系，在给定始点和终点的状态后，其真实的运动与任何容许的运动的区别是真实运动使泛函
达到极值，即满足变分原理
式中T，V分别是相对动能与系统势能。
所以根据得到Euler-Lagrang方程：
Euler-Lagrang方程具有绝对的形式不变性。式中的变量x可以是ø[5]
此时，则Euler-Lagrang方程是
显然，Euler-Lagrang方程是根据变分原理得到的内禀调和方程，因而它具有客观的实在性。
根据最小作用量的数学表述可以得到这里的作用量只涉及两个动力学函数，它明显具有表述的狭义性，在很多情况下并不满足调和原理的要求，因而这种表述并不完备。（2）完备的作用量原理。
总述：作用量是能量对时间的积累或三维动量对空间的积累。根据狭义相对论的四维表述，即四维动量对四维时空的积累。显然，根据以上的论述，作用量是真正的客观物理效应的反映。任何一个具有客观意义的描述性方程通过变分原理得到的完全取决于作用量的表述是否完备。5.3.5 四维时空下的完备性表述
根据调和原理及其具有的二元性与完备的能量理论推导作用量的完备性数学表述。+-
设作用量的集合体是I，正作用量与负作用量分别表示为I，I，++-+-且I，式中I＞0，I＞0，I＜0，I＜0，，那么，作用量结构ii+-的集合I={I，I}。功能函数F=F（I），它表示作用量贡献的作用功能，四维动量是P，μ=0，1，2，3，所以有：μ
则功能调和因子：
式中是四维正动量，是四维负动量，它们贡献的作用功能分别是，所以完备的作用量表示为：+-
式中F（I），F（I）分别是正作用量贡献的作用功能，负作用贡献的作用功能。是作用量的功能调和因子。且有：
上式中运用的是作用量具有标量性质的事实。下面根据调和原理对作用量的功能调和因子进行分析继而得到完备的作用量原理：（1）若则得到具有绝对对称性的内禀调和方程
此方程具有客观的不可测量性，但可以将此方程描述的客观情景等效处理。这也揭示作用量的守恒性，正作用量贡献的作用功能与负作用贡献的作用功能完全等效。因而，它描述的是一种调和态。从内禀调和方程可以得到绝对的客观规律。它不随时空变换而发生改变。所以，完备的作用量原理具有绝对性，它的表述是：对于任意客观的调和过程，一个具有完备性的描述体系是使真实客观的自然过程满足调和机制所赋予的性质。数学表述是定义在积分下的泛函作用量的功能调和因子的变分为零即：那么根据调和算符的运算特性一定有，这正是具有绝对对称性的内禀调和方程。它是一切真实的客观实在的固有属性。（2）若，则得到具有绝对对称性破缺的表达调和方程0，那么此表达方程描述的是一个在调和过程会有调和信息表达出来的客观情景。正作用量贡献的作用功能与负作用贡献的作用功能完全不等效。因而，它具有绝对的可观测性。1）若，则调和方向是，2）若，则调和方向是，+-
式中0，0分别指正方向，负方向。图示如下：
作用量的完备性与能量的完备性证明模式是一样的。这里不再赘述。现对作用量的功能函数进行特殊分析：
若让作用量的功能函数F=F（I）=I即作用量贡献的功能就是客观存在物的相互作用。那么作用量调和因子是：四维动量
式中采用自然单位制，即c=1，将调和算符作用于四维动量，则有：
所以有：，此时
1）若，则一定有
因而有，这个具有对称性的内禀调和方程揭示出动量守恒，能量守恒和作用量守恒。
2）若，则一定有
因而有这个具有绝对对称性破缺的表达调和方程在调和过程中会体现为某些效应。这种效应包括可观测的运动形式和不可观测的运动趋势。
显然，作用量具有客观的实在性和基础性。通过它可以定义动量与能量或四维动量。注释[2]高隆昌．大自然复杂性原理．北京：科学出版社，2004.[3]高隆昌．大自然复杂性原理．北京：科学出版社，2004.[4]老大中．变分法基础．第2版．北京：国防工业出版社，2010.[5]戴元本．相互作用的规范理论．第2版．北京：科学出版社，2005.
5.4 对称性与守恒律
5.4.1 总论对称性在客观上体现了调和原理所阐述的二元性。对称性所满足的根本性关系是形式上的内禀调和方程：
内禀调和方程具有绝对的客观实在性。由它揭示的客观规律具有绝对的真实性即在任意的变换下客观规律的数学表述形式绝对不变。若一个物理体系在某种变换下保持所有的物理规律不变，则称体系具有某种对称性。相应的变换称之为对称变换。一切客观的守恒定律都分别联系于某种对称性，所有的守恒定律都分别以某种对称性作为它更深一层或本质的物理原因。根据调和原理可以得到对称性来源于不可测量性或不可区分性即内禀调和方程所体现的是调和态。然而，有表达调和方程≠0，它揭示了对称性破缺，所以一定有某种客观存在物在调和过程中表达出来，因而，对称性破缺来源于可观测性或可区分性。而且对称性破缺是普遍存在的，宇宙的存在物来源于对称性破缺。对于前者如空间没有绝对原点，所以可以任意选择参考坐标系的原点，而物理学定律的数学表述保持不变即绝对位置是不可测量的，它对应空间平移变换。这种对称性表现为动量守恒。同理，时间平移对称性联系于能量守恒定律，空间转动对称性联系于角动量守恒，空间反演不变性联系于宇称守恒，具体的对称性不变性导致的守恒量见下表：表5-1 守恒量变化
目前，物理学所知的粒子如下图（5-1）：图5-1 粒子5.4.2 时间对称性与能量守恒
若能量调和因子，定义在流形Ω上，若对任意的时间增量dt都有
则能量守恒即。[6]（1）高速运动粒子的守恒定律。
设一个封闭系统在t=9时由n个粒子组成，E，P；E，P分别α0α0αα表示第α个粒子在t=0及t时的能量与动量，封闭系的能量守恒定律与动量守恒定律可表述为：
式中粒子数n，n′可以不同，下面讨论结合能的情况。
一个静质量为m，速度是v的物体，由于内部原因分裂成两个静0质量分别为m，m，速度分别为v，v的物体，能量守恒定律010212
动质量守恒
这说明在相对论中能量和质量守恒是一致的，根据调和理论，任意客观规律均遵守守恒定律，对于破缺也一样，只是此时守恒的部分要加上破缺的部分。这里，静质量一般不守恒，即：
且静能一般也不守恒
上面的两个不守恒意味着调和信息的出现。
总能E写成静能与相对动能之和：
这表示当物体分裂后，静能比原来减少了，而动能增加了。这表示物体m的一部分静能释放出来转化为m，m的动能。12
质量亏损，它就是物体分裂时的调和质量，结合能即调和能，它是m，m结合为m时释放的能量。上面12的物理现象都是在调和过程中得到体现。5.4.3 空间对称性与动量守恒
若能量守恒，则有，若对任意i的空间坐标增量dx都有：
即：i
式中x是相对距离。且：
式中F是守恒的分力。即：i
由
则动量守恒即：5.4.4 空间转动对称性与角动量守恒
若能量守恒，用球坐标系表示能量函数E=E（r，θ，φ），则对任意的空间转动角度dφ都有：
则有：
所以，角动量守恒即：5.4.5 经典泊松括号与量子泊松括号（1）若任意的力学量F=F（t，q，p），α=1，2，…n定义于某αα[7]时空范围或区域之上，则由哈密顿函数与拉格朗日函数：
和哈密顿正则方程组：
与拉格朗日方程组：
式中g是时空度规。αβ[8]
可以得到力学量的全导数是：
式中：
是经典泊松括号，若：
则力学量F=F（t，q，p），α=1，2，…n是显含时间t的守恒αα量。
若，则等价于
［H，F］=0
即：
上面两种情况都满足内禀调和方程：
泊松括号具有绝对的恒等式：
［F，［G，H］］+［G，［H，F］］+［H，［F，G］］=0
它也满足。（2）若任意力学量F在任意态｜Ψ〉中的平均值为：[9]+
根据力学量F的厄米性F=F经过推演可以得到：
式中：
是量子泊松括号，所以有：
若在任意态矢｜Ψ〉中，有：
则力学量F是守恒量。且：
若：
则力学量F显含时间t守恒，
若，则等价于：
上面两种情况都满足内禀调和方程：
在海森堡表象中，力学量算符的运动方程是海森堡方程，在相空间（q，p），对运动学变量：广义坐标与广义动量分别是q，p，αααα（算符上的标示略去不写）。则有：
由以上可以得到内禀调和方程：
则等价于：
［q，H］=［p，H］=0αα
它们满足：[10][11][12][13][14]5.4.6 宇称守恒与时间反演守恒（1）若对任意的波函数Ψ=Ψ（r，t），总是满足：
πΨ（r，t）=Ψ（-r，t）
则π称为宇称算符。若体系哈密顿量算符具有空间反演不变性即：
πH（r）=H（-r）=H（r）
则对于任意的波函数Ψ=Ψ（r，t），总有：
［π，H］=0
上式就是宇称守恒。它表明空间的绝对左与右是不可观测的，只有发生破缺时才能观测到左与右的区别即［π，H］≠0。这一点在弱相互作用中得到了体现，显然，左与右的区别所表达出来的信息正是调和信息。（2）若对任意的实函数Ψ（t）（复函数Ψ（t））总是满足：
TΨ（t）=Ψ（-t），（TΨ（t）=Ψ*（-t））
则称T为时间反演算符。所以时间反演守恒表述为：
［T，H］=0
当然，在某些情况下存在时间反演对称性破缺即［T，H］≠0。此时调和信息将会得到表达。[15]5.4.7 规范不变性（1）总论。
规范不变性分为整体规范不变性与定域规范不变性。规范不变性是场在内部空间的对称性，内部空间是为了描述粒子场的内部性质如电荷，重子数，轻子数，同位旋，味道，颜色，底数等而引入的抽象空间。[16]（2）规范群。
在规范理论中，内部空间的转动用规范群G来表示，规范群的元素写作：αα
U（θ）=exp（-iθT）α
式t中是群G的生成元，它满足对易关系：αβαβγγ
［T，T］=ifTαβγ
式中f是群G的结构常数，α，β，γ=1，2，…n，n是群G的维数α且等于生成元的个数。θ是群G的参数。
1）规范变换。
在内部空间的转动下，场量φ（x）作变换σ
上式变换称为规范变换。α
若群G的参数θ是与时空坐标无关的常数即，则称之为整体规范变换。αααμ
若群g的参数θ是时空坐标的函数即θ=θ（x），μ=0，1，2，3，则称之为定域规范变换。
以上的整体指时空各点的场量都作同样的变换，定域指时空各点作各自不同的变换。
2）整体规范不变性。
设场量φ（x）=［φ（x），φ（x）…φ（x）］，它在内部空间12nαα的转动下的变换即规范变换可以写成：φ′（x）=exp（-iθT）φ（x），由于=0，所以场量的时空导数与场量作同样的变换，即
所以物理系统在内部空间的对称性用拉格朗日密度函数表示的规范变换下的不变性是
由此内禀调和方程得到调和解即守恒定律：
即：
式中是守恒流。则守恒荷是：
3）定域规范不变性。
设场量φ（x）在定域规范变换下，场量按：αα
φ（x）→φ′（x）=exp（-iθ（x）T）φ（x）
的规律变换。而场量的协变导数Dφ（x）和场量按同样的规律μ变换即αα
Dφ（x）→D′φ′（x）=exp（-iθ（x）T）Dφ（x）μμμ
式中称为规范势，g是相互作用常数。此时定域规范不变性在拉格朗日密度函数上的反映是
L（φ′（x），Dφ′（x））-L（φ（x），Dφ（x））=0μμ
显然，根据此内禀调和方程可以得到更具有客观意义的调和解。
4）Higgs场的破缺对称性。
A. 满足，的场φ（x）称为Higgs场。
B. 虚质量与破缺真空。
Higgs场在内部空间只有一个分量的情况：
显然它具有反射对称性即L=L，广义动量是：-φφ
哈密顿密度函数是：
通过求导取极值可得到真空态为：
则：
Higgs场的真空态是：
此时真空是破缺的，相应的粒子质量是虚的即μ=im。
C. 实质量与破缺L。φ
作变换φ（x）=φ′（x）+v=φ′（x）+φ定义新场φ′（x），由φ=v00得φ′=0，即：0
〈｜φ′（x）｜〉=00
此时真空是对称的。则新场的拉格朗日密度函数是：3
由于项-λυφ′（x）的存在导致拉格朗日密度函数破缺，相应的粒子质量是实的。
5）Higgs机制。
规范场：
由于规范不变性的要求，在拉格朗日密度函数中不能有二次方项，它使规范粒子没有质量，根据调和原理，质量的出现一定是破缺机制的调和结果。这样的理论不能用来描述有质量的中间玻色子，Higgs场具有破缺对称性和每一个破缺生成元对应一个Goldstone粒子，显然Higgs机制是一种破缺机制，它使Goldstone粒子消失，规范粒子获得质量的机制。[17]
Goldstone定理：在相对论协变的定域场论中，若且存在α算符O（x），使：iα
〈｜［Q，O（x）］｜〉≠0
则存在零质量粒子态｜G〉，使：
A. 整体规范破缺对称。
设Higgs场在内部空间有两个分量φ（x），φ（x），则：12+
若φ（x）=φ（x）+iφ（x），φ（x）=φ（x）-iφ（x），1212
则：
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]