作者：林夏水
出版社：社会科学文献出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
数学与哲学：林夏水文选(中国社会科学院老年学者文库)试读：
前言
1964年8月25日，我从福州大学数学系毕业，分配到中国科学院哲学研究所（1977年5月更名为中国社会科学院哲学研究所），从事数学哲学和非线性科学哲学问题研究，迄今已经整整50年了。在这半个世纪的工作中，有困惑，更有收获。1999年，我应当代学者编辑部之约，写了一篇记叙文《人生·事业心·责任感》（收入尚淳、李源主编《安身立命之道——为人为学》一书），文中虽有所述及，但总觉得尚有欠缺。为此，我想把自己在探索数学哲学的道路上的足迹和感悟记录下来，以启迪后人。我的这一想法得到中国社会科学院离退休干部工作局的支持，获得老年科研基金资助出版《数学与哲学——林夏水文选》。
本书收入论文28篇，分三个专题；每篇论文按原文收入，文末注明原始出处、发表时间。
一 《数学手稿》研究
收入5篇论文，反映我国出版马克思《数学手稿》后，“四人帮”抛出的“代替论”如何干扰学界学习《数学手稿》，造成思想混乱，以及笔者为拨乱反正发表的研究成果。
二 数学哲学史研究
收入8篇论文。数学哲学早期依附于哲学母体，20世纪后，西方把它归入数学基础，我国则归入自然辩证法。可是，它们都无法系统地研究诸如数学的对象、性质、方法等更具普遍性的哲学问题。因此，数学哲学应该从数学基础或自然辩证法中再次分离出来，成为一门独立的哲学分支学科。于是，笔者平时有意识地把一些重要的数学哲学史资料从哲学史母体和数学基础中分离出来，为建构数学哲学理论框架与专题研究提供历史依据。
三 数学哲学理论探索
收入15篇论文，分为两部分：（1）建构数学哲学理论框架及专题研究；（2）研究非线性科学的哲学问题。关于前一部分，首先界定了数学哲学，然后从本体论、认识论、方法论角度研究数学的对象、性质和方法等问题。后一部分说明，非线性科学是研究非线性现象共性的一门新的交叉学科（其中分形理论这一共性本身就是数学），它揭示出一种新的、更普遍的、既确定又随机的混沌现象及其非线性规律，向现有的决定论自然观提出新的挑战，引起哲学界的争论。为此，本书收入5篇论文，作为一家之言，论述一种新的自然观——确定性混沌自然观。
本书能与读者见面，我要感谢中国社会科学院离退休干部工作局的支持，感谢梁存秀、孙小礼两位教授多年来对我研究工作的关心和支持，感谢老伴柯金水长期对我生活上无微不至的照顾，工作上的全力支持，感谢出版社和责任编辑的辛勤劳动。
在探索数学哲学的道路上——我的学术自传
一 童年、求学
1938年6月，我出生在福建省安溪县蓬莱镇联中村的一个佃农家庭。我记事时，家里很穷。地无半分，靠租种他人的田地过日子，全家虽然起早贪黑地耕作，还是维持不了糠菜半年粮的生活，我的妹妹也因此送给人家当童养媳；我上小学六年级时，学校组织去县城“远足”才第一次穿鞋子……
我8岁时，父亲让我与四哥一起去案山小学上学。1949年秋，家乡解放了，学校开始收劳师米。我即转学到不收劳师米的进来小学继续念书。1952年秋，我小学毕业考上县城安溪中学。可是我爸爸要我在家种田。一是当时我四哥已在安溪中学念初中了，两个人都要寄宿，家里负担不起。二是我家土改时，分了6亩多地，需要劳力。我当时听从父亲的安排——辍学。辍学当年，我家接到部队关于我二哥病逝的通知（西南解放时，二哥转入中国人民解放军，在重庆西南军区制药厂工作）。此后我父亲因为积劳成疾，加上二哥去世的悲伤，胃大出血，以后身体日渐衰弱。而我虽然学会一些农活，但因身体瘦弱，犁地、耙地等大农活干不了。第二年全县初中升学考试前，父亲对我说：“看来还是应该让你再去上学。”父亲临终前的决定让我喜出望外，也改变了我的人生道路。
1953年，我高兴地再次参加全县初中升学考试，结果如愿以偿地再次被安溪中学录取。这年10月，我父亲因胃病复发而离开人世，享年59岁。父亲去世后，我能继续上学主要靠全家人（特别是母亲和大姐、大姐夫）的支持，以及学校的助学金。为了珍惜这个来之不易的读书机会，我勤奋学习，成绩优异，初中毕业时被学校保送入本校高中。
1959年，我高中毕业参加全国高考，被厦门大学数学系录取。读了一年后，据说创办于1958年的工科大学——福州大学要改为理工科大学，省教育部门决定从厦门大学数理化三个系的1～3年级师生中抽调一部分学生和老师到福州大学继续学习和教学。我是被抽调的学生之一。我于1964年8月毕业，分配到中国科学院哲学研究所。
二 学术研究的经历与成果
当时国家规定，大学毕业生工作转正前必须参加劳动锻炼一年。我到哲学所，正好全国开展农村社会主义教育运动（简称“社教”或“四清”）。因此，我先在所里参加培训，后赴湖北襄阳参加社教。“四清”结束后留在当地劳动锻炼三个月，1965年底回京。
回京后，以为可以开展科研工作了。我就根据“四清”期间向老同事了解到的从事自然辩证法和数学哲学研究工作所必须具备的基础知识，安排时间读书。在我正式到自然辩证法研究组上班的第一天，查汝强副组长找我谈话。他除了一般地了解我在学校的学习情况外，还问我对数学哲学有没有兴趣。我说，兴趣谈不上，既然党需要我做这个工作，我可以在工作中培养兴趣，努力把工作做好。最后，他说，你先把组里的资料整理整理，管起来。
开始听到这个工作时，我脑子一闪，觉得这个工作简单，有点委曲。不过，我又很快沉思一下，组里除了1965年分配到我们组的3位大学生（还在江西参加“四清”）和于光远、龚育之的11位研究生以外，只有7位老同事忙于《自然辩证法研究通讯》杂志和科研的工作，而我无论是编辑工作还是科研工作都还插不上手，只适合先做资料工作。因此，我也就毫无怨言地接受了领导的安排。我大概用了两星期的时间，把堆得满满的一大办公室的资料，分门别类整理、归档、上架，制订借阅规章制度。日常管理就用不了多少时间了，绝大部分时间可以用来读书。
正当我准备全身心地投入科研准备工作的时候，毛泽东号召知识分子到农村滚一身泥巴。春节后，时任中宣部科学处处长兼自然辩证法组组长的于光远同志到自然辩证法组动员大家到农村搞半农半研，并具体安排我们研究组到通县徐辛庄建房子。到1966年5月底，5间土坯房刚刚建好，北京大学聂元梓的大字报出来了，我们就赶回单位参加“文化大革命”运动。“文革”一开始，院、所的科研工作全部停止，陷入派系争斗。我因为到哲学所时间短，不了解哲学所和哲学社会科学部的情况，不能轻易表态，未陷入两派之争。这时，资料室也就成了我的读书室、避风港。
在资料室的两年多时间里，我阅读了大量有关数学哲学的资料和书籍，知道了何谓自然辩证法、何谓数学哲学，特别是，通过研读哲学史（尤其是经典著作），我得到两大收获：一是转变思维方式，即从研究数学的思维方式转变到研究哲学的思维方式。如果没有这一转变，就不能发现哲学问题，即使发现了也很难从哲学理论高度进行分析。二是使我的志愿和事业由单纯服从国家需要变成自觉行动，开始感到有一种社会责任。这是受我国数理逻辑曲折发展的启发：新中国成立后我国哲学界把数理逻辑误认为是资产阶级唯心主义的产物，直接阻碍了我国数理逻辑的发展。直到1958年中国科学院数理化学部召开专门会议，“经过鸣放辩论，肯定了数理逻辑应当大力发展”。这才使数理逻辑学科在我国得到顺利发展。这一情况使我认识到研究数学哲学的重要性，并产生一种强烈的责任心，决心以数学哲学作为终身事业。
1969年春节过后，整个哲学社会科学部的人员都集中住在各研究所清查“五一六分子”。我当时被安排在学部食堂，帮助做饭。1970年初，学部各研究所陆续到河南信阳地区的五七干校劳动锻炼。哲学所是在当年的5月份到河南息县的，我被分配在食堂负责做饭。11月份我得了急性黄疸肝炎，住进息县医院治疗。1971年春节后，学部各所集中到明港再次清查“五一六分子”。我出院后也就直接到明港参加清查运动。1972年夏天，学部各所从明港撤回北京。
回京后，又一次盼望能恢复研究工作，但迟迟得不到消息。1973年，正好于光远同志计划重新编译他在延安时期翻译的恩格斯《自然辩证法》一书，并确定由自然辩证法研究组负责该书的注释工作，我也参加了这项工作。作为该书的副产品，我室出版了由查汝强主编的两本小册子：《〈自然辩证法·导言〉解说和注释》和《〈劳动在从猿到人的转变中的作用〉解说和注释》（人民出版社，1979）。
1975年，上级派了新领导到哲学社会科学部，准备恢复科研工作。但真正恢复工作是在打倒“四人帮”之后。
1977年春，我国科技界开始拨乱反正。“文革”期间，“四人帮”在他们把持的舆论阵地鼓吹“自然科学的理论基础是马克思主义哲学”的理论（时称“代替论”）。其间，1975年北京大学翻译出版马克思的《数学手稿》。姚文元把自然科学中的“代替论”具体化为数学中的代替论：“微积分的理论基础是辩证法”。由此演绎出许多谬见，造成思想混乱，甚至直接影响到当时部分高校的微积分教学。因此，需要进行理论上的拨乱反正。当时，我写了《马克思的微分思想及其意义》等一组论文，为澄清学界的混乱思想尽了一份力。
80年代初，国家组织全国的专家、学者编纂《中国大百科全书》和《自然辩证法百科全书》。我有幸参与撰写《中国大百科全书·哲学》卷和《自然辩证法百科全书》中有关数学哲学部分条目，并担任《自然辩证法百科全书》数学哲学编写组副主编。我参与撰写的两部百科全书的条目，分别到1984年底和1986年底才基本结束。
两部百科全书的条目交稿后，我开始全身心地投入系统的数学哲学研究工作。现就我在探索数学哲学道路上遇到的问题及其解决的思想和见解作一简单回顾。（1）在研究数学的哲学问题中，建立数学哲学理论框架。当我进入数学哲学领域时，国内主要研究的问题是，数学对象、数学的真理性、数学与实践的关系等，并且把这些问题归入自然辩证法学科；而国外主要是研究数学基础问题，所以英美的大百科全书中只有“数学基础”条目，而没有“数学哲学”条目。但是，数学基础和自然辩证法都无法系统地研究诸如数学的对象、性质等更具普遍性的数学哲学问题。因此，我认为，数学哲学应该从数学基础和自然辩证法中分离出来，成为一门独立的哲学分支学科，并建构了数学哲学理论框架。1988年，我发表了《数学哲学的对象和范围》一文。汤彬如教授认为，“该文根据当代数学哲学研究的现状以及数学研究对象的特殊性，在我国第一次提出并论述了数学哲学不能寄名于自然辩证法或科学哲学之下，也不是数学基础所能包括的，它应该成为一门独立的哲学分支学科。同时论述了数学哲学是研究数学的对象、性质、方法等方面的本体论、认识论、方法论以及其他诸问题的知识体系，并从外延界定它的研究对象和范围。这些正是林夏水关于数学哲学理论体系[1]的创新性见解”。此后我根据这一理论构想，对一些争论的问题进行逐一研究。（2）在有关现代数学研究对象的争论中，建立量的层次性理论。关于现代数学的研究对象问题，国内数学家一般认为，数学是研究纯粹的量的科学（简称纯量论）。例如，关肇直、胡世华等教授都发表过长篇论文，说明现代数学研究对象是“纯粹的量”。国外数学界一般认为，现代数学是研究结构的科学（简称结构论），特别是法国布尔巴基学派在探索数学的统一性时，阐明现代数学是研究结构的科学。这一观点得到大多数数学家的赞成，有的数理逻辑学家进而主张用“结构与质”的范畴代替“量与质”范畴。那么现代数学的研究对象是什么？“结构与质”这对范畴能否代替“量与质”范畴呢？我经过三年的思考，发表《论量的层次性》（1992）一文。量的层次性理论不仅解决了现代数学研究对象的争论，还丰富了哲学对量的认识，也为数学史分期提供了新的标准。因此，孙小礼教授指出：“量的层次性是其独到的新见解，是对哲学中的量的概念的发展，是通过对数学研究成果的概括所作出的哲学贡献。不但在数学哲学方面有理[2]论意义，而且对推动数学发展也有实践意义。”（3）在研究数学真理性问题中，提出实践检验的两种功能（真假判断与价值判断）。美国数学思想史家T.丹齐克在其影响久远的著作《数，科学的语言》一书中，把数学家比喻为服装设计师，说明逻辑真理观的正确性。有数学家引申说，数学家像裁缝师，缝制出许许多多服装让顾客挑选。如果你穿得不合适，只会怪自己没有挑选好，不会说裁缝师做的不是服装或假服装。面对实践真理观的这个反例，我百思不得其解，请教所里的同事，也得不到满意解答。因此它大概纠缠了我三年，才把服装发展史中的（实用和审美）价值观引入数学的实践真理观，发表论文《实践检验的两种功能——从现代数学的观点看》（1994）。汤彬如教授认为“林夏水关于实践检验两种功能[3]的新见解，丰富和深化了人们对实践检验的认识”。（4）在研究计算机变革科学研究方法及其特点中，论述计算机实验是科学实验的一种新形式。随着科学技术的发展，计算机广泛地应用于各个领域，变革了科学研究的方法，出现许多新的研究方法。例如，计算机仿真、科学计算可视化、虚拟现实以及非线性科学中生成仿真分形图的迭代函数系统（IFS）方法等。我研究这些新方法的特点及其共性，从方法论角度，把它们概括为计算机实验，并说明它是一种独立的科学实验形式。为此，发表论文《科学实验的新形式——计算机实验》（1998）。（5）在研究数学的本质中，论述数学是一门演算的科学。作为认识论问题的数学本质，它涉及数学是演绎科学还是经验科学的问题，这是数学哲学史上长期争论的问题。此外，还出现过试图综合数学的经验性与演绎性的概括，如康德的先天综合判断、拉卡托斯的拟经验论。但无论是先天综合判断还是拟经验论都未能反映数学性质中的经验性与演绎性的辩证性质。因此，我在论述数学的经验性与演绎性的辩证关系基础上，从方法论角度说明数学是一门演算的科学，发表论文《论数学的本质》（2000）。（6）在研究非线性科学的哲学问题中，建立确定性混沌自然观。20世纪下半叶出现的非线性科学是一门研究非线性现象共性的新的交叉学科。有的物理学家认为，混沌学的创立是20世纪物理学的第三次革命。非线性科学揭示出自然界存在一类新的、更普遍的、既确定又随机的混沌现象及其特有的非线性规律，表明世界是非线性的。它具有重要的哲学意义，对哲学工作者既是挑战又是机遇。因此，1995年下半年我即转入研究非线性科学哲学问题。在完成与此有关的国家社科基金项目和中国社会科学院重点课题的过程中，进一步了解到非决定论者I.普利高津把混沌的内在随机性混同于外在随机性，宣布决定论终结了。我国哲学界有人为之欢呼，有人把辩证决定论改造成非决定论，有人主张调和决定论与非决定论……为了澄清学界的乱象，我发表五篇论文并出版一本专著。《是辩证决定论还是非决定论？——评〈决定论的历史命运〉》（2002）一文，以大量事实说明《决定论的历史命运》一书如何把辩证决定论改造成非决定论。《非决定论否定事物的规律性吗？》（2002）一文，澄清了我国哲学界长期以来对非决定论的误解。《非线性科学与决定论自然观的变革》（2002）一文，建立一种新的自然观：确定性混沌自然观；揭示人类自然观发展的否定之否定过程：原始人的偶然性混沌自然观→各种决定论自然观→现代的确定性混沌自然观。此后，院重点课题经修改获得国家社科基金后期资助，出版《非线性科学与决定论自然观变革》（社会科学文献出版社，2013）。汤彬如教授认为：“该书建立的确定性混沌自然观在非线性科学哲学争论中独树一帜，构成一家之言。”“《非线性科学与决定论自然观变革》一书及相关论文澄清了学[4]界的思想混乱。”
以上简略地回顾了我在探索数学哲学道路上遇到的问题及其解决的思想和见解。虽然其中有的思想观点得到部分同行的赞许，但能否真正成为我国数学哲学发展的一块垫脚石，只能让历史来检验！
三 感悟
我在探索数学哲学的道路上，奋斗一生，主要有两点体会。（一）认识本职工作的意义，提高工作积极性
改革开放前，大学毕业生工作都是国家分配的。当年我们填志愿除了选择职业外，不写地点和单位，最后都写上“服从国家分配”，有的写上“国家的需要就是我的第一志愿”。我到哲学所时，也是本着服从国家需要而改行的，但在工作中认识到研究数学哲学的意义和重要性后，才把做好本职工作作为一项事业，一种社会责任。2010年，我回到阔别50年的厦门大学，参加同学会。同学们虽然来自全国各地不同岗位，但大家都开怀畅谈，高兴地回忆、交流几十年来为国家、为社会做了哪些工作……这大概是大家因为国家的发展尽了一份力量而高兴吧！
也许有人会说，改革后情况不一样了。现在大部分人都是给老板打工的，人的劳动价值就体现在工资中，给多少钱干多少活。这样，人似乎变成金钱的奴隶了。如果从社会分工的专业化角度来看问题，就可以发现：人与人之间的依存关系更加密切了，谁也离不开谁；社会因此而形成一种“人人为我，我为人人”的氛围。那么做好本职工作就体现了“我为人人”了。如果把“我为人人”的思想进一步提升到更高的境界：为社会大众多做贡献的人生价值观或理想，那么人的心态就不一样了，工作就会由被动变为主动，就会因为实现“我为人人”的人生价值观而高兴。
在这里，理想或人生价值观不是抽象的，而是与自己的本职工作具体地联系起来了；而努力做好本职工作也就实现了“我为人人”的理想或人生价值观。这里，“做好本职工作”是对大多数劳动者来说的，但对许多职业来说，这个“好”就意味着多做贡献或创新。例如，科研部门的创造发明、产业部门的创新产品、服务行业的创新服务等。（二）在工作中应该有所创新
从哲学上看，创新是在发现矛盾（或问题）和创造性地解决矛盾的过程中实现的。因此，在工作中不仅不能回避矛盾，而且要主动探索、揭示矛盾，对现成事物勇于提出质疑，进而创造性地解决矛盾，促进事物的发展。但是，不同行业的矛盾性质不同，表现形式也不一样，因此必须勤奋修炼本专业的知识，提高专业素养，才有可能发现本专业的具体矛盾或问题；才有希望进入创造性地解决矛盾或问题的过程。最后，能否真正实现创造性地解决问题就看个人的专业修炼和机遇了。由此可见，看似简单的创新思想方法并不简单。它涉及勤奋修炼专业，而专业修炼的艰辛，特别是攻克难题的艰辛，又要靠理想或人生价值观的支撑。因此，我把创新过程所蕴含的思想方法、专业修炼、人生价值观，进一步概括为：理想、勤奋、质疑、创新，作为自己在探索数学哲学道路上的座右铭。
以上所述只是个人的体会，或人生感悟，仅供参考。林夏水2015年6月20日
[1] 汤彬如：《林夏水对数学哲学的贡献》，《南昌教育学院学报》2012年第3期。
[2] 孙小礼教授关于出版《数学的对象与性质》（林夏水著）的推荐意见书（1993年9月28日）。
[3] 汤彬如：《林夏水对数学哲学的贡献》，《南昌教育学院学报》2012年第3期。
[4] 汤彬如：《非线性科学哲学问题研究的新成果——读〈非线性科学与决定论自然观变革〉》，《南昌教育学院学报》2015年第1期。第一部分《数学手稿》研究马克思的数学研究
马克思在研究政治经济学，创立无产阶级革命理论的过程中，非常重视对自然科学和数学的研究，尤其是数学成为他独立研究的一个领域。他在几十年的数学研究中写下了大量札记、论文，这些数学手稿成为马克思主义思想宝库的重要文献。但是，马克思和恩格斯逝世以后，数学手稿的出版和传播却经历了曲折和斗争。因此，在纪念马克思逝世一百周年之际，我怀着崇敬的心情重温了《数学手稿》，写下一点心得体会。一
马克思早在中学时代就对数学产生兴趣，他的数学成绩一向很
[1]好。后来由于他攻读法学以及在大学毕业后一段时期内参加各种形式的革命斗争，屡遭反动当局驱逐出境，他中断数学的学习和研究。19世纪50年代，马克思在研究政治经济学的过程中，遇到许多计算问题，促使他重新学习数学。他说：“在制定政治经济学原理时，计算的错误大大地阻碍了我，失望之余，只好重新坐下来把代数迅速地[2]温习一遍。”马克思在研究政治经济学中还感到需要用数学方法来描述经济学中的一些关系，尤其是想用数学方法来表达资本主义经济危机的主要规律。他在1873年给恩格斯的信中表达了这一想法。他说：“为了分析危机，我不止一次地想计算出这些作为不规则曲线的升和降，并曾想用数学方式从中得出危机的主要规律（而且现在我还[3]认为，如有足够的经过检验的材料，这是可能的）。”后来，马克思为了从哲学上概括自然科学和数学的成果，又开始学习微积分，同时还建议恩格斯学习这一学科。他在1863年给恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分。顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果你愿意研究，我准备寄给你一本。我认为这对你的军事研究几乎是必不[4]可缺的。”马克思除了研究微积分以外，还收集了许多数学史资料。《资本论》第一卷出版以后，马克思计划写辩证法方面的专著，所以他在19世纪70年代以后，便系统地研究自然科学和数学。恩格斯说：“1870年以后，又有一个间歇期间，这主要是由马克思的病情造成的。他照例是利用这类时间进行各种研究。农学……最后，还有自然科学，如地质学和生理学，特别是独立的数学研究，成了这个时[5]期的许多札记本的内容。”马克思研究了微分学中的辩证法、微分学与代数学的关系，并且对微分学的历史作了研究和评论，写下了论导函数概念、论微分等重要论文，连同他所作的摘录和札记，一共[6]1000多页。
马克思的数学知识是很丰富的。正如恩格斯所说的，“黑格尔的数学知识极为丰富，甚至他的任何一个学生都没有能力把他遗留下来的大量数学手稿整理出版。据我所知，对数学和哲学了解到足以胜任[7]这一工作的唯一的人，就是马克思”。黑格尔在纽伦堡文科中学任校长期间曾经教过高等数学。马克思通过自学具备了整理黑格尔的数学手稿的能力，可见他的数学知识是多么渊博。所以，恩格斯说“马[8]克思是精通数学的”。从1975年人民出版社出版的中译本《数学手稿》来看，马克思对微积分及其历史研究得最多。这种研究绝不是肤浅的，而是有“独到的发现的”。从100多年来微积分的发展来看，我认为马克思在数学中的独到发现最主要是：发现微分过程是一个否[9]定之否定的过程；认为微分是“被扬弃了的或消失了的差”。马克思的这些独到见解在微积分思想史上具有重要意义。二
马克思起初研究数学是为了解决政治经济学中的一些问题，这是众所周知的。后来，随着对数学研究的深入，以及为了从德国唯心主义哲学中拯救出辩证法，他研究数学又有了一个明确的目的，即建立辩证唯物主义。马克思早年在1858年给恩格斯的信中就表达了要写一本辩证法专著的愿望。他说：“如果以后再有功夫做这类工作的话，我很愿意用两三个印张把黑格尔所发现、但同时又加以神秘化的方法[10]中所存在的合理的东西阐述一番，使一般人都能够理解。”所以，在19世纪60年代初期，马克思就开始研究充满辩证法思想的微积分学。《资本论》第一卷出版以后，马克思在1868年5月9日给约瑟夫·狄慈根的信中就更明确地讲道：“一旦我卸下经济负担，我就要写《辩[11]证法》。”马克思在世时虽然来不及写辩证法方面的专著，但他却留下了充满辩证法思想的《资本论》巨著。
马克思为了分析微分学中的辩证法，对微分过程作出了哲学概括，他考察了十七八世纪微分学的历史。他根据微分计算法的演变特点，把从牛顿、莱布尼茨开始到拉格朗日为止的这段微积分发展史，分为“神秘的微分学”“理性的微分学”“纯代数的微分学”这三个阶段，并且加以考察和评论。
牛顿、莱布尼茨建立的微积分计算法，从实践上来看是正确的，但从推理方法来看，却违反了形式逻辑的规律。因为它在推导的过程中消去了一些项，但由此得出的结果却是精确的。对此，微积分创立者不能提出令人信服的理由来加以维护，这就给新的计算方法带来了神秘的色彩。马克思认为微分计算法“必须用魔术变掉”“除一阶导[12]数以外的含有x和Δx的项”。“于是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法是通过肯定是不正确的数学途径得出了正确的（尤其在几何应用上是惊人的）结果”（第88页），这就是微积分的神秘性之所在。在马克思看来，这种神秘性还表现在对增量的表示上。11牛顿、莱布尼茨从一开始就把x=x+Δx“变成x=x+dx或，这里dx是通过形而上学的解释假定的。它首先存在，然后加以解释”（第85页）。dx或是“通过先验地（a priori）假定的”（第99页）。而不是“用任何一种数学方法推导出来的”（第98页）。因此，马克思把牛顿、莱布尼茨时期的微分学称为“神秘的微分学”。
现在看来，十七八世纪微积分的神秘性在于，当时人们不能对无限小量作出明确的定义和合理的解释。在这个问题上牛顿时而认为无限小量是“无限地减少”，时而认为无限小量是“无限地变小，并且[13]消失，或者变成零”。莱布尼茨则认为，无限小量是“相对的零”。他说：“我并不把无限小量设想为单纯的绝对的零，而是作为相对的零（正如您充分注意到的那样），这就是说，把它作为保留着[14]正在消逝的量的特征的一个消逝量。”牛顿把无限小量看作“消失的量”，莱布尼茨认为无限小量是“相对的零”。这些看法虽然都包含辩证法思想，有其合理的一面，但它们毕竟是一些假说，并非严格的数学定义。所以，微积分的神秘性依然存在。
达兰贝尔为了消除微积分的神秘性，首先改变牛顿、莱布尼茨的1增量表示法。“达兰贝尔是直接从牛顿和莱布尼茨的出发点x=x+dx开1始的。但是他立刻作了基本的改正：x=x+Δx，即x加了一个不定的，然而乍一看去是有限的增量，他把这个增量叫做h。”（第88页）因为达兰贝尔作了这一重要的改变，所以“这个h或Δx向dx的转化只是作为发展的最后或至少是接近末尾的结果，而在神秘者和微分学的开创者那里是作为出发点的”（第88页）。也就是说，为了得到导函数，只要“通过设h=0，就是说通过正确的数学运算”（第90页），因此不用魔术变掉一些项了。对此，马克思给予高度评价，他说：“达兰贝尔脱下了微分学的神秘外衣，取得了很大的进步。”（第91页）马克思还把达兰贝尔时期的微分学称为“理性的微分学”。当然，马克思在充分肯定达兰贝尔方法的进步意义的同时，也指出它的不足之处。马克思认为达兰贝尔的方法只是一种“解脱的方法”，即用严格的代数方法把导数从其他项的联系中解脱出来，而不是一种“发展”的方法，真正发展了的是在符号微分系数的一边。达兰贝尔在实际求导数时，认为h应该等于零，但他又认为极限理论是微分的基础。他说：“极限理论是微分的真正的抽象的基础……恰当地说，逼近量永远不能与极限重合或者相等。但是前者越来越接近于后者，使得其间[15]之差，要怎么小就怎么小……”我们从这里可以看出，达兰贝尔在表述极限概念时，强调了无限小量不等于零的一面。而当时还有一些数学家认为无限小量应该等于零。例如，欧拉说：“毫无疑问，任何一个量可减小到完全消失得无影无踪的程度。但是，一个无穷小量无非是一个正在消失的量，因而它本身就等于0。这与无穷小的定义也是协调的，按照无穷小的定义，它应该小于任一指定的量；它无疑应当就是无；因为除非它等于0，否则总能给它指定一个和它相等的量，[16]而这是与假设相矛盾的。”
拉格朗日感到无限小量方法或极限概念以及都牵涉到哲学上的困难。所以，他竭力回避上述方法，而另找出路。拉格朗日的这一思想可以从他1797年的著作《解析函数》一书的副标题中看出。该书的副标题是“包含微分学原理，不用无限小或消逝量、极限或流数的任何考虑，以及化为有限量的代数分析”。拉格朗日的代数分析法实际上是以泰勒定理作为出发点来求导数的，所以，马克思说：“为了把微分学代数化，拉格朗日就用牛顿派和牛顿见到了的泰勒的那个定理作为他直接的出发点。”（第93页）马克思给这种代数分析法以很高的评价，认为它为微分学奠定了基础。他说：“拉格朗日的巨大功绩不仅在于用纯代数的分析方法给泰勒定理以及一般地给微分学奠定了基础，而且尤其在于引进了导函数的概念。”（第146页）同时，马克思还把拉格朗日时期的微分学作为微积分的一个发展阶段而称之为“纯代数的微分学”。当然，马克思认为拉格朗日给微分学奠定了基础的观点，只是反映18世纪末数学界的一般看法。现在看来，为微积分奠定理论基础的是19世纪初的柯西极限理论。
马克思考察了神秘的微分学、理性的微分学和纯代数的微分学这三个阶段以后，批判地吸收了前人的思想成果，提出自己的独立见解。他从哲学上把微分过程概括为否定之否定的过程。在《论导函数概念》一文中，他写道：“首先取差（Differentiation），然后再把它扬弃，这样在字面上就导致无。理解微分运算时的全部困难（正象理解否定的否定本身时那样），恰恰在于要看到微分运算是怎样区别于这样的简单手续并因此导出实际结果的。”（第2页）正因为马克思认为微分过程是否定之否定这个规律的表现，所以，他认为作为微分过程的完结，增量Δx应该等于零。因此，他批判一些进行理性推断的数学家认为“在量上其实只是无限小＜的比＞，仅仅接近于”的观点，1认为这是“奇想”。他说：“为了得出‘导数’，就必须设x=x，因而1是严格数学意义上的x-x=0，无需任何只是无限趋近之类的糊涂话。”（第5页）此外，马克思又认为微分是不等于零的无限小量。他说：“y的微分（y无限小地增长时所取的表达式）。”（第21页）Δx=0只是字面上的。他说，扬弃Δx“在字面上就导致无”。这说明马克思认为微分是一种具有零与非零辩证性质的无限小量。所以，他从哲学上把微分概括为“被扬弃了的或消失了的差”（第3页）。后来，微积分的发展证明了马克思的这些重要概括的正确性。
19世纪，柯西、魏尔斯特拉斯等人建立的极限理论，为微积分奠定了理论基础。在极限理论中，无限小量被定义为以零为极限的变量。这就是说，它在变化的过程中不等于零，但它的变化趋势却是零。或者说，它作为变化的过程不等于零，而作为变化的结果，它却等于零。这就具体而生动地说明了无限小量具有零与非零的辩证性质。所以，极限理论的建立证明了马克思对微分所作的哲学概括的正确性。20世纪60年代，美国数理逻辑学家鲁滨逊（又译鲁宾逊）建立的非标准分析理论，为微积分提供了新的理论根据。这一理论曾经被著名的数理逻辑学家哥德尔称为“未来的分析学”。在极限理论中，无限小量是作为一个变量出现的，也就是说，它是一种潜在的无限小量。牛顿、莱布尼茨所用的无限小量实际上是一种实在的无限小量，也就是把无限小量当作一个实实在在的数。随着极限理论的建立，实在无限小量被否定了。20世纪60年代，鲁滨逊应用数理逻辑的理论和方法，严格地证明了，在数系中存在着实在的无限小量，它大于零而小于任意的正实数。他还证明无限小量不属于实数域，于是，就把数域从实数域扩充到非标准的实数域，从而建立起非标准分析理论。在非标准分析中，微分dx是一个无限小量。这个无限小量不等于零，但它的标准数却是零。也就是说，从实数域来看，无限小量等于零；但从非标准的实数域来看，无限小量却不等于零。这说明在非标准分析中实无限小量也是具有零与非零的性质的。这就再一次证明了马克思关于“微分是扬弃了的差”的思想的正确性。
马克思对微分所作出的哲学概括在微积分思想史上具有重要意义。
上面说过，牛顿、莱布尼茨的微分计算法的神秘性在于不能给出无限小量的明确定义。因此，在推导的过程中出现前后矛盾。牛顿、莱布尼茨在推导过程中，首先用无限小量作除数，求得差商；然后再把含有无限小量的项消去，而得到所要的结果。一些正统派数学家和主观唯心主义者贝克莱从初等数学的观点出发，把推导过程中的这种矛盾突出出来，他们提出：无限小量究竟是零还是非零。如果无限小量是零，那么它就不能作除数，而在微分过程中却用它作除数，说明它不等于零；如果它不等于零，那么在推导的最后就不能消去包含它的项，但消去后，得到的却不是近似值而是精确值，这又说明无限小量应该等于零。这就是所谓无限小悖论。正统派数学家据此反对微积分计算法，说“它破坏了数学的严密性特征”，认为应该把它从数学中“驱逐出去”。唯心主义哲学家贝克莱也因此攻击微积分是“分明的诡辩”，并利用这一悖论来为神学辩护。
正统派数学家要求微积分推理的严密性，有其合理的一面，它促使数学家去寻找微积分计算法的理论根据。但是，他们因为微积分的不完善，而主张抛弃新的计算法却是错误的。他们的错误在于用形式逻辑的观点来看待微积分中的运算。正统派数学家和贝克莱没有看到微积分的建立标志着数学已经从常量数学进入变量数学时期。他们仍旧用常量数学的观点来看待变量数学中的一些量和运算。他们没有认识到微积分本质上是辩证法在数学中的应用。所以，他们认为，一事物不能同时是自身又是别的；无限小量要么是零，要么不是零，不能同时是两者。马克思把微分概括为“扬弃了的差”，这说明微分dx这个量已经不是初等数学意义上的那种要么是零，要么是非零的量了，而是零与非零的辩证统一，它服从特殊的运算规律。这就告诉我们，不能用初等数学来看待高等数学中的运算，否则就会认为它是错误的。正如恩格斯所说的，“高等数学中的几乎所有的证明，从微分学的最初的一些证明起，从初等数学的观点看来严格地说都是错误的。如果象在这里那样，要用形式逻辑去证明辩证法领域中所获得的结[17]果，那末情况也不可能是另一个样子”。马克思、恩格斯的这些重要论述，为微积分的正确性提供了辩证唯物主义的哲学依据，也是我们批判微积分中的形而上学、唯心主义的锐利武器。这在微积分思想史上有着重要的意义。三
马克思在生前很重视自己在几十年中写下的数学手稿，只是因为他晚年多病和忙于写作《资本论》巨著等原因，使他未能整理出版数学手稿。后来，他嘱咐女儿爱琳娜，叫她与恩格斯一起整理他的全部文稿，“并关心出版那些应该出版的东西，特别是第二卷和一些数学[18]著作”。恩格斯也曾经计划把自己在自然辩证法方面所取得的成果汇集起来，“同马克思所遗留下来的极其重要的数学手稿一齐发
[19]表”。后来，由于恩格斯忙于领导无产阶级革命运动和整理出版《资本论》第二、三卷等更紧迫的工作，而没能完成数学手稿的整理出版计划。
恩格斯逝世以后，马克思的数学手稿落到伯恩施坦的手中。他以数学手稿“陈旧不堪”为借口，不予发表。1933年，苏联才在当时的《在马克思主义旗帜下》刊物上第一次发表了数学手稿的部分重要内容。我国在50年代初，曾经发表过几篇文章介绍马克思数学手稿。1975年，人民出版社正式出版北京大学编译的马克思《数学手稿》。此时，正值“四人帮”在自然科学领域中鼓吹“代替论”的时候，因此，干扰了我国对《数学手稿》的学习和研究。一些自然辩证法工作者和少数数学工作者在“代替论”的影响下，把马克思对微分学所作的哲学概括，说成为微积分奠定了理论基础，否定了微积分原有的理论基础——极限理论。他们把100多年来在微积分中行之有效的极限理论当作“形而上学”“唯心主义”来批判。结果在个别学校的高等数学教学中引起混乱。对此，广大数学工作者是不满的，有的甚至误认为这种混乱是因为《数学手稿》本身而造成的。打倒“四人帮”以后，虽然“代替论”在数学和自然科学领域受到批判，肃清了流毒，但是，当前我国学术界对《数学手稿》的意义仍有不同的看法。有的同志认为《数学手稿》中的一些材料都是十七八世纪的，而且感到对微分是“扬弃了的差”不好理解。所以，他们一般都回避谈论《数学手稿》。
我认为，马克思由于受到当时条件的限制，他在《数学手稿》中收集的材料确实都是19世纪以前的；尽管100多年来微积分理论有了很大发展，但是马克思从微积分的不完善形态中概括出微分的过程是一个否定之否定的过程，以及微分是“扬弃了的差”等思想，却没有因为材料的陈旧而过时。相反的，正如以上所述，微积分的发展一再证明马克思的概括的正确性。微积分的发展只不过是马克思的哲学概括数学化罢了，即用数学方法具体地表现微分学的辩证法。
在纪念马克思逝世100周年的时候，我们应该向马克思主义的创始人学习些什么呢？我认为，从事数学和自然科学工作的同志应该努力学习唯物辩证法，像伟大的革命导师马克思那样，自觉地运用唯物辩证法的观点、方法去观察和分析问题。首先从总体上把握事物的性质，然后再从具体的科学上进行严格论证、定量表述，以达到解决具体科学中的问题。只有这样，才能使我们的科学研究工作少走弯路，而哲学是回避不了的。恩格斯说得好：“不管自然科学家采取什么样的态度，他们还是得受哲学的支配。问题只在于，他们是愿意受某种坏的时髦哲学的支配，还是愿意受一种建立在通晓思维的历史和成就[20]的基础上的理论思维的支配。”另外，从事哲学工作的同志应该努力学习数学和自然科学知识，像马克思、恩格斯那样关心自然科学和数学的发展，并从中进行哲学概括，以充实自己的哲学研究。在马克思、恩格斯看来，要建立辩证唯物主义哲学，“需要具备数学和自然[21]科学的知识”。恩格斯还认为，“随着自然科学领域中每一个划时[22]代的发现，唯物主义也必然要改变自己的形式”。这就是说，唯物主义要随着自然科学的发展而发展。因此，哲学工作者只有用自然科学的知识来武装自己，并且努力跟踪自然科学的发展，才有希望丰富和发展马克思主义哲学。本文原载邢贲思主编《马克思哲学思想研究》，上海人民出版社，1983
[1] 〔苏〕彼·费多谢耶夫等：《卡尔·马克思》，三联书店，1980，第6页。
[2] 《马克思恩格斯全集》第29卷，人民出版社，1972，第247页。
[3] 《马克思恩格斯全集》第33卷，人民出版社，1973，第87页。
[4] 《马克思恩格斯全集》第30卷，人民出版社，1974，第357页。
[5] 《马克思恩格斯全集》第24卷，人民出版社，1972，第7～8页。
[6] 《马克思恩格斯选集》第3卷，人民出版社，1972，第595页第66条注释。
[7] 《马克思恩格斯全集》第31卷，人民出版社，1972，第471页。
[8] 《马克思恩格斯选集》第3卷，第51页。
[9] 马克思：《数学手稿》，北京大学《数学手稿》编译组编译，人民出版社，1975，第3页。
[10] 《马克思恩格斯全集》第29卷，第250页。
[11] 《马克思恩格斯全集》第32卷，人民出版社，1974，第535页。
[12] 马克思：《数学手稿》，第85页以下凡引《数学手稿》者，只在引文后注明出处页码。
[13] D.T.Whiteside，ed.，The Mathematical Works of Isaac Newton，Vol.1，Johnson Reprint Company，1964，p.23.
[14] 引自C.B.Boyer，The History of the Calculus and Its Conceptual Development，Dover Publications，1959，pp.218-219。
[15] 〔美〕A.鲁滨逊：《非标准分析》，申又枨等译，科学出版社，1980，第311页。
[16] 〔美〕M.克莱因：《古今数学思想》第二册，北京大学数学系数学史翻译组译，上海科学技术出版社，1979，第152页。
[17] 《马克思恩格斯选集》第3卷，第175页。
[18] 《马克思恩格斯全集》第36卷，人民出版社，1974，第42页。
[19] 《马克思恩格斯选集》第3卷，第53页。
[20] 《马克思恩格斯选集》第3卷，第533页。
[21] 《马克思恩格斯选集》第3卷，第51页。
[22] 《马克思恩格斯选集》第4卷，人民出版社，1972，第224页。“微积分的理论基础是辩证法”吗？——批判“四人帮”的“代替论”
随着学习《数学手稿》的深入，许多数学工作者开始运用马克思主义的观点，分析、批判微积分理论基础中的一些问题，提出不同观点。这是正常的，完全可以通过百家争鸣和科学的实践得到解决。但是，“四人帮”为了破坏这一问题的讨论，姚文元通过其“审查”的一篇报道，公然抛出“微积分的理论基础是辩证法”的谬论，它在数学界的流毒很深，至今还没有得到应有的清算。这里，就最近的调查，做一初步的揭露和批判。
1975年，马克思《数学手稿》（简称《手稿》）中译本正式出版以前，《手稿》的部分论文已经在一些刊物上发表，有的学报还专辑发表《手稿》的内容。广大数学工作者把《手稿》的发表看成数学界的一件大事。他们如饥似渴地学习《手稿》，出现了一个热潮。在这个学习运动刚刚兴起的时候，姚文元抛出的“自然科学的基础理论是马克思主义哲学”这一臭名昭著“代替论”，正在自然科学界泛滥起来，因此，《手稿》的学习运动就遭到“代替论”的干扰和破坏。1974年，《复旦学报》（自然科学版）编辑部组织一次“学习马克思〈数学手稿〉座谈会”（这个座谈会纪要发表在该学报1974年第2期上），在一些同志的发言中，集中地表现了这种冲击所产生的影响。在会上，有的同志说“我们常常强调基本理论，而马克思主义哲学是一切自然科学最重要的基础理论”；也有同志深有体会地说，学习了《手稿》以后，“加深了对马克思主义是自然科学的基础理论的认识”。当然，讲这些话的同志与“四人帮”是不同的，许多人是认识的问题，他们是受害者。但是，从这些发言里，我们清楚地看到，“代替论”已侵入了数学的领域。“四人帮”对于这种一般的干扰和破坏还感到不满足，需要把它进一步具体化。数学工作者在深入学习《手稿》当中，对微积分的一些基本概念和理论问题，提出不同的看法。1974年，上海《高等数学》编写组的同志，根据当时国内讨论的情况，整理了一份《高等数学教材中对微积分若干理论问题的论述综述》的材料。姚文元以为这是贩卖黑货的好时机，于是，他在9月22日审查这份材料时，作了“批示”，其中有这样一段话：“此外，似未说清楚怎么‘瓜分’两类有理数即可定义——无理数”。经过姚文元的批准［这份材料后来以吴穹的笔名，发表在《复旦学报》（自然科学版）1974年第3、4期上］。那么，现在让我们来看看，经过“四人帮”的这个“理论权威”的批准，认为说清楚的部分中，推销的又是什么货色呢？在这份材料的引言中写道：“恩格斯指出，‘变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的应用’。（《反杜林论》，第132页）深刻地阐明了微积分的理论基础是辩证法。”这种观点正是“代替论”在数学中的翻版和具体化。
经姚文元批准而出笼的这一反动理论就带有更大的欺骗性，毒害了一些同志。随后，出现了“辩证唯物主义的哲学才是微积分的科学[1]理论基础”“《手稿》科学地阐明了微积分的理论基础是对立统一[2]规律”等不同说法。但是，这些不同的表达却重复着姚文元的“微积分的理论基础是辩证法”的谬论。一时间，把人们的思想搞糊涂了，似乎只要学习辩证法，不要研究微积分，就可以懂得微积分的理论基础了。当然，也有许多同志并没有为“四人帮”的喧嚣冲昏头脑，他们顶住逆流，坚持用唯物辩证法指导数学的理论基础的研究和教学，取得优异成绩。但是，对“四人帮”的“代替论”在数学界的流毒，我们不能低估，不能让它继续腐烂、发臭，毒害我们，应该进行充分的揭露和批判，把它扫进历史的垃圾堆。
如果说姚文元的“自然科学的基础理论是马克思主义哲学”这一谬论，具有公开的反马克思主义的性质，它一出笼就为革命群众所识别。那么，它在数学中的表现形式则多少带有荫蔽的、欺骗的性质，而在一段时间内蒙骗一部分人。因此，必须加以揭露。“代替论”者振振有词地写道：“恩格斯指出，‘变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学中的应用’。（《反杜林论》，第132页）深刻地阐述了微积分的理论基础是辩证法。”经这样的引证，似乎他们已经从革命导师的著作里找到了“代替论”的根据了。但是，这是枉费心机的，它是对恩格斯原意的篡改和歪曲。恩格斯这句话高度地概括了高等数学区别于初等数学的本质特征。“因为高等数学把初等数学的永恒真理看作已经被克服的观点，常常作出相反的判断，提出一些在初等数学家看来完全是胡说八道的命题。固定的范畴在这里消失了；数学走到了这样一个领域，在那里即使很简单的关系，如单纯的抽象的量之间的关系、恶无限性，都采取了完全辩证的形式，迫使数学家们既不自愿又不自觉地成为辩[3]证的数学家。”这说明高等数学充满着辩证法思想。那么从这个特点出发，我们应该得出什么结论呢？请看看恩格斯在1881年8月18日写给马克思的信中，是怎样批判当时的数学家的。他说：“事情是这样清楚，真是奇怪，为什么数学家们要那样顽固地坚持把它搞得神秘莫测。不过这是那些先生们的思想方法的片面性造成的。肯定地、直[4]截了当地令，这个概念在他们的头脑中是没有的。”在这里恩格斯一针见血地指出，由于数学家受形而上学思想的束缚，他们不能消除微积分计算法的神秘性。这不就很清楚地从反面告诉我们，只有运用辩证的方法研究高等数学，才可能给这种新计算法的正确性提供理论根据吗？怎么能从恩格斯的话里得出“微积分的理论基础是辩证法”的结论呢？这种说法，不就正好暴露了“代替论”者歪曲恩格斯原意的卑劣手法吗？
在微积分的理论基础这个概念上，姚文元制造混乱，以售其奸。为了揭露其偷换概念的手法，我们有必要简单地回顾一下微积分的历史。17世纪下半叶，牛顿、莱布尼茨建立的微积分，是一种求导数、微分、积分的方法。它在求导数的过程中，遇到不等于零的无限小量，但在运算结果中，微积分的创立者又以无限小量是“无限地减少”为理由，消去结果中含有无限小量的项。这样处理的结果，按理说得到的是近似值，可是实践又证明它是一个精确值。这使得微积分带上神秘的色彩，马克思也称之为“神秘的微分学”。因此，这种新的计算法就遭到一些正统数学家的反对，其中有荷兰物理学家、几何学家贝尔纳，法国数学家罗尔等人，他们认为新计算法破坏数学的“严密性的特征”，引出荒唐的结论，主张应该把它从数学中驱逐出去。英国的主观唯心主义者、大主教贝克莱则利用新计算法缺乏严密的基础这一点，为神学辩护。因此，为微积分计算法寻找一个立论的根据就具有特别重要的意义。微积分的理论基础由此而来，其概念的含义也就不言而喻。但是，“代替论”者利用微积分中具有丰富的辩证法思想以及马克思对微分法的辩证分析，把微积分的理论基础这个数学概念偷换成哲学概念，妄图用对微分过程的哲学分析来代替具体的数学论证。这是直接违反马克思的教导的。
马克思在读到牛顿获得的时候，批评他“并不是用任何一种数[5]学方法推导出来的”；并且说，“这种算法通过肯定是不正确的数[6]学途径得出了正确的（尤其在几何应用上是惊人的）结果”。从这个批评中，我们知道马克思是主张通过正确的数学途径，用数学方法进行推理论证，解决微积分的理论基础的问题的。马克思不仅指出解决问题的途径，而且亲自进行微分运算。当他认为，在本质上应该是的时候，他并不是依据辩证法中的否定之否定的规律得出的，而1是通过一些具体的例子进行推导，说明只有当x-x=0时，微分运算在数学上才是绝对正确的。当然，马克思在《手稿》中也进行哲学的分析和概括。但是，这是在具体的数学推演的基础上进行的，丝毫没有用哲学的分析代替具体的推理论证。所以，姚文元鼓吹用辩证法取代微积分的理论基础，是对马克思的背叛。
唯物辩证法是关于自然界、人类社会和思维的最普遍的规律的科学。它是无产阶级的世界观，也是研究各种问题的方法论。数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，即研究事物运动中所呈现的量的关系这一特殊矛盾，因此它们的关系是普遍性与特殊性的关系，两者既有区别又有联系。唯物辩证法是对各种具体物质运动形态的概括，反映不同物质形态的共同的本质特征。所以，它是最普遍的规律。因而，它是研究各种物质运动形态必须共同遵守的，从这个意义上说，它具有普遍的指导意义。特别是在自然科学进入理论领域以后，研究自然科学就离不开辩证的方法，所以，蔑视辩证法是不能不受惩罚的。马克思以前的一些数学家把看成“在量上其实只是无限[7]小（的比），仅仅接近于。”马克思批评他们是一种“聊以自慰”的“奇想”。恩格斯更是一针见血地指出，这是数学家受形而上学的思维方式的束缚，才无法消除微积分的神秘性。这就说明了，辩证法进入数学以后，数学家的形而上学思想方法已经不能适应需要了，“除了以这种或那种形式从形而上学的思维复归到辩证的思维，在这[8]里没有其他任何出路，没有达到思想清晰的任何可能”。马克思应用了唯物辩证法这一科学的方法，批判地总结了微分法的历史发展，才“肯定地，直截了当地令”。当恩格斯知道马克思的这个成果时，就写信向马克思祝贺。并说：“你无需害怕在这方面会有数学家走在你的前面。这种求微分的方法其实比所有其它的方法要简单得多……这种方法很值得注意，尤其是因为它清楚地表明，通常的方法忽略了dx dy等是完全错误的。特别值得注意的是，只有当时，而[9]且只有那时演算在数学上才是绝对正确的。”这就从正反两个方面，说明了研究高等数学必须用唯物辩证法作指导，才能战胜数学中的理论困难。另外，唯物辩证法又不能代替具体科学的研究。毛主席说：“如果不研究矛盾的特殊性，就无从确定一事物不同于他事物的特殊的本质，就无从发现事物运动发展的特殊的原因，或特殊的根据，也[10]就无从辨别事物，无从区分科学研究的领域。”如果不研究事物在量的关系方面的特殊矛盾性，也就没有数学。“代替论”者的逻辑是，因为微积分是辩证法在数学中的运用，所以，它的理论基础是辩证法。这是一种荒唐的逻辑。它否定科学与哲学的区别。按照这种逻辑，那么，可以推出自然科学的各门学科的理论基础也是辩证法了。因为自然科学进入理论领域以后，辩证法对自然科学来说是最重要的思维方式，同时，它也以大量科学事实，揭示出自然界辩证发展的过程。既然自然科学的各门学科的理论基础也是辩证法，那么，还有什么科学研究对象的区分呢？按照这种逻辑，那么，马克思、恩格斯创立辩证唯物主义以后，不就解决了各门自然科学的理论基础了吗，这样，科学研究岂不成了多余了吗？如果取消各门具体科学的研究，哲学就会成为既无自然科学基础，又无指导对象的空中楼阁。所以“代替论”是一种反科学、反马克思主义的理论。本文原载《曲阜师范学院学报》（自然科学版）1978年第2期
[1] 戴巧明：《两种微分法的区别》，《复旦学报》（自然科学版）1975年第2期。
[2] 薛舒：《第一讲 学习〈数学手稿〉引言》，《北京师范大学学报》（自然科学版）1976年第2～3期。
[3] 恩格斯：《自然辩证法》，人民出版社，1971，第181页。
[4] 《马克思恩格斯全集》第35卷，人民出版社，1971，第21～22页。
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]