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作者:同济大学数学系

出版社:人民邮电出版社

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线性代数

线性代数试读:

前言

第一章 线性方程组与矩阵 第一节 矩阵的概念及运算 一、矩阵的定义二、矩阵的线性运算三、矩阵的乘法四、矩阵的转置习题1-1第二节 分块矩阵 一、分块矩阵的概念二、分块矩阵的运算习题1-2第三节 线性方程组与矩阵的初等变换 一、矩阵的初等变换二、求解线性方程组习题1-3第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵 一、方阵的逆矩阵二、初等矩阵三、初等矩阵与逆矩阵的应用习题1-4本章小结拓展阅读测试题一

第二章 方阵的行列式 第一节 行列式的定义 一、排列二、n阶行列式三、几类特殊的n阶行列式的值习题2-1第二节 行列式的性质 一、行列式的性质二、行列式的计算举例三、方阵可逆的充要条件习题2-2第三节 行列式按行(列)展开 一、余子式与代数余子式二、行列式按行(列)展开习题2-3第四节 矩阵求逆公式与克莱姆法则 一、伴随矩阵与矩阵的求逆公式二、克莱姆法则习题2-4本章小结拓展阅读测试题二

第三章 向量空间与线性方程组解的结构 第一节 向量组及其线性组合 一、向量的概念及运算二、向量组及其线性组合三、向量组的等价习题3-1第二节 向量组的线性相关性 一、向量组的线性相关与线性无关二、向量组线性相关性的一些重要结论习题3-2第三节 向量组的秩与矩阵的秩 一、向量组秩的概念二、矩阵秩的概念三、矩阵秩的求法四、向量组的秩与矩阵的秩的关系习题3-3第四节 线性方程组解的结构 一、线性方程组有解的判定定理二、齐次线性方程组解的结构三、非齐次线性方程组解的结构习题3-4第五节 向量空间 一、向量空间及其子空间二、向量空间的基、维数与坐标三、基变换与坐标变换习题3-5本章小结拓展阅读测试题三

第四章 相似矩阵及二次型 第一节 向量的内积、长度及正交性 一、向量的内积、长度二、正交向量组三、施密特正交化过程四、正交矩阵习题4-1第二节 方阵的特征值与特征向量 一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法二、方阵的特征值与特征向量的性质习题4-2第三节 相似矩阵 一、方阵相似的定义和性质二、方阵的相似对角化习题4-3第四节 实对称矩阵的相似对角化 一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质二、实对称矩阵的相似对角化习题4-4第五节 二次型及其标准形 一、二次型及其标准形的定义二、用正交变换化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形习题4-5第六节 正定二次型与正定矩阵 一、惯性定理二、正定二次型与正定阵习题4-6本章小结拓展阅读测试题四

第五章 线性空间与线性变换 第一节 线性空间的定义与性质 一、线性空间的定义二、线性空间的性质三、线性空间的子空间习题5-1第二节 维数、基与坐标 一、线性空间的基、维数与坐标二、基变换与坐标变换习题5-2第三节 线性变换 一、线性变换的定义二、线性变换的性质三、线性变换的矩阵表示式习题5-3本章小结拓展阅读测试题五

部分习题答案内容提要

本书根据工科类本科“线性代数”课程教学基本要求,参考同济大学“线性代数”课程及教材建设的经验和成果,按照硕士研究生考研大纲的要求编写而成.编者在内容编排、概念叙述、定理证明等诸多方面都做了精心安排,以使全书结构流畅,主次分明,通俗易懂.

本书共分五章,包括线性方程组与矩阵、方阵的行列式、向量空间与线性方程组解的结构、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换.每小节配有习题,每章末配有拓展阅读和测试题,拓展阅读用于讲解线性代数发展的相关知识;测试题难度高于习题难度,用于学生加强练习,部分习题和测试题答案放于本书最后章节.另外,为了更加清楚地讲解每章的重点、难点以及典型例题,本书还配有微课视频.

本书可作为高等院校非数学类专业“线性代数”课程的教材,也可作为自学者的参考书.前言

本书是同济大学数学系多年教学经验的总结,编者参考了近年来国内外出版的多本同类教材,吸取它们在内容安排、例题配置、定理证明等方面的优点,并结合工科院校的实际需求编写而成,本书主要特点如下.一、优化编排,重点突出

本书第一章到第三章的内容以解线性方程组为主线,以矩阵为主要工具,内容由易到难、由浅入深、重点突出、层次分明.

第一章突出了初等变换在矩阵运算和求解线性方程组中的作用,首先通过线性方程组与矩阵的关系引入矩阵的定义,然后给出矩阵的各种运算和分块法,最后通过高斯消元法解线性方程组引入矩阵初等变换的概念,并利用矩阵的初等变换解线性方程组、求可逆阵的逆矩阵以及解矩阵方程,在求解线性方程组的同时给出了线性方程组的解的讨论.

第二章结合行列式和矩阵的初等变换,给出矩阵可逆的充分必要条件、求逆公式,以及克莱姆法则.

第三章讨论向量组的线性相关性,引进向量组的秩和矩阵的秩的概念,给出两者之间的联系和求秩的方法,并利用矩阵的秩的概念完善对线性方程组的解的讨论.二、难度降低,帮助理解

在第三章中,本书重点关注向量组的线性相关性、向量组的秩以及矩阵的秩的有关概念,通过概念和线性方程组的解来讨论有关问题,降低了关于矩阵的秩的应用难度.

因为向量的内积与正交性、特征值与特征向量、矩阵的相似对角化等内容不仅可以看成独立的内容体系,也可作为二次型的预备知识,所以本书将它们单独作为第四章,有助于学生学习.

书中将一些理论性较强的定理的证明用*号标出,以示区别,便于选读.如第二章中关于排列、对换的定理的证明以及关于行列式按行(列)展开的定理的证明.三、习题丰富,题型多样

每小节和每章结束时均设置练习题,每小节后的习题与该小节内容匹配,用以帮助理解和巩固基本知识;每章的测试题在题型上更为多样,且难度高于每小节的习题,用于帮助学生提高.

本书将部分考研真题编入测试题中,可供学有余力的学生选做.四、归纳总结,提升素养

设置章总结,并通过微课视频的形式呈现,总结的内容包括本章的基本要求、重点和难点、基本题型和综合例题等,帮助学生系统性地归纳该章所学重点.设置拓展阅读栏目,在增强趣味性的同时让学生能够了解学科背景.

本书第一章到第三章由同济大学濮燕敏编写,第四章、第五章由同济大学殷俊峰编写,并由濮燕敏统稿.中央民族大学李成岳和南京理工大学侯传志对书稿进行了审查,提出了很多可行的修改意见,在此表示感谢.编者2016年4月第一章 线性方程组与矩阵第一节 矩阵的概念及运算[课前导读]

线性方程组的求解是线性代数要研究的重要问题之一,而矩阵是求解线性方程组的核心工具.另一方面,矩阵理论在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用,是一些实际问题得以解决的基本工具.这一节我们通过线性方程组和矩阵的关系引出矩阵的定义,并给出矩阵的运算及运算性质.在正式学习矩阵之前,需要读者了解线性方程组的相关知识.一、矩阵的定义

由m个方程n个未知量x,x,…,x构成的线性(即:一次)方12n程组可以表示为

在线性方程组中,未知量用什么字母表示无关紧要,重要的是方程组中未知量的个数以及未知量的系数和常数项.也就是说,线性方程组(1-1)由常数a(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)和b(i=1,iji2,…,m)完全确定,所以可以用一个m×(n+1)个数排成的m行n+1列的数表来表示线性方程组(1-1).这个数表的第j(j=1,2,…,n)列表示未知量x(j=1,2,…,n)前的系数,第i(i=1,2,…,m)行表示j线性方程组(1-1)中的第i(i=1,2,…,m)个方程,这个数表反映了线性方程组(1-1)的全部信息.反之,任意给定一个m行n+1列的数表,可以通过这个数表写出一个线性方程组.因此,线性方程组与这样的数表之间有了一个对应关系.

定义1 m×n个数a(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的mij行n列的数表称为一个m×n矩阵,简记为(a),有时为了强调矩阵的行数和列ij数,也记为(a).数a位于矩阵(a)的第i行第j列,称为矩阵的ijm×nijij(i,j)元素,其中i称为元素a的行标,j称为元素a的列标.ijij

一般地,常用英文大写字母A,B,…或字母α,β,γ,…表示矩阵,如A=(a),B=(b),A,B等.ijijm×nm×n

元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.本书中的矩阵除特别指明外,都是指实矩阵.

1×1的矩阵A=(a)就记为A=a.

1×n的矩阵(a,a,…,a)12n称为行矩阵,也称为n维行向量.

n×1的矩阵称为列矩阵,也称为n维列向量.

所有元素都是零的m×n矩阵称为零矩阵,记为O,或简记为m×nO.

n×n矩阵称为n阶方阵.元素a(i=1,2,…,n)所在的位置称为n阶方阵的主ii对角线.

一个n阶方阵主对角线上方的元素全为零,即称该n阶方阵为下三角矩阵.下三角矩阵的元素特点是:当i

类似地,有上三角矩阵上三角矩阵的元素特点是:当i>j时,a=0.ij

n阶方阵称为n阶对角矩阵,简称对角阵,记为diag(a,a,…,a).12n

如果n阶对角矩阵diag(a,a,…,a)对角线上的元素全相等,12n即a=a=…=a,则称其为数量矩阵.当a=a=…=a=1时,这个数量12n12n矩阵就称为n阶单位矩阵,简称为单位阵,记为E或E,即n

定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等,则称这两个矩阵为同型矩阵.如果两个同型矩阵A=(a)和B=(b)中所有对应ijm×nijm×n位置的元素都相等,即a=b,其中i=1,2,…,m;j=1,2,…,n,ijij则称矩阵A和B相等,记为A=B.二、矩阵的线性运算1. 矩阵的加法

定义3 设A=(a)和B=(b)是两个同型矩阵,则矩阵Aijm×nijm×n与B的和记为A+B,规定

同型矩阵的加法就是两个矩阵对应位置上元素的加法,由此易知矩阵的加法满足如下的运算规律:设A,B,C是任意三个m×n矩阵,则(1)交换律:A+B=B+A;(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C);(3)A+O=O+A=A.m×nm×n

对于矩阵A=(a),称矩阵(-a)为矩阵A的负矩阵,记ijm×nijm×n为-A.显然,A+(-A)=O.由此可以定义矩阵A=(a)和m×nijm×nB=(b)的减法为ijm×nA-B=A+(-B)=(a-b).ijijm×n2. 矩阵的数乘

定义4 用一个数k乘矩阵A=(a)的所有元素得到的矩阵ijm×n(ka)称为矩阵的数乘,记为kA或者Ak,即kA=Ak=(ka).ijm×nijm×n

如果k,l是任意两个数,A,B是任意两个m×n矩阵,则矩阵的数乘运算满足:(1)k(A+B)=kA+kB;(2)(k+l)A=kA+lA;(3)(kl)A=k(lA)=l(kA);(4)1A=A;(5)(-1)A=-A;(6)0A=O.m×n

矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算.

例1 设求A+B和2A-B.三、矩阵的乘法

定义5 设矩阵A=(a)是一个m×p矩阵,矩阵B=(b)是一个pijij×n矩阵,定义矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵C=(c),其中矩阵ijC=(c)的第i行第j列元素c是矩阵A的第i行元素a,a,…,a与矩ijiji1i2ip阵B的第j列相应元素b,b,…,b的乘积之和,即1j2jpj

必须注意:只有当第一个矩阵(左边的矩阵)的列数与第二个矩阵(右边的矩阵)的行数相等时,两个矩阵才能相乘.

例2 求矩阵的乘积AB.

解 因为矩阵A是2×3矩阵,矩阵B是3×3矩阵,A的列数等于B的行数,所以矩阵A与B可以相乘,乘积AB是一个2×3矩阵.按公式(1-2)有

例3 求矩阵的乘积AB及BA.

在例2中,矩阵A是2×3矩阵,矩阵B是3×3矩阵,所以乘积AB有意义,而矩阵B与A却不能相乘.在例3中,虽然乘积AB与乘积BA都有意义,但是AB≠BA.在例3中还看到,尽管A≠O,B≠O,仍旧有BA=O.所以在做矩阵乘法时,我们要注意:(1)矩阵乘法不满足交换律,即在一般情况下,AB≠BA;(2)尽管矩阵A与B满足AB=O,但是得不出A=O或B=O的结论.

但是,矩阵乘法仍满足下列运算规律(假设运算都是可行的).(1)结合律:(AB)C=A(BC).(2)矩阵乘法对矩阵加法的分配律:A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.(3)(kA)B=A(kB)=k(AB).(4)EA=AE=A.mm×nm×nnm×n(5)OA=O;AO=O.m×ss×nm×nm×ss×nm×n

证明 这几个运算律的证明都是验证式的证明,在此我们只写出结合律的证明,而将其余证明留给读者.

设矩阵A=(a)是一个m×s矩阵,矩阵B=(b)是一个s×p矩阵,ijij矩阵C=(c)是一个p×n矩阵.由矩阵乘法的定义知,矩阵(ABijm×ss×)C与A(BC)都有意义,且都是m×n矩阵.由矩阵相等pp×nm×ss×pp×n的定义,我们只需验证这两个矩阵在相应位置的元素相等即可.

矩阵AB中第i行元素为于m×ss×p是矩阵(AB)C中(i,j)元素为矩阵AB中第i行元素与m×ss×pp×nm×ss×p矩阵C中第j列对应元素c,c,…,c乘积之和,即p×n1j2jpj

同理可以验证矩阵A(BC)中(i,j)元素也是m×ss×pp×n所以矩阵乘法的结合律成立.

例4 设有线性方程组

矩阵称为该线性方程组的系数矩阵.令按公式(1-2)有再根据矩阵相等的定义,该线性方程组可以用矩阵形式来表示:Ax=β.

由于矩阵乘法满足结合律,我们可以定义方阵的方幂如下:0并且规定:对非零方阵A,有A=E.

方阵的方幂满足以下运算规律(这里k,l均为非负整数):klk+lklklAA=A;(A)=A.kk2

由于矩阵乘法不满足交换律,一般来讲(AB)≠ABk,(A+B)22≠A+2AB+B. 只有当A与B可交换(即AB=BA)时,公式kk22222(AB)=ABk,(A+B)=A+2AB+B,(A+B)(A-B)=A-B等才成立.23

例5 设矩阵求A和A.四、矩阵的转置

定义6 设m×n矩阵把矩阵A的行换成同序数T的列,得到的n×m矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记为A,即

矩阵的转置满足下面的运算规律(这里k为常数,A与B为同型矩阵):TT(1)(A)=A;TTT(2)(A+B)=A+B;TTT(3)(AB)=BA;TT(4)(kA)=kA.

证明 这些性质的证明仍属验证式的证明,可仿照矩阵乘法性质的证明,留给读者自己验证.T

例6 设矩阵求(AB).

解法一所以

解法二

试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]

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