作者：同济大学数学系
出版社：人民邮电出版社
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线性代数试读：
前言
第一章 线性方程组与矩阵 第一节 矩阵的概念及运算 一、矩阵的定义二、矩阵的线性运算三、矩阵的乘法四、矩阵的转置习题1-1第二节 分块矩阵 一、分块矩阵的概念二、分块矩阵的运算习题1-2第三节 线性方程组与矩阵的初等变换 一、矩阵的初等变换二、求解线性方程组习题1-3第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵 一、方阵的逆矩阵二、初等矩阵三、初等矩阵与逆矩阵的应用习题1-4本章小结拓展阅读测试题一
第二章 方阵的行列式 第一节 行列式的定义 一、排列二、n阶行列式三、几类特殊的n阶行列式的值习题2-1第二节 行列式的性质 一、行列式的性质二、行列式的计算举例三、方阵可逆的充要条件习题2-2第三节 行列式按行（列）展开 一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开习题2-3第四节 矩阵求逆公式与克莱姆法则 一、伴随矩阵与矩阵的求逆公式二、克莱姆法则习题2-4本章小结拓展阅读测试题二
第三章 向量空间与线性方程组解的结构 第一节 向量组及其线性组合 一、向量的概念及运算二、向量组及其线性组合三、向量组的等价习题3-1第二节 向量组的线性相关性 一、向量组的线性相关与线性无关二、向量组线性相关性的一些重要结论习题3-2第三节 向量组的秩与矩阵的秩 一、向量组秩的概念二、矩阵秩的概念三、矩阵秩的求法四、向量组的秩与矩阵的秩的关系习题3-3第四节 线性方程组解的结构 一、线性方程组有解的判定定理二、齐次线性方程组解的结构三、非齐次线性方程组解的结构习题3-4第五节 向量空间 一、向量空间及其子空间二、向量空间的基、维数与坐标三、基变换与坐标变换习题3-5本章小结拓展阅读测试题三
第四章 相似矩阵及二次型 第一节 向量的内积、长度及正交性 一、向量的内积、长度二、正交向量组三、施密特正交化过程四、正交矩阵习题4-1第二节 方阵的特征值与特征向量 一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法二、方阵的特征值与特征向量的性质习题4-2第三节 相似矩阵 一、方阵相似的定义和性质二、方阵的相似对角化习题4-3第四节 实对称矩阵的相似对角化 一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质二、实对称矩阵的相似对角化习题4-4第五节 二次型及其标准形 一、二次型及其标准形的定义二、用正交变换化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形习题4-5第六节 正定二次型与正定矩阵 一、惯性定理二、正定二次型与正定阵习题4-6本章小结拓展阅读测试题四
第五章 线性空间与线性变换 第一节 线性空间的定义与性质 一、线性空间的定义二、线性空间的性质三、线性空间的子空间习题5-1第二节 维数、基与坐标 一、线性空间的基、维数与坐标二、基变换与坐标变换习题5-2第三节 线性变换 一、线性变换的定义二、线性变换的性质三、线性变换的矩阵表示式习题5-3本章小结拓展阅读测试题五
部分习题答案内容提要
本书根据工科类本科“线性代数”课程教学基本要求，参考同济大学“线性代数”课程及教材建设的经验和成果，按照硕士研究生考研大纲的要求编写而成．编者在内容编排、概念叙述、定理证明等诸多方面都做了精心安排，以使全书结构流畅，主次分明，通俗易懂．
本书共分五章，包括线性方程组与矩阵、方阵的行列式、向量空间与线性方程组解的结构、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换．每小节配有习题，每章末配有拓展阅读和测试题，拓展阅读用于讲解线性代数发展的相关知识；测试题难度高于习题难度，用于学生加强练习，部分习题和测试题答案放于本书最后章节．另外，为了更加清楚地讲解每章的重点、难点以及典型例题，本书还配有微课视频．
本书可作为高等院校非数学类专业“线性代数”课程的教材，也可作为自学者的参考书．前言
本书是同济大学数学系多年教学经验的总结，编者参考了近年来国内外出版的多本同类教材，吸取它们在内容安排、例题配置、定理证明等方面的优点，并结合工科院校的实际需求编写而成，本书主要特点如下．一、优化编排，重点突出
本书第一章到第三章的内容以解线性方程组为主线，以矩阵为主要工具，内容由易到难、由浅入深、重点突出、层次分明．
第一章突出了初等变换在矩阵运算和求解线性方程组中的作用，首先通过线性方程组与矩阵的关系引入矩阵的定义，然后给出矩阵的各种运算和分块法，最后通过高斯消元法解线性方程组引入矩阵初等变换的概念，并利用矩阵的初等变换解线性方程组、求可逆阵的逆矩阵以及解矩阵方程，在求解线性方程组的同时给出了线性方程组的解的讨论．
第二章结合行列式和矩阵的初等变换，给出矩阵可逆的充分必要条件、求逆公式，以及克莱姆法则．
第三章讨论向量组的线性相关性，引进向量组的秩和矩阵的秩的概念，给出两者之间的联系和求秩的方法，并利用矩阵的秩的概念完善对线性方程组的解的讨论．二、难度降低，帮助理解
在第三章中，本书重点关注向量组的线性相关性、向量组的秩以及矩阵的秩的有关概念，通过概念和线性方程组的解来讨论有关问题，降低了关于矩阵的秩的应用难度．
因为向量的内积与正交性、特征值与特征向量、矩阵的相似对角化等内容不仅可以看成独立的内容体系，也可作为二次型的预备知识，所以本书将它们单独作为第四章，有助于学生学习．
书中将一些理论性较强的定理的证明用*号标出，以示区别，便于选读．如第二章中关于排列、对换的定理的证明以及关于行列式按行（列）展开的定理的证明．三、习题丰富，题型多样
每小节和每章结束时均设置练习题，每小节后的习题与该小节内容匹配，用以帮助理解和巩固基本知识；每章的测试题在题型上更为多样，且难度高于每小节的习题，用于帮助学生提高．
本书将部分考研真题编入测试题中，可供学有余力的学生选做．四、归纳总结，提升素养
设置章总结，并通过微课视频的形式呈现，总结的内容包括本章的基本要求、重点和难点、基本题型和综合例题等，帮助学生系统性地归纳该章所学重点．设置拓展阅读栏目，在增强趣味性的同时让学生能够了解学科背景．
本书第一章到第三章由同济大学濮燕敏编写，第四章、第五章由同济大学殷俊峰编写，并由濮燕敏统稿．中央民族大学李成岳和南京理工大学侯传志对书稿进行了审查，提出了很多可行的修改意见，在此表示感谢．编者2016年4月第一章 线性方程组与矩阵第一节 矩阵的概念及运算［课前导读］
线性方程组的求解是线性代数要研究的重要问题之一，而矩阵是求解线性方程组的核心工具．另一方面，矩阵理论在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用，是一些实际问题得以解决的基本工具．这一节我们通过线性方程组和矩阵的关系引出矩阵的定义，并给出矩阵的运算及运算性质．在正式学习矩阵之前，需要读者了解线性方程组的相关知识．一、矩阵的定义
由m个方程n个未知量x，x，…，x构成的线性（即：一次）方12n程组可以表示为
在线性方程组中，未知量用什么字母表示无关紧要，重要的是方程组中未知量的个数以及未知量的系数和常数项．也就是说，线性方程组（1-1）由常数a（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）和b（i=1，iji2，…，m）完全确定，所以可以用一个m×（n+1）个数排成的m行n+1列的数表来表示线性方程组（1-1）．这个数表的第j（j=1，2，…，n）列表示未知量x（j=1，2，…，n）前的系数，第i（i=1，2，…，m）行表示j线性方程组（1-1）中的第i（i=1，2，…，m）个方程，这个数表反映了线性方程组（1-1）的全部信息．反之，任意给定一个m行n+1列的数表，可以通过这个数表写出一个线性方程组．因此，线性方程组与这样的数表之间有了一个对应关系．
定义1 m×n个数a（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成的mij行n列的数表称为一个m×n矩阵，简记为（a），有时为了强调矩阵的行数和列ij数，也记为（a）．数a位于矩阵（a）的第i行第j列，称为矩阵的ijm×nijij（i，j）元素，其中i称为元素a的行标，j称为元素a的列标．ijij
一般地，常用英文大写字母A，B，…或字母α，β，γ，…表示矩阵，如A=（a），B=（b），A，B等．ijijm×nm×n
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵．本书中的矩阵除特别指明外，都是指实矩阵．
1×1的矩阵A=（a）就记为A=a．
1×n的矩阵（a，a，…，a）12n称为行矩阵，也称为n维行向量．
n×1的矩阵称为列矩阵，也称为n维列向量．
所有元素都是零的m×n矩阵称为零矩阵，记为O，或简记为m×nO．
n×n矩阵称为n阶方阵．元素a（i=1，2，…，n）所在的位置称为n阶方阵的主ii对角线．
一个n阶方阵主对角线上方的元素全为零，即称该n阶方阵为下三角矩阵．下三角矩阵的元素特点是：当i 类似地，有上三角矩阵上三角矩阵的元素特点是：当i>j时，a=0．ij n阶方阵称为n阶对角矩阵，简称对角阵，记为diag（a，a，…，a）．12n 如果n阶对角矩阵diag（a，a，…，a）对角线上的元素全相等，12n即a=a=…=a，则称其为数量矩阵．当a=a=…=a=1时，这个数量12n12n矩阵就称为n阶单位矩阵，简称为单位阵，记为E或E，即n 定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵．如果两个同型矩阵A=（a）和B=（b）中所有对应ijm×nijm×n位置的元素都相等，即a=b，其中i=1，2，…，m；j=1，2，…，n，ijij则称矩阵A和B相等，记为A=B．二、矩阵的线性运算1. 矩阵的加法 定义3 设A=（a）和B=（b）是两个同型矩阵，则矩阵Aijm×nijm×n与B的和记为A+B，规定 同型矩阵的加法就是两个矩阵对应位置上元素的加法，由此易知矩阵的加法满足如下的运算规律：设A，B，C是任意三个m×n矩阵，则（1）交换律：A+B=B+A；（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）；（3）A+O=O+A=A．m×nm×n 对于矩阵A=（a），称矩阵（-a）为矩阵A的负矩阵，记ijm×nijm×n为-A．显然，A+（-A）=O．由此可以定义矩阵A=（a）和m×nijm×nB=（b）的减法为ijm×nA-B=A+（-B）=（a-b）．ijijm×n2. 矩阵的数乘 定义4 用一个数k乘矩阵A=（a）的所有元素得到的矩阵ijm×n（ka）称为矩阵的数乘，记为kA或者Ak，即kA=Ak=（ka）．ijm×nijm×n 如果k，l是任意两个数，A，B是任意两个m×n矩阵，则矩阵的数乘运算满足：（1）k（A+B）=kA+kB；（2）（k+l）A=kA+lA；（3）（kl）A=k（lA）=l（kA）；（4）1A=A；（5）（-1）A=-A；（6）0A=O．m×n 矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算． 例1 设求A+B和2A-B．三、矩阵的乘法 定义5 设矩阵A=（a）是一个m×p矩阵，矩阵B=（b）是一个pijij×n矩阵，定义矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵C=（c），其中矩阵ijC=（c）的第i行第j列元素c是矩阵A的第i行元素a，a，…，a与矩ijiji1i2ip阵B的第j列相应元素b，b，…，b的乘积之和，即1j2jpj 必须注意：只有当第一个矩阵（左边的矩阵）的列数与第二个矩阵（右边的矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘． 例2 求矩阵的乘积AB． 解 因为矩阵A是2×3矩阵，矩阵B是3×3矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘，乘积AB是一个2×3矩阵．按公式（1-2）有 例3 求矩阵的乘积AB及BA． 在例2中，矩阵A是2×3矩阵，矩阵B是3×3矩阵，所以乘积AB有意义，而矩阵B与A却不能相乘．在例3中，虽然乘积AB与乘积BA都有意义，但是AB≠BA．在例3中还看到，尽管A≠O，B≠O，仍旧有BA=O．所以在做矩阵乘法时，我们要注意：（1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB≠BA；（2）尽管矩阵A与B满足AB=O，但是得不出A=O或B=O的结论． 但是，矩阵乘法仍满足下列运算规律（假设运算都是可行的）．（1）结合律：（AB）C=A（BC）．（2）矩阵乘法对矩阵加法的分配律：A（B+C）=AB+AC，（A+B）C=AC+BC．（3）（kA）B=A（kB）=k（AB）．（4）EA=AE=A．mm×nm×nnm×n（5）OA=O；AO=O．m×ss×nm×nm×ss×nm×n 证明 这几个运算律的证明都是验证式的证明，在此我们只写出结合律的证明，而将其余证明留给读者． 设矩阵A=（a）是一个m×s矩阵，矩阵B=（b）是一个s×p矩阵，ijij矩阵C=（c）是一个p×n矩阵．由矩阵乘法的定义知，矩阵（ABijm×ss×）C与A（BC）都有意义，且都是m×n矩阵．由矩阵相等pp×nm×ss×pp×n的定义，我们只需验证这两个矩阵在相应位置的元素相等即可． 矩阵AB中第i行元素为于m×ss×p是矩阵（AB）C中（i，j）元素为矩阵AB中第i行元素与m×ss×pp×nm×ss×p矩阵C中第j列对应元素c，c，…，c乘积之和，即p×n1j2jpj 同理可以验证矩阵A（BC）中（i，j）元素也是m×ss×pp×n所以矩阵乘法的结合律成立． 例4 设有线性方程组 矩阵称为该线性方程组的系数矩阵．令按公式（1-2）有再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：Ax=β． 由于矩阵乘法满足结合律，我们可以定义方阵的方幂如下：0并且规定：对非零方阵A，有A=E． 方阵的方幂满足以下运算规律（这里k，l均为非负整数）：klk+lklklAA=A；（A）=A．kk2 由于矩阵乘法不满足交换律，一般来讲（AB）≠ABk，（A+B）22≠A+2AB+B. 只有当A与B可交换（即AB=BA）时，公式kk22222（AB）=ABk，（A+B）=A+2AB+B，（A+B）（A-B）=A-B等才成立．23 例5 设矩阵求A和A.四、矩阵的转置 定义6 设m×n矩阵把矩阵A的行换成同序数T的列，得到的n×m矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为A，即 矩阵的转置满足下面的运算规律（这里k为常数，A与B为同型矩阵）：TT（1）（A）=A；TTT（2）（A+B）=A+B；TTT（3）（AB）=BA；TT（4）（kA）=kA． 证明 这些性质的证明仍属验证式的证明，可仿照矩阵乘法性质的证明，留给读者自己验证．T 例6 设矩阵求（AB）． 解法一所以 解法二
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]