数学教学的趣味知识设计(下)(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者:数学创新教学指导小组

出版社:辽海出版社

格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT

数学教学的趣味知识设计(下)

数学教学的趣味知识设计(下)试读:

前言

数学是一门逻辑性非常强且非常抽象的学科, 要让数学教学变生动有趣, 关键在于教师要善于引导学生, 精心设计课堂教学, 提高学生的学习兴趣。在数学教学中, 教师应当采取多种方法, 充分调动学生的好奇心和求知欲, 使学生在每一节课中都能感受学习的乐趣、收获成功的喜悦, 从而提高学生自主学习和解决问题的兴趣与热情。只有这样, 才能使学生愉快轻松地接受数学知识, 并取得良好的教学效果。

有人说, 数学枯燥、乏味, 学习时没有意思, 其实, 这是对数学的误解。只要你真正懂得了数学, 你就会知道, 数学是一个最富魅力的学科。它所蕴含的美妙和奇趣, 是其他任何学科都不能相比的。茫茫宇宙, 滔滔江河, 哪一种事物能脱离数和形而存在? 是数、形的有机结合, 才有这奇奇妙妙千姿百态的大千世界。数学的美, 质朴, 深沉, 令人赏心悦目; 数学的妙, 鬼斧神工, 令人拍案叫绝! 因为它美, 才更有趣; 因为它有趣, 才更显得美。当然, 这种美的感觉,只有当你真正认识它后才能理解。懂得了这个道理, 你才会有学习数学的动力, 才会走进数学爱好者的行列。

为此, 我们特地编写了这套“数学教师的趣味教学设计与创新” 丛书, 包括《数学教学的趣味数独设计》、《数学教学的趣味故事设计》、《数学教学的趣味知识设计》、《数学教学的趣味运用设计》、《数学教学的趣味游戏设计》、《数学教学的趣味题型设计》、《数学教学的趣味奥秘设计》、《数学教学的趣味之谜设计》、《数学教学的趣味现象设计》、《数学教学的趣味名人设计》共10 册, 丛书一方面分别对相关数学基础知识的趣味教学设计与创新进行了全面指导, 另方面进行了举例示范, 目的是使广大师生在理论指导下进行教学和运用, 逐步提高数学知识素养与兴趣。因此具有很强的系统性、实用性、实践性和指导性, 不仅是广大师生教学指导的最佳读物, 也是各级图书馆珍藏的最佳版本。

第一章 数学教学的趣味知识运用

1.数学知识的趣味性和操作性

一、强化操作,使数学知识不断展开和深入

低年级小学生,他们的抽象概括水平极低,主要还停留在“直观形象水平”。研究表明,“他们所能概括的特征或属性,常常是事物的直观的、形象的、外部的特征或属性,他们更多注意的是事物的外观和实际意义。从这一规律出发,充分地让学生看一看、摸一摸、数一数、量一量、掂一掂、试一试,对实际事物进行感知性操作,逐步发展学生抽象概括能力和对数学的更深层的理解。如一年级上册里有一道“聪明题”:把下列铅笔分类,你有几种分法?下面画有一大堆铅笔:有用过的和没用过的、有长的短的、有橡皮的和没橡皮的、还有各种颜色的。这是一道多标准分类题,对一年级学生来说比较难,如果只让学生讨论、说说或者老师问学生答,这样大部分学生肯定糊里糊涂。

在教学时,让全班学生拿出自己的全部铅笔,按照你自己的想法分一分,过了几分钟,奇迹出现了,各种不同标准的分类展示在眼前。然后让不同分法的学生说说道理。一道很抽象的数学问题在学生的动手操作中很快解决了,学生很兴奋,教师也很兴奋。再如,一年级上册里的小正方体堆积起来的各种图形,让学生数一数每个堆积图形里有几个小正方体。教师先让学生看着图数,大部分学生只数出看到的部分,这时,教师让学生拿出自己的学具小正方体按照书上的图形摆一摆,一会儿,正确答案出来了,有的学生恍然大悟地说:原来下面没有图形,上面的图形就没办法放。

数学的产生源自于生活实践,数学的教学同样离不开实际的生活。在扎实训练学生掌握数学基本知识和基本技能技巧的过程中,教师们必须要注重联系实际,强化学生的动手操作活动,以培养学生创新精神和实践能力,使数学知识不断展开和深入。

二、激发兴趣,推动学生学习的内部动因和动力

兴趣是直接推动学生学习的内部动因和动力,心理学家认为“兴趣是最好的老师”。学生是有个性的人,他的活动受兴趣支配,一切有成效的活动必须以某种兴趣作先决条件。兴趣可以产生学习动机,是学生学习的重要动力源之一,有了兴趣,教学才能取得良好的效果。如,一年级上册有这样一道思考题:小学生们做操,小明的左边有4人,右边有7人,这一排共有多人?在做这道题前,教师用很兴奋的口气说,现在教师们来做游戏,不过你们必须按老师的要求排好队,然后教师们才能开始玩,行吗?学生的气氛很高昂,然后出示题目,学生很激烈地讨论着,教师让他们下座位排排看,很快,答案出来了。接着用类似的方法解决了“从左往右数小明是第4个,从右往左数小明是第7个,这一排一共有多少人?”整个教学过程紧张而热烈,学生学得非常高兴。

数学既能锻炼人的形象思维能力,又能锻炼人的逻辑思维能力。主题思维要善于在事物的不同层次上纵、横两个方面发展,达到对事物的全面认识。为此,教师们应重视在数学教学过程中揭示数学问题的实质,帮助学生提高思维的凝练能力。在解决问题的过程中,先对问题作整体分析,构建数学思维模型,再由表及里,揭示问题的实质。当问题趋于解决后,由此及彼,系统地研究相关的问题,做到解决一题就可解一类题,即触类旁通,才能提高课堂教学的密度和容量。也只有这样,才能达到既不增加学生的负担,又能提高教学质量。

2.数学趣味知识教学的积累

从数学的学习成绩来看,没有一门学科的反差像数学那样悬殊,一方面是,几乎每个学校都有一批数学迷在孜孜不倦地求索;另一方面,也有为数不少的差生视数学为畏途,是一门枯燥乏味的鬼课。数学真是那样令人生厌吗?其实,这是一种对数学世界缺乏了解的认识误区。

数学中处处蕴含着美,数学世界实际上就是一个群芳斗艳的百花园。教师们一起去领略它的千种娇美,万般风情吧?

一、有趣的数字世界

对称性:122=144212=4411122=125442112=445211132=127693112=96721

就如文学中的回文联:如人过大佛寺,寺佛大过人;谁也不知道这样的数有多少?它们就有一种对称和谐之美。

数阵精灵:幻方,所谓幻方,是由1到n2的连续自然数按一定规律排成n行n列的方阵,其中每一行,每一列以及对角线上的n个数之和全是相等的。由于变幻无穷,使得众多数学家为之绞尽脑汁。

二、富含诗意的几何

曲线之美,普天公认,画家与美联社学家经多年细心观察发现,物体轮廓由波浪线构成都显得优美,这就是曲线美的美学规律。由此推论:一切曲线中首推人体曲线最美。

难以想象的是,看来严谨到近乎于刻板的数学公式,竟然会与如此优美的几何图形(曲线)相映成辉。

当你漫步在山花烂漫山坡上时,你是否想到,有些花的形状,居然与某一个精确的数学方程式相吻合。

曲线富含哲理:圆——完美无缺,无可非议;螺旋线蜿蜒伸拓,暗示着某种人生的真缔;渐近线欲达而不能,激起人们不懈的追求。

造物主精妙的安排:天体运动着的星球遵循四种形状的轨道,人造卫星,行星,慧星等依据运动速度不同,即每秒7.9公里,11.2公里,16.7公里三种宇宙速度,分别按圆,椭圆,抛物线,双曲线的轨迹进行运动。

最美最巧妙的比例――黄金分割:把一条线段分为较长与较短两段,使之符合较短线段比较长线段等于较长线段比整条线段。这个比值为0.618。这0.618正是最美最巧妙的比例,人们称之为黄金分割。

法国的巴黎圣母院,中国故宫的构图都融入了黄金分割的匠心,著名的维纳斯雕像中的一些长度比值都采用了0.618。舞台上报幕员的最佳位置,最后的晚餐中犹大的位置都处在黄金分割点上,运动员上下身之比接近5:8,看上去就修长而挺拔,可惜的是一般人上身多长了2寸左右,有些女性就用鞋跟来弥补。

几何构造的美与巧:九曲桥,拱形桥不仅合于力学原则,还有观赏价值;雪花的几何构造其晶体的平面对称极为精巧,并由此内含着深刻的物理性质,蜂房的底部的每个蜡板,钝角都是109°28ˊ,锐角都是70°34ˊ,这样的构造使得同样体积下用料最省。

三、题海拾贝流连忘返

当人们遨游于无边无际的题海中时,常常会流连忘返,废寝忘食。特别是许多世界名题引人入胜极富诱惑力。如哥德巴赫猜想,费尔马大定理,九点圆,哥斯尼堡七桥问题等。

费尔马大定理:,当n大于2时没有正整数解。费尔马是一位业余数学爱好者,被誉为“业余数学家之王”。他去世后人们在他的一本书中看到这一定理及旁边他写下的“教师已发现了这个断语的美妙证法,可惜这里的空白地方太小,写不下”

1908年,德国一个科学会拿出10万马克作为费尔马大定理的解答奖金。加上这个定理连小学生都能读明白,使得上百年来众多数学爱好者前赴后继,后来一位数学家写了一百零八页的解答论文,算是最终解决了这一问题。但至今人们还在寻找着费尔马所说的美妙证法。

四、数理逻辑妙趣横生

幽默的逻辑也会开人们的玩笑,有一个奇异的循环,困扰着逻辑世界二千多年,这个难题也称为说谎者悖论,它有最简单的形式:“教师说的这句话是谎话”——这是真话,还是谎话?把它判作真话,则它是谎话,判作谎话呢?则它已申明自已说谎话,因而成了真话,是真话?则又成了谎话。这就是数学世界的喜剧,它富有美妙,多样的情趣。极富有幽默感。

只要你愿意,只要你留意,你就会积累很多数学中的有趣的材料,它们将会随机的融入课堂里,教学中,对吸引学生的注意力能起到意想不到的效果。

3.数学知识性与趣味性的整合

怎样激发学生的学习兴趣,充分调动他们学习的积极性,主动性,提高课堂教学效率,优化课堂教学呢?

一、巧妙设问,激发兴趣,诱发探究热情

1.用生活实际中的教学问题激发学生学习兴趣

生活中充满着无数的数学问题,因此,教师要善于从学生的生活实际中提出数学问题,使学生感到数学就在他们的身边,从而产生学习的兴趣。特别是新课的引入,要注意创设新颖的问题情景,让学生很快被教师创设的情景所吸引,从而激发他们强烈的求知欲望,例如,教学“圆的认识”,学生联系生活实际举出圆形物体的例子后,教师引导学生思考:“车轮为什么一定要用圆形呢?”学生对这个问题很感兴趣,积极思考,为“圆的认识”教学作了较好的铺垫,教学“年月日”,讲授新知识前,教师设问:今天是谁的生日?同学们多长时间过一次生日?学生回答后教师又引导他们的思索:“小明的哥哥十二岁,才过了三个生日,猜猜看他的生日在哪天?”趣味性的开头,使学生进入了学习的最佳心理状态。

2.降低坡度,找出联系,让学生产生愉悦的情感。根据学生的认知特点,从他们已有知识和经验入手,顺势导入新课。如教学“百分数应用题”时,先将例题中的百分数改为分数让学生练习,然后根据分数与百分数的互化,将题中的分率变为百分率,从而把分数应用题转化成百分数应用题。这样,教师有意识地降低坡度,很自然地引入新课,消除了学生对“百分数应用题”的陌生感,找到了百分数应用题和分数应用题的联系,从而轻松愉快地投入百分数应用题的学习中去。

二、启发引导,释疑解难,让学生主动学习

在新知识教学过程中,要使学生长时间的保持浓厚的学习兴趣,教师不仅应注意适时启发、点播、释疑、而且要注意调动学生学习的积极性、主动性、引导他们在探索过程中把感知与思维相结合,变“学会”为“会学”。如教学“圆的认识”,新授时先让学生阅读课本的有关内容,尔后教师提出问题:用什么工具画圆?怎样画圆?启发学生读后讲出画圆的步骤,并找出关键字词:“先”、“然后”、“再”、“就”,再让学生动手练习。在认识圆的各部分名称时,教师仅适时引导、点播、而让学生通过读一读、议一议、画一画、量一量等方法,让他们在实践活动中感知,逐步加深对圆的各部分有关概念的理解。由于多种感官参与了知识的形成过程,改变了学生被动学习的局面,因此,课堂变成了师生共同进行创造性劳动的乐园。

三、重视反馈,精选练习,让学生学以致用

新课的巩固练习,目的是使学生进一步理解和掌握知识,同时也是对教师教学效果的反馈。练习设计应做到份量适度,紧扣知识重点,有一定梯度,形式多样,适合不同层次学生的需要,真正做到因材施教,力求达到全面巩固知识的最佳效果。如教学“质数、合数”时,教师将基本练习题设计成填空题,选择题,判断题,采用抢答比赛的形式,让中差生也有参与的机会,有效地调动了全班学生学习的积极性。对第二层次的发展题,教师又设计成游戏题形式,让学生给三件代号分别为1、2、9的无扣衣服钉上合适的纽扣,纽扣为a(整数),b(自然数),c(偶数),d(奇数),e(质数),f(合数)。这样设计,巧妙地寓知识性、趣味性于一体既加强了新旧知识的联系,又教给了正确区分以上概念的方法,培养了学生运用知识的能力。对第三层次的深化题,教师设计成“机敏题”:看谁能当上最佳“侦探”。告诉学生一隐形战机的位置比20小,是个奇数,又是合数,又是3的倍数,也是30的约数,让学生把隐形战机找出来。整个练习设计把不同层次的学生都深深地吸引住,同学们积极思考,对运用数学知识解决各种问题的额兴趣十分浓厚,达到了全面巩固所学知识的目的。

四、概括全课,留下余地,让学生思索回味

教师的教学过程,应有总有分,有张有弛,既严肃又活泼,学生的大脑皮层始终处于兴奋状态。特别是课尾,教师更应注意通过廖廖数语,由博反约,简要地概括出全课实质,使学生对所学内容印象深刻,使用起来得心应手。

如教学“圆的面积”,小结时教师设计了如下问题:“这堂课大家学到了什么?有什么收获?”于是学生七嘴八舌,发言十分热烈,他们对圆面积的认识也进一步提高。又如教学“年、月、日”,新课结束时,教师安排学生听鲁迅、高尔基等名人珍惜时间的名言,学生在学到时间知识的同时,还受到惜时如金事业有成的思想教育。

一堂课的结束,并不意味着教学内容的终止,教师应力求创设新的问题情景,制造悬念,或进一步拓宽学生的思路,把课内学习延伸到课外,或让学生回味无穷,保持旺盛的学习热情。如教学“反比例应用题”,全课结束前,教师设计了这样一个问题引导学生思考:“例4是反比例知识解答的,你能用正比例知识解答吗?该怎样解答?”这样,不仅拓宽了学生的解题思路,而且课内课外相辅相成,新旧知识巧妙结合,起到了较好互补作用。

第二章 数学教学的趣味知识推荐

1.朋友与“亲和数”

传说在公元前500多年,古希腊的克罗托那城中,毕达哥拉斯学派正在讨论“数对于万物的作用”,一位学者问“在我们交朋友时,存在数的作用吗?”伟大的数学家毕达哥拉斯答到:“朋友是你灵魂的倩影,要像220与284一样亲密。”他的话使人感到蹊跷,接着他宣布:神默示我们,220的全部真因子之和1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110恰好等于284,而284的全部真因子之和1+2+4+71+142又恰好等于220,它们是一对奇妙的“亲和数”。毕达哥拉斯的妙喻,简直使学者们惊呆了,不过在此后的一段漫长的时间里,人们知道的亲和数就只有这一对。

直到公元七世纪,在古老的巴格达城中,出现了一位伟大的博学者泰比特•伊本柯拉。他是医生、哲学家和天文学家,并且酷爱数学,他对亲和数的特性潜心思索,竟惊人地发现了一个求亲和数的公式。xx-12x-1即a=3·2,b=3·2-1,c=9·2-1这里x是大于1的正整数,则当a、b和c为素数时,2xab和2xc是一对亲和数,同时给出了公式的证明,并,求得的亲和数就是220和284。然而令人惋惜的是泰比特•伊本柯拉并没有给出新的亲和数。

又过了700多年,法国数学家费尔马在1636年再度独立地证明了泰比特•伊本柯拉公式并且给出了第二对亲和数17296和18416。继而另一位数学大师笛卡尔在给一位朋友的信中又确切地给出了第三对亲和数9363584和9437056。这新的发现震动了数学界,吸引了许多数学家像寻宝一样投身于这场“寻数”的竞争。

直至1750年,诞生在瑞士国土上的伟大数学奇才欧拉宣布:他一举求出如2620和2924,5020和5564,6232和6368等六十对亲和数(一说五十九对),使他在寻数竞争中独占鳌头。

又过了一百多年,奇迹出现了,1866年,一位年仅十六岁的孩子竟正确地指出,前辈们丢掉了第二对较小的亲和数1184和1210,这戏剧性的发现使数学家们大为惊讶,据本世纪七十年代统计,人们已经找出一千二百多对亲和数,数学真是一个深不可测的海洋,它蕴藏着无穷无尽的奥妙。

2.“赌徒之学”

17世纪时,法国有一个很有名的赌徒,名字叫默勒。一天,这个老赌徒遇上了一件麻烦事,使他伤透了脑筋。

这天,默勒和一个侍卫官赌掷骰子,两人都下了30枚金币的赌注。如果默勒先掷出3次6点,默勒就可以赢得60枚金币;如果侍卫官先掷出3次4点,这60枚金币就归侍卫官赢走。可是,正当默勒掷出2次6点,而侍卫官只掷出了1次4点时,意外的事情发生了。侍卫官接到通知,必须马上回去陪国王接见外宾。

赌博无法继续下去了。那么,如何分配两人下的赌注呢?

默勒说:“我只要再掷出1次6点,就可以赢得全部金币,而你要掷出2次4点,才能赢得这么多金币。所以,我应该得到全部金币的3/4,也就是45枚金币。”

侍卫官不同意这种说法,反驳说:“假如继续赌下去,我要2次好机会才能取胜,而你只要一次就够了,是2∶1。所以,你只能取走全部金币的2/3,也就是40枚金币。”

两人争论不休,结果谁也说服不了谁。

事后,默勒越想越觉得自己的分法是公平合理的,可就是说不出为什么公平合理的道理来。于是,他写了一封信向法国著名数学家帕斯卡请教:“两个赌徒规定谁先赢s局就算赢了。如果一人赢了a(a<S)局,另一人赢了b(b<s)局时,赌博中止了。应该怎样分配赌本才算公平合理?”

这个问题有趣得很。如果以两人已赢的局数作比例来分配他们的赌本,两人都将不服气,准会抢着嚷道:“假如继续赌下去,也许我的运气特别好,接下来全归我赢。”然而,假如继续赌下去,谁又能预先确定一定归谁赢呢?即使是接下去的每一局,谁又能预先断定一定归谁赢呢?

帕斯卡对这个问题很有兴趣,他把这个题目连同他的解法,寄给了著名法国数学家费尔马。不久,费尔马在回信中又给出了另一种解法。他们两人不断通信,深入探讨这类问题,逐渐摸清了一些初步规律。

费尔马曾经计算了这样一个问题:“如果甲只差2局就获胜,乙只差3局就获胜时,赌博中止了,应如何分配赌本?”

费尔马想:假如继续赌下去,不论是甲胜还是乙胜,最多只要4局就可以决定胜负。于是他逐一列出这4局时可能出现的各种情况,发现一共只有16种。如果用a表示甲赢,用b表示乙赢,这16种可能出现的情况是:aaaa aaab aaba aabbabaa abab abba abbbbaaa baab baba babbbbaa bbab bbba bbbb

在每4局,如果a出现2次或多于2次,则甲获胜。这类情况有11种;如果b出现3次或多于3次,则乙获胜,这类情况有5种。所以,费尔马算出了答案:赌本应当按11∶5的比例分配。

根据同样的算法,读者不难得出结论:在默勒那次中止了的赌博中,他提出的分法确实是合理的。

帕斯卡给费尔马的信,写于1654年7月29日,这是一个值得记住的日子。因为他们两人的通信,奠定了一门数学分支的基础,这门数学分支叫做概率论。

由于概率论与赌徒的这段渊源,常有人讥笑它为“赌徒之学”。

概率论主要研究隐藏在“偶然”现象中的数量规律。抛掷一枚硬币,落地时可能是正面朝上,也可以是背面朝上,谁也无法预先确定到底是哪一面朝上。它的结果纯粹是偶然的。连续地将一枚硬币抛掷50次,偶然也会出现次次都是正面朝上的情形。但是,如果继续不停地将硬币抛掷下去,这个“偶然”的现象便会呈现出一种明显的规律性。有人将硬币抛掷4040次,结果正面朝上占2048次;有人抛掷12000次,结果正面朝上占6019次;有人抛掷3万次,结果正面朝上占14998次。正面和背面朝上的机会各占1/2,抛掷硬币的次数越多,这种规律性就越明显。

概率论正是以这种规律作依据,对在个别场合下结果是不确定的现象,作出确定的结论。例如,将一枚硬币抛掷50次,概率论的结论是:出现25次正面朝上的机会是1/2。而次次出现下面朝上的机会是多少呢?假如有一座100万人的城市,全城人每天抛掷8小时,每分钟抛掷10次,那么,一般需要700多年,这座城市才会出现一回这样的情形。

8.法官的判决

事情发生在古希腊。智慧大师、诡辩论者普洛塔赫尔在教他的学生款德尔学习律师业务时,师生之间约定,学生独立后第一次取得成绩,即第一次诉讼胜利时,必须付给老师酬金。

款德尔学完了全部课程,但却不急于出庭辩护,使老师迟迟得不到酬金。

老师这时想:“我要向法院提出诉讼,如果我赢了,我会得到罚款。如果我输了,我会得到酬金,这样无论如何我都胜了。”

于是普洛塔赫尔正式向法院提出了控诉。

学生得知这一情况之后,认为他们的老师根本没有获胜的希望,如果法院判被告输了,那么按二人的约定就不必付酬金。如果判被告赢了,那么根据法院裁决就没有付款的义务了。

师生二人的良好想法终于使法院开庭了。这场纠纷吸引了好多人。但法官的判决更使人敬佩不已。既没破坏师生之约,又使老师有了取得报酬的可能。

法官的判决是这样的:让老师放弃起诉,但给他权力再一次提出诉讼。理由是学生在第一次诉讼中取胜了,这第二次诉讼应无可置辩地有利于老师了。

3.国王给大臣们出的难题

据传古代欧洲有位国王,一天他非常高兴,便给大臣们出了一道数学题,并许诺谁先解出了这道题便予重赏。他说:“一个自然数,它的一半是一个完全平方数,它的三分之一是一个完全立方数,它的五分之一是某个自然数的五次方,这个数最小是多少?”

有位大臣的儿子十分聪明,第二天他就替父亲解出了这道题。

满足上述条件的数,必然是2,3,5的倍数,其最小值可以表示为(其中a、b、c为自然数)由于是完全平方数,所以是完全平方数:那么a-1必为偶数,即a为奇数;b、c也必须是偶数,由于是完全立方数,那么b-1就为3的倍数,即b为被3除余1的数,如1,4,7,10,13……等等;同理c是被5除余1的数,即1,6,11,16,21……等等;此外还要满足条件:a与b都是5的倍数,a与c都是3的倍数。

综上所述,a是能被3和5整除的奇数,即a的最小值为15;b是能被5整除被3除余1的偶数,即b的最小值为10;c是被3整除被5除余1的偶数,即c的最小值为6。那么:

4.爱吹牛的理发师

1919年,著名英国数学家罗素编了一个很有趣的“笑话”。

小镇有个爱吹牛的理发师。有一天,理发师夸下海口说:“我给镇上所有不自己刮胡子的人刮胡子,而且只给这样的人刮胡子。”

大家听了直发笑。有人问他:“理发师先生,您给不给自己刮胡子呢?”“这,这,……”理发师张口结舌,半晌说不出一句话来。

原来,这个爱吹牛的理发师,已经陷入自相矛盾的窘境。如果他给自己刮胡子,那就不符合他声明的前一半,这样,他就不应当给自己刮胡子;但是,如果他不给自己刮胡子,那又不符合他声明的后一半,所以,他又应当给自己刮胡子。无论刮不刮,横竖都不对。

像理发师这样在逻辑上自相矛盾的言论,叫做“悖论”。罗素编的这则笑话,就是数学史上著名的“理发师悖论”。

理发师的狼狈相是很好笑的,可是,数学家听了却笑不起来,因为他们自己也像那个爱吹牛的理发师一样,陷入了自相矛盾的尴尬境地。

实际上,20世纪初期的数学家们,比那个爱吹牛的理发师更狼狈。理发师只要撤消原来的声明,厚起脸皮哈哈一笑,什么事情都没有了;数学家可没有他那样幸运,因为他们遇上了一个无法回避的数学悖论,如果撤消原来的“声明”,那么,现代数学中大部分有价值的知识,也都荡然无存了。

这个数学悖论也是罗素提出来的。1902年,罗素从已被人们公认为数学基础理论的集合论中,按照数学家们通用的逻辑方法,“严格”地构造出这个数学悖论。把它通俗化就是理发师悖论。

集合论是19世纪末发展起来的一种数学理论,它已迅速深入到数学的每一个角落,直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠立在集合论的基础上时,罗素悖论出现了,它用无可辩驳的事实指出,谁赞成集合论,谁将变成一个“爱吹牛的理发师”,从而陷入自相矛盾的窘境。数学家们尴尬万分,如果继续承认集合论,那么,号称绝对严密的数学,就会因为罗素悖论这样的怪物而不能自圆其说;如果不承认集合论,那么,许许多多重要的数学发明也就不复存在了。

罗素悖论震撼了世界数学界,导致了一场涉及数学基础的危机。人们已经发现,在数学这座辉煌大厦的基础部分,存在着一条巨大的裂缝,如不加以修补,整座大厦随时都有倒塌的危险。

数学家们勇敢地接受了挑战。他们认真考察了产生罗素悖论的原因。原来,之所以出现罗素悖论这样的怪物,是由于在集合论中,“集合的集合”这句话不能随便说。于是,数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性,数学推理在什么情况下才是有效的……,从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。

在这个领域里,由于数学家的观点不同,产生了3个著名的学派。以罗素为主要代表的数学家叫逻辑主义学派,他们认为,只要不允许使用“集合的集合”这种非逻辑语言,罗素悖论就不会发生;以布劳威尔为主要代表的数学家叫直觉主义学派,他们认为,“集合的集合”是不能用直觉理解的,不承认它的合理性,罗素悖论自然也就不会产生了;以希尔伯特为主要代表的数学家叫形式主义学派,他们认为,悖论是一种不相容的表现。

三大学派都提出了修补数学基础的方案,由于各执己见,爆发了一场大论战。这场大论战对现代数学发展影响深远,还导致了许多新的数学分支的诞生。

现在,修补数学基础的工作尚未取得令人完全满意的结果,数学家们仍在顽强拼搏。

5.牛皮上的城堡

你知道古代城市卡发汗吗?它就是在一张牛皮所占有的土地上建立的城市。

传说基尔王的公主蒂顿娜的丈夫被她的兄弟杀死,她逃到非洲。她在奴米地国王那里用了很少的钱买了“一张牛皮所能占有的”土地。这项交易签约后,蒂顿娜把牛皮割成非常细的牛皮条,围成很大的一片土地,足以建成一座城堡。后来扩建成卡发汗。

根据这个传说,假想蒂顿娜割成牛皮条宽1毫米,而一张牛皮的面积有4平方米,那么她围成的土地最大面积能是多少?

面积为4平方米的牛皮、合4百万平方毫米,若把它螺旋式地切割成完全可连续的一条牛皮条,也就是4000米即4公里。这样长的牛皮条可以围出一平方公里的正方形土地。若围成圆形土地,面积可达1.3平方公里,其大小相当于三个梵蒂冈。你想,卡发汗市建立的传说还真有点可靠性呢。

6.康托尔与集合论

集合论的创立者格奥尔格•康托尔,1845年3月3日出生于俄国彼得堡(现为苏联列宁格勒)一个商人家庭。他在中学时期就对数学感兴趣。1862年,他到苏黎世上大学,1863年转入柏林大学。当时柏林大学正在形成一个数学与研究的中心。他在1867年的博士论文中已经反映出“离经叛道”的观点,他认为在数学中提问的艺术比起解法更为重要。的确,他的成绩并不总是在于解决问题,他对数数的独特贡献在于他以特殊提问的方式开辟了广阔的研究领域。他所提出的问题一部分被他自己解决,一部分被他的后继者解决,一些没有解决的问题则始终支配着某一个方向的发展,例如著名的连续统假设。

1869年康托尔取得在哈勒大学任教的资格,不仅就升为副教授,并在1879年升为教授。他一直到去世都在哈勒大学工作。他曾希望去柏林找一个薪金较高、声望更大的教授职位,但是在柏林,那位很有势力而且又专横跋扈的克洛耐克(L•Kronecker,1823—1891年)对于他的集合论,特别是他的“超穷数”的观点持根本否定的态度。因此,处处跟他为难,堵塞了他所有的道路。由于用脑过度和精神紧张,从1884年起,他不时犯深度精神抑郁症,常常住在疗养院里。1918年1月6日他在哈勒大学附近精神病院中去世。

集合论的诞生可以说是在1873年年底。1873年11月,他在和戴德金的通信中提出了一个问题,这个问题使他从以前关于数学分析的研究转到了一个新方向。他认为,有理数的集合是可以“数”的,也就是可以和自然数的集合一对一的对应。但是,他不知道,对于实数集合这种一对一的对应是否能办到。他相信不能有一对一的对应,但是他“讲不出什么理由”。不久之后,他承认“没有认真地考虑这个问题,因为它似乎没有什么价值”。接着他又补充一句,“要是你认为它因此不值得再花费力气,那我就会完全赞同。”可是,康托尔又考虑起集合的映射问题来。很快,他在1873年12月7日又写信给戴德金,说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了。这一天可以看成是集合论的诞生日。戴德金祝贺康托尔取得成功。

集合论的发展道路是很不平坦的。康托尔的集合论是数学上最具有革命性的理论。

7.客满的旅馆还能住进一位客人

有一个市镇,只有一家旅馆,这个旅馆与通常旅馆没有不同,只是房间数不是有限而是无穷多间,房间号码为1,2,3,4,……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。有一天开大会,所有房间都住满了,后来来了一位客人,一定要住下来。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说:“满了就是满了,非常对不起!”正好这时候,聪明的旅馆老板女儿来了,她看见客人和她爸爸都很着急,就说:“这好办,请每位顾客都搬一下,从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间, 2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来,请这位迟到的客人住下了。

第二天,又来了一个庞大的代表团要求住旅馆,他们声称有可数无穷多位代表一定要住,这又把旅馆老板难住了。老板的女儿再一次来解围,她说:“您让1号房间客人搬到2号,2号房间客人搬到4号……K号房间客人搬到2K号……这样,1号,3号,5号……房间就都空出来了,代表团的代表都能住下了。”

这一天,这个代表团每位代表又出新花招,他们想每个人占可数无穷多间房安排他们的亲朋好友,这回连老板的女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久,终于想出了办法。她把第一个客人的第一间房记做(1,1),第二间房记做(1,2),第K间房记作(1,K)……第二个客人的第一间房记作(2,1),第二间房记做(2,2)……这样就有一串两个号码的房间。现在把它按1,2,3,4……排好,按箭头的顺序排号:(1,1)住1号,(1,2)住2号,(2,1)住3号,(3,1)住4号,(2,2)住5号……问题不就又解决了吗!

这个故事说明了无穷集合和有限集合的一个特点,即有限集合不能通过单映射映射到自己的真子集合,而无穷集合可以通过单映射映射到自己的真子集合。(单映射是指,设F是集合A到集合B的映射,对B中的一个象,它在A中只有唯一元素作为原象,就称F是单映射。)

8.“换一根短的杠杆”

据传说,在阿基米德晚年,他的家乡叙拉古城被强大的罗马帝国围困,在保卫城墙的战斗中,阿基米德充分动用了他的智慧和才能,发明许多特种武器,给敌人以沉重的打击,使得久攻不下的罗马军队只得弃强攻为封锁,后来,叙拉古城由于矢尽粮绝,才被罗马军队占领。

在保卫古城堡的最后一天,阿基米德看到城堡的一角,几名将士正用一根既沉重又长的杠杆在运一块大石,准备消灭入侵之敌。他好像突然想起什么似的猛然站起来高声喊到:“不要那么长的杠杆,换一根短的。”将士们惊呆了,用短杠杆怎么行?你老人家发明的杠杆原理不是要加长动力臂才省力吗?

遗憾的是由于城堡被敌人攻破,阿基米德没来得及回答将士们的问题,就被罗马士兵杀害了。

这个传说是否真实,我们不必来考证,但是,我们关心的是为什么阿基米德突然想到要换一根短杠杆呢?只要我们细心一想,就会发现这位古代科学家所提问题的道理,诚然加长动力臂能省力,但是随着杠杆长度的增加,人们的无用消耗也将增加。那么,究竟采用多长的杠杆才最省力呢?

不妨假设杠杆的支点、力点分为A、B,在距支点0.5米处的点挂重物490公斤,已知杠杆本身每米长重40公斤,求最省力的杠杆长?

显然,我们可以得这样一个关系式:

可转化以自变量X的二次方程:于是利用判别式法求出F的极值,即:

即F≥140,

故当F=140公斤时,X=3.5米

由此可知,最省力的杠杆长为3.5米,此时人们只用140公斤力就可移动490公斤重的物体,事实上,当杠杆比3.5米长了或短了时,所用的力都要大。例如取4米时, 141.25公斤,显然用力大于140公斤。现在我们已说明了“阿基米德为什么说‘不要用那么长的杠杆,换一根短的’”的道理。

9.不同专业的质数

证明所有大于2的奇数都是质数,不同专业的人给出不同的证明:

数学家:3是质数,5是质数,7是质数,由数学归纳可知,所有大于2的奇数都是质数。物理学家:3是质数,5是质数,7是质数,9是实验误差,11是质数。工程师:3是质数,5是质数,7是质数,9是质数,11是质数。计算机程序员:3是质数,5是质数,7是质数,7是质数,7是质数。统计学家:让我们来试几个随机抽取的数:17是质数,23是质数,11是质数。

10.与函数的相遇

函数和指数函数e的x次方走在街上,远远看到微分算子,常函数吓得慌忙躲藏,说:“被它微分一下,我就什么都没有啦!”指数函数不慌不忙道:“它可不能把我怎么样,我是e的x次方!”

指数函数与微分算子相遇。指数函数自我介绍道:“你好,我是e的x次方。”微分算子道:“你好,我是d/dy!”

11.不同学者的角度

物理学家、天文学家和数学家走在苏格兰高原上,碰巧看到一只黑色的羊。“啊,”天文学家说道,“原来苏格兰的羊是黑色的。”“得了吧,仅凭一次观察你可不能这么说。”物理学家道,“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的。”“也不对,”数学家道,“由这次观察你只能说:在这一时刻,这只羊,从我们观察的角度看过去,有一侧表面上是黑色的!”

12.专业性的看法

一个数学家,生物学家和物理学家坐在露天咖啡座上,悠闲的看着对街商店的人来人往。

首先他们看到两个人走进商店,过了一会儿发现却有三个人走出来;三个朋友就他们的专业发表了彼此的看法:

物理学家:这证明了测不准原理。

生物学家:这些人自我繁殖了。

数学家:若现在再有一人进入此商店则里面将空无一人。

13.数学家与消防员

一天,数学家觉得自己已受够了数学,于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。消防队长说:“您看上去不错,可是我得先给您一个测试。”

消防队长带数学家到消防队后院小巷,巷子里有一个货栈,一只消防栓和一卷软管。消防队长问:“假设货栈起火,您怎么办?”

数学家回答:“我把消防栓接到软管上,打开水龙,把火浇灭。”消防队长说:“完全正确!最后一个问题:假设您走进小巷,而货栈没有起火,您怎么办?”数学家疑惑地思索了半天,终于答道:“我就把货栈点着。”消防队长大叫起来:“什么?太可怕了!您为什么要把货栈点着?”数学家回答:“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。”

14.数和数字一样吗

我们学数学,整天和数与数字打交道,那么数和数字是一回事吗?你注意到它们之间的区别了吗?你知道吗,小兰和小华还为这事吵起来了呢。事情是这样的,数学兴趣小组的张老师,给大家出了一个讨论题:数和数字的含义是不是相同的?小兰不加思索地说:“当然相同。”张老师说:“你能举个例子说明吗?”

小兰很快地说:“1、2、3、……可以说它是数字,也可以说它是数。”小华不服气地:问:“那么69是一个数,也是一个数字吗?”小兰说:“69是一个数也是一个数字。”小华说:“你说的不对,69是一个数,是由6和9这两个数字组成的,数和数字的含义是不一样的。”

小兰和小华互不服气。这时有的同学同意小兰的意见,也有的赞成小华的说法。大家展开了热烈的讨论。意见一直统一不起来。张老师看着大家的认真劲,笑了,她说:“数可以表示物体的多少或排列顺序;数字是写数用的符号,也叫数码。我们用1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这十个数字按一定数位顺序排列来表示数。用它们可以写出任意一个数。”听了张老师的话,小兰点了点头。

15.九九歌

九九歌就是我们现在使用的乘法口诀。远在公元前的春秋战国时代,九九歌就已经被人们广泛使用。在当时的许多著作中,都有关于九九歌的记载。最初的九九歌是从“九九八十一”起到“二二如四”止,共36句。因为是从“九九八十一”开始,所以取名九九歌。大约在公元五至十世纪间,九九歌才扩充到“一一如一”。大约在公元十三、十四世纪,九九歌的顺序才变成和现在所用的一样,从“一一如一”起到“九九八十一”止。现在我国使用的乘法口诀有两种,一种是45句的,通常称为“小九九”;还有一种是81句的,通常称为“大九九”。

16.0的自我介绍

人人都轻视我,认为我可有可无、有时读数不读我,有时计算中一笔把我划掉。可你们知道吗?我也有许多实实在在的意义。1.我表示“没有”。在数物体时,如果没有任何物体可数,就要用我来表示。2.我有占数位的作用。记数时,如果数的某一数位上一个单位也没有,就用我来占位。比如:1080中百位、个位上一个单位也没有就用:0来占位。3.我表示起点。直尺、秤的起点都是用我来表示的。4.我表示界限。温度计上,我的上边叫“零上”,我的下边叫“零下”。5.我可以表示不同的精确度。在近似计算中,小数部分末尾的我可不能随便划去。如:7.00、7.0、7的精确度是不同的。6.我不能做除数。让我做除数可就麻烦了,因为我做除数是没有意义的。以后你们还会学到我的很多特殊性质、小朋友,请你不要看不起我。

17.从一列数中获得的天文发现

据说1772年,德国天文学家波德发现了太阳与行星距离的规律,根据这个规律算出了当时已发现的行星与太阳的距离(单位略)分别为:星名水星金星地球火星木星土星行星到太阳的距离47101652100天文学家们为了发现更多的行星,仔细研究上表中各数的联系。他们将上表中各数分别减4得到一列数:0、3、6、12、48、96。这些数之间竟有一个奇妙的规律:如果在12和48之间再添上24的话,那么(除第一个数以外)每个数都是前面一个数的2倍。这仅仅是纸上谈兵的数学游戏吗?还是真和行星的位置有什么关系?到了1781年,天王星被发现,人们算得它与太阳的距离是192。真巧,这个数不用减4,就是数列中96的2倍。这一发现,引起了人们的极大兴趣。为了在数列中的12和48之间插入24,科学家们猜测:在与太阳距离28(即24+4)的地方应该有一颗行星。1801年12月7日,科学家终于找到了这颗行星——古神星,它与太阳的距离约是28。

18.抽屉原理的应用

1947年,匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中,当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题:“证明在任何六个人中,一定可以找到三个互相认识的人,或者三个互不认识的人。”

这个问题乍看起来,似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屉原理,要证明这个问题是十分简单的。我们用A、B、C、D、E、F代表六个人,从中随便找一个,例如A吧,把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个“抽屉”里去,根据抽屉原理,至少有一个抽屉里有三个人。不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三个人,他们是B、C、D。如果B、C、D三人互不认识,那么我们就找到了三个互不认识的人;如果B、C、D三人中有两个互相认识,例如B与C认识,那么,A、B、C就是三个互相认识的人。不管哪种情况,本题的结论都是成立的。

由于这个试题的形式新颖,解法巧妙,很快就在全世界广泛流传,使不少人知道了这一原理。其实,抽屉原理不仅在数学中有用,在现实生活中也到处在起作用,如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等,都不难看到抽屉原理的作用。

19.兔同笼

你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗?这个问题,是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?

你会解答这个问题吗?你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗?

解答思路是这样的:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。这样,(1)鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;(2)如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1。因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47-35=12(只)。显然,鸡的只数就是35-12=23(只)了。

这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,直到最终把它归成某个已经解决的问题。

20.普乔柯趣题

普乔柯是原苏联著名的数学家。1951年写成《小学数学教学法》一书。这本书中有下面一道有趣的题。

商店里三天共卖出1026米布。第二天卖出的是第一天的2倍;第三天卖出的是第二天的3倍。求三天各卖出多少米布?

这道题可以这样想:把第一天卖出布的米数看作1份。就可以画出下面的线段图:

第一天为1份;第二天为第一天的2倍;第三天为第二天的3倍,也就是第一天的2×3倍。

列综合算式可求出第一天卖布的米数:

所以三天卖的布分别是:114米、228米、684米。

请你接这种方法做一道题。

有四人捐款救灾。乙捐款为甲的2倍,丙捐款为乙的3倍,丁捐款为丙的4倍。他们共捐款132元。求四人各捐款多少元?

21.鬼谷算

我国汉代有位大将,名叫韩信。他每次集合部队,只要求部下先后按l~3、1~5、1~7报数,然后再报告一下各队每次报数的余数,他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法,人们称为鬼谷算,也叫隔墙算,或称为韩信点兵,外国人还称它为“中国剩余定理”。到了明代,数学家程大位用诗歌概括了这一算法,他写道:

三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,

七子团圆月正半,除百零五便得知。

这首诗的意思是:用3除所得的余数乘上70,加上用5除所得余数乘以21,再加上用7除所得的余数乘上15,结果大于105就减去105的倍数,这样就知道所求的数了。

比如,一篮鸡蛋,三个三个地数余1,五个五个地数余2,七个七个地数余3,篮子里有鸡蛋一定是52个。算式是:

22.巧排队列

4个人排成6列,要求5个人为一列,你知道应该怎样来排列吗?
篮子里的鸡蛋
往一个篮子里放鸡蛋,假定篮子里的鸡蛋数目每分钟增加1倍,这样下去,12分钟后,篮子满了。那么,你知道在什时候是半篮子鸡蛋吗?

爸爸和儿子我认识一个小朋友叫小龙,特别爱学习,总爱让我给他出题,这天他又来找我出题了,我就对他说:我们家有一张照片,上面有两个爸爸,两个儿子,你能猜出来照片上有几个人吗?小龙马上就猜出来了。你猜出来了吗?

23.厨师烙饼

某店来了三位顾客,急于要买饼赶火车,限定时间不能超过16分钟。几个厨师都说无能为力,因为要烙熟一个饼的两面各需要五分钟,一口锅一次可放两个饼,那么烙熟三个饼就得2O分钟。这时来了厨师老李,他说动足脑筋只要15分钟就行了。你知道该怎么来烙吗?

24.乒乓球比赛

六人参加乒乓球比赛,每两个人都要赛一场,胜者得两分,负者得零分,比赛结束。第二名和第五名都是两个并列,问这六个人的得分数依次多少分?

分析:如图由于第二名与第五名都是两个并列,则第一名一人,第二名两人,第四名的一人,第五名两人。没有第三名与第六名。而六人参加比赛情况,设A,B,C,D,E,F为六个人,则一共有十五场比赛,共三十分。现假设A赢了所有人,即五场。而第二名有两人,所以第二名不可能赢四场,则只能赢三场了,两场也不可能,由于第二名赢两场,那么,第四名要赢多少场呢,不然会超过第二名或和第二名相等的场数,出现了矛盾。

这样,第四名就只能赢二场,第五名各赢一场。这样刚好加起来十五场。所以结果应该为第一名赢五场,即十分。第二名赢三场,即各人六分。第四名赢二场,即四分。第五名赢一场,即各人二分。

25.“莫比乌斯带”的神奇

曾作过著名数学家高斯助教的莫比乌斯在1858年与另一位数学家各自独立发现了单侧的曲面,其中最闻名的是“莫比乌斯带”。如果想制作这种曲面,只要取一片长方纸条,把一个短边扭转180°,然后把这边跟对边粘贴起来,就形成一条“莫比乌斯带”。当用刷子油漆这个图形时,能连续不断地一次就刷遍整个曲面。如果一个没有扭

试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]

下载完整电子书

若在网站上没有找合适的书籍,可联系网站客服获取,各类电子版图书资料皆有。

客服微信:xzh432

登入/注册
卧槽~你还有脸回来
没有账号? 忘记密码?