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发布时间:2021-02-22 18:06:31

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作者:潘超,赵思林

出版社:四川大学出版社

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初中数学教学研究与案例分析

初中数学教学研究与案例分析试读:

前言

数学课堂是数学教师工作的主阵地,数学课堂教学研究是每一位数学教师专业成长的必经之路,是提高数学教师专业水平和研究能力的有效方式.基于课标理念和实践基础对课堂中出现的疑难问题、典型问题进行研究,有利于认清课堂现状,把握教学问题的本质,从而采取有效的解决措施,对提高教学质量和深化课改有促进作用.本书汇集了众多的学习者、思考者、实践者和改革者的智慧和努力才得以完成.本书分别从学习心理、教师专业成长、学情分析、教学设计、教学技能、教学模式与方法、课堂问题与解决、教学案例等多个角度对初中数学课堂教学相关的热点、难点、困惑问题进行了探讨,共分三部分六章,每章中又分若干专题.

本书在编写过程中力求体现如下特点:(1)案例性.本书遴选了一些初中数学教学设计、教学实录、教学现象的典型案例加以辅证或说明,力求让读者对书中的理论和案例进行学习、比较和深入研究,引发读者对初中数学教学中有价值的问题进行反思.(2)理论性.本书对数学思维的培养、感受的心理机制、学习评价、教材分析、课堂教学的有效性等有关理论进行了论述,达到了一定的理论深度,对课堂教学的设计、教学实施的方法与策略、教学资源、数学解题等方面进行了较为全面的阐述.(3)问题性.本书研究的问题主要来源于当前初中数学一线课堂,针对焦点、热点问题以及课改中的一些困惑进行讨论,研究的结果往往是一线教师的经验总结和教育专家多年的考察、研究成果,因此能很好地用于指导学习.(4)启发性.本书在理论的论述和问题的探讨上力求提供一种视角、展示一些方法、阐明一点看法,让读者想一线教师所想,思教育专家所思.在案例展示上,尽可能详尽再现,为启发读者而抛砖引玉.

本书吸收了近年来《数学教育学报》《教学与管理》《教育探索》《中学数学教学参考》《教学月刊》等期刊的一些最新研究成果.

本书适合于高等师范院校数学教育专业学生作为教材使用,也可以作为初中数学教师的培训用书,希望书中的内容对专家、教师、高师数学专业学生有一定帮助.

本书的出版得到了四川省内江师范学院数学与信息科学学院的大力支持,得到了内江师范学院教材出版基金、“国培计划(2013)”——四川省农村中小学教师置换脱产研修项目(初中数学)、教育部“本科教学工程”四川省地方属高校本科专业综合改革试点项目——内江师范学院数学与应用数学“专业综合改革试点”项目(ZG0464)、内江师范学院2013年四川省高等教育“质量工程”项目(01249)和四川省教育厅人文社会科学重点研究基地“四川中小学教师专业发展研究中心”科研项目(PDTR2013-007)的资助.对为本书的出版提供了许多帮助的四川大学出版社和被引用的一些初中数学教学研究成果的作者致以衷心的谢意,同时,也深深感谢工作在一线的四十余位初中数学骨干教师的倾力合作和支持,感谢关心、支持本书出版的所有同行和朋友们.

限于水平和时间仓促,疏漏在所难免,希望读者与同仁对其中的问题不吝指导,使之趋于完善.潘超 赵思林2014年3月第一部分学习心理与教师专业成长第一章学习心理与教师专业成长专题一 学习心理数学直觉思维的培养策略[1][2]赵思林朱德全[1][2](内江师范学院数学与信息科学学院;西南大学教育学部)

2003年4月,教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》),确立了十条“课程的基本理念”,其中第四条“注重提高学生的数学思维能力”是基本理念,并指出,“注重提高学生的数学思维能力”是数学教育的基本目标之一.在《标准》中,共用了十个词组(直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构)描述人们在学习数学和运用数学解决问题时所经历的思维过程.这十个词组中前五个词组(直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括)与直觉思维直接相关,而把曾经非常强调的“演绎证明”排在第九的位置,这令人深思.由此易见,《标准》对培养学生的数学直觉思维是非常重视的.Raidl和Lubart的研究表明,直觉与创造力呈正相关.因此,培养学生的数学直觉思维有助于提高学生的创造力.在数学探究和发展的过程中,直觉思维对数学概念的形成、理论的建立、方法的总结、思想的凝练和规律的发现等方面具有重要的作用.直觉思维可以帮助学生分析数学现象、猜想数学命题、顿悟解题思路、缩短思维过程、培育数学灵感等.数学直觉以其高度省略、简化、浓缩的方式洞察数学问题的实质,它对培养学生思维能力、提高创造力极为宝贵.正如爱因斯坦所说,“直觉是头等重要的”,布鲁纳也说“学校的任务就是引导学生 ‘掌握直觉这种天赋’”.在数学教学中,注意培养学生的直觉思维能力,是一项重要而又困难的工作.基于此,本文拟对数学直觉思维能力的培养策略作一些探讨.一、数学直觉思维的概念

思维是人脑对客观事物的本质属性及其内在规律性的概括和间接的反映.数学思维,就是以数量关系和空间形式为思维对象,以数学语言和符号为思维载体,并以认识和发现数学规律为目的的一种思维.直觉是不经过逻辑的、有意识的推理而识别或了解事物的能力.认知心理学的研究发现,人脑中并存着两种不同的信息加工系统,即意识加工与无意识加工.其中,无意识加工是一种基于技能与经验的、自动化的、无须意志努力的加工.这些特征与直觉的特征非常相似,或者是一致的,因为直觉就是一种无意识的认知加工.认知心理学关于无意识认知活动的研究有助于我们理解直觉的本质.数学直觉思维是以—定的知识经验为基础,通过对数学对象作总体观察,在一瞬间顿悟到对象某方面的本质,从而迅速做出估计判断的一种思维.数学直觉思维是一种非逻辑思维活动,是一种由下意识(潜意识)活动参与,不受固定逻辑规则约束,由思维主体自觉领悟事物本质的思维活动.数学直觉思维简称直觉思维或直觉.二、数学直觉思维的心理机制

大量实验研究和临床证据表明,人的大脑分左右两个半球,左半球主管语言、计算和逻辑推理,具有连续性、有序性、分析性等特点;右半球主管想象、创造和形象思维,具有不连续性、弥散性、整体性等特点.左右脑的使用是相互补充、协同工作的.

现代生理学也证明,人的大脑由胼胝体连接着,分为左脑与右脑,左脑以言传方式进行线性的逻辑思维,右脑以意会方式进行非线性的直觉思维.在左脑与右脑之间有几千万个细胞存在,有多达10亿个神经通路,负责大脑左脑和右脑之间的信息传递,人们无论做什么工作和思考什么问题,都需要大脑两半球之间的自由沟通.直觉思维同其他一切心理现象一样,也是人脑的机能.虽然目前人们对直觉的生理机制尚了解不多,但是脑科学的最新研究结果已初步表明,直觉主要是右脑的功能.心理学的实验研究结果已证明,右脑以并行性方式思维,采取的是同时进行整体分析的策略,这就是为什么直觉无须推理就能直接地对事物及其关系做出迅速识别和理解的原因所在.因此,培养学生数学直觉思维应同开发右脑结合起来.三、学生数学直觉思维的培养策略

人的心智有数学直觉.重视“数学直觉映象”与“主客观同构关系”是培养具有创新能力的人才的一条有用原则.因此,探究数学直觉思维的培养策略具有重大的教育价值.著名心理学家费吉鲍姆认为,“智能行为包括两个因素:知识和策略”“通过一系列的研究发现,策略是影响思维过程的最直接和最主要的因素”.培养学生数学直觉思维可采用的策略包括优化认知结构、创设直觉思维场情境、训练直觉思维方法、开发元直觉思维等.其中,直觉思维场情境由问题情境、直观情境、审美情境等组成,训练直觉思维的方法有观察法、联想法、归纳法、类比法、猜想法、估算法等.

1.优化认知结构

数学认知结构是数学知识结构在学习者头脑里的反映,它是学习者在学习的过程中逐步积累起来的在数学方面的观念系统.认知结构是直觉思维过程中一个关键因素,这主要是因为认知结构中的观念和丰富的知识组块都是直觉思维的原材料.学生在直觉思维时,都要把已有的经验加以改组,使之适合于当前问题情境的要求.

完善和优化学生的数学认知结构可从以下两方面着手.首先是夯实数学基础知识.直觉是个体先前积累和储备的经验、知识与当前问题碰撞孕育出的思维火花.一般来说,对某一领域的经验越丰富,知识理解得越透彻,就越容易孕育直觉.其次是强化对数学的理解.“理解”在许多国家新课程改革中倍受重视.数学是思维的科学,因此,数学学习不是“读而知之”,而是“思而知之”.“思”就是理解.理解的本质是学习者在头脑中形成关于这个知识的内部网络,即建立了该知识的图式.数学直觉是对数学问题及其本质属性的直接感悟.数学理解就是对数学知识、方法、思想的感悟.“悟”的原义为觉醒、觉悟.《辞海》的注解是:“悟,领会;觉悟.”对数学的“悟”,是指人在学习和探究数学的活动中突然对数学对象的本质与规律的某一点或整体上的认识、体验与把握,它是一种非理性的直觉思维.“感悟”,就是受到感动而醒悟,是在某种数学现象或事实的触动下,经过想象、联想而达到的一种不同事物而相似事理的沟通与升华,是认识上的一次飞跃.Davis 和Meknigth等对理解和迁移的关系作了较深入的研究,指出理解会直接影响迁移,而迁移直接影响类比和联想.因此,只有基于理解的数学学习才有利于学生的数学直觉思维能力的提升.

2.创设直觉思维场情境“心理的安全”与“心理的自由”是学生进行直觉思维的两个条件.教师要为学生创设一种自由、民主、和谐的课堂氛围,让学生在讨论交流的思维场情境中迸发直觉思维的火花.格式塔学派心理学家苛勒认为,整体的完形是通过场的作用而发生的.1936年,苛勒的学生勒温运用拓扑学原理及物理学中的场、力、区域、边界、向量等概念提出了心理学的场论.按照格式塔学派的观点,心理经验不是若干个静态的、孤立的元素的总和,而是包括了经过组织的、动态的、不断变化的、由相互作用着的一些事物构成的场,由此便产生了心理场、思维场等概念.思维场情境是形式化思维与非形式化思维的整合意识环境域.思维场情境包括直觉思维场情境.教学过程中,直觉思维场情境的生成依承于问题情境的有效创设,它主要是由外部环境(问题系统)与内部环境(直觉思维期望)相互作用所共同促成的.创设直觉思维场情境能活化学生问题解决的直觉思维过程,丰富学生直觉思维的最近发展区.直觉思维场情境由问题情境、直观情境、审美情境等组成.(1)问题情境

直觉思维源于问题,问题启动直觉思维.问题情境是指问题呈现的知觉方式.问题是情境的焦点,情境因问题而存在,问题因情境而有效.问题既是直觉思维的内容,也是直觉思维的手段.当问题呈现的知觉方式与人们已有的知识经验接近时,直觉思维就容易进行;相反,如果问题呈现的知觉方式与人们已有的知识经验相差很远,直觉思维就难以进行.现代心理学认为,问题是思维的土壤,当然也是直觉思维的土壤.教学要促进学生直觉思维就应当培养学生的问题意识,这是因为学生产生问题意识是直觉思维的必要条件.

好的问题情境能激发学生的直觉思维.请看下面一题:

用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根细棒围成—个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为( ).

此题为2006年全国卷Ⅰ理科第11题.对本题而言,没有—个现成的数学公式或定理可以作为解答本题的依据.要在短短的几分钟内计算出所有可以组成的三角形的面积是不现实的.像这样的问题情境,考生或学生要想在较短的时间内予以解答,只有采用联想和猜想等直觉思维方法才行.因此,本题是考查或训练直觉思维的好问题.

另外,问题的表述也会影响学生的直觉思维.清晰、简洁、具体形象的问题语言表述比抽象的语言表述更容易使学生很快理解问题并展开直觉思维.(2)直观情境

直观虽不等于直觉,但直观形象却有助于直觉思维的形成.按照《现代汉语词典(2002年增补本)》的解释,直觉是未经充分逻辑推理的直观.由此易见直观情境对直觉思维的重要作用.在教学时,首先应充分利用图形、图像、表格和数学模型等的直观性.面对表征题目信息的“数”有明显几何意义的问题,要求学生能直觉想象出相应的图形,利用“形”的直观化、形象化、简单化来寻求解题途径并提高解题效率.其次应重视发挥现代信息技术强大的直观作用.此外,还应注意数学教学语言的直观性.生动直观的数学教学语言可以刺激直觉思维.教师应善于用生动直观的语言阐释抽象难懂的数学概念或原理,要善于用比喻,生动形象的比喻有助于展开丰富的联想.(3)审美情境

美育是素质教育的一个重要组成部分.美育是培养学生认识美、欣赏美、爱好美和创造美的能力的教育.审美是一种心理活动,是客观现实中美的事物在个体头脑中的反映及个体对美的事物的态度体验和行为反应.数学审美是数学中美的事物在个体头脑中的反映及个体对数学中美的事物的态度体验和行为反应.数学中充满了美,如图形之美、结构之美、公式之美、方法之美、思维之美等.数学美有对称美、和谐美、简单美、奇异美等.著名数学家庞加莱认为,能够做出数学发现的人就是具有能够感受到所谓数学美的感性的人.换言之,这种人具有数学秩序的感觉,并且以这种感觉去预知数学中隐藏着的关系与和谐,只有具有这种直觉、难以言状的感觉的人,才能做出数学发现.美的意识能唤起和支配数学直觉.如简单美能优化问题解决方案,提高问题解决直觉思维的敏捷性.对称美能启发学生用对称的思想考虑问题,将非对称的问题对称化,从而简化问题的解决.对称美是产生直觉思维的法宝.数学审美的意识越强,发现和辨认数学中隐蔽的和谐关系的直觉能力也就越强.因此,在数学教学中,教师要努力创设数学美的情境,充分揭示数学美,不断发现、创造数学中美的素材,使学生不断提高对数学美的感受力.

3.训练直觉思维方法

建构主义心理学认为,学习是知识意义的建构,是新知识有限生成的过程.在教学系统中,教授系统和学习系统之间的信息交换需要经历一个特定的程序,即接受、储存、变换、输出、反馈和控制.当外界有效信息进入人的大脑时,首先被感受区所“感”而被学生接受(部分信息),被接受的信息进入储存区“储”起来,大脑经过“观察”“联想”“猜想”“估算”“判断”等加工,以直觉判断的方式输出.此处的“判断”主要指直觉判断.学生是在直觉思维活动中学会直觉思维的,因此,直觉思维训练只有在直觉思维活动中进行,这是直觉思维训练的一个基本原则.训练直觉思维的方法有观察法、联想法、归纳法、类比法、猜想法、估算法等.(1)观察法

观察是直觉的前哨.著名数学家埃米特说,“在数学家的思维过程中,观察占有重要的地位,并且起着巨大的作用”.观察是人们对事物的一个知觉过程,知觉是将感觉信息组成有意义的对象.观察作为一种有目的、有意识的感知活动,贯穿于数学学习和探究活动的全过程.细致的观察能触发直觉思维,而直觉思维要求对数学对象进行整体观察.因此,教师要善于从整体的角度、整体的结构、整体的功能等方面,启发和引导学生对数学问题进行多角度、多层次的观察,使其直接接触问题的本质,寻找解决问题的最佳方案.(2)联想法

联想是产生直觉的先导.联想是人们在认识数学对象的过程中,根据数学对象之间的某种联系,由一个数学对象想到另一个相关数学对象的心理活动过程.数学问题解决的思维过程实质上是已知和未知间的一系列的联想过程.对某些待解决的新颖问题,通过仔细地观察,必要时画出示意图,并能联想一些形式相同的、思考方法接近的、结构特征相似的熟悉问题或常规问题,通过迁移将会顿悟出解决问题的思路和方法.(3)归纳法

归纳是探求真理的先锋.Westcott认为直觉是一种推理式思维,能够做出判断或预测;它利用少量的信息却能得出正确结论.他认为直觉同归纳推理有类似之处.两者所不同的是,归纳推理需要足够的证据支持,而直觉凭借部分信息便可做出决策.归纳法是归纳推理的简称,这里的归纳推理是指一切非论证性推理的总称.它包括简单枚举、科学归纳、类比推理、假设检验、日常推理、统计推理等形式,但不包括完全归纳.在数学史上,不少的数学发现来源于直觉归纳,如笛卡儿坐标系的建立、哥德巴赫猜想的提出、欧拉定理的发现等都离不开直觉归纳.数学直觉思维的训练对培养创新人才尤为重要,而归纳法是直觉思维的常用方法.长期以来,我国基础教育对培养学生归纳能力的重视不够,正如史宁中教授所说,“多年来,我国基础教育在学生思维能力的培养中,主要弱在了归纳能力的训练上,给创新性人才的成长带来了严重障碍”.教师适时地布置一些规律归纳型、结论开放型问题,对培养学生的归纳能力是有益的.(4)类比法

类比是直觉的“引路人”.学生认为新的数学问题情境与先前的问题情境类似或相仿,就可能产生类比,从而得到相应的直觉判断.类比作为一般的科学方法,是人们探索问题、寻求和发现真理的重要方法.在数学教学中,应经常在数与式之间、平面与立体之间、一维与多维之间、等与不等之间、有限与无限之间进行类比,以帮助学生发现新命题和新规律.类比需要学生有丰富的知识,并能广泛地联想.(5)猜想法

猜想是直觉思维的动力.牛顿说:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现.”猜想是一种力图直接接触问题的本质但未必有充分根据的认识活动,因而猜想中所包含的成分与直觉思维是密切相关的.在数学教学中,对某个数学问题作各种猜想时,做到想猜、敢猜、会猜,应细致观察问题的条件及所求结论,应善于运用归纳、类比等合情猜想方法.教师应将“让我们教猜想”的理念贯穿于数学教学的全过程,注意引导学生从宏观上看待和把握问题,鼓励学生大胆猜想,这对培养直觉思维十分有益.(6)估算法

估算是直觉思维的基础.估算主要是指在利用一些估算策略的基础上,通过观察、比较、判断、推理等认知过程,获得一种概略化的结果.Dehaene等的研究表明,精算任务主要激活左额叶下部区域,采用的是语言编码;而估算任务则激活双侧顶叶下部区域,主要基于对视觉—空间信息的认知加工.另外,对裂脑病人的研究结果表明,大脑右半球在估算任务中起重要作用.由此推论,精算主要是左脑的功能,估算主要是右脑的功能.因此,过分强调精算对训练直觉思维不利.其实,估算本身也有直觉思维的特点.在数学教学中,学生可以先估算后精算(左脑和右脑并用),通过适量的估算、估计、近似计算等训练,锻炼右脑,训练直觉思维.

4.开发元直觉思维

当代心理学理论认为,人的思维结构包括目标系统、材料系统、操作系统、产品系统和监控系统等五大成分.其中,监控系统即元认知,它的发展水平直接制约着直觉思维的发展,也影响着直觉思维的质量和效率.元直觉思维是元认知的下位概念,元直觉思维的核心意义是“关于直觉思维的思维”.从心理学角度看,元直觉思维属于直觉思维的核心成分.元直觉思维包括元直觉思维知识、元直觉思维体验与元直觉思维监控三方面的内容.元直觉思维知识是学生关于自己或他人的直觉思维活动过程、结果以及与之相关的知识.元直觉思维体验是学生伴随问题解决的直觉思维活动而产生的情感体验.元直觉思维体验与直觉思维前的期望、直觉思维过程中的调节和控制以及直觉思维后的反省等思维活动的进展有关.元直觉思维监控是指学生在问题解决的直觉思维活动中,为达到预期的直觉思维目的,对其直觉思维过程进行一定的调节和控制.元直觉思维始终以追求直觉思维的合理性为动力.开发学生的元直觉思维,其实质就是在很大程度上训练学生的直觉思维.因此,学生的元直觉思维训练是直觉思维能力培养的中心环节,从元直觉思维训练入手可能是学生的直觉思维开发的一条重要途径.

需要注意的是,培养学生的直觉思维要与逻辑思维相结合.在教学中只有把两种思维有机结合,彼此促进,才能使学生的直觉思维能力不断得到提高.培养学生的直觉思维能力,教师要不断提高自己的直觉思维水平,发挥榜样的作用.教师还应制订培养计划,选好培养素材,找准培养时机,并做长期不懈的努力.感受的心理过程对数学教学的启示赵思林(内江师范学院数学与信息科学学院)

进入新世纪,中国新一轮基础教育数学课程改革非常重视情感因素对数学学习的影响,确立了包括“情感、态度与价值观”在内的三维教学目标,从而,感受成了描述“情感、态度与价值观”目标最常用的行为动词之一.因此,探讨感受的心理过程、特点以及感受心理过程对数学教学的启示等问题是有益的.人的感受分为生理的感受和心理的感受.以下所说的感受主要指心理的感受.按照《现代汉语词典》(2002年增补本)的解释,感受有3个含义:受到(影响),接受;接触外界事物得到的影响;体会.体验有两个含义:通过实践来认识周围的事物;亲身经历.而体会即体验领会.因此,从数学学习心理的角度看,感受、体验和体会基本上是同义的.数学教学要实现“情感、态度与价值观”目标,应遵循感受心理过程的规律,让学生经历感受的心理过程,重视学生对数学和数学学习过程的感受或体验.一、感受的心理过程

研究表明,在大脑中,不同组织结构的神经元彼此相互交流,负责加工处理情绪的神经元与负责理性决策的神经元之间进行着交流,而两者都分别与自主系统进行着交流.人的正常行为是由大脑整体功能所支配的,两个脑半球对绝大多数活动和情感交流都有贡献.像阅读、数学能力、记忆的有效储存和提取等复杂的心理活动都需要两个脑半球的积极参与.神经教育学基本原理表明,脑是汇通左右两半球的神经元结构来完成言语或视觉等方面的任务的,脑功能发挥是整体统一的;情感是脑有效活动的必要因素;脑具有同时“见到”对象的整体与部分并能同时予以分解与汇集的独特功能.这些理论表明,人的认知与情感是紧密联系、相互影响的;个体对新信息的心理感受,需要大脑整体支配,两个脑半球积极参与、协同工作.

显然,人的心理感受与记忆有关.一般而言,进入感觉记忆(也称瞬间记忆)系统和短时记忆系统的信息,若不能得到进一步加工,就不会进入长时记忆系统,这时个体难以获得比较深的感受.只有当新信息通过大脑内部加工进入长时记忆系统时,个体才能获得比较深刻的感受.1959年,彼得森用实验方法证实了记忆可划分为短时记忆和长时记忆的假设.在此基础上,阿特金森和西夫林提出了感觉记忆、短时记忆、长时记忆3个记忆阶段的信息存储模式.外界信息进入感觉记忆,仅停留一秒钟左右就立即消失.通过过滤和衰减,部分感觉信息进入短时记忆阶段,转入短时记忆的信息大约停留30秒钟左右,若得不到适当的强化也会消失.只有经过复述的短时记忆中的信息才有可能转入长时记忆阶段.信息进入长时记忆系统,就可以得到较长时间的保持.从记忆的3个阶段来看,人的记忆从感觉记忆到长时记忆需要一个心理过程,即:新信息输入→感觉记忆(瞬间记忆)→短时记忆→X→长时记忆→信息输出,这里的X表示“强化”“复述”等,X的心理过程是什么,现在还不清楚.

人对新信息的心理感受也与理解有关.个体对新信息理解得深,感受就深;理解得浅,感受就浅.如果个体对某个数学知识的理解发生困难,那么他会感到该知识难懂难学.现代认知心理学认为,理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础,根据已有信息建构内部的心理表征并进而获得心理意义的过程.Mayer给出了学习者的理解过程模式,如图1所示.在这一模式中,个体的理解分为3个阶段:第一阶段,各种信息经过注意的“过滤”,部分信息经过感觉记忆进入短时记忆;第二阶段是编码阶段,进入短时记忆的信息没有得到复述和加工的部分会很快消退,得到及时复述和进一步加工的信息进入长时记忆;第三阶段是表征的重新建构和整合阶段.从Mayer关于理解的3个阶段来看,人的理解是一个心理过程,即:新信息输入→感

试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]

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