作者：同济大学数学系
出版社：人民邮电出版社
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概率论与数理统计试读：
前言
本书是同济大学数学系多年教学经验的总结，编者参考了近年来国内外出版的多本同类教材，吸取它们在内容安排、例题配置、定理证明等方面的优点，并结合工科院校的实际需求来编写，形成了本书如下特点．
一、优化编排，重点突出
概率部分从随机事件到随机变量，着重强调一维随机变量和多维随机变量这两部分内容，把常用的数字特征归纳总结在同一章中，而将大数定律和中心极限定理单独成章．统计部分着重强调参数的点估计和区间估计，假设检验可作为课外选读．
二、难度降低，帮助理解
在满足教学基本要求的前提下，适当减少或降低了理论推导的要求，注重用生动浅显的方式对概念进行解释．对所有章节中的部分性质或定理进行了处理．例如，分布函数的性质的证明没有列出，取而代之的是通过例题图像来进行说明，让初学者可以更直观地学习．另外，对选学内容加*号处理，如泊松定理的证明．
三、习题丰富，题型多样
每小节和每章结束时均设置练习题，每小节的习题与该小节内容匹配，用以帮助理解和巩固基本知识；每章的测试题在题型上更为多样，且难度高于每小节的习题，用于帮助学生提高．另外，本书将部分考研真题编入测试题中，供学有余力的学生选做．
四、归纳总结，提升素养
设置章总结，并通过微课视频的形式呈现．章总结阐明了这一章内容的重点和基本要求，对某些重点概念和方法作了进一步的阐述，并指出了学习该章内容时应注意的地方．章总结能帮助学生系统性地归纳该章所学重点，起到提纲挈领的作用．另外，每章还设置了拓展阅读栏目，在增强趣味性的同时让学生能够了解学科背景．
本书由杨筱菡编写第一、二、六、七、八章，由王勇智编写第三、四、五章，并由杨筱菡完成统稿．在编写过程中，钱伟民教授耐心细致地审阅了本书的初稿，提出了很多宝贵建议，同济大学数学系殷俊峰教授和概率统计教研组多位老师也提供了很多的帮助，在此表示衷心感谢．另外，南京理工大学侯传志和南京师范大学李启才对书稿进行了审查，提出了很多可行的修改意见，也在此表示感谢．编者2016年4月第一章随机事件与概率［课前导读］这一章要介绍随机事件的定义，以及怎样求解随机事件发生的概率问题．正确计数对概率求解十分重要，需要回忆和计数相关的排列组合的基础知识．1加法原理：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方2n法，在第二类办法中有m种不同的方法，……，在第n类办法中有m种不同的12n方法，那么完成这件事共有N=m+m+…+m种不同方法．1乘法原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步时有m种不同的方2n法，做第二步时有m种不同的方法，……，做第n步有m种不同的方法，那么12n完成这件事共有N=mm…m种不同的方法．组合：从n个不同的元素中任取r（1≤r≤n）个不同元素，不考虑次序将它们并成一组，称之为组合．所有不同的组合种数记为或排列：从n个不同的元素中任取r（1≤r≤n）个不同元素，按一定的顺序排成一列，称之为排列．所有不同的排列种数记为组合数的计算公式：排列数的计算公式：第一节 随机事件及其运算一、随机试验
在自然界和人类活动中，发生的现象多种多样，偶数能被2整除，函数在间断处不存在导数，课程结束时要通过考试测评，必修课程不及格要重修等．这一类现象在一定条件下必然发生，因此称这类现象为确定性现象．一个新生婴儿可能是男孩也可能是女孩，期末考试可能及格也可能不及格，一条高速公路上一天之内经过的车辆数量等，在这些现象中，事先无法预知会出现哪个结果，因此称这类结果不确定的现象为随机现象．概率论便是一门研究随机现象的统计规律性的数学学科．随机现象在一次试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果将呈现某种规律性，例如相对比较稳定的性别比例，这种规律性称为统计规律性．为了研究随机现象的统计规律性，就要对客观事物进行观察，观察的过程叫随机试验（简称试验）．例如，为了验证骰子是否均匀，可以将这颗骰子反复地投掷并记录其结果．本小节将讨论概率论中的随机试验，随机试验有以下三个特点．（1）在相同的条件下试验可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一种，但是试验之前必须明确试验的所有可能结果；（3）每次试验将会出现什么样的结果是事先无法预知的．
例1 随机试验的例子：（1）抛掷一枚均匀的硬币，观察其正反面出现的情形；（2）抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数；（3）某快餐店一天内接到的订单量；（4）某航班起飞延误的时间；（5）一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅．二、样本空间
随机试验的一切可能结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示试验的每一个可能结果，又称为样本点，即样本空间为全体样本点的集合．
例2 下面给出例1中随机试验的样本空间：1（1）抛掷一枚均匀硬币的样本空间为Ω={H，T}，其中H表示正面朝上，T表示反面朝上；2（2）抛掷一枚均匀骰子的样本空间为Ω={1，2，…，6}；3（3）某快餐店一天内接到的订单量的样本空间为Ω={0，1，2，…，n，…}；4（4）某航班起飞延误时间的样本空间为Ω={t：t≥0}；（5）一支正常交易的A股股票每天涨跌幅的样本空间为5Ω={x：-10%≤x%≤10%}．
从这个例子中可以看出，样本空间中的元素可以是数，也可以不是数．从样本空间中含有样本点的个数来看，可以是有限个也可以是12无限个；可以是可列个也可以是不可列个．例如，Ω和Ω中样本点34512的个数是有限个，Ω、Ω和Ω中样本点的个数是无限个；Ω、Ω和345Ω中样本点的个数是可列个，而Ω和Ω中样本点的个数是不可列个．三、随机事件随机事件
当我们通过随机试验来研究随机现象时，每一次试验都只能出现Ω中的某一个结果ω，各个可能结果ω是否在一次试验中出现是随机的．在随机试验中，常常会关心其中某一些结果是否出现．例如，抛掷一枚均匀的骰子，关心掷出的点数是否是奇数；航班起飞关心延误时间是否超过3个小时等．这些在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件，随机事件通常用大写字母A，B，C，…表示．
如上述，抛掷一枚均匀的骰子，关心掷出的点数是否是奇数，定义A=“掷出的点数是奇数”即是一个可能发生也可能不发生的随机事件，可描述为A={1，3，5}，它是样本空间Ω={1，2，…，6}的一个子集．所以，从集合的角度来说，样本空间的部分样本点组成的集合称为随机事件．
在事件的定义中，注意以下几个概念．（1）任一随机事件A是样本空间Ω的一个子集．（2）当试验的结果ω属于该子集时，就说事件A发生了．相反地，如果试验结果ω不属于该子集，就说事件A没有发生．例如，如果掷骰子掷出了1，则事件A={1，3，5}发生，如果掷出2，则事件A不发生．（3）仅含一个样本点的随机事件称为基本事件．（4）样本空间Ω也是自己的一个子集，所以它也称为一个事件．由于Ω包含所有可能的试验结果，所以Ω在每一次试验中一定发生，又称为必然事件．（5）空集∅也是样本空间Ω的一个子集，所以它也称为一个事件．由于∅中不包含任何元素，所以∅在每一次试验中一定不发生，又称为不可能事件．
例3 抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为Ω={1，2，…，6}；
随机事件A=“出现6点”={6}；
随机事件B=“出现偶数点”={2，4，6}；
随机事件C=“出现的点数不超过6”={1，2，…，6}=Ω，即一定会发生的必然事件；
随机事件D=“出现的点数超过6”=∅，即一定不会发生的不可能事件．四、随机事件间的关系与运算
众所周知，集合之间有各种关系，是可以进行运算的．因此，在随机事件之间也可以讨论相互的关系，进行相应的运算．
1. 给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，A，B，C，…都为Ω的子集，随机事件间的关系有以下几种．（1）如果（或），则称事件A包含在B中（或称B包含A），如图1.1所示．从概率论的角度来说：事件A发生必然导致事件B发生．图1.1
在例3中，事件A=“出现6点”的发生必然导致事件B=“出现偶数点”的发生，故（2）如果同时成立，则称事件A与B相等，记为A=B．从概率论的角度来说：事件A发生必然导致事件B发生，且B发生必然导致A发生，即A与B是同一个事件．（3）如果A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容（或称为互斥），如图1.2所示．从概率论的角度来说：事件A与事件B不可能同时发生．图1.2 A与B互不相容
例如，在抛掷一枚均匀骰子的试验中，“出现6点”与“出现奇数点”是两个互不相容的事件，因为它们不可能同时发生．
2. 与集合的运算一样，随机事件的运算也有并、交、差和余四种运算．（1）事件A与B的并，记为A∪B，如图1.3所示，表示由事件A与B中所有样本点组成的新事件．从概率论的角度来说：事件A与B中至少有一个发生．（2）事件A与B的交，记为A∩B（或AB），如图1.4所示，表示由事件A与B中公共的样本点组成的新事件．从概率论的角度来说：事件A与B同时发生．图1.3 A∪B图1.4 A∩B（3）事件A与B的差，记为A-B，如图1.5所示，表示由在事件A中且不在事件B中的样本点组成的新事件．从概率论的角度来说：事件A发生且B不发生．（4）事件A的对立事件（或称为逆事件、余事件），记为如图1.6所示，表示由Ω中且不在事件A中的所有样本点组成的新事件，即=Ω-A．从概率论的角度来说：事件A不发生．图1.5 A-B图1.6
例如，抛掷一枚均匀骰子，记事件A=“出现点数不超过3”={1，2，3}，事件B=“出现偶数点”={2，4，6}，则并事件A∪B={1，2，3，4，6}，交事件A∩B={2}，差事件A-B={1，3}，对立事件={4，5，6}．
从随机事件间的关系和运算中可以看出：（1）对立事件一定是互不相容的事件，即但互不相容事件不一定是对立事件；（2）根据差事件和对立事件的定义，事件A与B的差还可以表示成（3）必然事件Ω与不可能事件∅互为对立事件，即
3. 事件的运算性质，如集合的运算性质一样满足下述定律．（1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A．（2）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（AB）C=A（BC）．（3）分配律：（A∪B）∩C=AC∪BC，（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）．（4）对偶律：
事件运算的对偶律是非常有用的公式，且以上的定律都可以推广到任意多个事件．
例4 用事件A，B，C的运算关系式表示下列事件，则1（1）A出现，B，C都不发生（记为E）；2（2）所有三个事件都发生（记为E）；3（3）三个事件都不发生（记为E）；4（4）三个事件中至少有一个发生（记为E）；5（5）三个事件中至少有两个发生（记为E）；6（6）至多一个事件发生（记为E）；7（7）至多两个事件发生（记为E）．
解 （1）2（2）E=ABC；（3）4（4）E=A∪B∪C；5（5）E=AB∪AC∪BC；（6）（7）习题1-1
1. 写出下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A：（1）抛掷三枚均匀的硬币；事件A=“至少两枚硬币是正面朝上”；（2）对一密码进行破译，记录破译成功时总的破译次数，事件A=“总次数不超过8次”；
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]