作者:沙学军 史军 张钦宇 著
出版社:人民邮电出版社
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分数傅里叶变换原理及其在通信系统中的应用试读:
前言
第一篇 基础原理篇
第1章 概述
1.1 分数傅里叶变换理论的发展历程
1.2 分数傅里叶变换理论的主要应用
1.3 本书的章节安排
参考文献
第2章 分数傅里叶变换理论基础
2.1 分数傅里叶变换的定义
2.2 分数傅里叶变换的基本性质
2.2.1 分数傅里叶变换算子的性质
2.2.2 分数傅里叶变换运算的性质
2.3 常用信号的分数傅里叶变换
2.4 分数傅里叶变换与傅里叶变换的关系
2.5 分数傅里叶变换与时频表示的关系
2.5.1 分数傅里叶变换与短时傅里叶变换
2.5.2 分数傅里叶变换与Gabor变换
2.5.3 分数傅里叶变换与小波变换
2.5.4 分数傅里叶变换与Wigner-Ville分布
2.5.5 分数傅里叶变换与Radon-Wigner变换
2.5.6 分数傅里叶变换与模糊函数
2.6 分数傅里叶变换的数值计算
2.6.1 采样型离散算法
2.6.2 特征分解型离散算法
参考文献
第3章 分数傅里叶变换运算及定理
3.1 分数傅里叶变换的算子解释
3.1.1 信号的一般表示
3.1.2 分数傅里叶变换的算子解释
3.2 分数阶卷积及其定理
3.2.1 广义分数阶卷积的定义及其定理
3.2.2 广义分数阶卷积的特例分析
3.3 分数阶相关及其定理
3.3.1 广义分数阶相关的定义及其定理
3.3.2 广义分数阶相关的特例分析
3.3.3 广义分数阶相关与广义分数阶卷积的关系
3.3.4 分数阶能谱/功率谱分析
3.4 分数阶采样理论
3.4.1 时间有限信号的分数阶采样
3.4.2 分数域带限信号的分数阶采样
3.4.3 分数域带限信号的多通道采样
3.4.4 函数空间中的分数阶采样理论
3.5 分数域带限信号外推理论
3.5.1 分数阶长椭球波函数
3.5.2 分数域带限信号的外推
3.5.3 数值实例分析
3.6 分数阶不确定性原理
3.6.1 信号时宽与带宽的分数阶不确定性原理
3.6.2 信号能量的分数阶不确定性原理
参考文献
第4章 分数傅里叶变换理论的演进发展
4.1 从傅里叶变换到分数傅里叶变换
4.1.1 傅里叶变换及其特点
4.1.2 短时傅里叶变换及其特点
4.1.3 联合时频分布及其特点
4.1.4 小波变换及其特点
4.1.5 分数傅里叶变换及其特点
4.2 短时分数傅里叶变换
4.2.1 短时分数傅里叶变换的定义
4.2.2 短时分数傅里叶变换的性质
4.2.3 短时分数傅里叶变换的分析性能
4.2.4 数值实例与分析
4.3 分数阶联合时频分布
4.3.1 分数阶联合时频分布的定义
4.3.2 分数阶联合时频分布的性质
4.3.3 常用信号的分数阶联合时频分布
4.3.4 数值实例与分析
4.4 分数阶小波变换
4.4.1 分数阶小波变换的定义
4.4.2 分数阶小波变换的基本性质及定理
4.4.3 分数阶小波变换的反演公式及容许性条件
4.4.4 分数阶小波变换的重建核与重建方程
4.4.5 分数阶小波变换的分析性能
4.4.6 分数阶多分辨分析与正交分数阶小波的构造
4.4.7 分数阶小波采样定理
4.4.8 分数阶小波变换的应用
参考文献
第二篇 技术应用篇
第5章 分数傅里叶变换在信号滤波和分离中的应用
5.1 预备知识
5.1.1 经典常规滤波器
5.1.2 经典匹配滤波器
5.1.3 经典维纳滤波器
5.2 分数域常规滤波
5.2.1 分数域无失真传输条件
5.2.2 分数域滤波器的物理可实现条件
5.2.3 分数域级联滤波器
5.2.4 数值实例与分析
5.3 分数域匹配滤波
5.3.1 分数域匹配滤波器的设计
5.3.2 分数域匹配滤波器的性质
5.3.3 分数域广义匹配滤波器的设计
5.3.4 数值实例与分析
5.4 分数域维纳滤波
5.4.1 分数阶Wiener-Hopf方程
5.4.2 分数阶Wiener-Hopf方程的求解
5.4.3 数值实例与分析
5.5 基于分数傅里叶变换的信号分离
5.5.1 信号模型及信号分数谱分析
5.5.2 信号分数谱无混叠时分离的理论条件
5.5.3 信号分数谱存在混叠时分离的性能分析
参考文献
第6章 基于分数傅里叶变换的波形协同无线通信系统
6.1 分数傅里叶变换域内的多路复用
6.2 线性调频信号与正弦信号的变换域对偶特性
6.3 波形协同无线通信系统
6.3.1 系统原理
6.3.2 系统参数分析
6.4 数值分析与验证
参考文献
缩略语
名词索引
创新技术学术专著INNCIVATIVE分数傅里叶变换原理及其在通信系统中的应用Fractional Fourier Transform Theory and Its Applications in Communication Systems沙学军 史军 张钦宇 著张乃通 审校人民邮电出版社北京图书在版编目(CIP)数据
分数傅里叶变量原理及其在通信系统中的应用/沙学军,史军,张钦宇著.--北京:人民邮电出版社,2013.9
ISBN 978-7-115-31710-0
Ⅰ.①分… Ⅱ.①沙…②史…③张… Ⅲ.①傅里叶变量—应用—通信系统 Ⅳ.①TN914
中国版本图书馆CIP数据核字(2013)第079087号
◆著 沙学军 史军 张钦宇
审校 张乃通
责任编辑 易东山
执行编辑 肇丽
责任印制 杨林杰
◆人民邮电出版社出版发行 北京市崇文区夕照寺街14号
邮编 100061 电子邮件 315@ptpress.com.cn
网址 http://www.ptpress.com.cn
北京天宇星印刷厂印刷
◆开本:787×1092 1/16
印张:17.25 2013年9月第1版
字数:408千字 2013年9月北京第1次印刷定价:69.00元读者服务热线:(010)67119329 印装质量热线:(010)67129223反盗版热线:(010)67171154内容提要
本书主要阐述分数傅里叶变换原理及其在通信中的应用,全书分两篇共6章。第一篇为基础原理篇,包括第1~4章,主要介绍了分数傅里叶变换发展史及其主要应用、分数傅里叶变换理论基础、分数傅里叶变换的基本运算及定理,讨论了傅里叶变换在信号分析与处理中的局限性,介绍了为克服其局限性所提出的一些方法,并分析了这些方法存在的问题。第二篇为技术应用篇,由第5章和第6章构成,重点介绍分数傅里叶变换在通信系统中的应用,是第一篇理论内容的实践。
本书由浅入深,注重原理,联系应用,既可作为高等院校和科研院所信号与信息处理、通信与信息系统、信息安全与对抗、光学工程等专业研究生信号处理课程的参考教材,也可供相关领域的教学人员、科技人员、工程技术人员作参考。序
无线电频谱是一项巨大的财富资源,今天随着信息化进程的加快,人们需要更宽的频带、更大的容量、更高速的信息处理、交换和传输。频谱资源显得日趋紧张,如何有效提高有限频谱资源的利用率被提到了显著的地位。通信的干扰(含人为有意/无意干扰、工业干扰和自然干扰)和抗干扰是通信应用中的一对“矛”和“盾”,是通信界人士一直关注的问题,相关理论与技术也在实践中不断地丰富与发展,可谓是“道高一尺,魔高一丈”。上述两点都是无线通信生存能力的核心问题。传统解决与研究该问题的理论基础是以正弦信号为基函数的傅里叶变换,它反映了信号时域或频域的整体特性,这套理论与技术持续了百余年。当今在实际中应用传统傅里叶分析技术往往显得不尽如人意。于是,一系列新型信号分析方法应运而生,大大扩展了传统傅里叶变换理论的内涵和外延。经典分数傅里叶变换就是在传统傅里叶变换基础上发展起来的一种新型信号分析与处理方法。它是一种广义的傅里叶变换,其基函数是线性调频信号,它突破了传统傅里叶变换只能在时域或频域范围内进行信号分析与处理的局限,能够在时间和频率联合域内分析与处理信号。此外,加权分数傅里叶变换在复平面和时频平面上都具有独特的性质,其时频表述与传统通信系统中的单/多载波模型相对应,这为不同(单/多)载波体制的整合提供了理论支持。经典和加权分数傅里叶变换都是数学工具,如何将数学的进展与通信系统相结合,并应用到通信系统中解决通信的技术问题就变成了要研究的问题。国家自然科学基金、“973”课题的研究与实践表明,利用分数傅里叶变换提高通信系统频谱利用率,增加干扰、抗干扰能力是可行的,具有很大的潜力。为此组织著作了相关书籍,其写法是理解数学理论的性质,用新型信号分析工具刻画通信系统中的相关定理与准则,达到数学与通信相结合并为通信所用的目的,初步论证在通信系统中应用的可行性。
这本《分数傅里叶变换原理及其在通信系统中的应用》的推出一方面是为了引起同行共同关注这方面的理论与应用,并推广应用;另一方面是恳请广大读者和同行批评、指正。中国工程院院士2012年12月
前言
通信的基本目的是传输信息,它是一个能量传递的过程,其质量的好坏很大程度上依赖于对空间、时间、频率和功率等资源的占有度。为此,拓展新资源、研究提高资源的重复利用以及如何抑制通信过程中的各种干扰成为通信领域研究的热门课题。传统无线通信在此研究方面的成果不尽如人意,主要归因于传统信号分析与处理方式上的局限性。在传统信号分析与处理中,刻画信号特征的参量是时间和频率,分析信号的基本数学工具是傅里叶变换。一百多年来,傅里叶分析不仅成为数学分析的一个重要分支,而且是信号分析与处理的重要工具,它反映了信号在时域或频域的整体特性。随着科学技术的发展和工程应用的深入,在一些特殊应用和特定场合往往需要获取信号的联合时频特性,傅里叶变换则显得无能为力。为了克服傅里叶变换的不足,一些新的信号分析与处理方法便应运而生。譬如,短时傅里叶变换、联合时频分布、小波变换以及分数傅里叶变换等。这些变换各有优缺点,在信号分析与处理中发挥着重要的作用。其中,分数傅里叶变换是一种广义的傅里叶变换,它突破了传统傅里叶变换只能在时域或频域范围内进行信号分析与信号处理的局限,能在介于时域和频域之间的分数傅里叶变换域(简称分数域)上分析和处理信号。
在传统无线通信中,频分复用、时分复用以及码分复用是提高无线资源利用率的主要手段,其本质是在各种不同的信号表征域上设计不同的信号来提供多用户接入。此外,提高系统抗干扰能力,降低某一通信系统对另一系统的干扰。在无线资源一定的前提下,也能有效地提高系统容量。从技术上讲,抗干扰的目的是提高系统的信干比,其本质是获取一种明显区分信号和干扰的信号表征。例如,滤波的要求是将信号与干扰有效分离的信号表征;直接序列扩频抗干扰则是寻求相关性好的扩频码的表征等。因此,保证通信质量、提高资源利用率的研究本质可凝练为信号处理问题。信号处理就是对信号进行某种加工和变换,其实质是:削弱信号中多余的内容,滤除混杂的噪声和干扰;或将信号变成易于分析与识别的形式,便于估计和选择它的特征参量等。它的基本内容是研究信号的基本性能,包括描述、分解、变换、检测、特征提取以及适应指定要求而进行的信号设计;其核心是信号运算,一般有下列3种基本类型。(1)信号自变量的改换:含移位、反褶与尺度;(2)信号自身整体运算:如幅度比例、微分、积分;(3)两信号之间运算:含相加、相乘、卷积和相关。
通信系统的各个功能模块几乎都是这些运算的演绎和延伸。如,采样可视为相乘的一种特例,即采样体现为模拟信号与抽样脉冲序列的乘积,而采样重构则可看作采样信号与重构滤波器的卷积;此外,信号的调制也是相乘的体现。又如,各种不同形式的滤波可视为满足不同准则的卷积,如匹配滤波是满足输出信噪比最大的卷积运算,而最优滤波则是以最小均方误差为准则的卷积运算。此外,在接收机端,信号的相关检测则为相关的一种特例。
2004年,在国家自然科学基金重点项目(编号:60432040)支持下,课题组对超宽带无线电有关变换域问题展开研究,并对分数傅里叶变换相关问题进行了探讨。通过“973”计划项目(编号:2007CB310606、2013CB329003)研究工作所取得的研究结果表明,在通信系统中基于傅里叶变换与分数傅里叶变换域分别设计信号,并利用两域协同信号处理对提高频谱资源利用率和系统抗干扰能力有一定功效的,故写了这本书,目的是希望得到广大同行的批评、指正、充实、讨论。
本书分两篇共6章:第一篇为基础原理篇,包括第1~4章。第1章介绍了分数傅里叶变换发展史,说明了分数傅里叶变换在信号处理、通信等领域的应用情况,并分析了分数傅里叶变换理论需要进一步研究的问题。第2章介绍了分数傅里叶变换的定义,总结了分数傅里叶变换的基本性质以及常用信号的分数傅里叶变换,分析了分数傅里叶变换与传统时频分析的关系,最后介绍了分数傅里叶变换离散算法。第3章首先从算子理论的角度给出了分数傅里叶变换的算子解释,然后介绍了分数傅里叶变换的基本运算及定理,包括广义分数阶卷积及其定理、广义分数阶相关运算及其定理、分数阶采样定理以及分数阶不确定性原理。第4章讨论了傅里叶变换在信号分析与处理中局限性,介绍了为克服其局限所提出的一些方法,并分析了这些方法存在的问题。我们企图利用分数傅里叶变换解决这些问题,理论分析表明分数傅里叶变换虽能克服前述诸多问题,但在某些特殊应用和特定场合也面临着一些局限,需要进一步加以完善、丰富和发展。第二篇为技术应用篇,由第5章和第6章构成,重点介绍分数傅里叶变换在通信系统中的应用,是第一篇理论内容的实践。第5章介绍了分数傅里叶变换在滤波与信号分离上的应用,给出了分数域滤波器设计理论,研究了基于分数域信号分离的设计与实现以及抗干扰的可行性分析。第6章讨论了分数傅里叶变换在波形协同提高频谱资源利用率方面的应用。这些内容都是经过实验室初步验证,还有更多的应用正在有计划地进行,并希望有更多的同行共同来研究。
沙学军教授、张钦宇教授是国家自然科学基金重点课题及“973”课题负责人,指导了全书内容的研究与部分修改。史军博士进行了全书内容的著述。吴宣利老师和“973”课题组成员参与了总体讨论、质疑与建议,对作者完成书稿起了积极作用。张乃通教授、张钦宇教授提出了全书的构思,并参与组稿与审核工作。作者哈尔滨工业大学2012年8月第一篇 基础原理篇第1章 概述
分数傅里叶变换理论是在传统傅里叶分析的基础上迅速发展起来的一门新兴学科。它是傅里叶分析被不断完善、丰富与发展的结果,己经成为一些领域研究的重要课题。在光学、信号处理、图像处理、声纳、雷达及通信等领域具有十分广泛的应用前景。近年来,无论是在理论研究还是在工程应用方面,分数傅里叶变换理论都受到了广泛的关注。1.1 分数傅里叶变换理论的发展历程
随着以电子、计算机、通信以及网络为代表的现代信息技术的飞速发展,人类社会正在从工业时代阔步迈向信息化时代。在信息时代的今天,人们越来越重视信息技术的发展以及对信息资源的开发和利用。信息是客观事物状态的反映,是意义和符号的统一体,以语言、文字或图像等形式表现出来。信号作为信息的载体,无处不在,无处不有。信息是信号的具体内容,信号则是信息的表现形式。从数学的角度看,信号是一个或若干个自变量的函数或序列。直观地看,信号是函数随自变量变化关系的波形。为了有效地利用信号获取信息、处理信息和传输信息,选择合理的信号表示至关重要。信号表示关系到获取信息、处理信息和传输信息的质量。尽管存在众多描述信号的方法,但从抽象的角度看,无外乎是基表示的方法,即信号通常可以表示为基函数的线性组合,通俗地讲,信号被分解为各个分量的叠加。而信号的这种表示常被称为信号展开式,展开系数就是信号与基函数之间的内积。信号与基函数的内积就是信号在基函数上投影,反映了信号与基函数的相似程度。如果信号与基函数的某个元素的内积(或模值)大,相应于该元素的信号分量的展开系数就大,说明信号与该元素的相似程度就高,该元素所代表的信号分量在整个信号中占的比重就大。[1]
傅里叶变换(Fourier Transform, FT)就是一种基表示的方法。自从法国科学家J.Fourier在1807年为求解热传导方程而首次提出著名的傅里叶分析以来,经过一百多年的发展,无论是在科学研究中,还是在工程应用中,傅里叶变换都发挥着重要的作用,成为一种基本的、有效的分析工具。然而,随着理论研究的不断深入和工程应用的不断扩展,在一些特定场合和特殊应用中傅里叶变换逐步暴露出自身的局jωt限性。傅里叶变换的基函数是一族指数函数,e对不同的jωt构成一族正交基。由于指数函数e是时间t的一次函数,傅里叶变换适合分析变化比较平稳的信号。然而现实物理世界中的绝大部分信号都是频率随时间变化的非平稳信号。因此,傅里叶变换对于非平稳信号的表征具有局限性。此外,傅里叶变换是将时间t的整个域变换到频率ω域,它不能反映被分析函数在时间t域的局部变化情况。反之,傅里叶变换逆变换也无法刻画被分析函数在频率 ω 域的局部特性。也就是说,傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能。同时,在信号表示或分解中还存在着分辨率的问题。时域分辨率指对信号所能作出辨别的最小时间间隔;频域分辨率则是对信号所能作出辨别的最小频率间隔。分辨能力的好坏取决于信号表示或分解的基函数的特点。jωt由于傅里叶变换的基函数e在频域是位于ω处的冲激函数,当用傅里叶变换来分析信号的频域行为时,可以获得最好的频率分辨率。但jωtjωt是,e在时域对应的是正弦函数(e=cosωt+sinωt),持续时间是(−∞,+∞),可见傅里叶变换在时域有着最坏的分辨率。因此,傅里叶变换存在时域和频域分辨率的缺陷。针对前述傅里叶变换的不足和缺陷,学者们从时间和频率联合域内分析的思想出发,提出了一系列改进傅里叶变换的方法。总体上来说,这些改进措施可归为两类,一类是线性时频表示,包括Gabor变换、短时傅里叶变换以及小波变换;另一类是双线性时频分布,包括Wigner-Ville分布和Cohen类时频分布等。[2]
1946年,D.Gabor提出了一种加窗的傅里叶变换,后被命名为 Gabor 变换(Gabor Transform, GT),为在时间和频率联合域内分析信号奠定了理论基础。其思想是用一 Gauss窗函数抽取一段信号,并对其作傅里叶变换,移动窗函数,重复上述过程,即为Gabor变换。由于经过时移的Gauss窗均具有较短的持续时间,所以Gabor变换能较好地刻画信号中的瞬态结构,且Gabor变换的时频分辨率完全由Gauss窗决定。若用任一窗函数截取一段信号,并对其作傅里叶变换,移动窗函数,重复上述过程,则得到短时傅里叶变换(Short-Time [3]Fourier Transform, STFT)。窗函数的时移和频移,使得窗函数变成既是时间的函数又是频率的函数,因此信号与对应于某一时移和频移的窗函数的内积就能反映信号在该时刻的局部频谱特征,整个变换结果也就能揭示信号频谱的演化特性。与Gabor变换一样,短时傅里叶变换的时频分辨率也受制于窗函数的形状和宽度。为了更加准确地[4]描述信号的时变特征, 1948年,J.Ville将E.P.Wigner在1932年提出[5]的Wigner分布引入到信号处理领域,该分布之后被称为Wigner-Ville分布。Wigner-Ville分布不是线性的,即两信号之和的Wigner-Ville分布并非每一个信号的Wigner-Ville分布之和,其中多出一个信号交叉项。交叉项的存在将严重干扰对信号自项的识别,从而也严重影响了对信号时频行为的识别。为了平滑Wigner-Ville 分布的交叉项,研究者利用不同的设计方法提出了众多新型的时频分布。为了得到统一的时频分布设计方法,L.Cohen在1966年利用算子理论提出了时频分布[6]设计的一般方法,由该方法得到时频分布被称为Cohen类时频分布,之前众多新型时频分布都可以视为其特例。但是,Cohen类时频分布属于双线性变换,无法从根本上消除交叉项的存在,在实际应用中受到了很大程度的限制。1974年,法国地球物理学家J.Morlet提出了小[7]波变换(Wavelet Transform, WT)的概念,后经其他几位法国学者的再塑造,使之成了一种基础坚实、应用广泛的信号分析工具。[8,9]1992年,I.Daubechies和S.Mallat等学者揭示了小波变换与频域滤波器之间的内在联系以及小波基函数与滤波器组的密切关系。研究表明,小波变换本质上相当于一组频域带通滤波器,可见,小波变换仅局限于在时频域内分析信号。为了进一步描述信号从时域变换到频域的动态过程,分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform, FRFT)[10]的概念由此应运而生。
分数傅里叶变换是自1980年以来由于V.Namias、A.C.McBride、[10,11]F.H.Kerr等的奠基工作而发展起来的一种新型信号变换,然而,[12]它的发展历史可以追溯到1929年N.Wiener的研究工作。1937年前[13,14]后,出现了许多与 FRFT 有关的新方向,但以后进展不大。直到20世纪80年代初期,V.Namias、A.C.McBride和F.H.Kerr等人的研究,才有了分数傅里叶变换的雏形。进而,1993年以后,众多学者对分数傅里叶变换的研究和应用使分数傅里叶变换理论得到了迅速发展。分数傅里叶变换理论的发展大致可分为3个阶段。
第一阶段为孤立研究时期。该阶段主要特征是各个领域的研究者独立地从不同角度利用不同理论或方法得到了形式不同但彼此等价的分数傅里叶变换定义。分数傅里叶变换的思想最早可以追溯到1929[12]年N.Wiener的研究工作,为求解一类常微分和偏微分方程,N.Wiener对传统傅里叶变换的特征值进行了修正,得到了更加完备的特征值,即分数傅里叶变换的特征值。尽管分数傅里叶变换这一术语当时还没有出现,但 Wiener 的工作开启了系统研究分数傅里叶变换理论的大门。20世纪30年代之后,出现了许多与分数傅里叶变换相关的研究方向,进一步促进了分数傅里叶变换基础理论的建立。[13]1937年,E.U.Condon利用连续群理论证明了傅里叶变换算子构成以4为变换周期的周期群,即函数的一次傅里叶变换相当于在该群空间上使该函数围绕某一固定点进行角度π/2的逆时针旋转。基于此,构造出一类广义连续群,傅里叶变换算子构成的周期群为其子群,并得到了相当于在该广义连续群空间上进行任意角度旋转的函数变换,[14]该函数变换实际上就是分数傅里叶变换。1939年,H.Kober利用分数阶积分理论研究函数变换的特征根时,提出了一类连续变换,傅里[15]叶变换和分数傅里叶变换皆可视为其特例情况。1973年,H.Hida[13]在研究白噪声随机特性时受 Wiener研究工作的启发,结合傅里叶变换和旋转群的概念定义了一种积分算子,称之为Fourier-Mehler变换算子,并导出了该算子的积分核和一些重要的性质,将之应用于随[7]机微分方程的求解,该算子实质上就是分数傅里叶变换算子。这一[10]时期最具代表性的工作是V.Namias的研究。1980年,Namias基于傅里叶变换的特征值和特征函数,利用特征值的任意次幂运算明确提出了阶数为分数(任意实数)的傅里叶变换的概念,导出了它的高阶微分形式,并将之应用于求解量子力学中微分方程问题。之后,学者们把该分数次幂傅里叶变换称为分数傅里叶变换。1987年,[11]A.C.McBride和F.H.Kerr在Namias工作的基础上给出了分数傅里叶变换更为严格的数学定义,并导出了分数傅里叶变换一些重要的性质,为之后分数傅里叶变换在光学领域的最先实现奠定了理论基础。
第二阶段为基础理论体系趋于成熟时期。20世纪90年代以后,分数傅里叶变换作为一种新型的信号分析工具受到了越来越多的关注。1993年,D.Mendlovic和H.M.Ozaktas首次利用负二次型渐折射率[16,17]介质实现了光学分数傅里叶变换,并给出了相应的光学解释。同时,提出了分数阶卷积与分数阶相关的概念。同年,[18]A.W.Lohmann利用傅里叶变换相当于在 Wigner-Ville 分布构成的时频平面上角度为 π/2 旋转的特性,结合图像旋转和Wigner-Ville 分布旋转给出了分数傅里叶变换的几何解释,即分数傅里叶变换相当于在Wigner-Ville分布时频平面上任意角度的旋转。1994年,[19]L.B.Almeida在Lohmann工作的基础上,总结分析了分数傅里叶变换的基本性质,同时从信号处理的角度进一步揭示了分数傅里叶变换与传统时频分析工具(包括Wigner- Ville分布、模糊函数、短时傅里叶变换以及谱图)的关系,得出了分数傅里叶变换可以解释为信号在时频面上坐标轴绕原点逆时针任意角度旋转的重要结论。通俗地讲,信号的傅里叶变换可以看成将信号从时间轴上逆时针旋转π/2 到频率轴的表示,而其分数傅里叶变换则可视为将信号从时间轴逆时针旋转任意角度到u轴(u轴通常称为分数域轴)的表示,如图1-1所示。
至此,分数傅里叶变换被赋予了明确的物理意义,即它是对时频面的旋转,吸引着越来越多的研究者参与相关理论和应用的研究。同年,H.M.Ozaktas等对分数阶卷积进行了重新定义,提出了分数域滤[20]波和多路复用的概念,得到了分数傅里叶变换与小波变换的关系,其研究结果展示了分数傅里叶变换在解决时变滤波与时频多路复用等信号处理问题上的潜在优势。1995年,D.Mendlovic等提出了分[21]数阶相关的概念,并给出了实现结构和相应数值分析结果。之[22,23]后,又对分数阶相关的性能作了进一步的分析,为基于分数域的信号检测提供了理论依据。同年,H.M.Ozaktas和O.Aytür利用算子方[24]法重新阐释了分数域的涵义,并给出了分数阶不确定性原理。之后,S.Shinde和V.M.Gadre在统计意义下研究了实信号的分数阶不确[25]定性原理,得到了实信号统计时宽和分数域带宽乘积的最小界,为衡量联合时域分数域分析的性能提供了理论依据。此外,C.Capus[26]和K.Brown在研究高斯信号的分数域特性时也得到了与Shinde和[27,28]Gadre一致的结果。G.Xu等又将Shinde和Gadre的工作继续推进,得到了一些新的分数阶不确定性原理。考虑到统计意义下的时宽和带[29]宽不能完全揭示通信信号的本质特征,J.Shi等给出了衡量信号时域和分数域能量聚集程度的不确定性原理,并得到了信号能量最佳聚集的分数域具有唯一性的重要结论。1996年,X.-G.Xia首次提出了分[30~32]数域带限信号的分数阶采样定理,经典 Shannon采样定理视为[33]其特例;其后,C.Candan等得到了Xia结果的对偶形式,即时间有限信号的分数谱采样定理;此外,R.Tao等研究了分数域多速率抽样
[34,35]理论。为降低分数阶采样的速率,A.I.Zayed构造了基于希尔伯特[36]变换的分数阶采样定理,可以将常规分数阶采样速率降低一半。[37][38][39]进一步地,K.K.Sharma和S.D.Joshi、D.Wei等和J.Shi等独立地构建了M通道分数阶采样定理,能够将采样速率降低为常规分数阶采[40~46]样速率的 1/M。分数傅里叶变换采样理论仍在不断完善和发展,为基于分数域的数字信号处理奠定了理论基础。为实现对离散信号的[47]快速分数傅里叶变换的计算,H.M.Ozaktas等从1996年开始对分数傅里叶变换离散化理论展开研究,提出了一种复杂度与快速傅里叶变换(FFT)相当的离散算法,但该算法在数值较小的阶数上容易出现[48]问题。同年,J.Garcia等对Ozaktas型离散算法进行了修正,解决了小阶数上分数傅里叶变换数值计算的问题。后来,S.-C.Pei、C.Candan和A.Serbes等又对分数傅里叶变换离散化算法进一步完善[49~51],为分数傅里叶变换的工程应用提供了保证。1997年,[52]M.A.Kutay等提出了分数域的最优滤波的概念,给出了理论分析和数值验证结果,充分显示了在特定应用条件下分数域滤波的优势。之[53]后,J.Shi 等在Kutay 等人的工作基础上得到了分数域最优滤波问[54]题的闭式解。同年,L.B.Almeida研究了经典卷积在分数域的特性,其结果表明经典卷积在分数域表现为复杂的积分运算,不再具有[55]频域简单的乘积特性。为此,A.I.Zayed在1998年通过对经典卷积定义的修正提出一种新分数阶卷积定理,该定理表明一个域(时域或分数域)的分数阶卷积对应于另一个域(分数域或时域)的乘积。此[56]外,O.Akay和G.F.Boudreaux-Bartels也定义了一种分数阶卷积,同时得到了与之对应的分数阶相关运算,并将其用于线性调频信号的检[39,57~测。后来,又有学者相继提出了一些其他形式的分数阶卷积59][53]。为了得到分数阶卷积的统一结构,J.Shi等导出了一种广义分数阶卷积定理,现有的分数阶卷积定理大都可视为其特例情况。[60]2000年,H.M.Ozaktas等出版了第一本关于分数傅里叶变换的专著《The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing》,对截至2000年有关分数傅里叶变换研究的进展情况进行了系统全面地总结介绍。同年,O.Akay和G.F.Boudreaux-[61]Bartes利用分数阶厄米特算子构造了联合分数阶信号表示,将传统时频分布的分析方法扩展到了分数域。2002年,S.-C.Pei 和 J.-[62]J.Ding利用分数傅里叶变换算子的特性提出了分数阶余弦、正弦和[63]Hartley变换的概念,并得到了一些重要结论。之后,R.Tao等在[64]A.I.Zayed的工作基础提出了广义分数阶希尔伯特变换。2008年,[65]为实现随机信号的分数域分析Tao等还提出了分数阶功率谱的概[66]念。其后,S.-C.Pei和J.-J.Ding又得到了分数傅里叶变换与平稳和非平稳随机过程的内在联系。现今分数傅里叶变换的理论研究虽仍在继续深化,但其基本理论体系己趋于成熟。图1-1 分数域在时频面上示意[67]
第三阶段为理论体系进一步发展时期。2010年,R.Tao等从联合时频域分析的思想出发,提出了短时分数傅里叶变换(Short-Time [68]Fractional Fourier Transform, STFRFT)的概念,建立了联合时域[69]分数域的分析方法。进一步地,J.Shi 等针对短时分数傅里叶变换[70,71]和现有分数阶小波变换(Fractional Wavelet Transform, FRWT)存在的问题提出了一种新型的分数阶小波变换,实现了分数域的多分[72]辨分析。时至今日,分数傅里叶变换理论被不断丰富与发展,吸引众多领域的学者越来越多的关注,涌现出大量相关的研究文献,在此不作赘述。1.2 分数傅里叶变换理论的主要应用
分数傅里叶变换不但继承了传统傅里叶变换的基本性质,而且还具有傅里叶变换所不具备的诸多优良特性,主要体现在以下几个方面。(1)分数傅里叶变换是一种广义的傅里叶变换,它突破了传统只能在时域、频域或者时频联合域内的分析方式,能够在介乎于时域和频域之间的分数域上分析信号,可以展示出信号从时域逐渐变化到频域的所有特征,从而能够充分突出问题某些方面的本质特征。(2)与傅里叶变换一样,分数傅里叶变换也是一种基表示的方法。它的基函数是一族线性调频信号(亦称chirp信号),因此,分数傅里叶变换非常适合处理线性调频信号,而线性调频信号是一种在人工系统和自然界都广泛存在的信号。(3)与傅里叶变换相比,分数傅里叶变换多了一个旋转角度的自由参数,因此在傅里叶分析的某些特殊应用中能够获得更好的效果,譬如数字水印、图像加密等。(4)分数傅里叶变换可以解释为信号在时频平面围绕原点逆时针作任意角度的旋转。信号在分数域的分布特性往往随着旋转角度的变化而变化,因此利用时频旋转可以降低信号与干扰或噪声的耦合程度,有利于实现信号与干扰或噪声的有效分离。(5)与传统的线性时频表示一样,分数傅里叶变换是一种统一的线性时频变换,不存在交叉项,有利于处理多分量信号。
分数傅里叶变换以其独有的特性在众多领域备受关注,并在量子力学和光学领域得到了应用。在量子力学中的应用始于1980年[10][73]V.Namias的工作。之后,J.Shen对分数傅里叶变换的量子解释及相关性质进行了深入研究,给出了分数傅里叶变换的相空间表示、Paley-Wiener定理以及不确定性原理等,并深入讨论了分数傅里叶变换在求解量子物理微分方程中的应用。1993年,D.Mendlovic和[16,17]H.M.Ozaktas首次实现了光学分数傅里叶变换,同时也打开了分数傅里叶变换在光学领域应用的大门。时至今日,分数傅里叶变换被[74广泛地应用于光图像压缩、加密、复用、数字水印以及信息安全等~87]。随着理论研究的不断深入和研究对象的不断扩展,分数傅里叶变换应用从早期量子力学和光学领域迅速渗透到信号处理、通信、信息安全、医学成像、雷达和声纳等领域。[88,89]
1996年,D.Mendlovic等为了实现光信号的空域滤波将传统[90]频域常规滤波的概念推广到了分数域。进一步地,M.F.Erden等提[91]出了分数域常规滤波器的级联滤波算法。M.A.Kutay等又建立了分[92,93]数域最优滤波理论。L.Durak和S.Aldirmaz则给出了分数域自适应[94]滤波器的设计方法。2001年,S.-C.Pei和J.-J.Ding深入分析了分数阶算子(主要包括分数傅里叶变换及其广义形式的线性正则性算子、分数阶卷积算子、分数阶相关算子以及分数阶Hilbert变换算子等)与传统时频分析工具的关系,得到了一些适合于信号处理的重要结论和性质,譬如分数域参数确定、分数阶滤波器设计和波形设计等。进一[95]步地,Pei 和Ding针对Wigner-Ville分布和Gabor变换的特点(即前者时频分辨率高但具有交叉项,而后者情况则相反),提出一种 Gabor-Wigner 变换,可以在保证时频分辨率的情况下有效地平滑Wigner-Ville分布交叉项;此外,还得到了一些有用结论和性质,并将之应用于滤波、采样、信号检测以及模式识别等信号处理问题。同[96]年,M.Martone针对在时间和频率双选择性衰落信道下传统正交频分复用系统的子载波正交性容易受到破坏而导致系统性能下降的问题,提出了基于分数傅里叶变换调制解调的多载波系统,其结果表明该系统是双弥散信道中近似最优的无线通信系统,可以在不增加额外[97]计算的代价下,提升系统性能。其后,T.Erseghe等在 Martone 的工作基础上构建了基于广义分数傅里叶变换的多载波系统。进一步[98]地, D.Stojanović 等又从理论分析了该多载波系统的抗干扰性能,[99]并进行了仿真验证。此外, R.Khanna和R.Saxena提出了基于分数傅里叶变换的多输入多输出系统,并给出了瑞利衰落信道下该系统波[100]形设计的方法。R.Tao等又提出了基于分数傅里叶变换阶数复用的[101]概念。2002年,B.Barshan和B.Ayrulu设计了基于分数傅里叶变换的神经网络,通过选择合适的变换阶数往往能够得到更好的效果。同[102]年,H.-B.Sun等将分数傅里叶变换应用于雷达移动目标检测,取[103]得了良好的效果;其后,L.Du和G.Su又进一步将分数傅里叶变换[104]用于雷达目标成像。此外,O.Akay和E.Erözden还将分数傅里叶变换应用于脉冲压缩雷达波形的快速检测和参数估计。2003年,I.S.Yetik和A.Nehorai将分数傅里叶变换应用于声纳阵列信号处理中的[105]波束成形,结果表明在移动场景下该方法要优于传统的时域和频[106]域波束成形方法。其后,R.Jacob等又对分数傅里叶变换在声纳信号处理的应用做了进一步的研究。2006年,M.J.Bennett等提出了基[107,108]于分数傅里叶变换的超声成像方法,与传统方法相比,该方法有利于改善成像质量。此外,考虑到线性调频信号在分数域体现为冲激函数,易于检测和识别,因此,分数傅里叶变换常被应用于线性调[109~113]频信号的检测与参数估计。
时至今日,分数傅里叶变换的应用范围还在不断扩大,这里不可能也无法将其每一种具体应用都一一列举。1.3 本书的章节安排
分数傅里叶变换理论虽然己经应用于不少领域,而且其应用潜力还在不断被发掘,但由于其是一门前瞻性的理论,尚有诸多基础理论和工程应用问题有待进一步完善和解决,尤其是在通信系统中,分数傅里叶变换理论的应用才刚刚起步,其对通信系统的影响以及在某些特定应用上的局限性还需要进一步分析和论证。譬如,分数域变量与传统时域和频域变量之间的关系缺乏有效的物理解释和理论论证。现有分数阶卷积和分数阶相关形式各异,没有统一表达结构,为分数域滤波器的设计和基于分数域的信号检测带来了很大困难。众所周知,分数傅里叶变换不仅继承了傅里叶变换的基本性质,而且具有诸多傅里叶变换不具备的优良特性。于是,一个自然而然的问题是,分数傅里叶变换是否克服了傅里叶变换在通信系统中应用的所有局限?对该问题还需要做深入分析和研究。基于此,本书系统阐述了分数傅里叶变换的基本原理及其在通信系统中的应用。
全书共分两篇:第一篇为基础原理篇,包括第1~4章,主要介绍分数傅里叶变换的定义、基本性质和定理。第二篇为技术应用篇,包括第5章和第6章,重点介绍分数傅里叶变换在通信系统中的应用,是第一篇理论内容的实践。
第2章首先介绍了分数傅里叶变换的定义,其次总结了分数傅里叶变换算子和运算的基本性质,并给出了常用信号的分数傅里叶变换。此外,还阐述了分数傅里叶变换与传统的线性时频表示和时频分布之间的关系。最后,介绍了分数傅里叶变换的离散算法。
第3章首先从算子理论的角度给出了分数傅里叶变换的算子解释,得到了与分数域相关的分数阶酉算子和分数阶厄密特算子,并阐述了它们与分数傅里叶变换的内在联系。然后,利用分数阶酉算子定义了一种广义分数阶卷积运算及其定理,现有各种不同形式的分数阶卷积大都为该广义分数阶卷积的特例。相应地,给出了广义分数阶相关及其定理,并得到了分数阶相关与分数阶能量谱和功率谱之间的关系。同时,利用得到的分数阶厄密特算子,给出了由信号统计时宽和分数域带宽定义的分数阶不确定性原理。进一步地,又给出了衡量信号在时域和分数域能量聚集程度的不确定定理,证明了信号能量最佳聚集的分数域具有唯一性。最后,阐述了分数阶采样理论,给出了分数阶采样参数的确定方法,得到了分数域多通道采样定理。进一步地,在Riesz基和框架意义下得到了一般化采样定理。
第4章针对傅里叶变换在信号分析与处理中存在局限性,详细阐述了现有克服其局限性方法的优缺点,并企图利用分数傅里叶变换进一步解决这些方法面临的问题,理论分析表明分数傅里叶变换虽能给出一些解决方案,但在某些特殊应用和特定场合也面临着一些局限,需要进一步加以完善、丰富和发展。为此,从联合时域和分数域分析的思想出发,分别阐述了短时分数傅里叶变换、联合时域和分数域分布以及分数阶小波变换理论。
第 5 章重点讨论了分数傅里叶变换在信号滤波和信号分离上的应用。首先,分析了分数域无失真传输条件,给出了理想滤波器实现形式,得到了分数域滤波器的物理可实现条件,进而又阐述了分数域滤波器的级联滤波。此外,建立了分数域匹配滤波器理论,并得到了一些有用结论。进一步地,给出了分数域维纳滤波器的设计原理。最后,给出了基于分数域的信号的分离原理及性能分析。
第6章讨论了分数傅里叶变换在波形协同提高频谱资源利用率方面的应用。建立了系统模型,给出了理论分析,并进行了数值验证。理论研究表明,在传统正弦载波通信体制的基础上,通过信号波形协同及联合频域和分数域滤波处理可以有效地提高频谱效率。参考文献
[1] BRACEWELL R N.The Fourier Transform and Its Applications[M].New York: McGraw-Hill, 2000.
[2] GABOR D.Theory of communication[J].Journal of the Institution of Electrical Engineers, 1946, 93(III):429-457.
[3] POTTER R K, KOPP G, GREEN H C.Visible Speech[R].New York: Van Nostrand, 1947.
[4] SELIN I.Theory and Applications of the Notion of Complex Signal[R].RAND Coproation Technical Report T-192, CA: Santa Monica, 1958.
[5] WIGNER E P.On the quantum correction for thermodynamic equilibrium[J].Physical Review, 1932, 40:749-759.
[6] COHEN L.Time-Frequency Analysis[M].Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995.
[7] MORLET J, ARENS G, FOURGEAU I, et al.Wave propagation and sampling theory[J].Geophysics, 1982, 47: 203-236.
[8] DAUBECHIES I.Ten Lectures on Wavelets[M].Philadephia, PA: SIAM, 1992.
[9] MALLAT S.A Wavelet Tour of Signal Processing: the Sparse Way, 3rd edition[M].Orlando, FL: Academic Press, 2009.
[10] NAMIAS V.The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics[J].Journal of the Institute of Mathematics and Its Applications, 1980, 25(3): 241-265.
[11] MCBRIDE A C, KERR F H.On namias fractional Fourier transform[J].IMA Journal of Applied Mathematics, 1987, 39: 159-175.
[12] WIENER N.Hermitian polynomials and Fourier analysis[J].Journal of Mathematics Physics MIT, 1929, 18:70-73.
[13] CONDON E U.Immersion of Fourier transform in a continuous group of functional transformations[A].Proc National Academy of Sciences[C].1937.158-164.
[14] KOBER H.Wurzeln aus der hankel-, Fourier- und aus anderen stetigen transformationen[J].Quarterly Journal of Mathematics, 1939, 10: 45-59.
[15] HIDA H.A role of Fourier transform in the theory of infinite dimensional unitary group[J].Journal of Mathematics of Kyoto University, 1973, 13: 203-212.
[16] MENDLOVIC D, OZAKTAS H M.Fractional Fourier transforms and their optical implementation: I[J].Journal of the Optical Society of America A, 1993, 10(9): 1875-1881.
[17] OZAKTAS H M, MENDLOVIC D.Fractional Fourier transforms and their optical implementation: II[J].Journal of the Optical Society of America A, 1993, 10(12): 2522-2531.
[18] LOHMANN A W.Image rotation, wigner rotation, and fractional Fourier transform[J].Journal of the Optical Society of America A, 1993, 10(10): 2181-2186.
[19] ALMEIDA L B.The fractional Fourier transform and time-frequency representations[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 1994, 42(11): 3084-3091.
[20] OZAKTAS H M, BARSHAN B, MENDLOVIC D, et al.Convolution, filtering, and multiplexing in fractional Fourier domains and their relation to chirp and wavelet transforms[J].Journal of the Optical Society of America A, 1994, 11(2): 547-558.
[21] MENDLOVIC D, OZAKTAS H M, LOHMANN A W.Fractional correlation[J].Applied Optics, 1995, 34(2):303-309.
[22] BITRAN Y, ZALEVSKY Z, MENDLOVIC D, et al.Fractional correlation operation: performance analysis[J].Applied Optics, 1996, 35(2): 297-303.
[23] ZALEVSKY Z, MENDLOVIC D, CAULFIELD J H.Fractional correlator with real-time control of the space-invariance property[J].Applied Optics, 1997, 36(11): 2370-2375.
[24] OZAKTAS H M, AYTÜR O.Fractional Fourier domains[J].Signal Processing, 1995, 46: 119-124.
[25] SHINDE S, VIKRAM M G.An uncertainty principle for real signals in the fractional Fourier transform domain[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2001, 49(11): 2545-2548.
[26] CAPUS C, BROWN K.Fractional Fourier transform of the Gaussian and fractional domain signal support[J].IEE Proceedings Vision, Image and Signal Processing, 2003, 150(2): 99-106.
[27] XU G, WANG X, XU X.The logarithmic, heisenberg's and short-time uncertainty principles associated with fractional Fourier transform[J].Signal Processing, 2009, 89(3): 339-343.
[28] XU G, WANG X, XU X.Generalized entropic uncertainty principle on fractional Fourier transform[J].Signal Processing, 2009, 89(12): 2692-2697.
[29] SHI J, LIU X, ZHANG N.On uncertainty principle for signal concentrations with fractional Fourier transform[J].Signal Processing, 2012, 92(12): 2830-2836.
[30] XIA X G.On bandlimited signals with fractional Fourier transform[J].IEEE Signal Processing Letters, 1996, 3(3): 72-74.
[31] ZAYED A I.On the relationship between Fourier and fractional Fourier transforms[J].IEEE Signal Processing Letters, 1996, 3(12): 310-311.
[32] ERSEGHE T, KRANIAUSKAS P, CARIOLARO G.Unified fractional Fourier transform and sampling teorem[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 1999, 47(12): 3419-3423.
[33] CANDAN C, OZAKTAS H M.Sampling and series expansion theorems for fractional Fourier and other transforms[J].Signal Processing, 2003, 83: 2455-2457.
[34] TAO R, DENG B, WANG Y.Sampling and sampling rate conversion of band limited signals in the fractional Fourier transform
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