作者：杨杰 刘珩 卜祥元 孙刚灿 袁莹莹 编著
出版社：人民邮电出版社
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通信信号调制识别：原理与算法试读：
前言
第1章 引言
1.1 背景与意义
1.2 调制识别相关基础知识
1.3 主要内容
第2章 通信信号特征参数及调制方式分类器
2.1 统计量特征
2.1.1 信号瞬时特征
2.1.2 高阶统计量特征
2.1.3 循环累积量特征
2.2 谱相关特征
2.2.1 谱相关函数的定义
2.2.2 谱相关函数及谱相关平面图
2.2.3 谱相关特征
2.3 小波变换特征
2.3.1 Haar小波变换
2.3.2 基于Haar小波变换特征
2.4 复杂度特征
2.4.1 L-Z复杂度
2.4.2 分形维数
2.5 分类器
2.5.1 最大似然分类器
2.5.2 基于样本特征值的分类器
2.5.3 聚类算法分类器
第3章 模拟调制识别
3.1 基于瞬时特征信息的模拟调制识别
3.1.1 特征参数
3.1.2 识别算法
3.1.3 特征参数门限值的确定
3.1.4 算法识别率
3.2 基于谱相关特征的模拟调制识别
3.2.1 特征参数
3.2.2 识别算法
3.2.3 特征参数门限值的确定
3.2.4 算法识别率
第4章 数字调制识别
4.1 基于瞬时信息的数字调制识别
4.1.1 特征参数
4.1.2 识别算法
4.1.3 特征参数门限值的确定
4.1.4 算法识别率
4.2 基于谱相关特征的数字调制识别
4.2.1 特征参数
4.2.2 识别算法
4.2.3 特征参数门限值的确定
4.2.4 算法识别率
4.3 基于高阶累积量特征的数字调制识别
4.3.1 信号与信道模型
4.3.2 高阶累积量特征的抗多径干扰性能
4.3.3 基于高阶累积量的MPSK信号调制识别算法
4.3.4 仿真结果
4.3.5 基于高阶累积量特征的调制识别算法的说明
4.4 基于循环累积量特征的数字调制识别
4.4.1 信号与信道模型
4.4.2 基于循环累积量不变量的MPSK信号调制识别算法
4.4.3 仿真结果
4.4.4 基于循环累积量特征的调制识别算法的说明
4.5 基于小波变换特征的数字调制识别
4.5.1 调制信号的Haar小波变换
4.5.2 基于Haar小波变换的调制识别
4.5.3 识别率确定
4.6 基于复杂度特征的调制信号识别
4.6.1 基于盒维数和信息维数的调制识别算法
4.6.2 基于L-Z复杂度和盒维数的调制识别算法
第5章 综合调制信号的自动识别
5.1 基于瞬时信息的综合调制识别
5.1.1 特征参数
5.1.2 识别算法
5.1.3 特征参数门限值的确定
5.1.4 算法识别率
5.2 基于谱相关特征的综合调制识别
5.2.1 特征参数
5.2.2 识别算法
5.2.3 特征参数门限值的确定
5.2.4 算法识别率
第6章 基于聚类算法的数字调制识别
6.1 基于代价函数最优的聚类算法
6.1.1 C均值聚类算法
6.1.2 模糊C均值聚类算法
6.2 减法聚类算法
6.2.1 减法聚类算法步骤
6.2.2 基于信噪比的自适应减法聚类算法
6.3 二次聚类算法
6.3.1 二次聚类算法简述
6.3.2 基于C均值聚类的二次聚类算法
6.4 聚类算法的性能
6.5 基于聚类的调制识别分类器
6.5.1 最大似然分类器
6.5.2 广义似然比分类器
6.5.3 识别率性能实验
第7章 基于神经网络的调制识别
7.1 神经网络调制识别方法和特点
7.2 BP神经网络分类器
7.2.1 BP神经网络结构
7.2.2 BP算法描述
7.3 基于BP神经网络分类器的数字调制识别
7.3.1 BP神经网络结构
7.3.2 识别性能
7.4 其他神经网络的调制识别算法简述
结束语
参考文献
英文缩写
名词索引
通信信号调制识别：原理与算法Modulation Recognition for Communication Signals:Principles and Algorithms杨杰 刘珩 卜祥元 孙钢灿 袁莹莹 编著人民邮电出版社北京图书在版编目（CIP）数据
通信信号调制识别：原理与算法/杨杰等编著.--北京：人民邮电出版社，2014.5
ISBN 978-7-115-34884-5
Ⅰ.①通… Ⅱ.①杨… Ⅲ.①通信系统—信号—调制②通信系统—信号识别 Ⅳ.①TN911
中国版本图书馆CIP数据核字（2014）第039938号
◆编著 杨杰 刘珩 卜祥元 孙钢灿 袁莹莹
责任编辑 代晓丽
责任印制 杨林杰
◆人民邮电出版社出版发行 北京市丰台区成寿寺路11号
邮编 100164 电子邮件 315@ptpress.com.cn
网址 http://www.ptpress.com.cn
大厂聚鑫印刷有限责任公司印刷
◆开本：700×1000 1/16
印张：10.5 2014年5月第1版
字数：200千字 2014年5月河北第1次印刷定价：58.00元读者服务热线：(010)81055488 印装质量热线：(010)81055316反盗版热线：(010)81055315内容提要
本书系统地介绍了通信信号识别的基本方法以及应用特点等。全书共7章，包括：通信信号调制识别基础、通信信号特征参数及调制方式分类器、模拟调制识别、数字调制识别、综合调制信号的自动识别、基于聚类算法的数字调制识别、基于神经网络的调制识别。
本书可作为通信工程、电子工程、信息工程、导航与控制、计算机科学与技术、信号分析与信息处理、电子对抗等领域工作的科研人员、大专院校师生的参考书。
前言
通信信号的调制识别在通信电子对抗、无线电信号管理等领域有着重要的地位，同时也是软件无线电接收机的功能之一，多年来一直是通信和非合作通信领域共同关注的研究课题，国内外学者在这个领域做了大量的探索并取得了很多成果。但是目前市场上关于通信信号调制识别的书籍存在缺乏系统性或者涉及的知识内容比较陈旧的问题。现有的调制识别相关的书籍主要分为两大类：一类是从电子战及其通信对抗的需要出发介绍典型的调制识别技术，这类书籍中的调制识别技术往往只是其中的一个或几个章节，且多为简单方法的描述，缺乏系统的相关知识介绍；另一类是从 MATLAB 及其他软件系统编程的角度介绍调制识别算法的实现，这类书籍的着眼点是编程技巧，对于调制识别技术本身缺乏系统的描述。迄今为止唯一能够看到系统介绍调制识别技术的书籍是1996年由埃及开罗军事技术学院的AZZOUZ E E和英国斯特拉斯克莱德大学的NANDI A K编著出版的《通信信号调制的自动识别》一书，该书系统地介绍了典型的模拟和数字调制方式的识别技术，但是由于出版时间早，介绍的识别技术已经不能满足现在的研究需求。近些年出现的一些新的调制识别技术需要系统性的组织和归纳，特别是关于全盲条件下对调制信号进行识别的方法很少有相关书籍涉及。基于这样的现状，笔者将多年来在本领域的一些工作加以总结，并将其他研究者近年来在该领域的一些研究成果进行整理，写成了此书。
本书的目的是系统介绍通信信号调制识别技术的基本方法，为本领域的研究者们提供一个基础的、系统的参考方法。
本书共分4个部分：第1部分即第1章是本书的引言，介绍通信信号调制识别的背景和意义，对调制识别的基础知识给出了一个概要性的介绍，并引出全文的内容及结构安排；第2部分即第2章是全书的基础，介绍调制识别系统中用到的各类特征以及典型的分类器概念；第3部分由第3章、第4章和第5章组成，主要介绍基于特征值提取的统计模式识别方法；第4部分包括第6章和第7章，主要介绍通信信号调制识别中使用的不同分类器设计方法。
本书由杨杰、刘珩、卜祥元、孙钢灿和袁莹莹合作编著。袁莹莹完成所有仿真。
本书可作为计算机信息处理、通信与信息系统等相关领域的工程技术人员的参考用书，也可作为高等院校自动化、计算机、电子和通信等专业研究生和高年级本科生的学习参考资料。
本书所有参考和引用的文献，在对应位置都已进行标注，感谢所有参考文献的作者对此书的贡献。
随着通信技术的发展，通信信号调制识别技术也随之发展。本书只是根据笔者个人的理解所进行的总结和整理，书中难免存在谬误之处，敬请各位读者批评指正。作者2014年1月第1章 引言1.1 背景与意义
这是一个信息技术日新月异的时代，各种通信方式和通信技术不断更新，使我们所处的空间充满了各种各样的通信信号。为了充分利用信道，满足用户的不同需求，通信信号采用了不同的调制方式。通信信号的调制方式经历了由模拟到数字、由简单到复杂的发展过程。
调制方式自动识别是介于信号检测和信号解调之间的一项技术，主要任务是实现调制信号的智能接收、处理。在民用方面，政府为了实施有效的无线电频谱管理，常常需要监测民用信号传输，以便对它们保持控制或者发现和监测未注册登记的发射机。在军事和国家安全方面，调制自动识别技术应用更为广泛。为了获取通信情报，首先要判断信号的调制方式，之后才能实施正确解调以及随后的信息处理和分析；在电子战中，为实施电子对抗、电子反对抗、威胁探测、告警、目标捕获和搜索等，都需要通过调制识别技术弄清相关通信或电子信号的参数和性质。
调制方式识别技术关系到国计民生的许多领域，关系到军事和国家安全的许多方面，近年来一直是国内外的研究热点。1.2 调制识别相关基础知识
1969年4月，WEAVER C S等4名作者在斯坦福大学技术报告上发表了第一篇研究调制方式自动识别的论文——“采用模式识别技术实现调制类型的自动分类”[1]。该论文指出：信号调制方式识别本质上是一个模式识别问题。
模式识别的目的是将对象分类，其中的分类对象为调制信号波形[2]时就是调制方式识别。同一种模式（或样本）的总体称为模式类，将所有的模式类统称为模式类集合，调制方式识别问题中模式类集合指的是所能识别的所有调制方式的集合。
图1-1为模式识别系统的简单框架，主要由信息获取、预处理、特征提取与选择、分类器设计及分类决策5部分组成。给定待分类信号的调制方式集合，首先选择用于分类的特征参数和分类器的分类规则，然后从已知调制方式的通信信号样本（训练样本）中提取特征参数值。用这些已知调制类型的特征参数训练分类器，直到分类输出满足给定的误差要求，或通过对特征参数的统计分析（均值、方差）直接设置分类器的判决门限或分类函数的参数，完成分类器的训练阶段。在性能测试阶段，利用另外一组通信信号样本（测试样本），把提取的特征参数值输入分类器，根据分类器的正确分类率来检测分类性能。图1-1 模式识别系统的构成
在图1-1的例子中，假设有一个可用的训练数据集，并通过已知信息设计分类器，称为有监督的模式识别。但是实际中并不总是这种情况，另一种模式识别没有已知类别标签的训练数据可供使用。在这种情况下，给定一组特征向量来揭示潜在的相似性，并且将相似的特[3]征向量分为一组，这就是无监督的模式识别或聚类。聚类主要用于确定两个向量之间的“相似度”以及合适的测度，并选择一个算法方案，基于选定的相似性测度对向量进行分类。
有监督的模式识别的方法在通信信号的调制方式识别方面更为常用，主要包括特征提取和分类器设计。
按照提取特征的不同，可分为：频谱特征、瞬时特征（包括瞬时幅度、瞬时相位和瞬时频率）的统计量、瞬时特征的直方图、通用解调方法求出的码元同步复信号、码元同步复信号的二阶统计量、高阶统计量等。
根据分类器的不同，可分为最大似然分类器、基于门限判决的树型分类器、神经网络分类器和最小均方误差分类器等。
无监督的模式识别方法是指分类前不能准确知道所有可能的类别情况，在进行信号预处理和提取特征值后，使用聚类算法进行模式识别。
参照上面的分类规则，图1-2给出了常用的比较典型的调制识别算法的分类树型图。
上面已提到，调制识别主要用于频谱监测、电子对抗和第三方接收机，特点就是工作在非协作的通信环境中。下面将带有调制识别功能的接收机统称为调制识别接收机。简单介绍一下调制识别接收机的基本原理，并说明各种调制方式识别算法在接收机中的位置。图1-2 调制识别算法分类树型图
非协作通信与协作通信的根本区别在于两者所处的环境不同。协作通信比非协作通信拥有更多的先验知识，可以帮助更好地完成通信，收发双方预先约定好通信所用的调制方式、调制参数、载波频率等，有些情况下还要预先发送导频序列，帮助接收方完成载波同步、符号同步和信道估计等。而非协作通信环境下接收机已知的通信参数很少，因此这时接收机首先要完成载频估计、符号速率估计、信噪比估计、基带波形估计、调制方式识别等操作。然后，根据已估计出的参数完成同步解调，得到有用信息。
图1-3给出了调制识别接收机的功能框架。天线接收的射频通信信号经接收机的射频前端下变频、滤波放大后，输出中频带通信号。载波频率估计单元产生相干本振信号，正交下变频单元将中频信号与本振输出混频、滤波放大后，输出正交 I/Q 两路复基带通信信号。码元同步单元估计基带信号的码速率（也称符号速率），产生码元同步定时信号。利用码元定时采样匹配滤波器输出，得到码元同步采样序列。符号判决单元根据调制识别单元辨识出的信号调制方式，对采样序列进行判决解调。信息输出到下一级对解调的数据信息做进一步的处理，例如拆帧、解密等。图1-3 调制识别接收机原理
根据待识别调制方式集合和准备采用的调制识别方法，可分别对接收机的中频信号、复基带信号或码元同步复信号进行处理，实现调制信号识别。
上面提到的特征值的提取中，频谱特征参数、信号瞬时特征（包括瞬时幅度、瞬时相位和瞬时频率）的统计量、瞬时特征的直方图是从中频信号获取的。匹配滤波同步采样后输出码元同步复信号，利用该复信号可计算统计量特征值（二阶矩、四阶矩和高阶矩和高阶累积量等）。1.3 主要内容
本书主要围绕调制识别相关技术展开，关于载频信号参数估计的内容（如载频估计、符号速率估计、信噪比估计等）不涉及，并认为已经具备此类先验信息。在内容安排上，本书基于介绍调制识别基本方法的目的，集中了一些传统的调制识别方法以及近些年在调制识别领域的研究工作，除了笔者的研究工作以外，还主要包括了参考文献[4～11]等的工作。本书在结构上由7章组成。
第1章是引言，通过调制识别技术应用背景以及通信信号调制识别相关基础知识的介绍，引出本书的内容和结构安排。
第 2 章是后面各章节的基础，介绍了调制识别工作中特征提取和分类器设计两个部分最基本的概念、定义、性质、结构与方法。在特征部分介绍了瞬时统计量、高阶累积量、循环累积量、谱相关、小波变换、分形和复杂度等特征；在分类器部分，介绍了3种基本的分类器：最大似然分类器、样本特征值分类器和聚类分类器，其中样本特征分类器中又包括决策树和神经网络两种基本结构。
第3章是针对典型的模拟调制样式的方法介绍，包括基于瞬时特征统计量的识别方法和基于谱相关特征的识别方法。
第4章是针对常用的数字调制样式的方法介绍，包括基于瞬时统计量特征、高阶累积量特征、循环累积量特征、谱相关特征、小波变换特征、分形特征和复杂度特征的调制识别方法。
第5章针对模拟和数字混合调制样本集合，介绍了基于瞬时特征和谱相关特征的调制识别方法。
第6章介绍了基于聚类的非监督模式调制识别方法。
第7章介绍了基于神经网络的分类器方法。第2章 通信信号特征参数及调制方式分类器
模式识别是指对表征事物或现象的各种形式的（数值的、文字的和逻辑关系的）信息进行处理和分析，以对事物或现象进行描述、辨认、分类和解释的过程，是信息科学和人工智能的重要组成部分。
直接从原始样本进行分类是无目的的，这是由于对分类来说，重要的不是一个模式的完整描述，而是导致区别不同类别模式的那些“选择性”信息的提取，也就是说，特征提取的主要目的就是尽可能集中表征显著类别差异的模式信息。另一个目的则是尽可能缩小数据集，以提高识别效率、减少计算量。对于通信信号来讲，采用不同的调制方式时，特征参数的取值特点不同。可以通过对待识别对象的分析，得出调制方式的一些本质特征，进而根据这些特征或者特征的组合进行调制识别。这些特征参数可以直接通过调制信号获得也可以通过某种变换获得，人们总是希望得到那些尽可能多的包含表征分类特性的特征，并据此达到好的分类性能。通常用于调制识别的信号特征主要分为以下几类：统计量特征（包括瞬时信息特征、高阶累积量特征和循环累积量特征）、谱相关特征、小波变换特征、分形特征和复杂度特征。本章将对上述特征进行定义和说明，为后续章节的应用奠定基础。
分类器的设计是模式识别领域的重点，在通信信号调制识别领域，根据分类器使用的特征值和分类原理的不同，通常使用的分类器包括最大似然分类器、基于样本特征值的分类器和聚类算法分类器。本章将对这3种分类器给以简单的介绍，具体的应用方法将在后续章节中给出。2.1 统计量特征2.1.1 信号瞬时特征
从信号的瞬时信息中估计调制信号的参数，具有计算简单、可用统计样本数量大的优势，是模式识别类算法最基本的方法。信号的瞬时信息包括瞬时幅度、瞬时相位、瞬时频率及其不同角度的统计特征值，其中瞬时幅度、瞬时相位、瞬时频率是一个信号最基本的特征。
2.1.1.1 瞬时幅度、瞬时相位、瞬时频率
为了方便调制信号的瞬时幅度、瞬时相位、瞬时频率特征值的提取操作，首先给出实信号x(t)的解析表示：s(t)=x(t)+jy(t) （2-1）
其中，y(t)为实信号x()t 的希尔伯特（Hilbert）变换：
其中，“⊗”表示卷积操作。信号y(t)可以看作输入信号x(t)通过一个滤波器的输出，该滤波器称为希尔伯特变换器。
其冲激响应为：
其频率响应为：
可以看出，希尔伯特变换器的幅度响应|H(f)|=1，当 f >0时，相位响应为Θ(f)=−π/2；而当 f<0时，相位响应为Θ(f)=π/2。
以抽样频率 f对x(t)抽样，得到序列x(i)，其复解析表示为：sjθ(i)s(i)=x(i)+ jy(i)=a(i)e（2-5）
其中，221/2A(i)=(x(i)+y(i)) （2-6）
A(i)即信号的瞬时幅度序列。
反正切函数的取值范围为(−π/2,π/2)，所以瞬时相位序列θ(i)的计算表达式为：
式（2-7）中的θ(i)的范围是(−π,π)，因为是以模2π来计算的，故称它为有折叠的相位。从θ(i)恢复出无折叠相位φ(i)，所需的修正相位序列C(i)的计算方法如下：
则无折叠相位序列φ(i)为：φ(i)=θ(i)+C(i) （2-9）
瞬时频率 f(t)由式（2-10）给出：
其中，φ(t)为无折叠相位。可以通过式（2-10）的差分形式估计瞬时频率序列f(i)，即：
其中，T =1/f是采样周期。s
综上所述，式（2-8）、式（2-9）和式（2-11）分别给出瞬时幅度序列A(i)、无折叠瞬时相位序列φ(i)和瞬时频率序列 f()i 的计算公式。以下的瞬时特征统计量都将基于这3个基本量得到。
2.1.1.2 信号瞬时特征统计量
在得到瞬时幅度序列A()i、瞬时相位序列φ(i)和瞬时频率序列 f(i)的基础上，可以进一步得到调制信号瞬时信息的多个特征统计量，这里给出8个典型的特征统计量值[4]。（1）零中心归一化瞬时幅度谱密度最大值γmax
其中，N为采样点数，A(i)为零中心归一化瞬时幅度，由式cn（2-13）计算：A(i)=A(i)−1 （2-13）cnn
其中，A(i)=A(i)/m，而为瞬时幅度A(i)的na平均值，用平均值对瞬时幅度进行归一化的目的是消除信道增益的影响。
零中心归一化瞬时幅度谱的最大值γ表征了信号瞬时幅度的变max化情况，可以反映调制信号包络的变化特性，以此区分恒包络的调制方式和非恒包络的调制方式，而且通过合理设置门限，还可以识别出信号包络的微弱起伏状态，如区分无包络起伏的FSK（Frequency Shift Keying）信号与包络微弱起伏的PSK （Phase Shift Keying）信号。（2）零中心归一化非弱信号段瞬时幅度的标准偏差σda
其中，C是在全部N个采样数据中属于非弱信号值的个数，非弱信号是指信号幅度大于幅度判决门限电平a的信号。t
归一化中心瞬时频率的绝对值的标准偏差σ表征一个符号区间da内信号的幅度变化信息，可以用来区分一个符号区间内归一化中心瞬时幅度为零的调制方式（如MPSK（M-ary Phase Shift Keying）信号）和归一化中心瞬时幅度不为零的调制方式（如DSB（Double Side Band）、AM-FM（Amplitude Modulation-Frequency Modulation）复合信号）。（3）零中心归一化瞬时幅度绝对值的标准偏差σaa
归一化中心瞬时幅度绝对值的标准偏差σ表征信号的绝对幅度aa信息，可以用来区分不具备归一化的绝对幅度信息的调制方式（如 2ASK(Amplitude Shift Keying)）和具有归一化的绝对幅度信息的调制方式（如高阶(M≥4)的MASK(M-ary Amplitude Shift Keying)信号）。（4）零中心归一化瞬时幅度的紧致性
零中心归一化瞬时幅度的紧致性是用来度量“瞬时幅度分布的密集性”的特征值，可以用来区分瞬时幅度高密集分布信号（如AM（Amplitude Modulation）信号）和瞬时幅度分布较疏散的信号（如MASK信号）。（5）零中心非弱信号段瞬时相位非线性分量的标准偏差σdp
其中，C是在全部N个采样数据中属于非弱信号值的个数，φ(i)NL是经零中心化处理后瞬时相位的非线性分量。在载波完全同步时，有：φ(i)=φ(i)−φ （2-18）NL0
其中，，φ(i)无折叠瞬时相位。
σ表征信号瞬时相位的变化情况，可以用来区分包含直接相位dp信息的信号（如DSB、LSB(Lower Side Band)、USB(Upper Side Band)、2PSK）和不包含直接相位信息的信号（如AM、VSB(Vestigial Side Band)、2ASK、4ASK）。（6）零中心非弱信号段瞬时相位的非线性分量的绝对值的标准差σap
σ与σ的区别在于，前者是相位绝对值的标准偏差，而后者是apdp直接相位的标准偏差。σ为在一个信号段的若干非微弱信号区内计ap算得到的瞬时相位的非线性分量的绝对值的标准差，表征信号瞬时绝对相位的变化情况，可以用来区分包含绝对相位信息的信号（如AM-FM复合信号、4PSK）和不包含绝对相位信息的信号（如DSB、2ASK、2PSK）。（7）零中心归一化非弱信号瞬时频率绝对值的标准偏差σaf
其中，f(i)= f(i)/r，f(i)= f(i)−m，。r为Ncbcfb信号速率，f(i)为信号的瞬时频率。
归一化中心瞬时频率的绝对值的标准偏差σ表征信号的绝对频af率信息，可用来区分归一化中心瞬时频率绝对值为常数的调制方式（如 2FSK、MSK （Minimum Shift Keying））和具有绝对、直接频率信息的调制方式（如M≥4的MFSK（M-ary Frequency Shift Keying）信号）。（8）零中心归一化瞬时频率的紧致性
此处，，而，f(i)为瞬时频率。
零中心归一化瞬时频率的紧致性是用来度量“瞬时频率分布的密集性”的特征值，可以用来区分瞬时频率高密集分布的信号（如 FM（Frequency Modulation）信号）和瞬时频率分布较疏散的信号（如MFSK）。2.1.2 高阶统计量特征
信号的瞬时特征统计量反映的是信号的二阶统计特性，而信号的调制特点还反映在信号的高阶统计特性上，因此，在信号调制识别中还经常用到信号的高阶统计量作为特征参数，因为高阶统计量数量和种类较多，使用什么阶数的统计量依赖于具体的应用问题。从信号调制识别问题的工程应用角度，对平稳时间序列累积量的定义和基本性质做一个简单介绍，而具体阶数统计量计算将在后续章节具体应用介绍。
所谓高阶统计量，通常应理解为高阶矩、高阶累积量以及它们的[12]谱——高阶矩谱和高阶累积量谱这4种主要的统计量。为方便后续章节的应用，利用特征函数定义高阶矩和高阶累积量，然后推导高阶矩与高阶累积量之间的转换关系。关于高阶矩谱和高阶累积量谱的定义及性质本文不再涉及。
定义1-1高阶矩T
令x=[x,x,…,x]是一个随机向量。其特征函数定义为：12kT
用随机向量x=[x,x,…,x]对特征函数Φ(ω,ω,…,ω)求r=v+v+…12k12k12+v次偏导数，可得：k
显然，若令ω=ω=…=ω=0，则式（2-23）给出结果如下：12kT
这就是随机向量x=[x,x,…,x]的r阶矩定义。12k
定义1-2高阶累积量的r阶累积量可用其累积量生成函数ψ(ω,ω,12…,ω)=lnΦ(ω,ω,…,ω)表示，定义为：k12k
取v=v=…=v=1时，得到x的k阶矩和k阶累积量，并将它们分别12k记作：
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]