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发布时间:2021-04-10 05:10:47

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作者:高云霞

出版社:上海交通大学出版社

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漫步高中数学教育

漫步高中数学教育试读:

前言

数学是什么?随着人们对数学的认识不断深入,在不同的时期,不同的人作出了不同的回答:数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学;数学是一种秩序;数学是一种文化;数学是思维的体操,等等。

我们的学生会怎样回答呢?有的会说:数学就是解题、数学就是考试。少量的学生会说:数学可以锻炼思维,可以帮助我考上名牌大学……

那作为一名数学教师该如何回答这个问题呢?不说高深的理论,若只是对着我们的学生该如何回答?数学是以基本知识、基本技能为载体,积累基本数学活动的经验,逐步形成数学思维的意识,养成良好的数学思维习惯,提升数学思维的能力,最终形成即便走出校门、忘记了数学的概念公式却在你身上留下来的,叫作数学素养的东西。她说不清道不明,但却表现在你的日常生活形态之中,处处表现出数学的思想、方法及精神的形态。简单地讲,数学是一个没有学过数学的人与学过数学的人在思维上的差异性及生活形态上表现的根本差异性。

这样讲似乎自然而然地就得出一个结论:数学是抽象的。没错,数学不但抽象而且高度抽象,她的抽象会给人们认识她带来很大的障碍,很多人迈不过这个坎,于是认为数学很难学,学了数学没用,将来自己不会与数学打交道。但是越过这个障碍的人会特别喜爱数学,因为越接近数学的本质,越能发现数学的美好与价值,越能发现正是因为数学的高度抽象才使得数学的应用更加广泛,她几乎充斥着我们工作与生活的每一个角落。只要你具有发现数学的眼光,数学就无处不在。

数学的抽象是数学的一个显著特征。数学的抽象含有两个层次的抽象,首先,由具体抽象到形,形是具体抽象的存在。比如看到一根竹竿、一把杆秤、一支标枪等,我们发现它们具有一个共同的属性:直直的。于是我们就忽略他们的粗细长短,抽象出一条直线画在纸上,没有粗细之分,可以向两端无限延伸,并且这个形象会停留在我们的脑海里,哪怕我们面前没有这些实物。这便完成了第一次抽象,这样人们就得到了数学研究的对象。光有研究的对象还不够,我们还需要研究数学对象之间的关系,于是我们要进行数学的第二层次抽象:符号表达。于是前面的直线用符号a或直线AB来表达。立体几何中面的抽象也是如此,因此数学中的推理和证明都是用数学符号语言来表达的,而且我们说直线与平面平行,依赖的不是具体的实物,而是脑子里抽象的形的存在。那么反过来,我们抽象出来的直线与面是否可以广泛应用于生活实际呢?你会说,墙上挂的画歪了,为什么呢?因为竖直的框与地面不垂直。各种设计图中是否要用到线面关系来表达设计?“数轴”“正号与负号”是怎样抽象出来的?它们又广泛应用在什么领域?这样的例子太多了,就看你想不想理解抽象,想不想让人理解抽象了。

作为数学教师,既能欣赏数学的抽象,又要能带领学生走进抽象的数学世界去领略数学世界的美好与魅力。那么,数学教育教学的本质是什么?在上海市浦东新区教师“十二·五”“十三·五”培训教师的课堂上,每一期我都会向学员提出这样的问题。作为一名数学教师,除了要思考“数学是什么”这个问题外,出于“教”的职责,如果不去思考及讨论这个问题,那么教起书来不是生搬硬套、囫囵吞枣,就是云里雾里、误人子弟。

数学学习的本质是什么?在问完“教”的问题后,依然会有“学”的问题,因为这两者是孪生共同体。作为教师不要以为弄清楚了“教”的问题就可以万事大吉了,如果对“教”的对象“学”认知不足的话,同样会影响教学的效果。

因此,对于上述问题,不同的人会有不同的回答,正所谓“仁者见仁,智者见智”。但是,作为数学教育工作者,必须要有一个清醒且准确的认知:只有思想清明,数学的课堂才可能有效,才可能发展学生的数学思维,才可能提升学生的数学素养。所以在数学的征途上没有坦途,不仅对学生,对数学教师也是如此。

本书将和大家共同探究这些问题。第1部分 走近学生

其实大家都知道,作为一个教师,要想书教得好,就必须先对学生了解得全面且透彻,如果不了解学生,哪怕你专业水平再高,想要出好成绩也难。由于和学生打了几十年的交道,遇到过各色各样的学生,真应了那句:一花一世界,一叶一菩提。在与学生们的“斗智斗勇”中,我也练就了钢铁般的意志与本领。慢慢地我和学生走得近了、再近了,我喜欢他们,他们欣赏我,彼此之间的心照不宣与嬉笑怒骂都是我们之间欢乐的基点,也是我更加了解他们的源泉,更是他们热爱数学、亲近数学的理由。01.为其师亦为友

也许大家听说过,有学生因为不喜欢某个老师,进而不喜欢这个老师教的这门学科,当然也有学生因为喜欢某个老师,开始喜欢这个老师所教的学科,并且努力把这门学科学好。这就是《学记》上“亲其师,信其道”的典型教育现象。对于成年人来讲这种行为也许太幼稚了,怎么可以因为不喜欢老师就疏远自己要学的学科呢?但是学生就是那么任性,当然,因为喜欢而学好学科也算是好事。可作为一名教育工作者来讲,不管是喜欢还是不喜欢都是一种师生关系。在近30年的师生相处中,虽然“亲其师,信其道”已不能全面反映当今社会的师生关系,但师生之间的亲近无疑有助于数学的有效性教学。教师不再是绝对的权威,虽然在所教的学科知识领域上还是应该有权威的,但正如陶行知先生所说“身正为范,学高为师”一样,在师生相处的情感地位上大家都是平等的。而且在现今的计算机信息技术等新兴领域,学生甚至比教师领先很多,有时教师会向学生请教这类问题。因此我比较倾向于建立平等和谐的师生关系,而良好的师生关系确实可以成为学生学习的润滑剂与助推器。在建立师生关系的过程中,教师决不能处于权威地位,但确实应该处于主导者的地位,不管是自己喜欢的或是自己不喜欢的,教师都不可能像学生那样任性,因为教师的职责不允许教师任性。那么作为一名教师,该怎样引导学生建立良好的师生关系呢?难道为了良好的师生关系,教师就要去讨好学生吗?答案显然是否定的,不仅是否定的,而且是坚决不可取的做法。那要放任自流吗?站在老师的立场上答案显然也是否定的。

如何与学生相处确实是一门学问,在我还比较年轻的时候,我就一直喜欢亦师亦友的师生关系,我从不显示所谓的师威(虽然我外表看上去比较严厉),但也从不讨好、纵容学生,我会在细水长流的相处中给予不同个性的学生不一样的关注,想要展示的给他机会、不自信的给他鼓励、调皮捣蛋的给他“镇压”、缺乏家庭温暖的给他关爱疏导……虽说有时候也有疏漏的地方,但一定会得到绝大多数的学生的认可与喜欢,因为教师的一份慧心、耐心、爱心、诚心、恒心与公正之心可以打动学生,使得他们打心眼里佩服、欣赏、甚至崇拜老师。学生会亲切地喊我“高妈妈、高老师、云霞姐姐”,其实什么样的称呼不重要,重要的是他们透露的信息:他们心里有你、尊重你、认可你,他们发自内心地想要亲近你,当他们为有你这样的老师或者朋友而骄傲的时候,良好的师生关系就已经建立了,并且牢不可破,此时数学学习是事半功倍的。02.总希望有一位好老师

在我还是学生的时候就听过这样一段话:在人的一生中,你只要遇到这样的3个人,那么你的人生就是幸福的人生了,那是哪三个人呢?在求学时代,遇到一位好老师;在工作的时候遇到一位好领导;再找到一位好伴侣。所以在我将要升高三的时候就盼着一位进修归来的教师能教我们英语,他渊博的知识、扎实的英语专业水平、风趣幽默的教学风格、别具一格的教学方式等都吸引着我们对英语的追求与热情。天遂人愿,最终我们的英语高考成绩名列前茅,我也取得了95分(满分100)的高考成绩。因此我对学生都希望有个好老师教自己、家长更希望安排好老师教自己的孩子的这种心理特别清楚,也特别能理解。

其实学生特别是起始年级的学生对即将教自己的学科老师和班主任都特别好奇,也许在此之前他们会从学长们那里获得一些信息,但最重要的还是教师自己的实际表现。比如和学生正式接触的第一节课,你怎样让学生来认识你?正所谓“良好的开端是成功的一半”,所以要特别郑重对待第一节课,因为它是你的第一次亮相,好不好直接影响着学生对你的判断。

当然作为好老师的要求不是说第一节课上表现完美就万事大吉了,接下来学生观察要求你的地方还很多,比如你怎样让学生了解并认同你的一些规范、要求?你的执教理念是什么?你将如何执行你的理念?你打算在多长时间内记清楚学生的名字?你上课迟到过吗?学生课堂违纪你打算怎么做?学生给出的解法与你的预设不同你怎么做?你要求学生做的你都能做到吗?上述提到的无非涉及两个方面:一是基于学科的教学技能,二是基于教学的学科技能。作为一个好老师,这两方面都要过硬,但我认为教师的学科专业素养与技能更重要。

对于你的专业技能与素养也许非毕业班的学生不会和你过多计较,但是一旦他升入毕业班,那他决不和你含糊,哪怕你们平时关系还不错。因此在好老师的众多维度中,学科专业维度是最重要的,没有之一。

最后我要特别提出,对于理科老师来讲尤其要有过硬的解题本领,特别是教毕业班的理科老师,如果学生来问你解题,你解不出来的话,学生一下子就会产生很强的失落感,也许从此他就把你看扁了,直接把你排除在好老师之外了。

上面所述的方方面面会让学生对你形成多面立体的认识,学生需要的好老师绝不会是单一单调的,尤其是在现在这样一个时代。03.学生需要老师的关注

学生希望能得到老师的关注,哪怕是平时内向的学生也是一样,这是学生具有向师性的一种表现。绝大多数情况下教师会关注数学成绩较好的学生,会有一种不由自主的欣赏与喜欢,教师的这种情感即便掩饰得很好,学生也能感受到。还有一种比较受关注的学生就是平时数学学习困难的学生,因为这部分学生属于数学学习中的弱势群体,教师往往会在他们身上倾注更多的心血,虽然有时付出与收获不正相关,但是这部分学生的心理不但自卑还脆弱,不把他们的成绩提升上去,不仅会影响他们后续的学习,而且会影响整个班级的学习,这也就是大家常说的抓两头。实际上教师在抓两头的时候最容易忽视的就是中间部分的学生,如果这部分学生平时又是循规蹈矩的话,那么他更加容易被教师忽视。可以说,不是教师有意识要忽视他们,只是人的精力和时间总是有限的,总是要先解决最突出的矛盾。当人们意识到这个普遍问题的时候,就有人提出这样的观点:抓两头促中间。其实这强调的是从数学技术的层面出发去关注各个段位的学生,绝大多数老师现在都关注这一策略。但我这里要谈的是从非数学技术层面出发的关注各个段位学生的策略,比如新接手一班级,我会利用课堂提问及花名册努力在一个星期内记住所有学生的名字。以前做年级组长的时候,为了方便管理,我会在两周内将全年级的学生与姓名一一对上号。记住名字其实不难,时间长一点,每一位教师都会记住学生的名字,我只是想要表达:记住一个学生的名字所带给他的一份尊重可以表明教师的心里有了他的一席之地。这或许对教师或成年人没什么,但是对学生来讲还是相当有意义的。

我也会在最初批改作业时充满期待,因为通过学生的字迹、正确率及错误的成因等可以对学生的性格作出一个大致的了解。作业本是学生的一张名片,有了这张名片,岂能不多挖掘点信息呢?所以我会在翻开作业本之前先看看学生的姓名,然后把姓名和作业信息匹配,久而久之,当我发现作业本少了的时候,我只需要对着花名册往下看姓名,就会找出谁没有交作业了。这样的准确率通常很高。有一次,在我当着数学课代表的面检查的时候,他觉得神奇极了。

由于数学学科的特点及课时的设置,学生基本上每天会有必知必做的作业,对于这样的作业,我都能在当天就反馈到学生的手里。正因为有这样迅捷的传递工具,我经常会在学生的作业本上留言,比如简短的评语(鼓励的、提示的、批评的)或者生日祝贺,等等。时间久了,学生也学会在作业本上给我留言,有节日贺语、生日祝福及预约答疑等。在快节奏的当今社会,这样的交流方式不仅能节省时间,而且能让我关注每位学生,特别是那些性格内向、平时不喜欢多言多语的学生。这样的留言话不多,只有几句,但能及时有效地解决学生的问题,并传递出我的希望及要求,也能快速走进学生的心里。

正因为记住了学生的作业信息及留言,若走在路上遇到了,我会说:“小明,你昨天的作业做得很好。”或者:“小明,你昨天作业中的错误需要把与之相对应的知识、概念公式再去复习一下。”(文中的个案学生皆用“小明”这个代号,不是特指具体的某个学生。)每当这个时候,学生总会很惊讶,说:“老师,您竟然记得我的这些问题?”从他的眼中我看到了被关注后的满足及后续要努力不犯错的神色。其实走在路上和他说几句话并不需要花费多长时间,可是效果确是出奇地好。这样不管是两头的学生还是中间的学生,他们的数学学习信息及性格特点就像是无形的档案印在我的头脑里,我随时随地可以和他们交流学习的或者其他的信息。比如,学校外语文化节期间,走在路上看到小明,我会说:“恭喜你哦,校园十大歌手。”这时小明就会瞪大眼睛看着我:“老师,您连这也知道了?”我说:“嗯,因为你名气太响了,想不知道都难哦,什么时候在数学上也让我惊艳一下哈!”小明立刻说:“老师,我会加油的!”从此小明同学的数学成绩逐步攀升。所以说老师对学生的关注不仅限于数学,学生需要的关注当然也不仅限于数学。其他的一些非数学因素对数学的学习也会起着一定的催化作用。

对于学生个性特点的了解很快会和学生作业里的错题信息一起在我头脑里汇聚成档案,他们的特点、优势及不足等信息我清清楚楚,因此不仅能个性化施教,还为后续的教学设计提供了依据,使得教学能时时关注学生的现有发展水平,循序渐进地使他们向更高一级的水平发展。

当然,关注学生的途径与方法有很多,大事件有大事件的重要性,小事情有事情的妙处,只要你足够有心,足够细心,足够用心,相信学校里的点点滴滴都会成为你了解学生的素材。只有多方面了解学生,才能进行有效的教育教学活动,否则要么就是曲高和寡,要么就是对牛弹琴。教育无小事,事事兼育人,说的大概就是这个道理吧。04.学生具有相当的独立性

学生一方面需要老师的关注,具有向师性,另一方面又强烈地表现出他们的独立性与叛逆心理,尤其是进入高中以后的学生,在思想上已经具有一定的成熟度与深刻性,自我意识早已觉醒,不再是人云亦云的那种情形,他们在人格上渴望平等,在行事上希望独立,希望表现自己。在我刚踏上工作岗位的那几年里,总希望对学生多讲点,生怕他们不掌握、不理解。渐渐地,我发现在我对知识“揉碎了掰开来”的时候,大部分学生把头低下去,自己做题目,不搭理我了。这让我很郁闷,于是我就把小明同学找来问,他说:“老师,您讲得太细了,那些我们都已经理解了,所以就不想听了。”我说:“可还是有些人在听啊……”他说:“那只是少数人在听,您没发现吗?”我说:“大部分人都会了,就不讲,那些少部分人怎么办?”他说:“您让那些不愿听的人替您讲,这样也可以检验这些人是否真的已经掌握了,一个不行的话,再找另一个,这样大家就都有事情做了,您还落得轻松。”小明同学的话对当时的我启发很大。反观自己,我只看到了学生长不大的一面,却没有意识到他们心理上早已成熟,希望得到别人的尊重与认可,想要独立展示自己。想通了这点,从此以后,无论是课堂还是平时的班级事务,我都给学生充分展示自我才能的机会,使得他们的主体性得到展现。事实表明,学生越独立,主体性越强;主体性越强,独立性又能进一步提升,学生的能力从而就得到了更广泛的锻炼与提升。在这样良性循环下,教师越来越轻松,而教学效果却越来越好。正如《学记》上的一句话所说:“善教者,师逸而功倍。”但我不能抹杀小明同学的功劳,教学相长亦是真理。05.学生很渴望被尊重

根据马斯洛的需要层次理论,人都有被尊重的需要。在学生逐步成长的过程中,这种被尊重的需要的程度会随着年龄的增长而递增。记得在十多年前的一次高二阶段性测试中,作为年级组长的我要安排考场并将座位表贴在教室的门上。考场有4个大教室和2个小教室,按照年级打乱顺序安排考场,也就是6个考场分别含4个班级的学生。考完第一场后,有个同学跑来和我说小明同学在考场座位表上改名字了。我有点惊讶:改名字干什么?我走到教室门口一看,原来座位表上小明班上的学生姓名字号不知道怎么回事比别的班的学生的姓名字号要小了一点,就相差一个字号吧,没有想到小明同学眼力如此好,更没想到小明同学如此有空,竟然还把名单上的名字改了。为了不影响他考试,两天后我把他找来,问他为什么这么做。他说:“我班同学的名字写得没有别的班的同学的名字大,说明老师不尊重我们。”我向他解释:“没有这层意思,我也不知道怎么回事,将4个班级名单粘贴过来会发生这样的现象,是我工作不够细心,谢谢你发现了这个问题,以后肯定不会发生这样的事情了。”他见我这样说,也表示了理解。我说:“你希望别人尊重你,可你有没有想过你这次的行为恰是不尊重老师、不尊重其他同学的表现?因为按照你的逻辑,你把你班同学的名字写得比别的同学名字大啊!”他说:“那是因为您先不尊重我班同学。”我说:“第一,别班的同学是无辜的,第二,你没有来找我证实就擅自改写考试座位表,这样不可取。因为考试是一件很严肃的事情,发现问题可以采取正当的途径,用正确的方式方法去解决,甚至你可以找校长反映情况,而不是根据自己揣摩的意思冲动行事。本来只是小误会、小事件,如果冲动行事造成严重后果,你说要谁来负责?将来你走上社会遇人遇事可不能这样哦!学校老师都不会和你计较,但是社会上的人呢?况且根据中国传统的思想,也从没听说过字大为尊的,你说对吗?”小明同学一开始还有点不服气,很委屈的模样,但见我心平气和地剖析,他也就慢慢放下戒备了。我接着说:“想要被尊重是好事情,说明你自我意识觉醒了、长大了。可你想过要尊重别人吗?古人云:敬人者,人恒敬之。试想:一个不尊重别人的人要怎样赢得别人的尊重呢?把自己名字写得比别人的大?”他立刻说:“当然不是。”我们眼神交汇了一下,都笑了起来,看来不需要我多说了。后来我想若是我不解开小明同学心里的疙瘩,会不会影响他后续的数学学习呢?会不会一看到我走进教室,他就如芒在背呢?我想答案是肯定的。

在了解了学生的尊重需求后,我几乎从不在课堂上当众批评某个学生,除非他的行为很过分,并在同学中造成很不好的影响。我也不会把学生叫到办公室当着其他老师的面批评他的过失。一般我会选在办公室没有其他人的时候,或者另外找个小教室,一般也不会我坐着、他站着谈话,我总是会让他坐在我的对面,用实际行动告诉学生:我尊重你,哪怕你犯错了,我依然还要维护你的自尊心。其实绝大多数学生在明白老师的苦心后,都会用实际行动来回报的。

说完了尊重,不得不谈自尊。因为尊重是来自别人的,而自尊则是自己给自己的,一个不懂得自尊自爱的人也是很难得到别人尊重的。因此对于一个高中学生来讲,自尊和独立都是人生中必备的人格之一,因为自尊才会想独立,有了独立才会真正有自尊,在做人做事上如此,做学问上又何尝不是这样?06.我问学生3个问题

学校的高一学生是本校初三学生的年级前52%左右直升到本校高中部的,学校高中不对外招生,学生在每年的4月中旬左右就成为学校高中部的学生了。在接下来的两个月中,一部分课时用来学习初、高中衔接的内容,还有一部分课时由同年高三的各学科老师来为他们做讲座。为什么是高三的老师而不是其他年级的老师呢?因为一般情况下,本届高三的老师要回到高一年级接初三的直升学生,讲座的形式可以让学生与老师先接触起来,彼此之间先有个了解。轮到我给他们作讲座时,我就想如果对他们讲高中的数学内容如何如何,恐怕意义不大,因为没有亲身经历过,印象不会深刻,既然基于了解,那我就来了解一下他们对数学的认识。于是我设计了三个问题:①你喜欢数学吗,为什么?②你是怎样看待数学的?③你认为怎样才叫学好数学?我要求学生回答三个问题,也可以回答部分问题,并给他们两分钟时间思考。(1)你喜欢数学吗?

当问题一抛出时,学生就兴奋了,沸腾的劲儿就好比一点水不小心跌落到滚开的油锅里一样。我等了两分钟,问有人愿意和大家分享自己的观点吗?没有人举手。看情形这个问题表面看似简单,但当着一位数学教师的面,回答这个问题可能就有难度了。于是我又等了一会儿,还是没人主动,我只好点名了,可我不认识其他学生,只认识人群中的小明同学,他是学校一名教师的孩子,平时看他也比较豪爽,大大咧咧的,于是我让人把无线话筒递给他,他慢吞吞地站了起来,对着话筒有点紧张。我说:“你就大胆大声地说吧,只说你心底最真实的想法,不要考虑其他的。”我话音一落,小明就大声地说:“我不喜欢数学!”他话音一落,全场雷鸣般的掌声就响了起来。好家伙,这掌声是欣赏小明同学的勇气还是欣赏他的观点?我接着问:“你为什么不喜欢它呢?”他说:“因为数学不是数字就是符号字母,烦!”我说:“那人民币上不也是数字和符号吗?也没见什么人不喜欢它、嫌它烦啊!恐怕有人还希望数字后面的‘0’越多越好呢!”学生见我如此说,倒也给了我很热烈的掌声。也许有人是真的不喜欢数学,毕竟这是偏重人文气息的外国语学校的学生;也许有人是瞎起哄,毕竟这个问题要在即将成为自己数学老师的教师面前回答,心里多少还是有点压力的。现在有人替他们说出来了,激动是正常的。可见这级学生有点“坏”,有点活泼。我接着说:“你们知道人民币上的数字和字母是什么含义吗?数字与字母组合有多少种可能性?在生活中,你看到了哪些数学现象?下学期抽查哦。”于是下面“哀嚎”一片。

我接着说:“友情提醒那些不喜欢数学的同学,进入高中以后,你要尝试着去改变对待数学的态度,尝试着多接触数学,多亲近数学老师,多问数学问题,相信经过一段时间的努力,你会品尝到数学带给你的喜悦。数学不只是用来考试的,其实数学渗透在我们生活及你将来工作的各个领域内。例如:如果你买体育彩票,你会出多少钱购买体育彩票取决于你对体育彩票中奖概率的认识;如果你是一位销售员,你怎么知道市场对你销售产品的需求?这种需求有多大?如果你是企业年会的策划者,你要设计一个游戏活动,从1~50个数字中任意抽取两个数字求和,你觉得特等奖应该放在和为几的数字后面?……因此我们的眼光要放长远一些,当你走出校门若干年后,你早已经忘记数学的概念、公式了,但数学这门课程所带给你的影响却在不知不觉地影响着你的思维与能力。”(2)你是怎样看待数学的?

有学生说:数学就是解题,数学可以锻炼人的思维,数学讲逻辑推理……其实这个问题也可以说成:你是怎样认识数学的?学生对数学的认识最常见的途径就是课堂。在他们的数学老师的逐步引领下走进数学,能说出这几点,说明平时数学老师的课堂渗透得还是不错的。那么数学是什么呢?随着社会的发展,随着人们数学活动的深入探究,不同时期的人给出了不同的回答,很难用一个概念加以界定。数学(Mathematics)一词来自古希腊语μaθημaτικα',有学问和科学的意思。在古希腊,数学曾经是四门学科:算术、几何、天文学和音乐的总和,处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。

随着社会的发展,人们对数学不断有新的认识。在数学的发展史上,数学经历了三次危机,数系被扩充。你听说过理发师悖论吗?你知道虚数吗?虚数已经成为微芯片设计和数字压缩运算的核心工具:你的MP3播放器就依赖虚数。比这更重要的是,虚数带来电子学革命,是量子力学的基础。没有虚数,你就得不到一个能体现物理世界现实的答案,你也得不到iPod。

在数学发展的历史长河中,出现了许许多多的瑰丽珍宝,也有不少数学家为此献出了自己的生命。有兴趣的同学可以去图书馆借一本有关数学发展史的书籍看看,比如美国数学家克莱因的《古今数学思想》,华东师范大学教授张奠宙的《20世纪数学经纬》,还有王元、胡作玄倾力推荐的纪录片《数学的故事》,孙剑的《数学家的故事》等,你们可以从中了解到数学艰辛而又美丽的发展史,也可以从文化的角度了解到数学的过去和今天。当然,有关数学的书籍还有很多,比如吴军写的《数学之美》,从科学理性之美的视角来发现数学是如何让你学会化繁为简、如何让你跳出固有的思维不断去创新的,等等。所以,只要你愿意,你就会发现不一样的数学。学生随着我的讲解脸上充满了好奇。

下面你会看到关于数学是什么的不同回答,其中有些可能是你知道的,有些是你未知的。例如:数学是研究现实世间的数量关系和空间形式的科学(恩格斯);数学是模式和秩序的科学,即通过模式的建构并以此为直接对象从事客观世间规律性的研究;数学是一个多元的复合体,即由理论、方法、问题和符号语言等多种成分组成;数学是科学性与艺术性的辩证统一;数学是一种文化,一直是文明和文化的重要组成部分,一个时代的总的特征在很大的程度上与这个时代的数学活动有密切关联,她既是构成整个人类文化的一个有机组成部分,又是一个独立又开放的子系统……虽然众说纷纭,却也精彩纷呈,正好说明了数学的富饶美丽。

数学是一种文化,首先体现的是数学与理性:数学对于人类理性思维的养成和发展有着特别的意义,而这正是人类精神文明的核心之所在。其次,数学还有一种精神,一种理性的精神,正是这种精神,它激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度,亦是这种精神试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活,试图回答有关人类自身存在提出的问题,努力去理解和控制自然,尽力去探索和确立已经获得知识的最深刻的最完美的内涵(克莱因《西方文化中的数学》)。最后,数学有着重要的思维训练功能,这不仅有对逻辑思维的训练,而且有着更为广泛的涵义,比如数学化思想、公理化思想等。数学作为人类思维的表现代表,承载的逻辑与直观、分析与构造、共性与个性、特殊与一般等思维品质,是一个具有创新精神的人才不可缺少的。

在听我介绍数学时,报告厅里鸦雀无声,学生一个个认真入迷、眼睛发亮。(3)你认为怎样才叫学好数学?

有学生说:能解数学题、做出难的数学题、能考出高分就是学好数学。学生说错了吗?一点没错,在他们这个年纪能说出这样的话,我认为已经很不错了,至少从这话能看出他们是有追求的,是想要把数学学好的,数学成绩在高考中不也是举足轻重的吗?也许有人不认同,认为这是应试,没有体现数学学科的素养与能力。但是,有谁见过数学素养好、数学能力高的人数学考试考不好,数学习题不会做的?所以说应试也是一种能力,我个人认为素质教育从来就排斥应试,只是不要把应试变成应试教育,那样就走了极端,增加了学生的心理负担与压力,实不可取。但是也不要谈考试就色变,适当地根据教学内容和教学进度安排恰当的测试也是可取的,因为没有评价反馈过程的教育教学也是有缺陷的。正如没有批评的教育是不完整的教育一样。

既然知道学生看重数学考试,那么作为数学老师就要好好命题了,就如同高考是指挥棒一样,如何通过考试来实现数学素养与能力的贯彻与实施,就要在命题上下足功夫:没有思维力地死做题、做死题的别想考出好成绩;思维不够灵活的别想考出高分;思维灵活却不踏实的同样别想考出高分。所以学生怎么做、怎么想完全取决于教师,就如当今教育的变革主要取决高考的指挥棒一样,如果具有权威评价功能的高考不发生转变,高考试题中不体现对于数学核心素养与数学能力的考查,那么在基础数学教育中恐怕很难会有体现数学本质的教学。就像2004年的上海高考理科卷中的第11题:教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是______。如果数学试卷这样命题的话,你说学校会不会转变?教师与学生会不会转变?

如果说考好试是我们学好数学的短期目标的话,那么学好数学的长远目标就是数学的观念在学生远离校门以后的体现了:在日常的生活和工作中是否能理性客观地对待问题,能否脚踏实地地学习、生活,在困难面前是否能有“化繁为简”的能力,是否有“正难则反”的灵活思维,是否能在追求简洁、对称与和谐之美中有创新、有突破……学好数学远不是这样的几句话就能说清楚讲明白的,恰恰是学过数学后在人们的生活工作甚至是意识形态中起决定作用的东西,说不清道不明但却实实在在地存在着。

因此,本着一切从学生的发展出发的观点,学好数学既要有短期的目标也要有长远的目标,两者之间本身就是相互依存、相互促进的,离开了学科素养与能力的考试既考不好,也走不远,脱离了考试的素养与能力也是苍白无力、不会被社会所认可的。所以考试是走近学生的最直接的途径,考试不仅可以了解学生知识技能方法等层面的水平,还可以了解学生的心理素养、判断决策、性格特点及体力等身体素养方面的状况。我经常和学生说的一句话就是“考试是对你综合实力的考查,不仅是对智力水平的考查”。07.为“白痴”加了一个引号

有一次,我发现小明同学在自己的卷子上用红笔写了一个大大的“白痴”,我前后看了一下,该错的和不该错的他都错了,原本我还想找他聊聊,问问情况,因为这不该是他的真实水平,现在看来他自己已经懊恼不已了,我想了一下便在他写的白痴两个字上用红笔加了一个引号,并在旁边画了一个笑脸。第二天上课时我有意走到他旁边说:“那是我加的哦。”小明同学一脸惊讶,一下课他就冲到我面前说:“老师,我知道了,我会努力学好数学的,谢谢您!”在以后的日子里,小明同学果然学习很努力,并经常找我讨论问题,慢慢地,他的数学成绩已经进入年级前茅,到了高三他依然保持优势,最终他被保送复旦大学英语专业。毕业离校前夕,他给我写了一封长长的信,在信中还特意提到这件事情,说当时真没想到我会以这样的方式和他交流,说我很敏锐地捕捉到了他的内心世界,他确实不需要多余的言语,道理他都懂的。在学生的作业本或者试卷上有针对性地写上一两句应景的评语,恐怕比把学生一本正经地叫到办公室来谈话要好得多吧,省事省时但有效。其实有时候要走进学生的心并不难,关键的一句话、一件小事、甚至一片饼干等都能成为打开学生心门的钥匙,拉近老师与学生之间的距离。但是,不同的学生会有不一样的个性特点,重要的还是靠老师平时注意仔细观察,做个有心人。08.抢着做数学课代表

其实我一直不知道做数学课代表这么吃香。十多年的某一天,无意中听一学生说:“小明同学不怕班主任,但他怕高老师。”我问:“为什么?”他说:“他怕您不让他当数学课代表。”我有点不淡定了,当数学课代表这么吃香?他说:“是啊,我们班还有好几个人想着当数学课代表呢!”于是私底下我悄悄地找了小明同学,他告诉我:“老师,做您的课代表不只是收发作业这么简单,您还会让我给同学讲题,每天来办公室拿作业时您都会指出我作业中的错误,使我豁然开朗,您说如果平均每天一题,长此以往会如何?还有,您经常和我分享您的美食……”我笑着说:“哼,最后一条才是重点吧?”他赶紧表态:“绝对不是,老师,您还记得在高一的选修课上,我们当时玩了一个数学游戏(这个关于坐标的游戏后面会跟大家分享),因为我是您的课代表,您说我们之间建立了很好的默契,我们俩用神奇的表象捕获了所有人的好奇心,我成了唯一一个知道秘密的人,那个星期许多人都想探个究竟,不断问我到底是怎么做到的,有什么暗号?但我就是不能说,哈哈哈,想想就觉得自豪!老师,您说我能舍得不做数学课代表吗?”最后他用长长的睫毛朝着我忽闪忽闪。

原来做我的数学课代表竟如此多姿多彩,他们忙着并快乐着。怪不得有学生在高二结束时就会来预订高三的课代表职位,我也就借此在学生中掀起了一股爱数学的思潮。想做数学课代表吗?至少先把数学学到能在班级里做“代表”的程度吧。一般情况下,我会每班选3个数学课代表,给他们具体分工一下,这样既减少了数学课代表的工作量,也满足了学生想“亲其师”的愿望,最后“信其道”的效果也就顺理成章地实现了,皆大欢喜!09.抄错了、看错了、算错了与誊错了

进入高三,数学练习变多了,特别是在新的考试制度下,高三在下学期5月8日后只有语数外和体育课,每周一次的练习课上学生都会有做题训练,还有每月一次的比较正式的阶段检测,这样一方面可为推荐保送生选拔人才,另一方面就好比大战前夕的军事演习一样,每次考完,教师会仔细分析,找出问题并采取措施,学生也会要求针对自己的情况分析试卷,查找原因,于是就会听到不少的学生和我说:“其实这题我是会的,就是粗心了,题目看错了,某步算错了,从上一步到下一步抄错了,最后誊到试卷上的时候写错了……”某次综合试卷的第2道填空题:已知线性方程组的增广矩阵为,若该线性方程组解为,则实数x+2y=_______。排在这个位置的题绝对就是送分题,小明同学竟然错了,他对我说,这道题他会做的,就是看错数字了。为了弄清楚他到底错在哪,我就让小明同学把他的草稿纸拿来,稿纸上这样写着:

x=10, x+y=20

⇒y=10

⇒x+2y=16+20=36

最后答卷上他填的是46。

这是为什么呢?其实犯这种类似错误的原因,特别是到了高三下学期,基本上可以排除知识技能方面的问题。通过谈话,我发现大多数学生是由于以下两个因素造成的:一是心理因素,二是思维品质方面的问题。

出现紧张、焦虑等心理问题的同学一般是数学成绩不大理想的学生,只要临近考试他们就紧张,再加上学生对自己的定位都比较高,从而使得理想与现实产生了很大的落差,所以这种紧张焦虑很容易导致抄错了、看错了、算错了与写错了。正是由于这样的低级错误,不该丢分的题丢分了,学习结果与他们的心理预期相差太远,于是他们的情绪就会比较糟糕。如果家长和老师发现后帮他们疏导,情况会有所好转。但是,如果没有外力的介入,自己又陷得比较深,那么这样糟糕的心理及情绪就会带入到下次的考试,这样也就形成了可怕的恶性循环。比如这位誊错答案的小明同学,他虽然数学弱一点,但绝不至于考出40多分。因为他绝没差到那种境界,否则他选的加3科目等级考的成绩就不会都在A级以上,外语及语文虽不是他的强项,但也在年级的中位之上。加上他在自主招生中被某知名大学预先录取,在高考中只要达到上海的最低自招线就可上那所大学了,所以他其实很优秀。但他自知数学比较弱,因此把宝押在了数学上,可偏偏结果与希望偏离太大。我和他仔细分析了他的现状与能力水平,要求他对自己正确定位,降低自我要求,并和他说了田忌赛马的策略。分析后,我告诉他要确保基本分,不在能力题上浪费时间,应把分数定位在100分左右而不是120分左右。最后我帮他预测了各科总分,使得他明白他的数学成绩只要在100分左右就没什么问题(根据上一年的自招线来预测)。最后他数学考了95分,总分比最低自招线高了23分,顺利进了那所名牌大学。

如果说紧张焦虑是数学较弱的学生的问题的话,那么关于思维品质的问题恐怕就是大多数人的问题了。哪怕数学很好的学生偶尔也会出现这种问题,那就是思维不连续,做到下面忘了上面,做到后面忘了前面,上一行是x=10,到了下一行就变成x=16了。慢慢地我发现有这类问题的学生不在少数,是什么原因导致的呢?后来我发现这既有主观的因素也有客观的原因。现在的社会外来信息多,技术革新快,这虽然是好事,但不可否认的是这样的快节奏也使得人心浮躁,难保心静。虽然早就有人意识到这样的社会环境不利于人的成长,但是整个社会的生活工作节奏就是比父辈们学生时代的节奏快了很多,整个环境仿佛都有一种浮躁的气息,让人很难安静下来。因此生活在这种环境中的学生的心是不静的,只要外界有一点风吹草动,他的注意力立刻转移过去了。我曾多次亲身遇到这样的现象:我在上课,小明同学迟到了,喊报告,我让他进来,然后继续讲课,偏巧小明同学的座位在教室的最后方,于是教室里竟然有不少的同学一直看着小明,直到目送他在座位上坐下来。这种时候,我不得不停止讲课,说他们给小明同学行了“注目礼”。看到这,也许有人也要说我讲的数学没有小明同学有吸引力,可小明同学背着书包的样子也没什么特别啊。还有,上课时走廊上物业阿姨在换垃圾袋时发出的声音也能吸引他们的眼光,阿姨不走,他们的视线不回黑板。还有,即便在考试的时候,巡考老师走过,考场里也会有人抬起头对老师行注目礼。像这样的诸如来自外界的干扰因素实在太多了,而他们抗干扰的能力恰恰比较低。现在几乎人手一部手机,虽然学校规定手机不能带到教学区,可有多少人能做到?即便将手机调成了静音模式,可是当信息、电话进来时会不会影响他们听课做作业?会不会打断他们解题的思路或过程?当然,所有的这些外界因素的干扰都源自学生意志力比较薄弱、抗干扰的能力低,还不会妥善管理好手机等电子设备。在了解了学生的问题后,一般情况下我会加强外界干扰因素的管理,并同时要求家长配合,齐心协力统一管理好学生的电子设备,并要求学生在做作业时远离手机;要求学生在上课时集中注意力听讲,尽量与教师互动以保证有效注意力的时长;提倡考试时努力埋头于试卷,不对巡考老师行“注目礼”,实在做不到的就用手指按着一行行的题目信息反复默读,直到头脑里的杂念都被清除干净。我曾经问过学生知道“沉浸”这个词是什么意思吗,他们都说:“这谁不知道?”我继续问:“你们中有人曾经达到过‘沉浸’的境界吗?”他们均摇头。我告诉他们:“我在做学生的时候,会经常沉浸在解题中、作业中、考试中,每当这种时候,我周围的人在干什么,是否讲话了,我一概不知道,既没听到也没看到。我经常被晚自修的铃声惊醒,而且还感叹:怎么就结束了呢?感觉才过去了一会儿啊……”

为了帮助学生提升专注度与有效注意的时间,近几年在高三的练习课上,我设计了一种叫“抢分”的游戏,一般由4道选择题与12道填空题组成,按照高考题的给分标准,另加一道中档的计算题,分值为74+14=88分,时间40分钟,这样的题量与时间比会让学生没有时间行“注目礼”,光是快还不够,还要准,因为没有时间复查,锻炼的是学生的一次成功率。不仅如此,还要检测他们对基本知识技能的熟练度与迅捷的反应。这样的题量可以说给了每一个学生挑战自己极限的机会,一开始几乎没人能做完,也有人思维不够集中,无法进入那种如入无人之境的状态,每次我都公布抢分最高的学生,统计错题,稍作改变继续考查该知识点。渐渐地,学生对这个游戏的兴趣大增,其实他们都想多抢分,也想锻炼自己的思维力与专注度,只是坏习惯一旦养成,比较难以改变而已。渐渐地,有的学生的注意力集中度得到了有效的提升。通过有效的、不断的查漏补缺,他们中有人能全部做完了,也有人抢到了几乎满分的高分。每次结束,当我看到他们的脸因为专注而像个熟透的小苹果时,我知道这40分钟他们进入了“沉浸”的状态,因为只有当人专注于用脑的时候,血液才会优先向脑部输送,因而才会脸红,此时的他们绝不是因为害羞而羞红了脸。10.原来她觉得被“看轻”了

又送完一届高三学生后,我收到了学生送的一本纪念册,他们每人很用心地写了一段话给我,配上自己的一页小照,全班30人,装订成一本纪念册,很珍贵。其中一个女生给我的留言我看了好几遍,引起了我的深思。她这样说:“高老师,您好!如果用颜色来形容的话,您拥有蓝色气场,我拥有红色气场,我们应该是互相很欣赏对方的,但是我发现我们性格不同,这丝毫不影响我喜欢老师。我真心觉得您是一个特别厉害的好人,外表上高冷严厉,内心里却纯良有趣,上课时不时来个冷幽默,等我们反应过来哈哈大笑的时候,您却‘嫌弃’我们反应太慢了,于是全场静止1秒后,我们笑得更加肆意。考得不好的时候您会安慰我说‘你也有考得好的时候呀’,考得好的时候我一定会在第一时间得到您的肯定,这使我像小女生般高兴好久好久。因此,高老师您是一个我特别希望交朋友的人,有时候很羡慕A同学和你的关系(A是数学课代表),我有时候期待着你请我上黑板做第22、23题(是试卷上的最后两道题,是比较难的能力题,一般学生都不大能做出来),可是我等到的却是简单的小题,我想同学们也一定会认为我能做的题一定是很简单吧,因为我平时考数学的成绩的方差特别大,在40到80之间的方差啊。哈哈,高老师,这是我的心里话,因为我的内心很细腻,所以会对世界有很强烈的感受,我特别感谢高老师,带给我快乐、困惑、失落、幸福、满足与成就感的老师,高中经历过的事情再也不会发生,遇到过的老师再也不会教我们了,非常感谢老师您陪我两年。”

在高三的课堂上我一般会让学生上讲台做题讲题,什么样的学生讲什么程度的题,通常我会根据学生现有的能力水平进行匹配。这样的话一来能有效地把题做出来、讲清楚,二来不会伤害学生的自尊心,毕业班学生的心理压力大,我一心想要小心呵护,容不得半点马虎。没想到基于这一出发点的我却给这位女生带了这么大的困惑与失落。看到了她的留言,我震撼了,内心也感到了深深的歉意,我是否太主观了?是否忽略学生的主体性了?到了高三,每个学生都是想要进步的,耽搁点时间有什么关系,如果她的自信与兴趣被激发出来,学习数学是否更为有效呢?想到此我有点懊恼,也许我换一种征询的方式,问哪位同学愿意上黑板做第22、23题,这样也就不会引起这样的误解了,也许有人为了能给同学们讲第22、23题,从此在数学上更加发奋了呢?从此以后,需要学生上黑板做题的时候,我再也不会直接点名,而是征询有哪位同学愿意上黑板来和大家分享自己的数学思想了。11.没有什么能高于生命

在高三数学一模考完,学期临近结束的一天,我看到办公桌上有人给我写了一封信,我一看发现是小明同学的:“老师,一模我考得太烂了,我想把一些不敢和您当面讲的话以这种方式呈现。首先,对于一模这样的成绩,我承认多数是由于自身知识方面有错漏造成的,在寒假中我一定努力弥补。其次,我想告诉您的是有一个严重的问题影响着我:从初三以来,每次重大的考试之前,我内心都想多拿分,做完一题就想算算分数,可我不觉得我做的是对的,这直接使我在做题时很焦虑,并且我在面对一些中高档题时,犹豫不决,其实题目已经被我做出来,可我又想,我怎么可能做出这种题目呢?卷子上一定有陷阱,大考的题不可能被我做出,于是我就会把解答过程全部画掉。例如这次一模考试,最后一道选择题,我已经做出了正确的选项,但我不相信自己,随后把它否定掉,从另外三个选项中猜一个,于是5分没有了。这样的小题还有5道,大题目在草稿纸上算到了关键步骤,再抄到答题纸上时我就想说不定我哪里又粗心了,这答案肯定错了,于是我就不敢写上去了。现在回想起来,自己也觉得这些想法莫名其妙,可我当时就是这样度过了两个小时,最后宁愿让试卷上空着,也不写上自己的解答。这样的现象在我自认为比较有把握的考试中累次出现,考试时,我压根就不记得您和我们说的能写一点就写一点,我始终不敢向同学倾诉,因为我觉得可能没人能理解我,也不敢和爸爸妈妈讲,怕他们更加担心我,我感觉您是真的十分关心我,所以尝试着说给您听。您还表扬我们班的数学进步很大,如果没有我的成绩拖后腿,我们班的进步应该更大吧!老师,对不起了,连续好多天洗澡时,水一边流我就一边哭……后来,有位考到清华大学的学姐的到来就像是突然洒向我的一束阳光,她一进教室,看到未擦掉的板书时脱口而出:这肯定是高老师写的!后来聊天时她还说很怀念当初的数学抢分卷,说这样的试卷几乎可以说是为每一个人准备的,他们当时都特别期待这种时候,因为每个人都想冲破自己的极限,向更高的平台进取,所以他们特别感谢老师的设计。最后,她说,虽然是高三,有着升学压力,但是没有什么能高于生命。老师,您知道吗?当时我就想学姐好像是专为我而来的,她的话给了我信心,吹散了我心中的阴霾,我要像她一样做老师您的骄傲。”感谢小明同学的学姐,也许她的到来或许避免了一些严重问题的发生。

虽然知道高三的学生压力大,却没想到会有这么大。小明看上去是个嘻嘻哈哈无所谓的女生,我怎么也没想到她内心却是个追求甚高又敏感的人,如果不是那位考上清华的学姐打开了她的心结,我不敢想以后会怎样。但是如果没有彻底解决她暴露出来的问题,如果她的数学成绩上不去,那么她依然会悲观失望。既然她向我敞开了心扉,那么我就必须在下学期的第一天找她聊聊,帮助她解决问题,并在以后的日子里天天关注她的作业情况,指导她考试。经过后半学期的努

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