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吉林大学数学学院432统计学[专业硕士]历年考研真题及详解试读:
2012年吉林大学432统计学[专业硕士]考研真题
2012年吉林大学432统计学[专业硕士]考研真题及详解
一、(25分)一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成,在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作,求整个系统起作用的概率。(Ф(1.67))=0.9225;Ф(0.6)=0.7257;Ф(0.33)=0.6293)
解:由题意可知每个部件正常工作的概率为0.9,总样本数n=100,用X表示正常工作的部件的数量,X~B(100,0.9),则整个系统起作用的概率为P(X≥85)。np=90>5且n(1-p)=9>5,根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知,
所以整个系统起作用的概率为:
二、(25分)
1由统计物理学知,分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦(Maxwell)分布,其概率密度为
其中b=m/(2kT),k为Boltzmann常数,T为绝对温度,m是分子的质量,试确定常数A。
解:根据概率密度函数的性质可得:
解得
又b=m/(2kT),故
2研究了英格兰在1875年~1951年期间,在矿山上发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度,得知相继两次事故之间的T(以日计)服从指数分布,其概率密度为:
求分布函数F(t),并求概率P{50<T<100}。T
解:当t>0时
当t≤0时,F(t)=0。T
所以分布函数为
三、(25分)设某电子器件的寿命(以小时计)T服从双参数的指数分布,其概率密度为
其中c,θ(c,θ≥0)为未知参数。自一批这种器件中随机抽取n件进行寿命试验,设它们的失效时间依次为x≤x≤……≤x。12n(1)求θ与c的最大似然估计;(2)求θ与c的矩估计。
解:(1)似然函数为
两边求对数得到对数似然函数为:
因为lnL(θ,c)关于c单调递增,且当x>c时L>0,当x<c时11∧L=0,所以c=x是唯一使L达到最大的c值,即c的MLE。将lnL(θ,L1_c)对θ求偏导并令其等于0,得到-nθ+nx-nc=0,由于似然函数∧*是指数族的形式,且θ的属于自然参数空间Θ={θ:θ≥0}=[0,∞)的L∧_内点集,故θ的极大似然估计为θ=x-x。L1(2)222
因为DT=ET-(ET)=θ,所以θ和c的矩估计为:2
四、(25分)设从均值为μ,方差为σ>0的总体中,分别抽取容__量为η,η的两个独立样本,X和X分别是两样本的均值。试证:对1212__任意常数a,b(a+b=1),Y=aX+bX都是μ的无偏估计并确定常12数a,b使Y的方差Var(Y)达到最小。
解:由题意可知,_
同理E(X)=μ,所以有:2____
E(Y)=E(aX+bX)=aE(X)+bE(X)=aμ+bμ=(a1212+b)μ=μ__
因此,对任意常数a,b(a+b=1),Y=aX+bX都是μ的无偏12估计。
因为两样本相互独立,所以:
当a=n/(n+n),b=n/(n+n)时,Var(Y)达到最小值。112212
五、(25分)随机地选8个人,分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高(cm),得到如下数据。
设各对数据的差D=X-Y(i=1,2,……,8)是来自正态总体iii22(μ,σ)的样本,μ,σ均未知,问是否可以认为早晨的身高要DDDD比晚上的身高要高?(取α=0.05,t(7)=1.8946)0.05
解:整理数据得到下表:
第一步:提出假设:H:μ≤0;H:μ>00D0D_
第二步:计算D的均值和方差:D=(0+1+3+2+1+2-1+2)/8=1.25
第三步:构造检验统计量
第四步:当原假设成立时,根据样本数据计算检验统计量的值为T=2.76;
第五步:做出决策:当α=0.05时,t=1.8946,因为T=2.760.05>1.8946,所以拒绝原假设,认为早晨的身高比晚上的身高要高。
六、(25分)假设回归直线过原点,即一元线性回归模型为
y=βx+ε,i=1,…,niii2
E(ε)=0,Var(ε)=σ,诸观测者相互独立。ii2(1)写出β,σ的最小二乘估计;∧(2)对给定的x,其对应的因变量均值的估计为y,求Va00∧r(y)。0∧∧22
解:(1)根据最小二乘法,使∑(y-y)=∑(y-βx)最小。iiii∧2令Q=∑(y-y)根据微积分的极值定理,对Q求相应于β的偏导数,ii∧并令其等于0,便可求出β,即
由于随机项ε不可观测,只能从ε的估计——残差e出发,对总体iii22方差σ进行估计。可证σ的OLS为∧∧(2)对给定的x,其对应的因变量均值的估计为y,y的方差000为:
用最小二乘法计算得到
试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]