作者：朱波,文兴易
出版社：西南财经大学出版社
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中国动态Nelson-Siegel利率期限结构模型研究试读：
前言
中国国债发行和流通市场近几年来得到了飞速发展。截至2013年12月月底，记账式国债存量已经达到7.8万亿元的规模，银行间国债市场成交额55143亿元，上海证券交易所国债市场成交额436亿元，深交所国债市场成交额4亿元。因此，对我国国债利率期限结构问题进行深入研究具有较为重要的理论意义和现实意义。
利率期限结构是利率和期限之间的函数关系，某个时点不同期限的利率就形成了一条曲线。它是金融资产定价、金融产品设计、套期保值、风险管理、套利与投机等活动的基础，不仅为各种债券定价提供了基准，也是衍生产品定价的基础，因此对利率期限结构的有效估计是一个基础而又十分重要的问题。此外，利率期限结构在经济和金融的理论与实践中均起到非常重要的作用，一直受到货币政策制定者、金融经济学家和金融实践者的高度关注。
近年来，在动态利率期限结构模型的基础上，一些学者开始使用宏观经济信息来构建利率期限结构模型，宏观金融模型得到飞速发展。简约型宏观金融模型仅仅在仿射期限结构模型的基础上在状态变量或潜因子向量中增加宏观经济变量，结构化宏观金融模型则对两者之间的交互影响和宏观经济结构进行了考虑，部分文献还对利率期限结构动态演变过程中蕴含的货币政策和财政政策信息进行了深度剖析。
尽管如此，动态期限结构模型和宏观金融模型的现有研究对各国中央银行的实践重视程度不够。由于Nelson-Siegel模型及其Svensson扩展形式采用指数多项式函数来估计利率期限结构，利率曲线处处多阶可导，满足光滑性，模型参数具有较强的经济含义，模型拟合结果比较符合利率期限结构的预期理论，许多国家中央银行在实践中采用NS模型或NSS模型。因此，结合各国央行的实践，基于Nelson-Siegel期限结构来构建动态利率期限结构模型和宏观金融模型，考察动态因子的货币政策和财政政策含义，具有重要的理论意义和现实意义。本书试图对此进行探索。
全书共分为七章。第一章是导言，介绍本书的目的、结构安排和主要创新点。第二章是文献综述，对该领域的文献进行全面系统的梳理和总结。第三章基于我国国债交易每日数据，就几种常见形式的静态收益率曲线，比较Nelson-Siegel模型、Nelson-Siegel-Svensson模型、息票剥离方法和平滑样条方法在收益率曲线拟合方面的差异。第四章使用我国国债交易的月度数据对Diebold-Li动态Nelson-Siegel利率期限结构模型进行实证分析。第五章使用迭代局部多项式方法来替代Diebold-Li动态Nelson-Siegel利率期限结构模型中的息票剥离环节，构建基于迭代局部多项式逼近方法的动态Nelson-Siegel利率期限结构模型，考察其实践性能。第六章对动态Nelson-Siegel利率期限结构模型动态因子的含义进行考察，分别考察三个动态因子与收益率曲线期限特征和形状特征之间的联系。最后，在第七章里，我们讨论动态Nelson-Siegel利率期限结构模型动态因子与宏观经济变量之间的联系，构建简约型宏观金融模型，对基于Nelson-Siegel期限结构的宏观金融模型与动态模型进行实证比较。
由于时间、精力、样本数据等诸多方面的原因，本书还有很多不完善的地方。基于结构化宏观金融模型框架，整合无套利动态Nelson-Siegel期限结构模型的建模方法，充分考虑宏观经济结构与利率期限结构之间的动态交互关系，发展适合我国国债市场的动态Nelson-Siegel期限结构模型，挖掘其动态因子所蕴含信息的含义，是进一步的研究方向。
感谢西南财经大学出版社张岚和李霞湘编辑为本书出版所做出的辛勤工作！朱波 文兴易2014年5月
1 导言
1.1 本书的主要目的
利率期限结构是利率和期限之间的函数关系，某个时点不同期限的利率就形成了一条曲线。因为零息债券的到期收益率与该时期内的利率相同，所以利率期限结构也可以表述为某个时点的零息债券收益率曲线。它在经济和金融的理论与实践中均起到非常重要的作用，一直受到货币政策制定者、金融经济学家和金融实践者的高度关注。利率期限结构是金融资产定价、金融产品设计、套期保值、风险管理、套利与投机等活动的基础。它不仅为各种债券定价提供了基准，也是衍生产品定价的基础，因此对利率期限结构的有效估计是一个基础而又十分重要的金融工程问题。随着我国债券市场的深入发展、金融创新不断深入、金融产品不断丰富完善和利率市场化进程逐步推进，对利率期限结构及相关问题进行深入研究的重要性日益凸显。
中国国债市场在改革开放以后开始起步，国债发行和流通市场近几年来得到了飞速发展，截至2013年12月月底，记账式国债存量已经达到7.8万亿元的规模。我国国债发行品种主要有记账式国债和储蓄国债两种，储蓄国债是面向个人投资者销售的国债品种，机构不能参与，而记账式国债允许机构投资者参与投资，也是目前发行量最大的国债品种。2013年我国记账式国债共发行52期，发行量达到1.34万亿元。我国国债流动市场包括交易所市场和银行间市场，前者包括上海证券交易所和深圳证券交易所，后者由国债批发市场和国债柜台零售市场组成。国债交易方式主要要包括现券交易、回购交易和远期交易等。2013年，银行间国债市场成交额55143亿元，上海证券交易所国债市场成交额436亿元，深交所国债市场成交额4亿元，市场成交主要集中在银行间市场。因此，对我国国债利率期限结构问题进行深入研究具有较为重要的理论意义和现实意义。
传统利率期限结构理论主要研究收益率曲线的形状及形成原因，是利率期限结构理论中较为重要的一个部分，主要包括纯粹预期理论、流动性升水理论、市场分割理论和优先偏好理论等。传统在这里是一个相对概念，具有“早期”的含义。市场预期理论认为预期是决定未来利率水平的唯一因素，当前利率期限结构是对未来利率变化的一种预期。市场分割理论则认为期限不同的债券市场之间是完全分离和独立的，每一种债券的利率水平在各自的市场上由该种债券的供给和需求决定，不受其他期限债券的影响。流动性偏好理论认为投资者持有长期债券的风险大于持有短期债券的风险，如果不向长期债券持有者进行补偿，则投资者将偏好于短期债券，这样可以降低风险和增加流动性。优先偏好理论认为不同类别的投资者具有优先偏好习惯，这使投资者一般会在自身偏好的期限市场进行交易。尽管这些理论和模型提出的时间相对较早，但至今仍是部分实证文献的考察重点。
刻画某个时点收益率曲线的形状是利率期限结构研究的首要问题，已有众多学者使用多种方法来对静态利率期限结构进行估计，常用的方法有样条函数方法、息票剥离方法和Neslon-Siegel方法等。不同方法有着不同的优势和劣势。样条函数方法主要包括多项式样条模型、指数样条模型、B样条模型和平滑样条模型等类型，主要区别是用不同的样条函数对贴现函数进行建模。息票剥离方法很好地解决了基于附息国债来估计零息债券收益率的问题，很多国家中央银行收益率曲线拟合实践常用的方法则是Nelson-Siegel方法或Nelson-Siegel-Svensson方法。
对收益率曲线进行建模，除了关注某个时点的收益率曲线形状外，还要考察其动态演变规律。这就是动态利率期限结构理论，常用的模型框架是无套利仿射期限结构模型。一般均衡模型是使用频率较高的动态期限结构模型，包括Vasicek模型、CIR模型和CKLS模型等单因素模型及Fong-Vasicek模型和Longstaff-Schwarta模型等多因素模型。无套利模型则基于无套利定价原理，常见的形式有Ho-Lee模型、Hull-White模型和HJM模型。近年来基于Nelson-Siegel-Svensson期限结构的动态模型成为一个重要的研究方向。
近年来，一些学者开始使用宏观经济信息来构建利率期限结构模型，由此带动了宏观金融模型的飞速发展。宏观金融模型对利率期限结构因子的经济含义进行了深入分析，对期限结构潜因子与宏观经济变量之间的交互作用机制进行了深入讨论。新近的宏观金融模型大多建立在无套利仿射期限结构模型的基础上，同时使用潜因子信息和宏观经济变量信息来对利率期限结构进行解释，包括简约型宏观金融模型和结构化宏观金融模型两种类型，前者仅仅是在仿射期限结构模型的基础上在状态变量或潜因子向量中增加宏观经济变量，后者则对两者之间的交互影响和宏观经济结构进行了考虑。此外，挖掘利率期限结构动态演变过程中蕴含的货币政策和财政政策信息也是近期研究的一个重要方向。
尽管如此，利率期限结构的国内外研究依然存在如下不足：（1）现有的动态期限结构模型和宏观金融模型对各国中央银行的实践重视程度不够。由于Nelson-Siegel模型及其Svensson扩展形式采用指数多项式函数来估计利率期限结构，利率曲线处处多阶可导，满足光滑性，模型参数具有较强的经济含义，模型拟合结果比较符合利率期限结构的预期理论，因此许多国家中央银行在实践中选择使用NS模型或NSS模型。根据国际清算银行（BIS）2005年10月的技术文档，中央银行在估算利率期限结构时，多数采用NS或NSS模型，只有日本单独采用平滑样条（SS）模型，美国同时采用SS和NSS模型。尽管如此，NS模型和NSS模型却不满足无套利条件，基于NS或NSS期限结构的动态利率期限结构模型和宏观金融模型有待深入研究。因此，结合各国央行的实践，基于NS或NSS期限结构来深入研究动态利率期限结构模型和宏观金融模型，考察其货币政策和财政政策含义，具有重要的理论意义和现实意义。（2）具体政策应用有待深入研究。利率期限结构宏观金融模型的最新趋势是对宏观经济变量与期限结构因子之间的同时相关性和反馈机制进行深入研究，尽管这一领域在近几年得到了飞速发展，但这些模型与具体的政策应用之间还有很长的距离。利率期限结构宏观金融模型在“结构稳定性”和“具有时变性的通货膨胀不确定性”方面存在重大挑战。（3）国内对宏观金融模型及其蕴含的货币政策和财政政策信息的研究有待加强。国内学者目前的注意力主要集中在利率期限结构的拟合上，很少有人关注相关的宏观经济结构，因此有必要深入考察我国利率期限结构和宏观经济结构的结合问题，尽可能使用宏观金融模型所蕴含的重要信息来制定货币政策和财政政策，观察货币政策和财政政策措施的实施效果，了解市场参与者对经济变量的预期，判断通胀缺口和产出缺口的变化趋势，优化下一步的货币政策和财政政策措施，从而提高货币政策和财政政策的有效性。
本书的写作主要有以下三个目的：第一，系统全面地梳理利率期限结构的最新理论和实证研究成果。第二，对Nelson-Siegel和Nelson-Siegel-Svensson期限结构模型进行深度解析，基于我国国债市场数据比较分析其在收益率曲线拟合方面的性能。基于迭代局部多项式逼近等方法构建动态版本的NS期限结构模型，实证考察对我国国债市场较为适用的动态NS模型。第三，结合宏观经济变量信息和各国中央银行利率期限结构的估计实践，构建基于动态NS期限结构的宏观金融模型，实证考察其在拟合数据方面的优势，分析其隐含的货币政策和财政政策含义，为我国货币政策和财政政策的制定提供相关建议。
1.2 本书的结构安排
全书共分七章。其中第一章是导言，第二章是文献综述，第三到七章是论文的主体部分。本书主体部分的框架结构如图1-1所示。各章的具体内容如下。图1-1 本书的研究框架
第二章是文献综述。这一章对利率期限结构的理论、模型和估计方法等进行系统的梳理和总结，为后续研究奠定基础。利率期限结构的理论和模型主要包括“传统”利率期限结构理论、静态估计方法、动态期限结构理论和宏观金融模型等。这一章先对纯粹预期理论、流动性升水理论、市场分割理论和优先偏好理论等“传统”利率期限结构理论进行分析，尽管这些理论和模型提出时间较早，但至今仍有较多文献进行实证分析。然后，我们对静态利率期限结构的估计方法进行总结，常见估计方法主要有样条函数方法、息票剥离方法和Nelson-Siegel方法，而样条方法又有多项式样条方法、指数样条方法、B样条方法和平滑样条方法等类型，不同方法拟合收益率曲线的效果也不一样。第三节阐述动态利率期限结构理论，在仿射期限结构模型的基础上，我们对几个经典的均衡模型和无套利模型及其相关文献进行了总结。这一章最后一节对近年来发展较为迅速的利率期限结构宏观金融模型进行分析，宏观金融模型将宏观经济结构与微观金融结构之间的作用机制联系起来，使用收益率曲线因子信息和宏观经济变量信息来对利率期限结构进行建模。
第三章是Nelson-Siegel和Nelson-Siegel-Svensson利率期限结构静态模型及其实践应用。这一章先基于二阶线性微分方程的解来推导Nelson-Siegel期限结构模型，然后阐述Nelson-Siegel期限结构模型的估计方法和各个参数的经济含义，在此基础上导出Nelson-Siegel-Svensson期限结构模型的具体形式。在对各个国家中央银行静态利率期限结构的估计方法进行总结的基础上，先使用我国国债市场数据对几种特殊形状收益率曲线进行拟合，对比分析息票剥离方法、平滑样条方法、NS方法和NSS方法的拟合效果，最后使用2010年上证券交易所国债交易的每日数据对这几种收益率曲线拟合方法进行更为全面的对比分析，综合考察Nelson-Siegel和Nelson-Siegel-Svensson的拟合性能。
第四章是动态Nelson-Siegel利率期限结构模型及其实证分析。这一章先对Diebold-Li两步估计法动态Nelson-Siegel模型进行分析，阐述估计的具体流程，然后分析具有仿射期限结构的动态Nelson-Siegel模型，最后使用2004—2013年期间上海证券交易所月度国债交易数据进行实证分析。
第五章是基于局部迭代多项式逼近的动态Nelson-Siegel利率期限结构模型。Diebold-Li两步估计法动态Nelson-Siegel模型的基础是息票剥离方法，这种方法的实践效果并不理想，而局部迭代多项式逼近方法有着非常优良的统计性质，近年来在诸多学科中有着非常广泛的应用，本章用这种方法来替代息票剥离方法，得到了基于局部迭代多项式逼近的动态NS模型。基于我国国债交易数据对LDNS、BDNS和SDNS三种动态Nelson-Siegel利率期限结构模型进行比较分析，证实了LDNS方法拟合收益率曲线方面的优势。
第六章是动态Nelson-Siegel利率期限结构模型因子的含义研究。众多学者基于静态NS模型得出的水平因子、斜率因子和曲率因子对收益率曲线的累积解释能力较强，动态Nelson-Siegel利率期限结构模型是否具有类似的优良性质，本章对这一问题进行考察。基于BDNS、LDNS和SDNS三个动态NS利率期限结构模型，分别考察三个动态因子与期限特征和形状特征之间的联系，分析了动态因子的含义。
第七章分析动态Nelson-Siegel利率期限结构模型与宏观经济之间的联系。前面的分析都没有涉及宏观经济变量，但现实情况是，利率期限结构蕴藏着非常丰富的宏观经济信息，这些信息可以为中央银行制定货币政策提供参考，而宏观经济的变动又会反过来对利率期限结构产生影响，因此这一章对两者之间的交互关系进行考察。先使用向量自回归模型中的脉冲反应函数对宏观经济变量和收益率曲线动态因子之间的关系进行考察，然后使用简约型宏观经济模型来对收益率曲线进行建模，宏观金融模型相对于LDNS模型的预测优势也得到了印证。
1.3 本书的主要创新点
本书的主要创新之处体现在以下几个方面：（1）对该领域的相关文献进行了较为全面的综述。本书对利率期限结构的研究成果进行了全面系统的梳理和总结，对现有成果进行了评述，对可能的发展方向进行了展望。尽管国内已有部分文献对利率期限结构的静态估计方法和动态期限结构模型的估计方法进行了介绍，也有部分文献对这些方法在我国的实践应用进行了尝试，但对新近发展的宏观金融模型进行系统跟踪的文献却并不多见。（2）对各国央行估计利率期限结构的实践进行了总结，对Nelson-Siegel期限结构模型的各种发展版本进行了对比分析，基于局部迭代多项式逼近等方法构建了动态Nelson-Siegel期限结构模型和宏观金融模型。（3）使用我国国债交易市场的数据，对Nelson-Siegel模型在静态收益率曲线的拟合性能方面进行了实证考察，对构建的多种形式的动态Nelson-Siegel模型和宏观金融模型的实践状况进行了深入分析，对动态Nelson-Siegel期限结构模型动态因子的经济含义进行了深入考察。本书的研究可以为我国货币政策和财政政策的制定、优化和完善提供参考。
2 文献综述
在金融市场上，不同种类、不同期限的资金使用有着不同的利率可以用利率结构理论来解释，利率结构包括期限结构、风险结构和信用差别结构，期限结构是利率结构的核心。利率期限结构指具有相同风险、流动性及税收待遇，但期限不同的金融工具具有不同的利率水平，反映了期限长短对其收益率的影响。利率期限结构不仅是固定收益证券和金融衍生品定价的基础，也是金融产品设计、套期保值和风险管理等活动的基础。近年来，利率期限结构所蕴含的财政政策和货币政策含义受到众多学者和政策制定者的高度重视。
利率期限结构理论可以分为传统利率期限结构理论和现代利率期限结构理论。传统利率期限结构理论包括纯粹预期理论、流动性升水理论、市场分割理论和优先偏好理论，主要研究收益率曲线的形状及形成原因，利率期限结构的估计以静态估计方法为主。现代利率期限结构理论以无套利框架下的动态期限结构理论为主，重在研究利率的动态演变过程，常用的模型框架是无套利仿射期限结构模型（Affine Term Structure Models，ATSM）。尽管无套利仿射期限结构模型能很好地拟合收益率曲线的动态行为，但无法对期限结构因子（Term Structure Factors）进行经济解释。近年来，现代利率期限结构理论领域的一个重大进展是，在无套利仿射期限结构模型基础上同时对期限结构因子与宏观经济变量进行建模，对微观金融结构与宏观经济结构之间的交互作用机制进行分析，利率期限结构宏观金融模型（Macro-finance Model of the Interest Term Structure）得到飞速发展。
本章对利率期限结构的国内外研究现状进行述评，结构安排如下：第一节对传统利率期限结构理论进行回顾，第二节对静态利率期限结构估计方法进行总结，第三节对动态期限结构模型进行梳理和总结，第四节对宏观金融模型的新近发展进行概括。
2.1 传统利率期限结构理论
传统利率期限结构利率主要包括预期理论、流动性升水理论、市场分割理论和优先偏好理论。（一）市场预期理论
市场预期理论认为，预期是决定未来利率水平的唯一因素，当前利率期限结构是对未来利率变化的一种预期。只要能获得未来利率预期的足够信息，就可以判断利率期限结构的形状：当预期未来市场短期利率上升时，利率期限结构会向上倾斜；当预期未来市场短期利率下降时，利率期限结构则会向下倾斜。一些实证研究为市场预期理论在利率预测方面的重要作用提供了事实支持。Fama（1984）发现，长短期利差对未来的短期利率变化具有一定的预测功能；Mankiw和Miron（1986）认为市场预期理论可以很好地解释美国市场利率期限结构的变动；Fama和Bliss（1987）发现中长期的利差在一定程度上可以预测未来短期利率的变化，但是他们同时也拒绝了预期理论的假设条件。
尽管市场预期理论在实践中得到了一定的支持，但它却无法对金融市场上“收益率曲线通常向上倾斜”的情况作出足够的解释。McCulloch（1938）首先指出预期理论的结论几乎与现实经验相反；Summers（1984）和Schoenholtz（1983）等考察了美国战后以来的收益率数据，结果表明1年期以下的美国国债收益率并不遵循市场预期理论，真实数据与市场预期理论产生的这种冲突，导致很多学者主张拒绝该理论。（二）市场分割理论
市场分割理论认为，期限不同的债券市场之间是完全分离和独立的，每一种债券的利率水平在各自的市场上，由对该种债券的供给和需求决定，不受其他期限债券的影响。由于不同市场之间的差异和投资者面临的众多投资限制，比如风险水平的限制、头寸的限制等，导致他们不会轻易离开原先的市场而进入一个不同的市场，从而导致了不同市场之间的利率差异。
市场分割理论具有一定的现实意义。一些研究成果表明，市场分割对利率期限结构具有一定程度的影响。Kidwell和Koch（1983）研究了美国市政债券和联邦政府国债后发现两者之间存在明显的市场分割现象，即地方政府发行的短期债券和联邦政府发行的长期债券之间很难相互替代。然而市场分割理论也受到了市场预期理论支持者的批评，他们认为金融市场的运行效率远高于市场分割理论所形成的市场效率，投资者事实上更愿意在不同期限的市场之间转移资金，而不是固守于某一细分市场停滞不前。（三）流动性偏好理论
流动性偏好理论最早由Hicks（1946）提出，该理论认为金融市场是有风险的，投资者持有长期债券的风险大于持有短期债券的风险，如果不向长期债券持有者进行补偿，则投资者将偏好于短期债券，这样可以降低风险和增加流动性。但从借贷的角度来看，借款人却又偏好长期借款以保证他们有稳定的资金来源。这就导致了对不同期限证券的供给和需求形式上的不平衡。因此，该理论断言投资者和投机者都是风险厌恶的，必须向长期债券的投资者进行风险补偿。
流动性偏好理论是对市场预期理论和市场分割理论的综合和发展。市场预期理论将不同期限的债券市场视为可完全相互替代的，不同投资方式的预期收益率相等。而市场分割理论则认为，不同期限的债券之间是完全不可替代的，一种期限债券利率的变动不会影响到另外一种债券。流动性偏好理论既考虑了投资者的投资偏好，也考虑了不同债券之间的可替代性。其理论关键假设是不同期限的债券之间可以相互替代，这意味着预期仍然可以影响不同期限债券的预期回报率，但同时这些债券并非完全的替代品，投资者对短期债券和长期债券偏好不同的事实说明流动性偏好也会影响预期回报率。
流动性偏好理论对远期利率的预测能力已经得到大多数学者的认同，但学者在对流动性溢价是否可能为负和流动性溢价大小方面学者展开了激烈争论。Merton（1973）、Cox等（1985）、Breeden（1979）等人认为流动性溢价是随时间变化的，但并不是时间的递增函数，隐含了溢价为负的可能；Fama和Bliss（1987）认为当经济陷入萧条时，预期的流动性溢价可能会为负。在衡量流动性溢价大小方面，一些学者认为不会超过0.5%，而有部分学者的研究成果表明流动性溢价不仅不会随着时间而增加，反而会随着期限的延长而降低。（四）优先偏好理论
优先偏好理论认为不同类别的投资者具有优先偏好习惯，这使投资者一般会处于自身偏好的期限市场进行交易。不过他们并不会把自己锁定在某一特定的细分市场，也会出于收益率方面的考虑在不同的市场之间转换。优先偏好理论实质上是市场分割理论和流动性偏好理论的折中：一方面承认市场上由于各种因素的影响，会存在市场分割现象；另一方面，它又认为只要有足够大的收益率“诱惑”，投资者就会在长期和短期市场之间发生转换。也就是说，投资者在消费和储蓄之间的偏好结果会影响他们对投资期限的选择，这样一旦出现有利机会，他们就会离开原先的期限市场。
但是，很多时候优先偏好理论并不作为一种独立的理论而存在，有时它作为一种对预期理论的修正和补充，有时又被看作市场分割理论的另外一种变形，导致这一结果的原因是走中间道路的优先偏好理论事实上是以三大理论为基石的：一是期限偏好；二是对未来短期利率的预期；三是补偿性质的流动性溢价。
2.2 利率期限结构的静态估计方法
利率期限结构的静态估计是对某个时点的收益率曲线进行拟合与分析，常用的方法有样条函数方法、息票剥离方法和Neslon-Siegel方法等，样条函数方法又包括多项式样条模型、指数样条模型、B样条模型和平滑样条模型等类型。这一节对这些方法的思想和相关文献进行综述。（一）多项式样条模型
Mcculloch（1971）最早提出了二次多项式样条模型。设D（t）为贴现函数，二次多项式样条模型使用二次样条函数分段估计贴现函数，再对收益率曲线进行拟合，分段数目也被称为节点数。使用二次多项式样条函数拟合的远期利率曲线一阶不连续，因此拟合效果并不理想。Mcculloch（1975）意识到了二次样条函数方法的这一缺陷，并使用三次多项式来替代二次多项式，取得了更好的拟合效果。
多项式样条函数方法理论上可以使用任意阶数的多项式函数来代替二次多项式，但在实践过程中多项式阶数的选择至关重要。阶数选择过低，可能导致拟合的收益率曲线不够平滑，当阶数小于三阶的时候甚至可能出现一阶不连续的情形。阶数选择过高，可能导致待估参数较多，过度参数化问题也可能发生。诸多实践经验表明，三次多项式样条函数方法的拟合效果较好，部分国家中央银行公布的收益率曲线信息使用的就是这种方法。
设T，T，T…为多项式样条函数估计过程中的分段时点，在三123次多项式样条方法中，贴现函数的D（t）具体形式为：
在三次多项式样条模型中，节点数的选择也很重要，直接关系到拟合的具体效果。节点数太少，待估参数少，所拟合的曲线较为平滑，但拟合准确度较低；如果节点数目太多，待估参数较多，拟合准确度有所提升，但所拟合曲线的平滑性会受到一定的影响。一般的做法是将节点数选择为3，因此待估参数为12个。
此外，由于贴现函数D（t）在初始时刻的值为1，因此它还必须满足初值条件：D（0）=1。为了保证分段函数的平滑性和可导性，对i=0，1，2而言，贴现函数还应满足以下约束条件：（二）指数样条模型
从实践效果来看，二次多项式和三次多项式样条模型拟合的远期收益率波动性都很大，对长期国债品种较为缺乏的市场上，多项式样条方法还会导致收益率曲线远端震荡幅度较大的现象。为了解决这一问题，Vasicek和Fong（1982）使用指数样条模型来拟合收益率曲线。指数样条模型中贴现函数为：
指数样条模型与多项式模型的差异体现在贴现函数的形式上。由于指数函数的衰减性质与收益率曲线的形状较为相似，样条函数方法能较好地刻画收益率曲线的变化特征，对长期收益率的拟合效果也有着较为显著的改善，因此这种方法在实践中被广为使用。（三）B样条模型
Shea（1984）认为，指数样条模型在拟合长期收益率曲线时，尽管波动性有所改善，但拟合效果并不理想，多重共线问题较为严重。为了解决这一问题，Shea提出了拟合收益率曲线的B样条函数方法。
B样条模型使用B样条函数的线性组合来分段逼近贴现函数，贴现函数的形式可以表示为：
g（t）为B样条函数，b为相应系数。k为B样条函数的个数，在ii一般情形中k=3+M，M为当前时点与最长到期日之间的分段区间个数。
为了得到较为平滑的收益率曲线，一般要求B样条函数二阶连续可导。常用的B样条函数为：
其中，s=1，2，…，k。显然，B样条函数具有局部非零的特性。当t∈（T，T+4）时，g（t）≠0，g（t）在其他时点均为0。ssss（四）平滑样条模型
在多项式样条模型、指数样条模型和B样条模型中，待估参数的个数由节点数目决定，而节点数的不同选择会导致拟合结果出现较大的差异。一般而言，节点的选择会在估计偏差和估计方差之间寻找平衡。节点数过多，估计偏差较小，但估计方差较大，所拟合的收益率曲线波动较大；节点数过少，估计偏差较大，但估计方差较小，所拟合的收益率曲线较为平滑。
Fisher等（1995）使用平滑技术对三次多项式样条模型进行了改进，模型对估计偏差和估计方差赋予同等重要的地位。为了在收益率曲线拟合偏差和方差之间实现良好的平衡，他们在目标函数中增加了一个惩罚项来控制收益率曲线的拟合波动幅度，相应目标函数为：
其中，为债券价格的估计结果，τ为债券的最大剩余期max限，λ为惩罚参数，一般取正数。
目标函数包含两个部分，第一部分度量的是拟合债券价格的偏差，第二个部分为平滑程度的度量。惩罚参数λ是模型偏差和方差之间的相对“比重”。如果λ取值为1，那么模型中的偏差和方差同等重要。如果λ的值大于1，那么方差更为重要。如果λ的值小于1，则偏差更重要。（五）息票剥离方法
收益率曲线一般无法直接观测，在金融市场上，我们能观察到的是债券价格。如果债券市场交易品种中存在较多的零息债券，那么收益率的计算较为简便。但是，在绝大多数国家中，绝大多数国债品种是附息债券，在国债存续期内的多个时刻存在现金流支付，因此我们需要基于附息国债的交易数据来拟合收益率曲线。
息票剥离方法（Bootstrap Method）是Fama和Bliss（1987）所提出的一种拟合收益率曲线的方法，这种方法将附息债券的本金和息票支付剥离成多个不同期限的零息债券。先计算出第一期的零息债券收益率，然后通过反复迭代的方法计算以后各期的零息债券收益率。这种方法在实践中使用的频率较高，拟合收益率曲线的很多方法都以此为基础。
设t为所有债券到期时间中的最小值，r为其对应的零息债券到0t0期收益率。对到期时间小于一年的债券而言，由于未来只有一次现金流支付，即到期后的还本付息，因此可以将其视为零息债券。假设这类国债的交易价格、到期时刻的现金流和到期时间分别为P、M和t，111在连续复利情形下，可以通过如下公式来计算零息债券的到期收益率：
由此得到到期时间为t的零息债券收益率r。1t1
对到期时间大于一年的附息国债，未来现金流除到期时刻的还本付息外，期间还有利息支付。息票剥离法将附息国债的每次现金流支付视为不同到期时间和面值的零息国债在到期时刻的现金流支付。根据一价定律，附息国债与零息国债组合的市场价格应相等：
其中，P为债券的交易价格，C为息票支付，M为到期后的现金22支付，t和t分别为息票支付时间和到期时间，相应期限的收益率分23别为r和r。t2t3
如果期限t＜t，那么对期限为t和t的债券收益率进行插值就可2101以得到：
如果期限t＞t，那么对期限为t和t的债券收益率进行插值就可2113以得到：
以此类推，使用息票剥离方法可以得到任意期限债券的到期收益率。（六）Nelson-Siegel-Svensson方法
很多国家中央银行收益率曲线拟合实践常用的方法是Nelson-Siegel方法或Nelson-Siegel-Svensson方法。这类方法最早为Nelson和Siegel（1987）所提出，Svensson（1994）对其进行了扩展。Nelson-Siegel模型和Nelson-Siegel-Svensson模型分别经常被简写为NS模型和NSS模型，模型形式分别为：
这类方法具有待估参数少、参数经济含义明确和模型解释能力强等优点。详细分析和讨论参见本书第三章。（七）我国利率期限结构的静态估计实践
随着我国利率市场化步伐的加快和国债市场的不断发展，估计我国利率期限结构变得越来越重要，众多学者对我国静态利率期限结构的估计问题进行了探索。杨大楷和王欢（1999）、姚长辉和梁跃军（1998）、陈雯和陈浪南（2000）等对我国的利率期限结构相关问题进行过研究，但他们的研究集中于国债到期收益率，但附息国债的主体地位使得到期收益率曲线并不是真正意义上的利率期限结构。郑振龙和林海（2003）使用息票剥离方法和样条估计方法对上海证券交易所附息国债价格数据进行了分析，中国真正意义上的静态利率期限结构研究自此开始。
杨宝臣和李彪（2004）将息票剥离方法和三次多项式样条模型有机地结合起来，提出了广义息票剥离模型。他们的模型在息票剥离方法中，使用三次多项式样条插值方法引入附加方程，通过求解方程组来得到相应的到期收益率。这种方法能有效地解决息票剥离方法中债券付息时间间隔不一致的问题。赵宇龄（2003）对多项式样条模型、NS模型和NSS模型进行比较分析，认为NS模型更加适合我国债券市场。范龙振和王晓丽（2004）使用NS模型对我国利率期限结构进行了实证分析，也发现NS模型拟合利率期限结构的效果较为理想。朱世武和陈健恒（2003）对多项式样条模型和NSS模型在我国的拟合实践进行了比较分析，发现多项式样条模型对于收益率曲线的拟合精度较高，能很好地刻画短期和中期收益率曲线，但样条模型拟合的长期收益率曲线呈幂级数上升形状，这与实际情况并不相符。NSS模型拟合精度虽不如多项式样条函数高，但能较为灵活地刻画收益率曲线的形状特征，特别是长期收益率曲线，所拟合收益率曲线也较为平稳，比较符合现实情况。
刘灿和易璐（2004）基于深沪两市国债交易数据，利用B样条模型对我国收益率曲线进行了实证分析，认为B样条模型能够较好地拟合我国利率期限结构，对我国债券市场较为适用。唐革榕朱峰（2003）对NSS模型和三次B样条模型在我国国债市场上的拟合效果进行比较分析，结果表明，两个模型各有所长，NSS模型在拟合精度上占优，而三次B样条模型在拟合曲线的稳定性上表现更好。傅曼丽等（2005）基于上海证券交易所国债交易数据对B样条模型、多项式样条模型、NS模型和NSS模型进行系统分析。结果表明，NS模型和NSS模型所构造的收益率曲线规范性较好，但在拟合精度上的牺牲较多。多项式样条模型和B样条模型在拟合精度方面具有明显的优势，从综合效果来看，B样条模型的拟合效果最好。郭涛和宋德勇（2008）、周子康等（2008）分别采用NSS模型和扩展到高阶指数后的NSS模型进行了实证分析，何启志等（2008）却选择多项式样条函数和指数样条函数来对收益率曲线进行估计，而胡海鹏和方兆本（2009）使用的则是平滑样条方法。
2.3 利率期限结构的动态模型
不同时点的收益率曲线形状有可能不同，收益率曲线随着时间演变也可能不同，因此需要对收益率曲线的动态演变趋势进行分析和建模。利率期限结构的动态模型重在研究利率的动态演变过程，常见的动态模型主要有一般均衡模型和无套利模型两种类型，近年来基于Nelson-Siegel-Svensson期限结构的动态模型成为一个重要研究方向。（一）仿射期限结构模型的基本框架
仿射期限结构模型是一类特殊的动态期限结构模型，这类模型用仿射函数来刻画债券到期收益率与状态变量之间的关系，模型推导和估计较为容易，对数据的拟合效果较好。绝大多数动态期限结构模型都是在无套利放射期限结构模型的框架基础上进行构建的。（1）无风险零息债券的定价。在无套利条件下，无风险零息债券的持有期收益应等于短期无风险利率的平均值，期限为T的零息债券在t时刻的价格可以表示为是风险*中性概率测度Q下基于t时刻信息的条件数学期望，r是短期无风险利u*率。如果知道真实概率测度Q与风险中性概率测度Q之间的测度变换和短期利率r的动态行为，那么我们就可以通过零息债券的价格来推u导出利率期限结构。（2）仿射期限结构模型。刻画短期利率动态行为的方法有很多种，但仿射方法（affine approach）是最为常用的方法。在仿射期限结构模型中，短期利率的动态行为一般用状态变量向量或潜因子向量*x的仿射函数来刻画，。状态变量向量x是Qtt*测度下的时间齐次马尔科夫过程，一般用Q测度下的仿射扩散过程来对其进行刻画，分别表示x的飘逸系数和扩散系数，通常用x的仿射函数来进行描述，z是ttt均值为0、方差为dt的标准维纳过程。如果x只包含短期利率变量r，tt且σ（x）=σ，那么这就是著名的Vasicek（1977）模型。如果t，那么这就是著名的Cox-Ingersoll-Ross（1981）模型（CIR模型）。如果x包含两个因子，且扩散系数的设定与CIR模型t相同，那么这就是著名的Longstaff-Schwartz（1992）模型。（3）风险的市场价格与定价核。基于上述框架要获得零息债券*的闭型定价公式，还必须知道Q与Q之间的联系纽带，即“风险的市场价格”（market price of risk）。引入这一概念的标准方法是随机折现因子（Stochastic Discount Factor，SDF）和定价核思想（Cochrane，2005）。零息债券价格的递归公式可以表示为是随机折现因子或定价核。是常见的设定形式，λ仍然可t以用标准的仿射过程来进行刻画，。
至此，我们就可以得到利率期限结构了，这就是仿射期限结构模型的基本思想。仿射期限结构模型能很好地描述收益率曲线的动态行为，能对利率期限结构的众多典型事实进行合理解释，但模型过于依赖于不可直接观察的潜因子，无法对期限结构因子进行经济解释，对驱动利率运动的真实力量没有进行考察（Rudebusch和Wu，2008），也无法回答利率与宏观经济变量之间的关系（Andreasen，2008），这对宏观经济学家和货币政策制定者而言是无法接受的。（二）单因素模型
Vasicek模型是Vasicek（1977）提出的单因素模型，短期利率是模型中唯一的影响因素。Vasicek模型在风险中性概率测度下对瞬时即期利率进行建模，瞬时即期利率的演变满足如下微分方程：
其中，r（t）为瞬时即期利率，a、b和σ为常数，w（t）为维纳过程。即期利率的均值和方差分别为：
T年期零息债券的价格为：
Vasicek模型的形式较为简单，微分方程中的a和σ为常数，不随时间而变化，没有考虑收益率中的GARCH效应，模型演绎出的利率也可能为负数，这与现实并不一致。尽管Vasicek模型存在上述缺陷，但也具有待估参数少、易于使用和拟合效果较为理想等优点。
在此基础上，Cox、Ingersoll和Ross（1985）基于消费者跨期效用最大化问题提出了另外一个单因子模型（CIR模型）。模型对应的微分方程为
与Vasicek模型类似，模型的漂移系数带有均值特征，但扩散系数是短期利率的函数。
总体而言，CIR模型的估计效果较好，模型能较为准确地拟合收益率曲线的动态变化特征，因而受到较为广泛的应用，但模型计算较为复杂。
Chan、Karolyi、Longstaff和Sander（1992）所提出的单因子模型，将前述模型进行了总结和扩展，模型所满足的微分方程为：
CKLS模型与Vasicek模型和CIR模型在漂移项的设定上是一致的，都认为利率具有均值反转的特征，但模型的漂移项设定不同。ρCKLS模型的漂移项为σr（t），ρ的不同取值代表了不同类型的模型。当ρ=0.5时，CKLS模型就是CIR模型；当令ρ=0时，CKLS模型就是Vasicek模型。
众多文献对CKLS模型中参数ρ的取值进行了研究。Chan等（1992）基于美国国债数据，使用GMM方法对收益率曲线进行了估计，结果表明，当ρ为1.5时模型的拟合效果最好。Tse（1995）基于七个国家的国债交易数据，使用GMM方法对模型进行了估计，结果表明，ρ在0.17～0.2之间取值的时候，模型效果最好。Nowman（1997）基于美国国债数据，使用极大似然估计方法对参数ρ的取值进行了估计，结果表明ρ值为1.36。CKLS模型ρ的不同取值，模型弹性设定能很好地适应各种不同特征的市场，提高模型的拟合能力。（三）多因素模型
金融世界较为复杂，利率期限结构的动态演变很有可能受多个因素的影响，而不是由单一因素所驱动。多因素模型对前面的单因素模型进行了拓展，常用的多因素模型主要有Fong-Vasicek模型和Longstaff-Schwarta模型。
部分学者对不同期限的收益率序列进行了主成分分析，发现第一和第二两个主成分对收益率曲线的动态演变有着很强的解释力，在此基础上产生了两因素模型。早期的绝大多数两因素模型都是将不同期限的两个收益率序列视为驱动因素，其中较为常见的形式是以长短期收益率之差作为驱动因子之一，但Brown和Dybvig（1988）对此提出了质疑。如果构建动态期限结构模型的目的只是对收益率曲线的水平高低和波动性作出解释，那么斜率因子的加入可以将模型解释方差的能力提高到95%以上。但是，如果模型的构建目的是对利率衍生产品定价，那么斜率因子加入后的效果就不太理想，而用第一主成分去替代斜率因子可能效果会更好一些。
Fong和Vasicek（1992）沿着这种思路对Vasicek模型进行了扩展，在飘逸系数中加入了随机方差项v（t），从而构建了如下两因子模型：**
其中，r和v分别表示短期利率水平和波动率的均值，w（t）和1w（t）是相关系数为ρ的两个维纳过程，短期利率及其波动率都具有2均值反转特征。
Longstaff和Schwarta（1992）对CIR模型进行了扩展，将短期利率的方差作为因素加入到CIR模型中，得到了另外一个两因子模型：
其中，a，b，c，d，e，f为常数，w（t）和w（t）相互独立。12
Longstaff和Schwarta模型与其他两因素模型不同的是，模型没有直接把短期利率及其波动率视为两个驱动因子，而是以它们为基础来构建两个组合X（t）和Y（t），并以它们为驱动因素。尽管如此，Longstaff和Schwarta（1992）没有对因素X（t）和Y（t）的经济含义进行解释，只假设因素X（t）和Y（t）具有均值反转特征，短期利率r（t）及其波动率v（t）与X（t）和Y（t）之间具有如下关系：
尽管Longstaff和Schwarta模型能够较好地刻画收益率曲线的动态演变规律，但模型设置过于复杂，无法得到解析解，只能使用数值方法求解，因此模型在实际过程中的应用反而受到限制。（四）单因素和多因素模型在我国的应用
国内已有众多学者使用单因素模型和多因素模型对我国国债市场数据进行了实证考察。谢赤和吴雄伟（2002）基于中国债券市场的数据，使用广义矩估计方法，对Vasicek模型和CIR模型进行了实证分析，得到了比其他估计方法更为显著的估计结果。陈典发（2002）对广义Vasicek模型的一致性问题进行了研究，得到了模型与实际收益率曲线相匹配的参数值设定和初始条件。刘艳春和高立群（2004）基于仿射变换函数将多因子随机均值模型推广到了多因子仿射期限结构模型，潘冠中（2004）认为在使用单因子模型时，样本数据的选择应尽量选取交易最为常见和成交量最大的债券，单因子模型估计样本数据的选择应坚持相关性原则。范龙振（2005）基于1996年3月至2003年2月的上海证券交易所月度国债交易数据对两因子模型进行了比较研究，结果表明，广义高斯仿射模型的拟合效果最好，Vasicek模型和CIR模型的拟合效果相差不大。
吴恒煜（2006）在对单因素模型和多因素模型的构成方式和存在的问题进行梳理和总结的基础上，使用短期利率及其均值作为刻画收益率曲线变动的两个驱动因素，刘薇和范龙振（2006）分别选取上海证券交易所和银行间债券市场债券交易数据，使用广义矩估计对CKLS模型进行实证分析，结果表明，上海证券交易所收益率曲线的均值反转速度明显大于银行间市场，CKLS模型在银行间市场上几乎没有预测效果，在交易所市场上却能够表现出一定的预测能力，但预测效果并不十分理想。范龙振（2007）选取上海证券交易所到期时间为0.5年的债券周度交易数据进行实证分析，结果表明，单因子模型在上海证券交易所的实用性较差。王春峰等（2008）还在一般均衡模型中考虑通货膨胀和实际利率水平等多种因素对收益率曲线的影响，在此基础上建立了多因素仿射期限结构模型。
张玉桂等（2009）基于上海同业拆借市场国债交易数据对Vasicek模型和CIR模型在我国国债市场上的适用情况进行了考察后得出的结论是，在上海同业拆借市场上这两个模型均能够对收益率曲线的动态变化规律进行很好的刻画，相对而言Vasicek模型的拟合效果更胜一筹。张蕊等（2009）使用多因子模型对上海证券交易所国债的流动性溢价问题进行实证研究，得出的结论是，上海证券交易所中长期国债交易市场存在比较明显的流动性溢价现象。（五）无套利模型及其在我国的应用
一般均衡模型以市场均衡为基础，而无套利模型则基于无套利定价原理。常见的无套利模型主要有Ho-Lee模型、Hull-White模型和HJM模型。
Ho和Lee（1986）在市场无摩擦、完全和在规定时间市场出清等条件下，基于无套利原理提出了与均衡模型完全不同的收益率曲线模型。模型在离散的二元格点结构中描述贴现函数的变化。首先，确定贴现函数的一个初始状态，记为零状态（D，0）。然后，假设下一0时刻贴现函数可能出现上升（D，1）或下降（D，1）两种状态。10记号D，t中第一个下标s表示每一个状态下贴现函数是上升还是下降，s如果上升则s增加1，如果下降则s不变，第二个下标t表示所处的时间状态。第二期可能出现状态有三种D，2、D，2和D，2。Ho-Lee模012型假设贴现函数的上述路径互不相关，只与上升和下降的次数有关，模型基于风险中性概率测度π和随机扰动函数在无套利假设下来描述贴现函数二元格点的随机变化规律，在此基础上刻画整个收益率曲线的变化规律。
Ho-Lee模型构建思路较为简洁，计算较为方便，无套利假设在很多情形下与金融现实较为接近，但模型也存在一定的不足，初始状态是外生设定的，不同的初值导致的模型结果存在一定的差异。模型隐含地假定长期利率和短期利率有着相同的波动率，但这与事实并不相符。
Hull和White（1990）将Vasicek模型中的参数设定为随着时间演变会发生变化的形式，在此基础上演绎出Hull-White模型：
ρ在这里是一个常数。为了拟合初始期限结构，可以把k（t）和σ（t）作为时变函数，基于现行市场价格来对模型进行校准。Hull-White模型可能导致收益率不稳定，尽管漂移项具有均值反转特征，但利率却可能为负值。
HJM模型是由Heath、Jarrow和Morton（1992）提出的，通过对远期利率建模来刻画收益率曲线的动态演变。模型假设t时刻的瞬时远期利率f（t，T）满足如下方程：
到期日为T的零息债券的价格B（t，T）为：
在HJM模型中，基于无套利条件，金融市场上的所有资产都可以通过无风险资产和其他资产的组合来进行复制，一旦确定了债券的波动率，就可以对债券进行定价。
国内已有部分文献使用无套利模型来考察我国利率期限结构的建模问题。谢赤和陈晖（2004）对一般均衡模型和无套利模型进行了系统梳理和总结，谢赤（2001）将我国债券交易数据中的时间序列和横截面信息结合起来，使用卡尔曼滤波的方法对HJM模型进行实证分析，有效地解决了样本数据不足的问题，屈庆和王桂兰（2005）基于两个布朗运动来考虑HJM模型中的问题，杨宝臣和苏云鹏（2010）还对HJM的估计方法问题进行了探索。
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]