作者：圣才电子书
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尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第11版）课后习题详解试读：
第一篇 引言
第1章 经济模型
本章没有课后习题。本章是全书的一个引言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。
第2章 微观经济学中的数学工具
221．已知U（x，y）＝4x＋3y。（1）计算。（2）当x＝1，y＝2时，求这两个偏导数的值。（3）写出U的全微分。（4）当dU＝0，计算dy/dx，即保持U不变，y和x的替代关系如何？（5）说明当x＝1，y＝2时，U＝16。（6）当x＝1，y＝2时，x，y要以怎样的比例微小变化才能保持U＝16不变？（7）U＝16的等高线是什么图形？它各点的斜率是多少？22
解：（1）对于函数U（x，y）＝4x＋3y，其关于x和y的偏导数分别为：（2）当x＝1，y＝2时，（1）中的偏导数值分别为：（3）U的全微分为：（4）当dU＝0时，由（3）可知：8xdx＋6ydy＝0
从而可以解得：（5）将x＝1，y＝2代入U的表达式，可得：U＝4×1＋3×4＝16。（6）由（4）可得，在x＝1，y＝2处，当保持U＝16不变，即dU＝0时，有：22（7）当U＝16时，该函数变为4x＋3y＝16，因而该等高线是一个以原点为中心的椭圆。由（4）可知，该等高线在（x，y）处的斜率为：2
2．假设某企业的总收入只由产量决定，且关系式为R＝70q－q，2总成本也只由q决定，C＝q＋30q＋100。（1）要使利润（R－C）最大化，产量定为多少？最大利润是多少？（2）说明（1）问题的答案满足极值的二阶条件。（3）结果满足“边际收益＝边际成本”原则吗？请解释。2
解：（1）公司的利润函数为：π＝R－C＝－2q＋40q－100
利润最大化的一阶条件为：*
从而可以解得利润最大化时的产量为：q＝10*2
相应的最大化的利润为：π＝－2×10＋40×10－100＝100*（2）在q＝10处，利润最大化的二阶条件为：
因而满足利润最大化的二阶条件。*（3）在q＝10处，边际收益为：
边际成本为：
因而有MR＝MC＝50，即“边际收益等于边际成本”准则满足。
3．设f（x，y）＝xy，在x＋y＝1的约束条件下分别用代入消元法和拉格朗日乘数法求最大值。
解：（1）代入消元法2
由x＋y＝1可得：y＝1－x，将其代入f可得：f＝xy＝x－x，
从而有：
可以解得：x＝0.5，y＝0.5，f＝0.25。（2）拉格朗日乘数法
构造拉格朗日函数：L＝xy＋λ（1－x－y）
一阶条件为：
从而可以解得：x＝y＝0.5，f＝xy＝0.25。
4．上一题的对偶问题是给定xy＝0.25，求x＋y的最小值。用拉格朗日乘数法求解。比较这两题中算出的拉格朗日乘数的大小，并解释其关系。
解：（1）设最小化问题的拉格朗日函数为：L＝x＋y＋λ（0.25－xy）
一阶条件为：
由前两个方程式可得：x＝y，联立第三个方程式，解得：x＝y＝0.5。（2）将本题与第3题进行比较可知，两种情况下求得的拉格朗日乘数的值分别为0.5和2，互为倒数。这是因为第3题中受约束的最大化问题是本题中受约束的最小化问题的一个对偶问题。2
5．垂直向上抛球，t秒后高度为f（t）＝－0.5gt＋40t（其中g是重力加速度）。（1）达到最高点时t为多少？将其写成g的函数。（2）用上一问的结果解释当g发生改变时，最高点高度如何变化。（3）用包络定理求解第（2）小题。（4）在地球上g＝32，但在不同的地方略有不同。如果两地g相差0.1，球能达到的最大高度大约差多少？2
解：（1）对高度函数f（t）＝－0.5gt＋40t关于时间求导数可得：*
从而可以解得使高度最大的时间为：t＝40/g，从而可知小球处于最高处的时间t与参数g成反比例关系。*（2）将t＝40/g代入高度函数中可得：
从而有：
即随着g的增大，最大高度将变小。*（3）由包络定理可知：取决于g，这是因为t取决于g。
因而有：（4）当g＝32时，最大高度为：f＝800/32＝25；
当g＝32.1时，最大高度为：f＇＝800/32.1≈24.92；
因而两地最大高度的差异为：∆f＝f＇－f＝24.92－25＝－0.08。
6．为了建造一艘油轮，我们把一块长3x，宽x的铁皮四角各剪去一块边长为t的正方形，再折起来，就形成了无盖油箱的结构。22（1）证明油箱的体积V＝t（x－2t）（3x－2t）＝3tx－8tx＋34t。（2）对于给定的x，为了使油箱容积最大，t应该取多少？（3）把V视为x的函数，V是否有最大值？（4）如果造船厂只有1000000平方英尺的铁皮，即t，x满足约束22条件3x－4t＝1000000。现在求解V的最大值。此时的结果和（2），（3）两个问题有什么区别？
解：（1）如图2-1所示，长方形四个角处去掉一个边长为的正方形后叠起来的油箱是一个长方体，该长方体的长为（3x－2t），宽2为（x－2t），高为t，因而其体积为：V＝t（x－2t）（3x－2t）＝3tx23－8tx＋4t
图2-1 油轮模型的制作（2）V关于t求导数可得：
从而可以解得：
即：t＝0.225x，t＝1.11x12
二阶条件为：
因此，只有当t＝0.225x时，才有
即只有当t＝0.225x才能使给定x下的V最大。3333（3）当t＝0.225x时，V≈0.67x－0.04x＋0.05x≈0.68x。因而当x增大时，V随之增大，没有极限。因此，不存在一个x使得所装油的体积最大。（4）受约束的最优化问题为：
设拉格朗日函数为：
一阶条件为：
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]