作者：黄卫华
出版社：电子工业出版社
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模糊控制系统及应用试读：
前言
模糊控制是模糊数学与控制理论相结合的产物，它已经成为智能控制领域中一个非常重要的分支。模糊控制以模糊集合、模糊语言规则为基础，根据专家经验或现场操作人员的经验知识及操作数据确定控制规则，利用模糊逻辑推理，对难以建立精确数学模型的复杂对象实现有效控制。
模糊控制起源于美国加利福尼亚大学电气工程系教授扎德（L.A.Zadeh）1965年提出的“模糊集合”的概念。20世纪60年代末至70年代初，L.A.Zadeh在模糊映射、模糊推理和模糊控制原理等方面进行了一系列的研究，特别是提出并完善了模糊知识表示、语义变量、模糊规则以及模糊图等概念，这些成果为模糊建模和模糊控制的发展奠定了理论基础。1974年，英国伦敦大学教授马丹尼（E.H.Mamdani）首先利用模糊控制语句组成模糊控制器，并将它成功地应用于蒸汽机的控制。这项成果实现了应用模糊控制器处理实际系统的控制问题，标志着模糊控制技术的诞生。发展至今，模糊控制系统的应用已经十分广泛，在工业控制、信息工程、图像识别、人工智能、空间飞行、卫星与导弹的控制等诸多领域取得了显著的效果。
全书共9章。第1章概述。第2章模糊集合，主要介绍模糊集合的相关知识，包括模糊集合的概念、表示方法、隶属函数及其建立方法、模糊集合的运算等。第3章模糊关系，主要介绍模糊数学中模糊关系的基础知识，包括模糊关系的概念、模糊矩阵的定义及其运算、模糊关系的合成、模糊相似关系和等价关系等。第4章模糊逻辑与模糊推理，介绍了模糊控制很重要的基础理论，包括模糊逻辑、模糊语言的概念、模糊规则的形式、模糊逻辑及模糊近似推理的概念和方法。第5章模糊控制系统，详细介绍了模糊控制器的基本结构、变量的模糊化和解模糊化、规则库的构成以及推理机。在此基础上，介绍了Takagi-Sugeno模糊控制器的设计。第6章介绍了MATLAB中模糊控制工具箱的应用。第7章模糊控制器的解析结构，介绍了模糊控制器的解析结构理论，揭示了模糊控制的非线性本质。第8章先进的模糊控制方法，介绍了基于模糊原理的PID控制器设计方法，包括：模糊参数PID控制、模糊预测控制和自适应模糊控制方法。第9章模糊控制技术的应用，介绍模糊控制在工业领域中的应用概况，详细介绍温度、压力以及流量模糊控制的工程实例，利于提高学生理论联系实际的能力。
本书理论与实际紧密结合，适应面广，可作为相关专业本科生、研究生的教材，以及相关领域专业技术人员的参考书。对于本科教学，主要是学习模糊概念以及模糊控制的基础知识，以第1章至第6章为主，后面的章节可以作为选学内容；对于研究生教学，以模糊控制的理论研究和综合应用为主，在前六章的基础上，学习第7至第9章。
参加本书编写工作的有方康玲（第1，9章），谢蓉（第2，5章），黄卫华（第3，4，7章）刘晓玉（第6，8章）。本书由黄卫华任主编，方康玲任副主编，负责大纲的制定及全书的统编定稿。
由于编者水平有限，不足之处在所难免，恳请读者批评指正。
本书由“过程控制与集散系统”国家精品课程资助。
编 者第1章 概述
现代科学技术的发展，促进了自动化技术的发展，针对工业过程本身的特点，控制界提出了一系列行之有效的控制方法，模糊控制技术是其中之一。
本章首先简要地说明控制系统中存在的信息不确定性；接着从模糊概念入手，介绍模糊数学的创立；最后，说明模糊控制技术的形成、特点以及发展里程。1.1 控制系统中信息的不确定性1.1.1 控制系统中的信息流程
美国学者N.维纳于1948年出版了《控制论，或关于在动物和机器中控制与通信的科学》，创立了控制论，为自动控制技术奠定了理论基础。维纳发现，动物和机器中控制和通信的核心问题是信息、信息传输和信息处理。一旦建立了一个被控过程的模型，控制系统设计本质上就是信息的变换和处理。
所有的工业生产过程都是物料经过若干加工步骤而成为产品的过程，控制系统的任务是以生产过程中的信息量作为被控量，选用适宜的技术手段，实现生产过程的控制目标。因此，从本质上说，控制系统的作用是如何利用信息促进能量和物质的有效利用。图1.1示出了单变量闭环控制系统的基本结构。图1.1 单变量闭环控制系统的基本结构
由反馈作用组成的闭环控制系统是控制系统最重要的结构。通过检测与变送仪表采集系统的输出信号（信息获取）作为反馈信息，经过处理和控制器的作用，由执行机构送出控制信号（信息应用），驱动被控对象。因此，从信息技术的角度看，控制系统涉及信息获取、信息传输、信息处理（信息控制也是一种信息处理）与信息应用，则图1.1所示系统可表示为图1.2的形式。图1.2 控制系统中的信息流程1.1.2 控制系统中的信息不确定性
由于客观世界复杂的内部和外部环境、测量设备精度以及人的认知水准的局限性，控制系统所获取、传输、处理和应用的信息往往带有不确定性。
由于受到各种噪声和测量条件变化的影响，检测与变送仪表所测量的数据存在不准确的现象，另外，在实际系统中有些信息还无法测量。例如，在外界的干扰下，在一定时间间隔内，测量仪器输出量发生与输入量无关的或不需要的变化情况，即发生漂移，包括零点漂移和灵敏度漂移等，如图1.3所示。这是在采用仪器确定现存事物状态时发生的不确定性，或者说系统所获取的反馈信息存在不确定性。在长期运行过程中，由于磨损、老化以及不同工况等造成执行器特性变化，导致控制信号发生变化，使执行器特性信息存在不确定性。例如，调节阀产生动作迟缓或开关不能完全到位的现象。同时，在运行条件发生变化时，还存在运行环境信息的不确定性。图1.3 测量仪器的漂移
由于在建模过程中往往使用假设、近似和降阶等方法，使系统的被控对象以及控制器模型结构和参数也存在不确定性。例如，采用直线拟合非线性特性，选取不同的方法拟合直线，会得到不同的线性度及不同的误差，如图1.4所示。图1.4 几种拟合方法比较
信息的不确定性增加了模型的复杂性，甚至使模型无法建立。
产生不确定性现象的根本原因有两个，一是人们对事物变量值或类属做出判断或处理时掌握的信息不充分，没有达到充分条件的要求。另外，人们对某些概念的认识以及在控制策略的选取中也隐含不确定性。决策的不确定性是指当人们根据主观感觉对事物类的归属做出判断时所发生的不确定性，如人们对某些决策方案的优劣性判断、对某些事物类属的判断。显然，控制系统中的信息不确定性包括信息不完全、数据不准确和决策概念的不准确。
信息不确定性不仅存在于控制系统中，客观世界中的绝大多数现象也都具有不确定性。所谓确定的现象只是在一定的前提和特定的边界条件下发生的。因此，不确定性是普遍存在的信息属性，对于信息不确定性的研究十分有意义。1.2 模糊数学的创立
模糊性是信息不确定性的基本特征之一。1.2.1 模糊概念
所谓“模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不分明。或者说，模糊性指的是事物性态或类属上的亦此亦彼性，对于是否属于某个类别的问题，不能做出非此即彼的明确结论。比如，我们说“天气热”，那么气温到底多少度才算“热”?显然，没有明确的界限，这种概念称为模糊概念。（1）事物客观属性的模糊性
客观事物的发展是一个渐进的连续过程，其转变过程不存在明确的、突变的界限。如：白天和黑夜、少年和青年、春夏秋冬等都是渐进变化的连续过程，没有哪一刻是昼夜的分界线，也没有哪一天是四季的分水岭，更没有哪一夜少年突然长成青年。显然，模糊性是这类事物的属性，与这种变化过程相关的概念为模糊概念。（2）自然语言的模糊性
人类对于客观事物的感觉和认识往往是连续的，但是用于表达的词句是离散的，用离散的词句去表达连续的事物，其边界必然是不分明的。如：“高”、“矮”、“胖”、“瘦”等表达感官的词句；“大”、“小”、“多”、“少”、“一堆”、“三点左右”等表达数量的词句；“很”、“差不多”、“稍微”、“非常”等表达程度的词句都难以用准确的数据说明，都是没有明确边界标准的模糊概念。1.2.2 模糊数学的产生
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象，并且随着现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。以精确性为主要特点的经典数学，对于这类问题是无能为力的。因此，必须寻找到一种描述和处理模糊性的数学方法。这就是模糊数学产生的必然性。
1965年，美国控制论专家、数学家L.A.Zadeh发表了论文《模糊集合》（fuzzy sets），标志着模糊数学这门学科的诞生。模糊数学是研究模糊现象的定量处理方法。
现代数学建立在集合论的基础上。集合可以表示概念，符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理。经典集合论表示有明确外延的概念和事物，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的。
模糊性是指外延不分明的概念，用经典集合理论是无法描述的。模糊数学在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，提出用“模糊集合”描述模糊现象。“隶属函数”的概念将经典集合论里的特征函数取值范围从{0，1}推广到区间[0，1]，将经典的二值逻辑推广到多值逻辑。“隶属函数”是事物对模糊概念从属程度的描述，使模糊性可以用[0，1]上的区间来度量。“模糊集合”这一开创性的成果解决了用数学语言描述外延不分明概念的难题，为模糊数学提供了基础，实现了采用精确的数学方法实现对模糊现象的表示、分析和处理。
随着科学的发展，研究对象越来越复杂，在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾。Zadeh教授提出的互克性原理对此亦有明确表述：“当系统的复杂性日益增长时，我们做出系统特性的精确而有意义的描述能力将相应降低，直至达到这样一个阈值，一旦超过它，精确性与有意义性将变成两个互相排斥的特性。”互克性原理揭示了片面追求精确性将降低认识结果的实质，显然精确模型不是处理复杂事物的有效手段。因此，不确定性信息的研究对于科学技术乃至社会进步都是有巨大作用的。模糊数学在保持数学严格性的同时，吸取了人脑对于模糊现象认识和推理的优点，从某种意义上来说，模糊数学是架在形式化思维和复杂系统之间的一座桥梁。
模糊数学诞生于计算机时代，人脑具有理解、判断和处理模糊信息的能力，但计算机没有识别模糊现象的能力。为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活地做出相应的判断，从而提高自动识别和处理模糊现象的效率。模糊数学为计算机处理模糊信息提供了基础，因此，模糊数学不仅是一种理论，也是一种工具。
正如所有理论的发展过程一样，模糊数学在其应用中得以迅速发展，目前已经形成了多个理论研究分支。同时，模糊数学已经广泛应用于控制工程、模式识别、聚类分析、系统决策、机器智能以及信息处理等领域。1.3 模糊控制技术1.3.1 模糊控制技术的诞生
自动控制是关于受控系统的分析、设计和运行的理论及技术。自动控制理论是以控制论、信息论、系统论为其方法论基础的，自动控制技术是自动控制理论在工程系统中的具体体现。20世纪40年代出现的经典控制理论以系统的频率域描述和分析设计方法为基础。20世纪60年代，出现了以状态空间法为基础的现代控制理论，通过深入到对系统内部状态的描述，从信息层面上更深刻地刻画了系统的特征，同时在控制中开始渗入优化的概念，为实现高质量的自动化技术提供了有力的手段。经典控制和现代控制统称为传统控制，其主要特征是建立在被控对象的数学模型基础上，基于精确模型对系统进行定量分析和处理，从而完成控制策略的设计。
随着科学技术的飞速发展，出现了越来越多的存在不确定性信息的复杂系统，传统控制理论和方法越来越显示出其局限性。首先，难以对复杂系统的特性进行精确的描述，无法获得被控对象的精确数学模型，对于某些复杂对象，甚至根本无法建立数学模型，因此不能实现有效控制。其次，若采用传统控制理论和方法解决这类系统的控制问题，就必须提出并遵循一些比较苛刻的假设，而这些假设往往与实际情况不吻合。另外，增加检测设备或者改进执行机构，也是提高复杂系统控制性能的一个措施，然而其结果会使控制系统变得更复杂。这样，不仅增加了初始投资和维修费用，而且还降低了系统的可靠性。
实际工业过程中，针对存在不确定性信息的复杂系统，专家可以不依赖信息的精确数值，用自然语言描述系统性能，确定控制策略，从而取得满意的控制效果。例如：用于火法炼锌的沸腾炉是一个复杂系统，难于用传统方法实现基于精确数学模型的控制，然而，技术人员可以根据经验有效地调节沸腾炉的炉温。这些经验可以用自然语言来表述，如：“炉温低”则“调高加热电压”等，表现出控制策略选取中隐含的模糊性。
随着向信息时代的迈进，人类知识变得日益重要。如何将人类知识和其他信息（实际测量数据和根据自然法则推导出的数学模型）有效地整合到控制系统设计中是至关重要的。人类知识通过自然语言表述，而自然语言中含有大量的模糊信息。继Zadeh1965年提出模糊集合后，20世纪60年代末至70年代初，Zadeh又在模糊映射、模糊推理和模糊控制原理等方面进行了一系列的研究，特别是提出并完善了模糊知识表示、语义变量、模糊规则以及模糊图等概念，包括1968年提出模糊算法的概念，1970年提出模糊决策，1973年发表《分析复杂系统和决策过程的新方法纲要》，文中引入了语言变量的概念，提出了IF-THEN规则来量化人类知识，提供了由专家构造语言信息，并将其转化为控制策略的一种理论体系方法。IF-THEN规则是用模糊逻辑表述和处理建立在模糊逻辑基础上的控制策略，能够解决许多无法建立精确数学模型的复杂系统的控制问题，是处理控制系统中不确定性信息的一种有效方法。这些成果为模糊建模和模糊控制的发展提供了理论基础。
1974年，英国伦敦大学教授E.H.Mamdani首先用模糊控制语句组成模糊控制器，并把它成功地应用于蒸汽机的控制。这项成果是在模糊理论研究的基础上，实现了应用模糊控制器处理实际系统的控制问题，标志着模糊控制技术的诞生。1.3.2 模糊控制技术的特点
模糊控制是模糊数学与控制理论相结合的产物。其主要特点是：（1）不依赖被控对象的精确数学模型，只需根据专家经验或现场操作人员的经验知识及操作数据确定控制规则，因此，能够对难以建立精确数学模型的复杂对象实现有效控制；（2）控制行为用语言变量表示，而不是传统的数学变量，因为语言变量具有一定的模糊性，用于描述控制规则，易于将专家“知识”融入控制系统的设计中；（3）控制系统采用“不精确推理”，推理过程模拟人的思维过程，易于介入人的经验，能够处理复杂甚至“病态”系统的控制问题；（4）控制系统的鲁棒性强，对过程参数的变化不敏感，适于解决传统控制方法难以奏效的非线性、时变及大滞后等问题。1.3.3 模糊控制技术的发展
自1965年Zadeh发表《模糊集合》（fuzzy sets）至今，模糊控制不论从理论上还是技术上都有了极大的进步，已经成为智能控制领域中一个非常重要的分支。
继Mamdani在蒸汽机上应用模糊控制并取得成功以后，1975年，丹麦首先在工业上建立了模糊控制水泥窑。1987年，日本将模糊控制技术成功地应用于地铁系统，使启动和制动极为平稳，而且停车位置能精确到10cm以内，在科技界引起了轰动。发展至今，模糊控制的典型应用已经十分广泛，从家用电器设备中的模糊洗衣机、空调、微波炉、吸尘器、照相机和摄像机等；到工业控制领域中的水净化处理、发酵过程、化学反应釜、水泥窑炉等的模糊控制；在专用系统和其他方面有地铁靠站停车、汽车驾驶、电梯、自动扶梯、蒸汽引擎以及机器人的模糊控制等。模糊控制技术的应用还涉及信息工程、图像识别、人工智能、空间飞行、卫星与导弹的控制等领域，取得了显著的效果。
模糊控制系统是一种计算机控制系统，模糊控制策略主要用软件实现。随着嵌入式技术的发展，基于单片机的模糊控制器以及模糊芯片等模糊型产品的研制成绩斐然。同时，大型PLC和DCS都开发了模糊控制模块，进一步促进了模糊控制的工业应用。
模糊控制的发展根据其结构特点可大致分成3个阶段：第一阶段（1965—1974）为萌芽阶段，主要是模糊数学的发展和成形时期。第二阶段（1974—1979）为简单的模糊控制器阶段，这种控制器的模糊控制表通过离线算好，在线调试完成后一直不变，因此其自适应能力和鲁棒性有限。第三阶段（1979年至今）为高性能模糊控制器阶段，人们在使用过程中针对简单模糊控制器的不足，提出了很多高性能的模糊控制策略。
1984年7月，模糊理论及其应用的国际性学术组织“国际模糊系统协会”（International Fuzzy Systems Association，IFSA）在美国夏威夷筹建，1985年7月，该协会在西班牙马约卡岛成立，并举行IFSA第一届大会，旨在交流和促进模糊理论及其应用在世界各国的发展。国际模糊系统协会的会刊为《Fuzzy Sets and Systems》。1992年，第一届IEEE模糊系统国际会议在美国召开。模糊理论方面的国际性专业学术期刊还有《IEEE Transactions on Fuzzy Systems》等，为世界各国的模糊控制理论研究提供交流平台。
模糊控制理论的研究大致有以下几方面。（1）自学习、自适应模糊控制理论的研究
模糊控制的实质是将相关领域的专家知识和熟练操作人员的经验，转换成模糊化后的语言规则，通过模糊推理与模糊决策，实现对复杂系统的控制。然而，一个复杂受控系统往往具有非线性、大时滞、不确定性和时变性，单纯依靠基于人为信息的有限多条模糊规则，很难进行完善的描述和适应受控对象的多变性，如何在控制过程中自动地修改、调整和完善模糊控制规则，来提高模糊系统的控制性能，逐步达到良好的控制效果，成为自学习自适应模糊控制理论研究的主要内容。
具有自适应功能模糊控制器的杰出代表是自组织模糊控制器（Self-Organizing Fuzzy Controller），它是在基本的模糊控制器基础上增加了调整控制机构，将控制器分为面向对象的控制级和面向控制器的规则调整级，规则调整级通过计算系统的性能指标来校正控制规则的关系矩阵，建立修改规则库，从而大大提高了系统性能。量化因子和比例因子的自调整是自适应模糊控制应用于实时控制中最有效的手段。
自学习模糊控制器运用模糊推理的手段，在其运行过程中可逐步获得受控对象及环境的非预知信息，积累控制经验。并在一定的评价标准下进行估值、分类和决策，从而不断改善系统的品质。（2）模糊推理策略的研究
模糊推理策略对模糊控制器的设计和模糊控制系统的性能起着重要作用。目前采用的模糊推理策略有：Mamdani推理、Tsukamoto推理、Larsen推理和Takagi推理等。它们的共同点是其模糊性能都取决于模糊规则的前提条件和结论部分的语言描述，不同点是模糊模型与推理算子的选择。（3）模糊模型辨识的研究
所谓的模糊模型，是指描述受控系统性能的一组模糊规则，它属于非线性模型。美国的Berenji.H.R总结了四种获取规则的方法：基于专家的经验和知识、建立操作者的控制行为模型、建立被控对象的模型和自组织学习。
当被控过程复杂时，有可能存在任何操作人员不能够很好地控制对象，那么通过建立过程的数学模型，进而从理论上推导出一组控制规则是一种可行的方法。基于模糊推理的建模方法大概分为三类：基于模糊关系模型的建模方法、基于模糊神经网络的模糊建模方法和基于Takagi-Sugeno的模糊线性函数模型的建模方法。（4）模糊系统稳定性的研究
稳定性是非线性模糊控制系统的重要指标之一，因为只有对模糊控制系统建立有效的稳定性标准，才能从理论角度设计基于模型的模糊控制器。基于语言模型的稳定性分析，特别是日本学者Takagi和Sugeno提出的T-S模型给模糊控制理论研究及应用带来了深刻的影响，使模糊系统稳定性分析上升到新的理论高度。目前，模糊控制系统稳定性分析方法主要有李亚普诺夫方法、基于滑模变结构系统的稳定性分析方法、描述函数方法和圆稳定性判据方法等。模糊控制系统的稳定性分析和系统化设计仍然是模糊控制的研究前沿，如何更有效地将传统控制系统稳定分析方法运用到模糊系统稳定判别中，稳定判据所依赖的条件、适用范围以及稳定性算法的简化，都是值得进一步研究的问题。（5）模糊控制与其他先进控制理论的结合
随着现代技术的发展，20世纪中后期出现了很多先进的控制方法，如神经网络、遗传算法等，控制界的学者将这些方法与模糊控制结合起来，以弥补模糊控制结构简单、自适应能力有限的缺点，取得了良好的控制效果。
① 模糊预测控制
模糊预测控制是指把各种预测控制的典型算法与模糊控制理论相结合的一种集成控制策略，包括模糊控制和预测控制的集成、基于模糊模型的预测控制、基于优化目标的模糊预测控制和模糊内模控制等。
② 模糊神经网络控制
模糊控制技术和神经网络技术同属于人工智能技术，各自具有对方恰恰不具备的优点，具有互补性。模糊技术的特长在于逻辑推理能力，可以模拟人类判断和决策的能力，但它不具备学习功能。人工神经网络具备非线性映射能力、学习能力、并行处理能力和容错能力，而对处理和描述模糊信息却无能为力。因此，将神经网络引入模糊控制中，可以大大提高模糊控制技术的学习能力。
③ 基于遗传算法的模糊控制
遗传算法是一种全局搜索算法。它的主要特点是群体搜索和群体中个体之间的信息交换，搜索不依赖梯度信息，因而它可以高效率地找到全局最优或接近最优解。目前这方面的研究有：采用遗传算法对模糊控制器的隶属度函数参数进行调整、采用遗传算法对模糊控制器的规则进行寻优与调整以及采用遗传算法对模糊模型建模与学习寻优等。
目前，模糊控制正向着复杂大系统、智能系统、人与社会系统及生态系统等领域拓展。模糊计算机的研制是模糊控制技术在硬件方面的一个发展趋势，它包括模糊计算机体系结构的硬件、操作系统与语言理解等项目。在理论上，最优模糊控制器设计、模糊系统稳定性理论以及与其他控制策略相结合等方面的研究，将使模糊控制成为更为强大和完善的控制技术。本章小结
1.控制系统中存在不确定性信息，模糊性是信息不确定性的基本特征之一。
2.模糊性是指外延不分明的概念，模糊数学是用精确的方法对模糊现象进行表示、分析和处理的数学。
3.模糊控制是模糊数学与控制理论相结合的产物，模糊控制已经成为智能控制领域中一个非常重要的分支。习题
1.1 试说明控制系统中不确定性信息的概念。
1.2 分别举例说明表示感官、数量和程度的自然语言的模糊性。
1.3 模糊控制的理论基础是什么?
1.4 模糊控制的特点是什么?
1.5 模糊控制与经典控制的联系和区别是什么?
1.6 举例说明模糊控制在日常生活中的应用。第2章 模糊集合
现代数学的基础是集合论。集合可以表示概念，集合之间的关系和运算可以表现事物之间的判断和推理，因此，一切现实的理论系统都可纳入集合描述的数学框架。经典集合是指具有某种清晰概念对象的全体，集合中每个对象对于集合的隶属关系是明确的，非此即彼。在人类思维中，还存在许多模糊的概念，例如年轻、漂亮、高温等，这些概念所描述的对象属性不能简单地用“是”或“否”来回答。1965年，美国加利福尼亚大学L.A.Zadeh教授发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学的诞生。模糊集合基于数学的思维和方法，定量处理事物和概念的不确定性或模糊性。
本章主要介绍模糊数学中模糊集合的相关知识。主要包括模糊集合的概念、模糊集合的表示方法、模糊集合的隶属函数及其建立方法、模糊集合的运算等。2.1 模糊集合的概念2.1.1 集合的基本知识
把要考虑和研究的事物（对象）全体称为论域，通常用大写英文字母U，X，V 等表示，论域中的每个成员称为元素，通常用小写英文字母a，b，c等表示。具有同一本质属性的全体事物的总和，汇集成一个确定的整体，称其为一个集合。集合用大写英文字母A，B，C等表示。集合由论域中的部分或全部元素构成，集合的元素也用小写英文字母a，b，c等表示。当元素a属于集合A时，记作a∈A，当元素a不属于集合A时，记作a∉A。
为了与模糊集合区分，我们称概念明确、界限分明的集合为经典集合。经典集合的各个元素之间边界分明，元素与集合之间的关系是非此即彼，即要么元素a属于集合A，要么元素a不属于集合A。
下面介绍几个有关的集合概念。
● 不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
● 包含论域中所有元素的集合称为全集。
● 含有有限个元素的集合称为有限集，例如，X={x ，x ，…，12x}。n
● 含有无穷个元素的结合称为无限集，例如实数集R。
● 设论域X，由X 的所有子集而构成的集合称为X 的幂集，记作P（X）。
● 若集合 A 中的一部分元素组成集合 B，并且集合 B 中的所有元素都属于集合 A，称集合B为集合A的子集。
● 若论域X 上的两个集合A和 B满足：论域X 上的元素x∈A，必i有x∈B，则称集合A包含于集合B。记作A⊆B或B⊇A。i
● 若集合A和集合B满足A⊆B与B⊇A，则称集合A和集合B相等。记作A=B。集合A和集合B中包含相同的元素且互为子集。
● 若论域X 上的三个集合A，B，C满足：集合C中的元素由属于集合A和B中的所有元素组成，则称集合C为集合A和B的并集，记作C=A∪B。集合C中的任一元素x满足：i
● 若论域X 上的三个集合 A，B，C 满足：集合 C 中的元素由属于集合 A 且属于集合 B的所有元素组成，则称集合C为集合A和B的交集，记作C=A∩B。集合C中的任一元素x满足：i
● 若论域X 上的两个集合 A 和 B 满足：集合 B 中的元素由论域
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