作者：张恭庆
出版社：北京大学出版社
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泛函分析讲义(上)试读：
内容简介
这是一部泛函分析教材．它系统地介绍线性泛函分析的基础知识．全书共分四章：度量空间；线性算子与线性泛函；广义函数与Соболев空间；以及紧算子与Fredholm算子．本书的主要特点是它侧重于分析若干基本概念和重要理论的来源和背景，强调培养读者运用泛函方法解决问题的能力，注意介绍泛函分析理论与数学其他分支的联系．书中包含丰富的例子与应用，对于掌握基础理论有很大帮助．
此书适用于理工科大学本科生与研究生阅读，并且可供一般的数学工作者、物理工作者、工程技术人员参考．
为便于读者学习，书末增加了习题补充提示和索引，以供读者参考．
为帮助读者更好地掌握泛函分析的基本内容以及解题的思路与方法，本书有配套的学习辅导书《泛函分析学习指南》（书号：ISBN 978-7-301-14387-2/O·0765，定价：18.00元），供读者选用．序
80年代以来，许多高等院校都开设了泛函分析课程，而数学系的学生大都把泛函分析当作一门基础课来学．这种趋势反映了近几十年来数学的发展：泛函分析在分析学中已占据了重要的位置．
泛函分析是一门较新的数学分支．在它的发展中受到了数学物理方程和量子力学的推动，后来又整理、概括了经典分析和函数论的许多成果．由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了种种综合运用代数、几何（包括拓扑）手段处理分析问题的新方法．正因为这种纯粹形式的代数、拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以，由此发展起来的基本概念、定理和方法也就显得更为广泛、更为深刻。现在，泛函分析已经成为一门内容丰富、方法系统、体系完整、应用广泛的独立分支．对于任何一位从事纯粹数学与应用数学研究的学者来说，它都是一门不可缺少的知识．
国内现已出版不少泛函分析教材．但其中有的或偏于专门，或过于简略，其共同缺陷是把这门联系广泛、丰富多彩的课程与经典分析及数学物理隔绝了起来．读者学完以后，有时只能欣赏其体系之抽象、论证之精巧，却难以体会到泛函方法的实质及威力．
本书是试图弥补这一缺陷而编写的一部教材．它力图向读者展示泛函分析中若干重要概念、理论的来源与背景；力图向读者介绍如何透过分析问题的具体内容洞察其内在的代数、几何实质；力图向读者表明泛函分析理论与数学的其他分支有着密切的联系，并有广泛的应用．
实现以上目的所作的变动是深入而细致的．我们只能通过几个典型例子，来说明本书的一些特点．
为了使读者对于紧算子谱（Riesz-Schauder）理论的来龙去脉有一个比较全面的了解，我们是从线性代数方程组可解性的讨论开始的．对比积分方程，我们逐条把Frcdholm结论“翻译”成相应的线性子空间的几何关系，又通过分析有穷维问题与无穷维问题之间在算子值域与谱集方面的异同，给出紧算子谱定理的证明．然后直接把这一理论应用到椭圆型边值问题可解性及本征值问题的讨论中去．此外，鉴于指标理论在现代数学发展中的重要性，我们以奇异积分算子为例，引出Fredholm算子，并导出相应的指标公式．
Hahn-Banach定理是泛函分析中一个十分重要的基本定理．它的重要性不仅表现在其对建立Banach空间理论体系所起的作用上，而且还表现在解决许多具体的分析问题之中．然而Hahn-Banach定理的这些巧妙的应用，并不是读者在学了它的定理陈述与证明之后就能一目了然的．事实上，往往需要把原始分析问题的陈述转化成几何形式．只有从几何形式中把问题化归为凸集分离或足够多泛函的存在之后，应用Hahn-Banach定理才是可能的．我们在教材中选择Runge逼近定理以及凸规划存在性定理等作为例子，逐步引导读者去考察这种转化，体会泛函方法解决经典问题的威力．
为了介绍泛函分析的应用，往往需要涉及其他数学分支的知识．许多泛函教材，因受制于体系的自我封闭，致使应用部分不能充分展开．然而，学科的相互渗透乃是当今数学发展的一个主要趋势．因此，在教学中似乎不必过于拘谨．在本书中，我们对于Brouwer不动点定理、单位分解定理等几个很容易从其他课程中学到的定理，不证明地加以引用，并给出参考文献．去掉上述约束之后，介绍泛函分析应用的天地就广阔多了．于是在本书中，我们把泛函分析的几个基本定理应用到常、偏微分方程理论、实函数论、函数逼近论、数值分析、数学规划理论、变分不等方程等好几个数学分支中去；本书还有续编，在那里我们还将更深入地介绍泛函分析与其他数学分支，特别是与数学物理的联系．
本书是为本科生初学泛函而写的；而其续编则可供研究生作为基础课教本．根据我们的经验，按每周3学时，每册基本内容可于一学期内讲授完毕．书中的应用与例子较多，教师可选讲其中一部分，其余部分则供有兴趣的读者参考．书中每节配有一定数量的习题，其中有些是某些定理的证明细节，有些是学过定理证法的模仿，还有一些本身就是有趣的结论或有用的反例．读者可根据自己的情况选作练习．
编者虽抱有弥补前述缺陷之目的，但因学识所限，加之初次尝试，谬误、片面之处一定不少．又因为体系变动较大，前后脱节，甚至证明疏漏之处在所难免．热诚欢迎读者批评指正．本书曾在北京大学试讲过若干次，北京大学数学系的许多师生曾提出过宝贵意见，兹不一一列举，在此一并致谢．张恭庆谨识 一九八六年夏于中关园第一章度量空间§1 压缩映像原理
度量空间又称距离空间（metric space），它是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定．
定义1.1.1 设是一个非空集．叫做距离空间，是指在上定义了一个双变量的实值函数ρ（x，y），满足下列三个条件：（1）ρ（x，y）≥0，而且p（x，y）＝0，当且仅当x＝y；（2）ρ（x，y）＝ρ（y，x）；（3）ρ（x，z）≤ρ（x，y）＋ρ（y，z） （∀x，y，z∈）．
这里ρ叫做上的一个距离；以ρ为距离的距离空间记做（，ρ）．
注 距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象．事实上，如果对n∀＝（x，x，…，x），y＝（y，y，…，y）∈，令x12n12n
容易看到条件（1），（2），（3）都满足．以后当说到欧氏空间时，我们始终用这个ρ规定其上的距离．
例1.1.2（空间C［a，b］） 区间［a，b］上的连续函数全体记为C［a，b］，按距离
形成距离空间（C［a，b］，ρ），以后简记做C［a，b］．以后当说到连续函数空间C［a，b］时，我们始终用（1.1.2）规定的ρ作为其上的距离，除非另外说明．
引进距离的目的是刻画“收敛”．
定义1.1.3 距离空间（，ρ）上的点列｛x｝叫做收敛到xn0的是指：ρ（x，x）→0（n→∞）．这时记做或简单地n0记做x→x．n0
注 在C［a，b］中点列｛x｝收敛到x是指：｛x（t）｝一致n0n收敛到x（t）．0
与实数集合一样，对于一般的度量空间可引进闭集和完备性等概念．
定义1.1.4 度量空间（，ρ）中的一个子集E称为闭集，是指：∀｛x｝⊂E，若x→x，则x∈E．nn00
定义1.1.5 距离空间（，ρ）上的点列｛x｝叫做基本列，是n指：ρ（x，x）→0（n，m→∞）．这也就是说：∀ε＞0，∃nmN（ε），使得m，n≥N（ε）ρ（x，x）＜ε．如果空间中所有基nm本列都是收敛列，那么就称该空间是完备的．n
例1.1.6 （，ρ）是完备的，其中ρ按（1.1.1）式定义．
例1.1.7 （C［a，b］，ρ）是完备的．
证 设｛x｝是（C［a，b］，ρ）中的一串基本列，那么∀ε＞0，n∃N（ε），使得对∀m，n≥N（ε），有
因此，对∀t∈［a，b］，
固定t∈［a，b］，我们看到数列｛x（t）｝是基本的，从而极n限存在．让我们用x（t）表示此极限，在（1.1.3）式中令0m→∞得到｜x（t）－x（t）｜≤ε（∀n≥N（ε））．由此可见x（t）0nn一致收敛到x（t），从而x（t）连续并在C［a，b］中x收敛到x．00n0
给定距离空间（，ρ），（，r），考查映射T：．
定义1.1.8 设T：（，ρ）→（，r）是一个映射，称它是连续的，如果对于中的任意点列｛x｝和点x，n0
ρ（x，x）→0r（Tx，Tx）→0 （n→∞）．n0n0
命题1.1.9 为了T：（，ρ）→（，r）是连续的，必须且只须∀ε＞0，∀x∈，∃δ＝δ（x，ε）＞0，使得00
证 必要性．若（1.1.4）式不成立，必∃x∈，∃ε＞0，使得0∀n∈，∃x使得ρ（x，x）＜1／n，但r（Tx，Tx）≥ε，即得nn0n0但矛盾．
充分性．设（1.1.4）式成立，且那么∀ε＞0，∃N＝N（δ（x，ε）），使得当n＞N时，有ρ（x，x）＜δ．从而0n0r（Tx，Tx）＜ε，即得n01
设φ是上定义的实函数，求方程
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]