一个定理的诞生:我与菲尔茨奖的一千个日夜(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)


发布时间:2020-05-15 17:50:23

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作者:(法)塞德里克·维拉尼,(法)龚达尔

出版社:人民邮电出版社

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一个定理的诞生:我与菲尔茨奖的一千个日夜

一个定理的诞生:我与菲尔茨奖的一千个日夜试读:

前言

人们经常问我,一个从事数学研究工作的人的生活是怎样的,我们每天都做些什么,我们的著述是怎么写成的。我创作本书的目的就是试图回答这些问题。

这个故事源于一个数学研究的突破性进展。从我们决定投身探险的那一刻起,到包含着一个新成果的论文被一个国际性学术刊物接受为止,一个全新定理诞生的点点滴滴都记录在其中。

在起点与终点之间,科研工作者们走过的并不是一条平坦的捷径。这条漫长的道路上充满了反复与波折,正如人生中经常遇到的那样。

为便于叙述,我修改了故事中一些无关紧要的细节。除此之外,这里所记述的一切都是事实的写照,至少是我的真切感受。

感谢奥利维耶·诺拉,是他在一次偶然会面时建议我创作本书;感谢我妻子克莱尔仔细审读了本书并提出了很多建议;感谢克劳 德·龚达尔,是他为本书提供了精美的插图;感谢艾利安·法斯凯勒以及 Grasset 出版团队的聆听与编辑工作;最后感谢克莱蒙,他是一位令人难忘的合作伙伴,没有他,就不会有本书记述的故事。

如果读者们有什么问题或者建议,欢迎通过电子邮件和我联系。塞德里克·维拉尼巴黎,20

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1年1

2

月1里昂,2008年

3

月23日

周日下午1点,教研所本应该没有人。但是,两个忙碌的数学家却留在这里。里昂高等师范学院三楼,我已经用了8年的办公室中,一次私密的会晤正在进行。一项研究悄然展开。

我舒服地坐在沙发里,有力地敲击着大大的办公桌。我的手指就像蜘蛛腿一样展开——正如钢琴老师多年前教我的那样。

在我左边有一张独立的小桌子,在那儿可以完成一些需要使用计算机处理的工作。在我右边,一个大书柜装着数百本有关数学和物理学的书籍。在我后面,几层长架上整齐地堆放着成千上万页的论文复印本——这些论文写成的时候,学术出版物还没有电子版。架子上还摆放着很多学术书籍的翻印本。曾几何时,我微薄的薪金无法满足自己对书籍的渴求,只能一本本地影印。多年来被小心翼翼保存下来的草稿,足足有一米厚。堆积如山的笔记,是我花费大量时间参加学术报告的佐证。我面前的办公桌上摆着一台笔记本电脑,我给它起名叫“加斯帕尔”,以此纪念一位极具革命性的伟大数学家加斯帕尔·蒙日。电脑旁边摆放着一叠纸,纸上满满当当的是从四面八方汇集而来的数学符号。

我的同党名叫克莱蒙·穆奥,他看上去目光炯炯有神,手里拿着记号笔,站在我对面那个几乎占据整面墙的白板旁。“跟我说说吧,为什么把我叫来?你有什么计划吗?你在电子邮件里没有细说 ……”“我回头看了我的‘老冤家’。这绝对是一个宏大的设想,关于非齐性玻尔兹曼方程的正则性。”“条件正则性(conditional regularity)?你想说,模去那些极小正则性的界?”“不,是无条件的。”“彻底无条件?!而不是在扰动框架内?你觉得我们准备好了?”“对,我又回到这个问题上,而且已经取得了不小的进展。我有些想法,但被卡住了。我把难点分解成好几个简化模型。可是,即便是最简单的模型,我也处理不了。我之前以为,可以用极大模原理做出一个证明。但行不通,所有方法都不奏效。我想跟你探讨一下。”“说吧,我听着呢。”

我详尽描述了自己的想法:我脑海中想象的结果、我的企图、无法串联起来的片段、无法建立起来的逻辑,以及一直桀骜难驯的玻尔兹曼方程。

玻尔兹曼方程,正如我曾向一位记者说的那样,这是世界上最优美的方程!当我年纪尚轻,还在读博士的时候,我就陷入了对它的痴迷,并在读博士期间对其进行了全面研究。玻尔兹曼方程包罗万象:统计物理学、时间箭头、流体力学、概率论、信息论、傅里叶分析等等。有人说,在这个世界上,没人比我更了解与玻尔兹曼方程相关的数学知识。

7年前,我把克莱蒙带进了这个神秘的领域。当时,他刚开始在我的指导下做博士学位论文。克莱蒙贪婪地学习,他无疑是唯一读过我关于玻尔兹曼方程所有论著的人。如今,他已经成为一位受人尊敬的杰出科研工作者,能够独立地开展工作,对科研充满热情。

7年前,我把他送上了数学研究的道路。今天,轮到我寻求他的帮助。我面临的是一个天大的难题,我独自一人根本无法处理。至少,我需要一个对相关理论了如指掌的人讲述一下自己付出的努力。“我们先假设有碰擦碰撞(grazing collisions),如何?一个无截断(cutoff)的模型。这样一来,方程就类似一个分数扩散(fractional diffusion),当然是退化的,但仍然是一个扩散。而且,密度和温度一旦有界,我们就能采用一个考虑了非局部化效应的莫泽迭代格式。”“莫泽迭代格式?嗯 …… 等等,我记一下。”“对,一个莫泽迭代格式。问题的关键是玻尔兹曼算子 …… 的确,这个算子是双线性、非局部的,但它大体上依然是散度型,所以我们可以使用莫泽迭代格式。在这里,做一个非线性函数代换,提升幂次 …… 事实上,除了温度,这还需要更多一点的条件,我们必须控制一些二阶矩矩阵。但是,核心仍是正定性。”“等一下,别太快。为什么光有温度条件还不够?”

我又详细地解释。我们讨论、争辩。白板上布满了数学符号。克莱蒙想多了解一些关于正定性的细节。如何在不假设正则性界的情况下证明严格的正定性?这可能吗?“这没什么可吃惊的。你仔细想想就会发现,碰擦产生了下界,一个置信区域上的输运过程也会产生相同效应,这是我们期待的结果。除非运气真的很差,否则这两个效应应该是相互促进的。当年,伯恩特尝试解决这个问题的时候,他只开了个头。当然,很多人都试过,但都没成功。不过,看上去还是有希望的。”“你确定在没有正则性的情况下,输运可以给出正定性吗?不过,如果没有碰擦,密度函数的输运并不能带来更多的正定性 ……”“没错,可如果我们对速度取平均,就会加强正定性 …… 这有点像动力学平均引理(averaging lemmas)。但是,此处成立的原因不再是正则性,而是正定性。确实,没人从这个角度做过研究。这让我想起一件事 …… 对了,两年前在普林斯顿,一位中国来的博士后向我提出过一个类似问题。比如在环面上设想一个输运方程,不加入任何正则性假设,在这一条件下求证空间密度会严格变成正。完全不用正则性条件!他知道在自由输运情况下怎么处理。或在更一般的情况下,对于一个很小的时间区间,他也能处理。而对于更大时间区间,他就被难住了。当时,我把他的问题转给别人,但始终没看到令人信服的答案。”“先等一下,怎么处理自由输运这个难缠的情况?”“自由输运”,这是对于理想气体的不规范称呼。在这种情况下,粒子之间没有相互作用。这是一个过分简化的模型,与实际情况相去甚远,但仍能让人从中学到不少东西。“这个嘛 …… 通过解的显式表达式,应该能做到。等等,我们试着重新证明一下。”

我们开始分头思考,尝试重建当年李东(音译)应该已做过的证明。这不是一个重要结果,仅仅是一个小小的练习。但是,也许透过理解这个小练习,我们能找到通往谜底的路。这就像一场小比赛。经过几分钟安静、匆忙的演算,我赢了。“我想我证出来了。”

我走到白板前面讲解自己的证明,如同在课堂上阐述一道练习题的答案一样。“把方程的解按照环面的复叠(replica)分解 …… 在每一个分量上做变量代换 …… 这儿会出来一个雅可比矩阵,再使用利普希茨正则性条件 …… 最终,会发现这里有一个1/t速度的收敛。速度挺慢,但是听上去不错。”“什么?也就是说,你没用正则化。收敛是通过平均化 …… 平均化 ……”

在布满了演算结果的白板前,克莱蒙边思考、边大声地自言自语。突然,他灵光一闪,兴奋地指着白板说:“我们应该看看这能不能对朗道阻尼问题有帮助!”

我一下愣住了。三秒钟,没有任何声音。我隐约预感到,一些重要的东西正浮出水面。

我让克莱蒙讲得详细点,他却说不清了。克莱蒙在原地打转,支吾地解释说,这个证明让他想起3年前在美国东海岸布朗大学,与另一位名叫郭岩的华裔数学家的谈话。“在朗道阻尼中,人们试图寻找某种弛豫(relaxation),使方程具有时间可逆性 ……”“是,是,我知道。但相互作用难道不起作用么?我们并不处在弗拉索夫情况下,那里只有自由输运!”“也许相互作用的确有影响,没错 …… 而且,收敛应该是指数阶的。你觉得1/t达到最优了?”“看上去没错,不是吗?”“但如果有更高的正则性条件呢?收敛难道不会更快?”“嗯 ……”

我低沉地哼了一声——这一声包含着怀疑与专注,关切与失望。

此后又是一阵沉默,我们的眼睛紧紧地盯着白板,嘴唇也紧紧地绷着。之后,我们又开始交谈 …… 传说中神秘的朗道阻尼确实令人兴奋。然而,它和我们最初的计划却没有半点关系。几分钟后,我们的话题集中到其他的东西上。讨论进行了很久。二人穿针走线一般,由一个数学问题引向另一个数学问题。我们记下笔记、辩论、激烈争执、不断学习,最终制定了一个研究计划。当我们分开的时候,朗道阻尼仍然成为长长的“家庭作业”清单中的一项。

玻尔兹曼方程

发现于1

8

70年左右,刻画了由数量级粒子组成的稀薄气体的演化。这些粒子之间相互碰撞。我们用一个函数来表示粒子的空间位置和速度的统计分布:它表示在 t时刻,位置在 x(附近)且速度在 v(附近)的粒子数密度。

路德维希·玻尔兹曼(18

4

4—1

9

06)

路德维希·玻尔兹曼发现了统计意义下“熵”(或称气体无序度)的表达式:

凭借这一方程,玻尔兹曼证明了从任何一个给定初始状态出发,熵只能随着时间增大,而永远不可能减小。形象地讲,气体一旦开始演化,就会自发变得越来越无序,而且这个过程是不可逆的。

通过证明熵的增长性,玻尔兹曼重建了一个数十年前已通过实验建立的物理学定律——热力学第二定律。尽管该定律早已被发现,但是玻尔兹曼还是在概念层面上做出了卓越贡献。首先,他从数学角度证明了一个通过实验建立起来的经验定律;其次,他赋予熵这个神秘概念一个极具前景的数学解释;最后,他调和了不可预测、混沌、可逆的微观物理学与可预测、稳定、不可逆的宏观物理学之间的矛盾。这些成就令玻尔兹曼在理论物理学的圣殿中享有崇高地位,也让哲学家和认识论学者对他念念不忘。

随后,玻尔兹曼定义了一个统计系统的平衡态,即熵取到极大值的状态,为统计物理学开辟了一个广阔的研究领域——平衡态统计物理学。所谓平衡态就是最无序的状态,也是最自然的状态。

但是,年轻有为的玻尔兹曼在晚年却痛苦万状,并在1906年结束了自己的生命。他在气体理论方面的成果从来没有过时。沉寂一段时间之后,其相关著述都被誉为19世纪最重要的科学文献。然而,一直以来,玻尔兹曼的预言尽管已被实验确证,却仍需要更加完备的数学论证。而其中缺少的一块拼图就是关于玻尔兹曼方程解的正则性的研究。尽管这一谜题长久以来悬而未决——或许正因为难解之谜本身的魅力,玻尔兹曼方程至今仍是一个非常活跃的理论研究领域,吸引着众多来自世界各地的数学家、物理学家和工程师。稀薄气体动力学大会和同类的学术会议上永远座无虚席。2里昂,2008年3月最后一周

朗道阻尼!

会面结束后,我的脑海里萦绕着令人迷茫的回忆:对话的片段、未完成的讨论 …… 等离子体领域的物理学家都很熟悉朗道阻尼,但对于数学家来说,这是一个迷一般的现象。

2006年12月,我曾造访位于德国奥博沃尔法赫的那座带有传奇色彩的研究所。这座世外桃源般的数学研究所隐藏在黑森林的深处。来来往往的数学家们可以在此随心所欲地讨论各个数学领域的问题。这里的大门永远敞开,往木质小钱箱里投钱后,就能随便喝饮料、吃蛋糕了。访客们根据随机摆放的姓名标签,坐在相应的桌边位置上。

在奥博沃尔法赫那天,我有幸抽到与罗伯特·格拉西和埃里 克·卡伦同桌的位置。这两位美国数学家是气体理论方面的专家。前一天晚上,我刚在学术会议开场时骄傲地介绍了新的学术成果;第二天一早,埃里克紧接着作了一场热情洋溢的报告,其中包含了很多奇思妙想。我们享用热气腾腾的汤羹时,还在不停地讨论这些想法。然而,这一切对于罗伯特来说渐渐有些吃不消了。作为老一辈数学家,他面对“长江后浪推前浪”的现状有点不知所措。罗伯特叹了口气,说道:“是该退休了 ……”

埃里克嚷着,为什么要退休?对气体理论来说,当今可是前所未有、最令人振奋的时代!我也喊道,为什么要退休?我们迫切需要罗伯特从业3

5

年以来积累的宝贵经验!“罗伯特,跟我说说神秘莫测的朗道阻尼吧。能不能解释一下,你认为这是真的吗?”

Weired、Strange 是罗伯特用来回答我的词汇。的确,马斯洛夫研究过相关问题;是的,这里有一个佯谬,可逆性与朗道阻尼似乎是不相容的;不,这一问题现在还没搞清楚。埃里克提出,朗道阻尼只是物理学家凭借天马行空的想象力孕育而生的产物,脱离了实际,没有希望给出数学描述。我从中攫取着信息,将对话内容存储在脑海中的一个角落里。

郭岩

现在是2008年,我对朗道阻尼的认识并不比200

6

年丰富多少。而克莱蒙曾与郭岩也就此有过详细的讨论。郭岩是罗伯特的“师弟”,他们在同一位导师的指导下完成博士论文。郭岩说,难点在于,朗道根本没有研究原始模型,而是研究了一个简化的、线性化的模型。没人知道,这些结果对于“真实”的非线性模型是否还成立。郭岩对这一问题非常着迷,而他不是唯一的一位痴迷者。

我和克莱蒙能着手研究这个问题吗?为什么不?但是,解答问题的第一步是搞清楚问题到底是什么!在数学研究中,明确问题乃是最关键也是棘手的第一步。

不论研究什么问题,我们唯一确定的就是弗拉索夫方程:

这也是我们研究的出发点。这个方程以极高的精确度刻画了等离子体的统计物理学性质。亚瑟王传说中可怜的“夏萝女”不能直接视物,只能通过她的镜子看世界。数学家也和她一样,只能通过数学来观察万物。所以,我们只能在全凭逻辑统治的数学世界里研究朗道阻尼。

我和克莱蒙都从没研究过这个方程。但是,这个方程属于全世界。我们要撸起袖管大干一场了。

列夫·达维多维奇·朗道(1908—1968)

列夫·达维多维奇·朗道是位俄罗斯犹太裔物理学家。他生于1908年,1962年获得诺贝尔奖。他是20世纪最伟大的物理学家之一。朗道曾被苏联当局迫害,幸而被忠诚的同伴们营救出狱。他是那个时代理论物理学界的沙皇,与叶夫根尼·利夫希茨一起编写了一套权威教材,直到今天依然被视作经典。在等离子体物理学的文献中,随处可见他的贡献:首先是“朗道方程”,这是玻尔兹曼方程的一朵姐妹花,我曾在读博士期间研究过几年;然后是著名的“朗道阻尼”,表征着等离子体的自发稳定性,即一个自发回到平衡态而没有熵增的过程,这与玻尔兹曼方程刻画的过程恰好相反。

气体物理学,即玻尔兹曼物理学:熵增加,信息减少,时间单向流逝,初始状态的信息会被遗忘;统计分布将逐渐靠近熵极大的状态,这也是最无序的状态。

等离子体物理学,即弗拉索夫物理学:熵不变,信息守恒,时间没有单向性,初始状态的信息被保留下来;系统没有变得更无序,也不会倾向于靠近一个特殊的状态。

但是,朗道重新审视了弗拉索夫的研究。事实上,朗道瞧不起弗拉索夫,更毫不犹豫地否定了后者的研究成果。他认为电场力会随时间自发衰减,在此过程中,既没有熵增,也没有出现任何一种摩擦。这是个异端邪说吗?

朗道通过复杂而巧妙的数学计算说服了科学界,人们用朗道的名字命名了这一现象。当然,也有人对此持有异议。3里昂,2008年4月2日

走廊里的小矮桌上面堆满了草稿纸,黑板上画满了小草图。透过巨大的飘窗向外望去,一栋架在数根立柱上的黑色立方体建筑映入眼帘,仿佛一只巨大的黑色蜘蛛。这就是著名的里昂 P4实验室,人们在这里研究世界上最危险的病毒。

弗雷迪·布歇(19

7

2— )

我的访客弗雷迪·布歇正在把他的手稿装进手提包中。在刚刚过去的一个多小时里,我们讨论了他的研究课题。弗雷迪主攻星系的数值模拟领域,探索恒星们自发组成具有稳定外形星系的神奇能力。

牛顿在343年前发现的万有引力定律不能直接表征这种稳定性。但人们观察到,遵循此定律运行的大量恒星似乎在相当大的时间尺度上集体表现出一种稳定性。在超级计算机上做出的众多计算模拟结果也表征了这一点。

既然如此,我们能不能从万有引力定律出发导出这个稳定性呢?

天体物理学家林登-贝尔认为这是块难啃的骨头——就像铁质小行星一样坚硬。他给这个现象取名叫剧变弛豫(violent relaxation),这是一个多么美妙的逆喻!“剧变弛豫,塞德里克,这很像朗道阻尼。只不过朗道阻尼是在扰动情况下,而剧变弛豫是在强非线性情况下。”

弗雷迪接受过数学和物理学的双重训练,他的全部科研生涯都奉献给类似上述问题的研究。而今天,他特意前来和我讨论的正是这些基础问题之一。“塞德里克,你看,当我们模拟星系的时候,自然会把那些恒 星——就是这些宇宙中的小质点——看成是流体,好比是恒星组成的气体。这时,我们从离散模型过渡到连续模型。但从离散到连续的近似过程带来的误差有多大?这个误差和恒星数量之间有什么关系?气体中的分子数大约在数量级,而星系中的恒星数量只有几千亿()。这会造成什么明显的不同么?”

弗雷迪认真地探讨、提问、讲述结果、画草图、注明参考文献。不难看出,他的这些研究和我的战马——由蒙日创建的“最优输运”有关联。这次交流收益颇丰,弗雷迪感到很满意。同时,对我来讲,在和克莱蒙谈及朗道阻尼之后的短短几天之内,又再次看到这个词,也让我兴奋不已。

弗雷迪与我告辞并离开之后,我那刚才一直在安静地整理稿纸的邻桌,终于忍不住开口了。他的灰色长发被精心地梳理成平齐式,让他看起来饶有几分叛逆的气质。“塞德里克,我本不想多嘴,但黑板上的这些草图,我见过。”

艾蒂安·吉斯(1954— )

艾蒂安·吉斯曾在上届国际数学家大会上做过全会报告,同时也是法兰西科学院院士。他经常被称为“世界上最好的演讲者”。也许,他真的不是浪得虚名。艾蒂安自己就能抵得上一家研究所。作为坚守在外省进行学术建设的斗士,他从20年前起就投身于里昂高等师范学院数学教研所的建设。在艾蒂安远超常人的努力之下,数学教研所已跻身全球顶级几何学研究中心之列。同时,对于数学的所有分支,他都能嘀咕出一些不同凡响的见解。“我和弗雷迪画的这些草图,你见过?”“是呀,我在 KAM 理论里看到过。而且,我在别的地方也见过 ……”“你能给个参考文献么?”“当然,你知道,KAM 理论无所不在:首先,考虑一个完全可积、拟周期(quasi-periodic)的动力系统;然后,给它一个扰动,这里就会出现一个小除数问题,它在长时间尺度上会破坏掉一些轨线,但仍然会有依概率稳定性。”“这我知道,但这和我们画的图有什么关系?”“等一下,我能给你找一本这方面的好书。其实,我们在宇宙学书籍里看到的很多图,在动力系统学领域里也都是广为人知的。”

太有意思了。我会好好查查。这能不能帮助我理解隐藏在稳定性背后的秘密?

这正是我最赞赏的一点。在这座小而精的教研所里,不同领域的数学家们在咖啡机旁或在走廊里的一次交谈就能碰撞出不同学科间的火花,从不用担心各自不同的研究方向会造成交流阻碍。不知多少新想法从中迸发而出!

我没有耐心等待艾蒂安从他巨大的藏书库中给我翻出一本参考文献。我先尽量在自己的小资料库里翻找,最后,终于找到阿里纳克与热拉尔合著的一本关于纳什-莫泽方法的书。几年前,我曾研读过这本书,知道纳什-莫泽方法是“柯尔莫哥洛夫-阿尔诺德-莫泽理论”的基础之一,这就是艾蒂安口中的“KAM 理论”。我也知道,在纳什-莫泽理论的背后隐藏着非凡的牛顿迭代格式。这个迭代格式有着不可思议的收敛速度——指数的指数阶那么快!而柯尔莫哥洛夫正是极具创造性地利用了这一点。

坦率地讲,我并没发现这些美妙的理论和我的朗道阻尼问题有什么关系。不过,万一艾蒂安的直觉是对的呢?我强令自己停止这些不着边际的想法,把书塞进已经沉甸甸的背包,动身去学校门口接孩子们。

刚一上地铁,我就从外套口袋里拿出了一本漫画。在这短暂而宝贵的时光中,外面的世界消失了,我完全沉浸在漫画的天地里。这里有半面疤痕、拥有娴熟超能力的外科医生,有不惜为长着妩媚大眼睛的小女孩而丧命的黑帮硬汉,有突然变身悲剧式英雄的残暴怪物,也有长着金色卷发、慢慢变成残暴怪物的小男孩。这是一个充满了怀疑和柔情、热血和幻灭的世界。这里没有偏见,也没有非善即恶的二元论,有的只是不断奔涌出来的情感,打动着读者天真的心灵,让他们潸然泪下。

市政厅站到了,我该下车了。故事伴随这段旅途,流淌在我的心间,流淌在我的血管里。仿佛纸墨激起一股小湍流,让我的内心世界得到了净化。

我的数学思维全部处于暂停状态。漫画与数学从来没有过交融。但也许不久后,它们在梦里会有交集?而朗道呢?在经历那场最终还是要了他性命的可怕交通事故之后,他是不是接受了“怪医黑杰克”的手术?可以肯定的是,妙手神医没能让朗道彻底痊愈,朗道也没能完成他的超人使命。

瞧,我刚刚并没有去想艾蒂安提出的柯尔莫哥洛夫-阿尔诺德 -莫泽理论。柯尔莫哥洛夫与朗道之间到底有什么联系?当我迈出地铁的时候,这个谜题又转回到脑子里。如果他们之间真的存在着联系,我要把它找出来。

事实上,我那时绝对无法料到,自己将用一年多时间才找到这个联系。我那时也不可能明白,这将是一个多么令人难以置信的讽刺:那张艾蒂安看着眼熟,并让他联想到柯尔莫哥洛夫的草图,恰恰描述了朗道与柯尔莫哥洛夫两大理论之间失去联系的状态!

那天,艾蒂安的直觉非常了得,尽管这个直觉来自一个错误的出发点。这有点像达尔文通过比较蝙蝠和翼手龙,错误地相信两者间存在密切联系,进而误打误撞地提出了进化论的猜想。

我与克莱蒙在讨论中一起斩获意想不到的发现之后十天,这是第二次神奇的巧合,它十分及时地出现在我的研究路线上。

我还要顺着这条路摸索前行。

那位俄罗斯物理学家叫什么来着?像我一样,他遭遇了一次严重的交通事故,被医生从死亡边缘抢救了回来。当时,他已经临床死亡了。我读过这段传奇般的故事。苏联科学界动员了一切资源去拯救这位无可取代的科学家。他们甚至从国外请来医生。最终,他被救活了。在那几周中,全世界最好的外科医生们轮流值守在他的病床前。他四次被宣告临床死亡,而医生们四次对他进行人工生命维持。我已经记不清细节了,但仍记得读到这段的时候,我被这场反抗宿命的斗争所深深吸引。坟墓的大门已经开启。然而,人们竭尽全力将他从死神手中抢了回来。最后,他回到了自己在莫斯科大学的岗位上。—— 保罗·吉玛尔,《生命中的点滴》(Les Chose de la Vie)

牛顿万有引力定律表述了任意两个物体之间存在相互吸引力,而这个力与两个物体的质量乘积成正比,与两者之间距离的平方成反比:

这一经典引力定律很好地描述了恒星在星系中的运动。尽管牛顿定律如此简单,一个星系中海量的恒星还是让理论变得颇有难度。这好比,即便知晓每个单独的原子是如何运行的,我们依然无法了解人类的身体如何运行。

在发现引力定律数年之后,牛顿又完成了一项不同寻常的发现——牛顿迭代格式。该方法可以用来计算任意一个方程的解:

从一个近似解出发,我们用函数 F在点的切线来替换 F本身(用专业术语来讲,即把方程在附近线性化),并计算原方程的近似方程的解。这会给出一个新的近似解,然后重新以为起点开始:用 F在的切线替换原函数,然后把定义为方程的解,并如此迭代下去。以精确的数学语言来描述,与的关系是

试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]

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