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发布时间:2020-05-18 23:03:59

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作者:马晓菡

出版社:中国人民大学出版社

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5天突破SATⅡ数学

5天突破SATⅡ数学试读:

前言

我常常会被问到这样一个问题,是国内的数学难还是国外的数学难?问这个问题的同学和家长大多有一个困惑,因为经常听说某同学在国内读书时数学学得马马虎虎,到了国外竟成了周围人眼中的数学天才。但是,当我们自己真正进行国际课程学习的时候,发现数学其实并没有传说中那么容易,随随便便就可以得到很好的分数。是什么原因导致了这种偏差呢?这就是我要和大家交流的。国内课程和国际课程,受到历史、文化甚至价值观的影响,在教学内容和思维方式上都有着很大的差异,我们很难简单地去比较它们的难易程度。

一方面我很相信的确存在这样的现象,就是国内数学学得平平常常的同学,到了国外的数学课上会表现得很优异,或者,至少不会像在国内学习数学那么困难、吃力了。但是另外一方面我们也要考虑这样几个问题:

第一,他在几年级?十年级之前,中国学生强大的计算能力的确会让他的小伙伴自叹不如,口算能得出的答案,同龄的国外学生大都需要借助计算器,所以初来乍到的中国学生经常会在课堂上表现得很突出。国际课程在十年级之前的内容是打基础,针对所有学生,所以普遍难度不高,但是一旦进入到高考年级,要选拔进入大学的学生,难度就会迅速提高。接触过为数不少的小留学生,在初一甚至更早到国外留学,刚开始的时候发现学校的数学都简单到不像话,于是就把数学课丢在一边。到了高年级,忽然有一天,发现老师教的都听不懂了。

第二,他是在什么样的学校?我们必须要承认,名牌高中和普通高中的要求还是有很大区别的。即使在名牌高中,情况也不尽相同。曾经有一个在美国名牌高中读书的学生,她的数学能力的确属于中等,不过在学校的数学成绩还是蛮不错的,平时成绩能够拿到A。她告诉我她的学校之所以排名很靠前,学校的体育成绩非常优秀是很重要的一个因素,所以相对来说数学课上的难度并没有那么大,凭着中国学生在小学、初中的扎实基本功和自己的努力能够应付。

第三,他是在学什么样的课程?目前比较主流的国际课程体系有A level,IB和AP。A level的数学有两门课,一门是pure mathematics,一门是further mathematics;IB课程的数学分为high level和standard level;AP数学包含AP calculus和AP statistics。国际课程给学生提供了选择的余地,并没有统一的标准去要求所有学生。学生完全可以根据自己的实际情况去选择数学课的难度,所以如果觉得自己的数学能力欠佳,选择低难度课程,当然更容易有好成绩。

所以,每一个计划或者正在学习国际课程的同学,都应该调整好自己的心态,既不妄自菲薄,也没有任何理由骄傲自满。就数学这门学科来说,国内课程和国际课程在知识体系和思维模式上都有很大的区别,我们必须让自己适应这种转变,才能学有成效。

首先,就内容而言,国际课程都是以微积分和统计学为主体(当然一定也包含数学的基础内容, 比如函数),总体来说就是更注重实用性和跟大学阶段的衔接;而国内课程,微积分和统计涉及很少。即便是国内课程和国际课程都强调的部分,侧重点也有所不同。所以在准备SAT Ⅱ数学考试时,请你一定按照国际课程的重点来准备,参照本书中列举的知识点,不要用你的高中课本去做备考准备。

其次,在思维模式上有很大区别。就在SAT Ⅱ数学的考前准备来看,我发现为数不少的学生喜欢把这些题目当成大题一步一步求解,否则整个人就觉得特别不踏实。我想这可能跟我们平时的学习考试习惯是有关系的,我们总是要小心各种题目陷阱,以防掉进去。学习国际课程之后你很容易就会发现,虽然平时的内容难度不低,但是考试却相对容易准备,很有规律可循,这跟我们国内考试的思路正好相反。在准备SAT Ⅱ数学考试时,也请你不要执着于去发现陷阱,不要执着于应用解大题的思路。SAT Ⅱ数学考试是考查你对十年级(或者英国的十一年级)知识内容是否熟练掌握,巧妙地得到答案本身就是数学能力的一种体现。

SAT Ⅱ数学考试内容

好了,我们现在就要建立起积极客观的心态,认真研究和准备考试,争取一次达到目标。首先我们来看看COLLEGE BOARD给出的纲要(表1):表1

SAT Ⅱ内容基本上是国际课程中十年级的程度和难度,和Pre-Calculus课程吻合度最高。所以在十年级学完Pre-Calculus之后就参加SAT Ⅱ数学考试为最佳。

SAT Ⅱ数学考试分数的计算

SAT Ⅱ数学考试总时长为一个小时,一共50道选择题,每道选择题有五个选项,全部为单选题。答对一道题得分,不答不扣分,答错倒扣分。跟SAT Ⅰ数学部分不同的是,SAT Ⅱ数学的题目不会区别难度给分,每道题目的分值都相同。我们可以根据公式来估算分数,最后得分=800-10(44-卷面成绩),卷面成绩=正确的题目个数-0.25×错误的题目个数。一般来说,如果卷面成绩在44分或者44分之上的话,就可以得到满分800。所以如果你做了全部的题目,最多可以错4~5个。具体情况要看整套试卷的难度和参加考试的别的小伙伴们的成绩来确定;如果你能保证自己会做的都正确,那么你可以有5~6道题放弃不做。这么看来得满分也不算太难,因为有一定的容错率。但关键的是,你是不是可以保证自己会做的题目都能做对。一定记得:SAT Ⅱ数学考试考查的是对知识的熟练掌握程度和严谨度!题目设计不会特意挖空心思考难题怪题。只要安排好复习计划,避免无谓的失误,考个理想的分数并不是难事!

SAT Ⅱ数学考试计算器的使用

我提倡学生使用图形计算器!众所周知,亚洲学生都强于计算,所以很多同学和家长都有个根深蒂固的观念,就是能不使用计算器就不使用计算器,锻炼我们的脑力。我非常同意学生在小学、初中阶段不要过度依赖计算器,应该有基本的口算心算训练。但是到了高中阶段,我们更强调的是知识的应用,所以国际课程的要求之一就是能够熟练使用图形计算器,让计算器更好地为数学学习服务。

尽管不少国内普高的同学们不使用计算器或者使用简单的科学计算器也能够在SAT Ⅱ数学考试中取得很好的成绩,我还是建议大家购买图形计算器并且学会熟练使用它,这是日后到国外念大学的必经之路。本书中,以TI-84为例,列举了一些图形计算器的基本使用方法。由于图形计算器型号众多,在使用上会有很多不同,所以如果你购买了别的型号的计算器,要注意研读说明书。对于SAT Ⅱ数学的备考来说,你主要需要弄懂的是简单运算以及如何画图像,并且通过图像去求最大值、最小值、交点等的基本技巧。

SAT Ⅱ数学考试策略

*按照顺序做题。虽然考试题目并没有严格按照难度来顺序排列,但是一般来说,越是到后面的题目,题干会略长,难度也会略高;而且考试时高度紧张,遇到长题心理上就会比较疲惫,容易焦虑,所以没有必要从后往前做题。

*跳过没有思路的题目。考试时间有限,如果一道题目你完全没有思路,请不要恋战,直接跳过,去做后面的题目。等你全部完成之后再来回顾,有的时候换下脑筋,思路就会豁然开朗。

*放弃复杂计算。如果你遇到一道题目,可以有方法解题但是过于烦琐,不用犹豫,放弃;SAT Ⅱ数学考试中每道题目平均用时不到一分半钟,所以一定会有更好的方法。把这道题放到最后再来解决,不值得花费五分钟在一道题目上。

*简单题目,细心,细心,再细心。我们往往会有一种惯性,遇到简单或者自己有把握的题目,大喜过望,随笔一挥,迅速选出答案。实际上,越是这种题目越是要确保自己的答案百分之一百地正确,不要因为一时激动,马虎出错,这种丢分最可惜。

*保持平常心。这是一次很重要的考试,需要你认真努力对待,但它不是你人生的全部。

本书的使用方法《5天突破SAT Ⅱ数学》包含了SAT Ⅱ数学考试大纲中的所有考点,结合国际课程内容的特点进行了总结归纳。每个知识点后均附有相应的例题帮助学生了解在SAT Ⅱ数学考试中是如何灵活地考查这些知识点的。我认为每一个考生都应该认真地研究例题。当你把知识点和例题都进行了深度理解之后,你会发现,SAT Ⅱ数学并不是考查学生做大题的能力。希望大家放弃某些固有的、略显偏颇的思维模式,学会熟练应用知识点,快速、准确、巧妙地找到正确答案,这才是考试中的正解。

本书书名为《5天突破SAT Ⅱ数学》,并非哗众取宠,刻意制造噱头。我们按照考试大纲把内容分为了五个部分。在大量的教学实践中也发现,相当一部分的同学通过五次课,即十个小时的学习就能把SAT Ⅱ数学内容全部过一遍,再辅以课下的训练,取得一个满意的成绩并非难事。但是因为每个人情况不尽相同,有的同学可以自己准备考试,也有同学只需要一两次课讲解一些未接触过的知识点,还有一些同学需要20个课时或者更多的课时来系统地准备考试。因此,希望考生在备考过程中,能够按照自己的具体情况来分步进行学习。熟悉的内容快速读过,注意研读例题;不熟悉的内容要精读,反复练习,总之就是要根据自己的实际水平来查漏补缺。

最后要提醒大家注意的就是,当你觉得自己在内容方面已经准备好了之后,请你一定要给自己留足够的时间来模考。每次一个小时,像真正在考场一样来做题,每次都给自己一个分数。发现、纠正并且及时总结错题,在下次的模考中不要再犯一样的错误。尤其是在考试前一周,请你至少做两套模拟题,以保持自己的考试节奏和状态。

最后,祝大家好运!马晓菡2014年11月11日Day One 第一天

根据COLLEGE BOARD给出的考试大纲,整个函数部分在SAT Ⅱ数学考试中占到48%~52%的比重,是我们准备SAT Ⅱ考试的重点。我们主要是从三个方面来准备这个部分:一是总结函数的知识点;二是要熟练使用图形计算器,提高解题效率;三是在掌握知识点的基础上找到最佳途径解决问题。

由于函数部分的内容比较多,我们把它分为两天来学习。同学们也可以根据自己的情况自由来安排。第一天的内容主要包含函数的概述,一次函数,二次函数以及高次多项式函数。下面我们来一一讲解。第一章 函数的概述Chapter 1 Overview of Function第一节 定义域和值域1 domain and range

相信大家在确定诸如此类常见函数的定义域和值域的时候还是比较有信心的。

如果选项中的答案出现集合的表示方法,我们也需要能够准确判断。圆括号表示不包括这个数字本身,方括号表示包含这个数字本身。

例题1:What's the range of function defined byA. All real numbersB. All real numbers except 2C. All real numbers except 4D. All real numbers except 0E. All real numbers except 2 and 4

答案:C

解析:x不能取2,所以整体是不可能为零的,因此整个函数不能为4,选择C。

例题2:The range ofis:A. [0, +∞)B. (0,+∞)C. [4, +∞)D. (-∞, 4]E. [0, 4]

答案:E

解析:有很多同学会错误地选成A选项。我们可以把输入计算器,对于函数值域便一目了然。为什么不能选择选项A呢?因为16-x2本身在定义域内是小于等于16的,同时对于,根号应该为非负数,所以值域为[0, 4],选择E。

国际课程中,无论是IB, AP还是A level,函数基础阶段主要研究的函数均包含五大类:一次函数、二次函数、对数函数、指数函数和三角函数。如果把定义域和值域的问题和指数函数、对数函数和三角函数联系到一起,难度就提高了。试试看以下几个例题,你还能快速准确地得到答案吗?f(x)=ex+1range:f(x)>1domain:x∈R(-∞, +∞)(1, +∞)

想要快速正确地得到这道题的答案,需要对f(x)=ex的图像(图1—1)非常熟悉。在f(x)=ex的基础上,f(x)=ex+1(图1—2)的定义域和值域就不难得到。

在原函数图像上y=0是水平渐近线,当整体图像向上移动一个单位长度之后,y=1 就是函数f(x)=ex+1的水平渐近线了。

从图像上可以看出,f(x)=ex的值域是(0, +∞)。当整个图像往上移动一个单位长度之后水平渐近线变为y=1,值域变为(1, +∞)。如图所示,竖直方向上的移动不会影响函数的定义域。

我们再来看看对数函数:range: f(x)∈Rf(x)=ln(x+1)domain:x>-1(-1, +∞)(-∞, +∞)

首先,你知道f(x)=lnx的图像(图1—3)吗?f(x)=ln(x+1)的图像(图1—4)就是在lnx图像的基础上向左进行平移一个单位得到的。

原函数图像f(x)=lnx的竖直渐近线为y轴,也就是x=0。当函数图像向左移动一个单位长度之后,竖直渐近线也向左移动一个单位长度,变为x=-1。

f(x)=lnx的值域为(-∞, +∞),当整体图像向左移动一个单位长度之后,竖直渐近线变为x=-1, 但是y的取值范围并没有发生改变,仍然为全体实数,这点我们可以从图像中观察到。

从另外一个角度来说,f(x)=lnx的定义域需要x>0(具体解释见对数章节),因此f(x)=ln(x+1)中x+1整体需要大于零,那么x>-1就是其定义域。

还有三角函数的值域和定义域,详细内容在三角函数部分会进一步介绍。先来看看下面这个例子:f(x)=sinxcosxdomain:x∈R(-∞, +∞)

恐怕最常见的错误就是会误以为f(x)=sinxcosx的最大值为1,最小值为-1。实际上,sinx和cosx是不可能同时取1的。比如当时,sinx=1,但是cosx=0。因此我们不能简单地把单个三角函数的值域进行加减乘除运算去得到整个三角函数多项式的值域,而是需要把sinxcosx转化成一个三角函数再讨论其值域。根据二倍角公式sin2x=2sinxcosx,,无论2x如何取值,sin2x的值域为[-1, 1],所以f(x)=1

如果你在很短的时间内备考SAT Ⅱ数学考试,对这些函数的基础知识不是很有把握的话,别忘记了你还有图形计算器。推荐大家使用TI-84计算器,TI-84是高中阶段使用最普遍的机型,不仅能满足考试需要,而且还简单易操作。我们把函数f(x)=sinxcosx输入计算器,设置合理的区间把图像展示出来,定义域和值域的问题就一目了然了。

第一步先输入函数(图1—5) 第二步再把模式Mode设成Radian(图1—6)图1—5图1—6

为什么要把模式改成“Radian”而不是用“Degree”呢?理论上角度和弧度都可以,只是如果你使用角度作为模式,计算器想要显示一个完整周期的话,需要Xmin=0,Xmax=360。所以习惯上我们会选择弧度,这样当显示一个周期的时候,Xmin=0, Xmax=2π即可。

第三步调整适当的WINDOW(图1—7)最后查看图像(图1—8)图1—7图1—8

可以通过调整WINDOW中Xmin,Xmax,Ymin和Ymax来控制屏幕中显示图像的大小。Xmin表示屏幕显示中X的最小值,Xmax表示屏幕显示中X的最大值,Ymin和Ymax同理。Xscl表示的是比例,比如如果Xmax是5,Xscl为1,那么在X正半轴会显示五个刻度,因为有五个单位长度;但是如果Xmax是5,Xscl也为5,那么在X正半轴只显示一个刻度。请你拿起计算器来体会一下WINDOW的调整对图像产生的影响。

下面一步就来查看图像的最大值和最小值。

通过,来找到函数的最大值(图1—9和图1—10)图1—9图1—10

为什么会出现Left Bound(左边界)?因为图像的最大值有三个(这里的Maximum实际是Local Maximum(极大值)而不是Absolute Maximum(最大值),不过这属于微分的内容了),计算器不知道具体要算哪一个最大值,所以需要给出一个范围,当范围里面只有一个最大值的时候计算器就可以计算了。比如我们Left Bound设为X=0,Right Bound设为X=2(图1—11),这时在0到2的范围中只有一个Maximum,然后在0到2的范围内随意给出一个数值比如1(图1—12),计算器就可以利用逼近法计算结果,最后得到的结果如图1—13所示,也就是最大值Y=0.5。如法炮制,我们可以得到最小值Y=-0.5。图1—11图1—12图1—13第二节 奇函数和偶函数2 odd function and even function

odd function (奇函数)

f(x)is odd function if f(-x)=-f(x) for all x values.

简单理解就是如果函数中x取相应的相反数,y值会变成相应的相反数,那么此函数就是奇函数。

定义是用来判断函数奇偶性的重要方法,比如f(x)=x3:

f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),符合定义,因此f(x)=x3是奇函数。

三角函数的奇偶性是SAT Ⅱ数学考试中非常常见的考查内容。sinx和tanx是常见的奇函数。我们透过它们的图像来观察以下奇函数的图像特征:

f(x)=sinx(图1—14)图1—14

从图像上很容易看出,当x取相应的相反数时,y值也取相应的相反数。比如当x=y=-1,符合奇函数给出的定义,因此f(x)=sinx是奇函数。

正是由于f(x)=sinx是奇函数,我们很容易知道

试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]

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