作者：（英）罗杰·彭罗斯
出版社：湖南科学技术出版社
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第一推动丛书·宇宙系列：宇宙的轮回(新版)(过去为什么不同？彭罗斯提出宇宙起源的最新理论——共形循环宇宙学)试读：
前言
我们宇宙的最大秘密就是它从哪儿来。
1950年代初，我进剑桥大学读数学研究生，那时正好兴起一个迷人的宇宙学理论，即稳恒态模型。根据那个纲领，宇宙没有开始，而且总的说来一直保持着大致相同的状态。稳恒态宇宙之所以能在膨胀中保持不变，是因为在膨胀中持续损耗的物质被持续新生的物质（极端弥散的氢原子气团）补偿了。我在剑桥的导师和朋友是宇宙学家席艾玛（Dennis Sciama），我从他那儿体验了新物理学的兴奋。他当时是稳恒态宇宙学的强烈支持者，让我深切感受了那个杰出纲领的美妙和力量。
然而，那个理论没能经受时间的检验。大约在我第一次进剑桥并且熟悉那个理论10年之后，彭齐亚斯（Arno Penzias）和威尔逊（Robert Wilson）惊奇地发现了一个来自所有方向、遍及整个天空的电磁辐射，也就是现在说的宇宙微波背景（CMB）。很快，迪克（Robert Dicke）就将它解读为人们预言的宇宙起源的大爆炸“闪光”的痕迹，那大约发生在140亿年前——第一个严格构想大爆炸的是勒梅特（Monsignor George Lema tre），他在1927年基于他对爱因斯坦1915年广义相对论方程的研究和宇宙膨胀的早期观测证据提出的。后来，CMB越来越好地确立起来了，席艾玛以巨大的勇气和科学的诚实，否定了他自己早先的观点，从此转而强烈支持宇宙起源的大爆炸思想。
从那时以来，宇宙学已经从推测和猜想变成了一门精确的科学，大量的优美实验产生了高度精确的CMB数据，对它的周密分析成为这个转变的重要组成部分。然而，还有很多未解之谜，猜想仍将在我们的追求中占据一定的位置。我在本书中描述的，不仅是经典相对论宇宙学的主要模型，还有它们的不同发展和这些年里出现的疑难问题。尤其值得注意的是，在热力学第二定律和大爆炸本性的背后藏着深层的奥秘，我为此提出了自己的一套猜想，它把我们所知的宇宙的诸多方面的不同问题都拉扯到一起来了。
我的非正统方法要追溯到2005年，不过很多细节是近期才有的。我的解说深入到一些几何，但在正文里我并没过分摆弄方程或其他技术，它们都放在附录里了。只有专家需要参阅那个部分。我这儿提出的纲领其实是非正统的，不过它有着非常坚实的几何和物理的基础。尽管我的建议与旧时的稳恒态模型完全不同，但分明回荡着它的音响！
我不知道席艾玛老师会做什么。致谢
我非常感谢众多的朋友和同事的重要意见和建议，感谢他们让我分享他们的思想，融入我在这儿提出的宇宙学纲领。最重要的是，与Paul Tod详细讨论了他建立的Weyl曲率假设的共形形式，这对我有着决定性的影响。大家可以看到，他的分析的很多方面对我的共形循环宇宙学方程的具体建立起着至关重要的作用。另外，Helmut Friedrich对共形无限远的强有力分析，特别是他对正宇宙学常数情形的研究，为我的纲领的数学可能提供了强大的支持。多年来，Wolfgang Rindler也贡献了他的重要思想，特别是他对宇宙学视界的独创性理解，还有他与我在2-旋量形式的长期合作以及我们就暴胀宇宙学的作用展开的讨论。
重要的启发还来自Florence Tsou（周尚真）和Hong-Mo Chan（陈匡武），他们让我明白了粒子物理学中质量的本性，还有James Bjorken也提供了重要见解。对我产生过影响的人还有David Spergel, Amir Hajian, James Peebles, Mike Eastwood, Ed Speigel, Abhay Ashtekar, Neil Turok, Pedro Ferreira, Vahe Gurzadyan, Lee Smolin, Paul Steinhardt, Andrew Hodges, Lionel Mason和Ted Newman。Richard Lawrence卓越的编辑支持也难能可贵，还有Thomas Lawrence付出的辛勤劳动，他补充了很多遗漏的东西（特别是第一部分）。也感谢Paul Nash为我编制索引。
我还要深深感谢我的妻子Vanessa，感谢她在困难环境下对我的深爱、支持和理解，也感谢她在很短时间内为我提供需要的图件，特别是她指导我应付了不断出现的现代电子技术的困扰，如果没有她的帮助，我对那些图件就一筹莫展了。最后，也要谢谢我们10岁的小儿子Max，不仅是他的勇气和快乐，他还以自己的方式帮我克服了技术难题。
感谢荷兰M.C.Escher公司允许我复制图2.3中的绘画，感谢海德堡大学理论物理研究所允许我引用图2.6。最后，感谢国家科学基金会的资助（PHY00—90091）。引子
大雨滂沱，小河溅起水沫，溅到汤姆的脸上，他眯缝着眼睛，看急湍的溪流从山间落下。“哇，它总是这样的吗？”他问普利西拉阿姨。阿姨是剑桥大学的天体物理教授，特意带他来看那个神奇的老水磨，那么古老，还能完美地运转。“难怪，那么老的机器还转那么快呢！”“我看它不会老是那么有力的。”身边的阿姨说。她站在河边的栏杆后面，提高嗓音，压倒了水的喧嚣。“今天的水势比平常大多了，因为雨多。你看那下面，好多水都从水磨流出来了。平常可不那样，水要平缓得多，水磨得好好利用它们。可现在呢，水的能量大了，超过了水磨的需要。”
汤姆对着狂野湍急的水盯了好一会儿，看到空中飞溅的朵朵水花和片片水雾，神往极了。“我能看见水里有好多能量，我知道几百年前人们就明白怎么用能量来驱动机器了——做很多人合力才能做的事情，织精美的毛衣。可是，原先从哪儿来那么多能量，才把水弄到山上去的呢？”“太阳的热量让海水蒸发到空中，然后以雨水的形式降下来。所以，相当多的雨水会落到山上。”阿姨告诉他，“让水磨转动的，就是来自太阳的能量。”
汤姆有点儿疑惑。他经常对阿姨说的东西感到疑惑，而且老是喜欢怀疑。他看不出热量怎么就能把水升到空中。如果说周围全是热量，他怎么还感觉冷呢？“昨天是很热，”他勉强承认，“可那会儿和现在一样，我也没觉得太阳要把我弄上天啊。”
阿姨笑了。“不，不是那样的。太阳的热量是把能量给了海水的小分子。然后，那些分子四处乱跑，比平常快得多。有些‘热’分子跑得更快，能突破水面，跑到空中去。虽然跑出去的分子比例很小，可海洋那么大，所以总的说来还是有大量分子进入空气。那些分子形成云，然后通过降雨回到地面，有很多就落到山上。”
汤姆还是有点儿迷糊，不过雨总算小点儿了。“可是，我没觉得雨是热的呀。”“是这样的，太阳的热量先转化为水分子的随机运动的能量，然后，动能使一小部分分子跑得很快，变成蒸汽进入空中。这些分子的能量变成所谓的引力势能。想想看，我们把一个球抛到空中，你使的劲儿越大，球抛得越高。到达最高点时，球不再向上，它在那一点的动能全都转化成了相对于地面的引力势能。水分子的情形也是一样的。它们的动能——从太阳热量得到的——转化成在山顶的引力势能，然后，当水从山上冲下来时，又重新变成动能，驱动水磨。”“所以那儿的水一点儿也不热？”汤姆问。“是的，孩子。当水分子到达高空时，它们会慢下来，还会冻成冰晶——云主要就是由这些冰晶组成的——所以能量变成了相对于地面的势能，而不是热运动的动能。于是，那儿的雨一点儿不热，下落时会被空气阻力减慢，落到地下时还很冷呢。”“真有趣！”“是啊，”阿姨看小孩有了兴趣，于是趁热打铁，补充说，“要知道，即使河里的冷水，每个分子也以很高的速度四处乱跑，它们包含的热量比从山上冲下来的湍急涡流还多呢！”“天啊，是这样的，好像有点儿明白了。”
汤姆想了一会儿，起初有点儿疑惑，然后就被阿姨的话吸引了，兴奋地说：“我有了一个好主意！为什么不造一种特殊的水磨，直接利用平常湖水里的水分子动能呢？它可以用很多小小的风车，就像顶端有个小碗儿的风向标，不管风朝哪个方向吹，它都能转起来的。只是它在水里必须很小很小，水分子的速度才能使它转动，这样我们就可以用它转化水分子的动能来驱动各种机器了。”“奇妙的想法，好孩子！遗憾的是，它行不通。那是因为有个物理学的基本原理，叫热力学第二定律，大概意思是，随着时间的流逝，事情会变得越来越混乱无序。就这一点说，它告诉我们你不可能从热或者冷物体的随机运动获取有用的能量，就像你刚才说的那样。你的想法，我看有点儿像‘麦克斯韦小妖’。”“你都没开始做！每当我有一个好想法，爷爷总叫我‘小妖’，我不喜欢。第二定律那东西，算不得好定律。”汤姆生气了，抱怨说。然后，他的怀疑天性又回来了：“我不知道是不是真敢相信它。”他接着说，“我想，那样的定律需要更清楚的思想来解释。不管怎么说，我想你说过，是太阳的热量加热了海水，是那些随机的动能使它到达山顶，也正是它转动水磨的。”“你说得对。所以第二定律告诉我们，光凭太阳的热量还不行。为了能够运行，我们还需要较冷的高层大气，这样，水蒸气才能在山的上空凝结。其实啊，从整体说来，地球并没从太阳得到一分能量。”
汤姆一脸惊讶地看着阿姨。“跟冷大气有什么关系呢？‘冷’可不就是比‘热’的能量少吗？一点儿能量有什么用呢？我不明白你说的话。不管怎么说，我看你有点儿自相矛盾。”汤姆越发自信了，“你先告诉我太阳能量转动水磨，现在又说太阳压根儿没给地球能量！”“是啊，真的。假如太阳给了地球能量，地球就会变得越来越热。地球白天从太阳得到的能量，到晚上都还给天空了，因为夜空是黑的——我想，大概只有一点儿回到地球，让全球变暖。这是因为，太阳是黑暗天空里的一个炽热的亮点……”
汤姆越听越迷糊，不知阿姨说什么，开始走神了。又听阿姨说，“……所以呀，正因为太阳能量有那么明显的组织性，我们才觉得第二定律处在困境中。”
汤姆一脸茫然地看着阿姨，说：“我想我没听懂你说的，我也不明白为什么要相信‘第二定律’的东西。不管怎么说，太阳的组织从哪儿来呢？你的第二定律本该告诉我们太阳会越变越混乱，所以它刚形成时一定是高度组织的，因为它一直在失去它的组织。你的‘第二定律’说它的组织在不断丢失。”“这是因为太阳是黑暗天空里的一个热点，温度的极端悬殊生成了我们的组织。”
汤姆盯着阿姨，有点儿明白了，但还是不大相信她说的话。“你说那就是组织，好吧，可我不明白为什么那样。退一步说，就算假定是那样的——可你还是没告诉我那种可笑的组织到底是从哪儿来的。”“来自形成太阳的气体呀，那些气体原先是均匀分布的，然后引力使它聚集成团，凝结成星体。很久很久以前，太阳就是这样形成的；它从原先分散的气体收缩而来，在收缩的过程中变得越来越热。”“你老往过去说，说得滔滔不绝，可你说的‘组织’，不管它是什么，最初是从哪儿来的呢？”“最初来自大爆炸，整个宇宙都是从这个剧烈的大爆炸开始的。”“爆炸那玩意儿可不像什么有组织的东西，我还是不懂。”“很多人都不懂！你只是其中的一个。没人真的懂。组织从哪儿来，大爆炸凭什么代表组织，都是宇宙学的大难题。”“也许在大爆炸之前还有更具组织性的东西？组织也许从那儿来？”“真有人那么想过。有理论说，我们现在膨胀的宇宙以前有个坍缩的时期，然后‘反弹’成我们的大爆炸。也有理论说，前期宇宙的一小部分坍缩成我们所说的黑洞，然后它们‘反弹’，变成大量新膨胀宇宙的种子。还有理论说，新宇宙是从‘伪真空’里生出来的……”“我看那简直是疯了。”汤姆说。“是啊，不过，我最近还听说有一个理论……”第1章神秘的第二定律1.1 漫漫随机路
热力学第二定律——是个什么样的定律呢？在物理行为中，它扮演着什么样的角色？它怎么就向我们呈现了真正深层的秘密？在本书的后面，我们将努力去理解这个秘密令人疑惑的本性，看它为什么可能将我们驱向求解的崎岖长路。我们将走近宇宙学的未知领地，面临一些空前的难题，我想只有从全新的观点来看我们宇宙的历史，才有可能解决它们。不过，这些都是以后的事情。现在我们还是用心来看看这个无所不在的定律蕴藏着什么东西。
我们平常说起“物理学定律”，是指两种不同事物之间的等式。例如，牛顿的第二运动定律是将一个粒子的动量的变化率（动量等于质量乘以速度）与作用在它上面的外力的总和等同起来。再看能量守恒定律，它说的是一个孤立系统在某一时刻的总能量等于它在其他任何时刻的总能量。类似地，电荷守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律，也是关于总电荷、总动量和总角动量的对应等式。爱因斯坦2的著名定律E=mc说的是，一个系统的能量总是等于它的质量乘以光速的平方。再看一个例子，牛顿第三定律指出，在任意时刻，物体A作用于物体B的力，总是等于B反作用于A的力。众多其他物理定律也是如此。
所有这些定律都是等式——所谓热力学第一定律也是，其实它就是能量守恒定律，不过是在热力学环境下说的。我们强调热力学，是因为我们现在考虑热运动的能量，即组成系统的单个粒子的运动。这个能量是系统的热能，我们定义系统的温度等于每个自由度（我们接着要讨论）的能量。例如，当空气的摩擦阻力减缓粒子的运动时，尽管动能因运动轨迹的摩擦而损耗了，但并不违反总的能量守恒定律（即热力学第一定律）——摩擦产生的热，使空气和轨迹中的其他分子在随机运动中变得更有活力了。
然而，热力学第二定律却不是等式，而是不等式，它只是断言，一个孤立系统的某个特定的量（我们称为熵）——它是系统无序性（即“随机性”）的度量——在后来时刻的数值，将大于（或至少不小于）它在以前时刻的数值。由于陈述显而易见的薄弱，我们会发现，对一般系统而言，熵的定义也存在一定的模糊和随意。而且，在大多数表述形式下，我们会发现一些偶然或例外的情形，必须认为熵随时间（尽管是暂时的）而减小，虽然就总的趋势来说，熵还是增大的。
不过，第二定律（以后我都这样简称它）除了这一点内在的看似模糊的地方以外，它有着极大的普适性，远远超越我们所能考虑的任何特殊的动力学法则的系统。例如，它不仅适用于牛顿理论，也同样适用于相对论；它不仅适用于只包含离散粒子的理论，也同样适用于连续场的麦克斯韦电磁理论（我将在2.6，3.1和3.2节做简短介绍）。它甚至还适用于假想的动力学理论，尽管我们没有多大的理由相信它们与我们生存的宇宙有任何关联；当然，它最有用的地方还是现实的动力学纲领，诸如牛顿力学等。那些理论都具有确定性的演化，而且是时间可逆的，从而对任何可能的向未来的演化，如果颠倒时间方向，它们都会给出同样可能的演化图景。
换一种我们熟悉的方式。假设我们放一段影片，表现某个符合动力学定律——如牛顿定律——的时间可逆的行为，那么倒放影片所表现的过程，同样符合那些动力学定律。关于这一点，读者也许感到疑惑。假如影片表现一个鸡蛋从桌面滚下，落到地面砸碎，这是允许的动力学过程；可倒放的影片——地板上的破碎蛋壳神奇地重新组合，蛋清和蛋黄也各自聚集，钻进蛋壳里，然后跳回桌面——却是我们不可能看到的物理学过程（图1.1）。尽管如此，单个粒子的牛顿力学，包括粒子对作用在它的所有力的加速反应（遵从牛顿第二定律）和粒子之间的碰撞的弹性反应，都完全是时间可逆的。根据现代物理学的标准程序，相对论和量子力学的粒子的更精细的行为，也是时间可逆的——当然，广义相对论的黑洞物理学（也涉及量子力学）出现了某些微妙的特征，但我现在还不想纠结于它们。其中有些微妙的东西对我们以后的讨论是至关重要的，我们将在3.4节细说。不过眼下，我们满可以完全用牛顿图景来描述事物。图1.1 一个鸡蛋从桌子滚下，落到地上碎了，遵从时间可逆的动力学法则
我们必须让自己习惯这样的事实：正反两个方向播放的影片所表现的情景，都满足牛顿动力学，但自我复合的鸡蛋却不符合第二定律，而且是极其不可能的事情，我们完全可以认为它不可能在现实发生。大致说来，第二定律说的是，事物总是变得越来越“随机”。所以，假如我们设定一个特殊的情景，让动力学驱动它向未来演化，那么系统将随时间向越来越随机的状态演进。不过严格说来，考虑到我们上面的情形，我们不能说它准会演进到越来越随机的状态，而应该说，它（大概）会以压倒性的可能向更随机的状态演进。在现实中，我们必须根据第二定律相信事物确实会随时间变得越来越随机，但那只是代表一种压倒性的可能，而不是绝对的确定。
尽管如此，我们还是可以相当有把握地断言，我们要面对的是一个熵增过程——也就是随机性增大的过程。这样说来，第二定律也许有点儿令人失望，因为它告诉我们事物只会随时间变得越来越没有组织。然而，这听起来不像什么神秘的东西，没有本节标题该有的意味。这不过是事物自然活动的一个明显的特征。第二定律似乎只是表述了寻常事物的一种不可避免、也多少令人泄气的特征。实际上，从这样的观点看，热力学第二定律是我们所能想象的最自然的事情，当然它也反映了我们最普通的经验。
也许有人疑惑，地球上出现生命，看起来是那么精妙，似乎与第二定律所要求的无序增加相矛盾。我以后会解释（见2.2节），这不是什么矛盾。就我们所知，生物学总的说来满足第二定律所要求的总的熵增。本节标题所指的神秘，是完全不同的尺度秩序的物理学的神秘。尽管它与生物学不断呈现给我们的神秘而奇异的组织有着一定的关联，但我们还是有很好的理由相信那与第二定律没有任何矛盾。
不过，有一点需要说清楚，它与第二定律在物理学中的地位有关：第二定律代表一种独立的原理，必须与动力学定律（例如牛顿定律）相结合，而不能认为是那些定律演绎的结果。然而，一个系统在任意时刻的熵的定义，对时间方向来说是对称的（所以，不管影片正放还是倒放，那个落地的鸡蛋在任意时刻的熵都有相同的定义）；如果动力学定律也是时间对称的（牛顿动力学正是如此），而系统的熵不是常数（如那个打碎的鸡蛋），则第二定律不可能从动力学定律推导出来。因为，假如熵在某个特殊情形是增大的（如鸡蛋碎了）——这符合第二定律——那么，在相反的情形（如鸡蛋神奇地复合了），熵一定是减小的，这就完全违背第二定律了。由于正反两个过程都符合（牛顿）动力学，于是我们看到，第二定律不可能简单归结为动力学定律的结果。1.2 熵，状态的数目
那么，物理学家在第二定律里所说的“熵”，究竟要怎么量化“随机性”，我们才不会看到一只打碎的鸡蛋自己复合，从而排除这种严峻的可能呢？为了更具体地说明熵的概念到底是什么，也为了更好地描述第二定律究竟讲了什么，我们来考虑一个比碎鸡蛋更简单的例子。假如我们在瓶子里倒几滴红墨水，然后倒几滴蓝墨水，好好搅拌，过一会儿，红蓝墨水将失去本色，最终完全融合，瓶子里看到的就是紫色的墨水了。在这以后，不管怎么搅拌，紫墨水都不会分离成原来的红蓝墨水，尽管搅拌背后的微观物理过程是时间可逆的。实际上，即使不去搅拌，紫色最终也会自发形成，如果我们给墨水加点儿热，就更容易了。不过在搅拌下，紫色状态可以更快达到。用熵来说，原先的红蓝颜色分离的状态有着较低的熵，而最终的紫墨水的熵要大得多。实际上，整个搅拌过程不仅为我们呈现了一个满足第二定律的情景，它还开始让我们明白第二定律到底在说什么。
让我们更准确地来看看熵的概念，从而更明白发生了什么。一个系统的熵到底是什么呢？大略说来，熵是相当基本的概念，尽管它牵扯些微妙的见识——主要来自奥地利物理学家玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann），它只不过是计数不同的可能性。为简化问题，我们把墨水的例子理想化，考虑每个墨水分子的位置只有有限个（尽管数量很大）可能。我们将分子看作蓝色或红色的小球，它们只能占据离散3的位置，聚集在N个小格子里。墨水瓶就是那些小格子组成的一个巨大的N×N×N立方体箱子（图1.2）。在图中，我假定每个格子恰好有着一个蓝球或红球。
为确定瓶中某个位置的墨水颜色，我们对那个位置附近的红球与蓝球的相对密度做某种平均。我们用一个立方体盒子将那位置围起来，盒子比整个箱子小得多，但比刚才说的小格子大得多。假定这个盒子包含大量刚才考虑的小格子，构成整个箱子的一种立方填充，不过不如原先格子填充那么密实（图1.3）。假定每个盒子的边长是原来格子的n倍，则每个盒子有n×n×n个格子。这儿的n虽然很大，但远远小于N。图1.2 N×N×N立方体箱子，每个格子包含一个蓝球或红球3图1.3 大小为n×n×n的格子组合成k个盒子N》n》1
为计算简洁，我假定N恰好是n的倍数，即N=kn
这儿k是整数，是箱子的每个边排列的盒子数。于是，箱子里共3有k×k×k=k个内嵌的盒子。
我们的想法是用这些中间盒子来度量盒子里某个位置的“颜色”。在这样的盒子里，我们可以认为每个球都太小而不可能单个地看到。结果是一种平均的颜色，通过对盒子里的蓝球和红球的颜色的“平均”，可以为每个盒子赋予一定的色调。假如盒子里红球的数目为3r，蓝球的数目为b（于是r+b=n），那个位置的色调可以定义为r与b之比。因此，如果r/b大于1，我们就认为它更红；如果r/b小于1，我们就说它更蓝。
我们假定，如果n×n×n个格子的每一个的比值r/b都在0.999和1.001之间（即r和b在千分之一的精度上是相同的），则混合颜色就显现为均匀的紫色。乍看起来这也许是相当严格的要求（它得满足每个n×n×n格子）。但我们发现，在数目变得很大时，多数的球填充方式也的确满足这个条件！我们还应该记住，考虑墨水瓶里的分子时，它24们的数量在常规看来会大得惊人。例如，一瓶普通的墨水大约有108个分子，所以，取N=10没有任何问题。另外我们看到，数码相片在-2310厘米的像素上能完美表现色彩，所以在这个模型里，取k=10也835是蛮有道理的。根据这些数字（N=10，k=10，从而n=10），我们33发现1/2 N个蓝球和1/2 N个红球的集合，有2357000000000000000000000010种不同组合方式显现均匀的紫色。而生成46500000000000原先的蓝球全在顶部而红球全在底部的组合，只有10种不同方式。于是，对完全随机分布的球来说，几乎可以肯定会出现均匀的紫色，而所有蓝球都在上面的概率只是-2357000000000000000000000010（即使我们不是要求“所有”而只是99.9%的蓝球在上面，这个概率也不会有大的改变）。
我们将把“熵”看作那些概率的某种度量，或者生成同样“整体表现”的那些不同组合方式的数目。具体说来，直接用数目将得到一个极难驾驭的度量，因为它们的大小太悬殊了。不过幸运的是，我们有很好的理论上的根据，可以取那些数字的自然对数来作为更恰当的“熵”度量。对不大熟悉对数（特别是“自然”对数）的读者，我们用以10为底的对数来表示——记作“lg”（而自然对数为“ln”）。为理解lg，我们需要记住lg 1=0，lg 10=1，lg 100=2，lg 1000=3，lg 10000=4，
等等。就是说，对10的幂次的对数，我们只要数它有多少个0。对不是10的幂次的正整数的对数，我们可以推广这个法则，其整数部分（即小数点前的数字）等于原来的位数减1，例如（整数部分为黑体字）lg 2=0. 3……lg 53=1. 7……lg 9140=3. 9……
等等。在每个情形下，黑体字都比原数的位数少1。对数（lg或ln）最重要的性质是将乘法转化为加法；即lg（ab）=lg a+lg bA（在a和b都是10的幂次的情形，这是显而易见的，因为a=10乘BA+B以b=10得到ab=10。）
上面列出的关系，对我们在熵概念中运用对数有着巨大意义。如果一个系统由两个分离而且完全独立的单元组成，那么系统的熵就简单地等于将各部分的熵加起来。在这个意义上，我们说熵是可加的。具体说，假如第一个单元能以P种不同方式产生，第二个单元为Q种，则由两个单元组成的整个系统将以PQ种不同的方式生成（因为对第一个单元的P种生成方式的每一种，第二个单元都有Q种生产方式）。于是，如果我们定义任意系统的状态的熵正比于生成那个状态的不同方式数的对数，就能确保独立的系统都满足可加性。
然而，“生成系统状态的方式数”是什么意思，我还没说清楚。首先，我们模拟（墨水瓶里）分子的位置时，通常不考虑现实的分子会占有离散的格子，因为在牛顿理论中，每个分子都有无限而不是有限个不同可能的位置。另外，每个分子都可能有不那么对称的形状，因而在空间有不同的定向方式；它还可能有其他的内在自由度（如变形），这些都应该考虑进来。每个定向或变形都应该算作系统的不同构形。我们将通过系统的构形空间（下面接着讲）来处理这些问题。
具有d个自由度的系统，构形空间将是一个d维空间。举例来说，如果系统由q个点粒子p，p，……，p组成（每个粒子都没有12q任何内在自由度），那么构形空间有3q维。这是因为，每个粒子只需要3个坐标来决定它的位置，所以共有3q个坐标，从而构形空间的一个点P确定了所有p，p，……，p的位置（见图1.4）。在更复杂的12q具有内在自由度的情形，每个粒子将有更多的自由度，但一般思想还是一样的。当然，我并不指望读者能“构想”在那么高维的空间里发生的事情。这是不必要的。我们只需要想象2维空间（如画在纸上的一个区域）或通常3维空间里发生的事情，就能得到足够的认识。不过要牢记，那种图像难免存在一定的局限，我们马上就会遇到一些。当然，我们还应该记住，那样的空间是抽象的纯数学空间，不能与我们经历的3维物理空间或4维物理时空混为一谈。图1.4 q个点粒子p，p，……，p的构形空间是一个3q维空12q间
我们定义熵时，还有一点需要说明，那也是我们正要考虑的问题。在我们的有限模型里，蓝球与红球的组合数目是有限的。可是现在，我们有无限多的组合方式（因为粒子的位置需要连续参数），这就需要我们考虑构形空间里的高维体积，才能得到关于大小的恰当度量，而不是细数一个个的事物。
为理解高维空间的“体积”，我们先来看低维情形。对2维曲面的一个区域来说，“体积度量”其实就是那个区域的曲面面积。在1维空间的情形，我们只考虑沿着曲线的某个部分的长度。在n维构形空间，我们要用普通3维区域的体积的某种n维类比来思考。
那么，在熵的定义里，我们该度量构形空间的哪个区域的体积呢？基本说来，我们要关心的是构形空间里某个特殊区域的体积，它对应于与我们考虑的某个特殊状态“看起来一样”的所有状态的集合。当然，“看起来一样”是很模糊的说法。它的真正意思是，我们有某个理论上可以穷尽的宏观参数的集合，能度量系统的诸如密度分布、颜色和化学组成等特征，但我们不去理会组成系统的每个原子的精确位置等细节。在这个意思下将构形空间分解为“看起来一样”的区域，叫空间的“粗粒化”。于是，每个“粗粒化区域”的点所代表的状态，可以通过宏观观测与其他区域的状态区分开来。见图1.5。图1.5
的粗粒化
当然，“宏观”观测的意思还是很模糊的，不过我们这儿是在寻求某种“色调”的类比，就像我们在简化的墨水瓶的有限模型里用过的一样。我们承认，这个“粗粒化”的思想确实有某些模糊的地方，但在熵的定义中，我们关心的是构形空间里的那个区域的体积——或那个粗粒化区域的体积的对数。是的，这还是有点儿模糊，然而，不同寻常的是熵的概念表现得那么强健，主要就因为粗粒化的区域具有无比巨大的体积比。1.3 相空间和玻尔兹曼的熵
不过，我们还没完成熵的定义，到这会儿，我们只谈了问题的一半。看一个略微不同的例子，就会发现前面的描述有不足的地方。我们不说红蓝墨水，而考虑装着一半水和一半橄榄油的瓶子。我们可以随意混合，也可以用力摇晃。但过一会儿，油和水会分开。我们看到油浮在上面，而水在下面。尽管如此，熵在分离的过程中仍然在增大。其中的关键一点是，橄榄油分子之间存在强烈的相互吸引，使油分子聚集而将水分子排斥。仅靠构形空间的概念不足以解释这种情形的熵增，我们需要考虑单个粒子/分子的运动，而不仅是它们的位置。不管怎么说，它们的运动是必要的，这样我们才能根据牛顿定律（假定它们在这儿也起着作用）决定未来的状态演化。对橄榄油分子而言，强吸引使分子速度增大，越来越靠近（它们做着严格的相互环绕的轨道运动），正是那关联空间的“运动”部分，为橄榄油分子的聚集提供了必需的额外体积（从而产生额外的熵）。图1.6 相空间维数是构形空间的两倍
我们需要的这个空间，不是前面说的构形空间，而是所谓的相空间。相空间的维数是构形空间的两倍！在相空间里，每个组成粒子（或分子）的位置坐标，除了原来那个位置的坐标外，一定还有对应的“运动”坐标（见图1.6）。我们也许会想象，那种坐标的一个恰当选择是速度（或角速度，对应于描述空间方向的角坐标）的恰当度量。然而，后来发现，我们应该用动量（或角动量，对应于角坐标）来描述速度（这是因为它与哈米尔顿理论的形式有着深[1.1]刻的联系）。在我们熟悉的多数情形，只需要知道“动量”就是质量乘以速度（如1.1节讲的）。这样，构成我们系统的所有粒子的瞬时运动连同它们的位置，就都蕴含在相空间的单个点p的位置里了。所以我们说，相空间内的点p的位置描述了系统的状态。
我们考虑的主宰系统行为的动力学定律，也可以看作牛顿运动定律。但我们还可以处理更一般的情形（如麦克斯韦电动力学的连续场，见2.6，3.1，3.2节和附录A1.），它们也来自哈米尔顿方程的宏大框架。这些定律是决定性的，因为我们系统在任何时刻的状态完全决定了它在其他任何时刻（不论更早还是更晚）的状态。换句话说，根据这些定律，我们可以将系统描述为相空间内沿曲线（叫演化曲线）运动的一个点p。这条演化曲线代表了整个系统在动力学定律下从某个初始态（我们用相空间中的一个p点来代表）开始的唯一演0化（见图1.7）。实际上，整个相空间将充满那样的演化曲线（犹如一捆稻草），其中每一点都处于某条特殊的演化曲线上。我们必须把这些曲线看作定向的——意思是我们必须为曲线赋予一个方向，为此我们可以给它加一个箭头。我们的系统在动力学定律下的演化，就由运动的一个点p来描述——在眼下的情形，它沿着从p点出发的演0化曲线，向着箭头指定的方向运动。这为我们呈现了p点所代表的系统的一个特殊状态的未来演化。如果从p出发沿着箭头的反方向，演0化曲线呈现的是演化的时间反演过程，它告诉我们p代表的状态是如0何从过去的状态生成的。这个演化在动力学定律下也是唯一的。图1.7 点p沿着相空间中的一条演化曲线运动
相空间有一个重要特征：自量子力学诞生以来，我们发现它有一个自然的度量，可以从本质上将相空间的体积视为一个无量纲数。这一点很重要，因为玻尔兹曼的熵（马上就要讨论它）是以相空间体积的形式定义的，需要我们能够比较不同的高维体积的度量，它们的维数可以悬殊。从寻常的经典（非量子）物理的观点看，这似乎有点儿奇怪，因为在普通名词中，我们总是认为曲线的长度（1维“体积”）不如曲面的面积（2维“体积”）那么大，而曲面面积又小于3维体积，等等。但量子力学要我们用的相空间体积，以满足的质量和距离单位来度量，只是纯粹的数。量即狄拉克[1.2]的普朗克常数（有时也叫约化普朗克常数），其中h是寻常的普朗克常数。在标准单位里，的值极其微小：
于是，我们平常遇到的相空间度量将具有极其巨大的数值。
如果只考虑整数，相空间就仿佛“一粒粒的”了，这为量子力学的“量子”提供了离散性。但在大多数普通情形下，这些数都很大，所以颗粒性和离散性都不显著。一个例外是我们将在2.2节讨论的普朗克黑体辐射谱（图2.6和注释1.2），这是普朗克1900年的理论分析所解释的观测现象，启动了量子力学的研究。在这儿我们必须考虑同时包含不同数量光子的平衡状态，也就要考虑不同维数的相空间。恰[1.3]当讨论这一点，超出了本书讨论的范围，不过我们将在3.4节谈量子理论的基本知识。
有了系统的相空间概念，我们还需要明白第二定律如何在其中运作。和讨论构形空间的情形一样，这要求我们将粗粒化，其中属于同一粗粒化区域的两点在宏观参数上可以认为是“不可区分的”（如流体的温度、压力、密度、方向和流量，如颜色、化学组成，等等）。原来用中的一点p来代表的系统状态的熵S，现在由著名的玻尔兹曼公式来计算：S=k′lg V
这里V是包含p点的粗粒化区域的体积。量k′是一个小常数（如果选择自然对数，它就等于玻尔兹曼常数，k′=k ln10，ln10=2.302585……），k是玻尔兹曼常数，其值很小：-23k=1. 3865……×10焦耳/开尔文-23-1
于是k′=3.179……×10焦耳/开尔文（J.K）（见图1.8）。实际上，为了和物理学家通常的定义一致，以后我们还是用自然对数，将玻尔兹曼的熵公式写成图1.8 高维空间里的粗粒化S=k ln V
其中ln V=2.302585……×lg V。
在继续探讨这个精密定义的理由和意义及其与第二定律的关系之前（1.4节），我们先来欣赏它精彩解决的一个特别问题。有时人们（当然很对）指出某个状态的低熵并不能真的很好度量状态的“特殊性”。如果还考虑1.1节里的鸡蛋下落的例子，我们注意到，鸡蛋打碎在地板上所处的相对高熵的状态，仍然是一个非常特殊的状态。其特殊在于，构成那堆“蛋花”的粒子的运动之间有着非常特殊的关联。假如我们颠倒所有运动，那些碎花就会很快自我修复成完好的鸡蛋，弹回桌面，恰好落在原来的地方。这当然是一个非常特殊的状态，一点儿不亚于桌子上的那个鸡蛋的相对低熵的构形。但是，尽管构成地板上的碎鸡蛋的状态确实很“特殊”，却不是我们所说的“低熵”意义的特殊。低熵指显现的特殊性表现为宏观参数具有特殊的值。当一个系统的状态被赋予一定的熵，粒子运动之间的微妙关系就荡然无存了。
我们看到，尽管某些相对高熵的态（如刚才考虑的时间倒转的碎鸡蛋）能演化为低熵态，与第二定律冲突了，但它们只代表非常微小的可能性。可以说，这正是熵概念和第二定律的“整体观”。玻尔兹曼的熵定义以非常自然而恰当的方式解决了这类“特殊性”问题。
还应该指出一点。有一个重要的数学定理叫刘维尔（Liouville）定理，它断言，对物理学家考虑的常态经典动力学系统（前面说的标准哈密尔顿系统）而言，时间演化在相空间中的体积保持不变。这一点如图1.7右边所示，我们可以看到，如果在相空间中体积为V的区域V在时间t后沿演化曲线到区域V，那么我们会发现V与V有0tt0着相同的体积V。不过这一点并不与第二定律冲突，因为粗粒化区域是随演化改变的。假如初始区域V碰巧是粗粒化区域，那么时间t之0后的V有可能在一个或者几个更大的粗粒化区域随意延展。t
结束本节之前，我们接着1.2节简要谈过的问题，再来看看在玻尔兹曼公式里应用对数的重要性。这个问题对我们以后（特别是3.4节）有着特殊的意义。假如考虑我们本地实验室的物理，想对某个实验所涉及的一些结构的熵进行定义，那么，相对于我们实验的玻尔兹曼的熵定义应该是什么呢？我们将考虑所有相关的自由度，然后用它们来定义一个相空间，让体积V的粗粒化区域落在中，从而确定我们的玻尔兹曼熵k ln V。
然而，也可以考虑我们的实验室是一个更大的系统（例如我们所在的整个银河系）的一部分，这样就将有多得多的自由度。把所有的自由度都囊括进来，我们会发现相空间比以前大多了。而且，与我们实验室的熵计算相关的粗粒化区域也将远远大于从前，因为它包含了银河系里的所有自由度，而不仅仅是与实验室的内容有关的自由度。不过这是自然的，因为现在的熵值也适用于整个星系，而我们实验的熵只是它的一个小小的部分。图1.9 实验者考虑的相空间只是包含了银河系的所有外自由度的外空间的一个极小部分图1.10 积空间，其中是平面而是直线
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]