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发布时间:2020-05-26 07:20:36

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作者:颜超 陆海霞

出版社:人民邮电出版社有限公司

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高等数学(下)

高等数学(下)试读:

前言

本套教材分为上、下两册.上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用等内容.下册包括微分方程、向量与空间解析几何、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容.每节和章末均配有习题.

本套教材是为普通高等学校非数学专业学生编写的,也可供各类需要提高数学素质和能力的人员使用.针对应用型本科专业学生的特点,本套教材在编写过程中尽量做到直观地阐述微积分中的基本概念、基本运算,尽量结合实际问题给出相应的例题,同时也为学生运用微积分的基本知识进行数学建模给出范例,考虑到微积分基本知识点对理工科和经济管理学科来说是相同的,只是在应用举例上侧重点不同.因此,在编写本书时不分理工或经济管理,而是统一起来编写,在举例中既有理工类的例子,也有经济管理类的例子.这样,可以让学理工的学生了解一些微积分在经济学中的应用,让学经济管理的学生了解一些微积分在自然学科中的应用,对他们来说应该是大有裨益的.

为适应分层次教学的需要,选修内容用*号标出.本套教材中的概念、定理及理论叙述准确、精炼,符号使用标准、规范,知识点突出,难点分散,证明和计算过程严谨,例题均经过精选,具有代表性和启发性,课后习题分为两组,其中A组为基础题,B组题目供学有余力的同学加深理解,开拓思维.

本书由颜超副教授、陆海霞讲师主编,其中第7章由周海青副教授编写.第8章、第9章由杜秀清副教授编写,第10章由刘艳老师编写,第11章由颜超副教授编写,第12章由陆海霞讲师编写,全书由滕加俊教授统稿.本书的编写得到了南京工业大学浦江学院自编教材项目的支持,在编写过程中也得到了其他教师同仁们的大力帮助,在此一并表示感谢!由于水平所限,书中难免存在不足,我们恳切地希望各位读者能够提出宝贵意见,以期在再版时得到进一步完善.编者2018年1月第7章 微分方程

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映,利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系,在实践中具有重要意义.为了深入研究几何、物理、经济等许多实际问题,常常需要寻求问题中有关变量之间的函数关系.而在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数的导数的关系式,这样的关系式就是所谓的微分方程.微分方程在自然科学、工程技术和经济学等领域中有着广泛的应用.微分方程建立以后,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法及差分方程.7.1 微分方程的基本概念7.1.1 引例

通过例题来说明微分方程的一些基本概念.

例1 已知一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.

解 设所求曲线的方程为y=f(x). 由题意,可知未知函数y=f(x)应满足关系式把式(1)两端积分,得y=∫2xdx.即其中C是任意常数.把条件“x=1时,y=2”代入式(3),得22=1+C.由此定出C=1. 把C=1代入式(3),得所求曲线方程为2y=x+1.

例2 列车在平直道路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行2驶,当制动时列车获得加速度-0.4 m/s. 问开始制动后需要多长时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车的行驶速度为v,开始制动后在时间t时行驶了路程s. 根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式把式(4)两端积分一次,得把式(6)两端再积分一次,得这里C、C都是任意常数.12把条件v|=20代入式(6),得C=20. 把条件s|=0代入式(7),得t=01t=0C=0. 把C、C的值代入式(6)及式(7),得212在式(8)中令v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间再把t=50代入式(9),得到列车在制动阶段行驶的路程2s=-0.2×50+20×50=500(m).7.1.2 微分方程的一般概念

上述两例的方程都含有未知函数的导数,因此,我们得到下列相关的定义.

微分方程:一般地,含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.

常微分方程:若微分方程中未知函数为一元函数,则称此微分方程为常微分方程.

偏微分方程:若微分方程中未知函数是多元函数,则称此微分方程为偏微分方程.

微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫作微分方程的阶.322(4)

例如,xy‴+xy″-4xy′=3x为三阶,y-4y‴+10y″-12y′+5y=2x(n)为四阶,y+1=0为n阶.由于我们仅研究常微分方程,因此,将常微分方程简称为微分方程,有时简称为方程.

例如,下面方程都是微分方程(其中y、v、θ均为未知函数).

①y′=kx,k为常数;2

②(y-2xy)dx+xdy=0;

③mv′(t)=mg-kv(t);

⑤(g、l为常数).例如,方程①-③为一阶微分方程,方程④一⑤为二阶微分方程.

一般n阶微分方程可用以下形式表示:(n)F(x,y,y′,…,y)=0(n)其中x是自变量,y是未知函数;F(x,y,y′,…,y)=0是已知(n)函数,而且一定含有Y.

微分方程的解:代人微分方程能使该方程成为恒等式的函数叫作该微分方程的解.确 切地说,设函数y=φ(x)在区间I上有n阶连续(n)导数,如果在区间I上,F[x,φ(x),φ′(x),…,φ(x)]=0,(0)那么函数y=φ(x)就叫作微分方程F(x,y,y′,…,y))=0在区间I上的解.222

不难验证,函数y=x、y=x+1及y=x+C(C为任意常数)都是方程y′=2x的解.

若微分方程的解中所含独立的(不能合并的)任意常数的个数与方程的阶数相同,则称这样的解为该微分方程的通解.

若在微分方程的通解中的任意常数取定一组固定常数,则得到的2解称为该微分方程的特解.例如,方程y′=2x的解y=x+C中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同,因此,这个解是方程的通解;如果22求满足条件y(0)=0的解,代人通解y=x+C中,得C=0,那么y=x就是微分方程y′=2x的特解.能够从通解中确定特解的条件称为该微分方程的初始(值)条件.通常,一阶微分方程的初始条件是y|=y,即y(x)=yx=x0000由此可以确定通解中的一个任意常数;二阶微分方程的初始条件是

y|=y及y′|=y′,即y(x)=y与y′(x)=y′,由此可以确x=x00x=x000000定通解中的两个任意常数.

一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题.求解某初值问题,就是求方程的特解.x-2x

例3 验证函数y=Ce+Ce是方程y″+y′-2y=0的通解,并求满12足初始条件y|=3、y′|=0特解.x=0x=0x-2x

解 由y=Ce+Ce得12x-2xy′=Ce-2Ce,12x-2xy″=Ce+4Ce12

将y′与y″代入原方程的左边,有x-2x-2x-2xxx(Ce+4Ce)+(Ce-2Ce)-2(Ce+Ce)=0121212

因此,函数y是原方程的解,又函数y中任意常数的个数为2,等x-2x于方程的阶数,所以是y=Ce+Ce方程y″+y′-2y=0的通解.12x-2x

将初始条件y|=3代入y=Ce+Ce,得x=012x-2x

将初始条件y′|=0代入y′=Ce-2Ce,得x=012x

由式(10)和式(11)解得C=2,C=1,故所求特解为y=2e12-2x+e.习题7.1A组

1. 指出下列微分方程的阶数.

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解.2(1)xy′=2y,y=5x;22(2)(x-2y)y′=2x-y,x-xy+y=C;2x(3)y″-2y′+y=0,y=xe;2(4)y″=1+y′,y=lnsec(x+1).3

3. 验证y=Cx是方程3y-xy′=0的通解(C为任意常数),并求满足初始条件y(1)的特解.

4. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.(1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;(2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分.B组

1. 验证下列各函数是否为所给微分方程的解,若是,试指出是通解还是特解(其中(C、C均为任意常数).12(1)x-x(2)y″-2y′+y=0,y=e+e.

2. 在下列各题给出的微分方程的通解中,按照所给的初值条件确定特解.22(1)x-y=C,y|=5x=0(2)y=Csin(x-C),y|=1,y′|=012x=πx=πy22-y

3. 验证e+C=(x+C)是方程y″+y′=2e的通解(C、C为任1212意常数),并求满足初始条件的特解.7.2 一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式为

在本节中,我们着重讨论几个简单形式的一阶微分方程的解法.7.2.1 可分离变量的微分方程

形如的方程称为可分离变量的微分方程.

一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx的形式,也就是说,能把微分方程写成一端只含有y和dy,另一端只含有x和dx,那么原方程就称为可分离变量的微分方程.

例如,微分方程可以写成所以微分方程为可分离变量的微分方程.

解法:因为方程中的变量完全地分离到等式两边,所以对于这样的方程,可以两边同时积分,右边对变量x积分,左边对y积分,即∫g(y)dy=∫f(x)dx,G(y)=F(x)+C.其中F(x)、G(y)分别为f(x)、g(y)的原函数.

即只含变量x、y而不含导数(或微分)的等式,就是方程的解.

例1 求微分方程y′=2xy的通解.

解 原方程可化为,分离变量,得两端分别积分,得即2ln|y|=x+C.1从而故原方程的通解为

例2 求方程的通解.

解 将方程整理得分离变量,得两边积分,得故得通解为2

例3 求方程dx+xydy=ydx+ydy满足初始条件y(0)=2的特解.

解 将方程整理得2y(x-1)dy=(y-1)dx.分离变量,得

试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]

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