作者：秦赟,闫森
出版社：安徽人民出版社
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数学教学的趣味名人设计试读：
前言
数学是一门逻辑性非常强且非常抽象的学科，要让数学教学变得生动有趣，关键在于教师要善于引导学生，精心设计课堂教学，提高学生的学习兴趣。在数学教学中，教师应当采取多种方法，充分调动学生的好奇心和求知欲，使学生在每一节课中都能感受学习的乐趣、收获成功的喜悦，从而提高学生自主学习和解决问题的兴趣与热情。只有这样，才能使学生愉快轻松地接受数学知识，并取得良好的教学效果。
有人说，数学枯燥、乏味，学习时没有意思，其实，这是对数学的误解。只要你真正懂得了数学，你就会知道，数学是一个最富魅力的学科。它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任何学科都不能相比的。茫茫宇宙，滔滔江河，哪一种事物能脱离数和形而存在？是数、形的有机结合，才有这奇奇妙妙千姿百态的大千世界。数学的美，质朴，深沉，令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人拍案叫绝！因为它美，才更有趣；因为它有趣，才更显得美。当然，这种美的感觉，只有当你真正认识它后才能理解。懂得了这个道理，你才会有学习数学的动力，才会走进数学爱好者的行列。
为此，我们特地编写了这套“数学教师的趣味教学设计与创新”丛书，包括《数学教学的趣味奥秘设计》、《数学教学的趣味数独设计》、《数学教学的趣味故事设计》、《数学教学的趣味运用设计》、《数学教学的趣味题型设计》、《数学教学的趣味之谜设计》、《数学教学的趣味知识设计》、《数学教学的趣味名人设计》、《数学教学的趣味现象设计》、《数学教学的趣味游戏设计》共10册，丛书一方面分别对相关数学基础知识的趣味教学设计与创新进行了全面指导，另方面进行了举例示范，目的是使广大师生在理论指导下进行教学和运用，逐步提高数学知识素养与兴趣。因此具有很强的系统性、实用性、实践性和指导性，不仅是广大师生教学指导的最佳读物，也是各级图书馆珍藏的最佳版本。
第一章 数学名人的趣味教学运用
1.故事在数学教学中发挥的作用
教书育人是教师们每个老师必须遵循的一个重要准则，数学学习目标分为四个方面：即知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度。显然，《数学课程标准》更加突出强调了素质教育。而思想品德教育是素质教育的重要组成部分。科教兴国。以人为本。而思想品德是人的灵魂所在！随着时代不断变化，数学教育和德育教育都有了相应的发展。教师们有必要进一步讨论数学教育中的德育“渗透”等问题。
然而数学课有它自身的特点，如果脱离数学本身的特点进行空乏的说教，不仅收不到育人的效果，还会大大地影响数学的教学质量。因此，教师们必须结合数学本身的特点，深入挖掘数学内容及其蕴涵的思想教育内容。实现证明通过具体内容进行思想教育是大有可能。
一、利用名人事迹对学生进行教育。
随着时代不断进步，数学也得到了更快的发展，数学教育的模式和方法也在不断的改革和完善。俗话说：风声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事、事事关心。因此，教师们只有把数学教学与名人事迹和社会时事结合起来，学生就应该更清楚的认识到学好数学的意义所在，所以教师们可以利用名人事迹和社会时事对学生进行爱祖国，爱科学的教育，也相信数学老师们都已经认识到它的重要性。
例如：2002年王选院士获得了国家科技最高奖，他的代表性成就就是“汉字激光照排系统”。1975年，国家开发汉字信息处理系统工程，对其中的子课题“汉字精密照排”，王选选择了“数字存储”方案。他说：“由于教师是数学系毕业，所以容易想到信息压缩，即用轮廓描述和参数描述结合的方法描述字形，并于1976年设计的一套把汉字轮廓，快速复原成点阵的算法。”到20世纪80年代初期，他开发的技术已经处于国际先进水平。20世纪90年代初，原来用电子分色机需要三四个小时的工作，用他的技术只需要20分钟，甚至9分钟。王选的成功具有很不寻常的意义，其中数学技术是关键的因素之一。
又如：2003年3月17日复旦大学名誉校长，著名的数学家苏步青同志逝世的消息传遍了祖国各地。他的逝世引起了社会各界人士的普遍的关注。
在第2天的数学课中，教师非常沉重的告诉大家一个坏消息：“苏步青同志逝世了”。下面有同学在问：“苏步青是谁？”“苏步青是教师国杰出的数学家，教育家”。“1914年，他到温州中学读书，1919年，毕业后在当时温州中学校长洪彦远的资助下，去日本留学，毕业以后，他怀着教育救国的信念毅然回国任教……”之后，许多学生在他们的周记中反映，这个故事对他们的教育意义太好了，并且表示自己也要努力读书，学好数学。
二、榜样的力量是无穷的
教师想这就是利用名人事迹和社会时事对学生的教育启发作用。因为榜样的力量是无穷的。用事实说话总是比较有说服力。更能够让学生体会到数学的魅力所在，同时可以培养学生的许多的优秀的品质。
2.名人名言在数学教学中的运用
数学文化如果教师们把它打扮起来，数学就是一位光彩照人的科学女王。但是如果你仅仅把数学等于逻辑，等于枯燥的几条公式，那么这个美女就变成X光下面的骷髅，就是X光的照片。教师们现在更多的看到的是X光照片，看不到数学科学女王的光彩照人的美容，教师们只是看到她的骨骼。”读后让教师感受颇深。是啊，长久以来数学作为一门古老而又严谨的学科，在许多人的心目中，显得既严肃又神秘，既重要又遥不可及，真是“想说爱你不容易”。然而笔者认为如果用优秀的文化之水去润泽教师们的课堂，数学女王的光彩定会让教师们着迷。
一、用名言构建数学氛围，激发学习兴趣
教师国古代的教育家孔子曾说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这句话说明了学习兴趣的培养对于学生的学习具有极其重要的作用。在教学中教师常用一些名人的格言来创设数学文化氛围，激发学生的学习兴趣，取得较好的效果。
比如：在学习《分数》之前，清晨教师来到班级中在板报的每日名言栏目中写下了这样一则名言：“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。分母越大，则分数的值就越小。”——托尔斯泰
第二节课是数学课，所以第一节课的下铃声刚响过，教师就匆忙来到教室。呵，教室里还真是热闹，教师见到孩子们纷纷围在板报的周围，有的在大声地诵读着这句名言；有的在若有所思地轻读；也有的在纷纷议论，议论着这句话的意义，议论着分数的大小变化，议论着大文豪托尔斯泰……。看到孩子们陶醉在这种数学名言的文化氛围中，看到数学文化的精气在孩子们的身上涌动，教师的内心窃喜。
一人一旦发现并提出问题，也就产生了解决问题的欲望。在孩子们充满好奇的问题里，折射出的是他们对学习数学充满了乐趣，而这种乐趣，正是他们喜爱数学，感受数学之美的源泉。
二、用数学名言引领人生的航向
可能大多数数学老师都曾羡慕过语文老师丰富的拥有：能与学生一起徜徉在文学的殿堂里，欣赏感人的名篇，产生心灵的共鸣；能与学生漫步诗海，营造着激情飞扬的诗意境界，……。记得有一句著名的格言说数学就是科学的语言，它不仅用来写科学，而且可以用来描写人生。是啊，想一想古今中外有多少名人的人生格言，它们都是用很简单的数字、符号、数学概念、式子等来表达的，而且是那么深刻、绝妙。因些教师经常会带领学生在欣赏名人数学格言的同时，根据所学知识让学生自己来创编数学格言，引领他们走上正确的人生航向。
比如：在三年级的学生学完《分数》这节课之后。真对托尔斯泰的名言，在下一节课的课始，教师便拿出了十几分钟的时间和同学们根据分数的意义共同讨论这句名言的含义。在讨论中学生们进一步了解了分子、分母与分数大小的关系。之后教师又设计了让学生也当一回名人，仿编一句分数格言。
欣赏着同学们的格言，教师不禁在心中呐喊谁说教师们的数学课堂没有飞扬的诗意？谁说教师们的数学课堂不能成为文学的殿堂？无论是名人的格言还是是孩子气的格言，不仅折射出了数学的理性之美，同时也折射出他们伟大的人生。在这种名言氛围地熏陶下孩子们不仅了解了数学，应用了数学，热爱上了数学，了解了名人，更提升了他们自身的文学素养。
数学格言在教师们的教室中总是依据教学进度不断地更新，如教师国科学家王菊珍对待实验失败的一句格言：“干下去还有50%成功的希望，不干便是100%的失败。”大发明家爱迪生在谈天才时的一句格言：“天才＝1%的灵感＋99%的血汗。”教师国著名数学家华罗庚在谈到学习与探索时一句格言：“在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要教师们去探索解决。”散作家、哲学家培根的格言：“历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。”
当然了上榜的格言不仅有古往今来的名人，也有教师们班级的小名人。如：皇冠小学四年二班马一涵的格言：“教师＋数学＝聪明”。皇冠小学四年级二班刘瀚升的格言：“在学习上教师们的进步用正号表示，退步就用负号表示。让正号多于负号吧！”每每看到自己的数学名言上了榜，孩子脸上那种灿烂自信的笑容，让教师仿佛看到不久的将来一批批中国式的托尔斯泰诞生了，他们在用那些数学格言来描绘自己的人生轨迹，他们对人生价值和对人类的贡献将是无可限量的。
三、让数学名言成为连接名人与凡人的纽带
数学在数学家眼里是诗、是歌、是画，甚至是美丽的女皇，在他们的眼里数学里充满了公式美、逻辑美、秩序美。因此数学家为数学而梦绕神牵，数学令他们痴迷陶醉。而现实生活中教师们的学生从迈进学校大门开始，每一天都要与数学课相伴，在数学题海中作战，又有几个人能体会到数学家们所说的数学之美呢？因此在实践中教师经常会创造机会缩小学生与数学家之间的距离，让他们接受数学家思想的熏陶。
数学名言就是教师为孩子连接名人与凡人的纽带，连接过去、现在和未来的桥梁。教师除了引领学生欣赏数学名言和创编数学名言外，还定期指导他们办有关数学名言和数学家故事的手抄报。在办报的过程中，他们有时要请教家长，有时到书店查阅资料，有时要上网查阅资料。这样学生们不仅进一步体验到数学的美与价值，了解了教师们的数学史，走近了名人，更重要的是受到了数学文化的熏陶。然而教师们也不能仅仅停留于对史实的介绍上，而应引导学生透过史实，触摸到史实背后的价值和观念，使其构成一种更有教育意义的积极影响。
如今“苏步青、陈景润、祖冲之、华罗庚、高斯、牛顿。”在孩子们的眼中已不是什么神秘人物，而是他们学习的伙伴，心中的榜样，努力的方向。
有人说数学是一棵参天大树，它的根已深深地扎在教师们的现实世界。是啊，如果在教学的过程教师能引优秀的文化之水润泽这棵树古树，教师想它的根须也必定会深入到自然科学与社会科学的一切领域，必定会成为一棵枝繁叶茂的奇特之树。
3.数学课堂教学的名人效应
一、动态协调教材知识和课堂教学结构的关系
只有当这三种结构形成内在的协调统一，才能使教学有效促进学生将教材知识结构转化为学生的认知结构，提高教学的有效性。
为此，教师应充分了解和利用学生原有的认知结构，以渐进分化和综合贯通的方式把握教材知识结构的层次性和整体性；设计优化的课堂教学结构和模式，改进教学组织形式，把全班个体学习、成对学习、小组学习和全班统一学习有机结合起来，使教学更适于完成各类不同的学习任务，促进学生在学习过程中形成整体优化的知识结构。
二、加强学习策略教学
学习策略种类繁多，其主要内容包括理解和保持知识的复述策略、精加工策略和组织策略，应用知识解题的问题表征策略、具体求解策略和思维总结阶段的反思策略，以及掌握知识过程中的自教师监控等元认知策略。在教学中，教师应结合学科实际，通过分解练习和综合实践相结合等方式加强对学生的学习策略教学，以提高学生学习活动的效率和质量。
4.提高数学教学的名人实效性
在职业中学数学教学中，往往教师教得很辛苦，学生学得很痛苦，但教学效果却不理想，表面上看起来，与普通中学内容（量）基本相同的两册书“上”完了，但学生掌握的内容很少。诚然，职业中学的学生的数学基础较差，学习态度、习惯等方面存在着许多问题，但教师们不应只是埋怨学生，更不应放弃这些学生，而应针对学生的实际情况，探索有效的教学策略和措施，提高职业中学数学教学的实效性。
一、合理安排教学内容
一切教学活动、措施和方法等都应围绕学生来开展，在学校数学的教学活动中，如果不考虑学生实际进行全面的教材教学，往往是事与愿违，教师教得辛苦，学生却听不懂，结果步入恶性循环，形成教师难教、学生难学直至不学的局面。要改变这种现状，教师们必须树立“以人为本”的教育观，根据学生的实际情况和学校教育的培养目标，合理安排教学内容，使他们掌握必须的数学知识，具备基本的数学素养，有一定创新精神和实践能力。
为了更好地发挥学校数学教育的功能，教师们必须打破传统教材结构，采用“基础教学模块＋专业教学模块”进行教学，其中“基础教学模块”的内容涵盖了学校各专业都必须掌握的数学知识、技能，使学生获得必须的、足够的“基础性数学知识”，即数学科学的最基本、最基础的知识。“专业教学模块”则根据不同专业选用，其内容根据专业需要来设置，突出针对性和实用性。另对学有余力、有一定数学潜力或对数学有兴趣的少数学生增加“拓展模块”，主要以第二课堂、学生自学和教师辅导的形式进行。这样既使大部分学生达到学校数学教育的基本要求，掌握必须的、足够的“基础性数学知识”，以及学习专业课所需的基础知识和技能，具备基本的数学素养和一定的创新精神和实践能力，又满足少数学生进一步学习数学的需要。
二、改善非智力因素
学生对数学学习的兴趣、动机、情感、意志等非智力因素直接影响数学学习。实践表明，非智力因素是影响学生数学学习的一个重要因素，因此，改善学生的非智力因素，是提高职业中学数学教学实效性的必要条件。
1.用关爱和期望帮助学生重新树立数学学习的信心
美国著名的教育家本尼斯用了一句话概括了教师期望的价值：“只要教师对学生抱有很大的期望，仅此一点就足以使学生的智力提高二十五分。”教师的态度和行为会直接影响学生对数学的学习态度和行为，因此，教师要构建对每个学生的期望，要相信每个学生都可以学好数学，考虑学生原有水平，在此基础上提出适度要求，通过适当的渠道向他们传达这种积极的期望。这一点对于职业中学的学生尤为重要，由于种种原因，大部分学生在初中阶段往往被老师“忽视”甚至“放弃”，很多学生对数学学习失去兴趣和信心，甚至自暴自弃。有不少在职业中学的数学学习上有进步的学生认为：“老师的期望使他们没有继续放弃数学学习”，“以前老师根本不管教师们这些成绩差的同学，在这里老师这么看重教师们，让教师们又有了学习数学的信心”。当他们在数学学习中遇到困难时，教师要帮助他们分析原因，寻求解决问题的对策；当他们有进步时，教师要给予及时、恰当的评价和鼓励，让他们真正感受到老师的关爱和期望，增强他们学好数学的信心。
学生的数学基础较差，这是客观存在的事实。教师在对学生进行学业评价时，既要实事求是，不能用高标准来衡量他们，又不能没有标准、一味迁就，而应建立一种科学的激励性的评价方法。先让学生根据自己的实际情况，确定一个切实可行的奋斗目标，教师在平时的教学中要加强监督和辅导，这样学生有一个可望又可及的目标，他们的学习不再盲目，同时有“只要努力就能达到的目标”作准绳，使学生有成功的机会，从而激励他们进一步学习的兴趣和信心。
2.培养学生的数学学习意志
在动机、情感的激励下，学生参与到数学学习中后，还要克服各种困难，能动地调节自己的学习行为，去实现预定的学习目标。对于数学基础较差的学生，如果在数学学习中没有较高的自觉性，没有坚定的信念和坚持不懈的顽强意志，是不能学好数学的。很多学生学习意志薄弱，不能克服内部和外部的困难和干扰，缺乏恒心和毅力。因此，教师要注意培养学生良好的意志品质，提高数学学习的自觉性，增强克服各种困难和干扰的意识和能力。（1）培养数学学习的自觉性
让学生认识数学的价值，明确学习数学的目的和价值。就职业中学数学而言，它是学习其它一些课程的工具和基础，也是学好专业课的基础，这正体现了“数学是一切科学得力的助手和工具”。教师们可以向学生介绍数学的巨大作用，“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学”。在教学中多联系实际，让学生切实体会到数学是有用的，而不仅仅是一些抽象的符号、无意义的数字；让学生认识到今天的学习就是为了明天的升学与就业，从内心产生数学学习的需要，提高学习的自觉性。（2）培养数学学习的坚韧性
在数学学习中会遇到很多困难，特别是对于基础较差的学生，没有战胜困难的信心和勇气，没有刻苦努力、坚持不懈的顽强意志，是不可能获得成功的。“榜样的力量是无穷的”，教师可用一些名人的故事来激励学生，如林肯自幼失学，凭借拼搏进取的意志，最终成为美国历史上最受人民尊敬的总统之一；居里夫人不畏艰难，经过反复实验，终于发现了镭元素，体现了她坚定的信念和坚持不懈的顽强意志。当学生在数学学习中遇到困难时，教师要及时帮助他们分析原因，解决问题，鼓励他们树立战胜困难的信心和勇气，培养坚持不懈的顽强意志。
5.名人因素对数学教学的影响
学习是智力因素与非智力因素交互作用的过程，二者是既对立又统一的矛盾的两个方面。心理学家潘菽指出：任何知识的学习过程，都包含一系列复杂的心理活动，其中有一类是有关学习积极性的，如注意、情感、情绪、意志等；另一类是有关认识活动本身的，如感觉、知觉、记忆、想象与思维等。前者与个性心理特征及学习动机密切相关，它对认知过程及其效果有很大的影响；后者则只涉及学习本身。这里前者主要指非智力因素，后者则为智力因素。一般地说，他们同步发展时，二者相辅相成；不能协调发展时，二者彼此干扰。非智力因素对智力发展的积极影响，心理学上称为正迁移，反之称为负迁移。促进正迁移的发展，避免负迁移的出现是教师们培养非智力因素的目标。下面从三个方面谈非智力因素对智力发展的作用。
马克思有句名言“用爱来交换爱”。教师们只有强化情感意识，真正理解学生、关心学生并尊重学生，才能赢得学生的尊重和热爱，才能使学生“亲其师，信其道”，主动参与到教师们的教育教学活动中来。
一、引导学生的兴趣
兴趣是推动学生学习的巨大内驱力，学习兴趣不仅使学生渴望获得知识，具有促进积极学习的作用，而且能产生愉快的情绪体验。要学好高度抽象与逻辑严谨的数学，培养学习兴趣是重要手段之一。美国实用主义哲学家、教育家杜威说过“除非一个对象或一个观念里面有了兴趣，其中便没有鼓励人去做的原动力。”许多科学家取得伟大成就的原因之一，就是他们具有良好的兴趣品质。达尔文在自传中写到：“就教师记得教师在学校时期的性格来说，其中对教师后来发生影响的，就是教师有强烈而多样的兴趣，沉溺与自己感兴趣的东西，深喜了解任何复杂的问题和事物。”
培养和激发兴趣的方法很多，教师们可以通过加强学习目的的教育了培养学习兴趣；可以组织课外活动小组，通过丰富多彩大活动激发学生的兴趣；可以利用名人名言或名人的事例，通过名人效应培养学习兴趣；还可以通过课堂上创设一定的情景来启发学习兴趣。
数学不仅是各门学科的基础，更是一门古老的文化，教师们在备课中要注意挖掘那些能引起学习兴趣的素材，激发学生的兴趣及求知欲望，课堂气氛生动活跃，使师生在愉悦的情感体验中完成教学任务。
二、培养学生自信心
学生因家庭、教育的不同而具有不同的个性品质。在学科教学中，教师们要针对学生不同的个性品质和心理倾向以及不同的基础和接受能力，设计多层次的教学目标，运用不同的教学方法因材施教，让全体学生都能在原有的基础上学有所得，特别是基础较差的学生也能在成功的体验中树立学好数学的信心。
教育家苏霍姆林斯基曾说过：“请记住，成功是一种巨大的情绪力量，他可以促进儿童好好学习的愿望。”为了使学生感受到成功的欢乐，就要创造每个学生都有成功的机会。如，课堂提问要有针对性地准备适合各层次学生知识水平的问题，课堂练习及作业也要有层次性，让学习有困难的做一些模仿性的习题，给基础好、接受能力强的学生留一些附加题或选作题。再教学中要强调人人参与，并注意学生个体的闪光点，不失时机地给予激发，对他们取得的每一点进步或思考时的点滴可取的见解，都应及时肯定与表扬，让每个学生都切实体验到成功的愉悦。长此以往，必能使全体学生都满怀信心地面对数学学习，充分发挥其主动性、能动性，取得最佳的教学效果。
总之，重视非智力因素在数学教学中的作用，必须重视教师的人格力量。教师的态度、情感是提高课堂教学质量的重要因素，渊博、宽容、认真、有爱心、有责任感等人格力量对课堂教学最有穿透性、也最有影响力。因此，作为教师要有较高层次的精神生活，要有丰厚的文化底蕴，要提高自身的文化修养，教师的人格魅力会在课堂上收到润物细无声的教育效果。
6.数学趣味教学与创新性的体现
教师们常讲数学是抽象的，数学的学习是枯燥无味的。的确，数学是一门最抽象的学科，但是，作为一名数学教师，特别地作为一名义务教育阶段的数学教师一项重要工作就是要让学生感到数学是具体的，数学的学习是有趣的。如何解决这个问题呢？教师的体会是：首先教师在教态上要和蔼，不要怕学生冒犯自己，再者教学中要注意将生活中大量生动有趣的事情引进来，在教学中可以引入些故事、谜语、名人轶事吸引学生的兴趣；还有在数学课中该让学生做的游戏、活动如铺地砖，阳光下投影，抛硬币，掷骰子等活动一定要让学生自己动手完成，不要怕教室里乱；最后对学生的评价体系要改变，要将学生对数学的兴趣等引进评价中来。
一、教学中要体现数学在应用中的创新性
数学与人类社会的进步和发展是紧密相联系的，人类从蛮荒时代的结绳计数，到电子计算机指挥宇宙飞船航行，每一次人类的进步，人们思想的创新，都受到数学的恩惠和影响。今天，市场经济条件下，数学的用途更是无处不在。但是，作为数学教师，不但要使学生懂得数学知识的重要性，更要使学生理解数学思想方法在实践应用中的必要性。因为数学思想和方法不但在解决数学问题时常常使用，而且在进行社会上其它工作时也常常使用。当学生走向社会走向未来，面对社会已出现和将出现的纷繁复杂的现象进行解释时，当学生为了解决实际问题而建模时，首先使用的就是数学的思想与方法。所以数学思想方法是人类进行创新思维所必须具有的最基本的思想方法之一。在数学教学过程中一定要体现这一点。
二、激发学生积极进取的信心
意志是人们为了达到一定的目的，自觉组织自己的行动，克服困难，实现预定目标的心理过程。数学学习并不是一种兴趣盎然的活动，抽象的概念、繁杂的计算、多变的思路、严谨的逻辑时常困扰着学生。意志可以帮助学生克服困难，认识自教师，产生积极的情感，维持对学习的热情，为兴趣的再生和巩固提供动力。意志在学生掌握数学知识过程中的积极作用显而易见。马克思说：“在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。”一个具有坚强意志的人，才会在学习数学知识的过程中下苦功夫，努力稳定学习的热情，从而大大提高学习效果。那么，如何在数学教学中培养学生坚强的意志呢？
首先，教师可在教学中有目的地讲一些名人故事、事迹，激励学生正确对待学习中的困难。如祖冲之百折不挠寻求圆周率的精确度；陈景润矢志不渝地证明哥德巴赫猜想；还可以讲叙阿基米德面对罗马士兵的利剑，蒙难前还高喊：“不要动教师的（几何）图。”
其次，在课堂教学中可经常组织质疑、讨论，鼓励学生发言、争论，并帮助他们树立学习的自信心。课后，可设计一些适度的难题、思考题、趣味题等，使大多数学生在跳一跳以后能摘到“果子”，充分体验到成功的喜悦。给机会让学生充分思考、探究、拼搏，学生就会情绪高昂，思维活跃，感受到克服困难的乐趣。
总之，数学教学既是知识信息传递和反馈的交流过程，也是师生双方情感交融与共鸣的过程。教育家赞可夫认为，教学法一旦触及学生的情绪和意志领域、触及学生的心理需要，这种教学法就会变得高度有效。因此，要通过教师对教学的设计，注意情感因素，在教学过程中努力激发学生的学习兴趣，不断激励学生主动进行学习的积极性，保持学生探求知识的原动力，激发他们的学习数学的兴趣，培养良好的学习数学的习惯，帮助他们建立学习的成就感和自信心，克服学习中的消极情绪，使他们在数学学习过程中不断增强数学知识的综合运用能力，情商得以开发和培养。
第二章 数学名人的趣味故事推荐
1.圆周率的举旗人刘徽
刘徽（生于公元250年左右），东汉三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一。其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东邹平人。
刘徽的主要著作有：《九章算术注》10卷；《重差术》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；《九章重差图》1卷，可惜后两种都在宋代失传。
刘徽的数学成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：
在数系理论方面：用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
在筹式演算理论方面：先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
在勾股理论方面：逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
在面积与体积理论方面：用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：
割圆术与圆周率：刘徽在《九章算术·圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π＝157/50＝3.14，又算到3072边形的面积，得到π＝3927/1250＝3.1416，称为“徽率”。
刘徽原理：在《九章算术·阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。“牟合方盖”说：在《九章算术·开立圆术》注中，他指出了球体积公式V＝9D3/16（D为球直径）的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
方程新术：在《九章算术·方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。
重差术：在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。
刘徽的《九章算术》是我国流传至今最古老的数学专著之一，它成书于西汉时期。这部书的完成经过了一段历史过程，书中所收集的各种数学问题，有些是秦以前流传的问题，长期以来经过多人删补、修订，最后由西汉时期的数学家整理完成。现今流传的定本的内容在东汉之前已经形成。《九章算术》是中国最重要的一部经典数学著作，它的完成奠定了中国古代数学发展的基础，在中国数学史上占有极为重要的地位。现传本《九章算术》共收集了246个应用问题和各种问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。《九章算术》的产生是社会发展和数学知识长期积累的结果，它汇集了不同时期数学家的劳动成果。刘徽认为：“周公制礼有九数，九数之流，则《九章》是矣。……汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论多近语也。”根据刘徽的考证结果，《九章算术》源于周公时代的“九数”，而他所见到的《九章算术》是西汉时的张苍、耿寿昌在先秦遗文的基础上删补而成的，其中包括了大量西汉时补充的内容。根据历史文献和出土文物资料来分析，刘徽所言是可信的。《九章算术》所包含的各种算法是汉朝数学家们在秦以前流传下来的数学基础上，适应当时的需要补充修订而成的。按照刘徽的考证，张苍和耿寿昌都是参加过修订工作的主要数学家。《史记·张丞相列传》记载，张苍（约前250～前152）经历了秦、汉两个朝代，他在高帝六年（前201）以攻藏茶有功封为北平侯。“自秦时为柱下史，明天下图书计籍。又善用算律历。”他还“著书18篇，言阴阳律历事。”耿寿昌的生年年代不详，汉宣帝时官至大司农中丞，“以善为算，能商功利”得宠于皇帝。他于天文学主张浑天说，甘露二年（前52）奏“以圆仪度日月行，考验天运状”。张苍和耿寿昌都是数学名家，又身居高位，由他们主持修订先秦流传下来的《算术》是很自然的事情。根据刘徽的记载，他所注释的《九章算术》最后是由耿寿昌删定的。我们认为耿寿昌删补《九章算术》的年代可以定为这部书完成的年代。《九章算术》是由国家组织力量编纂的一部官方性数学教科书，对两汉时期数学的发展产生了很大的影响。《广韵》卷四有“九章术，汉许商、杜志、吴陈炽、王粲并善之”，《后汉书·马援传》有马续（约70～141）“博观群籍，善九章算术”的记载。此外，史书中还有郑玄（127～200）、刘洪等人“通九章算术”的记述。可知该书是当时学习数学的重要教材，在东汉光和二年（179）一块铜版上的铭文规定：“大司农以戊寅（138？）诏书，……特更为诸州作铜斗、斜、称。依黄钟律历，《九章算术》以均长短、轻重、大小，以齐七政，令海内都同。”这说明该书在东汉时期不仅广为流传，而且度量衡研制涉及的数学问题也要以书中的算法为依据。许商、杜志可能是《九章算书》成书后最早研究过该书的数学家。许商、杜志都是西汉后期的数学家。《汉书·艺文志》著录有《许商算术》26卷、《杜志算术》16卷。这两部书都是汉成帝三年（前26）尹咸校对数术著作之前撰写的。许商、杜志的著作完成年代与耿寿昌删补《九章算术》的年代相去不远，他们的数学著作应当是在研究了《九章算术》的基础上完成的。《九章算术》不仅在中国数学史上占有重要地位，对世界数学的发展也有着重要的贡献。分数理论及其完整的算法，比例和比例分配算法，面积和体积算法，以及各类应用问题的解法，在书中的方田、粟米、衰分、商功、均输等章已有了相当详备的叙述。而少广、盈不足、方程、勾股等章中的开立方法、盈不足术（双假设法）、正负数概念、线性联立方程组解法、整数勾股弦的一般公式等内容都是世界数学史上的卓越成就。
刘徽的《九章》注不仅在整理古代数学体系和完善古算理论方面取得了重要成就，而且提出了丰富多彩的创见和发明。他用比率理论建立了数与式的统一的理论基础，他应用了出入相补原理和极限方法解决了许多面积和体积问题，建立了独具风格的面积和体积理论。他对《九章》中的许多结论给出了严格的证明，他的一些方法对后世有很大启发，即使对现今数学也有可借鉴之处。
刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。
2.勾股算数与赵爽
赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。
赵爽研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀算经》，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》该书写了序言，并作了详细注释。该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。
其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。它详细解释了《周髀算经》中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”。又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”。“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明。22222
即2ab＋（b－a）＝c，化简便得a＋b＝c。其基本思想是图形经过割补后，面积不变。赵爽在注文中证明了勾股形三边及其和、差关系的24个命题。
勾股定理（这里以a，b，c分别代表直角三角形的勾、股、弦三22222222边之长）a＋b＝c及其变形b＝c－a＝（c－a）（c＋a），a＝c222－b＝（c－b）（c＋b），c＝2ab＋（b－a）；
又通过开平方222
a＋（b－a）a＝1/2［c－（b－a）］求勾a2221/2
开平方a＝［c－（c－a）］求勾a。222
开带从平方（c－a）＋2a（c－a）＝c－a求勾弦差c－a的方法，以及：22
c＝（c－a）＋a，c＋a＝b/（c－1），c－a＝b/（c＋a），c＝2222［（c－a）＋b］/2（c＋a），a＝［（c＋a）－b］/2（c＋a）等公式，与上述公式对称，也有求b，c－b，c＋b及由c－b，c＋b求c，b的公式，又有由勾弦差、股弦差求勾、股、弦的公式：1/2
a＝［2（c－a）（c－b）］＋（c－b），b＝［2（c－a）（c－ 1/21/2b）］＋（c－a），c＝［（2（c－a）（c－b）］＋（c－b）＋（c－a）
以及勾股差b－a与勾股并b＋a的关系式222221/2（a＋b）＝2c—（b－a），a＋b＝［2c－（b－a）］，b221/2－a＝［2c－（b＋a）］，
进而由此给出了求a，b的公式b＝1/2［（a＋b）＋（b－a）］，a＝1/2［（a＋b）－（b－a）］，最后给出了由弦与勾（或股）表示的股（或勾）弦并与股（或勾）弦差之差：221/2（c＋b）－（c－b）＝［（2c）－4a］221/2（c＋a）－（c－a）＝［（2c）－4b］
赵爽用出入相补方法对上述公式作了证明。这些公式大都与《九章算术》及其刘徽注所阐述的相同，证明方法也类似，只是最后两个公式为刘徽注。
他还研究了二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，并得到二次方程求根公式之一。
此外，使用“齐同术”，在乘除时应用了这一方法，还在‘旧高图论”中给出重差术的证明。赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响。
3.圆周率之父祖冲之
祖冲之，我国南北朝时期著名的数学家、天文学家。他是世界上将圆周率精确到小数点后七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年。
祖冲之字文远，原籍范阳遒县（今河北涞源县），后来为了躲避北方战乱，祖先迁居江南。他出生于一个士大夫家庭，父亲和祖父对天文、历法都很有研究。祖冲之受家庭的影响，从小就热爱科学。成人之后，祖冲之决定致力于圆周率的研究，计算出更加准确的圆周率。
圆是自然界中最常见的几何图形，许多物体都是圆形。可是怎样计算圆的周长和面积呢？古人很早就进行了研究和探索。古人发现圆的周长与直径的比是一个常数，称为圆周率。如果能准确地求出圆周率，再用直尺量出直径的长度，圆的周长和面积就容易求出来了。圆周率到底是多少呢？我国古代有一本算书叫《周髀算经》，这是我国最早的数学著作之一，书中提出了“径一周三”的概念，这个圆周率称为古率，这当然太粗略了。两汉末年的刘歆求出圆周率的值为3.1547。东汉张衡计算出的圆周率为3.1622。三国末年刘徽创造出包含有极限思想的“割圆术”，计算出了内接正192边形的周长和面积，得出圆周率为3.14。后来他又计算出圆内接3072边形的周长和面积，得出圆周率为3.1416（3927/1250）。
祖冲之认为前人的这些计算结果还是太粗略了，误差很大。但他并没有蔑视前人的研究成果，而是对他们的研究方法进行了认真的研究与思考。后来，他在前人研究成果的基础上，对计算圆周率的方法进行了革新，这种新的计算方法被命名为“缀术”。运用此方法，祖冲之比较精确地计算出了圆周率在3.1415926到3.1415927之间，并用22/7（疏率）和355/113（密率）这两个分数值来表示。这是当时世界上最先进的圆周率。西方直到1573年才由德国奥托较为精确地计算出圆周率，比祖冲之晚了1100多年。
祖冲之准确地计算出圆周率后七位数字以后，很快在实践中得到了运用。他自己曾用他的圆周率研究过度量衡的问题，并用之于鉴定古量器的计算。北周武帝保宝元年（公元561年）所制的玉斗就是以3.1415926为圆周率计算出来的。祖冲之将他的研究成果写成了《缀书》一书。隋唐时期，《缀书》一直是数学教育的基本内容之一。可惜后来因为战乱该书失传了，这是我国数学史上的一大损失。
除了数学外，祖冲之在天文学上也颇有建树。由于从小就受到祖父和父亲的影响，祖冲之学到了一些天文学方面的知识。长大后他兴趣不减，经常进行一些实际测量和推算。他曾说过：“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策。”意思是说，他经常亲自观察测量日影长短的圭尺，用以校订节气，测定一年的时间到底有多长；也常常亲自察看古代计时用的器具“漏刻”，从而证实日月星辰的升落时辰；他还经常摆弄用于观测、计量实验和检验的各种仪器。祖冲之有着严谨的治学态度，每次观察，他都非常认真，尽量避免任何细小的误差，在此基础上认真进行思考、计算，想出解决问题的办法。
祖冲之将他在天文历法上的观测数据和其他资料做了认真的整理，自己摸索出一些规律。他发现传统的《元嘉历》中有很多错误，于是根据自己的观察做了修改，编成了一本新历法——《大明历》，并向朝廷上奏，希望在全国推行。当朝皇帝是宋孝武帝刘骏，他自己不懂历法，于是组织了一些懂得历法的大臣在金殿上进行“廷议”，号令祖冲之参加，让他与大臣们就两种历法的优劣进行辩论。
公元462年的一天，一场关于历法的大辩论展开了。双方的代表人物是祖冲之和戴法兴。戴法兴首先提出：“日有恒度，宿无改位，这是万世不变的，你并无变法之理。”
祖冲之马上反驳道：“旧历法十九年七闰，每二百年就会相差一天，如果改用大明历，每三百九十一年设一百四十四个闰月，就能与天数符合了。”他又接着说道：“旧历法的夏至和冬至都比天象早，五星（金、木、水、火、土）的出现和隐伏也比实际天象差40多天。历法不符合天象，当然要改革。”“日月星辰的长落，自有其天数，非凡夫所能测定。”戴法兴不甘心自己的失败。“日月星辰皆有形可检验，有数据可以推算，并非出于神性，怎么能说凡夫不能测定呢？在下十多年的观测发现每年夏至与冬至的圭尺都没有误差。”他又转身向宋孝武帝道：“据臣推算，每45年11个月要后退1度。”“你这是削闰坏章，诬天背经。”戴法兴有些恼羞成怒了。“商朝时的历法是三年一闰，周朝时改为五年二闰，春秋中叶起，才确定十九年七闰，难道他们是削闰坏章吗？至于历法，在《元嘉历》之前已经有《太阳历》，后来才改的，这是不是也是诬天背经呢？”
辩论最终以祖冲之的大获全胜而告终。经过进一步的研究，证实了《大明历》的科学性。于是宋孝武帝颁布诏书，通令全国于公元465年起改行新历。遗憾的是宋朝不久就发生了战乱，《大明历》实际上并未推行。祖冲之死时仍沿用《元嘉历》。
梁武帝时，祖冲之的儿子祖日桓上奏朝廷，请求皇帝下令启用《大明历》。梁武帝派人深入研究，证实了《大明历》的优越性后，颁令于公元510年起施行《大明历》。祖冲之在天文学上的成就最终得到了认可。
4.科学史上的坐标沈括
沈括（公元1031～1095年），字存中，号梦溪丈人，北宋杭州钱塘县（今浙江杭州）人，汉族。北宋科学家、改革家，政治家。
沈括自幼勤奋好读，在母亲的指导下，十四岁就读完了家中的藏书。后来他跟随父亲到过福建泉州、江苏润州（今镇江）、四川简州（今简阳）和京城开封等地，有机会接触社会，对当时人民的生活和生产情况有所了解，增长了不少见闻，也显示出了超人的才智。
沈括二十四岁开始踏上仕途，最初做海州沭阳县（在今江苏省）主簿，以后历任东海（在今江苏省）、宁国（在今安徽省）、宛丘（今河南省淮阳县）等县县令。三十三岁考中进士，被任命做扬州司理参军，掌管刑讼审讯。
三年后，被推荐到京师昭文馆编校书籍。在这里他开始研究天文历算。宋神宗熙宁五年（公元1072年），兼任提举司天监，职掌观测天象，推算历书。接着，沈括又担任了史馆检讨，熙宁六年（公元1073年）做集贤院校理。
因职务上的便利条件，他有机会读到了更多的皇家藏书，充实了自己的学识。1075年曾出使辽国，进行边界谈判，次年任翰林学士，权三司使。
宋神宗熙宁二年（公元1069年），王安石被任命为宰相，开始进行大规模的变法运动。沈括积极参预变法运动，受到王安石的信任和器重，担任过管理全国财政的最高长官三司使等许多重要官职。
熙宁九年（公元1076年），王安石变法失败。沈括因为受到牵连以及诗案败露等原因，照例出知宣州（今安徽省宣城一带）。三年后，为抵御西夏，改知延州（今陕西省延安一带），兼任鄜延路经略安抚使。因抵御以西夏梁太后为首的党项贵族集团入侵有功，于元丰五年（公元1082年），升龙图阁直学士。
但是不久又因为与给事中徐禧、鄜延道总管种谔、鄜延道副总管曲珍等人贪功冒进，不听随行内侍李舜举劝告，在死地筑城，酿成永乐城惨败，损失军人2万，民夫无算，高永亨、李舜举等都壮烈牺牲。此战是北宋历史上较大的惨败之一，并使得平夏城大捷以后良好的统一形势被葬送。此事沈括虽非首罪，但他毕竟负有领导责任，加之在战役中救援不力，因此被贬为均州（今湖北省均县）团练副使，随州安置，从此形同流放，政治生命宣告完结，于是专心于著述。沈括与《梦溪笔谈》
哲宗元二年（公元1087年），沈括花费十二年心血编修的《天下州县图》完成，被特许亲自到汴京进呈。次年，定居润州（今江苏省镇江市东面）梦溪园，在此安度晚年。
沈括晚年在梦溪园认真总结自己一生的经历和科学活动，写出了闻名中外的科学巨著《梦溪笔谈》和《忘怀录》等。宋哲宗绍圣二年（公元1095年）逝世。他一生著作多达几十种，但保存到现在的，除《梦溪笔谈》外，仅有综合性文集《长兴集》和医药著作《良方》等少数几部了。《梦溪笔谈》是中国科学史上的坐标，是沈括一生社会和科学活动的总结，内容极为丰富，包括天文、历法、数学、物理、化学、生物、地理、地质、医学、文学、史学、考古、音乐、艺术等共600余条。其中200来条属于科学技术方面，记载了他的许多发明、发现和真知灼见。《梦溪笔谈》中涉及物理学方面的内容主要有声学、光学和磁学等各方面，特别是在磁学方面的研究成就卓著。
沈括在《梦溪笔谈》中留下了历史上对指南针的最早记载。他在书卷二十四《杂志一》中记载：“方家以磁石磨针锋，则能指南，然常偏东，不全南也。”这是世界上关于地磁偏角的最早记载。西方直到公元1492年哥伦布第一次航行美洲的时候才发现了地磁偏角，比沈括的发现晚了四百年。沈括在《梦溪笔谈》的《补笔谈》第三卷中《药议》中又记载道：“以磁石磨针锋，则锐处常指南，亦有指北者，恐石性亦不同。”沈括不仅记载了指南针的制作方法，而且通过实验研究，总结出了四种放置指南针的的方法：把磁针横贯灯芯、架在碗沿或指甲上，以及用丝线悬挂起来。最后沈括指出使用丝线悬挂磁针的方法最好。
在光学方面，《梦溪笔谈》中记载的知识也极为丰富。关于光的直线传播，沈括在前人的基础上，有更加深刻的理解。为说明光是沿直线传播的这一性质。他在纸窗上开了一个小孔，使窗外的飞鸟和楼塔的影子成像于室内的纸屏上面进行实验。根据实验结果，他生动的指出了物、孔、像三者之间的直线关系。此外，沈括还运用光的直线传播原理形象的说明了月相的变化规律和日月蚀的成因。在《梦溪笔谈》中，沈括还对凹面镜成像、凹凸镜的放大和缩小作用作了通俗生动的论述。他对我国古代传下来的所谓“透光镜”的透光原因也作了一些科学解释，推动了后来对“透光镜”的研究。
在声学方面，沈括在《梦溪笔谈》中精心设计了一个声学共振实验。他剪了一个纸人，把它固定在一根弦上，弹动和该弦频率成简单整数比的弦时，它就振动使纸人跳跃，而弹其它弦时，纸人则不动。沈括把这种现象叫做“应声”。用这种方法显示共振是沈括的首创。在西方，直到十五世纪，意大利人才开始做共振实验。至今，在某些国家和地区的中学物理课堂上，教师还使用这个方法给学生做关于共振现象的演示实验。
在数学方面，《梦溪笔谈》中有10多条对数学的讨论，内容既广且深，堪称我国古代数学的瑰宝。
沈括最重要的数学探讨是隙积术和会圆术。隙积术在我国数学史上开辟了高阶等差级数求和的研究领域，对高阶等差级数的研究始自沈括。
所谓“隙积”，指的是有空隙的堆积体、例如酒店中堆积的酒坛、叠起来的棋子等，这类堆积体整体上就像一个倒扣的斗，与平截头的长方锥（刍童）很像。但是隙积的边缘不是平的，而中间又有空隙，所以不能照搬刍童的体积公式。沈括经过思考后，发现了正确的计算方法。他以堆积的酒坛为例说明这一问题：设最上层为纵横各2个坛子，最下层为纵横各12个坛子，相邻两层纵横各差1坛，显然这堆酒坛共11层；每个酒坛的体积不妨设为1，用刍童体积公式计算，总体积为3784/6，酒坛总数也应是这个数。显然，酒坛数不应为非整数，问题何在呢？沈括提出，应在刍童体积基础上加上一项“（下宽－上宽）高/6”，即为110/6，酒坛实际数应为（3784＋110）/6＝649。加上去的这一项正是一个体积上的修正项。在这里，沈括以体积公式为基础，把求解不连续的个体的累积数（级数求和），化为连续整体数值来求解，可见他已具有了用连续模型解决离散问题的思想。
会圆术是对圆的弧矢关系给出的比较实用的近似公式，主要思想是局部以直代曲。沈括进一步应用《九章算术》中弧田的面积近似公式，求出弧长，这便是会圆术公式。沈括得出的虽是近似公式，但可以证明，当圆心角小于45°时，相对误差小于2%，所以该公式有较强的实用性。这是对刘徽割圆术以弦（正多边形的边）代替圆弧思想的一个重要佐证，很有理论意义。后来，郭守敬、王恂在历法计算中，就应用了会圆术。
在《梦溪笔谈》中，沈括还应用组合数学法计算得出围棋可能的局数是3361种，并提出用数量级概念来表示大数3361的方法。沈括还在书中记载了一些运筹思想，如将暴涨的汴水引向古城废墟来抢救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、运输，最后又将建筑垃圾填河成路的方法来修复皇宫等。沈括对数的本质的认识也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真数。”显然他否定了数的神秘性，而肯定了数与物的关系。他还指出：“然算术不患多学，见简即用，见繁即变，乃为通术也。”
在化学方面，沈括也取得了一定的成就。他在出任延州时候曾经考察研究漉延境内的石油矿藏和用途。他利用石油不容易完全燃烧而生成炭黑的特点，首先创造了用石油炭黑代替松木炭黑制造烟墨的工艺。他已经注意到石油资源丰富，“生于地中无穷”，还预料到“此物后必大行于世”，这一远见已为今天所验证。另外，“石油”这个名称也是沈括首先使用的，比以前的石漆、石脂水、猛火油、火油、石脑油、石烛等名称都贴切得多。在《梦溪笔谈》中有关“太阴玄精”（石膏晶体”的记载里，沈括形状、潮解、解理和加热失水等性能的不同区分出几种晶体，指出它们虽然同名，却并不是一种东西。他还讲到了金属转化的实例，如用硫酸铜溶液把铁变成铜的物理现象。他记述的这些鉴定物质的手段，说明当时人们对物质的研究已经突破单纯表面现象的观察，而开始向物质的内部结构探索进军了。沈括对地理学、医学的贡献
沈括在地学方面也有许多卓越的论断，反映了我国当时地学已经达到了先进水平。他正确论述了华北平原的形成原因：根据河北太行山山崖间有螺蚌壳和卵形砾石的带状分布，推断出这一带是远古时代的海滨，而华北平原是由黄河、漳水、滹沱河、桑乾河等河流所携带的泥沙沉积而形成的。
当他察访浙东的时候，观察了雁荡山诸峰的地貌特点，分析了它们的成因，明确地指出这是由于水流侵蚀作用的结果。他还联系西北黄土地区的地貌特点，做了类似的解释。他还观察研究了从地下发掘出来的类似竹笋以及桃核、芦根、松树、鱼蟹等各种各样化石，明确指出它们是古代动物和植物的遗迹，并且根据化石推论了古代的自然环境。这些都表现了沈括可贵的唯物主义思想。
在欧洲，直到文艺复兴时期，意大利人达·芬奇对化石的性质开始有所论述，比沈括晚了四百多年。沈括视察河北边防的时候，曾经把所考察的山川、道路和地形，在木板上制成立体地理模型。这个做法很快便被推广到边疆各州。熙宁九年（公元1076年），沈括奉旨编绘《天下州县图》。他查阅了大量档案文件和图书，经过近二十年坚持不懈的努力，终于完成了我国制图史上巨作《守令图》。这是一套大型地图集，共计二十幅，其中有大图一幅，高一丈二尺，宽一丈；小图一幅；各路图十八幅（按当时行政区划，全国分做十八路）。图幅之大，内容之详，都是以前少见的。
在制图方法上，沈括提出分率、准望、互融、傍验、高下、方斜、迂直等九法，这和西晋裴秀著名的制图六体是大体一致的。他还把四面八方细分成二十四个方位，使图的精度有了进一步提高，为我国古代地图学做出了重要贡献。
沈括对医药学和生物学也很精通。他在青年时期就对医学有浓厚兴趣，并且致力于医药研究，搜集了很多验方，治愈过不少危重病人。同时他的药用植物学知识也十分广博，并且能够实际出发，辨别真伪，纠正古书上的错误。他曾经提出“五难”新理论；沈括的医学著作有《良方》等三种。现存的《苏沈良方》是后人把苏轼的医药杂说附入《良方》之内合编而成的。沈括的唯物主义思想
沈括具有朴素的唯物主义思想和发展变化的观点。他认为“天地之变，寒暑风雨，水旱螟蝗，率皆有法”，并指出，“阳顺阴逆之理，皆有所从来，得之自然，非意之所配也。”就是说，自然界事物的变化都是有规律的，而且这些规律是客观存在的，是不依人们的意志为转移的，而且这些规律是客观存在的，是不依人们的意志为转移的。他还认为事物的变化规律有正常变化和异常变化，不能拘泥于固定不变的规则。正是这些比较正确的思想观点，促使他取得了那个时代在科学技术方面达到的高度成就。沈括曾提出已知的知识是有限的，人的认识是无限的观点，对科学的发展产生了很大的影响。
唯物主义的思想倾向，还表现在沈括十分重视劳动群众的实践经验和发明创造上，他不断地从劳动人民那时汲取智慧和力量。他曾说：“至于技巧器械，大小尺寸，黑黄苍赤，岂能尽出于圣人！百工、群有司、市井田野之人，莫不预焉”。为了探求医药知识，他“所至之处，莫不询究，或医师，或是巷，或小人，以至士大夫之家，山林隐者，无不求访”。在《梦溪笔谈》中，他以敬佩的态度记载了宋朝劳动人民在科学技术上的许多卓越贡献。例如布衣毕升发明活字印刷术，民间匠师喻皓的建筑成就和编著的《木经》，河工高超创造的合龙堵口的先进方法，平民天文数学家卫朴修历的事迹，以及河北工作炼钢、福建农民种茶等许多无名英雄在生产斗争中取得的宝贵经验，等等。正是由于沈括的详细记述，才使得不少作出贡献的劳动人民的业绩得以保存流传下来。
唯物主义的思想倾向，决定了沈括对于自然现象和科技成就的记述具有一定的科学性。他观察和描述事物非常细致、具体、准确，没有封建时代一般文人虚词浮夸的坏习惯。因此，通过他的记述，我们能够明确地判断他那个时期生产技术和自然科学所达到的水平。例如，沈括有关雷电、海市蜃楼、龙卷风、地震以及陨铁等自然现象的记载，非常细致贴切而生动形象，使人们仿佛亲临现场。
沈括能够用发展变化的观点研究客观事物，得出正确的结论。他在论述有关数学、气象、医药等许多问题的时候，多次强调要因地因时制宜。例如古代规定二月和八月是采药的季节，是沈括指出，草药生长由于受自然条件和栽培情况的影响，同时采药又有取根、取叶、取芽、取花、取实等不同的要求，因此，要根据不同情况选下采药时间，不可死板地“拘以定月”。沈括的这一见解是十分合理的。
沈括对一些自然现象并不停留在表面的观察上，他还努力探求它的科学道理，提出对事物发展变化规律性的解释。象对雁荡山诸峰和华北平原的形成原因、二十八宿的位置、化石的形成等许多问题的说明，是符合近代科学原理的。为了弄清阳燧（凹面镜）成像的道理，他观察空中飞鸟的影子情况，并亲自移动自己的手，来比较成像的区别，终于作出了比较正确的解释。这些都是他在科学事业上能够获得成功的重要原因。沈括在军事上的成就
沈括文武双全，不仅在科学上取得了辉煌的成绩，而且为保卫北宋的疆土也做出过重要贡献。北宋时期，阶级矛盾和民族矛盾都十分尖锐。辽和西夏贵族统治者经常侵扰中原地区，掳掠人口牲畜，给社会经济带来很大破坏。沈括坚定地站在主战派一边，在熙宁七年（公元1074年）担任河北西路察访使和军器监长官期间，他攻读兵书，精心研究城防、阵法、兵车、兵器、战略战术等军事问题，编成《修城法式条约》和《边州阵法》等军事著作，把一些先进的科学技术成功地应用在军事科学上。同时，沈括对弓弩甲胄和刀枪等武器的制造也都作过深入研究，为提高兵器和装备的质量做出了一定贡献。
5.贾宪发明增乘开方法
贾宪，北宋人，约于1050年左右完成《黄帝九章算经细草》，原书佚失，但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉《详解九章算法》（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”。《详解九章算法》同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。
贾宪三角开方作法本源图的今称。中国北宋数学家贾宪所首创。西方称之为帕斯卡三角，晚于贾宪六百多年。
贾宪三角是一个指数为正整数的二项式定理系数表。杨辉在《详解九章算法》中曾记载“释锁算书，贾宪用此术”。
原图下面有五句话：“左衺乃积数，右衺乃隅算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命实而除之。”前三句说明了贾宪三角的结构和它们在开方术中的作用。它的每一行中的数字依次表示二项式（α＋b）n（n＝0，1，2，……）展开式的各行系数。最外左、右斜线上的数字，分别是各次开方中积（αn）和隅算（bn）的系数，中间的数字“二”、“三、三”、“四、六、四”等等，分别是各次开方中的廉（积、隅、廉皆来自于古代开方术的几何解释。
以开平方为例，初商α的平方，在图形中是一个大正方形，称为“积”，次商b的平方在图形中是占据一角的小正方形，称为“隅”，而2αb位于图形的两侧边，故称为“廉”）。
在贾宪三角后，附有“增乘方求廉法”：“列所开方数，以隅算一，自下增入前位至首位而止。复以隅算如前陞增，递低一位求之。”根据“法”后注明的“草”，求开六次方的廉的程序如下：第一位11＋5＝6，第二位11＋4＝55＋10＝15，第三位11＋3＝44＋6＝1010＋10＝20，第四位11＋2＝33＋3＝66＋ 4＝1010＋5＝15，第五位11＋1＝22＋1＝33＋1＝44＋1＝55＋1＝6，最后得到的6、15、20、15、6就是六次方的各廉。用这种随乘随加的增乘过程，可以求任意次方的廉。
图下面的后两句话简要说明了用各行系数进行开方的方法：以商的相应次方乘廉，去减实。如对数N开平方，用贾宪三角的第三层，2确定初商α，得余实N－α后，以初商乘廉，得2α；再定次商b，加次2商于2α，乘以b，从余实N－α中减去，它的算式就是2
N－α＝（2α＋b）b。
同样，开其他次方，亦可如法处理。说明当时中国数学家已把传统的开方术推广到开高次方。
同时，求贾宪三角各廉的增乘步骤，可以直接用来开方，从而创造了高次方程数值解法的新途径，这就是贾宪的另一成就增乘开方法。
元初朱世杰把贾宪三角由七层推广到九层（八次幂），为高阶等差级数求和问题和高次招差法的发展，提供了有力的数学工具，贾宪三角对宋元数学的发展实有肇始之功。
6.算中宝典秦九韶
秦九韶（公元1202～1261），字道古，安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。
秦九韶祖籍鲁郡（今河南范县），自幼生活在家乡，18岁时曾“在乡里为义兵首”，后随父亲移居京部。他是一位非常聪明的人，处处留心，好学不倦。其父任职工部郎中和秘书少监期间，正是他努力学习和积累知识的时候。
工部郎中掌管营建，而秘书省则掌管图书，其下属机构设有太史局，因此，他有机会阅读大量典籍，并拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工程问题，甚至可以深入工地，了解施工情况。
他又曾向“隐君子”学习数学。他还向著名词人李刘学习骈俪诗词，达到较高水平。通过这一阶段的学习，秦九韶成为一位学识渊博、多才多艺的青年学者，时人说他“性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知。”
1225年，秦九韶随父亲至潼川，担任过一段时间的县尉。数年后，李刘曾邀请他到南宋国史院校勘书籍文献，但未成行。端平三年（1236）元兵攻入四川，嘉陵江流域战乱频仍，秦九韶不得不经常参与军事活动。他后来在《数书九章》序中写道：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落”，真实地反映了这段动荡的生活。由于元兵进逼和溃卒骚乱，潼川已难以安居，于是他再度出川东下，先后担任过蕲州（今湖北蕲春）通判及和州（今安徽和县）守，最后定居湖州（今浙江吴兴）。
秦九韶在任和州守期间，利用职权贩盐，强行卖给百姓，从中牟利。定居湖州后，所建住宅“极其宏敞”，“后为列屋，以处秀姬、管弦”。据载，他在湖州生活奢华，“用度无算”。
淳祐四年（1244）八月，秦九韶以通直郎为建康府（今江苏南京）通判，十一月因母丧离任，回湖州守孝。在此期间，他专心致志研究数学，于淳祐七年（1247）九月完成数学名著《数书九章》。由于在天文历法方面的丰富知识和成就，他曾受到皇帝召见，阐述自己的见解，并呈有奏稿和“数学大略”（即《数书九章》）。
宝祐二年（1254），秦九韶回到建康，改任沿江制置使参议，不久去职。此后，他极力攀附和贿赂当朝权贵贾似道，得于宝祐六年（1258）任琼州守，但三个月后被免职。同时代的刘克庄说秦九韶“到郡（琼州）仅百日许，郡人莫不厌其贪暴，作卒哭歌以快其去”，周密亦说他“至郡数月，罢归，所携甚富”。看来，由于他在琼州的贪暴，百姓极为不满。
秦九韶从琼州回到湖州后，投靠吴潜，得到吴潜赏识，两人关系甚密。吴潜曾相继在开庆元年（1259）拟任以司农寺丞，景定元年（1260）拟任以知临江军（今江西清江），都因遭到激烈反对而作罢。在这段时间里，秦九韶热衷于谋求官职，追逐功名利禄，在科学上没有显著成绩。在南宋统治集团内部的激烈斗争中，吴潜被罢官贬谪，秦九韶也受到牵连。约在景定二年（1261），他被贬至梅州做地方官，“在梅治政不辍”，不久便死于任所。
秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学名著《数学九章》，《癸辛杂识续集》称作《数学大略》，《永乐大典》称作《数学九章》。全书九章十八卷，九章九类：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案；“术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的最高水平。
我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年）是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术（不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。”
秦九韶的“大衍求一术”，领先高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”
秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯（1777～1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无尚荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。
秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳（1786～1837年）的同样解法早572年。秦九韶的正负方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。
此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢（约1490～1570年，法国）给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。
秦九韶还创用了“三斜求积术”等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与海伦（公元50年前后）公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙组合。
秦九韶的哲学思想和数学思想，显然与宋代儒学中的道学学派一致。他明确指出“数与道非二本也”，再加上数学实践的切身体会，使他对于数学的重要性产生了较为清楚的认识。他说，数学研究“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉！”但他又承认自己对于“通神明，顺性命”没有太深的体会，于是注意搜求天文历法、生产、生活、商业贸易以及军事活动中的数学问题，“设为问答，以拟于用”，尽力满足社会实践的需要，并告诫人们要学好数学，精于计算，以避免由于计算错误而引起的“财蠹力伤”等等不良后果。为此，他付出了辛勤劳动，撰写出20余万言的数学巨著。他的这种思想和作法是难能可贵的，应该给予充分的肯定。
秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。美国著名科学史家G.萨顿（1884～1956）说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。
秦九韶的中国剩余定理源自民间传说的一则故事——“韩信点兵”。秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
首先我们先求3、5、7、的最小公倍数105（注：因为3、5、7为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），乘以10，然后再加23，得1073（人）。
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”。它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式。这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由秦九韶首先提出的。
①有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23……
它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11……
除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29……
它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9……
一个数除以12的余数是唯一的。上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。
如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数。很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋12的整数，整数可以取0，1，2……无穷无尽。事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数。这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件。《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个。然后再与第三个条件合并，就可找到答案。
②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。
解：先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26……
再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28……
这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15。两个条件合并成一个就是8＋15整数，列出这一串数是8，23，38……再列出除以7余2的数2，9，16，23，30……
就得出符合题目条件的最小数是23。
事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23。那么韩信点的兵在1000至1500之间，应该是1050＋23＝1073人。
秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，达到了当时世界数学的最高水平。
7.郭守敬编著授时历
在中国的科学技术史上，宋元时代是科学技术最为繁荣发展、各种发明创造层出不穷的重要时期。天文学、数学、医学都取得了新的成就。郭守敬就是在当时创新思想影响下出现的一位杰出的科学家、发明家，也是13世纪世界上杰出的科学家之一。他在天文、历法、数学、水利、地理学等方面都有很高的成就，尤其在对天文研究和天文仪器创制方面贡献巨大。
郭守敬从小喜欢动脑筋，对各种自然现象很感兴趣。他的祖父郭荣是一位精通数学和水利的学者，对少年时代的郭守敬影响很大。祖父认为他有培养前途，就送他到邢台西面的紫金山去求学。那时，一些有学问的人，像邢台人刘秉忠及沙河人张文谦等，都住在紫金山研究学问。郭守敬读书刻苦认真，特别爱好天文学，利用课余时间制造了一些天文仪器的模型，得到张文谦等人的赞赏。
郭守敬青年时代就不怕困难，敢想敢做。离家乡邢台城外五里多地，有一支泉水，经过一座石桥流进城里。年代久了，淤泥湮没了石桥，泉水涨起时，附近的庄稼和交通都受影响。于是县里人决定建造一座新石桥。20岁的郭守敬，被指定为工程的负责人。他年纪虽轻，劲头却很大，先到现场仔细观察了地形，决定建桥地址，还开凿了沟渠，使泉水能够畅通无阻，把被淤泥湮没了的石桥也掘了出来，全部工程，只用了40天。当地百姓都赞扬他“巧思绝人”。
当时中都（现在的北京）附近的河道，由于战争的影响破坏得很厉害，元世祖忽必烈派郭守敬负责治理这些河道。他用了不到两年时间，就完成了这项艰巨的任务。我们知道，现在的大运河是从浙江杭州起，往北直通到北京的。可是当时，大运河只通到通州。从通州到北京的运输，要靠陆路。每逢秋雨连绵之日，运输就很难进行。郭守敬建议在北京和通州之间开凿一条河流，跟大运河连接起来。建议被采纳后，他立刻到现场进行实地观察、测量，决定把昌平县北山的泉水导入瓮山泊（现在的昆明湖），再引进城里的什刹海，然后流入新运河。他还在这条河上修筑堤坝，设置闸门，用来调节水量，使大船也能通行。这就是有名的通惠运河。
元代以前的历法，虽经多次修改，但仍然墨守陈规。郭守敬认为只有根据对天象的周密观测，才能定出比较准确的历法。于是，他打破陈规，自制了一套天文仪器，计有13种之多，很有创见。其中的“简仪”，可以用来清晰地观测天空的日、月、星宿。仪器制成后，郭守敬提议在全国各地进行观测。元朝政府接受了他的建议，并派官员协助他在各地建立观测站。东到高丽（现在的朝鲜），西到滇地（今云南昆明市）和凉州（今甘肃武威），北到铁勒（今俄罗斯的贝加尔湖），南到琼州（今海南岛），共建立了27个观测站，可以同时对天象进行观测，规模之大，当时是举世无双的。郭守敬根据观测的结果，再加以精密计算，经过4年时间，到公元1280年，制成了一种新历法，取古语“敬授民时”之意，命为《授时历》。《授时历》推算出一年有365.2425天，跟地球环绕一周的时间，只差26秒，和目前世界通用的格里高利历的一周期一样，但比格里高利历早300年。
对于郭守敬的才华，外国人也很钦佩。清朝初年，德国的传教士汤若望看了郭守敬制造的天文仪器后，称他为“中国的第谷”。第谷是丹麦的天文学家，制造过多种天文仪器，不过，他比郭守敬晚了300多年。
郭守敬在数学方面也有很深的造诣。他创造了一种算法，能计算球面三角形，他的“平立定三差法”，是一种高等级数的运算方法。这种方法，在欧洲又过了4年，才由著名科学家牛顿和莱布尼兹研究出来。
郭守敬活了86岁，一生从事科研活动，对我国古代科学事业的发展起了极大的推进作用。
8.宋元数学大家李冶
李冶（1192～1279）是中国古代数学家，原名李治，字仁卿，号敬斋，金代真定府栾城县（今河北省栾城县）人。
李冶生于大兴（今北京市大兴县），父亲李通为大兴府推官。李冶自幼聪敏，喜爱读书，曾在元氏县（今河北省元氏县）求学，对数学和文学都很感兴趣。《元朝名臣事略》中说：“公（指李冶）幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风。”1230年，李冶在洛阳考中词赋科进士，任钧州（今河南禹县）知事，为官清廉、正直。1232年，钧州城被蒙古军队攻破。李冶不愿投降，只好换上平民服装，北渡黄河避难。
经过一段时间的颠沛流离之后，李冶定居于崞山（今山西崞县）之桐川。1234年初，金朝终于为蒙古所灭。金朝的灭亡给李冶生活带来不幸，但由于他不再为官，这在客观上使他的科学研究有了充分的时间。他在桐川的研究工作是多方面的，包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学。其中最有价值的工作是对天元术进行了全面总结，写成数学史上的不朽名著《测圆海镜》。他的工作条件是十分艰苦的，不仅居室狭小，而且常常不得温饱，要为衣食而奔波。但他却以著书为乐，从不间断自己的写作。据《真定府志》记载，李冶“聚书环堵，人所不堪”，但却“处之裕如也”。他的学生焦养直说他：“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”。经过多年的艰苦奋斗，李冶的《测圆海镜》终于在1248年完搞。它是我国现存最早的一部系统讲述天元术的著作。
1251年，李冶的经济情况有所好转，他结束了在山西的避难生活，回元氏县封龙山定居，并收徒讲学。1257年在开平（今内蒙古正蓝旗）接受忽必烈召见，提出一些进步的政治建议。1259年在封龙山写成另一部数学著作《益古演段》。1265年应忽必烈之聘，去燕京（今北京）担任翰林学士知制洁同修国史官职，因感到在翰林院思想不自由，第二年辞耿还乡。李冶是一位多才多艺的学者，除数学外，在文史等方面也深有造诣。他晚年完成的《敬斋古今注》与《泛说》是两部内容丰富的著作，是他积多年笔记而成的。《泛说》一书已失传，仅存数条于《敬斋古今注》附录。他还著有《文集》四十卷与《壁书丛制》十二卷，已佚。1279年，李冶病逝于元氏。李冶在数学上的主要成就是总结并完善了天元术，使之成为中国独特的半符号代数。这种半符号代数的产生，要比欧洲早三百年左右。他的《测圆海镜》是天元术的代表作，而《益古演段》则是一本普及天元术的著作。
所谓天元术，就是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”相当于今“设x为某某”是一致的。在中国，列方程的思想可追溯到汉代的《九章算术》，书中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念。到唐代，王孝通已经能列出三次方程，但仍是用文字叙述的，而且尚未掌握列方程的一般方法。经过北宋贾宪、刘益等人的工作，求高次方程正根的问题基本解决了。随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种普遍的建立方程的方法，天元术便在北宋应运而生了、洞渊、石信道等都是天元术的先驱。但直到李冶之前，天元术还是比较幼稚的，记号混乱、复杂，演算烦琐。例如李冶在东平（今山东省东平县）得到的一本讲天元术的算书中，还不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂，它“以十九字识其上下层，曰仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。”这就是说，以“人”字表示常数，人以上九字表示未知数的各正数次幂（最高为九次），入以下九字表示未知数的各负数次幂（最低也是九次），其运算之繁可见一斑。从稍早于《测圆海镜》的《铃经》等书来看，天元术的作用还十分有限。李冶则在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法。当时，北方出了不少算书，除《铃经》外，还有《照胆》、《如积释锁》、《复轨》等，这无疑为李冶的数学研究提供了条件。特别值得一提的是，他在桐川得到了洞渊的一部算书，内有九客之说，专讲勾股容圆问题。此书对他启发甚大。为了能全面、深入地研究天元术，李冶把勾股容圆（即切圆）问题作为一个系统来研究。他讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，写成《测圆海镜》十二卷，这是他一生中的最大成就。《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式。卷一的“识别杂记”阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共六百余条，每条可看作一个定理（或公式），这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结。后面各卷的习题，都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来。李冶总结出一套简明实用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法。他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从零到九的完整数码。除0以外的数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇0空位，没有符号0。从现存古算书来看，李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用0的两本书，它们成书的时间相差不过一年。《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多。但书中用天元术导出许多高次方程（最高为六次），给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的。《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，它无疑是当时世界上第一流的数学著作。但由于内容较深，粗知数学的人看不懂。而且当时数学不受重视，所以天元术的传播速度较慢。李冶清楚地看到这一点，他坚信天元术是解决数学问题的一个有力工具，同时深刻认识到普及天元术的必要性。他在结束避难生活、回元氏县定居以后，许多人跟他学数学，促使他写一本深入浅出、便于教学的书，《益古演段》便是在这种情况下写成的。《测困海镜》的研究对象是离生活较远而自成系统的圆城图式，《益古演段》则把天元术用于解决实际问题，研究对象是日常所见的方、圆面积。李冶大概认识到，天元术是从几何中产生的。因此，为了使人们理解天元术，就需回顾它与几何的关系，给代数以几何解释，而对二次方程进行几何解释是最方便的，于是便选择了以二次方程为主要内容的《益古集》（11世纪蒋周撰）。正如《四库全书·益古演段提要》所说：“此法（指天元术）虽为诸法之根，然神明变化，不可端倪，学者骤欲通之，茫无门径之可入。惟因方圆幂积以明之，其理尤届易见。”李冶是很乐于作这种普及工作的，他在序言中说：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顾不快哉！”《益古演段》的价值不仅在于普及天元术，理论上也有创新首先，李冶善于用传统的出入相补原理及各种等量关系来减少题目中的未知数个数，化多元问题为一元问题。其次，李冶在解方程时采用了设辅助未知数的新方法，以简化运算。
9.数学教育家杨辉
杨辉，字谦光，钱塘（今杭州）人，中国古代数学家和数学教育家，生平履历不详。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷。（一）主要著述
杨辉一生留下了大量的著述，它们是：《详解九章算法》12卷（1261年），《日用算法》2卷（1262年），《乘除通变本末》3卷（1274年，第3卷与他人合编），《田亩比类乘除捷法》2卷（1275年），《续古摘奇算法》2卷（1275年，与他人合编），其中后三种为杨辉后期所著，一般称之为《杨辉算法》。《详解九章算法》现传本已非全帙，编排也有错乱。从其序言可知，该书乃取魏刘徽注、唐李淳风等注释、北宋贾宪细草的《九章算术》中的80问进行详解。在《九章算术》9卷的基础上，又增加了3卷，一卷是图，一卷是讲乘除算法的，居九章之前；一卷是纂类，居书末今卷首图、卷1乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰诸题、卷6商功的诸同功问题已佚。卷4衰分下半卷、卷5少广存《永乐大典》残卷中，其余存《宜稼堂丛书》中。从残本的体例看，该书对《九章算术》的详解可分为：一、解题。内容为解释名词术语、题目含义、文字校勘以及对题目的评论等方面。二、明法、草。在编排上，杨辉采用大字将贾宪的法、草与自己的详解明确区分出来。三、比类。选取与《九章算术》中题目算法相同或类似的问题作对照分析。四、续释注。在前人基础上，对《九章算术》中的80问进一步作注释。杨辉的“纂类”，突破《九章算术》的分类格局，按照解法的性质，重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。
杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。《日用算法》，原书不传，仅有几个题目留传下来。从《算法杂录》所引杨辉自序可知该书内容梗概：“以乘除加减为法，秤斗尺田为问，编诗括十三首，立图草六十六问。用法必载源流，命题须责实有，分上下卷。”该书无疑是一本通俗的实用算书。《乘除通变本末》三卷，皆各有题，在总结民间对等算乘除法的改进上作出了重大贡献。上卷叫《算法通变本末》，首先提出“习算纲目”，是数学教育史的重要文献，又论乘除算法；中卷叫《乘除通变算宝》，论以加减代乘除、求一、九归诸术；下卷叫《法算取用本末》，是对中卷的注解。《田亩比类乘除捷法》，其上卷内容是《详解九章算法》方田章的延展，所选例子非常贴近实际。下卷主要是对刘益工作的引述。杨辉在《田亩比类乘除捷法》序中称“中山刘先生作《议古根源》。……撰成直田演段百间，信知田体变化无穷，引用带从开方正负损益之法，前古之所未闻也。作术逾远，罔究本源，非探喷索隐而莫能知之。辉择可作关键题问者重为详悉著述，推广刘君垂训之意。”《田亩比类乘除捷法》卷下征引了《议古根源》22个问题，主要是二次方程和四次方程的解法。《续古摘奇算法》上卷首先列出20个纵横图，即幻方。其中第一个为河图，第二个为洛书，其次，四行、五行、六行、七行、八行幻方各两个，九行、十行幻方各一个，最后有“聚五”“聚六”：聚八”“攒九”“八阵”“连环”等图。有一些图有文字说明，但每一个图都有构造方法，使图中各自然数“多寡相资，邻壁相兼”凑成相等的和数。卷下评说《海岛》也有极高的科学价值。
杨辉著作大都注意应用算术，浅近易晓。其著作还广泛征引数学典籍和当时的算书，中国古代数学的一些杰出成果，比如刘益的“正负开方术”，贾宪的“开方作法本源图”“增乘开方法，”幸得杨辉引用，否则，今天将不复为我们知晓。（二）主要研究成果
杨辉的数学研究与数学教育工作之重点在于改进筹算乘除计算技术，总结各种乘除捷算法，这是由当时的社会状况决定的。唐代中期以后，社会经济得到较大发展，手工业和商业交易都具有相当的规模，因而，人们在生产、生活中需要数学计算的机会，较前大大增加，这种情况迫切要求数学家们为人们提供便于掌握、快捷准确的计算方法。为适应社会对数学的这种需求，中晚唐时期出现了一些实用的算术书籍。但是，这些书籍除了《韩延算术》，被宋人误认为《夏侯阳算经》而刊刻流传到现在外，都已失传。《韩延算术》大约编写于公元770年前后，书中介绍了很多乘除捷法的例子。比如，某数乘以42可以化为某数乘以6，再乘以7；某数除以12可以化为某数除以2，再除以6。对于更复杂的问题可同样处理。通过将乘数、除数分解为一位数，可以使运算在一行内实现，简化了运算，提高了速度。韩延还介绍了其他一些简捷算法。比如“身外添加四”、“隔位加二”。北京科学家沈括也总结了增成、重因等捷算法。
杨辉生活在南宋商业发达的苏杭一带，进一步发展了乘除捷算法。他说：“乘除者本钩深致远之法。《指南算法》以‘加减’、‘九归’、‘求一’旁求捷径，学者岂容不晓，宜兼而用之。”
在前人的基础上，他提出了“相乘六法”：一曰“单因”，即乘数为一位数的乘法；二曰“重因“，即乘数可分解为两个一位数的乘积的乘法；三曰“身前因”，即乘数末位为一的两位数乘法，比如257×21＝257×20十257，实际上，身前因就是通过乘法分配律将多位数乘法化为一位数乘法和加法来完成。四曰相乘，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘数可分解为两因数的积，作两次相乘；六曰“损乘”，是一种以减代乘法，比如，当乘数为9、8、7时，可以10倍被乘数中，减去被乘数的—、二、三倍。
杨辉还进一步发展了唐宋相传的求一算法，总结出了“乘算加法五术”、“除算减法四术”。
求一实际上就是通过倍、折、因将乘除数首位化为一，从而用加减代乘除。
杨辉的“乘算加算加法五术”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“连身加”。乘数为11至19的，用加一位；乘数为101至199的，用加二位法；乘数可分为两因数的积，且可用加一或加二时，称为重加；乘数为101至109时，用隔位加；乘数为21至29、201至299时，用连身加。例如，342×56的计算，用现代符号写出，便是：342×56＝342×112÷2＝（34200十342×12）十2＝（34200十3420十342×2）十2。其“除算减法四木”即“减一位”、“减二位”、“重减”、“减隔位”，用法与乘算加法类似。
北宋初年出现的一种除法——增成法，在杨辉那里得到进一步的完善。增成法的优点在于用加倍补数的办法避免了试商，但对于位数较多的被除数，运算比较繁复，后人改进了它，总结出了“九归古括”，包含44句口诀。杨辉在其《乘除通变算宝》中引《九归新括》口诀32句，分为“归数求成十”、“归数自上加”，“半而为五计”三类。
客观上讲，杨辉不遗余力改进计算技术，大大加快了运算工具改革的步伐。随着筹算歌诀的盛行，运算速度大大加快，以至人们感觉到摆弄算筹跟不上口诀。在这样的背景下，算盘便应运而生了，及至元末，已经广为流行。
纵横图，即所谓的幻方。早在汉郑玄《易纬注》及《数术记遗》都记载有“九宫”即三阶幻方，千百年来一直被人披上神秘的色彩。杨辉创“纵横图”之名。在所著《续古摘奇算法》上卷作出了多种多样的图形。如四阶纵横图、百子图等，百子图即十阶纵横图。其每行每列数之和为50－5（对角线数字之和不是505）；还有“聚八”图和“攒九”图。“聚八”图杨辉按“二十四子作三十二子用”设子的这种幻方共有四圈，每圈数字之和为100；“攒九”图，则用前33个自然数排列，达到“斜直周围各一百四十七”的效果。杨辉不仅给出了这些图的编造方法，而且对一些图的一般构造规律有所认识，打破了幻方的神秘性。这是世界上对幻方最早的系统研究和记录。自杨辉以后，明清两代中算家关于纵横图的研究相继不断。
杨辉的另一重要成果是垛积术。这是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数求和的研究。在《详解九章算法》和《算法通变本末》中记叙了若干二阶等差级数求和公式，其中除有一个即沈括的当童垛外，还有三角垛、四隅垛、方垛三式等。
对数学重新分类也是杨辉的重要数学工作之一。杨辉在详解《九章算术》的基础上，专门增加了一卷“纂类”，将《九章》的方法和246个问题按其方法的性质重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。
杨辉不仅是一位著述甚丰的数学家，而且还是一位杰出的数学教育家。他一生致力于数学教育和数学普及，其著述有很多是为了数学教育和普及而写。《算法通变本末》中载有杨辉专门为初学者制订的“习算纲目”，它集中体现了杨辉的数学教育思想和方法。
10.朱世杰四元消法
朱世杰，字汉卿，号松庭。燕山（今北京附近）人，生卒年不详，中国元代著名数学家。
中国在两汉时期就能解一次方程，古时候称为“方程术”。到了宋元时期又出现了具有世界意义的成就——天元术。那么，当未知数不止一个的时候，如何列出高次联立方程组求解呢？有这样一道古代数学题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔及长各几步？答曰：阔二十四步，长三十六步”。这就是说，长方形田地的面积等于八六四平方步，长与宽的和是六十步，长与宽各多少步？此题列成方程式即是：xy＝864，x＋y＝60，其中x、y分别表示田的长和宽，这是一个二元二次方程组问题，此题选自我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》一书。这说明，我国宋代数学家就已结合生产实践对多元高次方程组有了研究。那么，有没有三元三次方程组，四元四次方程组呢？当然有。早在宋、元时期，我国数学家就圆满地解决了这个问题。
元代数学家朱世杰，在与他同时代的数学家秦九韶、李治所创立的一元高次方程的数值解法和天元术的基础上，进一步发展了“四元术”，创造了用消元法解二、三、四元高次方程组的方法。
朱世杰这一重大发明，都记录在他的杰作《四元玉鉴》一书中。
所谓四元术，就是用天元（x）、地元（y）、人元（z）、物元（u）等四元表示四元高次方程组。朱世杰不仅提出了多元（最高到四元）高次联立方程组的算筹摆置记述方法，而且把《九章算术》等书中四元一次联立方程解法推广到四元高次联立方程组。四元术用四元消法解题，把四元四式消去一元变成三元三式，再消去一元变成二元二式，再消去一元，就得到一个只含一元的天元开方式，然后用增乘开方法求正根。这和现代解方程组的方法基本一致。
在西方，在16世纪以前，人们长期把不同的未知数用同一个符号来表示，以至含混不清。直到公元1559年，法国数学家彪特才开始用不同的字母A、B、C……来表示不同的未知数。而我国，朱世杰早在公元1303年就巧妙地解决了这个问题，他用天、地、人、物这四元来表示四个未知数，即相当于现在的x、y、z、u。
而关于四元高次联立方程的求解，欧洲直到1775年，法国数学家别朱在他的《代数方程的一般理论》一书中才得以系统地解决。但这已比朱世杰晚了四五百年。
四元术是我国数学家的又一辉煌成就。它达到了当时世界数学发展的高峰。
11.算盘发明家程大位
程大位（公元1533年～1606年）是中国古代数学家，字汝思，号宾渠，安徽省休宁县（今黄山市）人。其故居至今尚存。
程大位出身小商，自幼聪明好学，尤其喜爱数学，常不惜重金购求算书。20岁左右时，他利用外出经商的机会，邀游吴楚，遍访名师，遇有”睿通数学者，辄造请问难，孜孜不倦”。他身居小县城，对土地测量十分重视，曾创造“丈量步车”，并绘图传世。程大位40岁以后，倦于外游，便“归而覃思于率水之上余二十年”。他认真钻研古籍，绎其文义，审其成法，遍取各家之长，加上自己的心得体会，终于在万历二十年（1592）写成《算法统宗》（原名《直指算法统宗》）17卷。其后6年（1598），又对该书删其繁抚，揭其要领，写成《算法纂要》4卷，先后在休宁刊行。《算法统宗》中，第一、二卷是全书所用的基本知识；第3到12卷为各种应用题解法汇编，各卷基本上以《九章算术》的章名为标题；第13卷到16卷为“难题”，其实算法都很简单，只是条件用诗歌表达；比较隐晦；第17卷为“杂法”。书中各类问题都用珠算，程大位所使用的一套简明顺口的珠算加减乘除口诀及开方方法，一直沿用至今。该书系统总结了我国的珠算法，成为一部比较完备的珠算书。它的成书及广泛流传，标志着我国数学史上由筹算向珠算转化的完成，程大位本人也因此被誉为“珠算一代宗师”。
明末思想家徐光启曾指出，明代数学落后的原因有两个，一个是“名理之儒土苴天下之实事”，另一个是“妖妄之术谬言数有神理。”程大位作为数学家，却与哪些“名理之儒”的观点不同，他十分重视实事，重视数学的应用。他的《算法统宗》之，所以能“风行宇内”，使“海内握算持筹之士，莫不家藏一编”，是与它的实用性分不开的。重视数学应用
程大位认为数学有广泛的用处，他说：“远而天地之高广，近而山川之浩衍；大而朝廷军国之需，小而民生日用之费，皆莫能外。”吴继绥在《算法统宗》序中也引用过他说的话：“多算胜少算不胜而况于无算乎？”在程大位看来，数学是社会也是人生不可缺少的。他在《算法统宗》中开宗明义，以诗歌形式写道：“世间六艺任纷坛，算乃人之根本；知书不知算法，如临暗室昏昏。”这与当时的理学家们反对经世致用的学问和轻视数学的态度形成了鲜明对照。当时盛行的八股取士制，是“以四书五经命题，八股文章取士”的，它引导知识分子远离自然科学，严重束缚了知识分子的思想。许多读书人为了功名，埋头于儒家经典，只会奢谈三纲五常之类的封建伦理，哪里还顾得上数学和其他有实用价值的科学技术呢？程大位却能突破儒家思想的束缚，中年以后全力写作《算法统宗》。以解决当时社会急需的实际问题，这种精神是十分可贵的。
不仅如此，程大位还敢于针对时弊，秉笔直书、从数学的角度揭露了贪官污吏对人民的愚弄。卷三的“亩法论”便表现了这种思想，文中说：“万历九年遵诏清丈，敝邑（休宁）总书擅变亩法，田分四等，上则一百九十步，中则二百二十步，下则二百六十步，下下则三百步。……与前贤二百四十步一亩大相缪皮，借日土田有肥硗，征役有轻重，亦宜就土田高下。别米麦之多寡、不得轻变亩法。第总书开其弊窦，举邑业已遵行，何容置喙！姑记之此，以见作聪明乱旧章之自云。”显然，这种以“土地肥挠”和“征役轻重”来确定田亩单位的作法是十分荒唐的。其目的无非是浑水摸鱼，敲诈百姓。这段话的字里行间，流露出一位正直数学家对人民的深切同情。
综观《算法统宗》全书，作者是十分重视数学应用的。595道题中，绝大部分是密切结合人民生活的应用问题。开方、勾股等方面有些纯数学问题，也是为应用题作准备的。在应用问题中，包括田亩测量、交通运输、物资分配、容积计算、税收贸易、工程技术等。题目分类基本上沿袭《九章算术》，但在体例上与《九章算术》有一点明显的不同，就是首先列举了学习全书所需的基本知识，包括算法提纲、大数、小数、度量衡、田亩测量制、珠算定位法、珠算四则运算口诀等。这就使该书不仅内容丰富，而且便于自学，成为一本良好的数学入门书。改进珠算法《算法统宗》的另一特点是大部分题采用珠算，这也体现厂作者着眼于应用的精神。珠算盘是一种构造简单、价格低廉、容易携带的计算工具。珠算与筹算相比，运算更为方便、迅速。但当时的珠算方法还不够完善，有的口诀也不够顺畅，于是程大位便花大力气改进珠算法及珠算口诀。他为了区别乘除法口诀，在卷一明确规定：“九九合数”应“呼小数在上，大数在下”，“九归歌”应“呼大数在上，小数在下”。例如“六八四十八”是乘法口诀，“八六七十四”是除法口诀。书中记载着完整的撞归口诀，如“一归：见一无除作九一，起一下还一”；“二归，见二无除作九二，起一下还二”等等。第六、七卷中，程大位还给出珠算开平、立方的方法。虽不能肯定这是他的发明，但该书确是最早记载这种方法的古算书之一。（成书稍早于《算法统宗》而出版稍晚的朱载培《算学新说》中也有珠算开平、立方法。）书中的珠算定位法则应归功于程大位，因为当时流行的珠算书中都未提到。吴敬的《九章算法比类大全》中虽有定位法，但他是用于筹算。首次完整地叙述珠算定位法的是《算法统宗》中的“定位总歌”：“数家定位法为奇，因乘俱向下位推。
加减只需认本位，归与归除上位施。
法多原实逆上数，法前得零顺下宜。
法少原实降下数，法前得零逆上知。”
程大位十分重视珠算口诀，他认为口诀是学珠算、用珠算的基础，一定要记熟。他反复强调：“一要熟读九歌，二要诵归除歌法”，“学算之人须努力，先将九数时时习。”补充面积公式
在用珠算法解决的各种实际问题中，特别引人注目的是面积问题。对于广大农村来说，田亩测量是不可缺少的，所以程大位十分重视面积问题。在《算法统宗》卷三“方田”中，他结合田亩测量总结出大量面积公式，并编成歌谣，给出图形。这一卷所绘图形60余种，其中比较基本的有十几种，其他都是由这些图形割补而成的。这十几种图形中，一些是《九章算术》中已有公式的，如方田（正方形）、直田（矩形）、圭田（三角形）、邪田（梯形）、圆田（圆形）、弧田（弓形）等，另一些图形则是《九章算术》中没有的，程大位分别给出公式。
对于计算结果、程大位既要求尽可能准确，又主张根据具体情况适可而止。
程大位不用旧法而创立“截法”、就是为了计算结果的准确。他说：“遇歪斜不等，必有斜步，岂可作正步相乘？若截之，庶无误矣。”对于更加复杂的图形，只用“截法”还不行，程大位便采用“截盈补虚”的方法，他说：“田之形状甚多，具载难尽，学者不必执泥，在于临场机变，必须截盈补虚，卑尖减大，以合规式。但田中央先取出方、直、勾股、圭、梭等形，另积旁余，并而于一，然后用法乘除之，用少广章开方等法还原，始为精密之术焉。”但他对准确性的要求是有限度的，因为他着眼于应用。他指出：“世之习算者，咸以方五斜七、围三径一为准，殊不知方五则斜七有奇，径一则围三有奇”，可见他知道有更准确的比值，但他认为不一定使用，因为：数多则散漫难收”，即精确的数据位数多，计算起采太复杂，这在实际应用中往往是没有必要的。创造丈量步车
为了适应当时测量田亩的需要，程大位还创造了一种丈量步车，在《算法统宗》中绘有图形并有详细解说；这种测量工具类似于现在的卷尺，由环、十字架、转轴、锁、钻角及缠在十字架内的竹尺（薄竹片制成的尺）构成。这在当时是一种很先进的测量工具。程大位对自己的发明十分得意，在图边自题：“宾渠制造心机巧，隶首传来数学精。”寓算题于诗词
除了《算法统宗》的内容以外，我们从它的文字形式上也可以看出作者重视数学的应用与普及的思想。全书文字分为叙述性文字、诗词歌诀及图表中的文字三种形式，而诗词贯穿全书，占了相当大的比例。这些诗词，既是优美的文学作品，又是直接为数学服务的。例如“留头乘”的歌诀是一首七绝：“下乘之法此为真，起于先将第二因，三四五来乘遍了，却将本位破其身。”衰分章的一首《西江月》用来命题：“群羊一百四十，剪毛不惮勤劳，群中有母有羊羔，先剪二毛比较。大羊剪毛斤二，一十二两羔毛，百五十斤是根苗，子母各该多少？”这些诗词浅明易懂，生动有趣，使读者在学习珠算的过程中同时得到美的享受。再如盈肋章用来命题的一首五律：“今携一壶酒，游春郊外走。逢朋添一倍，入店饮斗九。相逢三处店，饮尽壶中酒。试问能算士，如何知原有？”此诗不仅朗朗上口，而且具有浓厚的生活气息。读罢全诗，仿佛在眼前展现出一幅情趣盎然的携酒春游图。这种大众化的生动诗歌，无疑会引起读者的兴趣。《算法统宗》寓算题于诗词，赋予数学书以文学色彩，其普及数学的效果是显而易见的。人们在愉快地欣赏这些诗词的同时，也就开始了对数学的理解。《算法统宗》成为明清两代流传最广泛的算书，甚至能超越国度，受到日本、朝鲜和东南亚各国人民的欢迎，其引人入胜的文字无疑是原因之一。
12.圣教三柱石徐光启
徐光启（1562～1633），字子先，上海人。万历九年（1581）中秀才，后乡试屡不举。一度在广东韶州教家馆，万历二十四年在该地得遇传教士郭居静，这是他首次接触基督教。万历二十五年应顺天乡试中举，名列前茅，万历二十八年，赴京会试，路过南京与利玛窦（意大利传教士）相遇。三年之后其父徐思诚七旬大寿，程嘉燧（suì）等许多学者前来祝寿，同年徐光启赴南京访利玛窦，但利玛窦已去北京。虽然未遇利玛窦，他却遇到罗如望，罗如望为他受洗，取教名保禄。万历三十二年徐光启考中进士，选为翰林院庶吉士。他在京期间与李之藻同受教于利玛窦，从万历三十二年至万历三十五年两人都在一起翻译诸如数学、水力学、天文学以及地理学，从此闻名于世。徐光启是第一个将欧洲书籍译成汉文的中国人，译著中影响最大的一部即欧几里德的《基本原理》，当时译名为《几何原本》，共六卷，由利玛窦口授徐光启笔录而成。经过几次订正，最后于万历三十九年刊行。徐光启写过一本名为《测量异同》的书，把西方与中国古代著作《九章》所载之测量角度的方法对比，指出两者的相同之处。一部有关直角三角的著作《勾股义》一卷，亦为徐氏之作。
万历三十四年徐迎其父到京师受洗，教名良。徐光启之子徐骥也受洗，教名雅各伯。徐光启任翰林院检讨之后不久，父亲逝世，他随即辞官回家守丧。路过南京时他邀请郭居静去上海传教，但直到次年经徐多方奔走，郭居静为一批中国信徒作洗礼之后才来到上海。徐在住所之西建一教堂，大批信徒聚集其中。他守丧期间曾两度到澳门参拜该地各个教堂。万历三十八年返抵北京时得知利玛窦已于数月前逝世，葬在皇帝钦赐的一处墓地上。这年年底他复翰林院检讨原官。大约就在此时钦天监测算日食有误，而教士上庞迪我的测算证明是准确的。因为此事，有人建议应由徐光启约同李之藻与熊三拔及庞迪我共同翻译西洋历法书籍，以备钦天监官员应用。万历四十年徐任史馆纂修官，同年他据熊三拔口述撰写并刊行论述西洋水力之学的《泰西水法》六卷，后收入《农政全书》，并为《四库全书》所录。万历四十一年，在传教士的协助之下，制成一批天文测算仪器。当年徐光启因病辞官，暂去天津休养。在津撰有自然科学专著数种。
万历四十四年，徐光启受召复史馆纂修官原职。但就在这一年阴历五月基督教遭查禁，这场危机使一批基督教徒在南京下狱。徐光启乃上疏皇帝驳斥攻讦传教士，此疏后来以《辨学疏稿》为名，他在疏中盛赞传教士为“圣贤之徒”。在查禁期间，大批传教士均在徐光启、李之藻、杨廷筠及他们的亲友家中避难。
万历四十五年初徐光启提升为詹事府左春坊左赞善，但三个月之后即因病辞官去天津附近农庄。第二年后金陷抚顺，召徐回北京任职詹事府詹事兼御史。万历四十七年他奏请皇帝派他为特使晓谕朝鲜抗击后金，此请未获准，十一月二十八日他被派往京东通州督练新兵，由于经费不足，他向朋辈募捐以供应军需，同时并向澳门募捐四门西洋火炮。朱由校（熹宗帝）即位之后下谕徐光启将所部减至四千六百人。次年，他再度以疾病为由辞官去津。沈阳与辽阳陷于后金之时，徐再度受召赴京，他随即上奏重申前愿请命赴朝。时兵部尚书崔景荣力阻此议，所请又未获准，徐于是就辞官，不久即返回上海。
崇祯元年（1628）初，朱由检即位，徐被召回充日讲官。次年
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