作者：张祥斌
出版社：电子工业出版社
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趣味数学游戏.名人名题试读：
前言
在数学几千年的发展史上，出现了很多名人，他们为数学的发展做出了杰出的贡献。这其中不仅仅包括一些著名的数学家，还包括许多科学家，甚至还包括一些文学家、军事家，足可见数学的应用范围有多广了。这些名人留下了许多经典名题，成为数学这门学科中的宝贵财富，有些甚至发挥了里程碑的作用。
然而，由于数学在生活中无处不在，世界各国的劳动人民对数学的发展也做出了巨大贡献，有许多“无名英雄”留下的一些名题，在今天同样闪烁着耀眼的光芒！下面，就让我们在思考这些经典名题过程中体会一下数学的博大精深吧！
本书还根据时代发展的需要，创新性地加入了微课视频。微课视频的讲解者是金吉利老师，技术制作由刘向涛老师完成。除此之外，本书的完成，还要感谢参与策划、编写的很多人，他们是，马云茜、李冰凌、林琳、王忠波、刘海燕、郭春焱、修德武、张国、郝志丹、刘波。另外，对那些为我们提供帮助的人，我们在此一并致谢！第1章诗词入题百鸟归巢
北宋大文学家苏轼不但诗词写得精彩，中国画也画得好。传说有一位广东的状元，名叫伦文叙，为苏轼画的《百鸟归巢图》题了一首奇怪的诗：
天生一只又一只，
三四五六七八只。
凤凰何少鸟何多，
啄尽人间千万石。
画的标题中说是“百鸟”，题诗中却不见“百”字踪影，似乎只管数鸟儿有多少只：一只，又一只，三、四、五、六、七、八只，数到八就结束，开始发表感想了。画中的鸟儿，究竟是100只还是8只呢？
答案：要解开这个谜，可以把诗中关于鸟儿只数的数字写成一行：
1 1 3 4 5 6 7 8
这些数合在一起，与100有没有关系呢？
通过观察，发现可以用这些数组成一个算式，计算结果恰好等于100：1＋1＋3×4＋5×6＋7×8＝100。
原来，诗中的第二句不能读成“三、四、五、六、七、八只”，而应该读成三四、五六、七八只。
其中的“三四”“五六”“七八”，都是两数相乘，得数分别是12、30和56。连同上句的1只、又1只，全部加起来，隐含着总数是“百”。及时梨果
元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：
九百九十九文钱，及时梨果买一千，
一十一文梨九个，七枚果子四文钱。
问：梨果多少价几何？
此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。问买梨、果各几个，各付多少钱？
答案：梨每个价：11÷9＝11/9（文）
果每个价：4÷7＝4/7（文）
果的个数：（11/9×1000－999）÷（12/9－4/7）＝343（个）
梨的个数：1000－343＝657（个）
梨的总价：11/9×657＝803（文）
果的总价：4/7×343＝196（文）加法入曲
元代汤式的散曲《双调·庆东原·京口夜泊》巧妙运用了加法原理，你知道是在哪里用到的吗？全曲如下：
故园一千里，孤帆数日程。倚蓬窗自叹漂泊命。城头鼓声，江心浪声，山顶钟声，一夜梦难成，三处愁相并。
答案：曲中除运用一千里、孤帆、一夜、三处等数目字外，加法分析运用巧妙，城头+江心+山顶=三处，渲染出作者处处忧愁的孤旅及悲寂的游子情怀。减法入曲
元代卢挚的散曲《双调·蟾宫曲》巧妙运用了减法原理，你知道是在哪里用到的吗？全曲如下：
想人生七十犹稀，百岁光阴，先过了三十，七十年间，十岁顽童，十载尪羸（wāng léi，瘦弱的意思）。五十岁除分昼黑，刚分得一半儿白日，风雨相催，兔去乌飞。仔细沉吟，都不如快活了便宜。
答案：人生百年，就常人而言，先减去无法过的后三十年，只能按七十岁来计算。七十岁，减去十岁顽童，再减去十年尪羸，等于五十年。接着又用除法，五十年的一半是白天，一半是黑夜。乘法入曲
元代曾有无名氏作散曲《水仙子·遣怀》巧妙运用了乘法原理，你知道是在哪里用到的吗？全曲如下：
百年三万六千场，风雨忧愁一半妨。眼儿里觑，心儿上想，教我鬓边丝怎地当，把流年子细推详。一日一个浅酌低唱，一夜一个花烛洞房，能有得多少时光。
答案：一年三百六十日，百年三万六千场。乘法运用不着痕迹，非常巧妙。除法入曲（1）元代阿鲁威的散曲《双调·蟾宫曲》巧妙运用了除法原理，你知道是在哪里用到的吗？全曲如下：
问人世谁是英雄？有酾酒临江，横塑曹公。紫盖旗，多应借得赤壁东风。更惊起南阳卧龙便成名八阵图中。鼎足三分：一分西蜀，一分江东，一分北魏。（2）元代张可久的散曲《沉醉东风·秋夜思》巧妙运用了除法原理，你知道是在哪里用到的吗？全曲如下：
二十五点秋更鼓声，千三百里水馆邮程。青山去路长，红树西风冷。百年人半纸虚名。得似璩源阁上僧，午睡足窗日影。
答案：（1）曲中巧妙运用了除法分析法，将天下分为三分：一分西蜀，一分江东，一分北魏。（2）曲中巧妙运用了除法。古时夜里以击鼓记时，每夜五更。二十五点除以五等于五，是五个夜晚。九百九十九文钱
下面是一道用诗歌形式写成的算术题。
九百九十九文钱，
甜果苦果买一千。
四文钱买苦果七，
十一文钱九个甜。
甜苦两果各几个？
请君布算莫迟延！
这是中国古代数学书《算法统宗》里的题目。《算法统宗》刻印于1592年，作者程大位（1533—1606年）是明代的数学家。题目的意思是说，有999文钱，买一种甜果和一种苦果，两种共买1000只。其中苦果的价钱是4文钱买7只，甜果的价钱是11文钱买9只。请你算一算，买了多少只甜果，多少只苦果？
答案：不妨先假定1000只全买甜果，甜果好吃。
因为每9只甜果要花11文钱，所以买1000只甜果要用的钱数是（文）。
甜果贵，苦果便宜，全买甜果多花的钱是（文）。
要把多花的这些钱省回来，就要拿出一些甜果去换回同样个数的苦果。每拿一只甜果换回一只苦果，节省的钱数是（文）。
所以应该换回的苦果只数是（只）。
还剩下的甜果只数是
1000-343=657。
因而答案是：甜果657只，苦果343只。
容易验证，这时买甜果的钱是803文，买苦果的钱是196文，总数恰好是999文。百羊问题
明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书，有一道诗歌形式的数学应用题，叫百羊问题：
甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后。
戏问甲及一百否？甲云所说无差谬。
所得这般一群凑，再添半群小半群。
得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？
此题的意思是：一个牧羊人赶着一群羊去寻找青草茂盛的地方。有一个牵着一只羊的人从后面跟来，并问牧羊人：“你的这群羊有100只吗？”牧羊人说：“如果我再有这样一群羊，加上这群羊的一半又1/4群，连同你这一只羊，就刚好满100只。”谁能用巧妙的方法求出这群羊有多少只？
答案：此题的解是：（100－1）÷（1＋1＋1/2＋1/4）＝36只。百馍百僧
明代大数学家程大位著的《算法统宗》中有这样一题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无增；
小僧三人分一个，大小和尚各几丁？
答案：这题可用假设法求解。现假设大和尚100个，小和尚人数是（3×100－100）÷（3－1÷3）＝75（人），大和尚人数是100－75＝25（人）。船只运盐
盐是人人每天必需的物品。烧菜不放盐，就觉得淡而无味，现代人如此，古代人也不例外。中国古代数学书里，自然少不了有关盐的应用题。下面是明代数学家程大位《算法统宗》里的一道应用题：
四千三百五十（袋）盐，
大小船只要装全。
五百袋装三大只，
三百袋装四小船。
大小船只同只数，
折算须请众英贤。
题目的大意是说，有4350袋盐，把一些大船、小船刚好装满。其中，每3只大船装500袋，每4只小船装300袋。大船和小船的只数相同。请各位有学问的朋友算一算，有多少只大船和小船？
答案：因为大船和小船的只数相同，可将1只大船和1只小船配成1组，只需求出有多少组船。
从每4只小船装300袋盐，得到1只小船装的盐是
300÷4=75（袋）。
因而3只小船装的盐是
75×3=225（袋）。
又知道3只大船装500袋盐，所以3只小船和3只大船共计装盐
225＋500=725（袋）。
就是说，每3组船装725袋盐。总共有4350袋盐，所需船的组数是
4350÷725×3＝18。
所以共有18只小船和18只大船。哑子买肉
这也是程大位《算法统宗》中的一道算题：
哑子来买肉，难言钱数目。
一斤少四十，九两多十六。
试问能算者，今与多少肉？
答案：每两肉价是：（40＋16）÷（16－9）＝8（文）
哑子带的钱：8×16－40＝88（文）
哑子能买到的肉：88÷8＝11（两）（注：旧制1斤＝16两）宝塔装灯
这是明代数学家吴敬偏著的《九章算法比类大全》中的一道题，题目是：
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。
共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？
你能解出吗？
答案：解各层倍数和：1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＝127 顶层的盏数：381÷127＝3（盏）。《西游记》里的倒数诗
在中国古典神话小说《西游记》里，说到唐僧和他的徒弟孙悟空、猪八戒、沙和尚去西天取经，在平顶山莲花洞消灭了想吃唐僧肉的妖怪金角大王和银角大王。然后师徒们继续赶路，又遇上一座巍峨险峻的大山。一面赶路，一面观景，不觉天色已晚。
故事发展到这里，小说中写道：
……师徒们玩着山景，信步行时，早不觉红轮西坠。正是：
十里长亭无客走，九重天上观星辰。
八河船只皆收港，七千州县尽关门。
六宫五府回官宰，四海三江罢钓纶。
两座楼头钟鼓响，一轮明月满乾坤。
这首诗从十、九、八、七，说到六、五、四、三、两、一，星月点缀夜色，收工了，下班了，关门了，路上没人了，取经赶路的也该找个地方休息了。
为了取经，跋山涉水已经苦不堪言，降妖伏魔更是险象环生，害得猪八戒想回家，唐僧心里直打鼓。幸好有孙悟空不断给一行人鼓劲，看看沿途深山老林幽静风光，放松放松。小说里这首写景诗，也正是在紧张情节中夹进一点轻松花絮，稍稍缓一口气。诗中嵌进全部十个数字，而且从大往小，倒过来数，成为别具一格的“倒数诗”，更增加了趣味。《西游记》是明代吴承恩著的，问世已有400多年。按照我们现在数学里的习惯，用阿拉伯数字把诗中的各个数写出来，顺次排成一串，成为
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
现在做两个数学小游戏：
用上面写出的十个数，不打乱顺序，添加适当的数学符号，组成十个算式，使计算结果分别等于10、9、8、7、6、5、4、3、2、1。
要组成其中任意一个算式，是很容易的。要组成全套十个，就要动动脑筋。如果再使组成十个算式的手法有变化，就更有趣了。请你尝试一下吧！（1）用上面写出的十个数，不打乱顺序，添加适当的数学符号，组成十个算式，使计算结果分别等于10、9、8、7、6、5、4、3、2、1。（2）如果不能用括号，也不能出现多位数，那么该如何解答？当然，过程中是不允许出现负数的，最好也不要结构都很相似。
答案：（1）可以组成很多满足条件的算式，下面是其中的一组。
10+9-8-7+6+5－4-3+2×1=10；（10+98+76）×5÷4÷（3+2）+1=9；（10+9+8-7）×6÷5÷4+3-2+1=8；（109－87）÷（6+5）+4+3-2×1=7；（10+9+8-7-6）×5-43-21=6；（10+9+8+7+6）÷5-4÷（3-2）+1=5；
10×9－87+65-43-21=4；（109－8+7）÷6－54÷3+2+1=3；（109+87-6）÷5－4-32×1=2；（10×9-87）÷（6×54-321）=1。（2）10-9+8-7+6-5+4-3-2-1=1
10×9－8×7－6－5×4-3×2×1=2
10-9+8×7－6×5-4×3×2×1=3
10+9×8+7×6-5×4×3×2×1=4
10×9-8×7－6×5-4+3+2×1=5
10+9+8+7-6×5-4+3+2+1=6
10×9÷8×7÷6÷5×4÷3×2×1=7
10×9÷8-7+6-5÷4-3+2×1=8
10-9+8-7+6×5-4×3×2+1=9
10+9×8-7×6-5×4×3÷2×1=10别离情
四哥探望十四姐， 七转石岭九道砭。
十五月亮一夜圆， 十二月逢六天面。
十诉别情八回怨， 十三云月三重天。
五作别诗十一首， 两地相望十六年。
此诗所用数字构成一个四阶完美幻方，你知道其中的奥妙吗？
答案：其四行四列及八条泛对角线所含四数之和都等于34。而且每一正方形，每一等腰梯形（如14，7，10，3）。每一平行四边形（如4，15，13，2）上的四个角，所含四数之和均为34。每一交叉十字点上，画一个“×”向四边沿伸使其各有两个数字，那么每组两数之差均相等，如15-8=9-2=11-4=13-6=7，这种性质称为河图特性。
这首《别离情》诗，惟妙惟肖地描述了四哥与十四姐别离后的思念之情。他们每年只有六天见面时间，每逢一次总要穿山越岭，有一个艰难的旅程。离愁别恨，望着浓浓的云月，触发思念情绪，作诗感叹，就这样两地相望已十六年了。此诗不仅能够将和谐美妙的数字巧妙地砌入诗中，而且又能真切地表达别离思情，为人们留下了文理共赏的绝妙好词。少年学艺
六面围墙九米高，四季苦练十五招。
三更始练十六套，五转飞空十分妙。
十三少年两手高，十一寻师八方找。
十二学艺七师教，十四内藏一身宝。
此诗所用数字构成一个四阶完美幻方，你知道其中奥妙吗？
答案：此诗所用数字构成第二类四阶完美幻方，其性质与第一类相同。
这里描写了一个少年学艺的过程，他11岁就八方云游寻找师父，12岁就有七位老师给他教功夫，13岁就有两手高招。他每天三更开始苦练各种套路招式，一年四季，住在九米高的围墙中天天如此，到14岁已身藏绝技很了不起了。此诗巧妙地将幻方中11～14各数字，用作少年成长的过程。一个志高的少年被表现得活灵活现，算是一首千古绝唱的诗了。山湖园林景色秀
四方园林五桥连，十六叠峰九重天。
十五长廊十里街，三岸杨柳翠六砭。
一湖山色八洞险，十三楼阁十二殿。
十四花坛十一色，二重观光时七月。
此诗所用数字构成一个四阶完美幻方，你知道其中的奥妙吗？
答案：此诗所用数字构成第三类四阶完美幻方，其性质也与第一、二类相同。
这首诗描写了一个山湖园林的景色。重峦叠峰中，五桥连着四方的园林，街头长廊，杨柳翠砭，湖中山色映出八个险洞，十分壮观迷人，楼阁宫殿，花坛草坪，分布在湖岸边上，一个美妙秀丽的景色历历在目，时值七月，正是景色最秀丽的时候，这是作者第二次到这里观光了。出门望九堤
出门望九堤，堤上九树奇；
每树九个枝，每枝九巢倚；
每巢九只鸟，每鸟九雏依；
每雏九片毛，每片九色披。
请问各项数，每项各是几？
这是依据我国古代算书《孙子算经》上的名题“出门望九堤”编写的。原来的题目是：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问各几何？”题中的“堤”即堤坝，是沿河或沿海修筑的防水建筑物；题中的“木”即树木或树，堤有九木，即堤上有九棵树；“巢有九禽”即每个鸟巢内有九只鸟；“禽有九雏”，即每只鸟有九只小鸟；……题目的意思可以是：某人走出门外，望见前方有9条堤岸，每条堤上有9棵树木，每棵树上有9个树枝，每个树枝上有9个鸟巢，每个鸟巢里有9只大鸟，每只大鸟都孵出了9只小鸟，每只小鸟都长出了9片羽毛，每片羽毛上都有9种颜色。问这个人望见的树、枝、巢、大鸟、小鸟、小鸟羽毛及羽毛上的颜色，各是多少？怎样来解答这道题目呢？
答案：可逐步求得如下：
9棵×9=81棵…………树木数
9枝×81=729枝…………树枝数
9巢×729=6561巢………鸟巢数
9只×6561=59049只…………大鸟数
9个×59049=531441个…………小鸟数
9片×531441=4782969片…………雏毛数
9种×4782969=43046721种…………毛色数（毛色数目不考虑几只鸟的同种颜色不另外算作一种的问题。）持钱数不明
三人持钱数不明，但知三人友谊深；
乙丙半数都给甲，甲钱九十好欢欣；
甲丙之半乙拿走，乙整七十无零星；
丙拿甲乙钱半数，共是五十六文银。
原来钱数各多少，谁能将它说得清？
这是依据《孙子算经》上的“三人持钱”趣题编写而成的。题目的原文是：“今有甲乙丙三人持钱。甲语乙丙：‘各将公等所持钱半以益我，钱成九十。’乙复语甲丙：‘各将公等所持钱半以益我，钱成七十。’丙复语甲乙：‘各将公等所持钱半以益我，钱成五十六。’问三人持钱各几何？”题目的意思是：甲乙丙三人分别持有钱数若干。甲对乙丙二人说：“如果将你们两个所持钱数的一半给我，我就共有90文钱。”乙对甲丙二人说：“如果将你们两个所持钱数的一半给我，我就共有70文钱。”丙对甲乙二人说：“如果将你们两个所持钱数的一半给我，我就共有56文钱。”问：甲乙丙三人原来各有钱多少？怎样来解答这道题目呢？
答案：题意若用算式来表达，可以是
甲+=90文
乙+=70文
丙+=56文
这三个等式，可以整理为
2甲+乙+丙=180文……①
甲+2乙+丙=140文……②
甲+乙+2丙=112文……③
再经演绎，又可得新的等式：
①-②，得：甲-乙=40文……④
①×2-③，得：3甲+乙=248文……⑤
然后，将④、⑤两个等式相加，便得：
所以，甲的钱数是288÷4=72（文）
乙的钱数是72-40=32（文）
丙的钱数是180-32-72×2=148-144=4（文）
甲原有钱72文，乙原有钱32文，丙原有钱4文。三鸡啄粟米
三鸡啄粟米，速度不整齐；
公鸡啄四粒，母二雏一粒。
粟主责令赔，共赔千零一；
各应赔多少，公平又合理。
这是依据《孙子算经》上的一道名题—“三鸡啄粟题”编写而成的。原来的题目是：“今有三鸡，共啄一千一粒。雏啄一，母啄二，翁啄四。主责，本粟三鸡主各偿几何？”题中的“一千一粒”即“1001粒”。古人读数，常把数字中间的零舍去不读，如“105”读作“一百五”（“150”则读作“一百五十”），“2008”读作“二千八”（“2800则读作“二千八百”）。题中的“雏”“母”“翁”，分别指小鸡、母鸡、公鸡。题目的意思是：分别属于三户人家的公鸡、母鸡和小鸡，共同偷食了某主人家的粟米共1001粒。它们啄食的情况是：小鸡每啄1粒，母鸡可啄食2粒，公鸡可啄食4粒。粟主责令三位鸡主赔偿，问：三位鸡主各应赔偿粟米多少粒？请你解答一下。
答案：把题目的条件和问题摘要排列起来，可以是：
三只鸡吃掉的粟米，写成连比是
小鸡∶母鸡∶公鸡=1∶2∶4
若将小鸡吃掉的粟米作为1份，则母鸡吃掉的为2份，公鸡吃掉的为4份。它们总共吃掉的就是（1+2+4）份。所以，
小鸡吃掉的是1001÷（l+2+4）=143（粒）
母鸡吃掉的是143×2=286（粒）
公鸡吃掉的是143×4=572（粒）
显然，三只鸡分别吃掉的这些粒数，也就是三位鸡主应该赔偿给粟主的粒数。
小鸡主人赔143粒，母鸡主人赔286粒，公鸡主人赔572粒。洗碗在河边
妇人洗碗在河边，旁人问客有几员？
答曰不知人数目，碗的只数听我言：
一只盛饭二人用，一汤摆在三人前；
四人共食一碗肉，六十五只便周全。
请你仔细算一算，家里客人共几员？
这是依据《孙子算经》上的“荡杯”名题以及我国民间流传的“荡杯”诗题，编写而成的。在《孙子算经》上，此题的原文是：“今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客。吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”题目中的“津吏”，是封建社会里管理河上桥梁的官吏。因河上桥梁在古时称其为“津梁”，故管理“津梁”的官吏便称之为“津吏”。题中的“羹”，读音与“耕”音相同；“羹”是有浓汁的食品，可解释为汤；“共羹”，即共用一个汤碗。题目的意思用通俗的话来说，可以是：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：你要洗的碗为什么这样多？妇人回答说：家里来了客人。官吏又问：来了多少客人？妇人说：我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗。请你算算吧，我家的客人有多少个？用什么办法能算出这妇人家里来了多少客人呢？
答案：我们不妨从每人占用的碗数上来思考、分析。
由题中条件可知，每一个客人占用的饭碗、汤碗和肉碗分别是：
饭碗—（个）
汤碗—（个）
肉碗—（个）
所以，每一个客人总共要占用的碗数就是（个）
显然，只要知道这65只总碗数中，包含了多少个个碗”，便知道客人的人数是多少了。因此，可求得该妇人家里来的客人人数为（人）
综合起来，就是
65÷（1÷2+1÷3+1÷4）
=65
=65
=60（人）
家里来的客人是60人。
较为有趣的是，《孙子算经》上给出的解法，却与此完全不同：“置六十五杯以十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得。答曰：六十人。”
古算书解题，无法采用现今之算式，一般都采用这种文字叙述的形式，来讲解算题的解法。如果将这种解法列成今日之算式，则可以是：
65×12=780
780÷13=60（人）
这种解法的算理何在呢？《算经》上没有讲述。我们不妨这样来思考：
因为2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，将其排列起来，就是：
2人—1只饭碗
3人—1只汤碗
4人—1只肉碗
由此可以推出：（注：12是2、3、4三个数的最小公倍数）
这就是说，12个客人需要占用的碗数是
6+4+3=13（只）
现在，如果假定每个客人都占用13只碗，那么总的碗数便会扩大12倍，使之变为
65×12=780（只碗）
于是，只要知道这“780只碗”中，包含了多少个“13只碗”，便知道她家里来了多少客人了。所以，她家里的客人人数就是
780÷13=60（人）
将这一思路的主要算式写在一起，就是《算经》上的解法了。
65×12=780；780÷13=60（人）有物不知数
有物不知数，让我数一数；
三个三个数，剩二好孤独；
五五数剩三，七七又二单；
此物多少数，谁能说清楚？
这是依据《孙子算经》上有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”）编写而成的。原来的题目是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”用通俗的话来说，题目的意思就是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少个？怎样来解答这道题目呢？
答案：《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是： “三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。”“答曰：二十三。”这些话是什么意思呢？用通俗的话来说，就是：
先求被3除余2，并能同时被5、7整除的数，这样的数最小是140；
再求被5除余3，并能同时被3、7整除的数，这样的数最小是63；
然后求被7除余2，并能同时被3、5整除的数，这样的数最小是30。
于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。
再用求得的“233”减去或者加上3、5、7的最小公倍数“105”的倍数，就得到许许多多这样的数：
｛23，128，233，338，443，…｝
从而可知，23、128、233、338、443、…都是这一道题目的解，而其中最小的解是23。
这些物品的数目至少是23个。
需要指出的是，在《孙子算经》上，有一段关于这类题目的解题“术文”：“凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五，一百六以上以一百五减之，即得。”（注：古称“106”和“105”为“一百六”和“一百五”，而称“160”和“150”为“一百六十”和“一百五十”。所以，这里的“一百六”和“一百五”分别指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）
明代著名的大数学家程大位，在他所著的《算法统宗》中，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀，名曰《孙子歌》：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝；
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
歌中的“廿”，读音与“念”音相同。“廿”即二十的意思。
这一歌诀的“诗意”，我们可以不去理会，只需注意它的数字就行了。歌诀中的每一句话，都指出了一步解题方法：“三（3）人同行七十（70）稀”—是说除以3所得的余数，要用“70”去乘它；“五（5）树梅花廿一（21）枝”—是说除以5所得的余数，要用“21”去乘它；“七（7）子团圆正半月（15）”—“半月”是一个月30天的一半，即15日，这是说，除以7所得的余数，要用“15”去乘它；“除百零五（105）便得知”—这是说要把上面所乘得的三个数相加，加得的和如果大于105，便应减去105，或者减去105的倍数。这也就是《孙子算经》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）减之”。这样得出的差，便是所要求的这个最小的未知数了。
运用这一歌诀来解答这道“物不知数”问题，便是
2×70+3×21+2×15=140+63+30=233
233-105-105=23（答略）
不过，用这种方法解这类问题，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除数的题目，遇到用其他数作除数的算题，它就行不通了。这一点必须引起我们的注意。二人均有银
二人均有银，数量未说明；
甲得乙一半，甲满五十银；
乙得甲太半，乙也整五零；
二人各多少，谁能说得清？
这是依据《九章算术》上的名题“二人持钱不知其数”编写而成的。原来的题目是：“今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半亦钱五十。问：甲乙持钱各几何？”诗题中的“五零”即五十；“太半”即题目的意思可以是：甲乙二人各有钱若干，甲得乙钱数的则甲有钱50文；若乙得甲钱数的则乙也有钱50文。问甲乙原来各有钱多少？怎样来解答这道题目呢？
答案：题意如果用文字算式来表达，则可以是：
甲+1/2乙=50…………①
2/3甲+乙=50…………②
若将①式中的各数都扩大2倍，将②式中的各数都扩大3倍，它们就会变成
2甲+乙=100…………③
2甲+3乙=150…………④
再用“消去法”（算术“消去法”相当于代数“加减消元法”）消去一个未知数—甲的钱数。这只需要用④式去减③式，即可求得：
2甲+3乙=150…………④
2甲+乙=100…………③
相减得2乙=50
于是可知，
乙的钱数就是50÷2=25（文）
甲的钱数就是50-25÷2=37.5（文）
甲有钱37.5文，乙有钱25文。大小各几斛
小器一，大器五，合起来，容三斛；
大器一，小器五，合起来，容两斛。
现问两器各一个，各能容纳多少斛？
这是依据《九章算术》上的“大器和小器”算题编写而成的。原来的题目是：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛。问：大器、小器各容几何？”题目中的“斛”，与“胡”音相同。“斛”是我国远古时代的一种容量部位，它与另一种旧制容量单位“斗”的进率为1斛=10斗（有的朝代也有1斛=5斗的进率）。题目意思用通俗的话来说是：有若干个同样的大器和若干个同样的小器。若用其中1个小器和5个大器，合起来能容纳物品3斛；若用其中1个大器和5个小器，合起来可容纳物品2斛。问大小容器的容量各是多少斛？怎样来解答这道题目呢？
答案：如果用“大”表示“大器”，“小”表示“小器”，则题目的意思可以写成下面的两个文字等式：
5大+1小=3斛…………①
1大+5小=（3-1）斛…………②
如果用①式乘以5的得数，减去②式，那么，题中的一个未知数“小器容量”就消去了。
①×5得25大+5小=15斛
再减② 1大+5小=2斛
得24大=13斛
所以，一个大器的容量就是
13÷24（斛）
一个小器的容量就是（斛）
答：大器容斛，小器容斛。
善于推理、分析的读者，若采用下面的推理办法解答，可能会感到更加简便。
由题意可知，“4大”比“4小”要多容1斛。于是可知，“大”比“1小”便多容1÷4=1/4（斛）。
再从3斛中减去5个“1/4斛”，所得差就相当于（5+1）个小容器的容量。所以，一个小容器的容量就是（斛）
一个大容器的容量就是（斛）牛羊各几金
五牛加二羊，共值十两金；
牛二羊五只，价格仅半斤；
借问能算者，各值多少金？
这是依据《九章算术》中的“牛五羊二直十金”算题编写而成的。原来的题目是：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直几何？”原题中的“直”字，古时与“值”字相通，“直金十两”“直金八两”，即“价值为金子十两”和“价值为金子八两”。题目中的“斤”“半斤”和“两”，是古代重量单位，1斤=16两，半斤即8两。题目意思可以解释为：5头牛和2只羊，共值10两金子；若是2头牛和5只羊，则共值8两金子。问：一头牛和一只羊各值几两金子？怎样来解答这道题目呢？
答案：由5头牛和2只羊共值10两金子，2头牛和5只羊共值8两金子，可以推出：3头牛比3只羊多值金子10-8=2（两），所以，一头牛比一只羊，多值的金子数就是
2÷3（两）
这样一来，我们只要从“5头牛和2只羊共值的10两金子”中，减去5头牛多值的金子数（两）
便可知道：5只羊+2只羊共值两金子。
所以，一只羊的价钱就是（两）
一头牛的价钱就是（两）九金十一银
九金十一银，重量两持平；
相互换一个，黄金那头轻；
相差十三两，不知是何因；
现问金银各一枚，各是几两又几斤？
这是依据《九章算术》上的“九金十一银”算题编写而成的。原来的题目是：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之适等。交易其一，金轻十三两。问：金、银各一枚各重几何？”如果用通俗的话来说，题目的意思可以是：有9枚重量相等的黄金和11枚重量相等的白银，它们的重量恰好相等。如果把一枚黄金放到白银里，而把一枚白银放到黄金里，则原来放金子那边的重量就要轻13两。问：金、银各一枚的重量各是多重？怎样来解答这道题目呢？
答案：依据题意，我们可以列出两个文字等式：
11银-9金=0两（重量相等）……①（1金+10银）-（8金+1银）=13两……②
将第②个文字等式加以整理，可得：
1金+10银-8金-1银=13两
即9银-7金=13两………③
为了消去一个未知数，比方消去“金子重量”这个未知数，我们可将①式里的各个数都乘以7，将③式里的各个数都乘以9：
①×7，得（11银×7）-（9金×7）=（0两×7）
即77银-63金=0两……④
③×9，得（9银×9）-（7金×9）=（13两×9）
即81银-63金=117两……⑤
现在，只要用⑤式来减④式，就会消去一个未知数，并求出另一个未知数。具体解法从略。
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