击败庄家:21点的有利策略(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)


发布时间:2020-06-03 20:42:00

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作者:(美)爱德华O.索普(Edward O.Thorp)

出版社:机械工业出版社

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击败庄家:21点的有利策略

击败庄家:21点的有利策略试读:

译者序

我本科毕业于清华大学数学系,后来在中山大学管理学院任教。一个偶然的机会,我了解到量化投资,并读了爱德华·索普的传记。受他和另一个量化投资大师詹姆斯·西蒙斯的影响,我进入了量化投资领域。可以说,本书是我成长道路上的引路灯之一。

可以想象,当我得到机会翻译此书的时候,是何等的喜出望外。我几乎是怀着朝圣的心情完成本书的翻译的。

本书书名为《击败庄家》,但是我首先要告诉你,这不是一本教你在赌场致富的指南,而是一篇有意思的数学论文。爱德华·索普是美国著名的数学家,也是量化对冲基金之父。他和其他几位顶级科学家(包括信息论之父克劳德·香农)在60年前一起破解21点游戏的故事广为流传。美国拉斯维加斯和全世界的赌场,甚至因为此书的出版被迫修改了规则。

爱德华·索普显然和普通的超级赌客是不一样的。他既没有选择独享,把赌场作为一台提款机,也没有像“鲑鱼先生”(本书第6章提及的传奇赌客)一样,流连于波多黎各的海滩和俱乐部,恣意人生,放浪形骸。他只是把赌场作为验证他理论的实验室。

爱德华·索普不仅有着科学家身上特有的好奇、严谨和分享的特质,还有着西部牛仔般的勇敢和洒脱。由于盈利能力惊人,他被赌场列为危险人物。赌场和黑道关系微妙,它们不惜使用下蒙汗药、人身威胁这样的手段,而爱德华·索普仍然坚持他的实验,甚至想出乔装打扮这样有趣的方法和赌场周旋。

爱德华·索普在“击败庄家”之后,选择了更有挑战的目标,进入了投资领域。他在资本市场发现了可转债套利的机会。事实上,他研究可转债套利的成果是期权定价模型的基础,如果发表,本来有机会获得诺贝尔经济学奖;但他没有这么做,而是选择了“击败市场”。他前后创立了两个对冲基金,都取得了巨大成功,年化收益在15%~25%,波动率在5%~7%。因此,他不仅是理论家,更是实战派。

爱德华·索普和巴菲特有过交集。有一次,索普夫妇到巴菲特夫妇家中打了一夜桥牌。他们互相都给对方留下了深刻的印象。回去的时候,索普对妻子说,他相信巴菲特有朝一日会成为美国最富有的人。英雄惺惺相惜!

可以说,爱德华·索普和巴菲特代表了投资界两种极致的投资思路。前者完全依赖数据,进行极短线的统计套利;后者排斥过度依赖数据,进行极长期的价值投资。但他们也有共通之处,即强调克服人为情绪影响,理性战胜市场。

在阿尔法狗已经战胜人类的时代,21点游戏对于计算机来说,已经是小菜一碟了。然而,追溯计算科学和人工智能的起源,我们还是要回到20世纪五六十年代那个传奇的时代。正是那一群顶级科学家的卓越贡献,奠定了量化投资、计算科学、信息论和人工智能等学科的基础。因此,对于当代人,特别是投资界人士,重读此书,甚有必要。本书对我的启发主要有以下三点。

第一是任何看似不确定的事物,背后总有某种规律性。这种规律往往是以数学模型的形式表达出来的。爱德华·索普利用概率论推导出基本策略,然后结合凯利公式进行资金管理,进一步提出计点的制胜策略。赌场游戏是这样,投资领域也是这样。

第二是计算能力大大拓展了人类认知的边界。本书诞生于20世纪60年代是有原因的。20世纪五六十年代是电子计算机萌芽和初步发展的年代。爱德华·索普正是运用IBM 704电脑,计算出了21点制胜策略的详细表格。当时,IBM 704的计算能力是12000FLOPS(每秒所执行的浮点运算次数),刚好能够解决21点这类决策问题。而目前15最快的大型计算机神威太湖之光的计算能力是93千万亿(93×10)12FLOPS,相当于IBM 704的7.75万亿倍(7.75×10)!目前的计算能力,再配合软件和算法的进步,人类就能攻克复杂度极高的领域。例如,2016年3月,谷歌的阿尔法狗就战胜了围棋世界冠军李世石。

第三是软硬件的集成能力极为关键。让我吃惊的是,爱德华·索普的同事也是“智能硬件”好手。他和其他顶尖科学家、工程师一起开发了便携式设备,破解了赌场的百家乐和轮盘赌。他还开发出了便携式21点计点设备,使得赌客可以不用人脑而是用设备记忆出牌点数。这种软硬件的集成能力,其实是现代人工智能领域的金融科技、智慧医疗、无人驾驶等先进技术的基础。

对于想去境外赌场娱乐的普通玩家,我可以坦率地告诉你们,“击败庄家”的时代已经过去,这本写于1961年的书不可能成为游戏指南。目前,由于赌场普遍采用6~8副牌,并且荷官频繁洗牌,计牌策略已经基本失效。你们只需要阅读本书第1~3章,熟悉游戏规则和21点基本策略,背熟表格,就足矣。采用21点基本策略,玩家在规则有利的赌场还拥有(0.12%+0.15%)(第二项0.15%是由于“投降”规则的存在)的微弱优势,在不利的赌场只有负期望的胜率。因此,“击败庄家”已经成为不可能。但是,不亏钱其实就是赚钱。如果能够拥有和赌场打平的概率,在赌场度假村享受奢华的度假,岂不美哉?

值得一提的是,普通玩家往往了解硬点数策略,但对于软点数策略和加倍、分牌策略不够熟悉,而后者的这些数学思维是决定玩家能否和赌场打平的关键所在。

对于想深入学习资金管理的读者来说,阅读本书第4~8章很有必要。这里有几十年前能“击败庄家”,如今在金融市场仍然适用的数学思想和策略秘籍。

对于量化投资和金融科技从业人员,一定要阅读到最后一章。第12章记录了爱德华·索普这位量化对冲基金之父对于投资行业“科学和运气”的深刻洞见。

在翻译过程中,我要感谢合译者顾磊跟我一起完成翻译工作,并且进行了策略实践和境外赌场规则调研。我要感谢同事刘立恒为本书翻译了图表。同时,感谢麻省州立大学洛威尔分校的林静容老师、黄祺女士和章璟女士为本书的部分译文提供了宝贵的建议。我要感谢我的太太陆颖娜、我的同事金烨和江南。他们的支持,使得我有充足的精力可以投入到本书的翻译工作中去。由于本人水平有限,翻译过程中不免有各种错误,欢迎读者指正。徐东升2018年1月于上海

致谢

人生如潮,皆有机运;乘浪而行,方得大成。——莎士比亚《尤里乌斯·恺撒》

非常感谢罗杰R.鲍德温(Roger R.Baldwin)、威尔伯E.坎蒂(Wilbur E.Cantey)、赫伯特·梅塞尔(Herbert Maisel)、詹姆斯P.麦克德莫特(James P.McDermott)为本书21点策略的计算工作提供帮助,也感谢麻省理工学院(MIT)计算中心提供的IBM 704计算机。

我要感谢许多朋友和同事提出的宝贵建议,特别是克劳德E.香农(Claude E.Shannon)教授、伯特霍尔德·施魏策尔(Berthold Schweizer)、安倍·斯克拉(Abe Sklar)和埃尔伯特·沃克(Elbert Walker)。十分感谢薇薇安(Vivian)和詹姆斯·索普(James Thorp)长时间陪伴我玩21点,并扮演“庄家”的角色。感谢内华达博彩管制局的前特别调查员迈克尔·麦克杜格尔(Michael MacDougall)、部分内华达老一代“计牌”玩家和某个内华达作弊技工,他们向我介绍了许多赌场惯用的作弊手法和装置,并且提供了大量的赌场常识。与某个联邦探员的对话给了我大量关于内华达赌场内部活动和对外联络的信息。最后但同样重要的,我要感谢两位百万富翁在资金上资助我进行了第5章中提及的非常成功的赌场测试。

经过大量的研究,第1版中的结果已经由IBM公司的朱利安·布劳恩(Julian Braun)进行了提升和改进。他对大多数计点策略进行了计算,并提出了大量的细致入微并且价值连城的建议。非常感谢他允许我将他的工作成果纳入第2版。

特别感谢威廉E.瓦尔登(William E.Walden)在相关的内华达百家乐领域与我一起合作取得成果。

对于保罗·奥尼尔(Paul O’Neil)的正直和他在《生活》(Life)杂志中对《击败庄家》及其作者的媒体澄清,我深表感谢。对于《生活》杂志在面对内华达充满敌意的黑帮和政客时敢于披露真相的勇敢立场,我深表敬意。

感谢众多读者提供了有帮助的建议、想法、个人经历和溢美之词,也感谢他们在赌场一次又一次地证明了本书的结论。

最后,感谢第1版《击败庄家》的读者,他们热情高涨,踊跃购买,成功地使本书进入全美畅销书之列。第1章导论

黑杰克,也叫作21点,是世界上最流行的博彩游戏之一。在美国,无论是在内华达州、新奥尔良附近的杰弗逊郡、加尔维斯顿地区、温泉城地区、阿肯色州、白硫黄温泉、西弗吉尼亚州,还是在家里或者私人俱乐部里,这个游戏都广受欢迎。在波多黎各、阿鲁巴岛、巴拿马、巴哈马群岛以及加勒比海地区的其他国家和地区,21点也广受青睐。在欧洲的威尼斯丽都赌场、马恩岛、伦敦,菲律宾群岛的马尼拉的赌场里面,21点也是经久不衰。

在英格兰,21点被叫作“van-john”;在澳大利亚,21点被叫作“pontoon”。它们都是从法语的字节vingt-et-un引申而来的。在德国,它被叫作“Einund-Zwanzig”或者“Achtzehn-und-Drei”。虽然名字有差异,但游戏在本质上是一样的。

在现代赌场中的21点游戏里,采用本书所述的策略,玩家可以获得一定的优势战胜赌场。这一策略基于概率学的数学理论,是作者和合作者采用电子计算机推算出来的。幸运且令人惊讶的是,这一策略最终转化成几张简单的表格,连一般的玩家都可以理解并记住。此外,这一策略适合在赌场中做所需要的快速计算。

21点的规则在不同赌场里会稍有不同。基于我对许多赌场的研究,我在表9-2中将这些变化进行了罗列。这个表告诉我们这些变化如何影响玩家的优劣势,并使其能够从不同赌场中进行选择。

没有哪个策略可以在面对赌场的作弊时获胜。21点给了庄家一个绝好的作弊机会。除非完全不玩,否则对玩家而言唯一的保护就是找一个玩牌专家来指点了。但是,运用本书第10章所述的方法,普通玩家在大多数情况下也可以有效地保护自己。

在下面的章节中,我们先介绍这个游戏的规则,然后一步一步地引导读者达到他想要的精通程度。第一步是学习“基本策略”:一套简单的规则告诉玩家何时要牌、何时停止要牌、何时加倍、何时分牌。只使用基本策略,玩家便可以在大多数拉斯维加斯的赌场里获得0.1个百分点的微弱优势。21点是目前赌场内唯一一个玩家可以获得稳定优势的游戏。其他已经出版的策略通常给予玩家2~5个百分点的[2]劣势。第一个大致上正确的基本策略版本由鲍德温等发现并发表,该版本和《击败庄家》第1版中发表的改进版本都有一些不准确的地方。针对一副牌和一些特定规则的基本策略的正确版本,将在本书第3章中介绍,这一策略是由朱利安·布劳恩(Julian Braun)计算出来的。在规则有利的赌场里,基本策略事实上给予了玩家不小的优势;在规则不利的赌场里,玩家可能有微弱的劣势(最高到大约0.5个百分点)。即便如此,21点还是比其他赌场游戏(包括掷骰子)要好。

基本策略不包括计牌,但是,在掌握了基本策略以后,读者可以学会一个简单的修正方法(采用一种计牌策略),使得自己在大多数情况下对赌场有着3%以上的优势。大部分听到要计牌的人会说:“我没法记住整副牌,我甚至记不住电话号码。”他们可能会吃惊地发现,只需要记住4张牌(庄家用的那副牌)即5点和一些其他信息,经过小的策略调整,就足以获得对庄家3%以上的优势!

那些愿意并且能够记住4张牌以上的玩家,可以掌握更复杂的策略。首先,我们提出一套更为强大的新式索普计点系统,这套系统在第1版《击败庄家》发表以后由几个人进行了完善。经过赌场实践,它被证明行之有效,尤其在多副牌的情况下,它的效果显著并易于掌握。它与桥牌中著名的戈伦(Goren)计点法一样简单实用。每张牌都被记为+1,0,或者-1,你只需要简单地记住出牌的总点数即可(所以你只需要记住一个数字)。这个计点方法之所以有效,是因为它考虑了玩家见过的每一张牌,这让玩家可以判断出对他有利的将近一半的情形。事实上,在单副牌的情况下,他在一半的时间内都对庄家有着微弱的优势,哪怕只发了一张牌!

10点计数法在第1版中有详细介绍。有史以来第一次,数以千计的玩家在拉斯维加斯的赌场中进行了成功的实践,并迫使赌场修改了21点的游戏规则。(由于规则的改变让赌场流失了大量顾客,赌场的损失更大,因此这个规则的改变失败了,然后被取消了。在写本书的时候,我预见到了这个改变,并且在第8章(第1版)中解释了规则的变种以及如何继续取得胜利,赌场老板明显只读到了第5章。)

对于那些后知后觉的怀疑者,第5章提供了一套作者在内华达州应用10点计数法的原始测试数据。两个希望赚取利润的百万富翁借了我10000美元作为初始赌注,我有意非常保守地玩了30个小时。最后,10000美元变成了超过20000美元。后来的事情大家都知道,让赌场提供一个“友好”的环境越来越难了。它们干扰我们的方法包括拒绝提供一张专用赌桌,每手或者每两手就洗牌,更换发牌手,固定时间换牌(有家赌场5分钟内换了4副牌),以及不卖给我们大面额的筹码。有家赌场甚至在我们坐下来以后指派了一名作弊的发牌手。

尽管有这样那样的干扰,我们仍然能够赢得我们想要的赌局。我们最后退出是因为我的教学岗位要求,更因为这一策略已经得到了充分的验证。

我们相信本书值得购买,也值得多次阅读。我们希望那些跟我们一起研究21点的读者放弃迷信所谓的秘籍和运气。第2章游戏规则

学习21点的第一步是掌握规则——重点是“掌握”二字。仅仅知道规则的具体意义是不够的,读者们必须能够理解每种规则的后果和不同的变种。熟练的玩家和初学者都应该学习这一章。

每个赌场都有一套21点游戏规则,和其他赌场的大同小异。稍后,我们会介绍各种规则变种的结果,但首先,为简化起见,我们考虑一套典型的规则体系。这一套体系是典型的,但不意味着全球通用,规则如下所述。玩家数量

21点游戏有1个庄家,1~7个玩家。我们在后面会看到,一般来讲,一张赌桌上的玩家越少,对玩家越有利。纸牌

通常游戏使用的是1副52张的纸牌。然而,越来越多的赌场开始使用2副甚至4副牌,使得计牌更加困难。一般来讲,牌的数量的增加会稍稍降低玩家的优势。(在波多黎各,通常是2副牌;在伦敦,通常是4副牌。)发牌

游戏开始前,由庄家洗牌,某个玩家切牌。然后,一张牌被“曝光”(牌面朝上放到整副牌的下面),被曝光的牌可以选择是否让玩家看到。接着,庄家给自己发两张牌,再给每个玩家发两张牌。玩家的两张牌是面朝下的,庄家的牌一张朝上,一张朝下。玩家的两张牌和庄家朝下的牌,被称作“暗牌”。

一些赌场会把玩家的暗牌亮出,波多黎各的赌场就是这么做的,这对计牌的玩家很有利。另外,看见玩家的牌对于庄家并无帮助,因为他必须按照规则行动。稍后,我们会看到缺了一张“曝光”牌的赌局就足以使得玩家拥有微弱的优势。(这不适用于两副及以上数量的牌局。)下注

发牌以后,除了保险(稍后再议),玩家下注。赌场规定了最小和最大的赌注,最小赌注一般从25美分到5美元,最大赌注从100美元到500美元不等。

我们的制胜策略包括调整玩家的下注数额。玩家应该在有利的情况下增加筹码,然后在不利的情况下降低筹码。

最小赌注的大小对于资金有限的玩家来说至关重要,而最大赌注的大小对于资金充裕的玩家来说更有意义,因为它决定了玩家的盈利比例。在波多黎各,赌注为最小1美元最大50美元是常见的。在伦敦,最小赌注一般从5便士到1英镑(约合70美分到2.8美元),最大赌注一般是50英镑(约合140美元)。纸牌的点数,硬点数与软点数

对于牌A,玩家可以选择1点或者11点;对于任何一张花牌,都是10点;对于其他牌,点数为牌面的数字。如果一手牌中带有A,在总点数没有超过21点的情况下,它能被算作11,则这手牌被称作“软”牌,其余被称作“硬”牌。因为对于软牌有两种可能性,我们定义它的点数是将A计作11的点数。

软牌与硬牌之间的区别是重要的。我们将看到持有组合的软牌时的最优策略和持有相同点数的硬牌时的最优策略是迥然不同的。玩家的目标

每个玩家试图获得超过庄家,但是又不超过21点的总点数。天成

如果玩家或者庄家拿到的前两张牌是A和一张10点的牌,那么这手牌就被称作“天成”或者“黑杰克”(blackjack)。如果玩家得到天成而庄家没有,那么玩家从庄家那里得到下注额的1.5倍。

如果玩家没有而庄家有天成,那么玩家的所有赌注就赔给庄家。如果玩家和庄家都是天成,那么打平。

在1964年,内华达州引入自动21点分牌机,其对玩家的天成进行了2:1的赔付。我们将在第9章中分析这类机器。要牌

要牌从庄家的左手边开始并按顺时针方向进行。玩家看了暗牌以后,可以选择“停牌”(不再要牌);否则他可以要求庄家再发牌,每次一张,牌面朝上。

如果玩家点数“爆了”(超过21点),那他要立刻翻开暗牌并将全部赌注赔付给庄家。在所有玩家要牌以后,庄家亮出其暗牌。如果他的点数小于或者等于16,则必须继续要牌,直到点数大于或者等于17,他才停止。如果庄家拿到一张A,并按照11计算使得总点数大于或者等于17,且不超过21点,那么他必须把这张A算作11点并停止要牌。

许多赌场调整了这条软牌规则,使得庄家在软点小于或等于17的时候继续要牌,在软点大于或等于18的时候停止。用这种方法,庄家赢得了一个微小的优势。一些赌场通过更多类似的调整以获得更大的优势。

通常,玩家通过说“Hit”或者“Hit me”,或者简单地用他的牌轻刮桌面,来表示要牌。如果玩家不再要牌了,他可以把底牌面朝下,然后说“Stand”,或者把牌放到赌注下面。对于玩家来讲,发牌以后再摸赌注是不礼貌的行为。这是因为,如此一来,会被怀疑在看到庄家的明牌后试图更换赌注。结账

如果玩家没有超过21点,但是庄家超了,那么玩家押多少赌注,庄家就赔付多少。如果玩家和庄家都没有爆掉,那么点数大的一方就赢得押注额大小的金额。如果双方点数相同,也没有超过21点,那么打平,谁都不赔不赚。

玩家和庄家的平局叫作“Push”。当有平局时,庄家拿走玩家的牌但不触碰其筹码。这有时候让人摸不着头脑,所以为了强制引起玩家的注意,庄家有时候将玩家的牌翻起,并在敲打几下桌子以后将牌拿走。

在有些赌局中,平局算庄家赢,这将带给庄家可怕的9%的优势。千万不要参与这样的赌局。

有人可能会想,除了天成,如果平局下没有输赢,那么玩家采用和庄家一样的策略是合理的。但是,研究发现,玩家采用庄家的策略会失去5~6个百分点的优势。原因在于,如果玩家爆掉,即使后面庄家也爆掉,玩家还是赔光其赌注,这就是一个玩家与庄家是“平手”,但是算庄家赢的极佳案例。分牌

如果玩家的底牌是两张一样的牌,就叫作“一对”。他可以选择将牌亮出,分开变成两手牌的各自的第一张,这叫作“分牌”。原来押的赌注跟其中的一手牌,还要押上相同数额的赌注跟另一手牌。对玩家的两手牌,都会自动地发第二手牌,牌面向下。然后,玩家分别对每一手牌进行要牌,就像一开始就发成这样,两者只有下面这个不同之处。如果是一对A分牌,每手牌只能要一张牌,另外,如果分牌的A,又发了一张10点牌,这不算作天成,而是普通的21点。同样地,如果玩家对10点牌进行分牌,然后拿到了一张A,这也被认作普通的21点。如果玩家在分牌以后又拿了一张相同的牌,那么他不能再分牌了。

A是最好的分牌机会。拉斯维加斯有过临时的规则即对A强制分牌,目前取消了。内华达州引入了第一代自动21点发牌机,不允许分牌。加倍

在看了暗牌以后,玩家可以选择加倍,然后要一张(也只能要一张)牌。这个策略被称作“加倍”。选择加倍的玩家,亮出底牌,然后拿到第三张暗牌。除了一对A的情况以外,玩家可以在分牌后加倍其中的某一手牌,或者两手。

在波多黎各,只有在11点的情况下允许加倍。在内华达州的一些赌场,尤其是在里诺(Reno)和塔霍湖(Tahoe)地区的赌场,在10点或者11点的情况下允许加倍,第一代自动21点发牌机也是如此。拉斯维加斯的临时规则(目前已取消),限制在硬11点时才能加倍。这一点是除了上面提到的对A的分牌以外,另一个规则的改变。限制加倍提高了庄家的优势。保险

如果庄家的明牌是A,在发牌前,玩家可以有一个额外的赌注。看了暗牌以后,玩家可以加一个不超过初始赌注一半的额外赌注。在玩家决定是否买保险以后,庄家检查其底牌。如果庄家是天成,保险的赌注获得加倍赔付。如果庄家不是天成,保险的赌注就输掉了,游戏继续。不论保险的结果如何,初始赌注仍然继续,不受影响。

假设玩家买了附加赌注,庄家拿到了天成,但玩家没有,那么玩家输掉其初始赌注,但附加赌注赢了一倍回来,总体打平。这就是为什么这个附加赌注叫作“保险”的原因。很多北内华达的赌场和自动21点发牌机不允许保险。惯例和实践

21点有一些算不上规则的惯例。它们因赌场而异,在一个赌场内因轮班而异,甚至在一个轮班内因荷官而异。(内华达州的赌场一般是24小时连续营业的,三班倒。在波多黎各,赌场通常从上午8点开到下午4点,所以只有一班。)这些惯例和我们在第3章中介绍的基本策略关系不大,但是和后面讨论的制胜策略有所关联。

洗牌。在每局牌之间的任何时间都可以洗牌,这是一个惯例。如果在玩的过程中牌用完了,庄家也可以洗牌。而在牌没有用完的情况下,庄家在牌局中途洗牌,可能被认为是出老千。玩家可以在任意赌局结束后要求洗牌,荷官有时候会同意,有时候会拒绝。

我们把庄家非必要的频繁洗牌称为“shuffle up”。

托儿。托儿是假扮成玩家的赌场雇员,用来吸引玩家或者刺激赌局。某家赌场的某个时段,可能有托儿。

托儿通常遵循自己的规则,例如,他们从不加倍、分牌或者买保险,在大于等于硬12点的时候就停止要牌,遇到软点数的时候,他们遵循庄家的策略进行要牌或停止。如果托儿不遵循一套固定的规则,他们可能会帮助庄家或者赌场欺骗玩家(见后文有关“anchor man”的讨论)。

新牌。虽然法律上没有明确规定,但是按照惯例,玩家可以在任何需要的时候要求换新牌。通常,新牌会先背朝上展开,背朝上时,荷官可以检查扑克牌的背面是否有可以让玩家认牌的记号。然后,扑克牌面朝上展开,玩家可以借此机会检查是否有牌被抽走或者加入。第3章基本策略

某个圣诞假期,我和妻子决定从加州大学洛杉矶分校的教学任务中抽身出来,到拉斯维加斯放松几天。我们以前都去过,但是当时我们没有赌钱。我们观看演出,享用物美价廉的大餐,还有在合适的季节泡在游泳池中。

在我们出发之前,加州大学洛杉矶分校的索尔真弗雷[2](Sorgenfrey)教授向我介绍了某数学期刊上的一篇最新论文。论文描述了一种21点策略,据说它能把赌场的优势限制在0.62%以内。因为这个数字是如此接近平衡点,对于玩家来讲,比其他赌场游戏好多了,所以我把这个策略写在一张小卡片上带在身边。

当我来到21点赌桌的时候,我买了10美元赌注。我没有期望能赢钱,但是我想看看我的赌注能坚持多久,同时也想实践一下这个策略。

一开始,由于玩得慢并且还手拿一张小卡片,我吸引了许多好奇的围观群众,庄家隐藏不住对于这种“机械化”玩家的蔑视。这种气氛在他们看到我的玩法以后加剧了。当面对庄家明面的A时,有谁会对一对平凡的8进行分牌(这就是在面临风险时加倍了赌注)?在面对庄家明面的5时,有谁在拿到A和2时加倍?在面对庄家的4时,有谁会在硬点12点时停止要牌?

祸不单行,庄家这一轮的运气相当好,桌上的每一个玩家都输得很惨。很明显我的这10个“小不点”会马上输光。但是,真的会吗?似乎这个诡异的玩法被证明是正确的。当其他玩家损失惨重的时候,我这一小堆筹码还在坚持,偶尔还赢一点。20分钟以后,大部分筹码还在。新手头运!

然后奇怪的事情发生了。我拿到(A,2),然后要了一张是2,再要一张是3。我现在有(A,2,2,3),软点18。庄家有明牌9,但是他可能有19点。只有傻子这时候还会要牌,面临着这么好的牌被爆掉的风险。我看了下我的卡片,然后要牌了。在众人的诧异、不满和啧啧质疑声中,被逗乐的围观者看着我拿到一张6。硬点14!“给我张好牌。”我继续要到一张A,变成硬点15。为试试手气,我继续要牌,是一张6!现在,我有(A,2,2,3,6,A,6)或者说7张牌21点。这太少见了,几千手牌才有这样一次。

在短暂的震惊之后,一些围观者建议我应该得到一笔25美元的奖励,庄家拒绝了——这只有在里诺的部分赌场里才有。我从不知道还有这种奖励,不过我想可能是因为我很有趣地塑造了这样的形象:因为预知7张21点才牺牲了软18点。“谁知道,他们甚至会给我奖励呢。”当然他们没有。但是,有些围观者已经由嘲笑和小瞧,转变成了尊重、关注甚至是景仰。

又过了15分钟,在庄家和其他玩家清点以后,我还有8.5美元,然后决定就此罢手。然而,从这短短几十分钟的经历感受到的无知与迷信,深深地在我脑海中留下一个印象:即使是“高手”也对这个游戏的本质一无所知。应该有办法可以战胜庄家。

当我回到家,我开始认真研究这个游戏。我确信,在高速计算机的帮助下,可以找到制胜策略。作为寻找这个策略的第一步,我采用了IBM 704计算机来改进上述插曲中的策略。这就是改进版,我称之为“基本策略”,你将在本章中学习到,这是后续制胜策略的基础。计算显示,在一个典型的赌场,玩家使用正确的基本策略会拥有0.12%的相对优势;在某些赌场,玩家的优势可以到0.6%;但在规则不利的赌场,玩家可能会有1%不到的劣势。对于某些自动21点发牌机来说,基本策略玩家理论上拥有1.6%的优势,并能够稳定盈利。详见第9章。

在“等待”更好的时机来临之前,你必须一次又一次地使用基本策略。这个策略必须被完整地记下来,从而使得在每种情况下,你可以毫不犹豫地决策。玩家的决策

正如我们在上一章中看到的,游戏一开始有一些特定的准备工作。玩家入座后,庄家洗牌,某个玩家切牌,庄家曝光一张牌,在玩家把赌注放到身前的桌面上以后,庄家给每位玩家和自己两张牌。如前所述,庄家的一张是明牌,一张是暗牌。

在这个时候,玩家必须要做出一系列的决策。主要的几个决策包括:如果有机会,是否要分牌,是否要加倍,是否要牌或者停止。一般来讲,玩家是以他手上的牌、庄家的明牌和任何其他看到的牌作为决策依据的。但是,在本章中,玩家只根据他手上的牌和庄家的明牌来做决定,而忽视其他看见过的牌。在本章中介绍的基本策略是仅仅使用独立信息的最佳策略。稍后,采用已出牌和在之前轮次用过的牌的信息,加上自己的暗牌和庄家的明牌,我们还可以改进本策略。

玩家的核心决策(分牌、加倍、停止和要牌)以及他的决策顺序列在图3-1中。图3-1 玩家的核心决策

①记住:当一对A分牌时,你在每张A后面只允许要一张牌。基本策略中的要牌与停止

在大部分情况下,玩家都不会分牌或者加倍。因此,他的决策就简化为要牌或者停止。由于这个决策是最简单也是最重要的,我们先学习这个部分,先不考虑分牌和加倍。

在硬点数的情况下,查看表3-1就可以决定是否在当前点数停止,还是要一张或者多张来改进自己的点数。表3-1 硬点数下的要牌或者停止

①当你的硬点数是16时,需要分情况区别对待:如果你有2张牌,也就是(10,6)或者(9,7)的情况,你应该继续要牌;如果你有3张或以上的牌,例如(6,4,4,2),你应该停止要牌。

②在庄家点数为10,你的点数是(7,7)的情况下,应该停止要牌。

要注意到表3-1告诉我们在点数为11或者以下时,无论如何是要牌的。这点顺理成章,因为这时候玩家是不可能爆掉的,所以必须要牌增加点数。

表3-1提供了图形化的方式用以表示“硬点停止数字”。对于给定庄家的明牌来讲,硬点停止数字就是你停止要牌的最小数字。例如,如果庄家的明牌是7,表3-1告诉我们停止数字是17,这个是你在硬点数时的点数目标,你在总点数为17或者更大时停止,你在总点数为16或者更小时要牌。当庄家明牌是6时,停止数字就掉到12了!现在,你应该在12或者更大时停止,在11或者更小时要牌。

对基本策略已经很熟悉的玩家还可以加入注释中的小优化,这个注释考虑了当庄家明牌是10时的情况。总点数16面对庄家10点时的改进策略,考虑了玩家的底牌,这预测了未来的结果。

值得一提的是,面对庄家的某一张明牌,如果你在某一点数停止,那么你在更高点数下同样要停止。同样地,如果你在某一点数要牌,那么你在更小点数下同样要要牌。

当你的点数是软点时,根据表3-2来决定你是否要牌或者停止。表3-1和表3-2的解读方法是一致的,但是当比较它们时,我们发现,相对于硬点数,软点数下要牌的总点数要高不少,其中的部分原因很清楚,如下所述。回忆下我们说过的,玩家在硬点11或者以下时,要一张牌总是更好的。类似地,在软点16或者以下时要牌,不会有任何损失。因为点数是软的,玩家不会由于要一张牌而超过21点,因为A可以自动按照1进行计算。总点数减去10可以保护玩家不管拿什么牌都不会爆掉。如果再拿到一张A,如有必要,它会被计为1点,任何其他牌都是10点或者以下。表3-2 软点数下的要牌或者停止

在软16点或以下时,要一张牌不会爆掉,总点数只会好不会差。因为最终总点数为16点或小于16点,是一样的。如果你停止而庄家爆掉,玩家一样会赢。如果你是16点或更小,而庄家没有爆掉,那么按照规则他必然是17到21中的某个点数,玩家一样是输。这样,庄家会自动战胜总点数是16或者以下的。因此,在软点16或者更小时要牌没有任何坏处。事实上,你可能会帮到自己。例如,手牌(A,5),如果你再拿到A,2,3,4,5中的任何一张牌,你就有机会打平或者赢;手牌(A,2,A),如果你再拿到3,4,5,6,7中的任何一张牌,你就有机会打平或者赢。

如果拿到了软17点,有一个比较小的可能性会输。如果你停止要牌而庄家拿到17点,就平手,你就避免了输掉赌注。可是,如果你在软17点时继续要牌,你可能把点数变成小于17的硬点数。如果之后你停止要牌,那你比之前还差:如果庄家刚好拿到了17点,你现在是输的,而之前是平局。如果你在这个硬点数继续要牌,你可能一下子就爆掉出局。举例来讲,手牌(A,3,3)=软17点,假设再抽到5,那么变成(A,3,3,5)=硬12点。如果庄家明牌是5,那么表3-1建议停止;如果庄家明牌是A,表3-1建议要牌,如果要到一张10,结果就是(A,3,3,5,10)=22(即使把A算作1),爆掉。

尽管在软17点有可能会把手牌变得更糟,但计算显示改善点数的可能性大于该风险。例如,拿到(A,6),你可能抽到A,2,3,4,所有这些牌都会改善你的点数。即使你抽到5,6,7,8,9或者10中的任何一张,你也不会爆掉。如果你愿意,你仍然可以继续抽,去争取一个更好的总点数。

有时候遵循这些指令需要一些意志力。我曾不止一次面临这种纠结的局势,有次在内华达州的某个赌场,我玩“大赌注”的局。用后面章节提到的计牌方法,我知道自己在下一轮有5%的优势,因此,我下了最大赌注500美元。庄家明牌是7,我的牌是(A,6),软17点。因为剩下的牌里面有大量的10,我非常肯定庄家的牌是17。由于,只有4张牌会使点数更好——A,2,3,4;5张牌会使点数更糟——5,6,7,8,9,我极不情愿去要牌,只想平局算了。然而,我还是咬紧牙关要了一张,拿到了8,现在我是硬15点。我屏住呼吸继续要牌,这次我拿到了A,现在我是硬16点。我勉强地再要了一张,让我吃惊的是,居然拿到了3。现在,我决定在硬19点停手。当庄家亮出暗牌时,更让我吃惊的是,他的底牌居然是最后一张A(一张已经在前面轮次亮出了)。根据规则,他必须停止要牌。基本策略不但让我省了500美元,还让我的钱翻倍了。

从表3-2中可以看到,软点最小停止点数和硬点类似。于是,对于给定庄家的明牌,如果你的软点数比这个数字小,你就继续要牌;如果你的软点数大于或等于这个数字,就停止要牌。经常练习的读者会很快熟悉表3-1和表3-2中停止要牌的点数。

假设你现在进入一家赌场去练习这个策略。你从不加倍,从不分牌,从不买保险,你会怎么样?让人吃惊的是,赌场只有2%的优势,赌局已经接近公平了。它比最近才被世界著名玩牌专家推荐的方法[8]

还要好。基本策略中的加倍

下面这部分的策略很关键,也很简单,就是加倍。也许,在学会分牌以后再来记忆软点加倍策略要更加方便一些,但是为了完整性,我们在此就讨论软点数的加倍。

就像在图3-1中指出的,是否加倍必须要在是否要牌之前决定,决策依据如表3-3所示。庄家可能的明牌列在表头,玩家的总点数列在最左侧。为了决定是否加倍,首先看你的总点数是否在左侧列。如果没有在左侧列,你不应该加倍,转而进入下一个决策,即要牌或停止;如果出现在左侧列,找到这一行与庄家明牌的相交空格;假如这个位置是阴影,那就加倍。注意这个表有两个部分,一部分仅对应软点数,另一部分仅对应硬点数。表3-3 加倍

②除了手牌为(6,2)的情况,都应该加倍。

为了说明如何使用表3-3,假设庄家明牌是3,你的底牌是(A,6)或者是软17点。找到对应位置,你会发现是阴影格,因此你应该加倍。

在表3-3中,我们需要注意如下几点:首先,有些点数不管是软的还是硬的,都不加倍。其次,硬点数时总在11或者更小时才加倍;软点数时总在13或者更大时加倍。在软12点的时候,加倍有时候比要牌好。不过如果软12点意味着一对A,这时候分牌比加倍好多了。

我们注意到在硬11点的时候总是加倍。对于硬10点,除了对庄家的A和10以外,玩家都加倍。除非后续抽到一张A,否则硬10点总比硬11点稍稍差一点,因为前者的总点数总是比后者的总点数少1点。硬9点比硬10点更差一些,然后在硬8点时加倍的情形非常少。事实上,在硬8点时加倍很少见,收益也少得可怜,因此你在实践中可以忽略它。

显而易见,这个表告诉我们,当庄家拿到7,8,9,10,A时,玩家永远不要用软点数加倍。

如果不用数学推导,很难解释加倍策略的原理,但其实实践一下你很快就能铭记于心。由于在拉斯维加斯的银拖鞋赌场(Silver Slipper)玩过的一手牌,我永远记得软13点对庄家5应该加倍。那次,我和朋友想去看看,在我们赢了很多钱以后,赌场是否还让我们继续玩。我的赌注在1美元到10美元之间变动。(其实现阶段在1美元到3美元之间变动比较明智,数以千计的《击败庄家》的读者在赌场里已经交了许多学费。)因为我经常下注1美元,所以我们同意绝不把赌注提高到超过10美元——那样会引起关注。但是,一个非常吸引人的情况出现了(对庄家有6%的优势)。我无法拒绝!我一把押了30美元。让我满意的是,庄家的明牌是5,是对玩家最有利的牌。我非常自信地翻开自己的底牌(A,2)选择了加倍。我根本懒得看发给我的牌,因为我估计庄家的底牌是10,然后要一张牌就直接爆掉。让我震惊的是,庄家的底牌是4,然后他又要了一张10,总点数为19。我抱定了输的打算,但当庄家打开我的底牌时,居然是一张7!

庄家的表情很奇怪,好运气只是其一,主要是我提前下了重注好像我能预知未来。(当然,我在有限的程度上是可以的,尽管在这一手牌的细节上我错得离谱。)庄家没有意识到的是,他拿到4其实是幸运的,尽管我后来拿到了7。基本策略的一个特征是:应用它的玩家比一般玩家显著地“好运”许多。在这个案例里,我的“好运”被尴尬地证明了。

一旦你掌握了硬点数的加倍策略,你就进一步将赌场的优势降低到了1%以内。基本策略中的分牌

记住要牌、停止要牌和硬点数的加倍策略(包括软点数的加倍)以后,你可以把分牌策略也考虑进去了。我们首先介绍详细的分牌策略,然后给出一个简单的学习方法。

如果你有一对牌,图3-1显示在加倍和是否要牌之前,你的第一个决定是:是否分牌。你可以依据表3-4做出分牌决策。在这张表里面,庄家的可能明牌列在首行,玩家的可能对子列在最左侧。如果你有对子,从庄家明牌列往下找到你的对子所在行,锁定单元格。如果单元格是空白的,不分牌,然后依据表3-3进行下一步;如果单元格是阴影的,先分牌,然后依据表3-3进行下一步。如果你没有对子(大约七分之六的可能性),跳过表3-4,直接参照表3-3。

如果表3-4看起来太复杂,你可以用一套近似的规则来代替,就是:一对A和一对8,永远分牌;一对4、一对5和一对10,永远不要分牌;对其他对子,庄家明牌是2到7时分牌。表3-4中的深色线表示了这套规则。注意到这套近似规则只有5个错误,有些错误其实蛮严重的,但是这些情况比较少出现,因此带给庄家的优势增加量只有0.13%。一旦你学会了近似的分牌规则,配合加倍策略和是否要牌策略,你就可以详细学习分牌策略了。表3-4 分牌

按照方块排列的图形化,表3-4中的100个信息点就容易被记住。举例来讲,规则“一对A和一对8,永远分牌;一对5和一对10,永远不要分牌”包含了40个格子。规则背后的原因能够帮助记忆。一对A必须要分牌,因为分牌以后每一路获得赢手(甚至是21点)的机会非常大,然而不分的话(A,A)仅仅是软12点,要不加倍,要不要牌或者停止。

如果庄家明牌是7,8,9,10或者A,玩家拿到8应该分牌,不只因为每一路从8开始还有机会拿到大牌,更因为总的来说16点实在是太差了。16点不好是因为:当庄家的明牌是7或者更高时,他不容易爆掉,如果不爆掉,他就铁定赢了16点。所以,把一对8分开,是为了“拯救”一手坏牌。

看上去新手牌没有那么不好(事实上,它们关乎赢牌概率),即使你押上了新的赌注,你的净亏损还是显著地下降了。当庄家明牌是2,3,4,5或者6时,一对8的分牌得益于两个方面:第一,一手差牌被两手平均牌取代了;第二,庄家在以上明牌的时候爆掉的机会很大,因此在赌桌上多押一些钱是有利的。

一对10分牌是不好的,因为它把一手非常好的牌(20点)变成了两手稍优于平均的牌。对5分牌没有好处,因为它把一手可以加倍、可以要牌的好牌,变成了两路差牌。

注意对于一对2,一对3和一对6,策略是一样的——当庄家明牌是2到7时分牌。

对于7的策略在我脑中挥之不去,仅仅因为当庄家明牌是2~8时,7应该分牌,而8比7多一点。对于9,当庄家明牌为从2到9时分牌(9-9很容易记),只有一个例外:当庄家明牌是7时,不要对9分牌。这里有一个方法记住这个例外:2张9的总点数是18,如果庄家明牌是7,总点数17是远高于平均水平的(见附录表1,庄家的概率);我们可以选择停止,以期望战胜庄家。表3-5 基本策略迷你全图

表3-1至表3-4可以用表3-5中群组的方式进行表示。表3-5中微型化的汇总表示方式,也会在我们的制胜策略中使用。

第一眼看上去,表3-5也许有歧义。例如,持有(A,6)对庄家明牌4,玩家应该加倍还是仅仅要牌?看图3-1,玩家应该首先考虑加倍,然后表3-5建议加倍,因此玩家应加倍。使用基本策略的预期结果

现在,你对基本策略已经足够熟悉,可以实际检验了。

一般来讲,即使你应用基本策略,你和赌场的胜率还是打平的,但以下的数据会鼓励你去应用该策略。表3-6展示了在每手1美元的情况下,玩100手(取决于庄家的速度和桌上的人数,一般需要30分钟到1.5个小时)和1000手(取决于上述条件,一般需要5~15个小时)的预期结果。如果每手的赌注不一样,则将表中数字乘以相应的赌注额就可以。举例来说,如果你每手下注5美元,则乘以5;如果你每手下注50美分,则乘以0.5(或者除以2)。1000次1美元赌注的平均收益是1美元,100次1美元赌注的平均收益是10美分。因此,我们认为基本策略本质上是平局:对任何一方都没有真正的优势。表3-6 使用基本策略的结果①收益为负数表示亏损。

①收益为负数表示亏损。[3]

表3-7展示了鲍德温等得出的结果(其策略与基本策略本质上一致)。表3-7 鲍德温等得出的结果

在表3-7中,每组的局数非常接近1000,我们可以假设每组局数就是1000,因此,我们可以用表3-6的第二部分对表3-7中的结果做一个大致的检查。除了有个大的偏差-56美元外,一切都是正常的。如果这仅仅是由运气造成的,那么这个偏差就是少有的情况。表3-6告诉我们,如果玩1000手,亏56美元以上的概率小于0.1%。如果玩的次数少,像表3-7中的770次,这种偏离的机会会更小。事实上,计算结果显示,如果每手1美元玩770手,亏损超过56美元的概率大约是0.01%,即这种概率大约是10000:1。与其他21点策略及其他赌场游戏的比较

我们之前提及过基本策略优于其他21点策略,也优于其他公布的任何赌场游戏的任何策略。表3-8和3-9列出了具体的数值。表3-8 基本策略和其他21点策略的对比表3-9 其他赌场游戏的最佳策略与基本策略的比较

①在这个正在销声匿迹的游戏中,荷官会对持续下对等赌注的计牌者(0%的优势)表示不高兴。只有在玩家知道牌箱中的哪些牌是被用过的情况下,才能取得表中的优势。一些常见的21点游戏的误区[2]

21点游戏的基本策略首先由鲍德温等在本书开始写作的4年前出版(其中有些不太明显的错误)。然而,带有致命错误的21点策略层出不穷。在下面的讨论中,我们会设计一些实验来展示几个更为明显的错误。有些实验只占用读者不超过1个小时的时间。每个实验都将揭示一个与基本策略相比较的常见策略的错误。

实验将向任何实践过的人们证明基本策略在这些节点上是正确的,而其他策略则存在明显的纰漏。研究这些实验你可以自己设计实验,来验证基本策略和其他策略的显著区别。原则上,我们可以验证任何分歧,不仅仅是大的分歧;但是对于很接近的决策,需要花费相当长的时间。

本章后续引用的表都在附录里。现在还不需要去理解这些表,重要的是要理解如何通过实验来验证策略。实验一:硬16点面对庄家A,是要牌还是停止要牌

表2a告诉我们,当庄家明牌是A时,玩家在硬16点时应该要牌而不是停止,这样能增加平均14.6%的优势。换言之,在硬16点时停止而不是要牌会花费玩家平均14.6%的优势。下述实验设计用来验证这点。从一副牌中取出一张A,面朝上放在桌上,这表示庄家的明牌。接着,在一张卡片上写上16,放在你面前,这表示你的硬点数。

当然,这与实际情况不是完全一致的。在赌局中,玩家实际组成16点的牌会影响要牌的优势概率。可以想象,如果这个硬16点是由很多张小牌组成的,停止要牌或许会更明智。举例来说,考虑一种类似情形下的决策,即庄家明牌是10,玩家硬16点决定是否要牌,根据表2a,要牌比停止可以平均提高2.9%的优势。但是当玩家的16点是由(4,4,4,4)组成的时候,根据布劳恩(J.H.Braun)的研究,精确的计算结果是停止要牌获得6.382%的优势。

在我们的实验中,用一张纸写上数字的目的是这样的:玩家可以用我们的实验来代替实战的一局,同时记录要牌或者停止的结果。他的平均长期结果应该在14.6%的上下零点几个百分点内浮动。因此,通过这种总纸点的方式,我们可以节约大量时间,省去大量麻烦。对于其他实验,这些考虑也同样适用。

让我们回到实验。洗牌以后,发200手牌。假设你在硬16点时停止要牌,发一张牌给庄家(作为暗牌)。如果他拿到了天成,则去掉这张10点牌,不记录结果。我们这样做是因为,只有在庄家检查暗牌以后发现没有天成,才会有硬16点以后是否要牌的问题。如果暗牌不是10,则继续发牌,直到爆掉,或者取得硬/软17点或者更大。如果庄家爆掉,你赢;如果他没有爆掉,你输。记录结果。去掉用过的牌,发下一手牌。当100手这样的牌局结束以后,玩家平均会赢17局,而输掉其他的。这基本符合表3的论断,即玩家在庄家明牌A的情形下停在16点,输牌的概率是66%。

接着,发200手牌,如下所述。给庄家发一张牌(暗牌),如果是10点,去掉,然后发另一张,理由同上。现在,假设你在16点时,再要一张牌(也仅仅是一张牌),如果爆掉,你就输了。去掉用过的牌,记录输掉的结果。如果你没有爆掉,那么就是落在硬17点和21点之间。你自己不再要牌了,而是给庄家要一张牌,直到他爆掉或者总点数是17或者更大。记录你赢、平或者输的结果,然后继续下一手。

你“赢”的百分比,就是赢局的数量加上平局数量的一半(举例来讲,如果每局都是平手,就等同于赢了一半输了一半)。在这次实验中,每100手平均赢局的数量是24.3。因此,玩200局16点对A,用后面的方法会多赢2×(24.3-17)即14.6局。但是,在每组实验中,结果可能与上述数字有偏差。事实上,每50次有1次,在硬16点对庄家A时,停止要牌会比要牌好。实验二:硬10点面对庄家A,加倍

这个实验的实施与上一个实验基本一致。因为有着6.1%的最大差别,我们选择暗牌(8,2)来缩短实验时间。6.1%这个数字是从表4j中得到的,从表中我们可以看到,持有(8,2)对庄家A,如果我们简单地要牌,直至达到一个合适的点数,从长期来看我们可以赢到赌注的8.6%。但是如果选择加倍,从长期来看只能赢到赌注的2.5%,两者相差6.1%。玩400手加倍的牌,然后用赢的手数减去输的手数,接着,把这个数字乘以2以反映你的加倍,这就是你玩400手面对A的加倍策略的总利润。像之前一样,记得把庄家的天成牌忽略。如果庄家拿到暗牌10点,就再发一张。

然后,依据面对A的正确的要牌与停止要牌策略(见表3-5)玩400手牌。用赢的数量减去输的数量得到玩400手的利润,平均下来,你赢的局数会比输的局数多17.2次。选择加倍,平均多赢的局数是5.0局。实验三:面对庄家明牌5,对6分牌

依据表4f,分牌比停止要牌的优势高17.2+10.2即27.4个百分点。如果你停止要牌,玩100手牌你净输10.2局。如果你分牌,你的100手牌变成200手牌,其中你赢的手数会比输的手数多17.2或者更多。采用分牌而不是停止要牌,你会在这原始的100手牌中多赢27.4局。每种牌型50手的差别就是决定性的。模仿庄家[2]

引用鲍德温等的话,“模仿庄家的策略,16点或以下就要牌,17点或以上就停止要牌,从不分牌与加倍,预期收益是-0.056”。也就是说,庄家有5.6%的优势。

让我们通过计算玩家模仿庄家策略来演示如何应用表1。首先注意到,当玩家遵循这些规则的时候,除了两种情况,这个游戏是对称的。如果庄家和玩家都爆掉,则庄家赢。在模拟中,我们假设在玩家爆掉的情况下,庄家仍旧拿牌,如果爆掉,则按爆掉计算,这对庄家有利。庄家获得的优势就是庄家和玩家同时爆掉的概率。因为假设庄家和玩家采用相同的策略,则表1(庄家的概率)对庄家和玩家同样适用。每方爆掉的概率是0.2836(假设独立同分布,虽然不是严格精确但在牌是完整的情况下,足够近似),同时爆掉的概率是0.2836×0.2836,即8.04%,这是庄家的优势。第二个不对称的情况是玩家拿到天成时赢得1.5倍,而庄家不是,庄家在拿到天成时只赢1倍。每方有4.68%的机会拿到天成,从这个角度上讲,玩家得到其中的一半,也就是2.34%。综上,庄家的净优势就是(8.07-2.34)即5.73个百分点。从不爆掉的策略

另一个有趣的数字,是计算庄家在对一个在可能爆掉时从不要牌的玩家的概率优势。首先我们要说明这意味着玩家的硬点停止要牌点数是12。但是,软点停止要牌点数是不确定的。这样,这个问题按字面来看就是没有意义的。由于这个问题无从回答,我们假定软点停止要牌点数是17,然后继续讨论。如前所述,常识告诉我们软点停止要牌点数至少是17。我们知道18点永远比17点要好,因此软17点输牌的概率比软18点要大许多。我们把这种稀奇的策略称为“保守”策略。

我们断定庄家对使用“保守”策略的玩家的优势是5到8个百分点。我们的证据来自三个方面。第一,我们进行了一个实验,分6组,每组100手,采用保守策略。玩家净输的局数在2~13之间分布,平均是7。这与我们的数字5~8个百分点是一致的。因为600这个数字是提前就选定的,不受实验结果的影响,所以标准概率论中的公式适用于这些数据。我们的结论是庄家的优势几乎可以确定在3~11个百分点之间。第二,我们进行了手工计算(这相对容易,因为硬点停止要牌点数很小),证明这个数字是在10%以下的。第三,也是最好的,鲍德温和他的合作者给出了一个数字4.75%,这是庄家对一个在硬12点时停止要牌、从不加倍、只对A和8分牌的玩家的优势。(他们没有给出软点停止要牌点数。)可以证明,对玩家来说,对A和8进行分牌增加了不到1%的优势。软点停止要牌点数如果有更好的选择,其带来的优势大概在1%~2%之间。因此,从这个层面估计出的真实数字在5或6到8个百分点之间。给理发师剪发的人

上述保守策略的劣势可以通过我的朋友,即“给理发师理发的人”圣费尔南多谷州立大学(San Fernando Valley State College)数学系约翰·布拉特纳(John Blattner)教授的经历体现出来。

有一天,布拉特纳和他的理发师聊起21点。当布拉特纳告诉理发师,他的朋友写了一本书教授如何稳定地战胜庄家,理发师嘲笑道:“这太简单了。”他说,“任何人只要避免爆掉(永远在硬12点停止要牌)都可以赢”。布拉特纳试图告诉理发师他错了,但徒劳无功。最后等下班后,理发师和我朋友开了一局。布拉特纳带了160美元。玩每手5美元和10美元,理发师很快输掉了这么多钱。他始终断定布拉特纳是他见过的最幸运的人。在输光了160美元以后,理发师拒绝收手。他要求翻本,每手玩20美元。当他输了1200美元以后,他的运气开始翻转。他赢回了300美元。然后好运气用完了。最后,他在输了1500美元以后放弃了。

理发师至今认为布拉特纳是运气好。他不肯付钱。最终,他决定

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