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发布时间:2020-06-07 06:43:14

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作者:冯志远

出版社:辽海出版社

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高手集训大选拔

高手集训大选拔试读:

前言

“更快,更高,更强!”

奥林匹克的格言充分表达了奥林匹克不断进取、永不满足的奋斗精神,它已成为人类战胜自我、奋勇向前的精神力量。

奥林匹克运动的倡导者顾拜旦说,奥林匹克精神是人类吸收古代传统构筑未来的力量之一,这种力量虽“不足以确保社会和平”,但仍可促进和平;虽“不能更加均衡地为人类分配生产和消费物质必需品的权力”,但仍可促进公平;虽“不能够为青少年提供免费接受智力培训的机会”,但仍可促进教育。和平、公平性、教育性,在他看来就是完整、民主的奥林匹克精神。

奥林匹克精神是对人的潜能与自由创造、人类的文明与优良秩序的最大尊重与倡导,是对人类一切优良道德价值与伦理规范的继承与发扬。它引导人们追求一种最为优化的生存与发展的伦理观念,这种伦理观念是人类追求进步的保证。

我们编辑这套“中小学生奥林匹克集训与选拔”的宗旨,是通过向青少年提供集知识性和趣味性于一体的科学文化知识,激发他们学习科学和热爱科学的积极性,引导他们拓宽视野,不断创新,最终达到提升综合性素质的目的。

青少年是祖国的宝贵财富,是未来的希望,而科学技术是社会发展的第一生产力,如何提高自己的智力,怎样便捷地掌握科学文化知识,是摆在我们面前的重要课题。为了帮助青少年开启智力,拓展思路,我们根据青少年的特点,把高深复杂的各科知识趣味化、简单化,力求使青少年在快乐的学习中得到启迪,学到知识,增加智商。这套丛书包括《神机妙算大比拼》《慧心巧思大赛场》《绝顶聪明大测验》《异想天开大课堂》《随机应变大考试》《满分测试大闯关》《高手集训大选拔》《头脑充电大本营》《智力加油大派队》《难题解答大讲座》《非常试题大公布》《考试评卷大排榜》12册,其中涉及到青少年必须知道的许多知识领域,具有很强的系统性、实用性和现代性,是青少年学习的最佳读本,也非常适合阅读和收藏,更是各级图书馆陈列的首选版本。

什么叫“二进位制”

公元17世纪时,英国数学家莱布尼兹创造了二进位制,即逢二进位的记数制。二进位制记数法中只有两个符号:0和1。如二进位制数101,记作(101)2,以免和十进位制数相混淆。二进位制数和十进位制数可以互化。如下面的对应关系:

十进位制数二进位制数

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

10 1010

读数时,不要把十进位制数“7”在二进位制中读作“一百一十一”,而应读作“一、一、一”。同样的道理,十进位制中的“2”和“5”在二进位制中应分别读作“一、0”、“一、0、一”。

我们可以看出,二进位制写起来比较麻烦,特别是遇到大数的时候。但这个缺点对机器来说是微不足道的。相反,它只要求机器显示两种不同状态的优点,却是十进位制数所望尘莫及的。现在电子计算机所使用的语言都是二进位制的,其道理就在于此。

什么叫做进位制

由于生产和生活的需要,在产生记数符号的过程中,用一定个数的计数单位,组成一个相邻的较高的计数单位,就得到一种进位制,如二进制、五进制、十进制、十二进制、十六进制、六十进制等等。世界各国多用十进制。

什么叫做计数单位

计数单位是指计算物体个数的单位。它有很多,如个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。“一”是自然数的基本单位,其他的计数单位又叫做辅助单位。不同的数位,计数单位也就不同。如“5”写在个位,表示5个“1”,如果写在十位上,就表示5个“十”。

“十进位制”是怎样形成的

国际上最常用的进位制就是十进位制,即较低位上的十个单位组成较高位上的一个单位。那么,“十进位制”是怎样形成的呢?

根据美国数学家易勒斯的调查,在最早的原始各民族307种的记数方法中,就有146种是十进位的,106种是五进位、十进位混用的。这就说明十进位制在很久以前就得到了广泛应用。

我国周代的《易经》中表示数量时,就有“万有一千五百二十”的记载,说明早在两三千年前,我国就有十进位制了。

1500多年前,印度人也知道了十进命数法。公元595年,在一块版面上记载着346个日期,这些日期都是用十进位位值符号写出的。公元8世纪,阿拉伯人入侵西班牙,又把十进位制传到了欧洲。

人类为什么不约而同地采用十进位制呢?根据语言学家的研究,这是由于人的手有10个手指,可以自由伸屈,是一个很好的天然记数工具。因此,大家都不谋而合地采用了十进位制,而且很快就传播开来。

“准确数”和“近似数”

用和实际情况完全相符合的数来表示某一个量,这样的数叫做准确数。例如,某班有学生52人,这里的数“52”就是准确数,它与这个班的学生实际人数完全符合。又如,教室里有26张课桌,这里的数“26”也是准确数,它与教室里课桌实际张数是完全符合的。

用和实际数很接近的一个数来表示某一个量,这个数就叫做近似数。例如,一个国家的人口经常有变动,很难说出准确的数,但可以说出一个接近的数。如我国有13亿人口,13亿人口就是一个近似数。近似数也叫近似值。又如绕地球赤道一圈的路程约为40000千米,这40000千米就是一个近似数。

“代数学”是怎样产生的

小学数学课本中的用字母表示数及方程等内容都属于代数学的范畴。“代数学”一词来自拉丁文algebra,而拉丁文又是从阿拉伯文来的。

公元825年左右,阿拉伯数学家阿勒·花剌子模写了一本书,名为《代数学》或《方程的科学》。作者认为他在这本小小的著作里所选的材料是数学中最容易和最有用处的,同时也是人们在处理日常事情时经常需要的。这本书的阿拉伯文版已经失传,但12世纪的一册拉丁文译本却流传至今。在这个译本中,把“代数学”译成拉丁语Algebra,并作为一门学科。后来英语中也用Algebra。“代数学”这个名称,在我国是1859年才正式使用的。这一年,我国清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作翻译英国数学家棣么甘所著的《Elements of Algebra》,正式定名为《代数学》。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国学者瓦里斯的《代数术》,卷首有:“代数之法,无论何数,皆可以任何记号代之。”说明了所谓代数,就是用符号来代表数字的一种方法。

最早的数码字

据发现,我国最早的数码字是3000多年前殷商时期刻在甲骨文上的数字。在殷朝都城(今河南省安阳县西北一带)的废墟上,出土了约10万片刻着文字的甲骨,人们在其中共发现了13种数码,现在这些数字的书写虽然有了较大的变化,但在当时却是世界上最先进的。

“数位”与“位数”的区别

“数位”是指一个数中每一个数字所占的位置。整数的数位从右向左依次排列是个位、十位、百位、千位、万位……小数部分的数位从左向右依次是十分位、百分位、千分位、万分位……同一个数字,由于所在的数位不同,所表示的数值也就不同。例如,“3”在个位上表示3个“一”,在十位上表示3个“十”,在百位上表示3个“百”……又如,0.56是由5个十分之一和6个百分之一组成的。“位数”是指一个整数含有数位的个数。例如,用一个不是零的数字所表示的数叫做一位数,如8;用两个数字(其中十位数字不能为0)所表示的数叫做两位数,如35;用两个以上的数字组成的数(最高位数字不能为0)叫做多位数,如387是三位数,9524是四位数,19867是五位数等。

387是三位数,但不能称为百位数,如果是百位数,就必须有100个数字,占有100个数位。

最大的一位数是9,最小的一位数是1;

最大的两位数是99,最小的两位数是10;

……

“数”与“数字”的区别

数和数字是数学中最基本的两个不同的概念。

数的概念是由人类生活实际需要而逐步形成和发展起来的。“数”是表示事物的量的基本数学概念。例如1991(自然数)、0(零)、7/8(分数)、8.59(小数)、-5(负数)等等。而“数字”是用来表示记数的符号,又叫做数码。有时候,一个数字就表示一个数,如阿拉伯数字8,又表示数8。在这种情况下,数和数字是一样的,也就是说,这个数字既可以看成数字,又可以看成数。但是有时需要用两个或两个以上的数字表示一个数,例如857,它与数字就不同了,“857”是表示数,8、5、7才是数字。

常见的数字有哪些

1.中国数字。是指我国汉字中以及过去商业中通用的记数符号,分小写、大写、数码三种:

小写:0、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十等。

大写:零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾等。

2.罗马数字。是罗马人创造的记数符号。基本的共有七个:I(表示1),V(表示5),X(表示10),L(表示50),C(表示100),D(表示500),M(表示1000)。

这些数字在位置上不论怎么变化,所代表的数是不变的。

3.阿拉伯数字。共有10个,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。由于它书写简单,记数方便,看起来清楚、便于运算,所以早就成为国际通用的数字。数学中所说的数字,一般就是指阿拉伯数字。

“0”为什么不属于自然数

因为自然数是从表示“有”多少的需要中产生的,用来表示物体的个数的数,因此,自然数的计数单位是1。每当有实物存在而又需要计数时,才有数的意义。如果表示没有物体存在,当然也就谈不上数了,这时就产生了一个新的数——零,用符号“0”来表示。所以“0”不是自然数,它比自然数都小。

取近似数的方法有哪些

在进行近似数的计算时,往往需要把一个数截取到某一指定的数位。

怎样截取呢?通常有以下3种方法:1. 四舍五入法。这个方法是,去掉多余部分的数后,如果去掉部分

的首位数字大于或等于5,就给保留部分的最后一位数加上

1(称“五入”);如果去掉部分的首位数字小于5,保留部分不

变(称“四舍”)。例如,用四舍五入法使2.964保留两位小数,

得2.964≈2.96(四舍);若要求保留一位小数,得2.964≈3.0(五

入)。这里要特别注意的是,在表示近似数的精确度时,小数点

后面的0不能随意划掉,如3.0表示精确到0.1,即十分位,所以

3.0不能写成3,因为取3表示精确到个位。2. 进一法。这个方法是,去掉多余部分的数字后,给保留部分的最

后一位数加上1。例如,一辆客车最多可以坐55人,现有乘客

240人,问需要几辆客车?240÷55=4.36……或240÷55=4(辆)余

20人。这就说明240人上满4辆客车之后还剩20人,这20人还需

要一辆客车。这时要用进一法,就是240÷55=4.36……≈5(辆)。3. 去尾法。这个方法是,去掉多余部分的数字后,保留部分不变。

例如,每套童装需要3米布,现有86米布,可做童装多少套?86

÷3=28.66……或86÷3=28(套)余2米。这说明86米布做了28套童

装后还剩2米。这剩下的2米不够做一套童装,所以这时要用去

尾法,就是86÷3=28.66……≈28(套)。

学习用字母表示数

在用字母表示的数中,字母已经不是具体的某一个数了,而是代表着泛指的一系列数,因而用字母表示数有一个突出的优点,就是可以简明的概括出数量关系的一般规律,具有更抽象更广泛的适用性。正如华罗庚曾讲过的:“数学的特点是抽象,正因为如此,它就更具有广泛的应用性。”例如,在加法中,交换加数的位置,和不变,这是用语言文字叙述的“加法交换律”,若用字母表示加法交换律,则为ɑ+b=b+ɑ。这里的ɑ、b不仅可以表示1、2、3,也可以表示4、5、6、7……使用字母公式不仅简明,而且便于记忆。又如,长方形的面积=长×宽,如果用s表示长方形的面积,用ɑ表示长,用b表示宽,那么长方形的面积计算公式可以写成:s=ɑb。

不管世界上有多少个不同的长方形,它们的面积都可以通过这个公式计算出来,这就体现了字母表示数的优越性。

24时记时法

在一日(天)的时间里,钟表上时针正好走两圈,一日(天)有24小时。

在邮电、交通、广播等部门都采用从0时到24时的记时法,通常我们把这种记时法叫做“24时记时法”。它从夜里12时开始,定为0时,接下去是1时、2时……直到中午12时,再接下去是13时(即下午1时)、14时(下午2时)……直到24时(即夜里12时,也就是第二天的0时)。例如:火车15时到站,“15时”就是我们常说的下午3时。

“改写”与“省略”的概念

对于一些较大的数,为了读、写的方便,有时要把它改写成以“万”或“亿”为单位的数,有时要把“万”或“亿”后面的尾数省略。前者是改写,后者是省略,这是两个不同的概念。

把一个多位数改写成以“万”或“亿”为单位的数,只是改变原来的计数单位,不改变这个数的大小,仅仅是数的形式上的变化。改写后得到的数与原数的值是相等的,所以用“=”表示。例如把360000改写成以“万”为单位的数,就是先把360000缩小一万倍,得36,然后再在36的末尾添上“万”字,这样,原数的大小实际上没有改变。即360000=36万;再如,把402500000改写成以“亿”为单位的数,就是先把402500000缩小一亿倍(即把小数点向左移动八位),得4.025,然后再在4.025的末尾添上“亿”字,这样原数的大小没有改变,即402500000=4.025亿。

省略一个多位数“万”或“亿”后面的尾数,是按一定的要求去掉尾数,它既改变了这个多位数的计数单位,也改变了这个数的大小,省略尾数后,得到的数是原来多位数的近似数,所以要用“≈”连接。例如,省略806000这个数万后面的尾数,通常用“四舍五入”法写成806000≈81万;再如,省略748009000元这个数亿后面的尾数,应写成748009000元≈7亿元。

这里要注意的是,无论是“改写”还是“省略尾数”,在所得数的后面都要写上相应的计数单位“万”或“亿”。如果原数后面还带有计量单位名称,在所得数的后面同样要写出来。

“1”的意义与作用

1. 1是自然数中最小的一个,1再加上1就得到自然数2,2再加上1

就得到自然数3,等等。2. 1是自然数的单位,任何一个自然数都是由若干个1合并而成

的,如498,就是由498个1组成的。3. 1只有一个约数,就是它本身,所以1既不是质数,也不是合

数。4. 公约数只有1的两个数,可以判断是互质数。5. 一个数(0除外)与1相乘,仍得原数。6. 一个数(0除外)除以1,仍得原数。所以1可以整除所有的自然

数,它是一切自然数的约数。7. 同数相除(0除外)得1。8. 任何自然数都可以改写成分母是1的假分数。如5=9. 因为互为倒数的两个数乘积是1,所以用1除以一个数,就得到

这个数的倒数。如8的倒数是10. 在分数里,1可以作为单位“1”,表示由一些物体组成的整体。

如一个国家的人口,一堆小麦的重量,一条公路的长度,一筐苹

果的个数……均可以看做单位“1”。

“0”的意义

在实际生产和生活中,通常用“0”表示没有。例如,电视机厂生产了一批彩电,经检验没有不合格的,那么不合格产品的个数就用“0”表示。又如,屋里一个人也没有,这屋里的人数就是“0”。

但是“0”的意义不仅仅表示没有,它还可以表示其他的意义。例如:

1.表示起点。我们二年级就开始学习用米尺去量一支铅笔的长度,要把铅笔的一端对准米尺上标有“0”的起点处,然后再看铅笔的另一端所指的刻度,这时就可以知道铅笔有多长。这样量既准确又简便。

又如,当我们学习了24时记时法,我们就用0点作为第二天的开始时刻。

2.表示数位。例如一个学校有学生840人,这里“840”中的“0”是不能随便去掉的,因为“0”同样占有一定的数位,如果去掉“0”,变成“84”人,就错了。又如,我们在三年级学习一位数除多位数时,就知道商不够1,用“0”占位的道理,如312÷3=104。再如,我们四年级学习小数时就知道,把一个小数的小数点向左右移动时,若位数不够,一定要用“0”补足。如“把3.5扩大1000倍”,就要把3.5的小数点向右移动三位得到“3500”;“把3.5缩小1000倍”,就要把3.5的小数点向左移动三位,得到“0.0035”,在整数部分还不能忘记写0。

3.表示精确度。当我们取近似数需要表示精确度时,小数末尾的“0”是不能随意去掉的。例如,要把4.795保留到百分位(即保留两位小数)应得4.80。又如,加工两个零件,要求一个零件长35毫米,另一个零件长35.0毫米,前者表示精确到1毫米,后者表示精确到0.1毫米。显然后者比前者的精确度高。

4.表示界限。“0”还可以表示某些数量的界限。例如,气温有时在摄氏0度左右。摄氏0度是不是表示没有温度呢?当然不是。它是指通常情况下水开始结冰的温度。在摄氏温度计上“0”起着零上温度和零下温度的分界作用。到中学学正负数时,会知道“0”既不是正数,也不是负数,而是惟一存在的中性数,是正数和负数的分界。

5.用于编号。车票、发票等票据上的号码,往往有“00357”等字样,表示357号。之所以要在“357”前面添上两个“0”,是表示印制这种票据时,最高号码是五位数,以便今后查核。

6.记账需要。在商品标价和会计账目中,由于人民币的最小单位是“分”,在书写时习惯上保留两位小数。例如三元五角往往写成3.50元,不写成3.5元。“0”除了表示以上这些意义外,还有许多特性,如“0”没有倒数,“0”的相反数是0,单独的一个0不是一位数……

防止商中间和末尾丢0

有些同学在做除法时,遇到商中间和末尾有0的除法,往往会把0漏掉,造成计算错误。如何防止这种错误的产生呢?

1.数位对齐。列除法竖式计算时,要注意商和被除数的位置要对齐。如百位商,应该写在被除数的百位上;十位商,应该写在被除数的十位上……这样,商的每一位对号入座,不会错占位。

2.哪一位上不够商1,就用0占位。

例如:68238÷34=2007

解:本题百位上不够商1在百位写0;十位上还不够商1,在十位上也要写上0。就是说,哪一位上不够商1,就在那一位上用0占位。

3.根据商的最高位,确定商是几位数。如果商的最高位是万位,那么商一定是五位数,如果商的最高位是千位,商一定是四位数……这样就可以与计算商的结果进行对照,若发现错误,及时纠正。

例如:829104÷138=6008

解:商的最高位是千位,所以商一定是四位数,如果算出商是608,显然错了。

4.检查、验算。计算结束后除了根据上面的要求,一一进行检查外,还可以通过验算进一步检查。如,2760÷23商应该是120。这可以通过乘法来验算:120×23=2760,积等于原被除数2760,表明商正确。如果算出商是12,一方面可通过上面第三点查出位数不对,另一方面,可通过乘法验算:12×23=276,查出商末尾丢掉了0。

总之,只要我们认真计算,学会检查的方法,就能较好地防止商中间和末尾丢0。

“0”不能做除数

这个问题,我们可以根据乘除法的关系从以下两方面来分析、理解。一方面,如果被除数不是0,除数是0,比如5÷0=?根据“被除数=商×除数”的关系,求5÷0=?就是要找一个数,使它与0相乘等于被除数5。我们知道,任何数与0相乘都等于0,而绝不会等于5。这就是说,被除数不是0,除数是0,商是不存在的。

另一方面,如果被除数和除数都是0,即0÷0=?,就是说要找一个数,使它与0相乘等于0。前面已说过,任何数与0相乘都等于0,与0相乘等于0的数,有无限多个,所以0÷0的商不是一个确定的数,这就不符合四则运算的结果是惟一的这个要求,所以0÷0也是没有意义的。

根据上述两种情况可以看出“0”是不能做除数的。

规范日期的国际写法

世界各国用阿拉伯数字写年、月、日的方法很不统一,如1995年6月15日,美国习惯写成:6/15/1995;最近,国际标准化组织公布了新制定的统一的规范日期国际写法,即依照年、月、日顺序书写,但一位数的月、日前要加“0”,例如1995.06.15。

什么叫集合

集合是数学中的基本概念之一,它是现代数学的基础。小学数学教材中渗透一些集合的思想,可以加深学生对基础知识的理解。例如,让学生把实物或者图形进行分类;把具有某种特征的数或图形用一条封闭的曲线圈起来等。那么,究竟什么叫集合呢?

在数学中,集合(也简称集)是指某一类事物组成的整体。构成集合的各个事物叫做这个集合的元素。例如,“长江小学的全体学生”可以构成一个集合。长江小学的每一名学生都是这个集合的元素。

集合有以下几个属性:1. 集合是指某一类事物的全体,而不是指其中任何个别事物。上面

例子所说的集合,就是指全部长江小学学生构成的一个整体。2. 一个集合必须有其确定的范围。3. 一个集合中的元素是互不相同的。相同的事物归入一个集合时,

只能算作这个集合中的一个元素。4. 集合只与组成它的元素有关,而与其元素的顺序无关。

什么叫“海里”

海里是海上计量距离的单位。在航海上,原规定地球子午线上纬度1分的长度为1海里。可是,由于地球的实际形状是一个两极略扁的椭球体。因此,在不同纬度处其1分的长度略有差异。作为计量单位随纬度的变化而变化,应用起来是很不方便的。各国根据自己地理位置和航海活动的需要,各自规定1海里的长度值。在我国,采用1852米为1海里的长度值。

数和数字是一回事吗

同学们,你知道8是数还是数字呢?这个问题可不是用“是”或“不是”能回答得清楚的。

我们知道,电话机的拨号盘上共有1,2,3,4,5,6,7,8,9,0这十个数码,用这十个数码的某几个,就可以组成任意的电话号码。我们把1,2,3,4,5,6,7,8,9,0这十个数码叫做数字。把数字按一定的要求规则排列起来,这些数字就组成了数。如就数1,2,253而言,1和2都是由一个数字组成的数,而253是由2,5,3这三个数字组成的数,它表示两个一百、五个十和三个一的和。数字虽然只有十个,但数的个数却有无数多个,如我们学过的小数2.53、分数等等;到了中学,我们还将学到负数,如-,-2.53等等。

通过上面的分析,我们应该明白数与数字的关系了吧。那就是:数由数字来表示,数字是构成数的基础,没有数字就反映不出数量。离开数去讲数字,数字就只起记号作用,而没有了确切、实际的意义了。

我们现在可以回答前面提到的问题了:如果是在数、量物体中得到的,那8就是数;如果是作为单独存在的一个书写符号时,那8就是数字。

“数的分级”与“数的分节”

数的分级是按照我国的计数习惯,从个位起向左每4位定1级:个级,表示有多少个1;万级,表示有多少个1万;亿级,表示有多少个1亿。读数时,自高位起一级一级地读。例如,978635828,按照数的分级法,先把它分成三级,先读亿级,再读万级,最后读个级,即读成九亿七千八百六十三万五千八百二十八。

数的分节是按照国际上的习惯,从个位起向左每三位加上一个分节号“,”,把一个数分成几节,然后从第一个分节号左边定千位,第二个分节号左边定百万位,第三个分节号左边定十亿位。可以归纳为“分节号前边,十亿、百万、千”,使我们能够从高位起一级一级地读出一个多位数。

由此可见,数的分级是读写多位数的依据,而数的分节则是帮助我们正确迅速地读写多位数的一种方法。

名数与不名数

我们先从什么是名数谈起。量(liàng)是我们周围事物中可以测定比较的对象,如重量、长度、面积、体积、温度等等。用一个计量单位去度量(liáng)同类量(liàng),其结果含有计量单位的若干倍,这个若干倍的数值就叫做这个量的量数。如课本的长是18厘米,即用1厘米去度量课本时,得出它是1厘米的18倍,这里的18就是量数。

量数和计量单位名称合起来,叫做名数。如课本的长度18厘米就是名数。这里的18是量数,而厘米是单位名称,所以,18厘米是名数,同样,3吨50千克也是名数。

数是数物品的结果。因此,名数根本就不是数,也不能把它说成是一类特殊的数。

同样,把名数说成是带单位的数也是错误的。名数只是量数与单位名称的合成而已。

至于不名数,这是相对名数的一种俗称。实际上指的就是数。

记数的位值原则

在记数中,我们规定数位顺序是从右边起,第一位是个位,第二位是十位,第三位是百位……个位上的数表示几个一,十位上的数表示几个十,百位上的数表示几个百……记数时,按从左到右的顺序分别用阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0中的数字记出各个数位上的数。如记五百三十二,就先在百位上写5,再在十位上写3,最后在个位上写2。

这样,数字在记数中有本身的数值,如1表示1个单位,2表示2个单位,3表示3个单位……还有位置值,即每个数字所在的位置不同,则其表示的数就不同。如4记在个位上表示4个一,而记在十位上则表示4个十。这种数字与数位相结合的记数原则叫位值原则。

什么叫做“小数”

小数由整数部分、小数部分和小数点组成。当测量物体时往往会得到的不是整数的数,古人就发明了小数来补充整数。

小数是十进分数的一种特殊表现形式。分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。所有分数都可以表示成小数,小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数。无理数为无限不循环小数。

根据十进制的位值原则,把十进分数仿照整数的写法写成不带分母的形式,这样的数叫做小数,小数中的圆点叫做小数点,它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号,小数点左边的部分是整数部分,小数点右边的部分是小数部分,整数部分是零的小数叫做纯小数,整数部分不是零的小数叫做带小数。例如0.3是纯小数,3.1是带小数。

要了解小数的意义,可从分数的意义着手,分数的意义可从子分割及合成活动来解释,当一个整体(指基准量)被等分后,在集聚其中一部份的量称为“分量”,而“分数”就是用来表示或纪录这个“分量”。例如:2/5是指一个整数被分成五等分后,集聚其中二分的“分量”。当整体被分成十等分、百等分、千等分……等时,此时的分量,就使用另外一种纪录的方法——小数。例如1/10记成0.1、2/100记成0.02、5/1000记成0.005……等。其中的“.”称之为小数点,用以分隔整数部分与无法构成整数的小数部分。整数非0者称为带小数,若为0则称纯小数。由此可知,小数的意义是分数意义的一环。

小数的读法有两种:一种是按照分数的读法来读,带小数的整数部分按整数读法读;小数部分按分数读法读。例如:0.38读作百分之三十八,14.56读作十四又百分之五十六。另一种读法,整数部分仍按整数的读法来读,小数点读作“点”,小数部分顺次读出每个数位上的数字。例如:0.45读作零点四五;56.032读作五十六点零三二。

小数大小的比较方法与整数基本相同,即从高位起,依次把相同数位上的数加以比较。

因此,比较两个小数的大小,先看它们的整数部分,整数部分大的那个数大;如果整数部分相同,十分位上的数大的那个数大;如果十分位上的数也相同,百分位上的数大的那个数大。

因为小数是十进分数,所以有下列性质:

①在小数的末尾添上零或去掉零,小数的大小不变。例如:2.4=2.400,0.060=0.06。

②小数点移动会引起小数大小发生变化。把小数点分别向右移动一位、二位、三位……则小数的值分别扩大10倍、100倍、1000倍……例如:把7.4扩大10倍是74,扩大100倍是740……

如果把小数点分别向左移动一位、二位、三位……则小数的值分别缩小到原来的十分之一、百分之一、千分之一……例如:把7.4缩小到原来的十分之一是0.74,缩小到原来的百分之一是0.074……

保留小数:按要求在舍去部分最高位进行四舍五入运算。

无限不循环小数只能用小数表示不能用分数表示,而所有的有限小数和无限循环小数均能用分数表示,小数分为有限小数和无限小数,有限小数如1/5,无限小数包括无限不循环小数(如0.010010001……)和无限循环小数(如1/3)。

有理数是能精确地表示为两个整数之比的数。

如3,-98.11,5.72727272……7/22都是有理数。

整数和通常所说的分数都是有理数。有理数还可以划分为正有理数,0和负有理数。

在数的十进制小数表示系统中,有理数就是可表示为有限小数或无限循环小数的数。这一定义在其他进位制下(如二进制)也适用。

小数乘以整数:把小数乘法转化成整数乘法计算。

先把小数扩大成整数,按照整数乘法去计算,因数扩大了多少倍,积就要缩小多少倍。

积的小数位数与被乘数的小数位数有关,被乘数有几位小数,积就有几位小数。因为要把小数乘法转化成整数乘法,被乘数扩大了多少倍,乘数不变,积也随着扩大了多少倍。因此必须再把积缩小多少倍。

计算小数乘以整数,先按照整数乘法的计算方法算出积,再看被乘数中有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。

“几何学”的产生

几何学的诞生,首先来源于实践。

3000多年前的尼罗河,年年泛滥成灾,汹涌的洪水淹没沿河两岸的土地。洪水退后,年年都得重新测量土地,逐渐形成了几何知识。几何学这个名词,在希腊文中就是“量地术”的意思。古埃及的皇帝叫“法老”,金字塔就是法老的坟墓。尼罗河三角洲南面,有70多座金字塔,人们在建造这些巨大建筑物的过程中,也积累了丰富的几何学知识,后来发展成为一门独立的学科,被誉为“理智的财富”。在古希腊,人们十分重视几何学的研究,当时一个人若不懂几何学,就不能认为是有学问的人。

我国是文明古国之一,几何上的成就也很多,如商高定理、祖冲之圆周率、刘徽割圆术等等,都比西方国家要早得多。

大约在公元前300年,古希腊数学家欧几里德把几何知识加以系统地整理,写了一本书,叫做《几何原本》,后来译成多国文字,今天各国的学校里讲授的几何学的主要内容,也是来自欧氏几何学。

明代万历三十五年(1607年),我国科学家徐光启与意大利传教士利玛窦合作翻译了《几何原本》的前六卷。徐光启利用英文几何一词即geometry的字头geo音译为“几何”,而汉文“几何”的意义是“多少”,这个译名与原名的音与义都很贴切,译得很好。于是,“几何学”开始在我国广泛使用。

世界上最大的质数

1992年,在质数研究方面,国际上又有重大突破。

3月26日,英国科学家用超高速计算机,发现了到目前为止的最756839大质数,即2-1。

这个质数拥有227832位,个位数字是7。它将被载入《吉尼斯世界纪录大全》。

单位和单位名称的区别

人们在计量物体的重量、长度、体积等时,要有一个量作标准;在计算数值或比较数值的大小时,也要有一个数值作标准。这些用作标准的量或标准的数,统称为单位。例如:米、厘米、分米是计量物体长度的单位;吨、千克、克是计量物体质量的单位;1是自然数的单位;是分数的单位等等。单位的作用很多。例如:单位相同,才能进行数的加减计算。整数相加减数位一定要对齐,小数相加减小数点一定要对齐,分数相加减,是异分母的,一定要先通分才能运算,就是这个道理。例如,53+4,5和4不能相加,因为5的单位是10,而4的单位是1;6-3.58,6与5不能相减,因为6的单位是1,而5的单位是十分之一;加法的单位不同,不能直接相加,必须先通分,两个分数的单位相同了,就可以相加。在比和比例的运算中,单位也要统一,如3小时和50分的比,就不能写成3:50,必须化成同单位的比即180:50或3:,才能进行化简和求比值的运算。

在计量、计数运算中作标准的那个量和那个数值,都有个名称,这个名称就叫单位名称。如十、百、千、万等是整数的单位名称;十分之一、百分之一等是小数的单位名称,千克、克等是物体质量的单位名称。特别要注意的是,在计量物体的长度、质量、面积等时,只能用各种不同的计量单位去计量,不能用“单位名称”去计量。如只能说某同学漏写了单位名称或写错了单位名称,而不能说忘了写“单位”了。实际上,忘记“单位”是不能运算的,没有“单位”也是不能计量的。

体积和容积的区别

同学们从课本上可以看到,物体所占空间的大小叫体积;而箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,叫做它们的容积或容量。

显而易见,容积与体积有着紧密的联系。因为容积是箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,所以计量容积时的计算方法与所使用的计量单位,跟计量体积基本上是一样的。

但是,体积与容积还有诸多不同之处。首先,从概念上看,对空体(即中间是空的物体如箱、桶、罐一类)来说是容积,对实体来说是体积;从计量方法上看,计算物体体积时要按容器的外部尺寸计算,计算物体容积时,由于容器有一定的厚度,因此,要按内部尺寸计算;从所使用的计量单位看,计算体积使用的是立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米,计算容积时,一般也使用这些单位,但容积还有自己的计量单位——升和毫升,这是在计算物体体积时所不能使用的,它只限于计量液体(如水、油、药水、墨水等)时使用。

例如:用厚2厘米的木板做一个外长80厘米、宽60厘米、高40厘米的长方体带盖木箱。试求:1.这个木箱占空间大小是多少?2.这个木箱容积是多少?

解:求这个木箱占空间大小是多少,就是求这个木箱的体积:

80×60×40=192000(立方厘米)

求这个木箱的容积,应在木箱的长、宽、高中减去木箱的厚度:(80-4)×(60-4)×(40-4)=153216(立方厘米)

答:1.木箱所占空间大小是192000立方厘米。

2.木箱的容积是153216立方厘米。

从上面的例题可以看出,在计算实际问题时,要区别是求体积还是求容积,不能把求体积和求容积混为一谈。

直线、线段、射线的区别

直线——一点在平面上或空间沿着一定的方向和它的相反方向运动所成的图形叫做直线。我们在中年级时初步形成直线的概念,即“把一条线拉紧,就成一条直线。”直线可以向两个方向无限延长,因此,直线是不可度量的。

线段——直线上任意两点之间的一段叫做线段,线段是直线的一部分,这两点叫做线段的端点,线段是可以度量的。

射线——是指在直线上某一点一旁的部分。课本上初步介绍了射线的定义,即“把线段的一端无限延长就得到了一条射线。”射线只有一个端点,另一方向可以无限延长,因此射线也是不可度量的。

一把随身带的方便尺子

为了到实地去测量,首先需要有一把方便的尺子,这把尺子就在你自己身上,随身带着。例如:你量量自己中指宽大约是1厘米,手掌宽大约是7厘米。又如人们常用的“一拃”(zhǎ),它是指大拇指与中指之间的最大距离。

一拃的长度是因人而异的,有的人约是18厘米,有的人约是16厘米……再如人们常用的“一庹(tuǒ)”,即两臂左右平伸,掌心向前时两中指尖之间的距离。一庹的长度也是因人而异的,有的人约是115厘米,有的人约是123厘米……还有人们最常用的“一步”,即一只脚的脚尖到另一只脚的脚尖之间的距离。一步也叫做一“自然步”。因为人有高矮之别,步也有大小之分。有的人一步长约是64厘米,有的人约是72厘米……你身上的这把尺子要在日常生活中充分运用起来。

“除”和“除以”的区别

下面这道算式应该怎么读?450÷15。是的,这道算式既可读成450除以15,又可读成15除450。但是,千万不能读成15除以450(或450除15),那样,就大错而特错了。“除”字有“等分”的意思。15除450也就是说15等分450,也可读成450被15除。“除以”的“以”含“用”的意思。450除以15也就是说450用15去分。“除”和“除以”仅一字之差,其意思却截然相反。同学们可不要轻视这一字之差哟。

“乘”和“乘以”的区别

我们知道乘法有交换律:两个数相乘,交换乘数与被乘数的位置,它们的积不变。即:ɑ×b=b×ɑ。如此看来,区分“乘”或“乘以”是毫无意义的吗?

要回答这个问题,首先要明确乘法的意义。在小学阶段,乘法有两种意义,一种是求几个相同加数和的简便运算。一般规定,相同的加数作被乘数,相同加数的个数作乘数。另一种是把一个数扩大若干倍数,其中这个数作被乘数,扩大的若干倍数作乘数。因此,对初学乘法的人来说,如果不能正确区分“被乘数”与“乘数”,就不能理解“乘”和“乘以”的概念,所以也就不能正确运用乘法的意义来解题了。

概念的形成有一定的阶段性。在把数量更进一步抽象化以后,我们也可以不再区分“被乘数和乘数”,而把它们统称为“因数”。

“增加了”和“增加到”的区别

在学习应用题时,我们常会遇到“增加了”、“增加到”等术语,这些术语虽然只有一字之差,但其意义却大不相同。

例1:一个工地用5辆汽车来运石头,每辆汽车一天可运10吨石头。后来又增加了同样的汽车2辆,每天可运多少吨石头?

解:(5+2)×10=70(吨)

答:每天可运70吨石头。

例2:某机械厂原来每年可生产车床3000台,采用新技术后,每年生产的车床比原来增加了43%,现在每年生产车床多少台?

解:3000×(1+43%)=4290(台)

答:现在每年生产车床4290台。

从上面的例子可以看出,“增加了”是指在原数的基础上增加的部分,不包括原数在内。与“增加了”说法相同的还有“增加”、“增长”、“增长了”、“多”、“多了”等等。在应用题数量关系中不涉及倍比关系时,“扩大”、“扩大了”与“增加了”也是同一个意思。

例3:一个学校原有学生500人,现在的学生已增加到700人,比原来多多少人?

解:700-500=200(人)

答:比原来多200人。

例4:某机械厂原来每年生产车床3000台,采用新技术后,每年生产的车床增加到原来的143%,现在每年生产车床多少台?

解:3000×143%=4290(台)

答:现在每年生产车床4290台。

从上面的两个例子可以看出,“增加到”是指在原数的基础上加上“增加了”的数所得到的总和,包括原数在内。与“增加到”说法相同的还有“增长到”、“增长为”、“提高到”、“提高为”、“增加为”、“达到”等。当应用题中数量关系不涉及到倍比关系时,“扩大到”与“增加到”也完全是一个意思。

和“增加了”、“增加到”一样,“降低了”、“降低到”等的意思也是不同的。同学们可以自己思考一下。

什么叫一一对应

如果集合A中每一个元素都与集合B中的每一个元素对应,反过来,集合B中的每一个元素都与集合A中的每一个元素对应,那么称集合A与集合B建立了一一对应。例如,当电影院里的每一个座位都有一个观众,反过来,每一个观众都有一个座位,那么,电影院中座位的集合与观众的集合建立了一种一一对应关系。

解数学题一般有哪些步骤

做任何事情,都有一个从准备、进行到完成的过程,解数学题也是如此。一般来说,解数学题有下列四个步骤:1. 审题。即通过仔细读题来弄清楚:这是一道什么样的题?题的结

构如何?题中的已知条件是什么?题中的问题或要求是什么等

等。2. 分析。即在审题的基础上,弄清楚条件与条件以及条件与问题之

间的联系或关系,并根据要求分析解题途径,探求解题方法,从

而实现由已知向未知的转化。分析的基本思路一是回忆,二是推

想。如回忆有关的定义、定律、性质、法则、公式,联想有关的

典型问题的解法和注意事项等等,以确定如何解题。推想则是对

解题途径的推测和尝试。3. 叙述。即做好上述两项工作以后,把解题付诸实践,也就是按照

解题要求写出解题过程。这一步是同学们经常做的工作。4. 检验。即对解题过程进行复核、验算。如审题是否失误?公式是

否用错?运算是否正确?格式是否符合要求等等。

同学们,你在解题时是按照上述步骤进行的吗?

四则混合运算的顺序,为什么要规定“先乘除,后加减”。

对于运算顺序的这一规定,是基于以下两个原因:一是在实际计算中需要先乘除后加减的问题比需要先加减后乘除的问题多,这一规定可大大减少使用括号的麻烦,使运算简便。二是从数学发展史来看,加减是数量变化的低级形式,乘除是高一级的形式。“乘法是递加同一数的简便算法,除法是递减同一数的简便算法”。因而乘除比加减简便、迅速、计算效率高,所以就产生了尽量运用乘除的规定。

解答应用题的八把“钥匙”

小学数学中的应用题,既是重点,又是难点。怎样学好解应用题呢?这里交给你8把“钥匙”。

第一把“钥匙”——顺推法。这是最常用的一种分析思考方法,即从题目的已知条件出发,一步步推算,直到求出要求的结果。这一方法也就是所谓的综合法。

例如:红花村共种向日葵4500棵,平均每棵收葵花籽0.4千克。如果葵花籽的出油率是35%,那么,这些葵花籽能出油多少千克?

用顺推法本题的思考过程如下:1. 已知每棵收葵花籽0.4千克,一共种4500棵,求一共收多少葵花

籽?2. 已知葵花籽的出油率是35%,和一共收的葵花籽数,求一共出多

少油?

列出综合算式:0.4×4500×35%

=630(千克)

第二把“钥匙”——倒推法。与顺推法相反,倒推法是从应用题的问题出发,一步一步倒着分析推理,寻找解决问题需要知道的条件,直接解决问题。倒推法也就是所谓的分析法。

例如:有765克同样规格的铁钉,取出5只后,剩下的重750克,问原来这堆铁钉有多少只?

用倒推法思考本题的过程如下:1. 原来这堆铁钉的只数=铁钉的总重量÷每只铁钉的重量2. 每只铁钉的重量=取出铁钉的重量÷取出铁钉的只数3. 取出铁钉的重量=铁钉的总重量-剩下铁钉的重量

列出综合算式:765÷[(765-750)÷5]=255(只)

第三把“钥匙”——图解法。把题中的条件和问题用图像具体形象地表示出来,以便于理解和分析题中的数量关系,寻找解题方法。

例如:宋庄合作商店原有400千克白糖,卖出去310千克,现在又运来3袋,每袋100千克。这个商店现在有多少千克白糖?

列出综合算式:(400-310)+100×3

=390(千克)

第四把“钥匙”——假设法。当应用题数量关系较复杂时,可将题中的某一个条件假设成已知条件,促使题目中隐藏的数量关系变明朗,复杂的条件变单一,再与其他的已知条件配合,使问题顺利得到解决。

例如:某校一、二、三年级共有学生404人,一年级比二年级少6人,三年级比二年级多8人,三个年级各有多少人?

以二年级人数为标准,则(404+6-8)人,恰好是二年级人数的3倍,则二年级人数为(404+6-8)÷3=134(人)。由此可分别求出三年级和一年级的人数。

第五把“钥匙”——对应法。分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率,也就是一个数量相当于单位“1”的几分之几,这种关系叫对应关系。找对应关系的方法,叫对应法。

第六把“钥匙”——转化法。把一个数学问题通过数学变换,转化成另一个数学问题来处理。

第七把“钥匙”——列举法。用一定的方法一一列举问题的答案。有顺序列举和分类列举两种。顺序列举可借助列表和画图来进行。分类列举即按照对象的性质,分成不同的几类,对每一类一一列举。要注意,不重复,不遗漏。

例如:有一张道路图如下,每段路上的数都是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从A出发走到B,最快需要几分钟?

列举从A走四段路到B的路线(多于四段的无须考虑)它们有六条,所需时间依次为:

A➝H➝D➝G➝B,14+6+17+12=49;

A➝H➝O➝G➝B,14+13+10+12=49;

A➝H➝O➝F➝B,14+13+5+18=50;

A➝E➝O➝F➝B,15+11+5+18=49;

A➝E➝C➝F➝B,15+7+9+18=49;

A➝E➝O➝G➝B,15+11+10+12=48。

走哪条路最快?显然是上面最后一条。

第八把“钥匙”——类比法。数学知识是有内在联系的。如果要解问题甲,而问题甲与问题乙很相似,而问题乙是你所熟悉的,那么就可以使用解问题乙的方法来解问题甲。同学们,你们能举出例子来吗?

试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]

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