作者：吴正宪
出版社：华东师范大学出版社
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听吴正宪老师评课(大夏书系)试读：
前言
做了近20年的教研员，评课成了我的工作中重要内容之一，也是我的教研工作中重要的经历。我时常回忆起与教师们一起听课、评课的情景，那些别开生面的互动评课让人难以忘怀，它曾带给我和团队成员们许多思考和启迪。有一位团队成员问我：“老师们观课后很想听到评课，很想知道课为什么这样设计。能不能把您评课的内容梳理出来，让我们一起分享对数学教育的理解和感悟呢？”能把自己听课的体会以及对数学教学的见解和感受与老师分享、交流，是我很乐意做的事情，于是我的团队成员们开始收集整理材料，逐步形成文章。
我时常在思考，为什么要评课？谁来评课？怎样去评课？在课程改革的背景下评课又有什么新的内涵？
顾名思义，评课即评价课堂教学，是对一节课效果的评价。传统意义上的评课更多侧重于对教师的评价，侧重于对教材教法的评价，侧重于对课堂教学效果的评价。随着课程改革的深入，随着教与学方式的优化，评课的方式和作用也随之发生了改变。
多年来我们不断探索评课的方式、方法，通过实践我们认识到，评课不仅要研究教材教法，更要研究教育思想；不仅要研究教师的教，还要研究学生的学。评课是在听课活动结束之后的教学延伸，评课不是一人说了算，而是要引发教师们参与，要互动评课，要从多角度来思考课堂教学。此外，教师还要用心研究学生，通过学生的需求来反思自己的课堂教学。
因此，评课应该成为促进教师交流、共享智慧的重要手段，以帮助教师更新教育理念、研究教学方法、提高执教能力和教学质量。
在评课中，我们关注了三个方面：一是注重对学生的课后访谈，倾听来自学生的声音，让学生参与评课，以学生的视角评价教师的课堂教学，以学论教。二是注重与教师对话，使教师在交流与思考中互相启发，提出好的观点、好的方法，教师既是智慧的分享者又是智慧的奉献者。三是注重方向引领，评课不应仅仅着眼于一节课在技术层面的设计，更要引领教师对课堂教学背后的教育理念及数学教育价值的讨论，使评课成为促进教师专业发展的有效途径。
本书主要从以下三个方面与大家分享、交流。
第一部分主要通过对一节课或一个教学片段的点评，引导教师对“准确制定课堂教学目标、整体把握教材、有效教学活动设计、师生互动、学生主动参与”等方面进行思考。
第二部分记录了我与教师在课后的对话式评课。我一直认为教师是重要的教学资源，教师的自我评课反思很重要。每位教师在教学实践中都有许多印象深刻的故事，都有自己的教学理念和方法。对话式评课集中了教师的思想和智慧，是对评课的丰富，是对教学资源的共享。通过与教师的对话，我得以了解教师在教学中真实的想法和困惑，这样的评课针对性强，也促进了教师的主动反思。
第三部分记录了我与学生的互动式评课。这是我们多年来一直坚持的一种评课方式，即通过课后对学生的即时现场访谈，从学生的视角评价课堂教学，使学生成为评课的重要资源。来自学生的感受是最真实的，带给教师的思考也是更深刻的。当然，课后访谈的问题需要精心设计，需要访谈者有准确的洞察力和敏锐的捕捉力，以及对课堂生成的准确把握。对学生的访谈会带给教师深刻的思考，从而有效地改进课堂教学。
我们期待着这本书能够引发读者对数学教育价值、对有效课堂教学实践与评价等问题的再思考和讨论。在此我衷心地感谢张铁道博士对丛书的统筹谋划和思想引领，感谢范存丽、武维民老师带领团队成员们在梳理过程中所做出的努力，感谢华东师范大学出版社为我们的团队提供研究平台，感谢编辑任红瑚为本书写作所提供的建议和帮助。
由于学识有限，再加上时间仓促，本书难免会有一些问题和疏漏之处，敬请各位读者包涵与指正。吴正宪2012年7月第一辑吴正宪眼中的课堂多年来，吴正宪老师作为教研员经常走进学校，深入基层听课、评课，与教师、学生交流对话。不管是繁华的都市，还是边远的山村都留下了她的足迹。吴老师用她对教育事业的热爱与激情，用她对儿童数学教育的理解和教育智慧，生成了一节节精彩的数学课，一个个“好吃又有营养”的专题报告，尤其是她对一线数学教师课堂教学的现场点评给大家留下了深刻的印象。她的点评里不仅有理念的诠释，还有操作的指导，更有方向的引领。教师们从她的评课中汲取着营养，并为她的人格魅力所感染和影响着。在吴老师的评课中，老师们感悟着吴老师的教育智慧和人格魅力；体悟着什么叫“专业地读教材，用心地读学生，智慧地读课堂”。1.让恰到好处的提问成为课堂教学的“催化剂”——评薛铮老师执教的《三角形的分类》
在课堂教学中，老师们普遍很重视课堂教学提问，但是教师的提问以记忆性问题、判断性问题居多，而思考性问题、批判性问题少之又少。“高密度、低水平”的提问屡屡出现，在课堂中形成了老师不断地问，学生不停地答，师生忙得不亦乐乎的情形。课堂中如何设计提问呢？我们来看看北京黄城根小学薛铮老师上的一节《三角形的分类》。【片段一】
教师出示8个三角形。
师：今天，我给大家带来了形态各异的三角形，要想进一步研究它们，可以采取什么样的方法？
生1：测量。
生2：比较。
生3：分类。
师：今天，我们就运用分类的方法进一步研究三角形（板书课题）。【片段二】
教师提出合作要求：
1.先确定分类的标准，再分类。
2.试着把每一类的独特之处表示在图上。
学生按角分类的结果如下：
师：请同学们观察他们画在图上的小标记，为什么在锐角三角形中要把三个角都画上呢？
生：因为其他两类三角形中也有两个锐角。【片段三】
师（指3号图形）：谁能上来指指这个等腰三角形的各部分名称？
一名学生顺利指出三角形的各部分，当遇到顶角时，该学生歪着头看着这个“躺着”的三角形，挠着头问道：“老师，我怎么找不着顶角了呀？”【片段四】
师：下面我们就利用这些知识，帮助小蚂蚁找到进洞的线路。
1.把答案画在书上。（教师点名要求学生汇报）
生：图形1和“等腰三角形”连，还和“锐角三角形”连。
师：一个三角形怎么会有两个名字呢？
生：因为它既符合等腰三角形的特征，也符合锐角三角形的特征。
师：看来，观察三角形角度不同，名称也就不同。
……
2.猜图形。（1）露出一个直角。（2）露出一个钝角。（3）露出一个锐角。（练习难度不断加大，学生们相互补充着）
生1：可能是锐角三角形。
师：上面两个图形只露出一个角，你就敢判断，为什么第3张图你就不敢判断它一定是什么三角形呢？
生2：它可能是直角三角形。
生3：还可能是钝角三角形。
生4：还可能是等腰三角形。
师：为什么没有人猜是等边三角形呢？
生5：不可能是等边三角形，它的这个角小。（教师顺手摘下了贴在黑板上的等边三角形中的一个角与它进行对比。这时，喜羊羊躲开了。利用多媒体的直观性验证了学生们的想法）（4）露出两个一样大的角。
生1：它一定是等腰三角形。
生2：它可能是锐角三角形。
师：它为什么不会是等边三角形？（一石激起千层浪）
生3：因为这个三角形的两条边不可能很快相交。
师：你怎么知道的？
生3：我想的，这两条边敞得比较大，延长后不会很快相交。（学生边说边比划）
生4：老师，它不可能是等边三角形，等边三角形的三个角都是60度，我可以用等边三角形的一个角去跟这个角比一比。（说着，学生马上走到前面用黑板上的等边三角形纸片，去测量它的角是不是60度）（5）三根小棒摆三角形。
出示：5厘米、6厘米、6厘米的小棒。
喜羊羊：“可以围成什么三角形？”
师提示：按角想，会是什么三角形？（结合老村长的提示，学生再次展开想象的翅膀）
电脑演示：
师（指两条腰）：如果这两条边是6厘米呢？
生：顶角会比刚才尖一点。
教师再次发挥电脑优势，进行直观演示：
师：如果底边不变，这两腰变成7厘米、9厘米呢？
教师继续引导学生想象：两腰的长度不变，底边变化了又会怎么样？吴老师评析
回顾薛老师的课堂，以下几点给我留下了深刻的印象：1.以问题呈现的方式开门见山地引入新课
上《三角形的分类》这节课时，很多老师运用大量图片，比如自行车的模型图、奥运会的鸟巢等。还有些老师为了突显分类，在屏幕上呈现了满满一屏图形，先分成立体和平面两种图形，再分成直边围成的和曲边围成的，接着分成四条边围成的和三条边围成的，最后聚焦到三角形，开始本课的教学。按说从生活中来，这是新课标所提倡的，可以让学生体会到三角形在生活中的价值，但联系教学内容和学生已有知识基础来看，在学习上一节课时，就是从生活中、模型中“拖”出了几何中的三角形，而学生从一年级就已经开始学习分类了，本节课没有必要再对此大做文章，所以这节课老师以问题呈现的方式开门见山地入课，干净利索，教学的设计有取有舍，显出了老师的智慧。2.巧设核心问题，促进学生认知发展
我们常说：细节决定成败。这节课巧在细节，薛老师的教学很细腻，借助合作，引领孩子们直奔主题，节省了时间。通过画“标记”将思考活动外显，其独特之处在于引领学生在画的过程当中寻找图形的本质特征。
对于上图中学生画出的标记，薛老师追问：“为什么在锐角三角形中要把三个角都画上呢？”此问题与前面的合作要求“遥相呼应”，帮助学生理清三种三角形的联系，使模糊的认识逐渐清晰起来。
学生找不着3号图形的顶角，这又是老师的精心设计——从数学的本质出发，直面学生认识中出现的问题。老师反问：“什么是顶角呢？”使学生明确名称不受三角形位置的干扰。判断概念，就要从概念出发提出问题，然后进行比较，这是一种重要的用数学概念判断的方法。
一个优秀的数学教师，在一节课中一定有几个主线的提问，能将这节课的魂抓住。本节课上一个又一个精心设计的问题，就彰显了数学的本质，使这节课显得简洁而深刻。有些老师上这节课时，到了时间却下不了课，有的甚至还没有完成分类，这不能怪学生，是教师在设计上出了问题。
数学的学习方法是“授之以鱼”还是“授之以渔”？显然，传授方法的数学学习，才能满足学生可持续发展的需要。3.在不露痕迹的追问中深化认识
薛老师的练习设计精心且层层递进，深入主题。（1）连线练习的提问很巧妙。老师问：“一个三角形怎么会有两个名字呢？”（如图）提问再一次直面数学的本质，使学生明确观察的角度不同，得到的结论也就不同，从而感受到了分类的多样性。其实，教师装糊涂也是一种教学智慧，该把讲台让给学生时，教师就要慷慨地退下去，该出手的时候，教师就要勇敢地站出来。因此我提倡教师要学会等待，等待是一种教学理念，等待是一种教学策略，等待是一种教学艺术。（2）猜图形的环节高潮迭起。首先，薛老师利用了学生们喜闻乐见的卡通形象喜羊羊，使学生在愉悦的气氛中开始了层次鲜明的练习。
其次，薛老师不但让学生判断“这是一个什么三角形”，她还让学生判断“这还可能是一个什么三角形”。每一位学生都在积极思考，这样的练习拓宽了思考的角度，加深了学生对三角形特征的认识。
再次，对于只露出一个锐角的三角形，教师摘下黑板上的等边三角形和露出的锐角进行比较，这一看似随意的举动使学生在获得方法的同时，更领略到了等边三角形的“变化”的边中隐藏着“不变”的角的特点。
想象力是创造的基础，薛老师抓住了有思考价值的资源，结合露出两个一样的角的三角形，提出了有思维力度的问题，“它为什么不会是等边三角形？”给足学生想象的空间，迫使学生“比划”出了结论，并主动运用刚才的方法，即取下等边三角形进行比较，验证自己的想象。
最打动学生的是最后一个练习，它综合了本节课所学知识，充分借助想象力，帮助学生再一次在头脑中进行建构，明确三角形的本质特征，并让学生带着一个新的解决问题的视角走出课堂，继续他们的思考。
本节课薛老师始终围绕三角形的分类，提出有价值的问题，组织有效的数学学习活动，让学生在操作中不但掌握了知识，更提升了分类的思想，同时感受到想象创造的价值。
什么是一节好的数学课？好课要有思维的分量，有思考的深度，这在很大程度上来源于问题的巧妙设计。在这节课中，我感受着学生自主的建构，一个个看似随意的小问题，激发了学生的兴趣，更满足了学生内在的认知需求，深化了学生的认识，使课堂充满了数学味。团队成员感悟
吴老师紧紧抓住本节课的教学特色之一，给我们解读了教学中的一个重点话题：如何有效地设计课堂提问。吴老师的点评使我们认识到，有效的问题是教学设计的重要内容之一，问题是提高课堂思维含量、激发学生思考兴趣、提升学生探究能力的核心因素。我们在问题的设计中要关注核心问题、启发性问题、连续性问题等的设计，真正让学生在发现问题、提出问题、分析问题、解决问题中提升课堂教学的有效性。（本节课获2010年“北京市基础教育优秀课堂教学设计评选”一等奖）2.在有效的学习活动中建立数的概念——评王欣老师执教的《1000以内数的认识》《1000以内数的认识》是人教版第四册第五单元的知识，是一节非常重要但略显枯燥的数的概念课。如何让二年级的小学生在40分钟的时间内，精神饱满、兴趣盎然地投入学习？怎样从数学知识中来，紧紧抓住数学知识的形式美和内在美的和谐统一，有效地帮助学生获取知识，启迪学生的思维？我们来看看北京芳草地国际学校远洋小学王欣老师执教的《1000以内数的认识》，或许能给我们带来一些启示。【片段一】
教师出示3个瓶子，里面分别装有500粒、100粒、1000粒黄豆。
师：在前面的学习中，我们已经认识了100以内的数。请你猜一猜哪瓶黄豆的个数不多不少正好是100粒。
生1：我猜是中间那瓶。
生2：我也认为是中间那瓶。
师：那其他两瓶有多少粒呢？
生1：500粒。
生2：1000粒吧。
师：同学们对数的感觉都很好，你们都认为其他两瓶比100粒多得多啊！1000有多大呢？今天我们就一起来学习1000以内数的认识。【片段二】
教师提供方块计数卡。
师：数数你们手中的方块计数卡有多少块？
学生2人一组合作数。
生1：我们组的有37块。
生2：我们组的有100块。
师：在数的过程中用到了哪些学过的知识？
生：数的过程中我们用到了10个一是1个十，10个十是1个百。（板书：10个一是1个十，10个十是1个百。贴图）
师：你们找到1000了吗？怎么办？
生1：我们合起来数吧。
生2：我们需要黑板上那么大的方块计数卡。（满足学生需求，继续数数活动。师生一起计数1000，教师在黑板上用方块计数卡贴出一个正方体。如图所示）
老师播放课件，展示1000的计数过程——小正方体叠加，直至形成一个大正方体。先出现1个一，再出现10个一是一十，10个十是一百，10个百是一千。【片段三】
教师介绍投掷比赛规则，请学生当记分员，为小选手汇总成绩。
课件演示第一位选手投掷情况：
师：你是怎样记录的？
生：我在计数器上记录了3个百、3个十和1个一，这位选手得了331分。
师：331是由几个百、几个十、几个一组成的？
生：331是由3个百、3个十和1个一组成的。（师在第一个计数器下面写下成绩“331”）
课件演示第二位选手投掷情况：
师：同桌互相说说你怎样记录的？
生：我在计数器中记录了6个百和1个十，第二位选手得了610分。
师：只写6和1行不行？
生1：不行，这么写是61。
生2：可以，6写在百位上、1写在十位上，就是61个十，就是610呀。
师：哦，在数位表中可以看出是61个十，是610，如果把它“推”出去呢？
生：那可不行，要用“0”占位。
师：看来0的作用还真不小啊！
课件演示第三位选手投掷情况：
师：你们是怎样记录的？
生：我在计数器上记录了1个百和5个一，三号选手得了105分。
师：看看你们的记录单，这三位选手的成绩怎样？
生1：105＜331＜610。
生2：第三位选手只投了6次，而其他两位选手投了7次，这样比赛不公平。
师：就请你帮着这位选手补上这一投。
学生改写第三位选手的成绩，再排名次。
331＜610＜1105
师：比赛结束了，我们来给三位选手发奖。一等奖将得到一辆遥控小汽车，读出它的价钱。
生：三百八十二元。
师：三等奖将得到一架飞机模型，读出它的价钱。
生：二百零四元。
师：二等奖的奖品是小火车，请你猜猜它的价钱。
生：在382元和204元之间。
师：对，二等奖的钱数比一等奖要少得多，比三等奖多一些。请你在380元、220元、196元三个价钱中，选择合适的价钱，说说你是怎么想的。【片段四】
出示下图：
师：同学们猜对了小火车的价钱，让我们一起给小火车的车厢编号。如果中间这节车厢号是800，那么你认为其他各节应是多少？试着写一写。
生：798、799、800、801、802
师：这样编号合理吗？为什么？
生：一个一个地数，依次多1。
师：还可以怎样编号？
生1：一个百一个百地数，600、700、800、900、1000。
生2：8、80、800、8000、80000
师：这样编号可以吗？谁看懂了？
生：可以，意思是8个一、8个十、8个百、8个千。
师：同学们太了不起了，老师要为你们颁奖。请你猜猜有多少张贴画？
生1：500张。
生2：1000张。
生3：10000张。
师：要想准确地说出小贴画的张数，一定要有标准。请看（出示一张正方形卡片，上面贴有100张小贴画）这是100张，那这儿有多少张呢？
生：有400张。
师：猜对的同学得到一枚小贴画（给第一个猜对的孩子贴一张），那现在还剩多少张？
……
每贴出一张，学生回答一次，练习倒数1000以内的数。吴老师评析
回顾王老师的课堂，以下几点让我印象深刻，愿与老师分享。1.精心创设学习情境，积极有效的参与使学生学得有趣味
这节课以情境教学贯穿全课，情境设计并不是简单的取悦学生的游戏，而是创设了学生主体参与的一条主线，激励学生主动参与、主动实践、主动思考、主动探索。
课开始的引入部分，王老师拿出三个装有不同数量黄豆的瓶子，请学生来猜一猜，哪一瓶不多不少正好装着100粒。学生瞪大眼睛观察着，猜测着，这一环节吸引了学生的注意力。学生以100粒作为标准，很快猜出另外两瓶是500粒、1000粒时，1000就这样自然地引出了。在这个“猜一猜”的活动中，学生体会到要进行估测，首先需要选择、确定一个标准，找到一个合适的估测单位。接着，老师又提供了可操作的画有100个小正方形的方块计数卡，请学生边摆边数，由于每个同学手中的计数卡数量有限，便促成了学生小组合作共同来凑1000的愿望。在这个过程中，学生不仅感受到1000的大小，而且也体会到了合作的意义。
接下来的情景就更有童趣了，王老师邀请全班同学到投掷比赛的现场当计分员，孩子们立刻情绪高涨、跃跃欲试。电脑屏幕上小选手的每一投都牵动着孩子们的心，所有学生都尽职地充当记分员。愉悦、和谐的氛围弥漫在课堂上，孩子们在直观的操作中理解着抽象的数，很轻松地掌握了1000以内数的组成和数的读写。然而，情景创设并没有就此停止，有比赛就要有排名，学生们的角色自然地由记分员转换成裁判员，主动地比较起数的大小。老师及时地鼓励了学生主动学习的精神，为积极参与课堂学习的同学发起奖来。在这里，王老师也“吊”足了学生的胃口，要想得到奖品——小贴画，首先要猜出小贴画的个数，估算的技能在这一环节得到了巩固。
学生数感的建立不是一蹴而就的，是在现实背景下逐步感受和体验中建立起来的。王老师在本堂课的教学中结合学生身边具体、有趣味的事物，让学生感受数的大小，在数学教学过程之中培养学生的数感。从上课开始时的估豆子，到给投掷选手发奖品时二等奖的价钱“比一等奖的钱数少得多，比三等奖的钱数多一些”等环节，都能体现出老师有意识地对学生进行数感的培养。直到临下课的最后一分钟老师要送给全班小礼物时，依然不放过培养学生数感的机会。老师拿出一张学生喜欢的小贴画纸，问：“这张纸上有多少个小贴画？”当学生盲目地喊出“500”、“1000”、“10000”时，老师并没有急于揭示答案，而是又拿出一张贴满小贴画的纸，放在刚才那张大纸的旁边，轻声地说这是100个。在这样的举动之后，学生马上准确地说出“400个”。这一小小的细节反映了老师的智慧，教学中的估算绝对不是为了估算而估算，而应在估算的过程中教给学生估计的方法、估计的策略，即估计需要一个标准为依据。
整节课的情境设计符合学生认知规律和学习心理，形式活泼，轻松自然，但又没脱离对数的概念的学习。在具体、有效的学习情境中，踏踏实实地落实课标的精神，培养学生的数感，将提高学生的数学素养落到实处。2.关注基础知识教学，数形结合帮助学生建立数的概念“数与代数”的内容在义务教育阶段数学课程中占有重要的地位，是学习数学相关知识的重要基础。《1000以内数的认识》正是“数与代数”这部分知识中一个重要的章节，是学生从学习百到认识万的一个过渡，是学生进一步学习较大数的基础，其中蕴含着许多重要的数学概念。王老师在这堂课中对这些概念给予了关注，将基础知识的教学落到实处，做到了为基础知识定好位，打好桩！
本节课为了实现“认识计数单位千，发现每两个相邻计数单位之间的十进关系”这一教学目标，王老师精心地安排了三个层次的活动：首先，请学生们动手数方块计数卡，充分体会数是数出来的。让学生在数的过程中复习10个一是一十，10个十是一百，为后面学习新知识做了重要的铺垫。当学生手中的计数卡找不到1000时，老师及时鼓励学生将手中的计数卡凑在一起数。1个百，2个百，3个百……9个百，10个百，老师追问：10个百是多少？学生齐答：10个百是1千。新知识的学习水到渠成。王老师并没有就此停止，她又把10张一百为单位的方块计数卡叠加在一起，和同学一起在黑板上摆出了1000。当1000个小正方体直观地出现在学生面前时，他们不仅在头脑中清晰地建立了1000的表象，而且得出一个重要的结论：10个百是一个千。学生在经历、感受中体验着知识形成的过程。
接着，王老师借助电脑课件演示了由1个一到1个十、到1个百，再到1个千的过程，计算机由一个点到一条线，由一条线到一个面，由一个面到一个体，数形结合很好地帮助学生将知识进行了梳理，建立了空间观念，形成了个、十、百、千之间的知识框架。计算机的使用并不多，但画龙点睛，恰到好处。
最后，王老师又让学生用手中的计数器卡片模拟计算机的演示过程。学生们边拨珠，边叙述：1、2……9、10，10个一是一个十；10、20……90、100，10个十是一个百；100、200……900、1000，10个百是一个千，通过动手操作将知识进行内化。学生对1000这个概念的建立不是一次完成的，而是循序渐进，层层深入，不断完善的。这个知识很浅，但教得很厚实，环环相扣，直逼思维深处，充分体现了在有限的40分钟内，给核心概念以中心地位的理念。3.注重提供体验过程，引导学生在亲身经历中理解数的组成
课程改革以来，大家越来越强调让学生经历知识形成的过程，教师们努力创设一些让学生亲身经历的实践活动，让学生通过认知、体验和感悟，在实践过程中获得新知识、技能、态度和方法。
在教学这节较枯燥的概念课时，王老师为学生提供了体验和感悟的过程。在教学数的组成、数的读写时，为学生创设了一个打靶的游戏，学生通过给三位选手记分，体验数的组成；通过汇报选手的得分，进行数的读写练习。以给第一位选手记分为例，他七次投掷的得分是：100分、10分、10分、1分、100分、10分、100分，学生在计数器上记录完后，老师问：你是怎样记录的？1号选手的最后得分是多少？学生回答：我是这样记录的——百位上有3条横线，表示3个百；十位上也有3条横线，表示3个十；个位上有一条横线，表示1个一。3个百、3个十、1个一，合起来是331，所以1号选手得331分。教师的设计让学生在看、听、说、写的过程中充分体验了数的组成。
王老师对三个数的设计也是非常用心的，第一个数是331，第二个数是610，第三个数是1105。在处理第二个数时，老师对齐数位表的百位写6，十位写1，没有写个位上的0，问学生这样写610可以不可以。当学生意见出现分歧时，老师用了一个轻轻“推”的动作，说：如果把61推出数位表，它还能表示6个百、1个十吗？让学生在想象中体会数位表中的6个百、1个十，如果离开数位表就成了61，就不能表示6个百1个十了，所以，个位上的0必须写。王老师通过这样一个肢体语言，让学生在想象中体会，在体会中感悟“0”占位的意义。整个过程质朴无华，教学无痕，而教师的用心处处有痕！团队成员感悟
吴老师紧紧抓住本节课的教学特色之一，给我们解读了教学中的一个重点话题：如何有效地设计学习活动。通过吴老师的点评，我们认识到教师在设计学习活动时，一定要保证这一活动能激起学生的认知冲突，激起学生的积极思考。在教学中，不仅要考虑师生之间的交流与合作，让学生大胆提出问题，让课堂“活”起来，还要考虑师生之间的思维碰撞，让师生相互启发、诱导，达到融为一体、和谐共振的境界。3.凸显数学本质，培养数学思维——评潘小明老师执教的《点图与数》
每每走进上海市宝山区第一中心小学潘小明老师的课堂，都为他全身心的投入以及他与学生真诚的交流而感动，为他的教学智慧和理性的数学思考而打动。他对数学教育的独特视角与解读，的确值得我们好好研究。《点图与数》一课选自上海数学教材第四册。该教学内容由3道题组成：
第一题，通过5个点图及相应的算式，直接告诉学生这些都是平方数。提问：“你能接下去说出几个平方数？”
第二题，将4个相同的平方数点图拼合在一起变成一个新的平方数点图，提问：“4个相同的平方数点图拼合在一起，会变成什么？”
第三题，介绍“奇数与平方数”。教材用添加点子的方法逐个出现新的平方数点图，并与加法算式相对应，试图让学生发现奇数与平方数之间的关系。
显然，教材中的三道题，从表面上看都是指向答案的。如果教师不能把握住数学核心概念的本质，不能深刻理解教材、有效地运用好教材，不能给学生充分探索思考的空间，只是顺水推舟地讲一讲，问一问，练一练，也许会很快“顺利”地完成教学任务。试想，这样的教学会有怎样的学习效果？
第一道题，如果教师只让学生看着书上的点图和算式接着说，学生可能会不假思索地直接说出平方数应该是“6×6=36；7×7=49；8×8=64……”学生照葫芦画瓢，没能对“平方数”的本质有更深刻的理解。
第二道题，如果教师只是让学生按照教材把四个同样的平方数点图拼合在一起，学生也会很“顺利地”发现这样拼合下去会变成一个个新的平方数。但是，学生独立思考、合作探究的思维空间就会比较小，学生也很难对“至少4个相同的平方数能拼成一个新的平方数”抽象、概括的过程有充分的体验与感悟。
第三道题同样如此，如果教师只让学生看着书上的点图和算式接着写下去，学生也会“顺利地”写出“1＋3＋5＋7＋9＋11＋……”，但是学生却失去了一次在数与形的结合中发现、理解奇数与平方数之间的规律的重要探索机会。
那么，怎样拓展学生的思维空间，让学生在尝试解决问题的过程中逐渐学会发现问题、提出问题，提高分析问题的能力呢？如何让学生在观察、猜想、试验、尝试中抽象、概括出数学规律呢？潘小明老师是如何基于教材例题，抓住数学本质，对问题重新进行整理规划，引导学生积极主动学习的呢？吴老师评析
让我们一起走进潘小明老师的课堂，感受他的数学教学理念与实践。1.抓住数学核心概念，引导学生深刻理解“平方数”的含义
潘小明老师是这样处理第一题的：首先请学生用点图表示1、2、3、4……，并引导学生想象，要表示数1、2、3、4……应该拿几张“1”这样的点图？用它可以拼成一个什么图形？能写出怎样的算式？
对数字“4”，学生中出现了两种不同的点图及算式。
潘老师追问：“刚才点图所表示的数中，有个数非常特殊，你们知道是哪个数吗？”许多学生都认为是“4”，因为它的点图可以拼合成一个长方形，还可以拼合成一个正方形，有学生甚至还给它起个名字叫“正方形数”。潘老师对学生的回答表示认同：“它确实可以叫正方形数，数学上我们把这样的数叫做平方数。其实，在10以内的数中，还有另外的平方数，你们猜会是几呢？请说明理由。”
学生开始思考，大胆猜想并进行交流。一场小小的辩论会开始了，有的同学认为是“6”，因为“6”的点图也可以有两种表示方法，也可以写出两个乘法式子（6×1和3×2），但很快遭到其他学生的质疑，因为“6”的点图不是正方形的，它的乘法算式中的两个因数不是相同的。还有的学生认为是“8”，因为“8”的点图可以是一个正方形，同学们纷纷让他用正方形的点图表示，该生非常自信地在黑板上进行了拼摆演示（如下图）：
出人意料的正方形点图一下子把一些学生给“蒙”住了，但很快又有学生质疑道：“平方数“4”的正方形点图的每行每列的数是相等的，这个正方形点图是空心的。“9”才是平方数。”
潘老师再次追问：“1到10这十个数中，到底哪几个是平方数？为什么？”
经过一番激烈的讨论，学生终于发现“1”具备平方数的特征（点图是个正方形，可以写成两个相同的因数相乘）。
就这样学生不断地发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，特别是在激烈的讨论中深刻地理解了平方数的意义，平方数的概念就在这样的高质量的思维活动中被学生主动地建构起来。2.利用直观的“平方数点图”，引导学生概括数学规律
在解决第二题时，潘老师首先提出问题：“你们知道至少几个相同的平方数能拼成一个新的平方数吗？”这无疑对学生是个挑战。学生一时不知从何说起，很是困惑。潘老师启发道：“你们能否举些例子，用平方数点图进行拼摆，看看能否发现些规律？”为了便于观察，学生从平方数“1”开始探索。
同学们想象着、思考着、动手验证着。在直观的图形拼摆中，同学们很快发现“4个1”、“4个4”、“4个9”都能拼得一个新的平方数。这时，潘老师不慌不忙地出示一个正方形纸片（该正方形能代表任意一个平方数），提出问题：“想一想，至少用几个相同的平方数才能拼得一个新的平方数？”
学生借助直观的图形，展开丰富的想象，利用已有的数学活动经验，通过观察、猜想、试验，终于从中概括出“至少4个相同的平方数能拼成一个新的平方数”的结论。同时，学生还领悟到，对于有规律的事物，无论是用数字还是用图形表示，都可以反映相同的规律，只是表达形式不同。
回顾这段学习过程，我们可以清晰地看到，这个数学结论的获得不是老师直接告诉给学生的，而是学生在充分的数学活动中，通过积极思考、大胆质疑、勇于实践而得到的。学生经历了“数学化”的学习过程，学会了怎样思考问题和解决问题，其思维能力得到了提升。
潘老师利用图形引导学生进行数学思考、想象，并获得了数学结论。正如爱因斯坦所说：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且它是进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”通过直观的图形展开想象，大大提高了学生研究问题的兴趣。3.在讨论质疑中引导学生发现数学规律
在解决第三个问题时，潘老师还是以“问题串”的方式引发学生的思考。潘老师首先抛出问题：“一个平方数，至少加几才能变成一个新的平方数？”“对于这个问题，你想怎样来探究、发现其中的规律呢？”
学生有了上面探究的经验，从平方数“1”开始，进行拼摆实践活动。
学生通过拼摆很快发现，一个点子，再加上三个点子，就可以得到一个新的平方数“4”。在此基础上，学生再思考，“至少加几才能得到一个新的平方数”。此时，课堂上又出现了不同的意见：有学生认为再加4个，理由是在正方形的上边加2个，在右边也加2个即可；有学生则认为再加5个即可；潘老师并没有评价对错，只是建议同学们再亲自拼一拼点图，用事实说服对方。前一个学生终于在直观的图形拼摆中发现自己还少算了1个，应该加上5个（如下图）。
学生继续探究着，在学生发现加1、加3、加5、加7、加9……得到的数是一个新的平方数之后，教师引导学生进一步观察拼图，“你还能发现什么规律？”同学们在亲自实践中，终于寻找到了平方数与奇数之间的关系。
课堂上充满了和谐、民主的讨论气氛，学生积极主动地表达着自己的观点。有的学生认为，奇数的和是一个平方数，也有学生认为，应该是连续奇数的和是一个平方数。对此，学生之间互相质疑、据理力争，最终归纳出结论：从1开始的连续奇数的和是一个平方数。
整个课堂教学，围绕“平方数是怎样的数？”“至少几个相同的平方数能拼成一个新的平方数？”“一个平方数，至少加几能变成一个新的平方数？”“平方数与奇数之间有怎样的关系？”四个核心问题展开，将问题指向对概念本质特征的探究、对发现数学规律的策略和方法的探究。四个核心问题，给了学生足够的思维空间，在探究平方数概念的教学中，教师只是提供一些素材，对概念的本质属性，由学生自己提出假设，教师引导全班同学得出正确结论。学生对一个个点图表示的数不断地进行比较、辨析，逐步揭示平方数的本质特征是“能摆成正方形点图的数，两个同样的整数相乘的积”，由此建构了平方数的概念。这样获得的知识印象深刻，记忆牢固，更重要的是，学生的比较、抽象、概括等思维能力以及探究精神得到较好的锻炼和培养。
总之，潘小明老师这节课的教学有以下几个突出特点：（1）抓住概念的本质进行教学，使学生深刻理解概念的意义。数学核心概念的建立不是靠简单的模仿，而是注重引导学生参与数学概念形成的过程。（2）注重引导学生通过直观的图形来理解抽象的数学规律，发现数学变化的规律，培养学生的推理能力。（3）注重在“问题串”中引发学生的思考、质疑，给学生充分的思考空间。鼓励学生不断地发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，注重学生思维能力的提升。
在探究平方数之间以及平方数与奇数之间的关系时，学生不断经历这样的过程——对具体实例的观察比较、归纳猜测、举例验证、揭示规律。团队成员感悟
吴老师围绕着数学教学要抓住核心知识概念的本质、要注重引导学生在直观的图形中理解抽象的数学规律、要注重在“问题串”中引发学生思考和质疑等三个方面对潘老师的《点图与数》一课进行了点评。通过吴老师的点评，我们认识到知识的教学固然重要，但过程与方法、情感与思想在数学课堂也不容忽视，这样才能培养学生的可持续发展能力，促进学生的全面发展。4.引导学生亲身经历知识的形成过程——评赵震老师执教的《生活中的负数》
在课堂教学中，越来越多的教师在关注教学结果的同时，更加关注知识的形成过程。蕴藏在数学课堂中的那些伴随着师生共同进行的探究与交流所衍生的情感、态度、价值观，使我们的数学课堂愈发显得真实、自然、厚重而又充满人情味。这些恰恰都是学生自主参与数学活动而得到的体验、领悟、升华，也正是在数学活动中获得的过程性知识。怎样引导学生亲身经历知识的形成过程呢？北京市昌平区昌盛园小学赵震老师的《生活中的负数》给广大老师带来了明确的启发，现与大家共同交流。【片段一】负数的引入1.提出问题，亲身体验
师：同学们，每天我们都要和数打交道，你们对学过的数熟悉吗？现在我说几件事，你们能把听到的数据信息准确地记录下来吗？
生：没问题。
师：要独立思考，选择自己喜欢的方式来记录，关键是让别人一眼就能看明白你所表示的意思。（师叙述事件，学生填写记录单）（1）足球比赛，中国国家队上半场进了2个球，下半场丢了2个球。（2）学校四年级共转来25名新同学，五年级转走了10名同学。（3）张阿姨做生意，三月份赚了6000元，四月份亏了2000元。（学生独立填表，教师巡视收集信息）2.有序反馈，集体讨论
师：我选取了部分同学的记录单，一起来欣赏一下。
师：（在投影上展示第一种情况）这样记录，大家有什么看法？
生：这样记录不能让别人看出是进2个球还是丢2个球。
师：都是2个球，但一个是进球，一个是丢球（同时借助手势表示进球和丢球是相反的意义），转来和转走的意思呢？赚和亏呢？
师：仅仅用我们学过的数，还能区分这些意义相反的量吗？
生：不能。
师：（投影展示第二种情况）这种方法怎么样？意思清楚不清楚？还有谁是这么想的？（真有办法！）
师：还有其他的方法呢，我们再来看看！（投影展示第三种情况）
师：这是谁写的呀？快说说你是怎么想到这两个符号的？（师指
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